1. Hibaszámítás Hibaforrások A gépi számok

Hasonló dokumentumok
A valós számok halmaza

II. Valós számsorozatok

Emelt szintő érettségi tételek. 10. tétel Számsorozatok

g x ugyanabba az halmazba kerüljön mint különböző módon tehetjük meg. A feladat állítása alapján igazolnunk kell, hogy ( ) n m m

VI. FEJEZET POLINOMOK ÉS ALGEBRAI EGYENLETEK. VI.1. A polinom fogalma. Alapvető tulajdonságok

n természetes szám esetén. Kovács Béla, Szatmárnémeti

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

IV. A HATÁROZOTT INTEGRÁL

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra A prímek összege: = 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

1. Komplex szám rendje

24. tétel Kombinatorika. Gráfok.

ACTA CAROLUS ROBERTUS

Lineáris programozás

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )

n 1 1 n sehova szám (DÖNTETLEN) 1 0 k n n n 1 IZÉ HA a sorozat is lim akkor n NEVEZETES SOROZATOK HATÁRÉRTÉKEI ÖSSZEG HATÁRÉRTÉKE IZÉ

SOROZATOK. Körtesi Péter

A valós számok halmaza

44. HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, 2015 Szóbeli feladatok megoldásai. Megoldás: 6

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Közelítő és szimbolikus számítások haladóknak. 9. előadás Numerikus integrálás, Gauss-kvadratúra

Alkalmazott matematika

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

S ( ) függvényre. . Az 1), 3) feltételekbõl a feltételek száma : ( l + 1) n ( l 1)

Metrikus terek. továbbra is.

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)

1. Házi feladatsor Varga Bonbien, VABPACT.ELTE

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása

I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK

A térbeli szabad vektorok V halmaza a vektorok összeadására, és a skalárral való szorzásra vonatkozóan egy háromdimenziós vektorteret alkot.

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) FELADATOK Taylor- (Maclaurin-) sorok, hibabecslés

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

Kardos Montágh verseny Feladatok

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ALGEBRA. 1. Hatványozás

Valószínőségszámítás

1. Kombinatorika, gráfok

ANALÍZIS I. (MT1301L, MT4301L, MT1301) Előadást követő vázlatok. Dr. Rozgonyi Tibor főiskolai docens

1. Gyökvonás komplex számból

Komplex számok. 6. fejezet. A komplex szám algebrai alakja. Feladatok. alábbi komplex számokat és helyvektorukat:

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

Lineáris egyenletrendszerek

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.

Lineáris programozás

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Absztrakt vektorterek

Számelméleti alapfogalmak

SOROZATOK. A sorozat megadása. f) 2; 5; 10; 901 g) 2 ; 2 5 ; h) a 1. ; j) 1; -2; 3; -30. = 203. Legyen a sorozat két szomszédos eleme a k

FELVÉTELI VIZSGA, július 15.

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2

n m dimenziós mátrix: egy n sorból és m oszlopból álló számtáblázat. n dimenziós (oszlop)vektor egy n sorból és 1 oszlopból álló mátrix.

Matematika A1 vizsga elméleti kérdések

( ) ( ) Motiváció: A derivált közelítésére gyakran használjuk a differencia hányadost: ( ) ( ) ( ) + +

n -adik hatványa ahol n q és c n Ekkor szeretnénk, ha a < a < a is teljesülne. (Így majd az exponenciális függvény monoton marad.

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy.

A Riemann-integrál intervallumon I.

I. ALGEBRA 1. ELSŐFOKÚ PARAMÉTERES EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK

Divergens sorok. Szakdolgozat

A Gauss elimináció M [ ]...

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése

A feladatok megoldása

18. Differenciálszámítás

PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika DETERMINÁNSOK. Bércesné Novák Ágnes 1

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007)

Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged

Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása

90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények


Tizenegyedik gyakorlat: Parciális dierenciálegyenletek Dierenciálegyenletek, Földtudomány és Környezettan BSc

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus)

Matematika I. 9. előadás

Házi feladatok megoldása. Veremautomaták. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása. Formális nyelvek, 12. gyakorlat

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

Vektorok, mátrixok. n m dimenziós mátrix: egy n sorból és m oszlopból álló számtáblázat. az i-edik sor j-edik. , ahol b i

1. Gyökvonás komplex számból

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Lineáris egyenletrendszerek

Analízis. Glashütter Andrea

Valószínűségszámítás összefoglaló

= λ valós megoldása van.

II. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK. A KOMBINATORIKA ELEMEI II.1. Valószínűségszámítási feladatok

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

x + 3 sorozat első hat tagját, ha

Mivel sikerült egész kitev j hatványokat is definiálnunk, felvet dhet a kérdés, hogy lehet-e racionális (tört) kitev j hatványokat is definiálni.

Sorozatok határértéke

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Matematika II. Műszaki informatikai mérnökasszisztens. Galambos Gábor JGYPK

A hatványozás első inverz művelete, az n-edik gyökvonás.

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet!

IV.FEJEZET KOMPLEX SZÁMOK ÉS ALKALMAZÁSAIK

Átírás:

Hiszámítás Hiforráso feldto megoldás sorá ülöféle hiforrásol tlálozu Modellhi mior vlóság egy özelítését hszálju feldt mtemtii ljá felírásához Pl egy fizii törvéyeel leírt modellt Mérési vgy örölött hi mior modell dti potos értéee cs özelítõ értéei Áltlá mérés potosságától függe Mûveleti ereítési- és iput hi mely z dto számítógépe vló árázolásáól dód rcioális számo is cs egy részhlmz árázolhtó leegõpotos ritmetiá mûveletvégzés sorá ereítés túl- illetve lulcsordulás léphet fel Képlethi mior egy végtele eljárást véges számú lépés utá leállítu özelítõ lgoritmusot llmzu gépi számo számítógépe egy véges számhlmzt árázol és számításot is ezeel számol végzi Leggyr leegõpotos ritmetiát hszáljá Nézzü ee modelljét: Defiíció Legye t IN Z m t i m i i hol m mi { } i K t t i eor z ± m i ± m lú számot ormlizált leegõpotos szám i evezzü t természetes szám z m mtissz hossz míg szám rterisztiáj Jelölés: ± [ m Km ] t gépi számo hlmzát M M t M i ± m m mi m Követezméye: t i jelöli hol m t M -e v leggyo elem [ ] legise pozitív szám M -r szimmetrius ormlizálás mitt < i K { } i t { } M K ε m

Hogy feleltetü meg egy IR -eli szám egy gépi számot? Ehhez defiiálju övetezõ iput függvéyt Defiíció z fl : IR M függvéy iput függvéy h fl Tétel Iput hi Mide M vlós szám eseté M h > M M h < M z - hez legözele i gépi h M szám ereítés szályi szerit ε h < ε fl t h ε épletõl láthtó hogy ε eseté z árázolt szám reltív hiáj t zz cs mtissz méretétõl függ Kidolgozott példá Péld Vizsgálju meg z M M gépi számo hlmzát Meyi z elemszám? Meor leggyo gépi szám és legise pozitív szám? Megoldás M hlmz ± [ m m m ] lú számot trtlmz m m m { } tehát féle mtissz lehetséges és lehete rterisztiá féle Így egtív gépi számol együtt eleme lehet hlmz -t is eleszámítv 7 7 M [ ] 8 ε [ ] 8 Péld Keressü meg π -e megfeleltetett gépi számot z elõzõ feldt M hlmzá Megoldás [ ] M ise π -él [ ] M övetezõ gépi szám Mivel π < π fl π tehát 8 z utá

Péld dju példát rr hogy gépi számo örée z összedás em sszocitív mûvelet Megoldás Pl z elõzõ M hlmz [ ] [ ] [ ] fl tehát [ ] fl [ ] fl így [ ] fl hiszámítás elemei z lpmûvelete és függvéyérté hiái Defiíció -vel jelöljü potos értéeet -vel özelítõ értéeiet : z özelítõ érté szolút hiáj : z özelítõ érté szolút hiorlátj : z özelítõ érté reltív hiáj : z özelítõ érté reltív hiorlátj potos hiát gyr em tudju meghtározi Soszor z is megfelel számur h hiá egy hiorlátját ismerjü Elég h hi gyságredjét ismerjü Igyeezzü példá sorá fiom ecsüli e lépjü át gyságredeet Tétel z lpmûvelete szolút és reltív hiorlátjir övetezõ épleteet pju izoyítás Összedás Tegyü fel hogy zoos elõjelû

szolút értéet véve felülrõl ecsülve és z szolút hiorlát foglmát felhszálv zz Írju fel z összeg reltív hiájá szolút értéét { } { } m m pott éplete zt muttjá hogy h iidulási értée hiáj icsi or z összedás hiáj is icsi Kivoás Tegyü fel hogy zoos elõjelû szolút értéet véve felülrõl ecsülve és z szolút hiorlát foglmát felhszálv zz Írju fel z összeg reltív hiájá szolút értéét Tehát reltív hiár pott épletet vizsgálv zt pju hogy h értée sol ise mit or ivoás reltív hiáj gyo gy lehet iidulási értée hiájától függetleül Emitt özeli számo ivoás erüledõ c Szorzás meyiség gyságreddel ise töi tgál ezért z szolút hiorlátr Így reltív hiorlátr d Osztás Tegyü fel hogy zoos gyságredû z szolút hiorlátr H sol ise mit or z szolút hi gyo gy lehet iidulási értée szolút hiájától függetleül

reltív hiár miõl reltív hiorlátr szolút értéet véve épletet pju függvéy érté szolút és reltív hiorlátjár ézzü övetezõ tételt Tétel H z f : IR függvéy differeciálhtó or f M hol z - sugrú öryezetét jelöli M sup f : H f D or f f M M sup { f : } f c reltív hiorlátr f f izoyítás Lgrge özépérté tétel mitt f f f f f α { } hol α hol α szolút értéet véve és felülrõl ecsülve f M Tylor-formulát felhszálv f f f f f β hol β szolút értéet véve és felülrõl ecsülve f f M reltív hiorlátr votozó állítás -es tg elhgyásávl már övetezi Kidolgozott példá Péld Közelítsü π -t tizedesjegyre ereített értéével zz -el dju özelítõ értére szolút és reltív hiorlátot Megoldás π özelítés szolút hiáj z szolút hi egy ecslése özelítés egy szolút hiorlátj π özelítés reltív hiáj π 667 reltív hi egy ecslése 667 667 % özelítés egy reltív hiorlátj

Péld Legye X Számolju i zseszámológépe ecsüljü z szolút és reltív hiáját X -et más l is iszámíthtju X Y Melyi számolási mód iztosítj ise hiát? Megoldás 897 6 9 y 897 H z lpmûveletere votozó hiépleteet megvizsgálju or látju hogy éppe ét özeli számot vou i egymásól mi reltív hiorlátot megöveli mási számítási mód eseté ugy osztu de em icsi evezõ prolémás esete áll fe 8 8 iidulási értée hiorlátji: 7 7 8 9 reltív hiorlát gyságredeel õtt Vizsgálju mási számítási módszert Mivel z potos érté reltív hiorlátr 7 7 y 776 y 776 9 y 8 y 9 Péld z l és reltív hiorlátot özelítésre l özelítésére z e -öt hszálju e 8 dju szolút Megoldás iidulási potos érté e -el özelítjü e % e e 8 z f l függvéyt özelítjü függvéy érté szolút hiorlátjár levezetett formul lpjá M hol M m{ : } m : [ 8;] f 8 Tehát 8 vgyis iidulási hiáál ise reltív hiár 7 l e 7 7 7 % Tehát reltív hi is csöet l e e π Péld özelítésére hszálju 7 hiorlátot özelítésre -et π dju szolút és reltív 6

Megoldás π iidulási potos érté -ml özelítjü % z f függvéyt özelítjü függvéy érté szolút hiorlátjár levezetett formul lpjá M hol M m{ f : } m{ l : [ ; ] } l 976 Tehát 976 67 vgyis sol gyo iidulási hiáál 67 reltív hiár 9 9 % Tehát reltív hi is õtt 7 lgoritmuso stilitás 6 Defiíció Legye emeõ dt K K imeõ dt z lgoritmust stil evezzü h c > : K K c H emeõ dto hiáj ε or imeõ dtoé legfelje c ε Péld Melyi reurzió stil z lái özül? Meor lesz z tg hiáj h potos számolu és ε y y y Megoldás Igzolju hogy reurzió stil Legye : ε és : Vezessü e : jelölést hisorozt reurziój ugyz mit z sorozté de ezdeti értée máso Oldju meg differeci egyeletet ε és ezdeti feltételeel rterisztius egyelete : z z z z étszeres gyöe z egyelete differeci egyelet áltláos megoldás: c c IN c ε c c c ε ε Ie ezdeti érté feldt megoldás: ε ε 7

Mivel z sorozt overges ezért orlátos is Tehát c > : c ε Igzolju hogy reurzió istil Legye yy : y ε és yy : y yy y yy yy y y yy y yy y Vezessü e : yy y jelölést Oldju meg hisorozt reurziój ugyz mit z feltételeel y sorozté de ezdeti értée máso differeci egyeletet ε és ezdeti rterisztius egyelete : z z étszeres gyöe z egyelete differeci egyelet áltláos megoldás: z c c IN c ε c c c ε Ie ezdeti érté feldt megoldás: ε ε ε Mivel z sorozt em orlátos z tg hiáj em orlátos tehát em stil 8