Kalkulus MIA. Galambos Gábor JGYPK

Kalkulus MIA Műszaki informatikus asszisztens http://jgypk.u-szeged.hu/tanszek/szamtech/oktatas/kalkulus.pdf Galambos Gábor JGYPK 2013-2014 Kalkulus MIA 1 1

A Kalkulus főbb témái: Intervallum, távolság, környezet Valós függvények Számsorozatok és sorok Függvények határértéke, folytonosság Differenciálszámítás Differenciálható függvények vizsgálata Integrálszámítás és alkalmazásai Kalkulus MIA 2 2

A valós számok axiómarendszere I. I. Testaxiómák Definiálható két művelet: az összeadás és a szorzás. Mindkét művelet kommutatív és asszociatív a+b = b+a a b = b a (a+b)+c = a+(b+c) (ab)c = a(bc) A műveletek követik a disztributív törvényt a (b+c) =a b + a c Van a halmazban zérus elem (0) és egység elem (1): a+0 = a a 1 = a Minden a Resetén az a+x = 0 és az a x = 1 (a 0) egyenletnek van megoldása. (létezik az additív és a multiplikatív inverz elem) Matematika Kalkulus MIAII. 3 3

II. Rendezettségi axiómák: A valós számok axiómarendszere II. A valós számok halmaza rendezett halmaz, azaz értelmezhetünk benne egy rendezettségi relációt. Az a > 0 ill. a < 0 relációk azt jelentik, hogy a pozitív ill. negatív, és b > a jelentése az, hogy b a > 0. A definiált ( > ) reláció rendelkezik a következő tulajdonságokkal: Ha a,b R, akkor az a = b, a > b, a < b állítások közül egy és csak egy teljesül Ha a < b, akkor a + c < b + c minden a,b,c R. Ha a > 0 és b > 0, akkor ab > 0 minden a,b,c R. Ha a > 0 és b < 0, akkor ab < 0 minden a,b,c R. Matematika Kalkulus MIAII. 4 4

A valós számok axiómarendszere III. III. Archimedesi axióma: Minden való számnál van nagyobb természetes szám. IV. Cantor axióma: egymásba skatulyázott zárt intervallumok sorozatának mindig van közös pontja. Más szóval: ha adott két számsorozat: úgy, hogy tetszőleges n-re a n b n, akkor az intervallumoknak van közös része. Matematika Kalkulus MIAII. 5 5

A valós számok axiómáinak ismeretében bebizonyítható, hogy a létezik: A bizonyítás konstruktív: n = 1 igen nem n = n+1 Kalkulus MIA 6 Matematika II. 6 6

Így egy intervallumsorozatot definiálunk, amelyben minden n-re A Cantor-axióma szerint ennek az intervallumsorozatnak van közös eleme. Jelöljük ezt c-vel. Ugyanakkor c-ről tudjuk, hogy (1) miatt (1) Ezért (1)-hez hasonlóan induljunk most ki a (2) egyenlőtlenségekből. Matematika Kalkulus MIAII. 7 7

Elvégezve a hasonló műveleteket azt kapjuk, hogy (3) (2)-ből és (3)-ból azt kapjuk, hogy Ami azt jelenti, hogy c 2 tetszőlegesen közel kerülhet 2-höz, ha n-et elég nagyra választjuk. Ezért 2 c 2 nem lehet pozitív szám. Így c 2 = 2 Amiből azt kapjuk, hogy Tehát a tényleg létezik. Matematika Kalkulus MIAII. 8 8

1. Fogalmak Két halmaz egyértelmű hozzárendelését függvénynek nevezzük. A: B: x y = f(x) y értelmezési tartomány képhalmaz Kalkulus MIA 9 9

Az A halmaz valamely eleméhez rendelt B halmazbeli elemet függvényértéknek nevezzük és f(a)-val jelöljük, ahol a A. A függvényértékek halmazát értékkészletnek nevezzük. A függvény értelmezési tartományát D f -fel, az értékkészletét pedig R f -fel jelöljük. A fentiekből következik, hogy R f B. Egy függvényt akkor tekintünk adottnak, ha adott az értelmezési tartomány és a hozzárendelési utasítás: f(x), x A. f(x) = x, g(x) = x+3, h(x) = x 2 1, x N. x R. x R. Kalkulus MIA 10 10

Az f és g függvényt akkor mondjuk egyenlőknek, ha D f = D g és minden x D f esetén f(x) = g(x). Azonos-e a két kifejezés? D f = R és D g = R \ {0} Kalkulus MIA 11 11

Ha az f függvény értelmezési tartománya is és értékkészlete is a valós számok halmazának részhalmaza, akkor valós-valós függvényről vagy egyváltozós valós függvényről beszélünk. Az egyváltozós valós függvény grafikonján az (x;f(x)) koordinátájú pontok halmazát értjük a Descartes-féle koordináta rendszerben, ahol x D f. Kalkulus MIA 12 12

Intervallumok Legyen a,b Rés a < b. Az ezek által meghatározott nyílt intervallumon azt a számhalmazt értjük, amely (a,b) = {x R a < x < b.} Legyen a,b Rés a < b. Az ezek által meghatározott zárt intervallumon azt a számhalmazt értjük, amely [a,b] = {x R a x b.} Legyen a,b R és a < b. Az ezek által meghatározott balról zárt jobbról nyílt intervallumon azt a számhalmazt értjük, amely [a,b) = {x R a x < b.} Legyen a,b R és a < b. Az ezek által meghatározott jobbról zárt balról nyílt intervallumon azt a számhalmazt értjük, amely (a,b] = {x R a < x b.} Kalkulus MIA 13 13

Intervallumnak nevezzük még az alábbi számhalmazokat is: (-,b) = {x R x < b} (-,b] = {x R x b} (a, + ) = {x R x >a} [a, + ) = {x R x a} (-, + ) = R Kalkulus MIA 14 14

A környezet és a távolság kapcsolata Távolság definíciója valós számokra és n dimenzióra kiterjesztve. A távolság tulajdonságai A környezet és a távolság viszonya. Belső pont, határpont. Zárt halmaz, nyílt halmaz. Kalkulus MIA 15 15

Az A és B halmazoknak az A Bszimbólummal jelölt Descartes-féle szorzatán az összes olyan rendezett (a,b) párokból álló halmazt értjük, amelyekre a A és b B. Jelölése: A B= { (a,b) a Aés b B }. Ha A = B, akkor az A Ahelyett az A 2 jelölést is használjuk. Ha A, B R, akkor rendezett számpárokról beszélünk. Pl. Legyen A = {1, 2, 3} és B = {e, f} A B = Kalkulus MIA 16 16

A táblázat felfogható egy speciális szorzótáblának. A szorzathalmaz elemeinek a számát a két halmaz elemeinek szorzata adja. Tétel: A Descartes-szorzás művelete nem kommutatív. (Nem felcserélhető). A szorzathalmaz kettőnél több halmaz szorzatára is értelmezett, ekkor rendezett hármasok, négyesek, stb. lesznek a szorzathalmaz elemei. Ha az n darab halmaz mindegyike a valós számok halmazával egyenlő, akkor szokás azr n jelölést használni. A szorzathalmaz lehetővé teszi matematikai alakzatok konstrukcióját is: Matematika II. Kalkulus MIA 17 17

N N Matematika II. Kalkulus MIA 18 18

Az a < b valós számok távolságán a számegyenes a és b pontjainak távolságát értjük: A számsík a = (a 1, a 2 ) és b = (b 1, b 2 ) pontjainak távolságát a értékkel definiáljuk. Az a = (a 1, a 2,, a n ) és b = (b 1, b 2,, b n ) pontjainak távolságát a értékkel definiáljuk. Kalkulus MIA 19 19

A fentebb definiált távolság fogalom az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: ρ(a, b) 0 ρ(a, b) = 0 akkor és csak akkor, ha a = b. ρ(a, b) = ρ(b, a) ρ(a, b) ρ(a, c) + ρ(c, b) Valamely x 0 R n pontnak δ > 0 sugarú környezetén R n azon x pontjainak halmazát értjük, amelyek x 0 -tól való távolsága kisebbδnál, azaz Kalkulus MIA 20 20

Egy x 0 helyδsugarú környezete (másik definíció) Legyen x R ésδ R +. Az x 0 helyδsugarú környezetén az (x 0 δ, x 0 +δ) intervallumot értjük és k δ (x 0 )-al jelöljük. Ha x (x 0 δ, x 0 +δ), akkor x x 0 <δ. Az x 0 hely szigorúbb értelemben vettδsugarú környezetén az (x 0 δ, x 0 +δ) \ {x 0 } intervallumot értjük és k δ (x 0 ) \ {x 0 } -al jelöljük. Ha x (x 0 δ, x 0 +δ) \ {x 0 }, akkor a x 0 <δ. Az x 0 hely baloldali δ sugarú környezetén az (x 0 δ, x 0 ) intervallumot értjük és k δ (x 0 0)-al jelöljük. Az x 0 hely jobboldali δ sugarú környezetén az (x 0, x 0 + δ) intervallumot értjük és k δ (x 0 + 0)-al jelöljük. Kalkulus MIA 21 21

Egy H Rhalmaznak a egy belső pontja, ha a-nak van olyan környezete, amely része H-nak. Egy H R halmaznak a egy határpontja, ha a-nak bármely környezetében H-nak is és H komplementerének is van pontja. Ha egy H Rhalmaznak minden pontja belső pont, akkor H-t nyílt halmaznak, ha minden határpontját tartalmazza, akkor zárt halmaznak nevezzük. Kalkulus MIA 22 22

Függvénytulajdonságok Az f függvény zérus helyének nevezzük azt az értelmezési tartománybeli elemet, ahol a felvett függvényérték zérus, azaz a D f, f(a) = 0. Példa: Ábrázoljuk az f(x) = x 2 4 függvényt a [-3;3] intervallumon és határozzuk meg a zérus helyeit! Az egyenlet gyökei (zérus helyei): x 1 = -2 x 2 = 2. Kalkulus MIA 23 23

Kalkulus MIA 24 24

Függvények paritása Az f függvényt párosnak nevezzük, ha minden x D f esetén -x D f és f(-x) = f(x). Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = x függvényt párosság szempontjából! A függvény grafikonja tengelyesen tükrös az f(x) tengelyre. Kalkulus MIA 25 25

Az f függvényt páratlannak nevezzük, ha minden x D f esetén -x D f és f(-x) = -f(x). Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = x 3 4x függvényt párosság szempontjából! A függvény grafikonja tükrös az origóra. Kalkulus MIA 26 26

Függvények korlátossága Az f függvényt az értelmezési tartományán vagy annak valamely A részhalmazán felülről korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan K R valós szám, hogy minden a Aesetén f(a) K. Az f függvényt az értelmezési tartományán vagy annak valamely A részhalmazán alulról korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan K R valós szám, hogy minden a Aesetén f(a) K. Az f függvényt az értelmezési tartományán vagy annak valamely A részhalmazán korlátosnak nevezzük, ha a függvény alulról és felülről is korlátos. Kalkulus MIA 27 27

Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = sin x + 2 függvényt korlátosság szempontjából! A sin x + 2 függvény értékei az [1;3] intervallumba esnek, így a függvény alulról és felülről is korlátos, azaz korlátos. Kalkulus MIA 28 28

Függvények monotonitása Az f függvényt az értelmezési tartomány valamely A (A D f ) részhalmazán monoton növekvőnek nevezzük, ha tetszőleges x 1, x 2 A, x 1 < x 2 esetén f(x 1 ) f(x 2 ). Ha x 1 < x 2 esetén f(x 1 ) < f(x 2 ), akkor függvényt szigorúan monoton növekvőnek nevezzük Az f függvényt az értelmezési tartomány valamely A (A D f ) részhalmazán monoton csökkenőnek nevezzük, ha tetszőleges x 1, x 2 A, x 1 < x 2 esetén f(x 1 ) f(x 2 ). Ha x 1 < x 2 esetén f(x 1 ) > f(x 2 ), akkor függvényt szigorúan monoton csökkenőnek nevezzük Kalkulus MIA 29 29

Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = e x függvényt monotonitás szempontjából! f(x) = e x Az egynél nagyobb alapú hatványok esetében ha a kitevőt növeljük, akkor a hatvány értéke is nő Ezért ha x 1 < x 2, akkor Tehát a függvény szigorúan monoton növekvő. Kalkulus MIA 30 30

Függvények szélsőértékhelyei Legyen adott az f függvény, és legyen H az értelmezési tartomány valamely részhalmaza (H D f ). Az x 0 H az f-nek minimumhelye, ha minden x H, (x x 0 ) esetén f(x) f(x 0 ). Az x 0 H az f-nek maximumhelye, ha minden x H, (x x 0 ) esetén f(x) f(x 0 ). A minimum és maximumhelyeket együttesen szélsőértékhelyeknek nevezzük. Ha x 0 -nak van olyan K környezete (K D f ), hogy minden x D f K és x x 0 esetén f(x) f(x 0 ),(vagy f(x) f(x 0 )), akkor x 0 a függvénynek lokális szélsőértékhelye. Ha H D f, akkor x 0 a függvénynek abszolút szélsőértékhelye. Kalkulus MIA 31 31

Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = (x+3) 2-1 függvényt a szélsőértékek szempontjából! A függvénynek az x = -3 helyen abszolút minimum helye van. Kalkulus MIA 32 32

Periódikus függvények Az f függvényt periodikusnak nevezzük, ha létezik olyan p > 0 valós és k egész szám, hogy minden x D f esetén x+kp D f, és f(x+kp) = f(x). A valós p számot periódusnak nevezzük. A trigonometrikus függvények periodikusak. Pl. a sin x függvény periódusa 2π. Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = x [x] törtrész függvényt periodicitás szempontjából! A függvény periodikus, és a periódusa 1. Kalkulus MIA 33 33

Konvex és konkáv függvények Legyen adott az f függvény és a,b D f, a < b. Legyen továbbá x 1 és x 2 az [a;b] intervallum két tetszőleges pontja (a x 1 < x 2 b). Legyen e az f(x 1 ) és f(x 2 ) pontokon áthaladó szelő. Az f függvényt az [a;b] intervallumon konvexnek nevezzük, ha bármely olyan x D f re, amelyre x 1 < x < x 2 igaz, hogy f(x) < e(x). Az f függvényt az [a;b] intervallumon konkávnak nevezzük, ha bármely olyan x D f re, amelyre x 1 < x < x 2 igaz, hogy f(x) > e(x). Ha az x 0 D f helynek van olyan jobb és baloldali környezete, hogy a függvény az egyikben konvex, a másikban konkáv, akkor az x 0 helyet inflexiós pontnak nevezzük. Kalkulus MIA 34 34

Példa: konvex függvény e(x) x x 2 a x 1 b f(x) < e(x). f(x) Kalkulus MIA 35 35

Példa: inflexiós pont A függvény a (- ;0] intervallumon konkáv, a [0,+ ) intervallumon konvex, ezért az x 0 = 0 pont a függvény inflexiós pontja. Kalkulus MIA 36 36

Műveletek függvényekkel Legyen adott az f és g függvény D f és D g értelmezési tartománnyal, valamint egy c R konstans. Tegyük fel, hogy D f D g. Ekkor Az f függvény konstansszorosán azt a cf függvényt értjük, amelyre D cf = D f, és minden x D f -re (cf )(x) = c f(x). Két függvény összegén azt az (f+g) függvényt értjük, amelyre D f+g = D f D g, és minden x D f D g -re (f+g)(x) = f(x) + g(x). Két függvény szorzatán azt az (fg) függvényt értjük, amelyre D fg = D f D g, és minden x D f D g -re (fg)(x) = f(x) g(x). Két függvény hányadosán azt az függvényt értjük, amelyre D f/g = D f D g, és minden x D f D g -re (x) =. Kalkulus MIA 37 37

Legyen adott az f és a g függvény. Tegyük fel, hogy D f R g = A, és A. Legyen D az a halmaz, amely része g értelmezési tartományának és képe az A halmaz. Tegyük fel, hogy az f függvény az A halmazt az E R f halmazra képezi le. Azt a függvényt, amely a D halmazhoz az E halmazt rendeli (értékkészletként), összetett függvénynek nevezzük és f g-vel jelöljük. Az f-t külső, a g-t pedig belső függvénynek nevezzük. (f g)(x) = f(g(x)) R g D f R f g f E D A Kalkulus MIA 38 38

Példa: Határozzuk meg azt a legbővebb halmazt, amelyen az f(x) = lg (x 2 1) függvény értelmezhető. A külső függvény a logaritmus függvény, a belső függvény a hatványfüggvény. A belső függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza. Mivel a logaritmus függvény értelmezési tartomány a pozitív valós számok halmaza, ezért a x 2 1 > 0 nak kell teljesülni. Ezért x > 1 vagy x < -1. Ezért az f összetett függvény értelmezési tartománya D f = R \ [-1; 1]. Kalkulus MIA 39 39

Inverz függvény Legyen az f függvény külcsönösen egyértelmű (x 1, x 2 D f, x 1 x 2 akkor f(x 1 ) f(x 2 ) ). Azt a függvényt, amely az f függvény értékkészletén (R f ) van értelmezve, és az y R f elemhez azt az egyetlen x D f elemet rendeli, amelyre f(x) = y, az f függvény inverzének nevezzük és f -1 gyel jelöljük: f -1 (y) = x Megjegyzések: Az értelmezési tartomány és az értékkészlet inverz képzésnél megcserélődik. ( f -1 ) -1 =f. Egy függvény és inverzének grafikonja tükrös az y = x egyenesre. Ha D f = R f, akkor f º f -1 = f -1 º f. Ha egy függvény szigorúan monoton, akkor van inverze. (Ez elegendő de nem szükséges feltétel!) Kalkulus MIA 40 40

Példa 1: Adjuk meg az f(x) = 2x 3 függvény inverzét! D f = R f = R. A hozzárrendelés kölcsönösen egyértelmű, tehát létezik az inverz függvény. (Ráadásul a függvény monoton növekvő.) A definíció alapján f -1 (y) = x, ezért. Kalkulus MIA 41 41

Példa 2: Adjuk meg az f(x) = e x függvény inverzét! D f = (-, ), R f = (0, ). A hozzárrendelés kölcsönösen egyértelmű, tehát létezik az inverz függvény. (Ráadásul a függvény monoton növekvő.) A definíció alapján f -1 (y) = x, ezért x = log y. f(x) = e x f(x) = log(x) Kalkulus MIA 42 42

A trigonometrikus függvények inverzei (ciklometrikus függvények) Kalkulus MIA 43 43

A hiperbolikus függvények és inverzeik Kalkulus MIA 44 44

Külső függvénytranszformációk hatása a függvény grafikonjára A külső függvénytranszformációnál mindig a kiszámított függvényértéken hajtunk végre transzformációt. Eredménye mindig az y tengely irányába történő változás. Legyen adott az f függvény grafikonja. Az f+c, c Rfüggvény grafikonja az f függvény grafikonjának y tengely menti eltolásával nyerhető. Az eltolás nagysága c, iránya megegyezik c előjelével. A f függvény grafikonja az f nek x tengelyre vonatkozó tükörképe. A cf függvény grafikonja az f-nek y tengely menti nyújtásával (c > 1), vagy zsugorításával (0 < c < 1) kapható. Ha c negatív, akkor alkalmazzuk még az előző pontból adódó tükrözést is. Kalkulus MIA 45 45

Belső függvénytranszformációk hatása a függvény grafikonjára A belső függvénytranszformációnál mindig a független változón hajtunk végre transzformációt. Eredménye mindig az x tengely irányába történő változás. Legyen adott az f függvény grafikonja. Az f(x+a), a R, a+x D f függvény grafikonja az f függvény grafikonjának x tengely menti eltolásával nyerhető. Az eltolás nagysága a, iránya ellentétes a előjelével. A f (-x) függvény grafikonja az f nek y tengelyre vonatkozó tükörképe. A f (ax) függvény grafikonja az f-nek x tengely menti zsugorításával (a > 1), vagy nyújtásával (0 < a < 1) kapható. Ha a negatív, akkor alkalmazzuk még az előző pontból adódó tükrözést is. Kalkulus MIA 46 46

Példa: Ábrázoljuk az f(x) = -(x-3) 2 +4 függvényt. f(x)=x 2 f(x)=(x-3)2 f(x)=-(x-3) 2 +4 f(x)=-(x-3) 2 Kalkulus MIA 47 47

Az elemi függvények halmazát alkotják a Konstansfüggvények Hatványfüggvények Exponenciális függvények Trigonometrikus függvények és az ezekből véges számú összeadással, kivonással, szorzással, osztással, összetett- és inverz-függvény képzéssel előállítható függvények. Kalkulus MIA 48 48

Függvények határértéke Négy esetet különböztetünk meg attól függően, hogy hol vizsgáljuk a határértéket, és az véges vagy végtelen. Kalkulus MIA 49 49

Végtelenben vett véges határérték Az f(x) függvénynek + -ben a határértéke az A R szám, ha bármely ε > 0 hoz létezik olyan K Rküszöbszám, hogy valahányszor x > K és x D f, akkor f(x) A <ε. Jelölése: Az f(x) függvénynek - -ben a határértéke az A R szám, ha bármely ε > 0 hoz létezik olyan K Rküszöbszám, hogy valahányszor x < K és x D f, akkor f(x) A <ε. Jelölése: Kalkulus MIA 50 50

Példa: Ábrázolja az függvényt, és adja meg a határérkét -ben! 2 A függvény páros, ezért a grafikonja tükrös az y tengelyre. Kalkulus MIA 51 51

Végtelenben vett végtelen határérték Az f(x) függvénynek + -ben a határértéke +, ha bármely P R számhoz létezik olyan K Rküszöbszám, hogy valahányszor x > K és x D f, akkor f(x) > P. Jelölése: Az f(x) függvénynek + -ben a határértéke -, ha bármely P R számhoz létezik olyan K Rküszöbszám, hogy valahányszor x > K és x D f, akkor f(x) < P. Jelölése: Kalkulus MIA 52 52

Az f(x) függvénynek - -ben a határértéke +, ha bármely P R számhoz létezik olyan K Rküszöbszám, hogy valahányszor x < K és x D f, akkor f(x) > P. Jelölése: Az f(x) függvénynek - -ben a határértéke -, ha bármely P R számhoz létezik olyan K Rküszöbszám, hogy valahányszor x < K és x D f, akkor f(x) < P. Jelölése: Kalkulus MIA 53 53

Példa: Ábrázolja az függvényt, és adja meg a határérkét -ben! A függvény páros, ezért a grafikonja tükrös az y tengelyre. Kalkulus MIA 54 54

Példa: Ábrázolja az függvényt, és adja meg a határérkét -ben! Kalkulus MIA 55 55

Véges helyen vett végtelen határérték Az f(x) függvénynek az x 0 Rahatárértéke +, ha bármely P R számhoz létezik olyanδ > 0 (δ R + ) valós szám, hogy valahányszor x k δ (x 0 )\{x 0 } és x D f, akkor f(x) > P. Jelölése: Az f(x) függvénynek az x 0 Rahatárértéke -, ha bármely P R számhoz létezik olyanδ > 0 (δ R +) valós szám, hogy valahányszor x k δ (x 0 )\{x 0 } és x D f, akkor f(x) < P. Jelölése: Kalkulus MIA 56 56

Példa: Ábrázolja az függvényt, és adja meg a határérkét az x 0 = 0 pontban! Kalkulus MIA 57 57

Véges helyen vett véges határérték Az f(x) függvénynek az x 0 Rajobboldali határértéke az A R, ha bármelyε R + számhoz létezik olyanδ R + valós szám, hogy valahányszor x k δ (x 0 +0) D f, mindannyiszor f(x) A < ε. Jelölése: Az f(x) függvénynek az x 0 Rabaloldali határértéke az A R, ha bármely ε R + számhoz létezik olyan δ R + valós szám, hogy valahányszor x k δ (x 0-0) D f, mindannyiszor f(x) A < ε. Jelölése: Kalkulus MIA 58 58

Tétel: Ha az f függvénynek létezik az x 0 Rhelyen a baloldali és a jobboldali határértéke, és akkor Tétel: Ha az f függvénynek létezik az x 0 R helyen határértéke, akkor az egyértelműen meghatározott. Kalkulus MIA 59 59

Példa: Ábrázolja az a határértékétaz x 0 = 5 pontban! függvényt, és adja meg -5 Kalkulus MIA 60 60

Műveleti tételek Tétel: Legyen az f(x) függvénynek a + -ben a határértéke az A R és legyen c R tetszőleges. Ekkor létezik a cf függvénynek is a határértéke, és Tétel: Legyen az f(x) függvénynek a + -ben a határértéke az A R és a g(x) függvénynek a + -ben a határértéke a B R. Ekkor létezik az f±gfüggvénynek is a határértéke, és Kalkulus MIA 61 61

Tétel: Legyen az f(x) függvénynek a + -ben a határértéke az A R és a g(x) függvénynek a + -ben a határértéke a B R. Ekkor létezik az fg függvénynek is a határértéke, és Tétel: Legyen az f(x) függvénynek a + -ben a határértéke az A R és a g(x) függvénynek a + -ben a határértéke a B R, ahol B 0. Ekkor létezik az f / g függvénynek is a határértéke, és Kalkulus MIA 62 62

Az előző állítások igazak véges helyen vett határérték esetén is: Tétel: Legyen az f(x) függvénynek az x 0 helyen vett határértéke az A Rés legyen c Rtetszőleges. Ekkor létezik a cf függvénynek is a határértéke, és Tétel: Legyen az f(x) függvénynek az x 0 helyen vett határértéke az A R és a g(x) függvénynek az x 0 helyen vett határértéke a B R. Ekkor létezik az f±gfüggvénynek is a határértéke, és Kalkulus MIA 63 63

Tétel: Legyen az f(x) függvénynek az x 0 helyen vett határértéke az A R és a g(x) függvénynek az x 0 helyen vett határértéke a B R. Ekkor létezik az fg függvénynek is a határértéke, és Tétel: Legyen az f(x) függvénynek az x 0 helyen vett határértéke az A Rés a g(x) függvénynek az x 0 helyen vett határértéke a B R, ahol B 0. Ekkor létezik az f / g függvénynek is a határértéke, és Kalkulus MIA 64 64

Példa: Ábrázolja az függvényt, és adja meg a határérkét -ben és x 0 = 0 ban is! Ezért a függvénynek 0-ban nincs határértéke. Kalkulus MIA 65 65

Nevezetes határértékek Tétel: Tétel: Tétel: Tétel: Tétel: Tétel: Kalkulus MIA 66 66

Példa: Határozzuk meg a x 0 = 0 helyen! függvény határértékét az Alakítsuk át az f(x) függvényt: vegyük figyelembe, hogy ha x 0, akkor 2x 0. Ezért Kalkulus MIA 67 67

Példa: Határozzuk meg a az x 0 = + helyen! függvény határértékét Alakítsuk át az f(x) függvényt: Ezért használva a műveletekre vonatkozó tételeket is kapjuk, hogy Kalkulus MIA 69 68

Függvények folytonossága Az f függvényt az x 0 D f helyen folytonosnak nevezzük, ha létezik a függvénynek az x 0 helyen a határértéke és az egyenlő a függvény helyettesítési értékével, azaz Az f függvényt az x 0 D f helyen jobbról folytonosnak nevezzük, ha létezik a függvénynek az x 0 helyen a jobboldali határértéke és az egyenlő a függvény helyettesítési értékével, azaz Az f függvényt az x 0 D f helyen balról folytonosnak nevezzük, ha létezik a függvénynek az x 0 helyen a baloldali határértéke és az egyenlő a függvény helyettesítési értékével, azaz Kalkulus MIA 70 69

Figyeljük meg, hogy a folytonosság pontbeli tulajdonság! Az f függvényt az [a,b] intervallumon folytonosnak nevezzük, ha a függvény az intervallum minden pontjában folytonos, továbbá a az intervallum bal végpontjában jobbról-, a jobb végpontjában pedig balról folytonos. Tétel: Legyen az f és a g függvény az x 0 helyen folytonos. Ekkor cf is folytonos az x 0 helyen, ahol c R. is folytonos az x 0 helyen, ahol. is folytonos az x 0 helyen, ahol. is folytonos az x 0 helyen, ahol és g(x 0 ) 0. is folytonos az x 0 helyen, ha g folytonos az x 0 helyen és f folytonos a g(x 0 ) helyen. Kalkulus MIA 71 70

Tétel: Minden elemei függvény az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos. Ha az f függvény az x 0 helyen nem folytonos, de valamelyε R + környezetében folytonos, akkor az x 0 pontot szakadási helynek nevezzük. Kalkulus MIA 72 71

A fentiek közül a 3. ábrán található szakadási pont az un. megszüntethető szakadás, a többi szakadási pont nem szüntethető meg. Kalkulus MIA 73 72

Példa: Határozzuk meg a függvény határértékét az x 0 = 0 helyen! Az x függvény értelmezése alapján a függvény a következő alakban írható fel: ha x > 0 ha x < 0 Vizsgáljuk meg külön-külön a jobb- illetve a bal-oldali határértékeket: A két határérték megegyezik, ezért van határértéke a függvénynek, és az: Ez a szakadási hely megszüntethető, ha az x = 0 helyen a függvénynek az f(x) = 0 értéket adjuk. Kalkulus MIA 74 73

Differenciálszámítás Legyen adott az f(x) függvény, és legyen x 0 D f. Ekkor a függvényt az x 0 helyhez tartozó differenciahányados függvénynek nevezzük. Kalkulus MIA 75 74

A differenciahányados nem más, mint az adott f(x) függvény f(x) és f(x 0 ) pontján átmenő szelő meredeksége: f(x) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) x 0 x x 0 x Kalkulus MIA 76 75

Ha létezik az f(x) függvény x 0 helyhez tartozó differenciahányados függvényének határértéke az x 0 helyen, akkor azt az f(x) függvény differenciálhányadosának nevezzük, és a függvényt az adott pontban differenciálhatónak mondjuk. A differenciálhányados geometriai jelentése: az f(x) függvény adott pontjába húzott érintő meredeksége. (Ennek belátására vizsgáljuk meg az előző oldal ábráját! Kalkulus MIA 77 76

A differenciálhatóság is pontbeli fogalom. Tekintsük az f függvény értelmezési tartományának azt a részhalmazát, amelyen a függvény differenciálható. Jelöljük ezt a halmazt A-val. Definiáljuk azt a függvényt, amelynek értelmezési tartománya A, és minden x A elemhez függvényértékként az x helyhez tartozó differenciálhányadost rendeli. Ekkor az f (x) vel jelölt függvényt az f(x) függvény differenciálhányados függvényének (deriváltjának) nevezzük. Kalkulus MIA 78 77

Tétel: Az f(x) = c, c R, függvény differenciálhányadosa nulla. Biz. Induljunk ki a definícióból. Ha f(x) differenciálható az x 0 helyen, akkor Kalkulus MIA 79 78

Tétel: Az f(x) = x függvény differenciálhányadosa 1. Biz. Induljunk ki a definícióból. Ha f(x) differenciálható az x 0 helyen, akkor Kalkulus MIA 80 79

Tétel: Az f(x) = x 2, függvény differenciálhányadosa 2x. Biz. Induljunk ki a definícióból. Ha f(x) differenciálható az x 0 helyen, akkor Ezért Kalkulus MIA 81 80

Példa: Határozzuk meg az f(x) = x 2 függvény differenciálhányados függvényének értékét az x 0 = 4 helyen! Mivel ezért Kalkulus MIA 82 81

Egy függvényt az x 0 D f helyen jobbról ill. balról differenciálhatónak mondunk, ha a differencia hányados függvénynek a az x 0 pontban létezik a jobboldali, ill. a baloldali határértéke, és azok végesek. Jelölésük: Tétel: Ha egy függvénynek valamely x 0 helyén létezik a jobboldali és a baloldali deriváltja, és ezek megegyeznek, akkor a függvény az adott helyen differenciálható. Kalkulus MIA 83 82

Példa: Vizsgáljuk meg, hogy az ha x 2 ha x > 2 függvény differenciálható-e az x 0 = 2 helyen? Kalkulus MIA 84 83

A differenciálhányados akkor létezik, ha a jobboldali és a baloldali deriváltak megegyeznek: Mivel a két érték nem egyezik meg, ezért a függvény az x 0 = 2 pontban nem differenciálható. Általában igaz az, hogy egy folytonos függvény a töréspontjában nem differenciálható. Tétel: Ha az f függvény az x 0 D f helyen differenciálható, akkor ezen a helyen a függvény folytonos. (Fontos: a folytonosság csak szükséges de nem elegendő feltétel a differenciálhatósághoz!) Kalkulus MIA 85 84

A differenciálhányados geometriai jelentése mellett van egy nagyon fontos fizikai jelentése is: Az út-idő függvény idő szerinti deriváltja a t 0 időpillanatban megegyezik a pillanatnyi sebességgel. A sebesség-idő függvény idő szerinti differenciálhányadosa adja a gyorsulást a t 0 időpontban. Kalkulus MIA 86 85

A differenciálás műveleti szabályai Tétel: legyen f differenciálható az x 0 D f helyen, és legyen c R tetszőleges konstans. Ekkor cf is differenciálható az x 0 helyen, és Tétel: legyen f és g differenciálható az x 0 D f D g helyen, és legyen c Rtetszőleges konstans. Ekkor f g is differenciálható az x 0 helyen, és Tétel: legyen f és g differenciálható az x 0 D f D g helyen, és legyen c Rtetszőleges konstans. Ekkor f g is differenciálható az x 0 helyen, és Kalkulus MIA 87 86

Tétel: legyen g differenciálható az x 0 D f helyen, és tegyük fel, hogy g(x 0 ) 0. Ekkor 1/g is differenciálható az x 0 helyen, és Tétel: legyen f és g differenciálható az x 0 D f D g helyen, és g(x 0 ) 0. Ekkor f /g is differenciálható az x 0 helyen, és Tétel: legyen g differenciálható az x 0 D g helyen, és f differenciálható a g(x 0 ) D f. Ekkor f g összetett függvény is differenciálható az x 0 helyen, és Kalkulus MIA 88 87

Elemi függvények deriváltjai I. f(x) f (x) f(x) f (x) c c R 0 ln x x k k R kx k-1 sin x cos x a x a R a x ln a cos x -sin x e x e x tg x log a x ctg x Kalkulus MIA 89 88

Elemi függvények deriváltjai II. f(x) f (x) f(x) f (x) arcsin x ch x sh x arccos x th x arctg x cth x arcctg x arsh x sh x ch x arch x Kalkulus MIA 90 89

Példa-1: Differenciálja az függvényt! A műveleti tételek alapján tagonként kell differenciálni: Kalkulus MIA 91 90

Példa-2: Differenciálja az függvényt! A műveleti tételek alapján tagonként kell differenciálni: Itt az első tag egy szorzat, a második tag konstans: Kalkulus MIA 92 91

Példa-3: Differenciálja az függvényt! Itt egy összetett függvény van, amelyben a külső függvény a tg függvény, a belső függvény az 5x függvény. Ezért Kalkulus MIA 93 92

Magasabb rendű differenciálhányadosok Ha az f és az f ' függvény is deriválható az x 0 helyen, akkor az f '' az f függvény x 0 helyen vett második deriváltjának nevezzük. Analóg módon juthatunk el az n-dik derivált fogalmához. Jelölések: f '(x), f ''(x), f '''(x), f (4) (x),, f (n) (x), Kalkulus MIA 94 93

Példa-1: Adja meg az f(x) = x 4 függvény első 5 deriváltját! f '(x) = 4x 3, f ''(x) = 12x 2, f '''(x) = 24x, f (4) (x) = 24, f (5) (x) = 0 Példa-2: Adja meg az f(x) = sin x függvény első 8 deriváltját! (sin x)' = cos x, (sin x)'' = -sin x, (sin x)'''(x) = -cos x, (sin x) (4) = sin x, (sin x) (5) = cos x, (sin x) (6) = -sin x, (sin x) (7) (x) = -cos x, (sin x) (8) = sin x, Kalkulus MIA 95 94

Függvényvizsgálat I. Függvények növekedése, csökkenése Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon folytonos és az (a,b)-n differenciálható. Legyen f (x) = 0 minden x (a,b). Ekkor az f függvény az [a,b] intervallumon állandó. Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon folytonos és az (a,b)-n differenciálható. Ekkor Az f függvény az [a,b] intervallumon akkor és csak akkor monoton növekvő ha f (x) 0minden x (a,b). Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon folytonos és az (a,b)-n differenciálható. Ekkor Az f függvény az [a,b] intervallumon akkor és csak akkor monoton csökkenő ha f (x) 0 minden x (a,b). Kalkulus MIA 96 95

Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon folytonos és az (a,b)-n differenciálható. Ekkor az f függvény az [a,b] intervallumon akkor és csak akkor szigorúan monoton növekvő ha f (x) > 0 minden x (a,b). Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon folytonos és az (a,b)-n differenciálható. Ekkor az f függvény az [a,b] intervallumon akkor és csak akkor szigorúan monoton csökkenő ha f (x) < 0 minden x (a,b). Kalkulus MIA 97 96

Példa: Vizsgáljuk meg az függvényt monotonitás szempontjából az értelmezési tartományán, ha D f = R. A növekedési viszonyokat az első derivált előjele határozza meg. Differenciáljuk a függvényt: A függvény szigorúan monoton növekvő, ha f' (x) > 0: A függvény szigorúan monoton csökkenő, ha Kalkulus MIA 98 97

Valóban, a függvény alakja: Kalkulus MIA 99 98

Függvényvizsgálat II. Szélsőérték meghatározása Tétel: Legyen az f függvény az x 0 helyen differenciálható. Ha f-nek az x 0 helyen létezik a lokális szélsőértéke, akkor f '(x 0 ) = 0. Tétel: Legyen az f függvény az x 0 helyen kétszer differenciálható. Ha f '(x 0 ) = 0 és f ''(x 0 ) > 0, akkor f-nek az x 0 helyen lokális minimuma van. Tétel: Legyen az f függvény az x 0 helyen kétszer differenciálható. Ha f '(x 0 ) = 0 és f ''(x 0 ) < 0, akkor f-nek az x 0 helyen lokális maximuma van. Kalkulus MIA 100 99

Példa: Határozza meg az függvény szélsőértékeit! A szélsőérték létezésére vonatkozó tétel alapján határozzuk meg az első deriváltak zérushelyeit: amiből kapjuk, hogy Ezzel a lehetséges szélsőértékeket kaptuk meg. Vizsgáljuk most a második deriváltakat a lehetséges szélsőérték helyeken: és így A második derivált az x = 2 helyen negatív, ezért itt lokális maximuma van a függvénynek, az x = -2 helyen pedig pozitív, ezért itt lokális minimuma van a függvénynek. Kalkulus MIA 101 100

Függvényvizsgálat III. Alaki viszonyok, inflexió Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon kétszer differenciálható. Ahhoz a függvény az intervallumon konvex (konkáv) legyen, szükséges és elegendő feltétel, hogy az f '(x) függvény az intervallumon szigorúan monoton növekvő (csökkenő) legyen, azaz f''(x) > 0, (ill. f''(x) < 0) minden x (a,b)-re. Tétel (az inflexiós hely létezésének szükséges feltétele): Legyen az f függvény az x 0 helyen kétszer differenciálható, és itt a függvénynek inflexiója van, akkor f''(x 0 ) = 0. Tétel (az inflexiós hely létezésének elégséges feltétele): Legyen az f függvény az x 0 helyen kétszer differenciálható, és legyen f''(x 0 ) = 0. Ekkor az f függvénynek az x 0 helyen inflexiója van. Kalkulus MIA 102 101

Példa: Határozzuk meg az, D f =Rfüggvény inflexióshelyét, és állapítsa meg, mely intervallumon konvex és konkáv a függvény. Az inflexióshely létezésére vonatkozó tétel alapján keressük meg a második derivált zérushelyeit: A második derivált sosem nulla, így nincs inflexiós hely. Vizsgáljuk meg a második derivált előjelét: ez a kifejezés akkor negatív, ha x < 0, és akkor pozitív, ha x > 0. A függvény értelmezési tartománya a pozitív valós számok halmaza, tehát a függvény mindenütt konvex. Kalkulus MIA 103 102

A függvényvizsgálat lépései Az értelmezési tartomány megállapítása Zérushelyek meghatározása Szimmetriatulajdonságok: párosság, páratlanság, periodicitás Folytonosság, szakadási helyek meghatározása. Határértékek meghatározása a szakadási helyek jobb ill. baloldalán, valamint az intervallum végpontjaiban. Monotonitás, szélsőérték vizsgálat. Alaki viszonyok: konvex, konkáv tartományok, inflexiós pontok meghatározása. A függvény grafikonjának megrajzolása. Értékkészlet meghatározása. Kalkulus MIA 104 103

Példa: Végezzen el teljeskörű függvényvizsgálatot az függvényen! 1. A függvény értelmezési tartománya: D f =R. 2. A zérushelyek meghatározása:? Kalkulus MIA 105 104

3. Szimmetriatulajdonságok. A függvény páros, mert A hatványfüggvények nem periodikusak, így a különbségük sem az. 4. Folytonosság, szakadási helyek, határérték: a hatványfüggvények folytonosak minden x D f helyen, szakadási hely nincs. 5.Monotonitás, szélsőérték: szélsőérték ott lehet, ahol a függvény differenciálhányadosa nulla. Kalkulus MIA 106 105

Az első derivált előjele adja a tényleges monotonitást: Ezeken az intervallumokon a függvény szigorúan monoton csökkenő. Ezeken az intervallumokon a függvény szigorúan monoton növekvő. A második derivált előjele a szélsőérték helyeken szolgáltatja a szélsőértékeket: Amiből adódik, hogy Ezért a függvénynek minimumhelye van +1-ben és -1-ben, és maximumhelye van 0-ban. Kalkulus MIA 107 106

6. Alaki viszonyok: ha Amiből kapjuk, hogy Ezeken az intervallumokon a függvény konvex. Hasonlóan: Amiből: ha Itt a függvény konkáv. Kalkulus MIA 108 107

Ahol a függvény konvexből konkávba megy át inflexiós pontja van. Ezek a pontok: ott a függvénynek Kalkulus MIA 109 108

-1 1 Az függvény grafikonja Kalkulus MIA 110 109

2. Sorozatok Azokat a függvényeket, amelyek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza ( jelölése N ), a képhalmaz a valós számok halmaza, sorozatnak nevezzük. Az a függvény n N helyen vett helyettesítési értékét a sorozat n- edik elemének nevezzük és a(n) = a n -nel jelöljük. A sorozat megadható Képlettel: Rekurziós formulával: Felsorolással: Kalkulus MIA 111 110

Monoton sorozatok Az {a n } n N sorozatot (szigorúan) monoton csökkenőnek nevezzük, ha minden n N esetén a n a n-1 ( a n < a n-1 ). Az {a n } n N sorozatot (szigorúan) monoton növekvőnek nevezzük, ha minden n N esetén a n a n-1 ( a n > a n-1 ). Azokat az {a n } n N sorozatokat, amelyek minden n N esetén vagy monoton nőnek vagy monoton csökkennnek, monoton sorozatnak nevezzük. Kalkulus MIA 112 111

Korlátos sorozatok Az {a n } n N sorozatot felülről korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan K R, hogy minden n N esetén a n K. Az {a n } n N sorozatot alulról korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan k R, hogy minden n N esetén a n k. Az {a n } n N sorozatot korlátosnak nevezzük, ha alulról is és felülről is korlátos. Kalkulus MIA 113 112

Konvergens és divergens sorozatok Az {a n } n N sorozatnak létezik az A véges határértéke, ha mindenε> 0 számhoz létezik olyan n 0 (ε) N küszöbszám (küszöbindex), amelyre igaz, hogy ha n > n 0, akkor a n A <ε. Jelölése lim ({a n } n N ) = A Ha az {a n } n N sorozatnak létezik az A véges határértéke, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük, egyébként a sorozat divergens. Ha lim ({a n } n N ) = 0, akkor a sorozatot zérussorozatnak nevezzük. Kalkulus MIA 114 113

Tétel ( Rendőr elv ): Legyenek adottak az {a n } n N, {b n } n N, {c n } n N sorozatok, és legyen {a n } n N és {b n } n N konvergens. Ha lim {a n } n N = lim {b n } n N = A és minden n >N 0 -ra teljesül, hogy a n c n b n, akkor a {c n } n N sorozat is konvergens, és lim ({c n } n N ) = A. Kalkulus MIA 115 114

Sorozatokra vonatkozó tételek Tétel : Ha az {a n } n N sorozat konvergens, akkor csak egy határértéke van, azaz a határérték egyértelmű. (Unicitás). Tétel : Ha az {a n } n N sorozat konvergens, akkor korlátos. A korlátosság szükséges, de nem elégséges feltétel. (Tekintsük a {(-1) n } n N sorozatot. Tétel: Ha az {a n } n N sorozat monoton növekvő (csökkenő) és felülről (alulról) korlátos, akkor konvergens. A feltétel csak elégséges, de szükséges, mert a konvergenciából nem következik a monotonitás. pl. Kalkulus MIA 116 115

Műveletek véges határértékű sorozatokkal Tétel: Legyen az {a n } n N sorozat konvergens és c tetszőleges valós szám. Ekkor a c{a n } n N = {ca n } n N sorozat is konvergens, és lim {ca n } n N = c lim {a n } n N. Tétel: Legyen lim {a n } n N = A és lim {b n } n N = B, (azaz mindkét sorozat konvergens). Ekkor igazak a következő állítások: lim ({a n + b n } n N ) = lim {a n } n N + lim {b n } n N = A + B. lim ({a n b n } n N ) = lim {a n } n N lim {b n } n N = A B. lim ({a n b n } n N ) = lim {a n } n N lim {b n } n N = A B. Amennyiben véges sok elemtől eltekintve b n 0 és B 0, akkor Kalkulus MIA 117 116

Végtelen határértékű sorozatok Az {a n } n N sorozatnak tágabb értelemben vett határértéke +, ha minden P R számhoz létezik olyan N 0 N küszöbszám, amelyre igaz, hogy ha n > N 0, akkor a n > P. Jelölése lim ({a n } n N ) = +. Az {a n } n N sorozatnak tágabb értelemben vett határértéke, ha minden P R számhoz létezik olyan N 0 N küszöbszám, amelyre igaz, hogy ha n > N 0, akkor a n < P. Jelölése lim ({a n } n N ) =. Kalkulus MIA 118 117

Műveletek végtelen határértékű sorozatokkal Tétel: Legyen az {a n } n N sorozat határértéke +. Ekkor Tétel: Legyen az {a n } n N sorozat konvergens, és lim {a n } n N = A 0. Legyen továbbá lim {b n } n N = +. Ekkor Tétel: Legyen az {a n } n N és {b n } n N sorozat konvergens úgy, hogy lim {a n } n N = A és lim {b n } n N = 0 és b n > 0 minden n N-re. Ekkor Kalkulus MIA 119 118

Tétel: Legyen az {a n } n N Ekkor sorozat korlátos, és lim {b n } n N = +. Tétel: Legyen az {a n } n N és {b n } n N két olyan sorozat, amelyre teljesül, hogy létezik olyan k > N, hogy ha n > k, akkor a n b n. Ekkor: ha lim {a n } n N = +, akkor lim {b n } n N = +. ha lim {b n } n N =, akkor lim {a n } n N =. Kalkulus MIA 120 119

Nevezetes sorozatok I. Tétel: Az sorozat konvergens, és Tétel: Legyen c tetszőleges valós szám. Ekkor Kalkulus MIA 121 120

Nevezetes sorozatok II. Tétel: Az sorozat konvergens, és Tétel: Tetszőleges k valós szám esetén Tétel: Tétel: Tétel:Tetszőleges a valós szám esetén Kalkulus MIA 122 121

Példa: Határozzuk meg az sorozat határértékét, és adjuk meg azε=10-4 hez tartozó küszöbindexet! Alakítsuk át a n -t a következőképpen: Használjuk az előző tételeket: Kalkulus MIA 123 122

A második rész kiszámításához használjuk fel, hogy Helyettesítsünk be a határérték definíciójába: Tudjuk, hogy n N, ezért, ezért az egyenlőtlenség: Amiből kapjuk, hogy N 0 = 5000. Kalkulus MIA 124 123

sorozat határérté- Példa: Határozzuk meg az két! Alakítsák át a n -t a következőképpen: Amiből adódik, hogy Kalkulus MIA 125 124

Tétel(Cauchy-féle konvergencia kritérium): Az {a n } n N sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha bármelyε>0 hoz megadható olyan N(ε) küszöbszám, hogy ha n, m > N, akkor a n a m < ε. A tétel jelentése: a sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha elég nagy indextől kezdve az elemei tetszőlegesen keveset térnek el egymástól. Kalkulus MIA 126 125

Megjegyzés: Ha a sorozat polinomok hányadosa, akkor a nevező ill. a számláló fokszámától függően három esetet különböztetünk meg: Ha a számláló fokszáma nagyobb, mint a nevező fokszáma, akkor a határérték vagy + vagy, a legmagasabb fokú tagok együtthatóinak előjelétől függően. Ha a számláló fokszáma megegyezik a nevező fokszámával, akkor a határérték a legmagasabb fokú tagok együtthatóinak hányadosával egyenlő. Ha a számláló fokszáma kisebb, mint a nevező fokszáma, akkor a határérték 0. Kalkulus MIA 127 126

Sorok Feladat: Adott egy szakasz, amelynek hossza a <. Mérjük fel a szakaszt egy egyenesre, majd mérjük fel a felét, az egyharmadát, a negyedét, és így tovább. Folytassuk az eljárást a végtelenségig. a Mekkora lesz a felmért szakaszok összhossza? Kalkulus MIA 128 127

Feladat: Tekintsük azt a görbevonalat, amely olyan félkörívekből áll, amelynek sugarai egy r sugár 2 n -ed részei (n = 0, 1, 2, ). Mekkora lesz a felmért körívek összhossza? Mindkét esetben végtelen sok tag összegét kell kiszámítani, és ez problémát okozhat. Kalkulus MIA 129 128

Legyen adott az {a n } sorozat. Az {a n } sorozat elemeiből képzett {S n } sorozatot, amelynek elemeit az képlettel adjuk meg, végtelen sornak nevezzük, és -nel jelöljük. S n -t a végtelen sor n-dik részletösszegének nevezzük, az a n -t a sor n- dik tagjának hívjuk. Példa: Tekintsük az harmonikus sorozatot. Ekkor Kalkulus MIA 130 129

Az sort konvergensnek nevezzük, ha az {S n } sorozat konvergens. Az számot a sor összegének nevezzük. A sort divergensnek nevezzük, ha nem konvergens. Hasonlítsuk össze a geometriai sorozat és a belőle képzett végtelen geometriai sor konvergenciáját. Példa: Tekintsük az mértani sorozatot. Ekkor Kalkulus MIA 131 130

Az sort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a sor konvergens. Ha egy sor konvergens, de nem abszolút konvergens, akkor feltételesen konvergens. Példa: a sor feltételesen konvergens. Kalkulus MIA 132 131

Tétel: Ha egy sor abszolút konvergens, akkor konvergens is. Biz: Legyen {S n } a részletösszegek sorozata, {A n } pedig a sor tagjainak abszolút értékeiből összeállított sor részletösszegeinek sorozata, azaz A feltétel szerint {S n } konvergens sorozat, ezért a sorozatokra vonatkozó Cauchy kritérium szerint minden ε > 0-hoz létezik olyan N(ε) természetes szám, hogy minden olyan m, n természetes számpárra, amelyre m > n N(ε), igaz, hogy A m - A n <ε. Így Tehát az {S n } sorozat is Cauchy sorozat, ezért konvergens. Kalkulus MIA 133 132

A következő tételeknél az alábbi feltételek és jelölések teljesülnek: Legyen adott az sor, és Legyen egy nem negatív tagú sor. A sor részletösszegeinek sorozatát {B n } jelöli, A sor részletösszegeinek sorozatát {A n } jelöli. Kalkulus MIA 134 133

Tétel: Ha a és a sor konvergens, és λ és µ tetszőleges valós számok, akkor a sor is konvergens, és Biz: Jelölje a két sor részletösszegeinek sorozatát {A n } és {B n }, a sorok összegét A és B. Legyen ε > 0 tetszőleges, definiáljuk a értékeket. Mivel {A n } és {B n } konvergens, ezért mindε A -hoz mindε B -hez tartozik egy N A ill. N B küszöbszám, amelyre igaz, hogy ha n > N A, akkor A n A <ε A, és ha n > N b, akkor B n B <ε B. Kalkulus MIA 135 134

Válasszuk most N(ε)-t elég nagynak, azaz legyen Ekkor, ha n N(ε), akkor Összefonódás a vektoroknál tanultakkal, a tétel átfogalmazva: Konvergens sorozatok lineáris kombinációja is konvergens sorozat. (A lineáris kombináció nem vezet ki a konvergens sorozatok halmazából.) Kalkulus MIA 136 135

Tétel ( Cauchy-féle konvergencia kritérium): A sor akkor és csak akkor konvergens, ha mindenε>0-hoz létezik olyan N(ε) természetes szám, hogy minden olyan m, n természetes szám-párra, amelyre m > n N(ε), fennáll a egyenlőtlenség. Biz: A sorozatokra vonatkozó Cauchy kritériumot alkalmazzuk az {S n } részletösszeg-sorozatra. (Eszerint: az {S n } sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha minden ε > 0-hoz létezik olyan N(ε) természetes szám, hogy minden olyan m, n természetes számpárra, amelyre m > n N(ε), fennáll az S m -S n <εegyenlőtlenség. Mivel ezért a tétel állítása azonnal következik. Kalkulus MIA 137 136

Értelmezzük a tétel állítását! Mindenε>0-hoz meg lehet adni egy olyan N(ε) természetes számot, hogy abban az esetben, ha a sorozat N(ε)-nál nagyobb indexű elemeit összeadjuk, akkor az összeg értéke kisebb lesz, mint az előre megadottε. Minél kisebbre választjuk ε értékét, annál nagyobb lesz N(ε) értéke. Mivel m-re csak annyi kikötés van, hogy m > n, ez azt jelenti, hogy m értéke tetszőlegesen nagy lehet, azaz konvergens sorozatnál a sorozat hátsó szeletének egyre kisebbnek kell lenni. Kalkulus MIA 138 137

Következmény: A sorozat konvergenciájának szükséges feltétele, hogy az {a n } sorozat nullsorozat legyen. Biz: Tegyük fel, hogy a sor konvergens. Ekkor az előző tétel szerint mindenε>0-hoz létezik olyan N(ε) természetes szám, hogy ha m = n+1 és n N(ε), akkor a n+1 <ε. Ezért az a n+1 sorozat nullsorozat. Mivel ezt a sorozatot úgy kapjuk az a n sorozatból, hogy abból elhagyjuk az első elemet, ezért a két sorozat konvergenciatulajdonságai megegyeznek. Ezért a n < ε is teljesül. Így az a n sorozat is nullsorozat. Kalkulus MIA 139 138

A feltétel csak szükséges, de nem elégséges. Ennek bizonyításához vizsgáljuk meg a sort a konvergencia oldaláról. A feltétel nyílván teljesül, hiszen de a részletösszegek sorozata nem konvergens, ugyanis és ez a végtelenbe tart, ha n. Kalkulus MIA 140 139

Feladat: Konvergens-e az sor? Az előző tétel alapján először vizsgáljuk, hogy a szükséges feltétel teljesül-e? Meg kell mutatni, hogy a részletösszegek sorozatának van véges határértéke. Vegyük észre, hogy Ez alapján (*) Kalkulus MIA 141 140

Ezért Tehát a sor konvergens, és összege 1. A (*) azonosság bizonyítása. Bontsuk parciális törtekre a bal oldalt: Ekkor teljesülni kell, hogy alkalmazzuk az egyenlő együtthatók módszerét. Ezért aminek a megoldása: B = 1 és A = -1. Kalkulus MIA 142 141

A sort korlátosnak mondjuk, ha a részletösszegek sorozata korlátos. Tétel: Ha egy sor konvergens, akkor korlátos is. Biz. Ha a sor konvergens, akkor korlátos is. Ha korlátos a sorozat, akkor a részletösszegek sorozata is korlátos. Ha a részletösszegek sorozata korlátos, akkor a sor korlátos. Megjegyzés: a tétel megfordítása általában nem igaz. A sorozat korlátosságából nem következik a konvergencia. Példa: Kalkulus MIA 143 142

Tétel: Ha egy sor nem negatív tagú és korlátos, akkor konvergens. Biz. Ha a sor korlátos, akkor a részletösszegek sorozata is korlátos. A nem-negativitás miatt a részletösszegek sorozata monoton növekvő sorozatot alkot. Ha a részletösszegek sorozata monoton és korlátos, akkor a sorozatokra vonatkozó tétel szerint a részletösszegek sorozata konvergens. Ha a részletösszegek sorozata konvergens, akkor definíció szerint a sor konvergens. Kalkulus MIA 144 143

Nevezetes sorok I. Harmonikus sor: Tétel: A harmonikus sor divergens. Biz. Tegyük fel, hogy az állítás nem igaz. Ekkor a sor konvergens. Ezért a részletösszegek sorozata is konvergens, és határértékük ugyanaz a szám. Ezért: Ezért Kalkulus MIA 145 144

Vizsgáljuk meg az S 2n S n különbséget: Ez azt jelenti, hogy a nem állhat. Ezért a harmonikus sor nem teljesíti a konvergenciára vonatkozó szükséges feltételt. Ezért a sor nem lehet konvergens. A harmonikus sor ismeretében választ tudunk adni a korábban felvetett első feladat megoldására Kalkulus MIA 146 145

A felmért szakaszok összhosszára a válasz a következő: Láttuk, hogy az összhossz a végtelen sorral adható meg. Mivel a harmonikus sor divergens, ezért a felmért szakaszok összhossza végtelen! Kalkulus MIA 147 146

Nevezetes sorok II. Geometriai sor: ahol q 1. Tétel: Azaz a geometriai sor q < 1 esetén konvergens, és q > 1 esetén divergens. A geometriai sor ismeretében választ tudunk adni a korábban felvetett második feladat megoldására. Kalkulus MIA 148 147

Most az ívhosszak összegét a végtelen sorral adható meg. Az összegzésben egy olyan geometriai sor áll, amelyre q < 1. Ezért az ívhossz: azaz a szakaszok összhossza véges! (Éppen akkora, mint a kiinduló kör kerülete.) Kalkulus MIA 149 148

Nevezetes sorok III. Hiperharmonikus sor: ahol p > 1. Tétel. a hiperharmonikus sor konvergens. Biz. A tétel bizonyításához elegendő kimutatni, hogy a sor részletöszszegei monoton növekvő és korlátos sorozatot alkotnak. A monoton növekedés azonnal következik abból, hogy a sor nemnegatív tagú. A korlátosság bizonyítása: Kalkulus MIA 150 149

Vizsgáljuk a sor n-edik részletösszegét: Csökkentsük a jobb oldalon a nevezőket oly módon, hogy a nevező helyébe 2 i -t minden olyan esetben, amikor a nevező értéke a [2 i,2 i+1 ) intervallumba esik: Mivel a [2 i,2 i+1 ) intervallumba mindig 2 i darab egész szám esik, ezért a fenti összegben az egyforma nevezőjű tagok száma mindig 2 i. Ez alól csak az utolsó szelet lehet kivétel. (Ha n nem 2 i alakú, akkor egészítsük ki a jobb oldalt megfelelő számú elemmel.) Így a sor a következőképpen írható fel: Kalkulus MIA 151 150

A jobb oldal egy 1/(2 p-1 ) kvóciensű geometriai sor i-edik részletösszege. Jelőljük ezt s i -vel. Ha 1/(2p-1) < 1, azaz p > 1, akkor Ezért a hipergeometrikus sor korlátos. Kalkulus MIA 152 151

Nevezetes sorok IV. Leibnitz-féle sor: Általánosabban vizsgáljuk a problémát: Tétel. Ha a alternáló sorban az a n > 0, és a tagok által alkotott {a n } sorozat monoton csökkenő és zérushoz tart, akkor a sor konvergens. Kalkulus MIA 153 152

További konvergencia-kritériumok Tétel: Legyen {a n } egy nemnegatív elemű sorozat. A sor konvergens, ha részletösszegeinek sorozata korlátos. Biz: Szükséges: Jelölje a részletösszegek sorozatát {a n }. Legyen a sor konvergens, azaz {S n } sorozat konvergens. Ekkor {S n } a sorozatokra vonatkozó tétel szerint korlátos. Elegendő: Legyen {S n } sorozat korlátos. Ekkor minden n-re S n+1 S n = a n+1 0. Ezért az {S n } sorozat monoton növekvő. A sorozatoknál láttuk, hogy monoton korlátos sorozat konvergens, így az {S n } sorozat konver-gens. Kalkulus MIA 154 153

Tétel (Majoráns Kritérium): Ha a sor abszo- olyan N, hogy minden n N-re a n b n, akkor az lút konvergens. Biz: sor konvergens, és van A feltételből következik, hogy m > n N-re. A Cauchy féle konvergencia kritérium miatt elegendő megmutatni, hogy az A n sorozat Cauchy sorozat. Mivel konvergens, ezért bármely ε > 0-hoz van olyan küszöbindex N (ε) = max (N, N(ε)) ahol N(ε)-ra teljesül, hogy ha m > n N (ε), akkor amelyre ha m > n N (ε), akkor vagyis az {A n } sorozat Cauchy sorozat az N (ε) küszöbindexszel. Kalkulus MIA 155 154

Feladat: Döntsük el, hogy konvergens-e az alábbi sor: Mivel minden n-re teljesül, és a jobb oldalon álló geometriai sor konvergens, ezért a feladatban szereplő sor is konvergens. Kalkulus MIA 156 155

Tétel (Minoráns Kritérium): Ha a sor divergens, és van olyan N, hogy minden n N-re a n b n, akkor az sor nem abszolút konvergens. A tétel bizonyítása a Majoráns Kritériumnál használt eljárás segítségével elvégezhető. Kalkulus MIA 157 156

Tétel (D'Alambert-féle hányados kritérium-1): Ha a pozitív tagú sorban egy N küszöbindextől kezdve bármely n > N -re az egyenlőtlenség teljesül, akkor a sor konvergens. Biz: A feltétel miatt ha n > N. Legyen n = N + 1. Ekkor. Kalkulus MIA 158 157

Mivel a jobb oldal tagjaiból képezett sor konvergens (mert q < 1), és a sort egy n-től kezdve majorálja a sor, ezért a Majoráns Kritérium szerint a sor is konvergens. Kalkulus MIA 159 158

Feladat: Konvergens-e a sor? Alkalmazzuk a hányados kritériumot! Ezért a sor konvergens. Kalkulus MIA 160 159

Tétel (D'Alambert-féle hányados kritérium-2): Ha a pozitív tagú sorban egy N küszöbindextől kezdve az egyenlőtlenség teljesül, akkor a sor divergens. Gyakorlati számítások során sokszor használható a D'Alambert-féle konvergencia kritérium tételeire alapuló következő tétel: Tétel: Ha a sor tagjai pozitívak, és a határérték létezik és ha, akkor a sor konvergens, ha, akkor a sor divergens ha, akkor a hányados kritérium nem használható. Kalkulus MIA 161 160

Feladat: Konvergens-e a sor? Alkalmazzuk a hányados kritériumot! Ezért a sor konvergens. Kalkulus MIA 162 161

Tétel (Cauchy-féle gyökkritérium): Ha a egy N küszöbszámtól kezdve az pozitív tagú sorban egyenlőtlenség teljesül, akkor a sor konvergens. Biz: A feltétel szerint Ezért Ez éppen azt jelenti, hogy a sort a (1 < q < 1) konvergens geometriai sor majorálja egy adott N indextől. Használva a Majoráns Kritériumot azt kapjuk, hogy a sor konvergens. Kalkulus MIA 163 162

Feladat: Konvergens-e a sor? Alkalmazzuk a gyök-kritériumot! minden n-re. Ezért a sor konvergens. Gyakorlati számításoknál célszerűbb a következő a gyökkritériumon alapuló tételt alkalmazni: Kalkulus MIA 164 163

Tétel: Ha a sor tagjai pozitívak, és a határérték létezik, és ha, akkor a sor konvergens, ha, akkor a sor divergens, ha, akkor agyök-kritérium nem használható a konvergencia eldöntésére. Kalkulus MIA 165 164

Feladat: Konvergens-e a sor? Mivel a tört nevezője magasabb rendben tart a végtelenbe, mint a számláló, ezért a tört zérushoz konvergál. Vizsgáljuk meg a gyökkritérium segítségével, hogy mely elégséges feltétel teljesül a konvegenciához: Itt felhasználtuk, hogy Ezért a sor konvergens. Kalkulus MIA 166 165

Feladatok sorok konvergenciájának meghatározására Feladat: Konvergens-e a sor? A szükséges feltétel teljesül. (Az sorozat nullsorozat.) Alkalmazzuk a hányados kritériumot! Ezért a sor konvergens. Kalkulus MIA 167 166

Feladat: Konvergens-e a sor? A szükséges feltétel teljesül. (A nevezetes határérték miatt.) Alkalmazzuk a gyök-kritériumot! Ezért a sor konvergens. Kalkulus MIA 168 167

Feladat: Konvergens-e a sor? Vizsgáljuk először a szükséges feltétel teljesülését. Mivel Ezért a szükséges feltétel nem teljesül. Így a sor nem konvergens. Kalkulus MIA 169 168

Feladatok sorok összegének meghatározásához Feladat: Határozzuk meg a végtelen sor összegét! Írjuk fel parciális tört alakban a sor általános tagját! Ebből kapjuk, hogy Alkalmazzuk az egyenlő együtthatók módszerét: Amiből: Kalkulus MIA 170 169

Tehát Így az n-edik részletösszeg: Ebből a sor összegére adódik: Kalkulus MIA 171 170

Feladat: Határozzuk meg a végtelen sor összegét! Vegyük észre, hogy a sorozat általános tagja a következő alakban írható fel: Ezért a sor összege: A zárójelben egy olyan geometriai sor áll, amelyre q = 2/5 2. Ezért Kalkulus MIA 172 171

Függvénysorok Az f 0 (x), f 1 (x), f 2 (x), függvénysorozat elemeiből képezett összeget függvénysornak nevezzük. A függvénysor értelmezési tartománya: Az összeget a sor n. részlet összegfüggvénynek nevezzük. Az összeget a sor n. maradék összegfüggvénynek nevezzük. Kalkulus MIA 173 172

Az értelmezési tartomány egy H D részhalmazát a függvénysor konvergencia tartományának nevezzük, ha bármely x 0 H-ra a határérték létezik. (Pontonkénti konvergencia) Következmény: a konvergencia tartományon Az összeget a sor összegfüggvénynek nevezzük. (x 0 H ). Példa Tehát Kalkulus MIA 174 173

Az abszolút konvergens az x 0 -ban, ha konvergens. Következmény: Ha egy sor abszolút konvergens x 0 -ban, akkor ott konvergens is. Kalkulus MIA 177 174

Hatványsorok Két típusú hatványsort ismerünk: : az x 0 középpont körül. : az origó körül. Elegendő az típusú sorokkal foglalkozni, mert az x 0 középpontú hatványsor a ξ = x x 0 helyettesítéssel alakra hozható. Kalkulus MIA 178 175

Példa: Hatványsor például a geometriai sor. Ez a sor konvergens, ha x < 1. Ezért a hatványsor konvergenciatartománya a (-1, 1) intervallum, azaz az x = 0 pont r = 1 sugarú környezete. Kalkulus MIA 179 176

Tétel: Ha a sor x 2 -ben divergens, akkor bármely x 1 > x 2 pontban is divergens. (Ennél több is igaz: ezekben a pontokban a sor abszolút konvergens.) Következmény: a két fenti tétel egyenes következménye, hogy egy hatványsor konvergenciatatománya mindig egy x 0 = 0 középpontú intervallum. Legyen H az értelmezési tartomány és R a konvergenciasugár. Ekkor a következő esetek lehetségesek. H = {0}, akkor R = 0. H = R, akkor R = R. Kalkulus MIA 180 177

A korábbi megjegyzéseket felhasználva a hatványsor konvergenciatartománya egy x 0 középpontú intervallum. Ebben az esetben a hatványsor az x x 0 < R-ben konvergens, az x x 0 > R-ben divergens, a végpontokat külön kell vizsgálni. Hogyan határozható meg R? Kalkulus MIA 181 178

A konvergenciasugár meghatározása hatványsorok esetén A konvergenciasugár meghatározása a pozitív tagú sorokra vonatkozó hányados és gyökkritérium alkalmazásával történik. Mivel a hatványsor konvergenciatartománya megegyezik a sor konvergenciatartományával (pozitív tagú sorok esetén), ezért az utóbbi konvergenciatartományát kell meghatározni. Kalkulus MIA 182 179

Vizsgáljuk először a hányadoskritérium alkalmazását. A tétel szerint a hatványsor akkor konvergens, ha reláció teljesül. Meg kell vizsgálni, hogy milyen x-kre teljesülnek a feltételek. Mivel = p Azt kell tehát vizsgálni, hogy mikor teljesül, ha Kalkulus MIA 183 180

azaz, ha (*) Tehát a hatványsor olyan x-ekre lesz konvergens, amelyekre a (*) feltétel teljesül. Ez pedig azt jelenti, hogy a hatványsor konvergenciasugara r = 1/p, ahol Kalkulus MIA 184 181

Vizsgáljuk most a gyök-kritérium alkalmazását. A tétel szerint a hatványsor akkor konvergens, ha reláció teljesül. Meg kell vizsgálni, hogy milyen x-kre teljesülnek a feltételek. Mivel = p Azt kell tehát vizsgálni, hogy mikor teljesül, ha Kalkulus MIA 185 182

azaz, ha (*) Tehát a hatványsor olyan x-ekre lesz konvergens, amelyekre a (*) feltétel teljesül. Ez pedig azt jelenti, hogy a hatványsor konvergenciasugara r = 1/p, ahol Kalkulus MIA 186 183

Feladatok a konvergenciasugár meghatározására Feladat: Határozzuk meg a hatványsor konvergenciasugarát! Alkalmazzuk a hányadoskritériumot: Tehát a konvergenciasugár: Kalkulus MIA 187 184

Feladat: Határozzuk meg a hatványsor konvergenciasugarát! Alkalmazzuk a hányadoskritériumot: Tehát a konvergenciasugár: Kalkulus MIA 188 185

Feladat: Határozzuk meg a hatványsor konvergenciasugarát! Alkalmazzuk a gyök-kritériumot: Tehát a konvergenciasugár: Kalkulus MIA 189 186

Feladat: Határozzuk meg a hatványsor konvergenciasugarát! Alkalmazzuk a gyök-kritériumot: Tehát a konvergenciasugár: Kalkulus MIA 190 187

Az előzőekben láttuk, hogy A Mac-Laurin sor és a Taylor sor ha x < 1 ha x < 1 ha x < 1 Ha adott egy f(x) függvény, és ehhez megadható egy olyan hatványsor, amelynek az összegfüggvénye f(x), akkor az f(x) függvényt hatványsorba fejthetőnek nevezzük. Kalkulus MIA 191 188

Legyen adott a (-a, a) intervallumon értelmezett, hatványsorba fejthető f(x) függvény. Ekkor a függvény előállítható a következő alakban: Ebben az előállításban nem ismerjük az a i együtthatók értékét. Az együtthatók meghatározhatók f(x) és deriváltjainak az x = 0 helyen felvett értékeinek segítségével: Mivel az f(x) függvény hatványsora létezik, ezért használhatjuk a deriválásra vonatkozó tételt: Így Kalkulus MIA 192 189

Ha most az f '(x) függvényre alkalmazzuk a differenciálás szabályát, akkor azt kapjuk, hogy amiből kapjuk, hogy Folytassuk az eljárás. Ekkor az n. lépés után kapjuk, hogy Összefoglalva: a keresett együtthatókat az f(x) függvény megfelelő deriváltjainak az x = 0 helyen vett helyettesítési értékei szolgáltatják. Kalkulus MIA 193 190

ezért ezért. ezért Kalkulus MIA 194 191

Így az f(x) függvény x = 0 pont körüli hatványsorral történő előállítására kaptuk: Az f(x) függvénynek ezt az előállítását a függvény Mac-Laurin sorának nevezzük. Kérdés: Hogyan lehet egy f(x) függvénynek az x = a pont körüli (ara nézve szimmetrikus konvergenciatartományú) alakú hatványsorát felírni? Kalkulus MIA 195 192

Kövessük a Mac-Laurin sor felírásánál alkalmazott eljárást. Most az x = a helyettesítési érték adja a keresett együtthatók értékét: ezért. ezért ezért Kalkulus MIA 196 193

Így az f(x) függvény x = a pont körüli hatványsorral történő előállítására kaptuk: Az f(x) függvénynek ezt az előállítását a függvény Taylor sorának nevezzük. Kalkulus MIA 197 194

Feladatok függvények Mac-Laurin és Taylor sorának felírására Írjuk fel az y = a x függvény Mac-Laurin sorát! Határozzuk meg az együtthatókat: Kalkulus MIA 198 195

Így az y = a x függvény Mac-Laurin sora: Kalkulus MIA 199 196

Fejtsük Taylor sorba az y = ln x függvényt az x = e pont körül! Határozzuk meg először az együtthatókat: Így az y = ln x függvény Taylor sora: Kalkulus MIA 200 197

Fejtsük Taylor sorba az y = 2x 3 -x 2 +x-3 függvényt az x 0 = 1 pont körül! Határozzuk mag az együthatókat: Így a függvény Taylor sora: Kalkulus MIA 201 198

Nevezetes függvények hatványsora Határozzuk meg az y = e x függvény Mac-Laurin sorát! Induljunk ki az y = a x Mac-Laurin sorából: Vegyük figyelembe, hogy a = e esetben ln e = 1. Így Ha x = 1, akkor az e szám sorbafejtését kapjuk: Kalkulus MIA 202 199

Határozzuk meg az y = sin x függvény Mac-Laurin sorát! Vizsgáljuk először az y = sin x függvény deriváltjait: Látjuk, hogy a sin x függvénynek minden negyedik deriváltja megegyezik: Kalkulus MIA 203 200

Így x = 0 helyen helyen felvett értékek: Így a sin x függvény Mac-Laurin sorában az z együtthatók: Ezért =1 = 0 Kalkulus MIA 204 201

Az y = cos x függvény Mac-Laurin sora hasonló gondolatmenettel számítható ki. A differenciálhányadosok periodicitása itt is érvényesül. A páratlan indexű tagok együtthatói lesznek zérusok. Ezért: Kalkulus MIA 205 202

Integrálszámítás és alkalmazásai A primitív függvény, a határozatlan integrál Elemi függvények határozatlan integrálja Integrálási szabályok A határozott integrál fogalma és tulajdonságai A Newton-Leibniz szabály Az integrálszámítás alkalmazásai Kalkulus MIA 206 203

A primitív függvény A differenciálszámítás során megismertük azt, hogy egy f(x) függvény f (x) deriváltját hogyan lehet megadni a függvény ismeretében. A kérdés az, hogy a differenciálhányados ismeretében hogyan lehet meghatározni az f(x) függvényt? Erre a kérdésre ad választ az integrálszámítás. Akkor mondjuk, hogy az F(x) függvény primitív függvénye az f(x) függvénynek az I R intervallumban, ha F folytonos az I-n és minden belső pontjában F (x) = f(x). Matematika Kalkulus MIAII. 207 204

Példa: Vegyük észre, hogy az f(x) = x 2 függvény primitív függvénye a számegyenesen az függvény, mert F (x) = x 2 = f(x). Hasonló megfontolás alapján látható az is, hogy a és Függvények ugyancsak primitív függvényei az f(x) függvénynek. (Ez egyszerűen adódik abból, hogy a konstans differenciálhányadosa 0.) Tétel: Ha f-nek az I intervallumban van primitív függvénye, akkor végtelen sok primitív függvénye van, amelyek csak egy additív konstansban térnek el egymástól. Matematika Kalkulus MIAII. 208 205

Egy f függvény határozatlan integráljának mondjuk az I R intervallumban az f függvény primitív függvényeinek halmazát. Jele Az integrál mögötti részt integrandusnak, az x változót integrációs együtthatónak nevezzük. A határozatlan integrál definíciójából következik, hogy Egy függvény határozatlan integrálját megadni azt jelenti, hogy megkeressük a hozzá tartozó összes primitív függvényt. Matematika Kalkulus MIAII. 209 206

Példa: Határozzuk meg f primitív függvényeit, ha Megoldás: A korábbi tétel miatt, ha grafikusan akarjuk ábrázolni a különböző primitív függvényeket, akkor azok olyan párhuzamos görbesereget alkotnak, amelyek az y tengely mentén vannak eltolva. (Ld. A következő oldalt.) Matematika Kalkulus MIAII. 210 207

f(x) = x 2 Matematika Kalkulus MIAII. 211 208

Az elemi függvények határozatlan integráljai n -1, n R Kalkulus MIA 212 209

Integrálási szabályok Tétel: Tegyük fel, hogy f-nek és g-nek létezik a primitív függvénye az I intervallumban. Akkor cf-nek és (f + g)-nek is van primitív függvénye, és Kalkulus MIA 213 210

Példa: keressük az f(x) = 3x 4 + 2x 3 5x +2 függvény határozatlan integrálját! függvény határozatlan integ- Példa: keressük az rálját! Kalkulus MIA 214 211

Tétel: Tegyük fel, hogy f(x)-nek F a primitív függvénye az I intervallumban, és ax+b I. Akkor Biz. Kalkulus MIA 215 212

Példa: keressük az f(x) = (2x+4) 3 függvény határozatlan integrálját! Példa: keressük az f(x) = cos(3x+3) függvény határozatlan integrálját! Kalkulus MIA 216 213

Tétel: Tegyük fel, hogy f(x) differenciálható és F a primitív függvénye az I intervallumban, és n -1. Akkor Biz. Figyeljük meg, hogy változtattunk a jelölésen! Kalkulus MIA 217 214

Példa: keressük az f = 2(2x+4) 3 függvény határozatlan integrálját! Példa: keressük az függvény határozatlan integrálját! Kalkulus MIA 218 215

Tétel: Tegyük fel, hogy f differenciálható az I intervallumban, és f(x) 0, x I. Akkor Példa: keressük az függvény határozatlan integrálját! Kalkulus MIA 219 216

Parciális integrálás A szorzatfüggvény differenciálási szabályának megfordításából adódó integrálási szabályt parciális integrálásnak nevezzük. Tétel: Tegyük fel, hogy f és g folytonos és differenciálható az I intervallumban. Akkor Biz. Integráljuk mindkét oldalt: Amiből átrendezéssel megkapjuk a tétel állítását. Kalkulus MIA 220 217

Példa: keressük az határozatlan integrál értékét! Legyen f(x) = x és gʹ(x) = e x. Ekkor fʹ(x) = 1 és g(x) = e x. Így Matematika Kalkulus MIAII. 221 218

Integrálás helyettesítéssel A helyettesítéses integráláshoz lényegében az összetett függvény differenciálási szabályának megfordításával juthatunk el. Tétel: Tegyük fel, hogy a g függvény differenciálható az I intervallumban, és F (x) =f(x), ahol x g(i). Akkor Példa: keressük az határozatlan integrál értékét! Az első tényező egy összetett függvény, amelynek belső függvénye g: g(x) = x 2. Az integrandus nem a megfelelő - - alakú, ha szorozzuk és osztjuk is 2-vel, akkor a kívánt forma elérhető: VIG BSc Kalkulus Matematika MIA II. 222 219

A határozott integrál fogalma Keressük annak a síkidomnak a területét, amelyet az f(x) = x 2 görbe, az x tengely és az x = b egyenes határol. Jelöljük a fenti parabolikus háromszög területét T-vel, és osszuk fel a [0,b] intervallumot n egyenlő hosszúságú ekvidisztans részintervallumra. Legyenek az osztópontok: ahol A T területnek egy alsó becslését kapjuk, ha minden részintevallumon egy olyan téglalapnak a területét számítjuk ki, amelynek alapja a részintervallum hossza, magassága a részintervallum bal végpontjában felvett függvényérték. Matematika Kalkulus MIAII. 223 220

Így a parabolikus háromszög területét alulról egy törtvonallal határolt sokszög területével közelítjük meg: x 0 x 1 x 2 x i x n-2 x n-1 x n =b 224 Kalkulus MIA 224 221

Jelöljük az összterületet s n -nel és számítsuk ki az alsó közelítő területek összegét: Hasonlóan számítható ki a felső közelítő összeg, de most a részintervallumokon a jobb oldali végponthoz tartozó függvényérték adja a magasságot. Kalkulus MIA 225 222

Jelöljük az összterületet S n -nel és számítsuk ki az felső közelítő területek összegét: Az nyílvánvaló, hogy Kalkulus MIA 226 223

Most n-et növelve osszuk a [0,b] intervallumot egyre több részre. Ekkor Ezért Kalkulus MIA 227 224

Monoton függvények határozott integrálja A fentiekben alkalmazott technikát változtatás nélkül használhatjuk monoton növekvő függvények esetére. Legyen f az [a,b] intervallumon értelmezett monoton növekvő korlátos függvény, és legyen f 0. Határozzuk meg a görbe vonalú trapéz területét, ha azt az x tengely, az f függvény grafikonja és az x = a, valamint az x = b egyenesek határolják. Eddig egyenlő hosszúságú részintervallumokra osztottuk az adott szakaszt. Mivel ez nem kötelező előírás, és a következőkben általánosabban akarjuk kezelni a problémát, be kell vezetnünk a következő definíciót: Kalkulus MIA 228 225

f(x) f(a) T f(b) a b Kalkulus MIA 229 226

Legyen Az [a,b] intervallum felosztása n nem feltétlenül egyenlő részre. A felosztás finomságán a számot értjük. jelöli. A δ n tehát a leghosszabb részintervallum hosszát Minden olyan felosztást, amelyet egy adott felosztásból úgy kapunk, hogy újabb osztópontokat veszünk fel, és eközben δ n csökken, az adott felosztás finomításának nevezzük. Kalkulus MIA 230 227

Ha f monoton növekvő és korlátos az [a,b] intervallumon, akkor az felosztáshoz tartozó alsó összegen (a beírt téglalapok területösszegén) az összeget értjük. Kalkulus MIA 231 228

Ha f monoton növekvő és korlátos az [a,b] intervallumon, akkor az felosztáshoz tartozó felső összegen (a beírt téglalapok területösszegén) az összeget értjük. Monoton csökkenő függvények esetén az alsó és feslő összegek értelemszerűen definiálhatók. A fenti definíciókból egyértelműen adódik, hogy az f(x) görbe alatti T terület az [a,b] intervallumon: Kalkulus MIA 232 229

Tétel: Legyen f(x) egy monoton növekvő, korlátos függvény az [a,b] intervallumon. Tekintsük az [a,b] intervallumnak egy felosztását, és a felosztást finomítsuk minden határon túl, azazδ n 0. Ekkor a {s n } és a {S n } sorozatok konvergálnak, és A tétel analóg módon kimondható monoton csökkenő korlátos függvényekre is. A következőkben megmutatjuk, hogy a függvényértékek választásánál nem kell ragaszkodnunk a részintervallumok végpontjaihoz. Kalkulus MIA 233 230

Tétel: Legyen f az [a,b] intervallumon monoton és korlátos. Legyen Az [a,b] intervallum egy felosztása, és legyenek Tetszés szerinti valós számok. Legyen továbbá Ekkor A σ n értéket az adott beosztáshoz tartozó közelítő összegnek nevezzük. Kalkulus MIA 234 231

Az f függvényt az [a,b] intervallumban integrálhatónak nevezzük, ha a felosztások minden határon túli finomításával keletkező σ n közelítő összegek sorozatának létezik a (beosztástól és aξ n közbülső pontoktól független) határértéke. A határértéket az f függvény [a,b] intervallumon vett integráljának vagy határozott integráljának (vagy Riemann-integráljának) nevezzük. Jele: A fenti definíció ismeretében az előző oldali tétel átfogalmazható: az [a,b] intervallumon monoton korlátos függvény integrálható. Kalkulus MIA 235 232

Az f függvényt az (a,b) intervallumban szakaszonként monoton függvénynek nevezzük, ha van az [a,b] intervallumnak olyan véges felosztása, hogy minden részintervallumban f monoton. Tétel: Szakaszonként monoton függvények integrálját a monoton szakaszokon vett integrálok összege szolgáltatja. Tétel: Ha az [a,b] intervallumnak van olyan felosztása, hogy minden nyitott részintervallumon az f függvény folytonos, és f az [a,b]-n korlátos, akkor az f függvény az [a,b]-n integrálható. Kalkulus MIA 236 233

A határozott integrál tulajdonságai Tétel: Ha az f és a g függvény integrálható az [a,b] intervallumon, és α R, akkor és Továbbá, ha a < c < b, akkor (A két utolsó állítás más szóval: a határozott integrál mind függvény, mind intervallum szerint additív.) Kalkulus MIA 237 234

Ha f integrálható az [a,b] intervallumon, akkor Tétel: Ha f integrálható és folytonos az [a,b] intervallumban, akkor létezik olyan valós szám, amelyre Tétel: Ha egy f függvény integrálható az [a,b] intervallumon, akkor integrálható annak minden részintervallumán is. Kalkulus MIA 238 235

A Newton-Leibniz szabály Ha az előző oldali utolsó tételét, akkor az intervallum alsó határát rögzítve az intervallumon vett integrál egy függvény, amelynek értéke a részintervallum felső határának értékétől függ. Más szóval minden x [a,b] számhoz egy valós szám rendelhető. Jelöljük ezt a függvényt G-vel: Ezt G függvényt az f függvény integrálfüggvényének nevezzük. Az integrálfüggvény jól használható a határozott integrál kiszámításakor, hiszen Kalkulus MIA 239 236

Már a definícióból két dolog is látszik: Egyrészt azonnal adódik, hogy G(a) = 0, másrészt lehet látni,hogy a G függvénynek köze van a primitív függvényhez. Valóban, igaz a következő tétel: Tétel: ha G az f-nek integrálfüggvénye, és f folytonos az [a,b] intervallumon, akkor Azaz G az f-nek egy primitív függvénye. A fenti tétel következménye az, hogy ha F(x) is primitív függvénye f(x)-nek, akkor Ezért Mivel G(a) = 0, ezért Kalkulus MIA 240 240 237

Meghatározva C-t, azt kapjuk, hogy És ezért Ezt a képletet szokás Newton-Leibniz formulának is nevezni. A határozott integrál értékét tehát úgy számítjuk ki, hogy megkeressük f egy primitív függvényét (F-et), és a felső határon vett helyettesítési értékéből kivonjuk az alsó határon vett helyettesítési értékét. Kalkulus MIA 241 238

Példa. Számítsuk ki az határozott integrál értékét a Newton-Leibniz formula segítségével! A megoldás helyességét egyszerű geometriai eszközökkel is ellenőrizhetjük: 2 4 Kalkulus MIA 242 239

Az integrálszámítás alkalmazásai Az integrál geometriai értelmezésének a következménye, hogy ha f korlátos és integrálható az [a,b] intervallumon, akkor az annak a síkidomnak a területét adja, amelyet az f függvény, az x = a, az x = b egyenesek és az x tengely határolnak, feltéve, ha f(x) 0. Ha a függvényre nem érvényes a nem-negativitás, akkor a negatív szakaszon külön számítjuk ki a függvényhez tartozó terület értékét, és annak az abszolút értékével számolunk. Kalkulus MIA 243 240

Példa. Számítsuk ki az határozott integrál értékét a Newton-Leibniz formula segítségével! Az ellenőrzéshez rajzoljuk fel az (x-3) függvény grafikonját! Kalkulus MIA 244 241

Példa: bizonyos esetekben érdemes kihasználni a szimmetriát. Számítsuk ki, hogy mekkora területet zár be az x tengellyel az y = sinx függvény a [0,2π] intervallumon! Ha egyszerűen alkalmazzuk a Newton-Leibniz formulát, akkor: Ami nyílván hibás eredmény. Használjuk ki a szimmetrát! Ekkor Ez így már a helyes eredmény! Kalkulus MIA 245 242

Két vagy több függvénygörbe által határolt síkidom területének mérőszáma a két (vagy több) függvény által határolt területek különbségéből határozható meg. Példa: határozzuk meg az f(x) = x 2 és a által bezárt síkidom területét! egyenletű görbék Először határozzuk meg a két görbe metszéspontjait: x 1 = 0 és x 2 = 1. Ezért Kalkulus MIA 246 243

Az improprius integrál Az eddigiekben a határozott integrált csak véges intervallumokra és korlátos függvényekre értelmeztük. Felhasználva a határátmenet eszközeit ebben a fejezetben megmutatjuk, hogy a határozott integrál kiterjeszthető bizonyos esetekben nem korlátos függvényekre és végtelent tartalmazó intervallumokra is. Két esetet fogunk megkülönböztetni: Az integráció intervalluma végtelen. Az [a,b] intervallumon az f függvény nem korlátos. Kalkulus MIA 247 244

Ha az f függvény integrálható az [a, ) intervallum minden [a,b] részintervallumában és létezik a Véges határérték, akkor ezt az f függvény [a, ) intervallumon vett improprius integráljának nevezzük, és A fentihez hasonlóan definiálható az Improprius integrál is. Kalkulus MIA 248 245

A két definícióból következik, hogy az f függvény (-, ) intervallumon értelmezett improprius integrálján az egyenlőséget értjük. Példa: határozzuk meg a következő improprius integrál értékét: Kalkulus MIA 249 246

Vizsgáljuk most azt az esetet, amikor a függvény az adott intervallumon nem korlátos. Tegyük fel, hogy az f az [a,b]-n nem integrálható, de tegyük fel, hogy bármely [a,b-ε] részintervallumában integrálható. Ha létezik a határérték, akkor ezt az f függvény [a,b] intervallumon vett improprius integráljának nevezzük, és VIG BSc Kalkulus Matematika MIA II. 250 247

A fentihez hasonlóan definiálható az improprius integrál is. A két definícióból következik, hogy ha az f függvény az [a,b] intervallum egy belső c pontjában, a < c < b nem korlátos, akkor az improprius integrál a következőképpen számítható ki: Kalkulus MIA 251 248

Példa: Határozzuk meg az alábbi improprius integrált! Kalkulus MIA 252 249

Forgástestek térfogata Tekintsünk egy f függvényt, amelyet forgassunk meg az x tengely körül. A forgástest térfogatát a határozott integrálnál követett eljáráshoz hasonlóan közelítsük a beleírt és a körülírt kis korongok össztérfogatával. Legyen az i. részintervallumon a kis korong magasságaδ i =x i x i-1. Egy-egy kis szakaszon az x i abszcisszához tartozó sugár most f(x i ), így egy kis korong térfogatát az f 2 (x i )π sugarú henger és a hozzá tartozó δ i magasság szorzata szolgáltatja. Ha a határérték létezik, akkor az a forgástest V térfogatát adja. Kalkulus MIA 253 250

Ugyanakkor azt tudjuk, hogy Ezért a forgástest térfogata Kalkulus MIA 254 251

f(x) Kalkulus MIA 255 252

Példa: Forgassuk meg az függvény görbéjét az x tengely körül, és határozzuk meg a keletkezett forgástest térfogatát! (Vegyük észre, hogy a megadott görbe egy félkör.) Ez pedig a gömb térfogatának ismert képlete. Kalkulus MIA 256 253