NLÍZIS I Bárti Pál Hlmzok Hlmzok, műveletek lmzokkl D lmz metározott dolok összessée lmz medásáál léyees követelméy, oy eyértelműe el leesse dötei, oy ey objektum beletrtozik-e lmzb, vy em Jelölések: : eleme z lmzk, : em eleme z lmzk, B: részlmz B-ek, vyis mide eleme eleme B lmzk, B: trtlmzz B-t, B részlmz -k, B: z és B lmz eyelő, vyis elemeik közösek és jelöléseket em száljuk Nyilvá B kkor és csk kkor, B és B lmz medás törtéet {, b, c} lkb z elemek elsorolásávl, vy {: -re votkozó állítás} lkb, ol z elemei zo -ek, melyre z állítás teljesül Műveletek: I Eyesítés művelete: B {: vy B} Műveleti szbályok: B B kommuttivitás B C B C sszocitivitás 3 B B kkor és csk kkor teljesül, B elyelési tuljdosá II Metszet művelete: B {: és B} Műveleti szbályok: B B kommuttivitás B C B C sszocitivitás 3 B B kkor és csk kkor teljesül, B elyelési tuljdosá 4 B C B C disztributív tuljdosá 5 B C B C disztributív tuljdosá III Kivoás művelete: - B {: és B} D Üres lmzk evezzük zt lmzt, melyek eyetle eleme sics, jelölése Ø D és B lmzok diszjuktk, ics közös elemük, zz B Ø Több lmz diszjukt, bármely kettőek ics közös eleme Füvéy D z : X Y vy rövide z üvéy ozzáredelés, mely z X lmz mide eleméez ozzáredel ey Y-beli elemet
D z X z üvéy értelmezési trtomáy, mit D-el is ouk jelöli ol: domi z Y zo elemeit, melyek ozzáredelés sorá szób jöek z értékkészletéek evezzük és R-el jelöljük ol: re D z : X Y üvéyt szürjektívek evezzük, R Y, b ijektívek evezzük, ' eseté ', c bijektívek evezzük, ijektív és szürjektív Szürjektív, leképezés em Y-b, em Y-r törtéik, ijektív, leképezés kölcsööse eyértelmű D Leye : X Y és : Y Z, kkor : X Z, z üvéy mi X-ez z Z értéket redeli ozzá üvéyt összetett üvéyek evezzük D Leye : X Y bijektív üvéy z üvéy iverzéek evezzük z - :Y X üvéyt, melyre y eseté - y bijektív tuljdosá z iverz üvéy létezéséez kell, z y mellett y ' is teljesül, kkor - y em deiiáltó eyértelműe: értéke is és ' is leete Nyilvá, - létezik és -, kkor továbbikb N jelöli természetes számok lmzát: N {,, 3, } D z : N Y üvéyt z Y elemeiből álló soroztk evezzük z üvéy medás lekéyelmesebbe úy törtéik, oy medjuk zokt z y, y, y 3, Y lmzoz trtozó elemeket, melyekre y,, Ez sorozt szokásos elírási módj Vlós számok vlós számok bevezetése természetes számok N lmz z összedás és szorzás műveletére zárt, vyis műveletek N-e belül elvéezetők Nem véezető el zob kivoás és z osztás kivoás elvéezetősééek z érdekébe bővítsük ki N-et -vl és etív eészekkel z íy előálló számlmz z eész számok lmz, jelölése Z z osztás elvézéséek érdekébe be kell vezeti tört számokt, vyis zokt számokt, melyek két eész áydoskét előállk z íy kpott számlmz rcioális számok lmz, jelölése Q Q-b z osztás is - -vl vló osztás kivételével, de ezt midi ki ojuk zári - elvéezető z lpműveletekre ézve zárt lmzt számtestek evezzük Már Euklidesz észrevette, oy rcioális számok lmz - bár éy lpművelet midi elvéezető - em elé bő, uyis z eyséyi oldlú éyzet átlóják ossz rcioális p számml em dtó me Teyük el ellekezőle, oy, ol p és q reltív prímek q vyis törtet em eyszerüsítető lkb írtuk el, kkor q p Ebből láttó, oy p páros, leye p k Ezt elszálv q k, zz q is páros, mi elletmod reltív prím tuljdosák
H rcioális számlmzt -vel bővítjük, zz képezzük z b számok lmzát Q, b Q, kkor újr számtestet kpuk, zob ez sem trtlmzz 3 -t, 5 -öt, 3 -t, stb Ilye kokrét bővítési lépésekkel em jutuk céloz vlós számok deiiálás soltos eometriáb z eyees deiiálásáoz: lpolomk tekitjük, és tuljdosáivl jellemezzük tuljdosáokt árom csoportb soroljuk Műveleti szbályok vlós számok trtlmzzák Q-t és számtestet kotk Deiiálv v z összedás és szorzás művelete Midkét művelet kommuttív b b, b b és sszocitív b c b c és bc bc két műveletet disztributív szbály köti össze: b c b c Midkét műveletek v eutrális eleme: z összedásál ez, szorzásál z, melyre, Midkét műveletek v iverz művelete: bármely -oz v oly, oy, és, kkor v oly y oy y z ilye -et - -vl, y-t -vl jelöljük kivoás művelete - b - b, z osztás művelete képlettel deiáltó b b Redezés vlós számok között < jellel jelölt redezési reláció deiiáltó Bármely b számokr vy < b, vy b < teljesül de midkettő em redezési reláció trzitív: < b és b < c, kkor < c redezési reláció összb v műveletekkel, vyis < b eseté bármely c-re c < b c, és bármely c-re, melyre < c, c < bc z eyelőtleséek kéyelmesebb kezelése érdekébe > b uyzt jeleti, mit b <, és b zt jeleti, oy vy < b, vy b Hsoló értelmezető jel is Itervllumk evezzük zo vlós számok lmzát, melyek két dott szám közé esek potosbb z [, b] zárt itervllum deiíciój [, b] {: b}, z, b yílt itervllum:, b {: < < b} Értelemszerűe deiiáltók z [, b és z, b] éli zárt itervllumok is, pl [, b {: < b} 3 Teljesséi ióm Ctor: Tetszőlees [, b ] [, b ] [ 3, b 3 ] oyó, zárt itervllumokból álló soroztr I[ i, b i ] Ø i Ez tuljdosá ejezi ki, oy számeyeesről már további számok em iáyozk Ez z ióm teszi leetővé vlós számokk vétele tizedes törttel törtéő meközelítését, potosbb zt, oy ey vétele tizedes tört téyle med ey vlós számot Összeollv vlós számok testiómákk, redezési iómákk és teljesséi iómák eleet tevő Q-t trtlmzó számlmz Jelölése R vlós számok lmzát számeyeesek, -dimeziós Euklideszi térek is evezzük D vlós számokból álló,,, szám -esek lmzát -dimeziós Euklideszi térek evezzük Jelölése R z -dimeziós terek szerkezetével később ouk ollkozi
Hlmzok számossá z üres lmz számossá, vées lmz számossá z elemeiek szám problémát csk vétele lmzok okozzák D Két lmz, és B eyelő számossáú, v oly : B üvéy, mely bijektív deiíció lpjá z N és pozitív páros számok mzák számossá meeyezik, o z utóbbi részlmz z előbbiek bijektív üvéy D z lmz meszámláltó, üres, vées lmz, vy N-el eyelő számossáú H vétele lmz, de meszámláltó, kkor számossá meszámláltó vétele H N-el eyelő számossáú, kkor létezik : N bijektív üvéy, mi zt jeleti, oy elemeit soroztb redeztük meszámláltó vétele számossá teát ekvivles soroztb redezetőséel T H z,, lmzok meszámláltók, kkor eyesítésük is meszámláltó B Redezzük soroztb z eyes k lmzok elemeit: :,, 3, 4, :,, 3, 4, 3 : 3, 3, 33, 34, Ú átlós kiválsztássl készítsük el következő soroztb redezést:,,, 3,, 3, 4, 3, 3, 4, 5, H z,, lmzok em voltk diszjuktk, kkor soroztb ismétlődések vk, de ezeket kiyv soroztb redezés memrd K rcioális számok lmz meszámláltó B Leye z k lmz k evezőjű törtek lmz kkor is, tört eyszerűsítető k yilvá meszámláltó, és z k -k eyesítése Q T z [, b] lmz, < b, kkor em meszámláltó B Teyük el, oy meszámláltó lmz, kkor létezik oly : N [, b] üvéy, melyik bijektív Osszuk el [, b]-t két itervllumr úy, oy z osztópot -től külöböző leye Ekkor vlmelyik zárt részitervllum em trtlmzz -et jelöljük ezt részitervllumot [, b ]-yel Hsoló [, b ] elosztásából kptuk ey [, b ] [, b ] részitervllumot, mely em trtlmzz z -t z eljárást olyttjuk, k-dik lépésbe kpott új [ k, b k ] itervllum is része lesz z előzőek és em trtlmzz k-t Ctor ióm szerit z itervllumokk v közös potjuk, leye ez z bijektív volt mitt vlmilye -re, de mivel [, b ] em trtlmzz -et, -et sem trtlmztj, mi elletmodás em meszámláltó számossáok között további mekülöböztetéseket leet tei, de erre em térük ki
3 Korlátos lmzok Hszáli ojuk és jelöléseket, jelölést rövidítést modtb "v oly"-k, "létezik"-ek kell olvsi, jelölést "bármely"-ek D z R lmz elülről korlátos, K R, oy -r K K számot z lmz első korlátják evezzük lulról korlátos, K R, oy -r K Ez K szám lsó korlátj z lmzk z lmz korlátos, elülről is és lulról is korlátos T H em üres és elülről korlátos, kkor létezik lekisebb első korlátj B Válsszuk ey [, b ] itervllumot úy, oy b első korlát leye, és e leye első korlát Mivel korlátos ilye tuljdosáú b létezik, mivel em üres ilye is létezik, isze vlmely elemét kiválsztv ál kisebb számot válszttuk -ek Felezzük [, b ]-et, c elezőpot első korlát, kkor leye [, b ] [, c ], em, kkor leye [, b ] [c, b ] [, b ] teát újr eti tuljdosál redelkező itervllum, és [, b ] [, b ] elezéses eljárás olytttó Leye z [ k, b k ] itervllumok közös potj Ctor ióm, kkor első korlát, mert -él yobb eleme -k em leet H uyis és >, kkor k meválszttó úy, oy b k - k < -, mert z [ k, b k ] itervllum ossz kisebbé teető, mit z dott - > szám Ebből b k <, de kkor b k em első korlát; mi elletmodás; b -él kisebb első korlát em leet, mert, ' < első korlát, kkor k oly válsztásávl, oy b k - k < - ', elérető, oy k > ', de kkor ' em leet első korlát, mert k sem z tétel állítás lulról korlátos lmzokr lsó korláttl uyíy iz D lekisebb első korlátot első tárk, leyobb lsó korlátot lsó tárk evezzük z lmz szuprémum, melyre sup jelölést száljuk, első tár, elülről korlátos és em üres, sup, elülről em korlátos és sup -, üres z lmz iimum, jelölve i, z lsó tárrl eyezik me, lulról korlátos és em üres, i -, lulról em korlátos és i, üres 3 Számsoroztok 3 Htárérték z lábbikb soroztok elemei vlós számok D z,, 3, sorozt tárértéke, ε > számoz, oy eseté < ε Jelölése, vy lim H élreértető lee, kkor eltütetjük, oy eseté
P H, kkor Válsszuk tetszőleese ε > -t, kkor < ε biztos teljesül, >, vyis -t tetszőlees -ál yobb számk leet válszti ε ε D z,, 3, sorozt koveres,, oy em koveres soroztokt diveresek is evezzük D z szám ε-surú köryezetéek ε > z - ε, ε yílt itervllumot evezzük tárérték deiícióják z átolmzás következő:, z S köryezetéez tláltó oly küszöbide, oy S, Uycsk ekvivles átolmzás következő:, S köryezete vées sok kivétellel sorozt összes elemét trtlmzz T H, és b, kkor b soroztk csk ey tárértéke leet b B Teyük el, oy b, modjuk < b Válszuk me z ε-t úy, oy ε < leye Ekkor ε-surú köryezete sorozt vétele sok elemét trtlmzz, de b ε-surú köryezeté kívül csk vées sok eleme leet soroztk, mi elletmodás D dott z,, 3, sorozt H z,, 3, eész számokból álló soroztr eáll, oy < < 3 <, kkor z,,, soroztot z 3,, 3, sorozt részsorozták evezzük T H, kkor mide részsorozt is -oz koverál B Veyük -k ey tetszőlees S köryezetét, kkor S-e kívülre z,, 3, soroztk csk vées sok tj eset, de kkor részsoroztk is csk vées sok tj leet kívül, mi részsorozt z -oz vló kovereciát jeleti T Koveres sorozt midi korlátos Potosbb: z {,, 3, } lmz korlátos B Mivel dott ε-oz, oy > eseté - < ε, sorozt utái tjiból álló lmz korlátos z előtti tok vées lmzt lkotk, de vées lmz midi korlátos 3 Vétele, mit tárérték D vy lim, c-ez, oy > c, H, kkor zt modjuk, oy tárértéke plusz vétele, de em evezzük koveresek soroztot vyis sorozt diveres H zt modjuk, oy soroztk létezik tárértéke, kkor midi vées tárértékre odoluk, csk z ettől vló eltérést em súlyozzuk
tárérték deiíciój eyséesítető, köryezeteit c, itervllumok lkotják Ekkor z elmodott ekvivles deiíciók esetére is érvéyesek 33 Össze, szorzt, áydos tárértéke T H és b sorozt korlátos, kkor b B b sorozt korlátos, teát v oly K, melyre b < K, íy b - b K Válsszuk ε > -t tetszőleese Mivel, z K ε számoz tláltó oly, oy - < K ε, Ezt elszálv b - K K ε ε,, mi bizoyítdó állítást jeleti T kkor és csk kkor, - B H elírjuk két kovereci deiícióját, kkor uyzt sort írjuk el T H és b b, kkor b b, b b, c c és B b - b - b - b - b - b Válsszuk me z ε-t, és ε -öz, oy - < ε,, továbbá ε ε -öz, oy b - b <, Leye m,, kkor ε ε b - b ε, Mivel korlátos, b - b Mivel b korlátos, b - z előző pot szerit két sorozt összee is -oz trt, de b - b b - b - b, mi zt jeleti, oy b b 3 Mivel -, következik, oy c -, vyis c - c, teát c c 4 Mivel, z - < ε eyelőtleséből következik, oy ε T H H és b b, és b semmilye -re, továbbá b, kkor b b B Elé zt bizoyíti, oy b b ejezet elő tétele szerit zob b b bb eez csupá b sorozt korlátossáát kell memutti Tudjuk, oy b b ε ½b
válsztássl,, kkor b - ½b < b < b ½b, zz b > ½b, teát korlátossáot jeleti <, mi b b 34 Mooto soroztok D z { } sorozt mooto övekedő, mide -re z { } sorozt mooto csökkeő, mide -re sziorú mooto övekedő/csökkeö soroztok deiíciójáb sziorú eyelőtleséet kell meköveteli mooto soroztok elevezés mooto övekedő és mooto csökkeő soroztok közös eve T H z { } sorozt mooto övekedő és elülről korlátos, kkor koveres B Leye sup{ }, kkor, és tetszőlees ε > válsztás mellett - ε már em első korlát, teát, oy > ε mootoitás mitt ekkor > eseté - ε < P, < B Felteető, oy > Ekkor z sorozt mooto csökkeő és lulról korlátos, teát koveres Leye lim Mivel, tárértékekre votkozó műveleti szbályok lpjá, miből T Mide számsoroztból kiválszttó mooto részsorozt B Teyük el, oy mooto övekedő részsorozt em válszttó ki Kezdjük el ey mooto övekedő részsorozt kiválsztását eltevés mitt kiválsztás vlmilye ideél véet ér, vyis soroztk z utái tji mid kisebbek, mit sorozt -él yobb ideű elemei közül is kezdjük mooto övekedő soroztot kiválszti, ez is véet ér ey > ideél, mert mide utái elem már kisebb z eljárást olytssuk z íy kpott,,, sorozt mooto csökkeő lesz 3 T Cucy-éle kovereci kritérium z { } sorozt kkor és csk kkor koveres, ε > -oz, oy - m < ε, és m M Cucy kritérium jeletősée bb áll, oy tárérték létezését tárérték értékéek elszálás élkül biztosítj B H, kkor ½ε-oz v oly, oy - < ½ε, Ebből következik, oy - m - - m - - m - ½ε ½ε ε H Cucy-kritérium teljesül, kkor sorozt korlátos, uyis z -ál yobb ideekre ε < < ε, z előtti vées sok t pedi korlátos Válsszuk ki { }-ből mooto soroztot, leye ez,,, kkor ez koveres, teát 3 k
Más meolmzásb, ε < k, k k Cucy-eltétel mitt ε < k, és k két eyelőtleséből kpjuk, oy ε ε ε k k k k,, csupá k értékét úy kell meválszti, oy k k, és k leye 35 Eyelőtleséek 35 Össze bszolút értéke T Tetszőlees, b R számokr b b B z eyelőtlesé midkét oldl pozitív, teát elé éyzetre emelt lkot bebizoyíti: b b b b b b 35 Beroulli-eyelőtlesé T H pozitív eész, és -, kkor B Teljes idukcióvl -re eyelősé ormájáb iz z állítás Teyük el, oy k k, és szorozzuk midkét oldlt -vl eltevés szerit : k k k k 35 Számti és mérti közép eyelőtlesé T Nemetív,,, számokr B Teljes idukcióvl bizoyítjuk -re z állítás yilvávló -re tultuk középiskoláb Teyük el, oy z számr iz, be ojuk bizoyíti, oy kkor - re is iz Jelöljük -el z,,, számok számti közepét Átlkítássl, z utolsó kiejezésre lklmzzuk Beroulli-eyelőtleséet válsztássl mivel, >, -r votkozó eltétel teljesül, kkor,
miből, z idukciós eltételt elszálv, kpjuk, oy, mi bizoyítdó állítást jeleti 36 z e szám Tekitsük z soroztot Be ojuk bizoyíti, oy koveres Eez belátjuk, oy mooto övekedő és elülről korlátos mooto övekedő Írjuk el számti-mérti közép eyelőtleséet z,,,, számokr, ol z potos -szer szerepel számok számti közepe:, mérti közepe: G számti-mérti közép eyelőtleséből dódik, oy, mi mootoitást jeleti elülről korlátos Most z,,,, számokr, ol z potos -szer szerepel, lklmzzuk számti-mérti közép eyelőtleséet, G, 4 miből 4 dódik z sorozt teát koveres, tárértékét jelöljük e-vel D e lim,7 37 Péld Bebizoyítjuk, oy z sorozt lulról korlátos, mert, isze midkét oldlt -edik tváyr emelve dódik, mi iz
z sorozt elülről mebecsülető számti mérti közép eyelőtleséel, - et következő lkb írjuk:, ol - drb -est szerepeltetük Ekkor, íy "redőr-elv" mitt -ez trt 38 Péld, > H, kkor eseté, -edik tváyr emeléssel izoltó, miből ismét redőr elv lpjá következik z állítás H < <, kkor >, íy, de, vyis 4 Sorok 4 vétele sor összee dott z,, 3, sorozt Hoy deiiáljuk z 3 vétele összeet? soroztokból képezett vétele összeeket sorokk evezzük D z s k kiejezést sor részletösszeéek evezzük sor koveres, k részletösszeek sorozt koveres, koveres sor összee részletösszeek tárértéke, zz lim s D k bszolút koveres, tok bszolút értékeiből álló sor koveres, vyis k koveres T H k bszolút koveres, kkor koveres is B részletösszeek soroztár lklmzzuk Cucy-kritériumot m > mellett: m m * * sm s k k sm s, k k * * ol s k Ebből látszik, oy s -r teljesül Cucy-kritérium, kkor s -re is k T H k koveres, kkor z állítás meordítás em iz, lásd P példát B Jelöljük sor részletösszeét s -el, összeét -vl, kkor s, és s, vyis s s
P q lkú mérti sor koveres, q <, és diveres, q q mérti sor részletösszeeire ismert z s képlet, miből q q eseté q állítás em teljesül, teát z előző tétel értelmébe sor em leet koveres P lkú rmoikus sor diveres Mivel mide -re s s, Cucy-kritérium em teljesület s, q < q T H z { } és {b } soroztr b mide -re teljesül, és b sor koveres, kkor is koveres {b } soroztot mjorás sork szokták evezi, tételt mjorás kritériumk B s jelölje, s * s b sor részletösszeeit * s mooto övekedő sorozt, * s C, vyis s mooto övekedő és korlátos sorozt, teát koveres 5 Füvéyek tárértéke 5 Nyílt és zárt lmzok * s C, íy D dott R z potot belső potják evezzük, v oly köryezete, mely teljes eészébe -oz trtozik belsejéek evezzük belső potjik lmzát z lmz yílt, mide potj belső pot yílt itervllum yilvávló yílt lmz deiícióból közvetleül következik, oy yílt lmzok tetszőlees számú eyesítése is yílt D dott R z lmz zárt, potjiból álló mide koveres sorozt tárértéke is lmzoz trtozik zárt itervllum yilvávló zárt lmz deiícióból közvetleül következik, oy zárt lmzok tetszőlees számú metszete is zárt 5 Véesbe vett tárérték Leye R, és : R vy : -{ } R D Leye z belső potj z -ek -b tárértéke, ε > -oz δ, oy - < ε, < - < δ Jelölésbe:,, vy lim
M tárérték em ü z üvéy -b elvett értékétől T Átviteli tétel Leye z z belső potj z üvéyek z potb tárértéke kkor és csk kkor,,, i, i, i,,, soroztr B H tárértéke, kkor ε > -oz δ, oy - < ε, < - < δ Mivel, δ > -oz, oy - < δ, E kettőből - < ε,, mi zt jeleti, oy Teyük el, oy -ek em z tárértéke, vy ics tárértéke z -b, kkor ε >, oy δ-r tláltó oly, melyre < - < δ és - ε E szerit mide δ -ez tuduk oly -et válszti, melyre - ε Erre soroztr, de em trt -oz si P, si, mert z eysésurú körbe szööz trtozó úr, melyek ossz si, kisebb, mit z ív ossz, si cos, mert z eysésurú yílásszöű körcikk területe kisebb, mit körcikket máb olló derékszöű áromszö területe, vyis t 3 cos si, teát cos, 4 si si 4 cos, és cos, teát u "redőr" elv T Füvéyek összeéek, szorzták és áydosák tárértéke osztásál eltéve, oy evezőbe álló kiejezés tárértéke em ull tárértékek összee, szorzt, áydos Itt eltételezzük, oy z eyes kompoesek tárértéke létezik B z átviteli tétellel visszvezetető soroztokr bizoyított tételre 53 Htárérték vételebe és vétele, mit tárérték D tárértéke -be, ε > -oz K, oy > K eseté értelmes és - < ε tárértéke - -be, ε > -oz K, oy < K eseté értelmes és - < ε P lim lim 3 3 3 3 D z vételeez trt eseté, K-oz δ, oy > K, < - < δ z vételeez trt eseté, K-oz L, oy > K, > L
Vételeez trtás eseté zt modjuk, oy tárérték em létezik, mert - mást em moduk - vées tárértékre odoluk; viszot zt modtjuk, oy üvéy tárértéke vétele 6 Folytoos üvéyek 6 olytoos üvéy deiíciój D z potb olytoos, és lim létezik és kettő eyelő P cos z potb olytoos z 5 potb bizoyítottuk Mivel y y y y cos cos y si si si y z utolsó eyelőtleséet uycsk z 5 potb bizoyítottuk, kpjuk, oy cos üvéy mide potb olytoos D z üvéy z, b itervllumb olytoos, mide potjáb olytoos T z, b itervllumb olytoos üvéyek összee, szorzt és áydos is olytoos, z utóbbi esetbe eltételezve, oy evezőbe lévő üvéy semmilye, b -re em válik ullává B tárértékekre votkozó tétel közvetle következméye P z - üvéy olytoos z eész számeyeese P z -k üvéy k N olytoos -,, vlmit, itervllumoko, viszot em olytoos potb 6 Jobb- és bloldli tárérték és olytoossá D z üvéyek z potb jobboldli tárértéke, ε > -oz δ, oy - < ε, < < δ bloldli tárérték deiíciójáb leutolsó eltétel - δ < < -r módosul Jelölése: lim jobboldli, lim jobboldli tárérték jelölése lim, bloldlié lim bloldli tárérték -b vett H jobboldli és bloldli tárérték eyrát létezik és eyelők, kkor létezik tárérték is jobb- és bloldli tárérték leet vy - vétele is Például z üvéyek -b jobboldli tárértéke, bloldli tárértéke - z üvéyek -b jobboldli és bloldli tárértéke is eyrát, ekkor tárértéke is
D z üvéy z potb jobbról olytoos, és z üvéy jobboldli tárértéke z potb létezik, és kettő eyelő blról olytoossá deiíciój értelemszerű módosítássl uyíy törtéik P z [] üvéyek eészrész üvéy mide eész potb létezik jobboldli és bloldli tárértéke, pl -be lim, lim - Mivel, üvéy jobbról olytoos, de blról em 63 Mooto üvéyek D z :[, b] R üvéy mooto övekedő z [, b]-,, [, b], < értékekre mooto csökkeő üvéyekél z utolsó eyelőtlesé meordul, sziorú mooto övekedő/csökkeő üvéyekél sziorú eyelőtlesé érvéyes T H z [, b]- mooto üvéy, kkor mide [, b] elye létezik bl- és jobboldli tárértéke B bloldli tárérték létezését bizoyítjuk mooto övekedő -re Válsszuk ey -oz koveráló,, mooto övekedő soroztot, kkor,, mooto övekedő és korlátos sorozt, isze b z teát koveres, tárértéke leye c, kkor ε > -oz, oy - c < ε, de kkor mootoitás mitt - c < ε, < < 64 Folytoos üvéyek tuljdosái D z üvéy olytoos z [, b]-be,, b mide potjáb olytoos és -b jobbról, b-be blról olytoos T Weierstrss tétele H olytoos z [, b]-be, kkor elveszi leyobb és lekisebb értékét B leyobb értékre bizoyítjuk Leye z üvéy [, b]- elvett értékeiek szuprémum M itt M mé elképzelető Tláltó oly,, [, b] sorozt, oy M Mivel z,, sorozt korlátos, v koveres részsorozt, leye ez ', melyre ' [, b], és természetese ' M z olytoossá mitt ' koverál z potbeli tárértékéez, de z -ll eyelő, teát M T Bolzo tétele H olytoos z [, b]-be, kkor leyobb és lekisebb értéke közé eső mide értéket elvesz B Elé zt bizoyíti, oy <, b, kkor, oy Uyis vlmilye α elye elveszi miimumát, β elye mimumát, és elteető, oy α < β, leye továbbá c mimum és miimum közé eső tetszőlees érték, kkor z előző állítást kell csk lklmzi, z - c üvéyre z [α, β] itervllumr votkozól Felezzük z [, b]-t c pottl, és leye [, b ] [, c], c, és [, b ] [c, b], c < Íy újr z [, b]-ez soló tuljdosáú itervllumoz jutuk: <, b z eljárást olytssuk, és leye z itervllumok közös potj Ctor-ióm
z,, sorozt mooto övekedőle trt -oz, <, ezért z olytoossá mitt, soló b, b, sorozt mooto csökkeőle trt -oz, b, ezért Összeollv D z : D R üvéy eyeletese olytoos, ε > -oz δ, oy, D-re - < ε, - < δ M olytoossá deiíciój δ meválsztását z ely üvéyekét kíváj me: más és más -r esetle eyre kisebb δ-vl érető el kikötés z eyeletes olytoossá uyzt δ-t követeli me mide potb Pl z üvéy, itervllumo olytoos, de em eyeletese, isze pot közelébe eyre yorsbb változik T H z üvéy olytoos [, b]-, kkor eyeletese is olytoos [, b]- B Teyük el z ellekezőjét, z zt jeleti, oy ε >, oy δ-r tláltó oly α, β, [, b], α - β < δ, melyre α - β ε Rözítsük ezt z ε-t, és leye δ, ozzá tláltó α-t jelöljük α -el, β-t β -el, teát α - β ε z α soroztk v koveres részsorozt, mely modjuk -oz koverál, részsorozt elemeiez trtozó β - ek, mivel, uyeez z -oz koverálk üvéyértékek mid z α, részsorozták potjib, mid β részsorozták potjib -oz trtk, mi elletmod z α - β ε eyelőtleséek 65 z iverz és z összetett üvéy olytoossá T z :, b D D R bijektív és olytoos üvéy, kkor - : D, b is olytoos üvéy B Leye y D tetszőlees potj és leye z, b-ek z potj, melyre y Válsszuk me ε > -t tetszőleese, de úy, oy [ - ε, ε], b leye Jelöljük ezt z itervllumot [, b ]-yel z [, b ]-e elveszi leyobb értékét Weierstrss, de ezt csk -be vy b -be teeti H uyis ey belső c potb teé, kkor z [, c] és [c, b ] itervllumb is leyobb és lekisebb értéke közötti mide értéket elvesz Bolzo, íy lee oly érték, mit [, b ]-be kétszer is elvesz, mi elletmod bijektív tuljdosák z [, b ] itervllum képe teát z I [, b ], vy z I [b, ] itervllum Nyilvá y I, és em leet k vépotj, mert bijektív Felveető teát z I y - δ, y δ I itervllum, melyek - -yel törtéő leképezése [, b ]-be esik, íy tetszőlees y I -re - y - _y < ε, mi olytoossáot jeleti K, üvéyek olytoosk [, éleyeese z α üvéy α Q-r olytoos, éleyeese T H z üvéy olytoos z potb és olytoos z otb, kkor z is olytoos z potb
B z átviteli tétellel bizoyítjuk z olytoossá mitt, z,, soroztr, kkor, és olytoossá mitt, mi olytoossáát jeleti 7 Elemi üvéyek Elemi üvéyek leotosbb üvéy típusok, melyekből képlettel medott üvéyek elépülek letöbb képlet elemi üvéyek lieáris trszormációj, és ezekből képezett összetett üvéyek 7 Htváyüvéy z α üvéyről, z α rcioális, már volt szó Most z eész α értékétől tekitsük el, ezek jól ismert üvéyek Értelmezési trtomáyuk, α > eseté [,, α q q α < eseté, Mivel z p p, és z iverz üvéy olytoossá mitt q olytoos, z összetett üvéy olytoossá mitt eek p-edik tváy is z, α is olytoos Hsoló meodolássl α mooto üvéy H α em rcioális, kkor tváy értelmezését tárértékkét djuk me Először szorítkozzuk z α > és < esetre Válsszuk ey α α, α Q soroztot, kkor z { α α } sorozt koveres Cucy-kritérium lpjá z α m kiejezést kell vizsáli, ol elteető, oy α α m : α α α α α m m m m Tudjuk, oy k, k, vyis k ε, k k Ebből α α m < ε, α - α m < k, ez pedi z {α } koveres soroztr lklmzott Cucy-kritérium, mi teljesül,, m { α } sorozt tárértéke üetle z {α } sorozt válsztásától Teyük el, oy v oly {α } sorozt, oy α α és α c, és oly {β } sorozt, oy β α, β c és c c Eyesítsük két soroztot, leye γ - α és γ β, kkor γ α, de γ em koveres, mi elletmodás D α >, α R értelmezése tárátmeettel törtéik: leye {α } oly sorozt, melyre α Q, és α α, kkor α α lim α α deiíció értelmes voltát és eyértelműséét α > és < esetre beláttuk, z áltláos eset ol csk > meszorítássl élük reciprok képzéssel előállíttó, és reciprok tárértékéről tudjuk, oy tárérték reciprok, ez utóbbi em ull tváyokr votkozó műveleti szbályok tárérték képzése utá is érvéyesek mrdk α α
T z α üvéy olytoos, -be H α >, kkor [, -be is B bizoyítást elé z α > és esetre elvéezi, mert többi eset reciprok képzéssel előállíttó, mi olytoossáot - z potot kivéve - meőrzi: α, >, ill α α α < α Tekitsük ey [, b], ] itervllumot és leye, [, b], <, kkor α α k α α α, < α ol k > α eészszám jobboldlo Beroulli-eyelőtleséet lklmztjuk: k k < α α k α α Ezzel < ε elérető, - -et elé kicsire válsztjuk Ez z α olytoossáát jeleti [, b]-be, miből következik, ]-be olytoossá Összeollv, α, α >, [, -be értelmezett, mooto övekedő, olytoos üvéy, melyre és lim ; α <, kkor, -be értelmezett, mooto csökkeő, olytoos üvéy, melyre lim és lim 7 Epoeciális üvéy z lkú epoeciális üvéybe szereplő tváyt > eseté z előző részbe deiiáltuk tetszőlees vlós -re rcioális számokkl törtéő közelítéssel, tárértékkét 7-be memutttuk, oy z epoeciális üvéy < és > eseté olytoos üvéy o ott kitevőbe rcioális számok szerepelek, de uyez érvéyes tetszőlees vlós számr is z -ből és z epoeciális üvéy mootoitásából következik -b vló olytoossá is Eyéb esetek reciprok képzéssel már szármztttók, mi olytoossáot meőrzi < -r z epoeciális üvéyt em értelmezzük T z epoeciális üvéy, ol >, R-e olytoos z epoeciális üvéy > eseté sziorú mooto övekedő és lim, lim ; < eseté sziorú mooto csökkeő és lim, lim z epoeciális üvéyre
z epoeciális üvéyek között kiemelkedő jeletőséű z e üvéy 73 Loritmus üvéy z >, epoeciális üvéy iverze z lpú loritmus üvéy lo üvéy,, -be értelmezett, olytoos üvéy, > eseté sziorú mooto övekedő, és lim, lim ; < eseté sziorú mooto csökkeő és lim, lim loritmus üvéyre eseté z epoeciális üvéy kosts üvéyé jul el, em bijektív, teát iverze em létezik, íy loritmust eseté em deiiáltjuk lob Mivel lo, külöböző lpú loritmus örbék csk kosts szorzób lob külöbözek eymástól, ez szorzó leet etív is z lízisbe leykrbb mjdem kizárólos szált loritmus lpszám z e z e lpú loritmust természetes loritmusk is evezik, külö jelölést vezetük be és lel jelöljük; teát l lo e 74 Trioometrikus üvéyek trioometrikus üvéyeket, si, cos, t és ct üvéyeket jól ismerjük trioometrikus üvéyek periodikusk z üvéy t szerit periodikus, -re, melyre D teljesül, oy t H t szerit periodikus, kkor t eész többszöröse szerit is periodikus lekisebb ilye t értéket evezzük periódusák si és cos periódus π, mí t és ct periódus π cos üvéyről beláttuk, oy olytoos R-e Mivel si cosπ -, z összetett si cos üvéy olytoossá mitt si is olytoos R-e t, ill ct cos si képletek mitt t és ct üvéyek is olytoosk, kivéve zokt potokt, ol evező -vá válik Ezeke elyeke m üvéy sics értelmezve 75 trioometrikus üvéyek iverzei trioometrikus üvéyek iverzeit már középiskoláb száltuk, mikor tábláztból visszkerestük, csupá em képeztük üvéyt belőle és em eveztük me mikor keressük, oy melyik szö sziusz,5, kkor visszkereséssel 6 π dódik, de éppúy leet 5π is, vyis z iverz em eyértelmű Ez természetes, isze periodikus üvéyek 6 em ijektív üvéyek, teát iverzük em létezik H z értelmezési trtomáyukt leszűkítjük ey periódusr, kkor t és ct üvéyek már ijektívek, de si és cos mé midi em, itt z értelmezési tromáy további leszűkítése szüksées
π π π π D si:, R, cos: [, π] R, t:, R leszűkített értelmezési trtomáyú üvéyeket z illető üvéy őértékéek evezzük trioometrikus üvéyek őértékei ijektív üvéyek, teát értékkészletükö, mit értelmezési trtomáyo értelmezetők z iverzeik D si őértékéek z iverzét rcsi üvéykét jelöljük, cos őértékéek z iverzét rccos, t őértékéek z iverzét rct üvéykét száljuk z "rc" kiolvsv rkusz ív z rcsi üvéy sziorú mooto övekedő, olytoos üvéy [-, ] π π itervllumo, értékkészlete, rcsi, pártl üvéy z rccos üvéy sziorú mooto csökkeő, olytoos üvéy [-, ] itervllumo, értékkészlete [, π] rcsi π z rct üvéy sziorú mooto övekedő, olytoos üvéy R-e, értékkészlete π π, rct, pártl üvéy z rcct üvéyt em ojuk száljuk 76 Hiperbolikus üvéyek trioometrikus üvéyekkel erős rokosáb vk iperbolikus üvéyek, szite mide trioometrii zoossá kissé eltérő ormáb iz iperbolikus üvéyekre is iperbolikus üvéyek - elletétbe trioometrii üvéyekkel - kiejezetők z epoeciális üvéy seítséével, íy tekitve teát em jeleteek új elemi üvéyt, méis ykori szereplésük mitt célszerű külö jelölést bevezeti számukr D Vlmeyi iperbolikus üvéy értelmezési trtomáy teljes számeyees e e Sziusz iperbolikusz, jele s, deiíciój: s e e Kosziusz iperbolikusz, jele c, deiíciój: c e e Tes iperbolikusz, jele t, deiíciój: t e e deiíciókból láttó, oy z eész számeyeese olytoos üvéyek, z s és t pártl, c páros üvéy Néáy példát említük köztük eálló összeüésekből, melyek deiíció beelyettesítésével izoltók: s t, c c - s, c s c
z iperbolikus üvéyek deiíciójáb z e szerepe eyelőre közömbös, tetszőlees lppl deiiálttuk vol z e kiemelt szerepét későbbiek viláítják me 8 Diereciálás 8 Derivált deiíciój Veyük ey üvéyt, z leye z értelmezési trtomáyák belső potj, és írjuk el örbe, és, potji átldó szelő iráytesét iráytesek evezzük z eyees és z -teely áltl bezárt szö tesét: t α elírt kiejezést z üvéy potbeli külöbséi áydosák evezzük Képezzük külöbséi áydos tárértékét, meyibe tárérték létezik, ezt z potb vett diereciáláydosák, vy deriváltják evezzük Geometrii értelmezése z -beli éritő iráytese D H z üvéy potjáb külöbséi áydosk v tárértéke eseté, kkor z modjuk, oy diereciáltó z -b, és diereciáláydos, vy deriváltj ez tárérték Jelölése P si üvéy -b vett deriváltj si si si kiejezés tárértéke,, miről láttuk, oy Geometrii jeletése z, oy si örbe éritője z oriób 45 -os szöet zár be z -teellyel H z üvéy deriválását áltláos potb véezzük el, és z eredméyt üvéyekét értelmezzük, kkor üvéy deriváltjáról beszélük kkor modjuk, oy vlmely itervllumb diereciáltó, mide potjáb diereciáltó P Számítsuk ki z N deriváltját!, vyis P Számítsuk ki si deriváltját!, vyis si si si cos cos si cos P z c kosts üvéy deriváltj, isze külöbséi áydos is T H diereciáltó z potb, kkor olytoos, cos,
B tárérték létezése mitt ε > -oz δ, oy ε ε, < δ z eyelőtlesé jobb- és bloldl eyrát -oz trt,, íy -, mi olytoossáát jeleti z potb olytoossá em elé diereciáltósáoz Pl z üvéy olytoos, de potb em diereciáltó z külöbséi áydos, >, és -, <, íy tárértéke em létezik H deiiáluk jobb- és bloldli deriváltt, kkor ezek létezek, de em eyelők 8 Deriválási szbályok T Kosts kiemeletősée c' c ', eltéve, oy ' létezik B kosts külöbséi áydosból is kiemelető T Össze deriváltj H és diereciáltók medott potb, kkor ott is diereciáltó, és ebbe potb ' ' ' B z össze külöbséi áydos elbottó tok külöbséi áydosik összeére T Szorzt deriváltj H és diereciáltók medott potb, kkor ott is diereciáltó, és ebbe potb ' ' ' B Képezzük szorzt külöbséi áydosát, mjd átlkítás utá veyük tárértékét:, itt elszáltuk, oy üvéy - mivel diereciáltó - olytoos P Számoljuk ki ykorláskét z si üvéy deriváltját z első téyező deriváltj, szorozv második téyezővel, si-szel, és djuk ozzá z első téyezőt meszorozv második téyező deriváltjávl, mi cos z eredméy teát si' si cos T Háydos deriváltj H és diereciáltók medott potb, kkor ott is diereciáltó és ebbe potb B Képezzük áydos külöbséi áydosát, mjd átlkítás utá veyük tárértékét:
üvéy olytoossá itt is elszálásr került T Összetett üvéy deriváltj H diereciáltó z potb, és is diereciáltó z potb, kkor is diereciáltó z potb és ' ' ' ' B Képezzük z összetett üvéy külöbséi áydosát, mjd átlkítás utá veyük tárértékét: uyis l lkb írtó el, kkor z első téyező üvéy külöbséi áydos z elye, továbbá,, kkor z olytoossá mitt l P Számítsuk ki cos deriváltját Mivel si cos π, deriváltt összetett üvéykét is kiszámíttjuk: sziusz y deriváltj kosziusz y, de szorozi kell z y π deriváltjávl, mi - Összeollv: si cos cos π P Számítsuk ki t deriváltját Mivel cos si t, deriváltt áydos deriválási szbály szerit véezetjük el cos cos si si cos cos cos si t T Iverz üvéy deriváltj Teyük el, oy z :, b R olytoos, iverz üvéye létezik, z diereciáltó z, b potb, és ', kkor - diereciáltó z potb és M y itt z y üvéy deriváltját jelöli, derivált értéke z potb B z ' eltétel mitt z -ek v -él yobb értéke is me kisebb értéke is, íy Bolzo-tétel mitt z y z értékkészletéek belső potj dott -oz leye z z érték, melyre y elé kis -r ilye létezik Írjuk el z iverz üvéy külöbséi áydosát, és lkítsuk át, mielőtt tárértékét képezzük, kkor
y y y y bizoyítj z állítást, uyis z iverz üvéy olytoossá mitt -, π π P Számítsuk ki z rcsi deriváltját Mivel rcsi,, cosrcsi, íy éyzetyök pozitív értékét kell vei, teát rcsi cosrcsi si rcsi P Számítsuk ki z rct deriváltját z előzőöz soló rct cos rct t rct cos rct 83 Kove üvéyek D sík vy tér ey lmz kove, és -r z -et és -t összekötő szksz -oz trtozik D I leye számeyees vées vy vétele itervllum z : I R üvéyt koveek evezzük, elette lévő potok lmz, potosbb {, y: y } lmz kove kokáv üvéy deiíciój yib tér el, oy üvéy ltt elelyezkedő potok lmzák koveitását kell eltételezi üvéyek koveitásár számos, medott deiícióvl ekvivles deiíció dtó z ekvivleci eometrii meotolásokból yilvávló : I R kove, rikoják bármely két potját összekötő szksz örbe elett ld, vy zzl meeyezik Ez deiíció képlettel is elírtó Leye, I, kkor λ, -re λ - λ z, itervllum ey potj, és véiut z itervllumo, λ véiut, -e Mide eyes ilye potr me kell teát követeli, oy λ - λ λ - λ, ez z u Jese-eyelőtlesé : I R kove, I-re z külöbséi áydos mooto övekedő üvéye 3 : I R kove,, I és 3, 4 I, < 3 < 4 eseté 4 3 4 3 84 z epoeciális és loritmus üvéy deriváltj
z epoeciális üvéy olytoossáát izoltuk, most először diereciáltósáot bizoyítjuk z lpszám z eész ejezetbe pozitív és -től külöböző szám T z epoeciális üvéy kove p B Jese-eyelőtleséet bizoyítjuk, először λ Q-r Leye teát λ, < p < q, q ol p és q eész q drb számr, p drb -re és q - p drb számti-mérti közép eyelőtleséet: p q p p q p q λ λ λ q λ -re lklmzzuk Tetszőlees λ R-re λ-t közelítsük me rcioális számok soroztávl, mide rcioális számr iz z eyelőtlesé, kkor tárértékükre is iz mrd, mivel Jeseeyelőtleséet beláttuk, vyis kove T z epoeciális üvéy bármely potb diereciáltó B koveitás mitt külöbséi áydosk létezik bl- és jobboldli tárértéke, isze -k mooto övekedő üvéye Leye bloldli tárérték α, jobboldli β, válsszuk -t pozitívr, kkor β lim lim lim α α Mivel külöbséi áydos jobb- és bloldli tárértéke meeyezik, üvéy diereciáltó T H, kkor ' l B Először -b tározzuk me derivált tárértékét derivált létezését tudjuk, teát válszttuk -k speciális -oz trtó soroztot: lo, kkor lim lim lim l, lo e l e lo lo l vyis ' l z áltláos eset erre visszvezetető: lim lim l K z e üvéy deriváltj ' e P Számítsuk ki z l üvéy deriváltját z iverz üvéy deriválási szbály lpjá l l e T z α α α R üvéy deriváltj ' α
M z z α N eseté levezetett képlet teát teljes áltláossááb α R érvéyes B z összetett üvéy deriválási szbály lpjá, elszálv loritmus üvéy α deriváltját is: α l l α α e e α α 85 Elemi üvéyek deriváltji összeolló táblázt ' Érvéyessé α α α α R, α N, kkor, e e R l >, R l > si cos R cos -si R t kπ cos ct π kπ si rcsi [-, ] rct R s c R c s R t R c 86 Középérték tételek T Lre-éle középérték tétel H z [, b]-be olytoos, és, b-be b diereciáltó, kkor v oly, b, oy b B z, és b, b potokt összekötő eyees eyelete leye l, és leye - l H mide [, b]-re, kkor ics mit bizoyíti, z, b b mide potjáb l, íy l Ellekező esetbe vy b pozitív, vy etív értéket elvesz Teyük el, oy v pozitív értéke vlmely potb elveszi leyobb értékét, és mivel ez yobb, mit, csk z itervllum belsejébe veeti el: mide [, b]-re -, íy külöbséi áydos
számlálój em pozitív, z eész törtkiejezés előjele --vl eyező vy ull külöbséi áydos tárértéke létezik, pozitív értékeke keresztül trtuk ulláoz, kkor ', etív értékeke keresztül trtuk ulláoz, kkor ' dódik, íy ' Ebből b b l T Cucy-éle középérték tétel Teyük el, oy és olytoos [, b]-be, és diereciáltó, b-be, és ', b-be, kkor v oly, b, oy b b B Képezzük - c üvéyt, ol c b b lklmzzuk erre Lre-éle középérték tételt, kkor c b b, mi átredezve dj bizoyítdó állítást 87 L'Hospitl szbály áydos tárértékéek metározásáál eltétel volt, oy evező tárértéke em leet H számláló tárértéke ekkor -tól külöböző, kkor tört em korlátos, bszolút értékéek tárértéke H számláló tárértéke is, kkor tört tárértéke - eyáltlá létezik - tetszőlees leet tárértékbe lkú, vy lkú tört kiejezéseket tároztl lkk evezzük z ilye lkú törtek tárértékéek kiszámításáoz d seítséet L'Hospitl szbály Htároztl lkok mé szorzt, - külöbsé és z tváy is, melyek meelelő átlkítássl tört lkr oztók T L'Hospitl szbály H z és üvéyek z ely köryezetébe - z elyet em számítv - diereciáltók, ', továbbá lim és lim, vy lim és lim, kkor lim lim, eltéve, oy z utóbbi tárérték létezik z ely ± is leet B Több esetre kell bizoyítást elvéezi vées és lk H szüksées változtssuk me és értékét -b, és leye,, kkor és -b is olytoos, vyis Cucy-éle középérték tétel lklmztó:,
és mivel és közé esik, eseté, íy, jobboldlo lévő tárérték létezik, kkor ez bloldl tárértéke is vées és lk Leye < < y H és y elé közel vk -oz, kkor Cucy-éle középérték tétel lklmztó, zz y y y y Jelöljük tárértékét -vl, kkor tetszőlees ε > mellett z y meválszttó úy, oy 3 ε < leye Rözítsük ezt z y-t, z y y r üvéy -ez trt,, teát elérető, oy r - < mi 3 ε,, - < δ Ezutá vizsáljuk me z / - eltérést z előbbiekből r, teát, 3 3 ε ε ε r r r r és ezt krtuk bizoyíti 3 z és üvéyekre lklmzzuk z előzőeket: lim lim lim lim lim 9 Füvéyvizsált 9 Mootoitás T z, b itervllumb diereciáltó üvéy kkor és csk kkor mooto övekedő z, b-be,, b-re ' Hsoló mooto csökkeést z ' jellemzi B H mooto övekedő, kkor külöbséi áydos emetív, íy k tárértéke is emetív H ', kkor Lre-éle középérték tétellel bármely és számokr <,,, b v oly, b, oy, miből, mi mooto övekedést jeleti
M H, b-re ' >, kkor uyezzel bizoyítássl beláttó, oy sziorú mooto övekedő, uykkor sziorú mooto övekedő, kkor ' > em eltétleül teljesül Erre példát d z 3 üvéy, mely sziorú mooto övekedő, de ' 9 Lokális szélsőérték D z üvéyek z potb lokális mimum v, z -k v oly S köryezete, oy S-re z üvéyek z potb lokális miimum v, z -k v oly S köryezete, oy S-re lokális mimum és lokális miimum közös elevezése lokális szélsőérték T H z üvéyek z, b-be eső potb lokális szélsőértéke v, kkor ' B zoos Lre-éle középérték tételél -re elmodott bizoyítássl M H ', kkor szélsőérték létezése mé em biztos Péld korábbi 3 üvéy M H derivált előjelet vált z potb, kkor szélsőérték létezése biztosítv v: z előjelváltás pozitívból etívb törtéik vyis z ey köryezetébe z -ál kisebb elyeke derivált pozitív, yobb elyeke etív, kkor üvéy z -tól blr övekedő, jobbr csökkeő, teát lokális mimum v ordított előjelváltás lokális miimum eltétele T H diereciáltó, b-be,, b-re ', és '' <, kkor z -ek z - b lokális mimum v z '' z ' üvéy potbeli deriváltját jelöli H ', és '' >, kkor z -ek z -b lokális miimum v B Elé z első állítást bizoyíti H '' - c <, kkor válsszuk ε ½ c-t, és < δ, kkor c < c ε < Ez zt jeleti, oy < -r ' >, > -r ' <, vyis ' előjelet vált pozitívból etívb, miből következik, oy -b mimum v 93 Koveitás üvéyek koveitásák deiícióját, több ekvivles deiícióvl eyütt 84-be már medtuk Itt koveitás eldötése lesz ő kérdés T Leye z, b- kétszer diereciáltó üvéy kkor és csk kkor kove z, b-,, b-re '' kkor és csk kkor kokáv z, b-,, b-re '' B H kove, kkor rmdik ekvivles deiíció lpjá yobb potoz trtozó külöbséi áydos yobb vy eyelő, mit kisebb potoz trtozó, eltéve, oy
kisebb, mit két pot távolsá Ebből következik, oy z első derivált mooto övekedő üvéy, teát deriváltj, második derivált, emetív H '', kkor ' mooto övekedő üvéy Válsszuk tetszőleese z u < v potokt z, b itervllumb, és veyük el uycsk tetszőleese ey w potot, melyre u < w < v Lre-éle középérték tétel mitt w u v w α és β, w u v w ol u < α < w < β < v, teát 'α 'β, vyis z első külöbséi áydos kisebb vy eyelő, mit második Ebből láttó, oy w potb örbe z u és v potokoz trtozó szelő ltt ld Ileiós potk evezzük örbe zo potját, ol z éritő "átmetszi" örbét Ezt zob potosbb kell meolmzi D z leye z, b-be diereciáltó üvéy, és jelöljük l-szel z, b potbeli éritőt ileiós elye -ek, -k ey köryezetébe - l, >, és - l, <, vy ordítv: - l, >, és - l, < T Leye z z, b- diereciáltó, z, b potb kétszer diereciáltó H z ileiós elye, kkor '' B Jelöljük -vel z - l üvéyt l z éritő eyelete, kkor ' H " lee, kkor -ek szélsőértéke lee -b, de ez elletmod z ileiós tuljdosák M z ileiós ely téylees meállpításáoz '' - kívül pl második derivált előjelváltását kell mevizsáli 94 üvéyvizsált meete z lábbikb összeolljuk üvéyvizsált sorá elvézedő lépéseket Eyes lépések természetese eyes esetekbe em jöetek szób, vy zért, mert em oly üvéy, vy, mert lépés elvézése boyodlmkb vész el Értelmezési trtomáy leet z értékkészlet meállpítás Páros, pártl vy periodikus üvéyről v-e szó, ekkor vizsált leszűkítető z értelmezési trtomáy ey részére 3 Szkdási em olytoossái elyek meállpítás 4 Htárértékek vizsált z értelmezési trtomáy tárpotjib és szkdási elyeke 5 Első derivált előjelviszoyi: mootoitási szkszok, szélsőértékek elyei, esetle értékük 6 z első derivált tárértékei csk léyeesek z ábr szempotjából 7 Második derivált előjelviszoyi: koveitási kérdések, ileió 8 Néáy köye számoltó pot koordiátáik metározás: támpotok rjzolásoz 9 Rjz készítése Tylor-sor
z és üvéyek z potb metszik eymást, Éritik eymást, eze kívül ' ' Másodredbe éritik eymást, éritik eymást és eze kívül " " Például, mikor ey útvol örbületi suráról beszélük, kkor másodredbe éritő kör suráról v szó Hsoló beszéletük -edredű éritkezésről, mi zt jeleti, oy és k k k,,,, ol k és k k-dik deriváltt jeleti msbbredű éritkezés z eyik örbéek másikkl törtéő - vártó jó - közelítését dj z pot közelébe T H z üvéy z potb -szer diereciáltó, kkor k k k k T! -edokú ú Tylor-poliom -edredbe ériti z örbét z potb B k-szori diereciálást elvéezve k-ál kisebb tváyok deriváltj -vá válik, k-ál yobb tváyokál memrd - vlmilye tváy, ez elyettesítés utá lesz, k-dokú t deriváltj pedi éppe k lesz T Lre-éle mrdékt H z -szer diereciáltó üvéy z pot S köryezetébe, kkor S-ez, mely és közé esik, és T R, ol z R ú Lre mrdékt:! R B Vezessük be z z z z z z z z!!! üvéyt és számoljuk ki deriváltját Mivel szorzt deriváláskor keletkező tok sorr kiesek, z z z! lklmzzuk Cucy-éle középértéktételt z és z - z üvéyekre z és potok között:,! T mi z állítássl ekvivles K H káráyszor diereciáltó z pot S köryezetébe, és S-re és -re K, kkor S-re k k k k!, vyis z üvéy Tylor-sorrl előállíttó
B Lre mrdéktb derivált korlátos,!, miről köyű! beláti, oy -oz trt, teát R, vyis Tylor-sor mrdékösszee, Tylorpoliom trt -ez z sorozt > ulláoz trtás úy láttó be, oy,, ezért!,!!! itt z első téyező, mivel rözített érték, álldó, második pedi ulláoz trt P Tuljuk me éáy elemi üvéy Tylor-sorb ejtését z e, si, cos, s, c msbbredű deriváltji eyszerűe számoltók, íy Tylor sor elírás em okoz odot si és cos és deriváltji z eész számeyeese korlátosk, teát Tylor sor koveres z e, s, c, sem deriváltji em korlátosk számeyeese, de bármely vées részé ie, Tylor-sor teát bármely vées itervllumo koveres, de kkor számeyees mide potjáb is z sorejtés középpotj z z lábbi Tylor-sorok teát mide R-re koveresek: 3 4 e,!! 3! 4! 3 5 7 si ±,! 3! 5! 7! 4 6 cos m,! 4! 6! 3 5 7 s,! 3! 5! 7! 4 6 c! 4! 6! Felszáltjuk tváysorokt üvéyek közelítésére és z e szám sorrl törtéő előállításár Ez utóbbi: e!! 3! 4!