INFORMATIKAI KAR. Simon Péter - Weisz Ferenc. Válogatott fejezetek az anaĺızisből a szimuláció matematikai alapjai

EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Simon Péter - Weisz Ferenc Válogatott fejezetek az anaĺızisből a szimuláció matematikai alapjai Budapest, 27

A jegyzet a 27. évi ELTE IK Jegyzettámogatási pályázat és a GVOP-3.2.2.-24-7-5/3. számú ELTE IKKK támogatásával készült pályázat

EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Simon Péter - Weisz Ferenc VÁLOGATOTT FEJEZETEK AZ ANALÍZISBŐL jegyzet BUDAPEST, 27

Tartalom. Előszó... 2. Borel-mértékek... 3.. Bevezetés... 3.2. Borel-mértékek regularitása... 3.3. Reguláris konvergencia... 7 2. Differenciálhatóság... 9 3. Abszolút folytonosság... 2 4. Maximálfüggvények... 37 5. Interpoláció... 59 6. Calderon-Zygmund-felbontás... 65 7. Duális terek... 69

. Előszó Ez a jegyzet egy válogatást tartalmaz az analízis azon fejezeteiből, amelyek az alkalmazott matematikus szak, ill. a programtervező matematikus (informatikus) szak speciálelőadásainak egy részét képezik. Az itt tárgyalt eredmények kiindulópontja a Borel-mértékek differenciálhatósága. Ennek alapján aztán a valós függvénytan néhány alapvető fontosságú tétele kerül sorra, mint pl. monoton függvények majdnem mindenütt való differenciálhatósága, az abszolút folytonosság és a differenciálhatóság kapcsolata, integráltételek, stb. A Hardy-Littlewood-féle maximálfüggvények korlátossági tulajdonságai kapcsán szóba kerül operátor-sorozatok konvergencia-tulajdonságainak és a sorozat maximáloperátorának a kapcsolata. Ez is indokolja, hogy röviden tárgyaljuk operátorok interpolációs tulajdonságait, ill. integrálható függvények tereinek duálisait. Az idevágó bizonyítási technikák közül röviden érintjük az ún. Calderon-Zygmund-féle felbontást. A számos megjegyzésben szó van olyan területekről is, mint pl. a Fourier-sorokkal kapcsolatos néhány konvergencia-tétel vagy a martingálok. A tárgyalás során a szokásos bevezető analízis előadások anyagának az ismeretén túl feltételezzük, hogy az Olvasó elsajátította már a mérték- és integrálelmélet alapjait. Ez utóbbival kapcsolatban mind tartalmilag, terminológiailag, mind pedig a jelölések vonatkozásában támaszkodunk a Simon Péter által írt Analízis V. című egyetemi jegyzet (ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, 996) első három fejezetére. A témakör iránt érdeklődőknek néhány további, az alábbiakban felsorolt művet ajánlunk: H. Bauer, Measure and integration theory, (translated from the German by Robert B. Burckel), de Gruyter Studies in Mathematics, 26, Walter de Gruyter, Berlin, 2. J. Elstrodt, Maß- und Integrationstheorie, Springer-Lehrbuch, 27. E. Hewitt-K. Stromberg, Real and abstract analysis, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 975. Járai Antal, Mérték és integrál, felsőoktatási tankönyv, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 22. Laczkovich Miklós, Valós függvénytan, egyetemi jegyzet, ELTE, Budapest, 995. E.M. Stein - R. Shakarchi, Real Analysis: Measure Theory, Integration and Hilbert spaces, Princeton Lectures in Analysis, Princeton University Press, 25. Szőkefalvi-Nagy Béla, Valós függvények és függvénysorok, Tankönyvkiadó, Budapest, 965. A. C. Zaanen, Continuity, Integration and Fourier Theory, Springer-Verlag, Berlin- Heidelberg-New York-London-Paris-Tokyo, 989. 2

. Borel-mértékek.. Bevezetés. Az elemi analízisben tanultak szerint, ha I R egy (nem elfajuló) intervallum, f : I R pedig egy folytonos függvény, akkor bármely a I esetén a klasszikus Riemann-integrál révén az F(x) := x a f(t)dt (x I) utasítással értelmezett integrálfüggvény differenciálható és F = f. Az is jól ismert, hogy itt az f folytonossága lényeges, mert pl. az I := R, a :=, (x < ) f(x) := (x ) választással f nem folytonos (-ban) és (x < ) F(x) :=, x (x ) azaz az F integrálfüggvény nem differenciálható -ban. Világos ugyanakkor, hogy minden x R mellett F D{x} és F (x) = f(x). Legyen most I := [a, b] egy kompakt intervallum, f : [a, b] R pedig Lebesgueintegrálható. Értelmezzük a fentiekkel analóg módon F-et: x F(x) := f dλ := f dλ (x [a, b]), a ahol λ jelöli az R számegyenesen a Lebesgue-mértéket. Ekkor bármely x, y [a, b], x < y esetén F(y) F(x) y x [a,x] = µ f([x, y]) λ([x, y]), hacsak µ f az f, mint súlyfüggvény által meghatározott mértéket jelenti: µ f (A) := A f dλ (A [a, b], A Borel-mérhető). Általában, ha (X, Ω, µ) egy mértéktér, f : X R pedig egy olyan (Ω-)mérhető függvény, amelynek létezik a µ mérték szerinti integrálja, akkor valamely A Ω halmaz esetén A fdµ jelöli az f függvény A-n vett integrálját (azaz az fχ A függvény integrálját). Az A := X esetben egyszerűen fdµ-t írunk. Esetenként használni fogjuk az A f(x)dµ(x) vagy f(x)dµ(x) (vagy, ha nem okoz félreértést az A f(x)dx, ill, f(x)dx) jelölést is. Az L p (X) (esetleg L p (µ) vagy időnként egyszerűen csak L p, p + ) szimbólum a szokásos Lp -teret fogja jelenteni a µ mértékre vonatkozóan..2. Borel-mértékek regularitása. A továbbiakban < N N mindig egy rögzített természetes számot jelent, B-vel az R N -beli Borel-mérhető halmazok szigma-algebráját fogjuk jelölni. Emlékeztetünk arra, hogy B = σ (T ) = σ (K) = σ (C), ahol 3

T := {A P(R N ) : A nyílt}, K := {A P(R N ) : A kompakt}, C := {A P(R N ) : A zárt} és σ (X) jelenti az X P(R N ) halmazrendszert lefedő A P(R N ) σ-algebrák metszetét. Ha x R N, r >, akkor az x vektor r sugarú (euklideszi) környezete. K r (x) := {y R N : x y 2 < r} Tekintsünk egy µ : B [, + ] mértéket, amelyről feltesszük, hogy bármely kompakt K B esetén µ(k) < +. Legyen µ : P(R N ) [, + ] a következő leképezés: µ (A) := inf {µ(g) : G T, A G} (A P(R N )). Nem nehéz belátni, hogy µ külső mérték. Az is eléggé nyilvánvaló, hogy bármely A T halmazra µ (A) = µ(a). Legyen Ω a µ -mérhető A P(R N ) halmazok halmazrendszere, azaz A Ω akkor és csak akkor igaz, ha µ (B) µ (B A) + µ (B \ A) (B P(R N )). Legyen továbbá µ : Ω [, + ] a µ leszűkítése Ω-ra. Ekkor a Caratheodory-tétel miatt Ω σ-algebra, µ pedig (teljes) mérték. Mutassuk meg, hogy T Ω. Ehhez elég belátni azt, hogy ( ) µ(a) µ(a B) + µ (A \ B) (A, B T, µ(a) < + ). Valóban, feltételezve, hogy ( ) igaz, legyen B T és bizonyítsuk be, hogy µ (T) µ (T B) + µ (T \ B) (T P(R N )). Nyilván feltehető, hogy µ (T) < +. Ekkor viszont bármely ε > számhoz van olyan G T, hogy T G és µ(g) < µ (T) + ε. Ezért (a ( ) feltételt a G halmazra alkalmazva) µ (T) + ε µ(g B) + µ (G \ B) = µ (G B) + µ (G \ B) µ (T B) + µ (T \ B). (Felhasználtuk, hogy T B G B és T \ B G \ B, ill. azt, hogy µ monoton.) Mivel itt ε > tetszőleges volt, ezért µ (T) µ (T B) + µ (T \ B)-nek is teljesülnie kell, azaz B valóban µ -mérhető. Most lássuk be azt, hogy ( ) igaz. Vegyünk ehhez kompakt K n R N, K n K n+ (n N) halmazokat úgy, hogy a ( )-beli B halmazra B = n= K n. Ekkor (mivel µ mérték) bármely A T, µ(a) < + mellett ( ) µ(a) = µ(a B) + µ(a \ B) = µ(a B) + µ (A \ K n ). 4 n=

De µ(a\k n ) µ(a) < + és A\K n+ A\K n (n N), ezért a µ mérték folytonossága alapján µ ( n= (A \ K n)) = lim(µ(a \ K n )), azaz µ(a) = µ(a B) + lim(µ(a \ K n )) = µ(a B) + lim(µ (A \ K n )) µ(a B) + µ (A \ B) (hiszen A \ K n T, tehát µ(a \ K n ) = µ (A \ K n ) µ (A \ B) µ (A \ K n ) (n N).) (n N) és A \ B A \ K n miatt A most belátott T Ω reláció miatt B Ω is teljesül. Ha A B kompakt halmaz, akkor van olyan B T, amelyre A B és B kompakt. Így µ(a) µ(b) = µ (B) = µ(b) µ(b) < +. Innen rögtön adódik, hogy µ, µ mindegyike σ-véges, ui. alkalmas K n R N (n N) kompakt halmazokkal R N = n= K n. Bizonyítsuk be, hogy bármely B-beli A halmazra µ(a) = µ(a). Az előbbi σ-végesség, ill. a mértékek kiterjesztésének az egyértelműségére vonatkozó tétel miatt ehhez elég azt belátni, hogy tetszőleges balról zárt és jobbról nyílt I R N intervallumra µ(i) = µ(i). Ez viszont következik abból, hogy ha (I n ) : N T nyílt intervallumoknak egy olyan sorozata, amelyre I n+ I n (n N) és I = n= I n, akkor µ(i) = lim( µ(i n )) = lim(µ(i n )) = µ(i). A fentiek alapján már nem nehéz igazolni a µ mérték alábbi regularitási tulajdonságát:.. Tétel. ( ) µ(a) = inf{µ(g) : G T, A G} = sup{µ(c) : C K, C A} (A B). Bizonyítás. Legyen A B, akkor µ(a) = µ(a) = µ (A) = inf {µ(g) : G T, A G}. Így a ( )-beli infimummal megfogalmazott külső regularitás nyilvánvaló. A ( )-beli szuprémummal kifejezett belső regularitás bizonyításához tegyük fel először, hogy az A B halmaz korlátos és G = K r (x) (x R N, r > ) olyan nyílt gömb, amelyre A G. Ekkor µ(a) µ(g) < + és a G\A halmazra alkalmazva a már belátott külső regularitást azt kapjuk, hogy µ(g) µ(a) = µ(g \ A) = inf{µ(b) : B T, G \ A B} = inf{µ(b) : B T, G \ A B G} = inf{µ(g \ C) : C C, C A} = inf{µ(g) µ(c) : C C, C A} = µ(g) sup{µ(c) : C C, C A}. 5

Az itt szereplő zárt C, C A halmazok ugyanazok, mint a C A feltételnek eleget tevő kompakt halmazok, hiszen A korlátos. Ezért a belső regularitást korlátos A halmazokra beláttuk. Innen nem korlátos A B esetén már standard módszerrel adódik a belső regularitás. Ui. nyilván A = (A K n+ ()) =: A n, n= ahol A n B, A n korlátos, A n A n+ n= (n N). Utóbbi miatt µ(a) = lim(µ(a n )) = sup (µ(a n )). Ha µ(a) = +, akkor bármely < q R esetén alkalmas N n-nel µ(a n ) > q. Viszont tudjuk már, hogy van olyan C K, amellyel C A n és µ(c) > q. Itt C A, ezért sup{µ(c) : C K, C A} = +. A µ(a) < + esetben tetszőleges ε > számhoz megadható olyan n N, hogy µ(a) ε < µ(a n ) µ(a), ill. van olyan C K, C A n, amellyel Tehát sup{µ(c) : C K, C A} = µ(a). µ(a) ε < µ(c)( µ(a n ) µ(a)). A µ : B [, + ] mértéket Borel-mértéknek nevezzük, ha tetszőleges kompakt K B halmazra µ(k) < +. Tehát minden Borel-mérték a fenti értelemben reguláris is. Világos, hogy az előbbiek értelemszerű módosításával analóg módon kapjuk a µ mérték regularitását is: µ(a) = inf{µ(g) : G T, A G} = sup{µ(c) : C K, C A} (A Ω). Legyen valamely Z R N halmazra µ (Z) := sup{µ(c) : C K, C Z} (a Z halmaz belső mértéke). Nyilván µ (Z) µ (Z), hiszen C K, G T, C Z G esetén µ(c) µ(g), azaz (pl.) µ (Z) µ(g), így egyúttal µ (Z) µ (Z) is teljesül. Tehát µ (A) = µ (A) = µ(a) (A Ω). Nem nehéz belátni, hogy ez utóbbinak (némi megszorítással) a megfordítása is igaz:.2. Tétel. Ha A R N és µ (A) = µ (A) < +, akkor A Ω. Bizonyítás. Legyen < n N, akkor megadhatók olyan B n K, A n T halmazok, amelyekre B n A A n és (az α := µ (A) = µ (A) jelölést használva) α n < µ(b n) α µ(a n ) < α + n 6

igaz. Mivel Bn := n k= B k K, Ã n := n k= A k T és nyilván B n A, A Ãn, µ(b n ) µ( B n ) α, µ(a n ) µ(ãn) α, ezért (B n -et B n -re, A n -et Ãn-re cserélve) az is feltehető a fentiekben, hogy B n B n+, A n+ A n ( < n N). Legyen U := n= B n, V := n= A n. Ekkor U, V Ω, U A V és µ(u) = µ(u) = lim(µ(b n )) = α = lim(µ(a n )) = µ(v ) = µ(v ). Tehát µ(v \ U) = µ(v ) µ(u) =. Mivel a µ mérték teljes, ezért bármely Z V \ U halmazra Z Ω teljesül. Így A = (A \ U) U Ω, ui. A \ U V \ U. Legyen Ω az R N -beli Lebesgue-mérhető halmazok szigma-algebrája, λ pedig az R N - beli Lebesgue-mérték: λ : Ω [, + ]. Világos, hogy a λ mérték B-re való λ B leszűkítése is egy Borel-mérték, így λ B reguláris. Nem nehéz továbbá belátni, hogy ha a fentiekben µ helyébe a most mondott λ B leszűkítést írjuk, akkor µ a Lebesgue-féle kvázimérték által meghatározott külső mértékkel (röviden a λ Lebesgue-féle külső mértékkel) esik egybe: { } µ (A) = λ (A) = inf λ(a n ) : A n I N (n N), A A n n= (inf := + ), ahol I N P(R N ) az ún. elemi halmazok gyűrűje, azaz I N minden eleme véges sok, páronként diszjunkt, balról zárt és jobbról nyílt R N -beli intervallum egyesítése. Következésképpen ekkor Ω = Ω és µ = λ, tehát λ is reguláris. Ezért pl. valamely A R N halmaz pontosan akkor nulla mértékű Lebesgue-mérhető halmaz, ha bármely ε > számhoz van olyan T T, amellyel A T és λ(t) < ε..3. Reguláris konvergencia. Az E n B (n N) halmazsorozatról akkor mondjuk, hogy regulárisan tart x-hez (valamely x R N esetén), ha van pozitív számoknak egy{ olyan r n (n N) } sorozata, amelyre lim(r n ) =, E n K rn (x) (n N) és λ(en ) inf λ (K rn (x)) : n N >. Mindezt a következőképpen fogjuk jelölni: (E n ) x. Nem nehéz meggondolni, hogy a reguláris konvergencia definíciójában a K rn (x) (n N) gömbsorozat helyettesíthető olyan K rn (x n ) (n N, x n R N ) gömbsorozattal, { amelyre x K rn }(x n ) (n N) és lim(r n ) =, E n K rn (x n ) (n N), λ(en ) inf λ (K rn (x n )) : n N >. Világos, hogy{ a λ mérték monotonitása } miatt a fenti definícióban λ(e n ) λ (K rn (x)) λ(en ) (n N), azaz sup λ (K rn (x)) : n N. Tehát (E n ) x akkor és csak akkor igaz, ha 7 n=

van olyan, a fenti definícióban jelzett (r n ) és (E n ) sorozat, hogy alkalmas c > konstanssal cλ (K rn (x)) λ(e n ) λ (K rn (x)) (n N). Például az N := esetben legyen x R, E n nem elfajuló korlátos intervallum, x E n (n N) és tegyük fel, hogy lim( E n ) = (ahol E n := λ(e n ) (n N)). Ekkor (E n ) x. Ui. az r n := 2 sup{ x y : y E n } (n N) jelöléssel E n K rn (x) = (x r n, x + r n ), < r n 2 E n (n N), azaz lim(r n ) =. Továbbá K rn (x) = 4r n 8 E n (n N), ezért E n K rn (x) E n 8 E n 8. Második példaként tekintsük az N := 2 esetet, ill. az E n := I n J n (n N) téglalapokat, ahol I n, J n R (n N) nem elfajuló (korlátos) intervallumok. Tegyük fel, hogy x R 2 és x E n (n N). Ekkor (E n ) x pontosan akkor igaz, ha { } { } lim( I n J n ) = és < inf In J n : n N sup In J n : n N < +. Ha ui. (E n ) x, akkor egyrészt alkalmas < r n R (n N), lim(r n ) = sorozattal I n J n = E n K rn (x) (n ). Másrészt legyen a n := min{ I n, J n }, b n := max{ I n, J n } ( 2r n ), s n := a n λ(e ( ) és s := inf{ n ) : n N} (> ). bn λ(k rn (x)) Ekkor s = a nb n πrn 2 = s ( ) 2 n bn 4 π r n π s n, tehát s n π 4s (n N). Fordítva, ha a fenti ekvivalencia jobb oldala igaz, akkor az r n := ( + ) a n + 2 n + b 2 n (n N) jelöléssel lim(r n ) = (hiszen lim( I n ) = lim( J n ) = ), E n K rn (x) és λ(e n ) λ(k rn (x)) = a n b n ( + ) 2 π(a 2 n + b 2 n + n) = ( + ) 2 π n + a n + b n b n a n 4π + s (n N). Nyilvánvaló, hogy bármely x R N és bármely < r n R (n N), lim(r n ) = esetén (K rn (x)) x. 8

Végül, negatív példaként legyen ( N := 2, E n := ) ( ) n +, n + (n + ) 2, (n + ) 2 (n N). Ekkor könnyen ellenőrizhető módon az (E n ) sorozat nem tart regulárisan x-hez. 2. Differenciálhatóság Legyen µ Borel-mérték. Azt fogjuk mondani, hogy ( µ differenciálható ) az x R N µ(en ) pontban, ha bármely (E n ), (E n ) x sorozat esetén a számsorozatnak van λ(e n ) véges határértéke. ( ) µ(en ) Világos, hogy a fenti lim határérték nem függ az (E λ(e n ) n ) sorozattól, ezért van értelme az alábbi definíciónak: µ (x) := lim ( µ(en ) λ(e n ) A későbbiek érdekében előrebocsátunk egy (önmagában is érdekes) segédtételt. 2.. Lemma (Vitali). Legyen J egy tetszőleges (index)halmaz, U j := K rj (x j ) (alkalmas x j R N, < r j R (j J ) választással) és tekintsük az U := j J U j halmazt. Ekkor tetszőleges c R, c < λ(u) számhoz van olyan véges J J halmaz, amellyel az alábbiak igazak: U j U k = (j, k J, j k) és ). j J λ(u j ) > c3 N. Bizonyítás. A λ mérték regularitási tulajdonsága miatt bármely c < λ(u) számhoz van olyan K U kompakt halmaz, hogy λ(u) λ(k) > c. Mivel az {U j : j J } halmazrendszer egy nyílt lefedése K-nak, ezért létezik olyan véges J J halmaz, amellyel K j J U j. Legyen j J olyan index, amelyre Ha r j = max{r j : j J }. J 2 := {j J : U j U j = } és j J \ J 2 (azaz U j U j ), akkor egyszerű geometriai megfontolás alapján nyilván ( ) igaz, hogy U j K 3rj (x j ) =: Ũj. Ezért K Ũj j J 2 U j. Ha itt J 2, akkor legyen j 2 J 2 olyan, hogy r j2 = max{r j : j J 2 } 9

és J 3 := {j J 2 : U j U j2 = }. ( ) Mivel K Ũj Ũj2 j J 3 U j (ahol értelemszerűen Ũj 2 := K 3rj2 (x j2 )), ezért a fenti eljárást folytatva véges sok lépés után kapunk egy n N természetes számot úgy, hogy alkalmas j,..., j n J indexekkel K n j= Ũj i. Innen c < λ(k) n λ(ũj i ) = 3 N i= n i= λ(u ji ), azaz a J := {j,..., j n } választás eleget tesz a 2.. Lemma kívánalmainak. 2.. Megjegyzések. i) Felhasználtuk, hogy bármely A B, < r R, x R N esetén A r := {ra : a A} B, A + x := {x + a : a A} B és λ(a r ) = r N λ(a), λ(a + x) = λ(a). Tehát λ(ũj) = 3 N λ(u j ) (j J ). ii) Ha Γ(x) := + t x e t dt ( < x R) az ún. gamma-függvény, akkor λ(k r (x)) = r N π N/2 Γ( + N/2) (x R N, r > ). iii) Az N = esetben a Vitali-lemma alábbi finomítása is igaz: tetszőleges c < λ(u) mellett a lemmabeli J úgy is megválasztható, hogy j J λ(u j ) > c/2. Ui. a 2.. Lemma előbbi bizonyításában nyilván feltehető, hogy J = {, 2,..., N} (alkalmas N N számmal) és minden i J esetén U i nem részhalmaza az i =j J U j halmaznak. Az is feltehető továbbá, hogy ha U j = (a j, b j ) (j J ), akkor a < a 2 <... Innen könnyen adódik viszont, hogy a szóbanforgó j indexekre b j+ > b j és a j+ > b j is igaz. Ebből meg egyszerűen levezethető, hogy a páros j J indexű U j halmazok páronként diszjunktak és ugyanez igaz a páratlan indexű U j -kre is. Ezért c < λ j U j λ U j + λ j,2 j j,2 (j+) U j = λ(u j ) + j,2 j j,2 (j+) λ(u j ) =: + 2, ahol max{, 2 } > c/2. Így J -nak választható a J -beli páros indexek vagy a páratlan indexek halmaza.

iv) Ha a Vitali-lemmában a J halmaz véges, akkor a bizonyítást K helyett U-val elmondva azt kapjuk, hogy j J λ(u j ) λ(u)/3 N. v) Az előbbihez hasonlóan, ha iii)-ban J véges, akkor ott j J λ(u j ) λ(u)/2 adódik. vi) Az v) megjegyzésben szereplő /2 szorzó optimális is, ui., ha valamilyen α > mellett v)-ben j J λ(u j ) αλ(u) írható, akkor az U := (, ), U := (, ), U 2 := ( δ, ) ( < δ < ) esetben U = U U 2. Mivel U U 2, ezért J -elemű. Továbbá λ(u 2 ) > λ(u ), ezért λ(u 2 ) = + δ αλ(u) = 2α, azaz α ( + δ)/2 minden < δ < esetén fenn kell, hogy álljon. Következésképpen α /2. 2.. Tétel. Legyen µ : B [, + ] tetszőleges Borel-mérték és A B, µ(a) =. Ekkor van olyan B A, λ(b) =, hogy µ minden x A \ B pontban differenciálható és µ (x) =. Bizonyítás. Ha x R N és (E n ) x, akkor alkalmas < r n R lim(r n ) = sorozattal és < p R számmal Ezért E n K rn (x), λ(e n ) λ(k rn (x)) p µ(e n) λ(e n ) µ(k r n λ(k rn (x)) λ(k r n (x)) λ(e n ) (n N). p µ(k r n (x)) λ(k rn (x)). (n N), Megmutatjuk, hogy alkalmas, a tételben jelzett B halmazzal µ(k r n (x)) (n ) λ(k rn (x)) minden x A \ B esetén. Legyen ehhez és Φ x (r) := µ(k r(x)) λ(k r (x)) ϕ(x) := lim sup Φ x (r) r ( < r < +, x R N ) ( ( )) = lim sup Φ x (r) ρ <r<ρ Ekkor ϕ : R N [, + ]. Ha valamilyen R N x-re ϕ(x) =, akkor lim r Φ x (r) =, azaz (bármely R r n > (n N), lim(r n ) = sorozatra) lim n Φ x (r n ) =. Elegendő tehát azt belátni, hogy λ ({ϕ > } A) =, ekkor ui. B := {ϕ > } A megfelelő. Mivel B = <q Q {ϕ > q} A, ezért azt fogjuk megmutatni, hogy minden < q R számra λ(a q ) =, ahol A q := {ϕ > q} A. Ui. µ(a) =, azaz µ regularitása miatt bármely ε > mellett van olyan G R N, amelyre a következők igazak: G nyílt, A G, µ(g) < ε. Ha x A q, akkor x A és ϕ(x) > q, azaz valamilyen r x > számmal Φ x (r x ) = µ(k r x (x)) λ(k rx (x)) > q.

és K rx (x) G. Legyen U := x A q K rx (x), ekkor A q U G. A Vitali-lemma miatt minden c < λ(u) esetén van olyan n N és x,..., x n A q, hogy K rxj (x j ) K rxl (x l ) = (j l =,..., n) és n λ(k rxj (x j )) > c3 N. Tehát azt mondhatjuk, hogy c < 3 N n j= 3 N q µ j= ( ) λ K rxj (x j ) < 3N q n j= ( ) µ K rxj (x j ) = n K rxj (x j ) 3N q µ(g) < 3N q ε, j= amiből λ(u) 3 N q ε következik. Így λ (A q ) = (ahol λ jelöli a Lebesgue-féle külső mértéket), ezért A q Lebesgue-mérhető és λ(a q ) =. 2.. Következmény. Bármely, a λ-ra nézve szinguláris µ : B [, + ] Borelmértékre igaz, hogy µ (x) = (λ-m.m. x R N ). Valóban, a szingularitási feltétel miatt van olyan A B, hogy µ(a) = λ(r N \A) =. Az előző tétel alapján egy alkalmas B A halmazzal λ(b) =, µ (x) = (x A \ B). De λ ( B (R N \ A) ) =, ill. µ (x) = ( x R N \ ( B (R N \ A) )). 2.2. Tétel. Tegyük fel, hogy az f : R N [, + ) függvény λ-szerint lokálisan integrálható (azaz bármely kompakt K R N halmazra K fdλ < + ) és létezik az fdλ integrál. Legyen λ f (A) := A f dλ (A B). Ekkor λ f (x) = f(x) (λ-m.m. x RN ). Bizonyítás. Valamely < r R esetén legyen A r := {f r}, B r := {f < r}. Ekkor A r B r = és R N = A r B r. Vezessük be a µ r (H) := (f r) dλ (H B) H A r előírással definiált µ r (nyilván) Borel-mértéket. Ha H B és λ(h) < +, akkor λ f (H) = H Mivel H B r (f r) dλ, ezért (f r) dλ + rλ(h) = (f r) dλ + (f r) dλ + rλ(h). H A r H B r λ f (H) µ r (H) + rλ(h). 2

Továbbá µ r (B r ) = (f r) dλ =, B r A r ezért az előző tétel szerint µ r (x) = (x B r \ M r ), ahol M r B r, λ(m r ) = egy alkalmas halmaz. Legyen M := <r Q M r, ekkor λ(m) =. Ha x R N \M, f(x) < r Q, akkor x B r \M r, azaz µ r (x) =. Továbbá (E n) x esetén λ f (E n ) µ r (E n ) + rλ(e n ), így λ f (E n ) λ(e n ) µ r(e n ) λ(e n ) + r. ( ) ( ) µr (E Itt lim n ) = µ λ(e n ) r (x) =, amiből limsup λf (E n ) r következik. Mindezt egybevetve az előbbiekkel ( ) λ(e n ) λf (E n ) lim sup f(x) λ(e n ) ( ) ( ) λf (E adódik. Ha f(x) =, akkor limsup n ) λf (E =, azaz lim n ) =. Más szóval λ(e n ) λ(e n ) tehát λ f (x) = = f(x). Legyen most < r R, µ r (H) := H B r (r f) dλ (H B). Ekkor µ r is Borelmérték és H B, λ(h) < + esetén λ f (H) = (f r) dλ + rλ(h) = H (f r) dλ + (f r) dλ + rλ(h) rλ(h) µ r (H). H A r H B r (Figyelembe vettük, hogy H A r (f r) dλ.) Mivel µ r (A r ) = A r B r (r f) dλ =, ezért megadható olyan M r A r, λ( M r ) = halmaz, amellyel µ r(x) = (x A r \ M r ). Legyen M := <r Q M r, ekkor λ( M) =. Ha x R N \ M, f(x) >, < r Q, r f(x), akkor x A r \ M r, azaz µ r(x) =, ill. (E n ) x esetén λ f (E n ) rλ(e n ) µ r (E n ). Innen következik, ahol Ezért liminf lim ( ) λf (E n ) r, azaz λ(e n ) λ f (E n ) λ(e n ) r µ r(e n ) λ(e n ) ( ) µr (E n ) = µ λ(e n ) r(x) =. lim inf ( ) λf (E n ) f(x). λ(e n ) 3

Ha tehát x R N \ (M M), f(x) >, akkor a fentiek szerint lim inf más szóval λ f (x) = f(x). ( ) ( ) λf (E n ) λf (E n ) = limsup = f(x), λ(e n ) λ(e n ) 2.2. Következmény. Tegyük fel, hogy a µ : B [, + ] Borel-mérték abszolút folytonos λ-ra nézve, azaz alkalmas f függvénnyel µ = λ f. Ekkor µ (x) = f(x) (λ-m.m. x R N ). Indoklásként elegendő felidéznünk a Radon-Nikodym-tételt. Az itt megjelenő f függvényt a µ mérték Radon-Nikodym-deriváltjának is nevezik. 2.3. Következmény. Bármely µ : B [, + ] Borel-mérték λ-m.m. x R N helyen deriválható. Valóban, a Lebesgue-felbontás alapján µ = µ + µ 2 írható, ahol µ szinguláris, µ 2 pedig abszolút folytonos λ-ra nézve. Ha (E n ) x, akkor a 2.., 2.2. Következmények alapján λ-m.m. x R N esetén µ(e n ) λ(e n ) = µ (E n ) λ(e n ) + µ 2(E n ) λ(e n ) µ (x) + µ 2(x) = µ 2(x) (n ). 2.4. Következmény. Ha a µ : B [, + ] Borel-mértékre µ (x) = λ-m.m. x R N esetén igaz, akkor µ szinguláris a λ mértékre vonatkozóan. Ui. ismét az előbbi µ = µ + µ 2 Lebesgue-felbontást alkalmazva (µ szinguláris, µ 2 abszolút folytonos λ-ra) azt mondhatjuk (ld. 2.. Következmény), hogy µ (x) = (λ-m.m. x R N ), ill. (ld. 2.2. Következmény) µ 2 (x) = f(x) (λ-m.m. x RN ), ahol µ 2 = λ f. Mivel = µ (x) = µ (x) + µ 2 (x) (λ-m.m. x RN ), ezért µ 2 (x) = f(x) = (λ-m.m. x R N ). Innen µ 2 =, azaz µ = µ következik. Ha figyelembe vesszük a szinguláris mértékek deriválhatóságáról szóló korábbi állításunkat (ld. 2.. Következmény), akkor azt kapjuk, hogy tetszőleges µ : B R Borel-mérték esetén µ akkor és csak akkor szinguláris λ-ra nézve, ha µ (x) = (λ-m.m. x R N ). 2.5. Következmény (Lebesgue). Legyen f : R R monoton növő függvény. Ekkor f λ-m.m. x R pontban differenciálható. Ui. f meghatároz egy µ Lebesgue-Stieltjes-mértéket a B Borel-halmazok rendszerén. Tudjuk a fentiekből (ld. 2.3. Következmény), hogy µ λ-m.m. differenciálható. Ezért, továbbá az f monotonitása miatt van olyan A R, λ(a) = halmaz, hogy f C{x} és 4

µ differenciálható x-ben (x R \ A). Ugyanakkor bármely ilyen x R, x < x n R (n N), lim(x n ) = x esetén ([x, x n )) x és ([x, x n ]) x, ill. µ ([x, x n )) λ ([x, x n )) = f(x n ) f(x ) x n x = f(x n ) f(x) x n x f(x n) f(x) x n x Mivel µ ([x, x n )) λ ([x, x n )) µ (x) f(y) f(x) lim y x+ y x f(y) f(x) lim y x y x f(x n + ) f(x) x n x = µ ([x, x n]) λ ([x, x n ]) µ (x) (n ). (n ) is igaz, ezért mindez azt jelenti, hogy létezik a = µ (x) jobb oldali határérték. Ugyanígy kapjuk, hogy létezik a = µ (x) bal oldali határérték is, ami az állításunk igazolását jelenti. 2.6. Következmény (Lebesgue). Legyen [a, b] R kompakt intervallum, f, f L [a, b] Lebesgue-integrálható függvény, F(x) := x a fdλ (x [a, b]). Ekkor λ-m.m. x [a, b] helyen az F függvény differenciálható és F (x) = f(x). Valóban, ha (N = és) µ : B [, + ) jelenti az F által meghatározott Lebesgue- Stieltjes-mértéket, akkor minden x, y [a, b], x < y esetén y λ f ([x, y)) = fdλ = fdλ = F(y) F(x). [x,y) (Emlékeztetünk arra, hogy F folytonos.) Ezért (ld. a mértékek kiterjesztésének az egyértelműségét) λ f = µ. Viszont tudjuk már (ld. 2.2. Tétel), hogy λ f (x) = f(x) (λ-m.m. x [a, b]), azaz µ (x) = f(x) (λ-m.m. x [a, b]). Ugyanakkor az előbbi 2.5. Következmény bizonyítása szerint µ (x) = F (x) (λ-m.m. x [a, b]), tehát F (x) = f(x) (λ-m.m. x [a, b]) is igaz. 2.2. Megjegyzések. x i) Az előjeles mértékek, ill. az integrálható függvények pozitív és negatív részük különbségeként való előállítására gondolva mondhatjuk, hogy a fenti állítások igazak maradnak tetszőleges előjeles Borel-mértékekre és lokálisan Lebesgue-integrálható f : R N R, ill. f L [a, b] függvényekre is. ii) Például legyen f : R N x R N mellett lim n R lokálisan Lebesgue-integrálható, ekkor λ-m.m. fdλ = f(x), λ (K rn (x n )) K r n (x n) ahol < r n R, x n R N, x K rn (x n ) (n N), lim(r n ) =. Innen rögtön következik az is, hogy λ-m.m. x R N esetén lim fdλ = f(x). r λ (K r (x)) 5 K r (x)

Ugyanez marad érvényben akkor is, ha itt K rn (x n ) helyett I n = I n... I Nn, x I n (n N) kockákat írunk, ahol tehát I in R intervallum (i =,..., N) és I n =... = I Nn (n ). Mindezekhez annyit elég megjegyezni, hogy (K rn (x n )) x, ill. (I n ) x és tekintsük az B A fdλ előjeles A Borel-mértéket. iii) Ha p +, f L ( p R N), akkor f lokálisan integrálható. Ui. tetszőleges K R N kompakt halmazra f dλ f λ(k) < + (p = + ), K ill. (ld. Hölder-egyenlőtlenség) f dλ f dλ f p χ K q = f p (λ(k)) /q < + K K ( < p, q < + és /p + /q = ). Végül K f dλ f dλ f < + (p = ). iv) Legyen E R, λ(e) =, ekkor van olyan f : R R folytonos, monoton növő függvény, amely az E halmaz egyetlen pontjában sem differenciálható. Valóban, a feltétel miatt alkalmas I n R (n N) nyílt intervallumokkal n= I n < + és bármely x E pontra az {n N : x I n } halmaz végtelen. Ha n N, a n := inf I n, b n := sup I n, akkor tekintsük a következő f n függvényt: (x a n ) f n (x) := I n (x b n ). x a n (a n < x < b n ) Világos, hogy f n folytonos, monoton növő, f n I n (n N). Ezért f := n= f n : R R szintén folytonos és monoton növő. Ha a E és {n N : a I n } = {n k N : k N}, ahol n < n <..., akkor minden a x k j= I n j (k N) helyen f n (x) f n (a) (n = n,..., n k ) = x a (különben). Tehát bármely r >, k N és a x ( k j= I n j ) Kr (a) esetén f(x) f(a) x a = n= 6 f n (x) f n (a) x a k +,

azaz limsup x a f(x) f(a) x a = +. v) Legyen f L [a, b], F(x) := x a fdλ (x [a, b]) és x (a, b) olyan, hogy F D{x}, F F(x + h) F(x) (x) = f(x). Ekkor f(x) (h ), azaz h h x+h fdλ f(x) (h ). Innen persze az is következik, hogy x h (f(x + t) f(x))dt (h ). h Sőt, igaz az alábbi állítás (Lebesgue): λ-m.m. x [a, b] helyen (2.) h f(x + t) f(x) dt (h ). h A most mondottak igazolásához tetszőleges α R esetén tekintsük a ϕ(t) := f(t) α (t [a, b]) leképezést. Világos, hogy ϕ L [a, b]. Ezért az előbbi ii) megjegyzés szerint h (2.2) lim h f(x + t) α x+h dt = lim ϕ dλ = f(x) α h h h x λ-m.m. x [a, b] mellett igaz. Van tehát olyan E α (a, b), λ(e α ) = halmaz, hogy (2.2) minden x (a, b)\e α helyen fennáll. Ha E := α Q E α, akkor λ(e) =. Legyen most már x (a, b) \ E, ε > és α Q olyan, hogy f(x) α < ε/2. Ekkor < h < b x esetén (h < mellett analóg az okoskodás) h f(x + t) f(x) dt h f(x + t) α dt + h f(x) α dt < h h h h f(x + t) α dt + ε h 2 f(x) α + ε 2 azaz van olyan δ >, hogy minden h, h < δ esetén h h f(x + t) f(x) dt < ε. < ε (h ), vi) Az v) megjegyzésben szereplő x [a, b] az f Lebesgue-pontja, ha (2.) teljesül. Tehát az [a, b] intervallum λ-m.m. pontja az f Lebesgue-pontja. vii) A fentiekben [a, b] kicserélhető egy I nem elfajuló intervallummal, ill. F helyett írhatunk egy F(x) := x fdλ (x I) függvényt (valamilyen rögzített I c-vel), c sőt, lehet inf I = esetén c = is. 7

viii) Az v) megjegyzésben említett Lebesgue-tétel, ill. a vi)-beli Lebesgue-pont fogalma analóg módon átvihető R N -re is. Így (Lebesgue): bármely f : RN R lokálisan integrálható függvényre λ-m.m. x R N helyen igaz, hogy lim r f(t) f(x) dt =. λ (K r (x)) K r (x) A Lebesgue-pontokra vonatkozó 2.2. vi) megjegyzés alkalmazásaként vizsgáljuk integrálható függvények (trigonometrikus) Fourier-sorának az ún. (C,)-közepeit. Nevezetesen, legyen f L [ π, π] (az is feltehető, hogy f : R R és f 2π-szerint periodikus) és jelöljük σ n f-fel az f n-edik Fejér- (vagy más szóval (C,)- közepét: σ n f(x) := π π π f(x t)k n (t)dt (x R, < n N), ahol a 2π-szerint periodikus K n Fejér-féle magfüggvény a következő: K n (t) := n + 2 sin 2 n + t 2 2(n + ) sin 2 t 2 (t = ) ( < t < 2π) ( < n N). A K n ( < n N) függvényekről a következőket lehet tudni: K n n + 2, π π K n = π, K n (t) π 2 2(n + )t 2 ( < t π), K n páros és bármely < δ < π esetén lim n π δ K n =. Mindezek után az alábbi tétel igaz: 2.3. Tétel (Lebesgue). Tetszőleges f L [ π, π] függvény esetén az f bármely x Lebesgue-pontjában lim n σ n f(x) = f(x). Bizonyítás. Bontsuk fel a σ n f(x)-et (x [ π, π)) meghatározó integrált az alábbiak szerint: πσ n f(x) = π... + π..., azaz πσ n f(x) = π π f(x + t)k n (t)dt + π f(x t)k n (t)dt = (f(x + t) + f(x t) 2f(x))K n (t)dt + πf(x). 8

Tehát ahol π σ n f(x) f(x) π ϕ(x, t) K n (t)dt, ϕ(x, t) := f(x + t) + f(x t) 2f(x) ( t π). Innen bármely < α < π és minden olyan n N esetén, amelyre /n < α azt kapjuk, hogy π σ n f(x) f(x) /n ϕ(x, t) K n (t)dt + α /n Vizsgáljuk először A n -et: A n n + 2 ϕ(x, t) K n (t)dt + A n + B n + C n. π α ϕ(x, t) K n (t)dt =: /n ϕ(x, t) dt, ahol (lévén x Lebesgue-pont) t ϕ(x, u) du t t f(x + u) f(x) du + t f(x u) f(x) du (t ). t t Ezért bármely < ε-hoz megadható olyan < α < π, hogy tetszőleges t R, t α esetén t t ϕ(x, u) du < ε, azaz, ha n N és n > /α, akkor n /n ϕ(x, t) dt < ε. Így az előbi n-ekre A n n + /n 2n n ϕ(x, t) dt < ε. A B n kifejezés vizsgálatához vegyük észre, hogy a K n -ről mondottak miatt B n π 2 α ϕ(x, t) t 2 dt. 2(n + ) /n Legyen Ekkor Φ(t) := t ϕ(x, u) du, Ψ(t) := t 2 (/n t α). π 2 α B n Φ (t)ψ(t)dt = 2(n + ) /n ( π 2 ) α Φ(α)Ψ(α) Φ(/n)Ψ(/n) + 2 Φ(t) 2(n + ) /n t 3 dt = 9

( π 2 2(n + ) α 2 α ϕ(x, u) du n 2 /n ) α ϕ(x, u) du + 2 Φ(t) /n t 3dt π 2 α α 2(n + )α 2 ϕ(x, u) du + π2 Φ(t) n + /n t 3dt. (A fentiekben felhasználtuk a később tárgyalásra kerülő parciális integrálás szabályát (ld. 3.7. Tétel).) Az A n vizsgálatakor mondott α-val és n-nel illetve π 2 α 2(n + )α 2 ϕ(x, u) du < π 2 α Φ(t) n + /n t 3dt π 2 ε 2(n + )α < π2 nε 2(n + ) < π2 ε 2, α π2 tε n + /n t dt = π2 ε α dt 3 n + /n t < 2 π2 ε. Ha tehát n > /α, akkor B n < 3π2 ε 2 =: βε. Végül, bármely α t π és elég nagy n N mellett Ekkor K n (t) π 2 2(n + )t 2 π 2 2α 2 (n + ) < ε. π π C n ε ϕ(x, t) dt ε ϕ(x, t) dt =: γε. α Azt mutattuk meg, hogy elég nagy n N indexekre A n + B n + C n < ( + β + γ)ε, ami az állításunk bizonyítását jelenti. 3. Abszolút folytonosság Láttuk, hogy ha f L [a, b] és F(x) := x fdλ (x [a, b]), akkor λ-m.m. x [a, b] a helyen F (x) = f(x). Tehát F L [a, b] és F(x) F(a) = x a F dλ (x [a, b]). Jogos a kérdés, hogy igaz marad-e mindez akkor is, ha csupán a következőket tudjuk az F függvényről: λ-m.m. [a, b]-beli pontban differenciálható és F L [a, b]. Egy triviális példa azt mutatja, hogy a válasz nem. Legyen ui. [a, b] := [, ], F pedig az előjelfüggvény leszűkítése [, ]-re. Ekkor F (x) = ( x [, ]), azaz x F dλ = F(x) F( ) = 2 ( < x ). 2

Az sem segít, ha F-ről még a folytonosságot is feltesszük. Megmutatjuk ti., hogy igaz a 3.. Tétel. Van olyan szigorúan monoton növő F C[, ] függvény, amelyre λ-m.m. x [, ] helyen F (x) =. Bizonyítás. Legyen n N esetén F n : [, ] R egy olyan folytonos töröttvonal, amelynek a töréspontjai a k2 n -ek (k =,..., 2 n ) és F (x) := x ( x ), egy rögzített < t < segítségével pedig F () := F (), F () := F (), F (/2) := + 2 t. Továbbá legyen F n+ (j2 n ) := F n (j2 n ) (j =,..., 2 n ) és ha k =,..., 2 n, akkor ( k2 n + (k + )2 n ) F n+ := t 2 2 F n(k2 n ) + + t 2 F ( n (k + )2 n ). Ekkor nyilván igaz, hogy F n minden n esetén monoton növő, ill. F n (x) F n+ (x) (x [, ]). Továbbá, ha F(x) := lim(f n (x)) (x [, ]), akkor F is monoton növő. Megmutatjuk, hogy F folytonos, szigorúan monoton növő és F (x) = (λ-m.m. x [, ]). Ui., ha x [, ], akkor alkalmas I n (x) diadikus intervallumokkal x I n (x), I n+ (x) I n (x) (n N) és I n (x) (n ). Jelöljük az I n (x) intervallum bal, ill. jobb oldali végpontját α n -nel, ill. β n -nel, azaz α n = k(x) 2 n, β n = k(x) + 2 n (n N) alkalmas k(x) =,..., 2 n mellett. Ekkor (pl.) ( ) αn + β n F n+ (β n+ ) F n+ (α n+ ) = F n+ F n+ (α n ) = 2 t 2 F n(α n ) + + t 2 F n(β n ) F n (α n ) = + t (F n (β n ) F n (α n )), 2 ill., ha β n+ = β n, akkor Tehát ( ) αn + β n F n+ (β n ) F n+ = 2 F n (β n ) t 2 F n(α n ) + t 2 F n(β n ) = t (F n (β n ) F n (α n )). 2 F n+ (β n+ ) F n+ (α n+ ) = ± t 2 (F n (β n ) F n (α n )). De F n+ (β n+ ) = F(β n+ ), F n+ (α n+ ) = F(α n+ ), F n (β n ) = F(β n ), F n (α n ) = F(α n ), ezért egyúttal F(β n+ ) F(α n+ ) = ± t (F(β n ) F(α n )). 2 2

Következésképpen alkalmas σ k = ± (k N) sorozattal (3.) F(β n ) F(α n ) = n k= + σ k t. 2 Itt α n x β n, azaz F(α n ) F(x) F(β n ) (n N), ill. ( ) n + t F(β n ) F(α n ) (n ), 2 amiből F(x ) = F(x + ), így F x-beli folytonossága is következik. Mivel (3.) miatt F(β n ) F(α n ) >, ezért az F függvénynek az [α n, β n ] intervallumra való megszorítása nem lehet állandó függvény (n N), ami F szigorú monotonitását jelenti. Még mindig (3.)-re hivatkozva azt is mondhatjuk, hogy F(β n ) F(α n ) β n α n = F(β n) F(α n ) 2 n = Mutassuk meg, hogy ha F (x) létezik, akkor Valóban, n ( + σ k t). k= ( ) F(βn ) F(α n ) lim = F (x). β n α n F(β n ) F(α n ) β n α n = F(β n) F(x) β n x β n x F(α n) F(x) β n α n x α n x α n β n α n, azaz F(β n ) F(α n ) F (x) β n α n = ( ) ( β n x F(βn ) F(x) F(x) F F(αn ) (x) + β n α n β n x x α n β n x F(β n ) F(x) β n α n F (x) β n x + F(x) F(α n ) F (x) x α n ) F (x) x α n β n α n x α n β n α n. Az F (x) derivált létezése miatt tetszőleges ε > számhoz van olyan M N, hogy F(β n) F(x) F β n x (x) < ε, ill. F(x) F(α n ) x α F (x) n < ε, azaz F(β n ) F(α n ) β n α n hacsak az n N indexre n > M teljesül. F (x) β n x ε + x α n ε = ε, β n α n β n α n 22

Azt kaptuk tehát, hogy a most vizsgált x helyen ( n ) F (x) = lim ( + σ k t) =: lim(p n ). k= Innen már nem nehéz meggondolni, hogy F (x) =, különben ui. = F (x) F (x) = lim(p n+) lim(p n ) = lim ( pn+ p n ) = lim( + σ n+ t) is fennállna. Ez utóbbi egyenlőségek viszont nem állhatnak fenn, mivel + σ n+ t = ± t (n N) és < t <. Tegyük most fel, hogy f L [a, b], F(x) := x a fdλ (x [a, b]) és legyenek az (a k, b k ) [a, b] (k N) intervallumok páronként diszjunktak (ahol N N adott indexhalmaz). Ekkor F(b k ) F(a k ) = k N k N bk a k fdλ k N bk a k f dλ f (b k a k ). Innen nyilván következik az, hogy bárhogyan is adunk meg egy ε > számot, akkor egy alkalmas δ > is megadható, amellyel az alábbiak teljesülnek: k N (b k a k ) < δ esetén k N F(b k) F(a k ) < ε. Lássuk be, hogy ez utóbbi következtetés igaz marad akkor is, ha f L [a, b]. Valóban, legyen n N és f(x) ( f(x) n) f n (x) := n (f(x) > n). n (f(x) < n) Ekkor f n L [a, b], f n n és f n (x) f(x) (n ; x [a, b]). Mivel f n f (n N) nyilván igaz, ezért a Lebesgue-féle konvergencia-tétel alapján b a f ndλ b a fdλ (n ). Sőt, f f n 2 f (n N) és f f n (n ) miatt b a f f n dλ (n ) is igaz. Ezért tetszőleges ε > esetén van olyan n N, amellyel b a f f n dλ < ε. Ha δ > (egyelőre) tetszőleges és a páronként diszjunkt (a k, b k ) [a, b] (k N) intervallumokra k N (b k a k ) < δ teljesül, akkor F(b k ) F(a k ) k N k N b a bk a k f f n dλ + k N bk f f n dλ + n k N(b k a k ) < ε + nδ < 2ε, a k k N f n dλ 23

ha nδ < ε. A fentiek motiválják az alábbi értelmezést: egy F : [a, b] R függvényt abszolút (vagy teljesen) folytonosnak nevezünk, ha bármely ε > számhoz megadható olyan δ >, hogy minden N N, (a k, b k ) [a, b] (k N), (a k, b k ) (a j, b j ) = (k j N), k N (b k a k ) < δ esetén k N F(b k) F(a k ) < ε. Tehát egy f L [a, b] függvény integrálfüggvénye abszolút folytonos. Világos, hogy ha valamilyen q R számmal F(x) F(y) q x y (x, y [a, b]) (azaz F Lipschitz-feltételnek tesz eleget), akkor F abszolút folytonos. Az is nyilvánvaló továbbá, hogy minden abszolút folytonos függvény egyúttal egyenletesen is folytonos. Belátjuk, hogy ha az előbbi F abszolút folytonos, akkor F korlátos változású, tehát alkalmas C konstanssal n k= F(x k+) F(x k ) C az [a, b] intervallum minden a = x < x <... < x n = b (n N) felosztására. Valóban, az abszolút folytonosság definíciójában szereplő ε-t -nek választva van olyan δ >, amely ebben az értelemben eleget tesz az abszolút folytonosság definíciójának: k N F(b k) F(a k ) < minden, az említett definícióban szereplő (a k, b k ) (k N) intervallumrendszerre. Legyen most már a = y < y <... < y s = b (s N) egy olyan felosztás, amelyre y k+ y k < δ (k =,..., s ) és legyen a = x < x <... < x n = b (n N) egy tetszőleges felosztás. A most mondott két felosztás egyesítése legyen a következő: a = z < z <... < z r = b (r N). Ekkor n r F(x k+ ) F(x k ) F(z j+ ) F(z j ) = k= ahol j<r j= s l= j<r s F(z j+ ) F(z j ) < = s,... olyan j-kre való összegzést jelöl, amikor [z j, z j+ ] [y l, y l+ ]. Az utolsó becslésben felhasználtuk, hogy bármely l =,..., s mellett (z j+ z j ) = y l+ y l < δ. j<r Fogalmazzuk át (formailag) az abszolút folytonosság definícióját (elsőre talán kissé meglepőnek tűnően) az alábbi módon: bármely ε > számhoz megadható olyan δ >, hogy minden N N, (a k, b k ) [a, b] (k N), (a k, b k ) (a j, b j ) = (k j N), k N (b k a k ) < δ esetén k N (F(b k) F(a k )) < ε. Azt, hogy ez az átfogalmazás valóban ekvivalens az eredeti értelmezésünkkel, a következőképpen láthatjuk be. Először is jegyezzük meg, hogy a háromszög-egyenlőtlenség alapján a definícióból ez utóbbi megfogalmazás nyilván következik. Fordítva, ha az átfogalmazás teljesül egy F függvényre, akkor (az abszolút folytonosság definíciójában megadott szereplőkkel) legyen N := {k N : F(b k ) F(a k ) }, N := N \ N. Ekkor F(b k ) F(a k ) = (F(b k ) F(a k )) + F(b k ) F(a k ) = k N k N k N 24 l=

(F(b k ) F(a k )) + (F(b k ) F(a k )) < 2ε, k N k N ui. k N i (b k a k ) < δ (i =, ). 3.2. Tétel. Tegyük fel, hogy F : [a, b] R monoton növő függvény, legyen µ az általa meghatározott Lebesgue-Stieltjes-mérték. Ekkor az alábbi ekvivalencia igaz: F akkor és csak akkor abszolút folytonos, ha µ abszolút folytonos λ-ra nézve. Bizonyítás. Tegyük fel először, hogy F abszolút folytonos és legyenek ε >, δ > az ennek a definíciójában szereplő paraméterek. Ha E (a, b), λ(e) < δ, akkor egy nyílt G (a, b) halmazzal E G, λ(g) < δ. Alkalmas N N indexhalmazzal és páronként diszjunkt (a k, b k ) (k N) intervallumokkal G = k N (a k, b k ). Mivel λ(g) = k N (b k a k ) < δ, ezért (F(b k ) F(a k )) = (µ(a k, b k )) < ε, k N k N azaz µ(g) < ε. Innen rögtön következik az is, hogy µ(e) < ε. Mivel µ véges mérték, ezért ez azt is jelenti, hogy µ abszolút folytonos λ-ra nézve. Fordítva, ha most µ abszolút folytonos λ-ra vonatkozóan, akkor bármely ε > mellett van olyan δ >, hogy minden olyan E [a, b] esetén, amelyre λ(e) < δ, egyúttal µ(e) < ε. Legyen N N, [a k, b k ] [a, b] (k N) páronként diszjunkt intervallumok olyan rendszere, amelyre k N (b k a k ) < δ. Ha E := k N [a k, b k ], akkor λ(e) = k N (b k a k ) < δ. Ezért µ(e) < ε. De µ(e) = k N µ ([a k, b k ]) = k N (F(b k + ) F(a k )) < ε. Mivel bármely k N esetén F(b k ) F(b k + ), F(a k ) F(a k ), így (F(b k ) F(a k )) (F(b k + ) F(a k )) < ε k N k N is igaz. Tehát F egyenletesen folytonos, speciálisan folytonos is. Következésképpen az előbbiekben a nyílt (a k, b k ) (k N) intervallumok diszjunktivitását is elég feltenni, és venni az E := k N (a k, b k ) halmazt. Amint az előbb, azt kapjuk, hogy µ(e) = k N (F(b k ) F(a k )) < ε, azaz, hogy F abszolút folytonos. 25

3.3. Tétel (Jordan). Bármely F : [a, b] R korlátos változású függvény előállítható F = F F 2 alakban, ahol az F, F 2 : [a, b] R függvények monoton növők. Bizonyítás. Legyen a x b és { n } T(x) := sup F(x k+ ) F(x k ) : x = a < x <... < x n = x (n N). k= A feltétel miatt T : [a, b] R. Ha a x < y b, n N és a = x < x <... < x n = x, akkor x < x <... < x n < y egy felosztása [a, y]-nak, ezért n F(x k+ ) F(x k ) + F(y) F(x) T(y), k= azaz (x,..., x n szerint szuprémumot véve) T(x)+ F(y) F(x) T(y). Innen T(x) T(y), más szóval T monoton növekedése következik. Továbbá T(y) T(x) + F(y) F(x), azaz T(y) F(y) T(x) F(x) is igaz, ami meg azt jelenti, hogy a T F függvény is monoton növekedő. Ezért F = T (T F) a kívánt felbontás. 3.. Megjegyzések. i) Az előbbi Jordan-tétel és a 2.5. Következmény szerint tehát egy F : [a, b] R korlátos változású függvény λ-m.m. differenciálható. ii) Legyen a tételbeli F esetén b a F := T(b) az F teljes változása. Az F tehát korlátos változású, ha b a F < +. 3.4. Tétel. Legyen f L [a, b], F(x) := x a fdλ (a x b). Ekkor b a F = b a f dλ (azaz F korlátos változású). Bizonyítás. Vegyük az [a, b] intervallum valamely a = x < x <... < x n = b (n N) felosztását. Ekkor n n F(x k+ ) F(x k ) = k= ezért b a F b a f dλ. k= xk+ Az előbbi x,..., x n felosztáshoz tekintsük a x k n fdλ k= n ψ n := σ k χ [xk,x k+ ] k= 26 xk+ x k f dλ = b a f dλ,

lépcsősfüggvényt, ahol σ k R, σ k (k =,..., n ). Ekkor b a n ψ n fdλ = xk+ n σ k fdλ = σ k (F(x k+ ) F(x k )) k= k= x k k= n F(x k+ ) F(x k ) b F. a Tekintsünk ezek után egy olyan Φ n L [a, b] (n N) lépcsősfüggvény-sorozatot, amelyre lim(φ n (x)) = f(x) (λ-m.m. x [a, b]) és legyen nφ n (x) ( nφ n (x) ) ϕ n (x) := (nφ n (x) > ) (nφ n (x) < ) (n N, a x b). Nyilvánvaló, hogy ϕ n lépcsősfüggvény és ϕ n (n N). Ha x [a, b] és f(x) = lim(φ n (x)) >, akkor lim(nφ n (x)) = +, azaz van olyan N N, hogy minden n N, n > N esetén nφ n (x) >, tehát ϕ n (x) =. Ezért lim(ϕ n (x)) =. Ugyanígy kapjuk, hogy lim(ϕ n (x)) =, ha f(x) = lim(φ n (x)) <. A most mondott x helyeken tehát lim(ϕ n (x)f(x)) = f(x), ami nyilván igaz akkor is, ha f(x) =. Ezért azt kaptuk, hogy λ-m.m. x [a, b] pontban lim(ϕ n (x)f(x))( = f(x). De ϕ n f f ) b Lebesgue-féle konvergencia tétel miatt lim a ϕ nfdλ (n N), ezért a = b f dλ. Így a bizonyítás elejét a figyelembe véve az adódik, hogy b a f dλ b a F, ami a tételünk igazolását jelenti. 3.2. Megjegyzés. i) Ha f L (, + ) és F(x) := x látható be, hogy (x R), akkor a fentiekhez hasonlóan + A + F := lim F = f dλ. A + A 3.5. Tétel (Jordan). Bármely F : [a, b] R abszolút folytonos függvény előállítható F = F F 2 alakban, ahol F, F 2 : [a, b] R monoton növő abszolút folytonos függvények. Bizonyítás. Tekintsük újfent a { n } T(x) := sup F(x k+ ) F(x k ) : x = a < x <... < x n = x (n N) k= 27

(a x b) leképezést. Mutassuk meg, hogy T abszolút folytonos. Legyen ehhez valamely ε > szám esetén δ > olyan, hogy k N F(b k) F(a k ) < ε bármely N N indexhalmazt és páronként diszjunkt (a k, b k ) [a, b] (k N), k N (b k a k ) < δ intervallumokat is véve. Ha itt k N és a k = x k <... < x nk k = b k (n k N) egy felosztása az [a k, b k ] intervallumnak, akkor ezért k N (x i+k x ik ) = k N(b j a k ) < δ, n k i= k N n k i= F(x i+k ) F(x ik ) < ε. Vegyünk ebben a becslésben rögzített k mellett szuprémumot az x k,..., x nk k osztópontok szerint, akkor k N T[a k, b k ] ε adódik, ahol T[a k, b k ] := sup { nk i= F(x i+k ) F(x ik ) : a k = x k <... < x nk k = b k (n k N) Nem nehéz meggondolni, hogy T[a k, b k ] = T(b k ) T(a k ), azaz k N (T(b k) T(a k )) ε, ami a T függvény abszolút folytonosságát jelenti. Az is könnyen belátható, hogy két abszolút folytonos függvény különbsége is abszolút folytonos, így T F is az. Az F = T (T F) felbontás tehát megfelel a tételben mondottaknak. 3.6. Tétel. Legyen adott egy F : [a, b] R függvény. Ekkor F akkor és csak akkor abszolút folytonos, ha létezik olyan f L [a, b] függvény és c R konstans, hogy F(x) = x fdλ + c (a x b). a Bizonyítás. Az eddigiek után már csak a szükségességet kell igazolnunk. Ehhez (ld. 3.5. Tétel) feltehető, hogy F monoton növő. Legyen µ az F által meghatározott Lebesgue-Stieltjes-mérték, akkor (ld. 3.2. Tétel) µ abszolút folytonos λ-ra nézve. A Radon-Nikodym-tételt alkalmazva tehát van olyan f : [a, b] [, + ] Lebesgue-mérhető függvény, amellyel µ = λ f. Mivel b a fdλ = F(b) F(a) = µ([a, b]) < +, ezért f L [a, b]. Ha x [a, b], akkor µ([a, x]) = [a,x] fdλ = x fdλ, ill. µ([a, x]) = F(x) F(a), amiből F(x) = x a fdλ + F(a). 3.3. Megjegyzések. a i) Azt is mondhatjuk tehát, hogy a fenti F akkor és csak akkor abszolút folytonos, ha az [a, b]-n λ-m.m. differenciálható, F L [a, b] és x a F dλ = F(x) F(a) (a x b). ii) Legyen továbbra is < a < b < +, f : [a, b] R, f D és q := sup{ f (t) : t [a, b]} < +. 28 }.

Ekkor bármely N N indexhalmaz és páronként diszjunkt (a k, b k ) [a, b] (k N) intervallumrendszer esetén f(b k ) f(a k ) q b k a k, k N k N amiből az f abszolút folytonossága triviálisan következik. Tehát egy-egy alkalmas g L [a, b] függvénnyel és c R számmal f(x) = x gdλ+c (a x b), amiből a f (x) = g(x) λ-m.m. x [a, b] mellett adódik. Más szóval tehát f L [a, b] és f(x) = x a f dλ + c = f(x) f(a) + c (a x b), így c = f(a). iii) Nem nehéz példát konstruálni annak az igazolására, hogy az előbbi megjegyzésben kapott f L [a, b] következmény nem minden differenciálható függvényre igaz. Legyen ui. (x = ) f(x) := x 2 sin x 2 ( < x ). Világos, hogy f D, f () = és f (x) = 2x sin x 2 2 x cos x 2 (x = ) g(x) := 2x sin x 2 ( < x ) ( < x ). Ha (x = ), h(x) := x 2 cos x 2 ( < x ), akkor f = g+h, g C[, ]. Megmutatjuk, hogy h / L [, ] (amiből f / L [, ] már következik). Ui. az a n := (π/3 + 2nπ) /2, b n := (π/6 + 2nπ) /2 ( < n N) jelölésekkel minden < n, k N, n k esetén [a n, b n ] [a k, b k ] =, b n a n α n n, h(x) β n alkalmas α, β > abszolút konstansokkal. Ezért h dλ n= bn a n h dλ αβ n= n n n = +. iv) Világos, hogy az előző megjegyzésbeli f függvényre f nem korlátos. Belátható ugyanakkor az a nem triviális tény, hogy f C[a, b], f D([a, b] \ A) (ahol A [a, b] legfeljebb megszámlálható), f L [a, b] esetén f(x) = x a f dλ + f(a) (a x b) (azaz, hogy f abszolút folytonos). v) A iv) megjegyzés nem igaz, ha az ott szereplő A halmaz számossága nagyobb, mint megszámlálható (ld. 3.. Tétel). Ugyanakkor, ha f : [a, b] R, f monoton növő, akkor f L [a, b] és y x f dλ f(y) f(x) (x, y [a, b], x < y). 29

Ui. legyen f(t) := f(y) (t > y) és f(t) := f(t) (a t y), ill. ( ( f n (t) := n f t + ) ) n f(t) ( < n N, a t b). Ekkor f n, f n Lebesgue-mérhető (n N) és ha valamely t [x, y) esetén f D{t}, akkor f (t) = lim(f n (t)). Ezért f is Lebesgue-mérhető, így a Fatoulemma alapján y x f dλ = lim inf ( y x n lim(f n )dλ = lim inf ( y+/n y n y x y+/n y ( y liminf(f n )dλ liminf x+/n fdλ n x x+/n f(y)dλ n f(x)dλ x fdλ ) ) x ) f n dλ = = f(y) f(x). vi) Ha f : [a, b] R és f monoton növő, akkor nyilván minden olyan x [a, b] helyen, ahol f D{x}, egyúttal f (x) (azaz (ld. 2.5. Következmény) λ-m.m. x [a, b] esetén). Tehát az előbbi v) megjegyzés szerint f L [a, b], így a g(x) := x a f dλ (x [a, b]) függvény is monoton növő. Legyen h := f g, akkor bármely x, y [a, b], x < y mellett h(x) = f(x) g(x) f(y) g(y) = h(y), ui. (ismét csak az előbbi v) megjegyzés miatt) g(y) g(x) = y x f dλ f(y) f(x). Ezért f = g + h, ahol g is, h is monoton növő és (a 3.6. Tétel alapján) g abszolút folytonos, g (x) = f (x), h (x) = f (x) g (x) = (λ-m.m. x [a, b]). Ha itt f folytonos is, akkor nyilván h is folytonos (egy ún. szinguláris függvény.) 3.7. Tétel (parciális integrálás). Tegyük fel, hogy az f, g : [a, b] R függvények abszolút folytonosak. Ekkor b a f gdλ+ b a fg dλ = f(b)g(b) f(a)g(a). Bizonyítás. Mutassuk meg először, hogy az f g szorzatfüggvény is abszolút folytonos. Valóban, ha N N és (a k, b k ) [a, b] (k N) páronként diszjunkt intervallumok, akkor (fg)(b k ) (fg)(a k ) = f(b k )g(b k ) f(a k )g(b k ) + f(a k )g(b k ) f(a k )g(a k ) k N k N 3

g f(b k ) f(a k ) + f g(b k ) g(a k ), k N amiből az fg függvény abszolút folytonossága már nyilvánvaló. Ezért (ld. 3.3. i) megjegyzés) fg λ-m.m. differenciálható, (fg) (x) = f (x)g(x) + g (x)f(x) (λ-m.m. x [a, b]), f g, fg integrálhatók és (fg)(b) (fg)(a) = b a (fg) dλ = b a k N f gdλ + b a g fdλ. 3.8. Tétel (integrálás helyettesítéssel) Legyen adott a kompakt [α, β] intervallumon értelmezett, monoton növő és abszolút folytonos g függvény. Ha a := g(α) < b := g(β) és f L [a, b], akkor f g g L [α, β] és b a f dλ = β α f g g dλ. Bizonyítás. Ha f L + [a, b] (nem-negatív lépcsős függvény), akkor direkt számolással ellenőrizhető az állítás. Legyen most f L + [a, b] (azaz nem-negatív, mérhető függvény) és (f n ) : N L + [a, b] olyan sorozat, amely monoton nőve tart f-hez λ-m.m. x [a, b] helyen. Tehát ( b ) ( b ) β f dλ = lim f n dλ = lim f n g g dλ. a a A Beppo Levi-tétel miatt elegendő azt megmutatnunk, hogy az (f n g g ) sorozat (ami nyilván monoton növő) λ-m.m. t [α, β] helyen konvergál f(g(t))g (t)-hez. Legyenek A [a, b], B [α, β] olyan nulla (Lebesgue-) mértékű halmazok, amelyekre f(x) = lim(f n (x)) (x [a, b] \ A) és g D{t} (t [α, β] \ B) igaz. Ha t [α, β] \ B és g (t) = vagy g(t) / A, akkor nyilván lim(f n (g(t))g (t)) = f(g(t))g (t). Ha tehát valamely t [α, β]\b helyen a helyettesítési értékek (f n (g(t))g (t)) sorozata nem konvergál f(g(t))g (t)-hez, akkor g (t) > és g(t) A. Legyen. C := {t [α, β] \ B : g (t) > és g(t) A} Azt kell belátnunk, hogy C (Lebesgue-szerint) nulla-mértékű. Mivel λ(a) =, ezért van olyan I n [a, b] (n N) intervallumsorozat, amelyre n= I n < + és bármely x A pont végtelen sok I n -be esik. Legyen n N és ψ n := n χ Ik. k= Ekkor a (ψ n ) : N L + [a, b] sorozat monoton növő és tetszőleges x A esetén lim(ψ n (x)) = +. Ha t C, akkor nyilván lim((ψ n (g(t))g (t))) = + is igaz. De a Beppo Levi-tétel alapján ( β ) ( β ) b lim(ψ n g g ) dλ = lim ψ n g g dλ = lim ψ n dλ = I k < +, α α 3 α a k=

ezért lim(ψ n (g(t))g (t)) < + (λ-m.m. t [α, β]). Következésképpen λ(c) =. A 3.8. Tétel állítása az L + [a, b] függvényosztályról az L [a, b]-re már az utóbbi értelmezésének megfelelően terjeszthető ki. 3.4. Megjegyzés. i) Belátható, hogy F : R R esetén igaz az alábbi állítás: valamely f L (, + ) függvény segítségével akkor és csak akkor igaz az F(x) = x fdλ (x R) előállítás, ha bármely < A R mellett F leszűkítése [ A, A]-ra abszolút folytonos, + F < + és lim F =. 3.9. Tétel (Fubini). Legyenek a µ n : B R (n N) Borel-mértékek olyanok, hogy µ := n= µ n is Borel-mérték B-n. Ekkor µ (x) = n= µ n (x) (λ-m.m. x RN ). Bizonyítás. o Lássuk be először, hogy n= µ n (x) µ (x) (λ-m.m. x R N ). A 2.3. Következmény alapján ui. van olyan M R N, λ(m) = halmaz, hogy bármely x R N \ M esetén µ (x) < + és µ n (x) < + (n N). Legyen ν m := m µ i (m N). i= Ekkor ν m : B R Borel-mérték és ν m (x) = m i= µ i (x) (x RN \ M). Tegyük fel, hogy (H n ) x, ekkor ν m (H n ) µ(h n ) (n N) miatt ν m (H n ) λ(h n ) µ(h n) λ(h n ) (n N), azaz ν m (x) µ (x) (x R N \ M). Azt kaptuk tehát, hogy µ i(x) = lim(ν m(x)) µ (x) (x R N \ M). i= 2 o Most megmutatjuk, hogy tetszőleges < s N mellett van olyan B s K s (), λ(b s ) =, hogy µ i (x) = µ (x) (x K s () \ B s ). i= Valóban, i= µ i (K s ()) = µ (K s ()) µ lim(µ(k s ()) ν n (K s ())) =. Ha tehát ( ) K s () < +, mivel K s () kompakt. Ezért σ n (A) := µ (A K s ()) ν n (A K s ()) (A B, n N), 32