OPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL HAJDER LEVENTE 1. Bevezetés A Lgrnge-féle multiplikátoros eljárást Joseph Louis Lgrnge (1736-1813) olsz csillgász-mtemtikus (eredeti nevén Giuseppe Lodovico Lgrngi) fejlesztette ki XVIII. százd végén. Lgrnge univerzális megoldást dott feltételes szélsöértékkeresési problémákr. 2. A problém Adott egy vektor-sklár költségfüggvény f(x) (hol x (x 1, x 2,..., x N ) N dimenziós vektor), melynek g 1 (x) c 1,...,g D (x) c D megkötések (összesen D drb megkötés) mellett szeretnénk szélsöértékét megtlálni. Mindezt z lábbi ábr lpján el lehet (kétváltozós esetben, egy megkötéssel) képzelni: A (kékkel rjzolt) szggtott vonl muttj költségfüggvény szintvonlit, folymtos (zöld) vonl pedig megkötést. A feldt zöld vonl mentén költségfüggvény mximumánk (vgy minimumánk) meghtározás. 3. Megoldás Az ábrán jól látszik, és be is lehet könnyen látni, hogy bbn z esetben, mikor szélsöérték vn g 1 (x) c 1,...,g D (x) c D felületek mentén, kkor g(x) függvény normálvektor egyben z f(x) felület normálvektor is,. Ezt mtemtikilg úgy Dte: 2007.05.21. 1
2 englishhajder LEVENTE foglmzhtjuk meg, hogy két felület ún. grdiens vektor párhuzmos egymássl, zz egymásnk sklárszoros: f(x) λ g(x) hol λ egy (egyelöre ismeretlen) nemnull vlós szám, pedig z ún. grdiens operátor, melyik prciális deriváltk lpján képzi grdiensvektort jól ismert módon. Ennek lpján már le lehet írni megoldást: z eredeti költségfüggvényünkhöz új tgokt kell hozzádni, és így módosított költségfüggvényt kpunk, melyet F (x)- szel jelölünk: D F (x) f(x) + λ i (g i (x) c i ) i1 mjd módosított F (x) költségfüggvénynek nemcsk z eredeti x vektor szerinti, hnem most bevezetett λ i prméterek szerinti szélsöértékeit is meg kell tlálni. Azz z lábbi egyenletrendszert kell megoldni: x 1 x 2... x N λ 1 λ 2... λ D Az F (x)költségfüggvény x 1,..., x N szerinti deriváltji grdiensekre dott megkötéseket dják vissz, míg λ i -k z eredeti megkötéseket dják. Fontos megjegyezni, hogy z i-dik megkötésbe bevittük c i konstnst, mi prciális deriváltkt nem rontj el, hiszen konstns deriváltj null. A λ i -k szerinti deriválás viszont így visszdj z eredeti megkötéseket. 4. Példák 4.1. Körbe írhtó legngyobb területü tégllp meghtározás. Feldt: Adott egy r sugrú kör, keressük meg zt legngyobb terület tégllpot, melyik beleírhtó körbe. A tégllp oldlit jelöljük -vl és b-vel.
englishoptimalizálás LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL 3 Eredeti kölségfüggvény: f(, b) b. Egyetlen megkötés vn: (/2) 2 +(b/2) 2 r 2. A módosított költségfüggvény: F (, b) b + λ[(/2) 2 + (b/2) 2 r 2 ] A megfelelö prciális deriváltk: b + λ b + λb λ (/2) 2 + (b/2) 2 r 2 Az elsö kettö feltételböl dódik, hogy b b λ, ebböl pedig kijön, hogy b (továbbá λ 1, de ez önmgábn érdektelen). Tehát megoldás várkozásoknk megfelelöen egy négyzet. A hrmdik összefüggésbe behelyettesítve kijön, hogy 2 /2 r 2, zz 2r négyzet oldl. 4.2. Pont és egyenes távolság kétdimenzióbn. Adott egy pont p (p x, p y ) T és egy egyenes x + b y. Keressük z egyenesen zt pontot z egyenesen, melyiknek legkisebb távolság p-töl.
4 englishhajder LEVENTE yx+b. (x,y) (p,p ) x y A távolságot négyzetreemelhetjük, z nem befolyásolj minimumhelyet. A feldt tehát J (x p x ) 2 (y p y ) 2 kölségfüggvény minimumánk meghtározás x + b y kényszer segítségével. A módosított költségfüggvény így néz ki: A prciális deriváltk: J (x p x ) 2 + (y p y ) 2 + λ(x + b y) x 2(x p x) + λ x 2(y p y) λ λ x + b y A másidik egyenletböl kijön, hogy λ 2(y p y ). elsöbe, és zt kpjuk: Ezt behelyettesíthetjük z 2(x p x ) + 2(y p y ) Ebböl pedig y x px py. Ezt hrmdik egyenletbe téve kpjuk, hogy: Ebböl pedig kijön, hogy x + b + x p x p y x p x + p y b 2 Ezzel megkptuk végeredményt, hiszen y könnyen számíthtó x visszehelyettesítésével:
englishoptimalizálás LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL 5 y x p x p y p x+p y b 2 +1 p x p y b + 2 p x + 3 p y ( 2 ) p x + p y b p x p y 2 p x 3 p y ( 2 ) (b + p x + 2 p y ) 2 Érdekes lehet még (x, y) T és (p x, p y ) közötti távolság: d (x p x ) 2 + (y p y ) 2 ( ) 2 ( d 2 px + p y b (b + px + 2 ) 2 p y ) 2 p x + 2 p y ( d 2 2 ) 2 ( p x + p y b b + px 2 ) 2 p y 2 + 2 ( 2 p x + p y b) 2 + (b + p x 2 p y ) 2 d 2