Empirikus szórásnégyzet

Empirikus égyzet Mi lee hasoló szellembe a becslése a mita alapjá?

Empirikus égyzet Mi lee hasoló szellembe a becslése a mita alapjá? Az átlagtól való égyzetes eltérést kée átlagoli...

Empirikus égyzet Mi lee hasoló szellembe a becslése a mita alapjá? Az átlagtól való égyzetes eltérést kée átlagoli... Empirikus égyzet Defiíció: Az empirikus égyzet az empirikus átlagtól való égyzetes eltérés átlaga: S 2 = (x1 x)2 + (x 2 x) 2 + + (x x) 2 = 1 i=1 (x i x) 2.

Empirikus Mi lesz az empirikus égyzet várható értéke? S 2 = 1 i x) i=1(x 2 = 1 1 i=1 A második és harmadik tagok: x ix = x i 1 x 2 = [ 1 = j=1 i=1 x j = 1 2 x i] i=1 x 2 i 2x ix + x 2 = [ x 2 i 2 x ix + x 2 ] = x 2 2 j=1 1 x 2 + 2 2 i<j = 1 2 i=1 x i x j 1 x2 + (1 1 ) x 2 i=1 x ix j = 1 [ x2 + ( 1) x 2 ], x 2 i + 2 x ix j i<j = 1 2 i=1 x ix + x 2, x 2 i + 2 i<j = 1 [ ( 1) 2 x2 + 2 x 2 ] = 2 x ix j

Empirikus Ez alapjá S 2 = x 2 2 i=1 x ix + x 2 = x 2 2 1 [ x2 + ( 1) x 2 ] + 1 x2 + (1 1 ) x 2 = (1 1 ) x2 (1 1 ) x 2 = (1 1 ) [ x2 x 2 ] = 1 [ x 2 x 2 ] = 1 σ2

Empirikus Ez alapjá S 2 = x 2 2 i=1 x ix + x 2 = x 2 2 1 [ x2 + ( 1) x 2 ] + 1 x2 + (1 1 ) x 2 = (1 1 ) x2 (1 1 ) x 2 = (1 1 ) [ x2 x 2 ] = 1 [ x 2 x 2 ] = 1 σ2 Korrigált empirikus égyzet A fetiek alapjá a korrigált empirikus égyzet: S 2 = 1 S2 = 1 1 i=1 (x i x) 2.

Empirikus Ez alapjá S 2 = x 2 2 i=1 x ix + x 2 = x 2 2 1 [ x2 + ( 1) x 2 ] + 1 x2 + (1 1 ) x 2 = (1 1 ) x2 (1 1 ) x 2 = (1 1 ) [ x2 x 2 ] = 1 [ x 2 x 2 ] = 1 σ2 Korrigált empirikus égyzet A fetiek alapjá a korrigált empirikus égyzet: S 2 = 1 S2 = 1 1 i=1 (x i x) 2. Az imét láttuk be, hogy S 2 = 1 S2 = σ 2.

EGYENLŐTLENSÉGEK

Markov egyelőtleség Markov egyelőtleség Ha X 0 valószíűségi változóak véges a várható értéke, akkor tetszőleges ɛ > 0 eseté P(X ɛ) X ɛ. Bizoyítás: X = xρ X(x)dx xρ X(x)dx ɛρ X(x)dx = 0 ɛ ɛ ɛ ρ X(x)dx = ɛp(x ɛ). ɛ

Csebisev egyelőtleség Csebisev egyelőtleség Ha X valószíűségi változóak véges a a, akkor tetszőleges ɛ > 0 eseté P ( X X ɛ) σ2 (X) ɛ 2. Bizoyítás: alkalmazzuk a Markov egyelőtleséget az Y = (X X ) 2 változóra ɛ helyett ɛ 2 -tel: P ( X X ɛ) = P ((X X ) 2 ɛ 2 ) (X X )2 ɛ 2 = σ2 (X) ɛ 2. Beroulli tétele

Csebisev egyelőtleség Alkalmazzuk a Csebisev egyelőtleséget ɛ helyett ɛ σ értékkel: P ( X X σ(x) ɛ) σ2 (X) σ 2 (X) ɛ 2 = 1 ɛ 2. Példa A gyakorlatba agyo sokszor halljuk, hogy valami 3σ - belül va. Ez általáos esetbe a következőt jeleti: P( x x 3σ) 1/9 0.11 3σ <x> 3σ Normális eloszlás

Relatív Relatív Defiíció: Egy X valószíűségi változó relatív át úgy kapjuk, hogy a t leormáljuk a várható értékkel: σ R(X) = σ(x) X. Ha a Csebisev egyelőtleséget ɛ helyett ɛ X -al alkalmazzuk: P ( X X ɛ X ) P ( X X ɛ) X σ 2 (X) ɛ 2 X 2 σ 2 R(X) ɛ 2, vagyis aak valószíűsége, hogy a relatív eltérés agyobb mit ɛ, az kisebb mit a relatív égyzet osztva ɛ 2 -tel.

Relatív Példa Tegyük fel, hogy a drazsé csomagoló gépük által előállított zacskókál a tartalmazott drazsé súlyáak relatív a 0.015. Átlagosa 100 zacskóból legfeljebb háy eseté lehet 5 % ál agyobb a drazsé súlyáak relatív eltérése a zacskó feltütetett átlagértékél?

Relatív Példa Tegyük fel, hogy a drazsé csomagoló gépük által előállított zacskókál a tartalmazott drazsé súlyáak relatív a 0.015. Átlagosa 100 zacskóból legfeljebb háy eseté lehet 5 % ál agyobb a drazsé súlyáak relatív eltérése a zacskó feltütetett átlagértékél? P ( X X > 0.05) 0.0152 = 0.3 2 = 0.09 X 0.05 2 100 ból átlagosa legfeljebb 9 szer.

Relatív Példa Tegyük fel, hogy az EU-s drazsé szabályozás csak azt modja ki, hogy a zacskó feltütetett súlyhoz viszoyítva a tartalmazott drazsé súlyáak relatív eltérése csak az esetek 4%-ba lehet 5%-ál magasabb. Ha ravasz kereskedőkét lecseréljük csomagoló gépüket egy sokkal precízebbre, melyél a relatív csak 0.005, akkor háy százalékkal lehet magasabb a zacskó feltütetett z súly a téyleges X átlagál eze szabály megszegéséek veszélye élkül?

Relatív Példa Eek kell teljesülie: A baloldalt átalakítjuk: P ( X z > 0.05) 0.04 z A Csebisev egyelőtleség: P ( X z > 0.05) P ( X z z X > 0.05) = P X X + z X > 0.05 X X d rel X X = P ( > 0.05 d rel ) X P ( X X 0.005 2 > 0.05 d rel ) X (0.05 d rel ) 2 0.04 (0.05 d rel) 2 0.005 2 = (10 200 d rel ) 2 25 d rel 5 200 = 0.025, azaz kb. 2.5%-al lehet magasabb a feltütetett érték a valódiál!

Csebisev egyelőtleség Ha egy X változóak X = µ a a és V(X) = σ 2 a a, akkor legye Z egy új változó, mely Z = X µ σ.

Csebisev egyelőtleség Ha egy X változóak X = µ a a és V(X) = σ 2 a a, akkor legye Z egy új változó, mely Z = X µ σ. Mi lesz Z várható értéke és a? Hogy éz ki a Csebisev-egyelőtleség Z-re?

Csebisev egyelőtleség Ha egy X változóak X = µ a a és V(X) = σ 2 a a, akkor legye Z egy új változó, mely Z = X µ σ. Mi lesz Z várható értéke és a? Hogy éz ki a Csebisev-egyelőtleség Z-re? Z = 0, V(Z) = 1, P ( Z > ɛ) 1 ɛ 2. Már mid a külső egyelőtleség, mid a belső egyelőtleség baloldalá olya paraméter szerepel, amit szabado választhatuk meg, em függ az eloszlástól közvetleül.

egyelőtleség egyelőtleség Beroulli változókra Tegyük fel, hogy X 1, X 2,..., X függetle, Beroulli eloszlású véletle változók, mit pl. a pézfeldobások sorozata, ahol P(X i = 1) = p, P(X i = 0) = 1 p, i. A változók átlagát a szokásos módo defiiálhatjuk, X = 1 i=1 X i. Az övelésével ez expoeciálisa gyorsa közelít p-hez, ugyais mide ɛ > 0 eseté P ( X p ɛ) 2e 2ɛ2.

egyelőtleség egyelőtleség (általáos esetbe) Tegyük fel, hogy X 1, X 2,..., X függetle korlátos változók, melyek egyekét az [a i, b i] itervallumokba vehetek fel értékeket. Ilyekor a változók átlaga, X = 1 i=1 az övelésével expoeciália gyorsa közelít a saját várható értékéhez, mert bármely ɛ > 0 eseté X i, P ( X E(X ) ɛ) 2 exp i=1 2 2 ɛ 2. (b i a i) 2

egyelőtleség Bizoyítás: lemma A bizoyítás em kerül számokérésre a vizsgá! A bizoyításhoz a lemmára va szükség, ami kimodja, hogy ha egy E(X) = 0 várható értékű X véletle változó értéke az [a, b] itervallumra korlátozódik, akkor bármely λ eseté E(e λx ) exp ( λ2 (b a) 2 ). 8 A lemma bizoyítása: - Mivel e sx egy kovex függvéy, x [a, b] - Midkét oldal várható értékét véve E(e sx ) b E(X) b a e sx b x b a esa + x a b a esb. e sa + E(X) a e sb = b a E(X)=0 ( a b a ) esa [ b a + esb sa ] = ( a b a ) esa [ b a + a + e s(b a) ] a b b a esa a b a esb =

egyelőtleség lemma E(e sx ) ( a b a ) esa [ b a + a + e s(b a) ] = a ( a b a ) esa [ b a 1 + e s(b a) ]. a - Defiiáljuk θ-t úgy mit θ = a > 0, ezzel b a E(e sx ) (1 θ + θe s(b a) ) e sθ(b a). - Továbbá legye u = s(b a) valamit ϕ R R with ϕ(u) = θu + l(1 θ + θe u ). Ezek révé E(e sx ) e φ(u). - A középértéktételt fogjuk haszáli, mely szerit mide u eseté va egy olya v a 0 és u között, melyre ϕ(u) = ϕ(0) + uϕ (0) + u2 2 ϕ (v).

egyelőtleség lemma - A ϕ(u) = θu + l(1 θ + θe u ) deriváltjai: ϕ(0) = 0 ϕ (0) = θe u θ + 1 θ + θe = 0 u u=0 ϕ (v) = θe v θe v (1 1 θ + θe v 1 θ + θe ) = t(1 t) 1 v 4. t - Ezek alapjá a középértéktételt haszálva ϕ(u) 0 + 0 u + u2 1 2 4 = s2 (b a) 2, 8 - amivel bebizoyítottuk a lemmát, E(e sx ) e ϕ(u) exp ( s2 (b a) 2 ). 8

egyelőtleség A egyelőtleség bizoyítása Először is az állításba szereplő valószíűség ekvivales alakjait haszáljuk, 2 2 ɛ 2 P ( X E(X ) ɛ) 2 exp ( i=1(b i a ). i) 2 valamit 2 2 ɛ 2 P (X E(X ) ɛ) exp ( i=1(b i a ). i) 2 A baloldalo bármely s > 0 eseté P (X E(X ) ɛ) = P (e s(x E(X)) > e sɛ ). Mivel a baloldalo szereplő változó emegatív, haszálhatjuk a Markov egyelőtleséget, P (X E(X ) ɛ) = P (e s(x E(X)) > e sɛ ) e sɛ E [e s(x E(X)) ] = e sɛ E [e s (X i E(X i )) ] i=1

egyelőtleség A egyelőtleség bizoyítása A fetiek alapjá P (X E(X ) ɛ) e sɛ E [e s (X i E(X i )) ]. i=1 A jobboldalo a lemmát alkalmazzuk, P (X E(X ) ɛ) e sɛ E [e s (X i E(X i )) ] i=1 e sɛ e s 2 (bi a i ) 2 8 2 = exp ( sɛ + s2 i=1 8 2 i=1 (b i a i) 2 ). A lehető legjobb felső becsléshez az g(s) = sɛ + s2 8 2 i=1(b i a i) 2 függvéy s szeriti miimumát kell megtaláli, ami törtéetese s = 4ɛ 2 [ i=1(b i a i) 2 ] 1 -él va. Ezt visszahelyettesítve 2ɛ 2 2 P (X E(X ) ɛ) exp ( i=1(b i a ). i) 2

egyelőtleség egyelőtleség Ha f (x) egy kovex függvéy, g(x) pedig egy kokáv függvéy, akkor E[f (X)] f (E[x]), E[g(X)] g(e[x]). Bizoyítás: Legye h(x) = ax + b az f (x) éritője be az x = E(X) potba. Mivel f (x) kovex, eze egyees fölött halad, E[f (X)] E[h(x)] = E[ax + b] = ae(x) + b = h(x = E[X]) = f (E[X]). Következméy: Pl. f (x) = x 2 kovex, ezért E(X 2 ) (E[X]) 2,

MOMENTUMOK, GENERÁTORFÜGGVÉNY, KARAKTERISZTIKUS FÜGGVÉNY

általáos defiíciója Defiíció: A X valószíűségi változó k-adik mometuma: X k = x k = x k ρ X(x)dx. A X valószíűségi változó k-adik cetrális mometuma: µ k = (X X ) k = (x x ) k = (x x ) k ρ X(x)dx. Mi X első mometuma? Mi X második cetrális mometuma?

általáos defiíciója Defiíció: A X valószíűségi változó k-adik mometuma: X k = x k = x k ρ X(x)dx. A X valószíűségi változó k-adik cetrális mometuma: µ k = (X X ) k = (x x ) k = (x x ) k ρ X(x)dx. Mi X első mometuma? A várható érték! Mi X második cetrális mometuma?

általáos defiíciója Defiíció: A X valószíűségi változó k-adik mometuma: X k = x k = x k ρ X(x)dx. A X valószíűségi változó k-adik cetrális mometuma: µ k = (X X ) k = (x x ) k = (x x ) k ρ X(x)dx. Mi X első mometuma? A várható érték! Mi X második cetrális mometuma? A égyzet!

Defiíció: Ha X diszkrét valószíűségi változó, mely em egatív egész számokat vehet fel a P(X = 0) = p 0, P(X = 1) = p 1, P(X = k) = p k, eloszlással, akkor a hozzá tartozó geerátorfüggvéy: azaz formálisa G X(z) = z X. G X(z) = p kz k, k=0

és mometumok Ha G(z) = p kz k, akkor k=0 Mi lesz G(1)? Hogya lehet p k-t a G(z) segítségével kifejezi? Hogya lehet a X = k várható értéket G(z) segítségével kifejezi?

és mometumok Ha G(z) = p kz k, akkor k=0 Mi lesz G(1)? Hogya lehet p k-t a G(z) segítségével kifejezi? Hogya lehet a X = k várható értéket G(z) segítségével kifejezi? és mometumok G(1) = 1, p k = 1 k! X = k = d k G(z), dz k z=0 k=0 X = k = k=0 kp k = dg(z) = G (1), dz z=1 k p k = [z z ] G(z) z=1

és mometumok és mometumok A várható érték és kifejezése a geerátorfüggvéy segítségével: X = k = kp k = dg(z) = G (1), dz z=1 k=0 σ 2 (X) = X 2 X 2 = [z z ] 2 G(z) z=1 G (1) 2 = [z z ] zg (1) G (1) 2 = G (1) + G (1) G (1) 2. z=1

és mometumok eloszlás a a mometumok geerátorfüggvéy Az összes mometum ismerete egyelő az eloszlás ismeretével!

Példák Példa Korábba láttuk, hogy a biomiális eloszlás számos fotos problémáál felbukka, (pl. valszám vizsgát sikerese lerakó hallgatók száma, véletle gráf fokszámeloszlása, stb.). Mi lesz a biomiális eloszlás geerátorfüggvéye? Beroulli problémája Biomiális eloszlás I. Várható érték Biomiális eloszlás II.

Példák Példa Korábba láttuk, hogy a biomiális eloszlás számos fotos problémáál felbukka, (pl. valszám vizsgát sikerese lerakó hallgatók száma, véletle gráf fokszámeloszlása, stb.). Mi lesz a biomiális eloszlás geerátorfüggvéye? P(X = k) = p k = ( N k )pk (1 p) N k, G X(z) = N k=0 N ( N k )pk (1 p) N k z k = ( N k )(pz)k (1 p) N k = k=0 (pz + 1 p) N = (1 p(1 z)) N. Beroulli problémája Biomiális eloszlás I. Várható érték Biomiális eloszlás II.

Példák Példa Korábba láttuk, hogy a biomális eloszlást agy N-ek eseté Poisso eloszlással szoktuk közelítei. Mi lesz a Poisso eloszlás geerátorfüggvéye? Poisso eloszlás I. Poisso eloszlás II.

Példák Példa Korábba láttuk, hogy a biomális eloszlást agy N-ek eseté Poisso eloszlással szoktuk közelítei. Mi lesz a Poisso eloszlás geerátorfüggvéye? P(X = k) = p k = λk e λ G X(z) = k=0 = e λ(z 1). k! λ k e λ z k (λz) k e λ = k! k! k=0 = e λ e λz (λz) k e λz k=0 k! 1 Poisso eloszlás I. Poisso eloszlás II.

Összeg geerátorfüggvéye Ha X és Y függetle, akkor mikét lehet a Z = X + Y változó geerátorfüggvéyét kifejezi a X és Y geerátorfüggvéyeivel? Összeg eloszlása

Összeg geerátorfüggvéye Ha X és Y függetle, akkor mikét lehet a Z = X + Y változó geerátorfüggvéyét kifejezi a X és Y geerátorfüggvéyeivel? p (Z) k = i G Z(z) = k G Z(z) = i p (X) i p (Y) k i, p (Z) k p (X) i z k = k z i j i p (X) i p (Y) k i zk = p (Y) j z j = G X(z)G Y(z). k i p (X) i p (Y) k i zi z k i = Összeg eloszlása

Összeg geerátorfüggvéye Ha X és Y függetle, akkor mikét lehet a Z = X + Y változó geerátorfüggvéyét kifejezi a X és Y geerátorfüggvéyeivel? p (Z) k = i G Z(z) = k G Z(z) = i p (X) i p (Y) k i, p (Z) k p (X) i z k = k z i j i p (X) i p (Y) k i zk = p (Y) j z j = G X(z)G Y(z). k i p (X) i p (Y) k i zi z k i = Összeg geerátorfüggvéye Ha X 1, X 2,..., X függetle valószíűségi változók és Y = X 1 + X 2 + + X, akkor Y geerátorfüggvéye: G Y(z) = G X1 +X 2 + +X (z) = z X 1+X 2 + +X = z X 1 z X 2 z X = z X 1 z X 2 z X = G X1 (z)g X2 (z) G X (z). Összeg eloszlása

Több dimeziós eset több dimezióba Defiíció: Ha a X valószíűségi változó kompoesei em egatív egész számokat vehetek fel, a P( X = k) = P(X 1 = k 1, X 2 = k 2,..., X = k ) = p k1,k 2,...,k eloszlással, akkor a hozzá tartozó geerátorfüggvéy: G X( z) = G X(z 1, z 2,..., z ) = k 1 =0 k 2 =0 k =0 p k1,k 2,...,k z k 1 1 zk 2 2 zk.

Több dimeziós eset és G( z) Az i-edik kompoes várható értéke: X i = k 1 =0 k 2 =0 k =0 A magasabb mometumok és a : (X i) r = k 1 =0 k 2 =0 k =0 k ip k1,k 2,...,k = G( z). z i z=1 k r i p k1,k 2,...,k = [z i ] z i r G( z), z=1 σ 2 (X i) = X 2 i X i 2 2 = [z i ] G( z) [ G( z) z i z=1 2 G( z) + G( z) [ G( z) 2 ] z 2 i z z=1 i z=1 z i z=1 z i z=1 2 ] =

Ez az alfejezet semmilye formába em kerül számokérésre... De egy érdekes példát mutat geerátorfüggvéyek alkalmazására.

Összefüggő kompoes egy : olya rész hálózat, melybe a kapcsolatoko (éleke) keresztül eljuthatuk akármelyik csomópotból (csúcsból) akármelyik másik csomópotba. Óriás kompoes: amiek s 1 mérete a teljes redszerméret, N mellett sem elhayagolható, s 1 > 0 akkor is, ha N. N Óriás kompoes jeleléte vagy hiáya drasztikusa megváltoztatja a hálózat viselkedését. Mikor jeleik meg/tűik el az óriás kompoes? PERKOLÁCIÓ

Perkoláció szabályos rácso Perkoláció szabályos rácso egy rácspot (vagy él) betöltött p valószíűséggel, a kritikus p c-él megjeleik a perkoláló klaszter. s S= 1 N (Barabási A.-L. fóliáiról)

Pl. a véletle csúcs (vagy él) meghibásodások felfoghatók úgy, mit egy iverz perkolációs folyamat. (Barabási A.-L. fóliáiról)

Célkitűzés Hol va a perkoláció kritikus potja egy véletle? Feltevéseik: ismerjük a fokszámeloszlást: p(k) = P( egy v.v. csúcsak k kapcsolata va ), a kritikus potot a széttöredezett fázis felől közelítjük: a hálózat még elég ritka és elég véletle ahhoz, hogy lokálisa fa szerű legye.

Perkoláció és geerátorfüggvéyek Bevezetük éháy diszkrét eloszlást: p(k) k p(k) = P(v.v csúcsak k éle va ). (Ezt hívják fokszámeloszlásak). I(k) S=k I(k) = P(v.v. csúcs egy k méretű kompoesbe va). H(k) S=k Σ S=k H(k) = P(v.v. él egyik végé egy k méretű kompoes va). H (k) m m H m(k) = P(v.v. m darab élek egyik végei található kompoesek összmérete k).

Perkoláció és geerátorfüggvéyek Alapötlet: I(k) = p(0)h 0 (k 1) + p(1)h 1 (k 1) + p(2)h 2 (k 1) +... +p(m)h m(k 1) +... = p(m)h m(k 1) m=0 Vesszük midkét oldal geerátorfüggvéyét: G I (x) = = p(m)h m(k 1)x k = k=0 m=0 1 d k 1 p(m) k=0 m=0 (k 1)! dx k 1 G x H,m(x) x=0 k

Perkoláció és geerátorfüggvéyek A G H,m(x) kifejezhető G H(x)-el: S=k Σ S=k G H,m (x) = [G H (x)] m H(k) G I (x) = = m H (k) m 1 d k 1 p(m) k=0 m=0 (k 1)! dx k 1 G x H,m(x) x=0 k 1 d k 1 p(m) k=0 m=0 (k 1)! dx k 1 [G H(x)] m x x=0 k p(m) [G H (x)] m x = xg(g H (x)), m=0 ahol G(x) a p(k) fokszámeloszlás geerátorfüggvéye.

Perkoláció és geerátorfüggvéyek I(k) = P(v.v csúcs egy k méretű kompoesbe va). Egy v.v csúcs kompoeséek várható mérete: S = G I(1) = [xg(g H (x)] x=1 = G(G I (1)) + G (1)G H(1) = = 1 + k G H(1), ahol G (1) = k a fokszám várható értéke. Hogya lehete G H(1)-et meghatározi?

Perkoláció és geerátorfüggvéyek G H(1) meghatározásához egy újabb eloszlást kell bevezetük: q(k) Ötlet: } k q(k) = P(v.v él egyik végé k további élekre lehet tovább mei). H(k) = q(0)h 0 (k 1) + q(1)h 1 (k 1) + q(2)h 2 (k 1) +... +q(m)h m(k 1) +... = q(m)h m(k 1) m=0 Megit vesszük midkét oldal geerátorfüggvéyét.

Perkoláció és geerátorfüggvéyek G H (x) = = = = q(m)h m(k 1)x k = k=0 m=0 1 d k 1 q(m) k=0 m=0 (k 1)! dx k 1 G x H,m(x) x=0 k 1 d k 1 q(m) k=0 m=0 (k 1)! dx k 1 [G H(x)] m x x=0 k q(m) [G H (x)] m x = xg q(g H (x)) m=0 G H(1) = G q(g H (1)) + G q(1)g H(1) = 1 + G q(1)g H(1) G H(1) = 1 1 G q(1)

Perkoláció és geerátorfüggvéyek Visszahelyettesítve: A kritikus pot: S = 1 + k G H(1) = 1 + G q(1) = 1 k 1 G q(1) A G q(x)-t ki tudjuk fejezi a fokszámeloszlás segítségével: q(k) = P(v.v él egyik végé k + 1 fokszámú csúcs), kn k kp(k) P(él végé k fokszámú csúcs) = k k = N k k k p(k ) = q(k) = k + 1 p(k + 1) k = kp(k) k G q(x) = 1 (k + 1)p(k + 1)x k = 1 lp(l)x l 1 = G (x) k k=0 k l=1 k

Perkoláció és geerátorfüggvéyek A G q(1) a másodszomszédok számáak várható értékével áll agyo szoros kapcsolatba. Bevezetjük: q m(k) k q m(k) = P(m darab v.v. élek egyik végei összese k további élekre lehet továbbmei). m 2(k) = P(egy v.v. csúcs másodszomszédaiak száma k). 2(k) = p(0)q 0(k) + p(1)q 1(k) + p(2)q 2(k) +... +p(m)q m(k) +... = p(m)q m(k) m=0 (Megit vesszük midkét oldal geerátorfüggvéyét).

Perkoláció és geerátorfüggvéyek G,2 (x) = = = = p(m)q m(k)x k = k=0 m=0 p(m) 1 d k k=0 m=0 k! dx k Gm,q(x) x k = x=0 p(m) 1 d k k=0 m=0 k! dx k [Gq(x)]m x x=0 k = p(m) [G q(x)] m = G(G q(x)) m=0 z 2 = 2 = G,2 (1) = G (1)G q(1) = k G q(1) G q(1) = z 2 k = z 2 z 1

Perkoláció és geerátorfüggvéyek A perkoláció kritikus potja Ez alapjá a kompoesméret várható értéke S = 1 + k 1 G q(1) = 1 + k 1 z 2 / k = = 1 + k 2 k z 2 = 1 + z 2 1 z 1 z 2 Ez a következőket jeleti: z 1 > z 2 pici, izolált klaszterek z 1 = z 2 KRITIKUS PONT! z 1 < z 2 óriás kompoes

Perkoláció és geerátorfüggvéyek Perkoláció az Erdős Réyi modellbe Mit kapuk pl. Erdős Réyi féle véletle gráfra? A fokszámeloszlás biomiális, ami jól közelíthető Poisso-eloszlással: p(k) = ( N k )pk (1 p) N k k k k! e k, G(x) = e k (z 1) G q(x) = G (x) k = e k (z 1) = G(x), azaz a kritikus potra, azt kapjuk, hogy G q(1) = G (1) = k = 1. (Ez egy híres eredméy, ami teljes precizitással, az általuk haszált közelítő feltevések élkül is bebizoyítható).

Perkoláció és geerátorfüggvéyek