1 A Fiboacci- számok Leoardo di Pisa, ismertebb evé Fiboacci (1170-1250? olasz kereskedő és matematikus. Üzleti útjai lehetősége yílt megismerkedi az arab és hidu matematikával. Fiboacci legikább arról híres, hogy ő terjesztette el az arab számokat Európába a Liber Abaci című köyvével. A róla elevezett Fiboacci-számokat em ő fedezte fel, de példakét haszálta ugyaebbe a művébe. A moder természettudomáyok egyik legagyobb rejtélye, miért a Fiboacci- számok " mozgatják a világot". Fiboacci yulai Az eredeti probléma, amelyet Fiboacci kutatott (1202 arról szólt, hogy ideális körülméyek között a yulak milye gyorsa, milye redszerességgel elleek. Tegyük fel, hogy egy mező él egy újszülött yúl pár, egy hím és egy őstéy. A yulak egy hóapos korukra leszek ivarérettek, így a második hóap végé már megszülethetek az elsõ kicsiyek. Tegyük fel, hogy a mi yulaik soha em halak meg és hogy a őstéyek midig új párt elleek ( 1 hímet és 1 őstéyt mide hóapba, a második hóaptól kezdve. Fiboacci problémája: háy pár lesz egy éve belül? 1. Az első hóap végé még csak 1 pár va 2. A második hóap végé születik 1 új pár, így most már 2 pár va 3. A harmadik hóap végé az eredeti őstéyek születik a második pár yula, így már 3 pár lesz. 4. A egyedik hóap végé az eredeti őstéyek lesz újabb kicsiye, a második hóapba született őstéy most elli az első kicsiyeit, így összese már 5 pár yúl va. Mide hóap elejé a yúlpárok száma: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,55, 89... Eze megfigyeléseiek alapjá Fiboacci általáosította a később elevezett sorozat képzési szabályát:
Kombiatorika Összeállította:Keszeg Attila 2 Szabály 1 (Fiboacci-sorozat. A Fiboacci-sorozat egy úgyevezett rekurzív a sorozat elemei. Az első két eleme 1, a további elemeket az előző kettő összegekét kapjuk. Képletbe: f 1 = 1; f 2 = 1; f = f 1 + f 2 ( 3 a A matematikába a rekurzív sorozat egy olya sorozat, ami defiiálható egy rekurziós összefüggés segítségével. Utóbbi olya képlet, összefüggés, ami a sorozat bármely elemét a megelőző éháy tag ismeretébe adja meg Feladatok 1. Határozza meg a Fiboacci-sorozat első 20 elemét! 2. Csoportmuka: Keresse(ek példákat a hétközapokból a Fiboacci- számok fellelhetőségére! 2 Permutációk, variációk Defiíció 1. Adott pozitív egész szám eseté faktoriálisak evezzük az -él em agyobb pozitív egész számok szorzatát. Jelölés:! = ( 1 ( 2 ( 3... 3 2 1 Megegyezés alapjá 0! = 1 és 1! = 1 Defiíció 2. Egy adott elemű halmaz elemeiek ismétlés élküli permutációjá az külüböző elem sorbaredezését értjük! Feladat 1. Háyféleképpe lehet sorba raki a zöldség szó betűit? Kidolgozás 1. A zöldség szó 7 betűből áll. Ez azt jeleti, hogy sorbaredezésél az első helyre írhatuk 7 külöböző betűt. Ha az első helye már elhaszáltuk egy betűt a hétből, a második helyre már csak 6 féle külöböző betűt írhatuk. Eze godolatmeeter folytatva a harmadik helyre már csak 5 betűből tuduk választai, a egyedik helyre 4-ből, az ötödikre 3-ból, a hatodikra 2-ből a hetedik helyre pedig már csak 1 betű marad. A zöldság szó betűit tehát féleképpe lehet sorba redezi 7! = 7 6 5 4 3 2 1 = 5040 A feti feladat alapjá következtethetük a következő tételre, melyek bizoyítása szorgalmi feladat! Tétel 1. Egy adott -elemű halmaz permutációiak száma! Feladatok 1. Nóri, Robi, Sári, Klári egyszerre érek a lifthez. Háyféle sorredbe szállhatak be?
Kombiatorika Összeállította:Keszeg Attila 3 2. Réka 3 szelet süteméyt szerete vásároli. Dobostortát, kókuszgolyót és krémes-mézest. Háyféle sorredbe kérheti a süteméyeket? 3. Az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyeket háyféleképpe redezhetjük sorba úgy, hogy a harmadik helye 5-ös va? 4. A kézilabdapálya íves alakú hatos voalá háyféleképpe sorakozhat fel a csapat a védekezésél? A feti feladatok jellegzetessége, hogy ics meg beük a lehetőség a halmazok egyes elemeiek ismétlődésére. De, mit azt már megszoktuk, az élet em midig ilye egyszerű, még a tisztá matematikai "síko" sem. Nagyo sokszor előfordulhat hogy egy feladatba több egyforma elemmel is találkozuk. A kérdés amit megszereték válaszoli az, hogy ezekek a sorbaredezéséhez is felállítható-e egy képlet. Még mielőtt eki fogák a képlet meghatározásáak, jöjjö egy újabb Defiíció 3. Ha egy halamaz elemei között va olya, amelyik többször is előfordul, az elemek sorbaredezését ismétléses permutációak evezzük. Feladat 2. Háyféleképpe lehet sorba raki egy fehér, két zöld és három kék golyót? Kidolgozás 2. Eek a feladatam a megoldásáál is hasolóképpe kell eljáruk, mit az előzőekél, csak közbe észre kell veük egy pici csapdát is! Ehhez először is tudatosítuk kell magukba, hogy az előzőektől eltérőe, ebbe a feladatba már vaak olya elemek, melyek többször is előfordulak. Ha mid a 6 golyó külöböző szíű lee, akkor 6! = 6 5 4 3 2 1 = 720 lehetőségük vola. A két zöld golyót 2! = 2 1 = 2, a három kéket pedig 3! = 3 2 1 = 6-féleképpe lehet sorba raki. Mivel az azoos szíűeket egyformáak tekitjük, az egymás közötti sorredjeiket em külöböztetjük meg, a 720-t el kell osztai ayival ameyiszer az egyszíű golyókat a saját helyükö sorba redezhetjük, azaz összese 720 6 2 = 6! 3! 2! = 60 lehetőség va. Egy fehér, két zöld és három kék golyót tehát 3! 2! = 60 féleképpe lehet sorba raki Próbáljuk meg a feti feladatba tett felismeréseiket összefoglali egy tételbe! 6! Tétel 2. Ha elem között p 1 ; p 2 ; p 3 ;... ; p k darab megegyező va és = p 1 + p 2 + p 3 +... + p, akkor ezeket az elemeket! p 1! p 2! p 3!... p k! külöböző módo lehet sorba redezi Feladatok 1. Háyféleképpe lehet sorba raki a Micimackó szó betűit? 2. Háy yolcjegyű szám készíthető 1 darab ulla, 1 darab kettes és 6 darab hármas számjegyből? 3. Egy dobozba 10 golyö va,közülük 4 fehér, 4 piros és 2 kék szíű. A 10 golyót egymás utá kihúzzuk a dobozból.háy külöböző sorredbe húzhatjuk ki a golyókat, ha az egyszíűeket em külöböztetjük meg?
Kombiatorika Összeállította:Keszeg Attila 4 4. Háyféle külöböző sorredje va a MATEMATIKA szó betűiek? Defiíció 4. Ha -féle elemből a sorred figyelembe vételével kiválasztuk k darabot (egyféle elemből többet is választhatuk, az -féle elemek egy k tagú ismétléses variációját kapjuk Feladat 3. Egy számzár öt tárcsájá 1-től 9-ig vaak számok. Háy féle számkombiáció lehetséges, ha a számok a tárcsáko ismétlődhetek is? Kidolgozás 3. Az elős tárcsá 9 külöböző számot állíthatuk be. A másodiko, harmadiko, egyedike és ötödike szité kilec külöböző szám áll a redelkezésükre, így összese külöböző számkombiáció beállítása lehetséges 9 9 9 9 9 = 9 5 Újabb felismeréseik általáosításaképp fogalmazódik meg a következő Tétel 3. - féle elem k tagú ismétléses variációiak száma k. A feti tétel bizoyítása szorgalmi feladat! A szemfülesebb olvasóba biztosa felmerült már a kérdés hogy létezik-e ismétlés élküli variáció is, és ha ige, mikor alkalmazzuk. A következőkbe eze kérdésekre foguk válaszoli, de először Defiíció 5. Ha külöböző elemből a sorred figyelembe vételével kiválasztuk k darabot, az külöböző elemek egy k tagú (0 k, k Z ismétlés élküli variációját kapjuk. Az ismétlés élküli variáció alkalmazási lehetőségét jól szemlélteti a következő Feladat 4. Az iskolai büfébe már csak 8 külöböző fajta süteméy maradt. Alex, Bogi, Tomi, Dzseifer és Ödö egyet egyet választ ezek közül. Háyféleképpe választhatak süteméyt? Kidolgozás 4. Nyílvávaló, hogy az 5 tauló közül az első a büfébe a 8 külöböző fajta süteméy midegyikét választhatja. A másodikak már csak 7 süteméyből va lehetősége választai, és így tovább egésze az ötödik diákig, aki már csak 4 féle süteméyből választhat. Hely a büféél 1. 2. 3. 4. 5. Választható sütik száma 8 7 6 5 4 Ez azt jeleti, hogy az öt fiatal 8 7 6 5 4- féleképpe választhat süteméyt, amit felírhatuk a következő formába is 8! } (8 {{ 5! } 8-ból 5 sütit kiválasztottak
Kombiatorika Összeállította:Keszeg Attila 5 Az előbbi feladatba alkalmazott "techika" általáosítása a következő Tétel 4. külöböző elem k tagú ismétlés élküli variációiak száma : ( 1 ( 2 ( 3... ( k + 1 =! Feladatok ( k! 1. Háy külöböző zászlójelzést adhat le a hajó, ha hét külöböző zászlója va és egy jelzés 5 egymás fölé akasztott zászlóból áll? 2. Egy verseye 42 verseyző idult. A helyi lapba csak az első hat verseyző eve jelet meg. Háyféle lista készülhetett? 3. Háy darab háromjegyű szám készíthető az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyekből, ha mide szám csak egyszer szerepelhet? 4. Háy darab háromjegyű szám készíthető az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyekből, ha mide szám többször is szerepelhet? Egy 15 főből álló társaság tagjai között a legépszerűbb filmek közül az első ötöt sorsolják ki DVD-. Háyféleképpe végződhet a sorsolás, ha (a egy személy csak egy DVD-t yerhet, (b egy személy több DVD-t is yerhet? 5. Egy 14 fős csoportba kiosztuk 5 doboz bobot. Háyféleképpe lehetséges ez? 6. Egy 5 házból álló utca kerítéseit szereték kifestei. Egy kerítéshez csak egyféle festéket haszáluk, a festékeket em lehet keveri. Háyféle kifestés létezik, ha 7-féle festékük va és (a mide kerítések külöböző szíűek kell lei (b a kerítések lehetek egyforma szíűek?
Kombiatorika Összeállította:Keszeg Attila 6 3 Ismétlés élküli kombiációk Feladat 5. Ahhoz hogy a Skadiáv lottó telitalálatuk legye, a lehetséges 35 számból 7-et kell helyese kiválasztauk. Háy féle módo választhatuk ki 7 számot 35-ből? Kidolgozás 5. Az ilye típusú feladatokál a következő jelölést haszáljuk: ( k (ejtsd: alatt k, ahol az összese választható elemek számát jelöli, k pedig a kiválasztadó elemek számát és k 0, ahol, k Z Ebbe a feladatba tehát a ( 35 7 potos értékét akarjuk meghatározi, ami kombiatorikailag a következő módo törtéhet: ( 35 7 = 35 34 33 32 31 30 29 7! Azért ez a helyes kombiáció, mert ha35 számból 7-et kell kiválasztauk, akkor az előzőekbe taulatak alapjá erre 35 34 33 32 31 30 29 lehetőségük va, hisze elsőek választhatuk 35 számot, másodjára 34-et és így tovább... Viszot elegedhetetle a 7!-sal való osztás is, hisze a 7 számot 7! féle képpe tudom sorba redezi, de a lottóál és egyéb kiválasztási feladatokál a sorred léyegtele. A legutóbbi feladatba bevezetett módszert követve, az ( k k kifejezést a következő képpe általáosítjuk: ( k = ( 1 ( 2 ( 3... ( k+1 Eek a képletek előye, hogy logikus godolkodással egyszerűe kikövetkeztethető, hátráya pedig, hogy agy számokkal dolgozó feladatokál a képlet haszálata redkívül kéyelmetle, ezért a következő : Tétel 5. Ha k 0, ahol, k Z,akkor ( k k! =! k! ( k! Ezt a tételt már semmiképpe em hagyhatjuk bizoyítás élkül,ezért azoal eki is álluk. Ezt az egyszerű bizoyítást az előző évekbe megismert direkt bizoyítási módszerrel fogjuk elvégezi. Bizoyítás. ( k }{{} = Általáosítás az első feladatból ( 1 ( 2 ( 3... ( k+1 k! = ( 1 ( 2 ( 3... ( k+1 ( k! =! k! ( k! k! ( k! A képlet köye alkalmazhatósága miatt ietől kezdve Ha k 0, ahol, k Z,akkor ( k =! k! ( k!
Kombiatorika Összeállította:Keszeg Attila 7 Feladat 6. Határozza meg a következő kifejezések értékét! a. ( 5 3 b. ( 15 7 Kidolgozás 6. ( 5 a. 3 ( 15 b. 7 = 5! 3! (5 3! = 120 6 4 = 120 = 15! 24 = 5 7! (15 7! = 15! 7! 8! = 1307674368000 = 6435 5040 40320 Defiíció 6. Ha külöböző elemből a sorred figyelembe vétele élkül kiválasztaak k darabot, akkor az külöböző elem k tagú ( k 0, ahol, k Z ismétlés élküli kombiációját kapjuk. A bevezető példába megfigyeltek segítségével köye megfogalmazható a következő Tétel 6. külöböző elem k tagú ( k 0, ahol, k Z ismétlés élküli kombiációiak száma ( k Feladat 7. Az öttusa váltó csapat három főből áll. Ha az olimpiára hata készülek, háyféleképpe választhatjuk ki közülük a váltóba szereplő három verseyzőt? Kidolgozás 7. A válasz az előzőekbe megszerzett ismeretek tükrébe redkívül egyszerű. A hat sportolóból ki kell választauk hármat. A megfelelő lehetőségek számát a ( 6 3 3 kifejezés segítségével határozhatjuk meg ( 6 3 = 6! 3! (6 3! = 720 6 6 = 720 36 = 20 Ezek szerit 20 féle képpe választhatjuk ki a három a váltóba szereplő verseyzőt. Feladatok 1. Egy 15 fős csoportba háyféleképpe lehet 7 egyforma csokit kiosztai, ha mideki 1 csokit kaphat? 2. Egy 28-as létszámú osztályba 9 azoos tollat sorsolak ki. Háyféleképpe törtéhet a tollak szétosztása, ha egy tauló csak egy tollat kaphat? 3. Adott a síkba 30 pot, amelyek közül bármely három em illeszkedik egy egyeesre. Háy háromszöget határozak meg? 4. Háy egyeest határozak meg a szabályos yolcszög csúcspotjai? 5. Egy műhelybe egy műszak alatt elkészített 200 darab zár készült. Háyféleképpe tud a miőségelleőr kiválasztai közülük 12 zárat?
Kombiatorika Összeállította:Keszeg Attila 8 6. Egy csomag magyar kártyából húzzuk ki találomra 8 lapot. Háy esetbe lehet a kihúzott lapok között 3 ász? 7. Bizoyítsa, hogy tetszőleges k 0 egész számokra ( ( k = 8. Legfeljebb háy metszéspotja lehet 6 egyeesek? k k 9. Legfeljebb háy metszéspotja lehet egyeesek? 10. Bizoyítsa, hogy ( ( k k = 1 ( k + 1 k 1, ha,k Z, melyekre k + 1 2 teljesül! 11. Egy focicsapatak 30 igazolt játékosa va, köztük Filip. A szombati mérkőzés előtt ki kell jelöli, hogy melyik 11 játékos játszhat a kezdőcsapatba. (a Háyféle lehetőség va erre, ha mide játékos bekerülhet a kezdőcsapatba? (b Háy olya lehetőség va, ahol Filip biztosa bekerül a kezdőcsapatba? (c Háy olya lehetőség va, ahol Filip biztosa em kerül be a kezdőcsapatba? (d Hogya általáosítható a probléma játékosra és k kezdőjátékosra? 4 A biomiális tétel Blaise Pascal (1623-1662 fracia matematikus, fizikus, filozófus. Mide kétséget kizáróa egy lágelme volt, akiek matematikai képességei már gyermekkorába megmutatkoztak. Taítóiak feljegyzései alapjá az ifjú Pascal már 12 éves korába felismerte az euklideszi geometria törvéyeit, és ezeket öállóa meg is fogalmazta. Első saját matematikai tételét Kúpszeletbe irt hatszögek átellees oldalaiak metszéspotjai egy egyeesbe esek 16 éves korába fogalmazta meg, mellyel a projektív geometria egyik mérföldkövét is sikerült lerakia. 19 éves korába megalkotott egy számológépet édesapja mukásságáak emgköyítésére. Húszas éveibe érdeklődése a valószíűségszámítás és a kombiatorika felé fordult. Ezekbe a témákba együttműködött koráak legagyobb matematikusaival, mit például Pierre Fermat-val, akivel 1654-be a biomomiális tételbe előforduló biomiális együttatókat taulmáyozta. Pascal volt az első aki potos defiíciót adott a teljes idukciós bizoyításra. 1658-ba megjelet "De la esprit geometrique et de lá art de persuader" című mukájába a matematika axiómatikus felépítésével foglalkozott és a következőt írta : "Mide állítást bizoyítai kell, és eközbe em szabad felhaszáli mást, mit magukat az axiómákat, vagy már bizoyított állításokat" A sok muka felőrölte az amúgy is beteges és aszkéta életet élő Pascal szervezetét és 1662-be fiatalo, 39 éves korába elhuyt.
Kombiatorika Összeállította:Keszeg Attila 9 Tétel 7. Biomiális tétel Ha a,b R tetszőleges és Z pozitív, akkor (a + b = ( 0 a + ( 1 a 1 b 1 + ( 2 a 2 b 2 +...+ + ( a i b i +... + ( ab 1 + ( b i 1 A tételbe szereplő ( k k együtthatókat biomiális együtthatókak evezzük A biomiális tétel bizoyítása teljes idukcióval törtéik, ami túllép a redes matematika óra határai Most vizsgáljuk meg a a biomiális kifejezéseket a feti tétel segítségével: (a + b 0 = 1 = ( 0 0 (a + b 1 = a + b = ( 1 0 ( a + 1 1 b (a + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 = ( 2 0 a 2 + ( 2 ( 1 ab + 2 2 b 2 (a + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = ( 3 0 a 3 + ( 3 a 2 b + ( 3 ab 2 + ( 3 b 3... Redezzük el a biomiális együtthatókat egy táblázatba: ( 0 0... ( 1 ( 1 0 1 ( 1 0 ( 2 ( 2 ( 2 0 1 2 ( 2 0 ( 2 1 ( 3 ( 3 ( 3 ( 3 0 1 2 3 ( 3 0 ( 3 1 ( 3 2 ( 4 ( 4 ( 4 ( 4 ( 4 0 1 2 3 4 ( 4 0 ( 4 1 ( 4 2 ( 4 3 0 1 2 3 Ezekutá kiszámoljuk a biomiális együtthatók értékeit a tault módszerrel és a fetihez hasoló módo elhelyezzük ezeket a táblázatba: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
Kombiatorika 10 Összeállította:Keszeg Attila A biomiális együtthatókak ezt az elredezését Pascal háromszögek evezzük. A háromszög mide sora 1-gyel kezdődik, és 1-gyel végződik. Ebbe a háromszög elredezésbe a 2. sortól kezdve a sorok bármely belső száma a felette lévő sorba balról és jobbról álló két számak az összege. Így például agyo gyorsa ki lehet töltei a következő sort, amely a következő biom poliom alakjához haszálható: (a + b 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 A biomiális tétel vizsgálatával megállapíthatjuk a következőket: Tétel 8. Mide 1 egész számra teljesül: 2 = (1 + 1 = ( ( 0 + ( 1 + ( 2 +... + ( 1 + 0 = (1 1 = ( ( 0 ( 1 + ( 2... + ( 1 1 ( 1 + ( 1 Feladat 8. 1. Háy háromelemű részhalmaza va egy ötelemű halmazak? 2. Háy részhalmaza va egy ötelemű halmazak? 3. Háy részhalmaza va egy halmazak? Kidolgozás 8.
Kombiatorika 11 Összeállította:Keszeg Attila 1. A három elemű részhalmaz azt jeleti, hogy három elemet kell kiválasztauk (ebbe a példába az ötből. Ez azt jeleti, hogy a háromelemű részhalmazok száma egyértelműe meghatározható a ( 5 3 3 segítségével. (5 ( 5 3 = 5! 3! (5 3! = 120 6 4 = 120 24 = 5 Tehát 5 háromelemű részhalmaza va egy ötelemű halmazak 2. A feti példa elvét követve meg kell határozuk, háy 0,1,2,3,4,5 elemű részhalmaza va egy ötelemű halmazak. (a 0 elemű részhalmazok száma: ( 5 0 0 =1 (ez a részhalmaz az üreshalmaz (b 1 elemű részhalmazok száma: ( 5 1 1 =5 (c 2 elemű részhalmazok száma: ( 5 2 2 =10 (d 3 elemű részhalmazok száma: ( 5 3 3 =10 (e 4 elemű részhalmazok száma: ( 5 4 4 =5 (f 5 elemű részhalmazok száma: ( 5 5 5 =1 Az ötelemű halmaz összes részhalmazaiak száma tehát 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 3. A fetiekbe haszált godolatmeetet folytatva megválaszolható az utolsó kérdés is, tehát az -elemű halmaz részhalmazaiak száma ayi, ameyi 0,1,2,..., 1, elemű részhalmaza va, vagyis ( 0 ( + ( 1 + ( 2 +... + ( 1 + }{{} = 8.Tétel 2 Megjegyzés 1. Ez a megállapítás megegyezik a 9. osztályba taulttal, mely szerit egy -elemű halmaz részhalmazaiak száma 2 2 Feladatok 1. Írja fel a biomiális tétel segítségével a következő hatváyokat: (a (x 3 5 (b (3 + 2 5 (c (y 1 10 2. Írja fel hatváyalakba a következő összegeket! (a x 4 4x 3 + 6x 2 4x + 1 (b c 5 + 10c 4 + 40c 3 + 80c 2 + 80c + 32 3. Bizoyítsa a következő összefüggést! ( ( k + k+1 ( = +1 k+1
Kombiatorika 12 Összeállította:Keszeg Attila 5 Gráfok A gráfok agyo jól szemléltetik egy halmaz elemei közti kapcsolatokat. Gráfokkal szemléltethetõk pl. egy társaság ismeretségi viszoyai, vagy bármilye hálózat kapcsolódási viszoyai. Defiíció 7. A gráf potokból és voalakból áll. Mide voal két (em feltétleül külöbözõ potot köt össze. A potok a gráf potjai, a voalak a gráf élei. Jelölések: 1. A gráf potjaiak halmazát V (G-vel jelöljük az agol vertex = csúcs szóból 2. A gráf éleiek halmazát E(G-vel jelöljük az agol edge = él szóból A B C Defiíció 8. A gráfokba elõfordulhat olya él is, melyek midkét végpotja ugyaaz a pot, az ilye él eve hurokél. Defiíció 9. Két csúcs között több élt is húzhatuk, ezek a többszörös élek A B
Kombiatorika 13 Összeállította:Keszeg Attila Defiíció 10. A gráf olya potját, amelybõl em vezet él, izolált potak evezzük C B F D A E Defiíció 11. Egy gráfot egyszerű gráfak evezük, ha ics bee sem hurokél, sem többszörös él. C D A E
Kombiatorika 14 Összeállította:Keszeg Attila Defiíció 12. Ha egy gráfak potja va Z + és midegyik potból potosa egy él vezet a többi pothoz, akkor a gráfot potú teljes gráfak evezzük. Tétel 9. Az potú teljes gráf éleiek száma ( 1 2 Defiíció 13. Egy gráf egy potjához illeszkedõ élvégek számát a pot fokszámáak (fokáak evezzük. 1 2 2 3 0 Tétel 10. Legalább 2 csúcsú egyszerû gráfba va 2 azoos fokú csúcs.
Kombiatorika 15 Összeállította:Keszeg Attila Tétel 11. A potok fokszámösszege az élek számáak kétszerese, ebből adódóa a potok fokszámáak összege midig páros szám Tétel 12. A páratla fokszámú potok halmaza páros (hisze a páros fokszámú potok fokszámáak az összege páros, és ehhez hozzáadva a páratla fokszámú potok összegét, páros számot kell kapuk. Defiíció 14. Egy gráf összefüggõ gráf, ha bármely potjából bármely másik potjába élek meté el lehet juti. Defiíció 15. Az út az élek olya egymáshoz kapcsolódó sora, amely egyetle poto sem halad át egyél többször.
Kombiatorika 16 Összeállította:Keszeg Attila D 6 7 1 2 4 A B C 3 5 Defiíció 16. A voal a gráf csúcsaiak és éleiek az a sora, amelybe az élek ezeket a potokat kötik össze és az élek em ismétlõdek, egy csúcs többször is elõfordulhat. A voal zárt, ha kezdõ és végpotja megegyezik, egyébkét yílt. Defiíció 17. A kör olya voal, amelyek kezdõ és végpotja megegyezik és a potok em ismétlõdek. Defiíció 18. Az Euler-voal a gráf összes élét potosa egyszer tartalmazó voal. Lehet zárt és lehet yílt Euler-voal. Zárt Euler-voalak ics kezdõ és végpotja, mert egybeesik, yílt Euler-voalál két külöbözõ pot va a voal két végé. Tétel 13. Zárt Euler voala akkor és csak akkor va egy összefüggõ gráfak, ha mide foka páros. Tétel 14. Nyílt Euler voala akkor és csak akkor va egy összefüggõ gráfak, ha potosa két páratla fokú potja va Defiíció 19. Két gráfot izomorfak evezük, ha potjaik és éleik kölcsööse egyértelmûe és illeszkedéstartóa megfeleltethetõek egymásak
Kombiatorika 17 Összeállította:Keszeg Attila Defiíció 20. A fa olya összefüggõ gráf, amely em tartalmaz kört. Tétel 15. A fa maximális körmetes gráf (bármely két potját összekötjük, amelyek között em volt él, akkor a gráf már tartalmaz kört Tétel 16. A fa miimális összefüggõ gráf (bármely élet elhagyjuk, akkor a gráf már em összefüggõ Tétel 17. A fa bármely két csúcsát egyetle út köti össze Tétel 18. csúcsú fáak 1 éle va. Tétel 19. Mide egyél több csúcsú fáak va legalább 2 elsõfokú csúcsa