Elméleti mechanika A

Elméleti mechanika A Feladatsor és gyakorlati anyag Kapás Kornél Legutóbbi frissítés: 018. december 6. 15:49 Tartalomjegyzék 1. Matematikai bevezetés 3 1.1. Komplex számkör................................... 3 1.1.1. Komplex számok............................... 3 1.1.. Komplex függvények............................. 3 1.. Fourier analízis.................................... 8 1..1. Sorfejtés.................................... 8 1... Transzformáció................................ 8 1..3. Dirac-delta disztribúció............................ 9 1..4. Konvolúció.................................. 9 1..5. Főértékintegrálok (*)............................. 10 1.3. Gyakorló feladatok.................................. 15. Variációszámítás 16.1. Kitérő: Ciklois.................................... 16.. Legősibb variációs probléma: brahisztokron..................... 17.3. Dido királynő problémája.............................. 19.4. Láncgörbe........................................5. Fermat-elv alkalmazása................................ 3.6. Bevilágító variációs problémák (*).......................... 5.7. Gyakorló feladatok.................................. 8 3. Lagrange-féle mechanika 30 3.1. Lagrange mechanikai bevezető példák........................ 30 3.. Hatás mélyebb vizsgálata: h.o. (*)......................... 3 3.3. Gyakorló feladatok.................................. 33 4. Egydimenziós rendszerek 34 4.1. Periódusidő energiafüggése és fázistér........................ 34 4.. Perturbációszámítás és disszipáció.......................... 38 4.3. Gerjesztett oszcillátor................................. 4 1

4.4. Gyakorló feladatok.................................. 43 5. Síkmozgások és kényszerek 44 5.1. Anholonom kényszer................................. 46 5.. Gyakorló feladatok.................................. 47 6. Kis rezgések és Hamiltoni-mechanika 48 6.1. Molekulák rezgési módusai.............................. 48 6.. Hamilton-egyenletek alkalmazása.......................... 50 6.3. Hamilton-Jacobi egyenletek............................. 5 6.4. Adiabatikus invariánsok............................... 54 6.5. Gyakorló feladatok.................................. 55 7. Merev testek 56 7.1. Tehetetlenségi nyomatékok kiszámítása....................... 56 7.. Szimmetrikus súlyos pörgettyűk........................... 60 7.3. Gyakorló feladatok.................................. 61 8. Rugalmasságtan 6 8.1. Hullámegyenlet 1 dimenzióban............................ 6 8.. Rudak......................................... 68 8..1. Rudak lehajlása és rezgése.......................... 68 8... Stabilitás vizsgálat.............................. 74 8..3. Nagy lehajlású rudak............................. 75 8.3. Három dimenziós kontinuum............................. 76 8.4. Gyakorló feladatok.................................. 83 9. Hidrodinamika 84 10.Szórásszámítás 87 10.1. Forgástesten való szóródás.............................. 87 10.. Kis szögű szórás.................................... 88 10.3. Gyakorló feladatok.................................. 89

Matematikai bevezetés 1. Matematikai bevezetés 1.1. Komplex számkör Az alábbi részben felidézzük a teljesség igénye nélkül a komplex számokról és függvényekről tanultakat, majd megnézünk néhány konkrét példát a komplex függvényekkel kapcsolatban. 1.1.1. Komplex számok Komplex számok ekvivalens alakjai (i = 1): z = x + iy Néhány alapvető tulajdonság: z = r (cos ϕ + i sin ϕ) z = e iϕ (1.1.1) z = x iy z n = r n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)) z = zz (1.1.) 1.1.. Komplex függvények A komplex függvény megfeleltetés két komplex számsík között. Egy f(z) komplex függvény egyenértékű két valós változós valós értékű függvénnyel: A derivált létezése egy erős megszorítás a függvényre: f(z) = u(x, y) + iv(x, y) (1.1.3) f (z 0 ) = lim z z0 f(z) f(z 0 ) z z 0 (1.1.4) Komplex síkon nem egyértelmű, hogy a limeszt milyen irányból végezzük el. Hogy egyértelmű legyen mégis a derivált, az iránytól nem szabad függnie a formulának: Ennek a kettőnek meg kell egyeznie: u x = v y f (z) = lim ε 0 f(z + ε) f(z) ε f (z) = lim ε 0 f(z + iε) f(z) iε u y = v x u x + u y = 0 = u x + i v x = i u y + v y (1.1.5) (1.1.6) v x + v y = 0 (1.1.7) Ezek a Cauchy-Riemann relációk! A komplex függvénynek is létezik integrálja, azonban két pont között ki kell jelölni egy görbét, amin végigintegrálunk: I = f(z)dz (1.1.8) Γ Ahol Γ egy adott folytonos görbe a komplex síkon. Felhasználva, hogy dz = dx + idy: f(z)dz = [u(x, y)dx v(x, y)dy] + i [u(x, y)dy + v(x, y)dx] (1.1.9) Γ Γ 3 Γ

1.1 Komplex számkör Matematikai bevezetés Ezek az integrálok már elvégezhetőek, ha megadjuk milyen y(x) = x görbén szeretnénk integrálni. Most vezessük be az alábbi vektorokat: Ezzel felírhatunk egy kompakt alakot: f(z)dz = a = (u, v) b = (v, u) dx = (dx, dy) (1.1.10) Γ Γ a(x)dx + i b(x)dx (1.1.11) Γ Könnyen belátható, hogy a Cauchy-Riemann relációk miatt ezen vektorok rotációja zérus. Ezt kihasználva nézzük meg, hogy egy zárt görbére mit kapunk integrálás során: f(z)dz = [a(x) + ib(x)] dx = [rot(a(x)) + irot(b(x))] df = 0 (1.1.1) Γ Z Γ O Tehát a Cauchy-féle integráltétel szerint egy f(z) reguláris függvény esetén bármely zárt görbére vett integrál zérus. Mi a helyzet, ha van egy szingularitás a tartományban? Végezzünk el egyszerű integrált: 1 dz =? (1.1.13) Γ Z z Ennek kiszámításhoz vegyünk fel egy olyan kontúrt a komplex síkon, amely majdnem ugyanaz, mint a kérdéses zárt görbe, de menjen be a szingularitáshoz és kerülje meg. Ez egy zárt görbe lesz, tehát erre vett integrál zérus. Ugyanúgy a szingularitás felé vezető egyenes szakaszok integrálja kiejtik egymást (ellentétes irány, azonos érték). Kérdés a kis (ε sugarú) kör járuléka. Ezt ki lehet számolni: 1 0 Γ O z dz = 1 π εe iϕ iεeiϕ dϕ = πi (1.1.14) Tehát a kérdéses integrál: Kicsit általánosabban: f(z)dz = Γ Z Több pólus esetén, össze kell adni a járulékokat. Γ Z 1 dz = πi (1.1.15) Γ Z z g(z) z z 0 dz = πiresf(z) Resf(z) = g(z 0 ) (1.1.16) 4

1.1 Komplex számkör Matematikai bevezetés 1.1. Kidolgozott példa. Számoljuk ki az alábbi integrált reziduum-tétel segítségével: 1 dx (1.1.17) x + 1 Vegyünk fel a komplex síkon egy olyan kontúrt, ami tartalmazza az eredeti integrál vonalát, és egy felülről bezárt, pozitív körüljárási irányú félkört, így egy zárt görbét alkotva. A felső félkör járuléka: 1 π 1 dz = lim Γ F K z + 1 R 0 R e iϕ + 1 Rieiϕ dϕ = 0 (1.1.18) Tehát ezzel nem kell foglalkozni, járulék zérus. A teljes zárt görbére alkalmazzuk a reziduumtételt: ( ) 1 1 dz = πires (1.1.19) Γ Z z + 1 z + 1 ( ) ( ) 1 1 Res = Res = 1 z + 1 (z + i)(z i) z + i = 1 (1.1.0) z=i i Mivel a keresett integrált a zárt görbére vett integrálból kivonva a félkört kapjuk: 1 dx = π (1.1.1) x + 1 5

1.1 Komplex számkör Matematikai bevezetés 1.. Kidolgozott példa. Számoljuk ki az alábbi integrált reziduum-tétel segítségével: e itx dx (1.1.) x + 1 Ezt az előzőhöz teljesen hasonlóan kell megoldani. Arra kell odafigyelni, hogy a nagy félkört merre vegyük fel. Ez t előjeltől fog függeni: ΓF K e itz dz = lim z + 1 R π 0 e itr cos ϕ tr sin ϕ e Rie iϕ dϕ = 0, ha t > 0 (1.1.3) R e iϕ + 1 A t < 0 esetben alulról kell zárni e szerint a félkört. Ez annyiban módosítja a zárt görbére vett integrált, hogy ellentétes lesz a körüljárás, és a pólus járuléka πi-vel arányos. Továbbá: ( ) e itz Res = eitz z + 1 z + i = e t z=i i, ha t > 0 (1.1.4) ( ) e itz Res = eitz z + 1 z i = et z= i i, ha t < 0 (1.1.5) Így a keresett integrál kompakt formában: e itx x + 1 dx = πe t (1.1.6) 6

1.1 Komplex számkör Matematikai bevezetés 1.3. Kidolgozott példa. Számoljuk ki f(z) = z integrálját z 0 = 0 és z 1 = 1 + i komplex számok között! Egy vonalintegrál elvégzéséhez arra van szükség, hogy paraméterezzük a görbét, ami mentén integrálni szeretnénk. Mivel most komplex síkon vagyunk, ezért a z komplex változót kell e szerint paraméterezni egy t valós paraméterrel. A legegyszerűbb módja ennek az alábbi: z(t) = (1 + i)t t [0, 1] (1.1.7) Ez után a függvényt és az integrálási mértéket is át kell e szerint írni: z = (1 + i) t = it dz = (1 + i)dt (1.1.8) Ezeket írjuk be az integrálba, és így már két sima valós integrált kapunk: z1 z 0 z dz = 1 0 it (1 + i)dt = 1 0 ( t )dt + i 1 0 (t )dt = (1 i) (1.1.9) 3 7

1. Fourier analízis Matematikai bevezetés 1.. Fourier analízis A fizikában és mérnöki tudományokban kiemelten fontos szerepet játszik a Fourier analízis. Következő fejezetben áttekintjük az alapvető ezzel kapcsolatos formulákat. 1..1. Sorfejtés Bármely periodikus függvény fel tudunk írni, mint szinuszok és koszinuszok lineáris kombinációja: f(x) = a 0 + (a n sin(nx) + b n cos(nx)) (1..1) n=1 Hogy egy kompaktabb alakot kapjunk használjuk fel, hogy a trigonometrikus függvényeket fel tudjuk írni exponenciálisokkal is. Néhány átalakítás után adódik, hogy egy π szerint periodikus függvény fel tudunk írni az alábbi módon is: f(x) = c n e inx c m = 1 π f(x)e imx dx (1..) π π ahol c m -ek már komplex számok. Általános periodicitásra: f(x) = nπ i c n e L x c m = 1 π f(x)e i mπ L x dx (1..3) L π 1... Transzformáció Kérdés, hogy mit lehet kezdeni a nem periodikus függvényekkel? Az az ötlet, hogy közelítsük őket úgy, mint periodikus függvény, majd tartsunk a periódus hosszával végtelenhez! Ekkor már nem diszkrét Fourier módusokat kapunk, hanem egy eloszlást a módusok terében, ami azt jelenti, hogy az együtthatókat már nem egész számok indexelik, hanem maguk is függvények lesznek. f(x) = 1 f(k)e ikx dk f(k) = f(x)e ikx dx (1..4) π A Fourier térben való számolásnak egyik nagy előnye a lineáris differenciálegyenleteknél látható. Vegyük például az alábbi differenciálegyenletet: f (x) f(x) = λf (x) (1..5) Hogyan néz ki ez Fourier térben? f (n) (x) = dn dx n ( 1 π ) f(k)e ikx dk = 1 π f(k)(ik) n e ikx dk (1..6) Tehát látható, hogy a derivált a Fourier térben egy egyszerű szorzást jelent: d dx f(x) (ik) f(k) (1..7) 8

1. Fourier analízis Matematikai bevezetés 1..3. Dirac-delta disztribúció Ennél a résznél mindenképpen beszélni kell a Dirac-delta disztribúcióról. Ez egy olyan "függvény", ami igazán csak integráljával értelmezhető. Definíciója az következő: { b 1, ha x 0 [a, b] δ(x x 0 )dx = (1..8) 0, ha x 0 [a, b] a b a f(x)δ(x x 0 )dx = f(x 0 ) (1..9) Dirac-deltát lehet közelíteni rendes folytonos függvényekkel. Egyik módja például, az alábbi közelítés: δ ε (x) = f(x) = 1 x e ε (1..10) πε Belátható, hogy ennek integrálja ε-tól függetlenül 1, továbbá, hogy összeintegrálva egy függvénnyel, ε 0 esetben a függvény értékét kapjuk az x = 0 helyen. Ez esetben úgy gondolhatunk a Dirac-deltára, mint egy függvény, ami mindenütt zérus, kivéve egy helyen, ahol végtelen, de csak úgy, hogy az integrálja egy legyen. Itt fontos megjegyezni, hogy olyan függvényekkel is közelíthetjük a Dirac-deltát, aminek határesete nem lesz pontonként zérus, de mégis megfelel a fentebb leírt két kitételnek. Ilyen az alábbi függvény is: δ ε (x) = 1 π sin( x ε ) x (1..11) Bármely olyan integrálási tartományon vett integrál, ami nem tartalmazza az origót zérushoz tart, míg a teljes integrál 1. Továbbá felírható ez más alakban is: 1 sin( x) ε π x = 1 ε e ikx dk δ(x) (1..1) π ε Ezt úgy is láthatjuk, hogy elvégzünk egymás után két Fourier-transzformációt: f(x) = 1 π f(k)e ikx dk = 1 π f(x )e ikx e ikx dx dk (1..13) Ahhoz, hogy teljesüljön az egyenlőség, igaznak kell lennie, hogy: 1..4. Konvolúció 1 π e ik(x x ) dk = δ(x x ) (1..14) Adott három függvény a Fourier térben, melyek között fennáll az alábbi összefüggés: Milyen összefüggés lesz ezek közt a valós térben? C(x) = C(x) = 1 π C(k) = Ã(k) B(k) (1..15) Ã(k) B(k)e ikx dk (1..16) A(x )B(x )e ikx e ikx e ikx dkdx dx (1..17) 9

1. Fourier analízis Matematikai bevezetés Tudjunk, hogy 1 π eik(x x x ) dk = δ(x x x ) (1..18) Így a k szerinti integrál elvégzése után könnyen elvégezhető az x szerinti is: C(x) = Ez nem más, mint a konvolúciója A(x) és B(x) függvényeknek. 1..5. Főértékintegrálok (*) A(x )B(x x )dx =: [A B](x) (1..19) 10

1. Fourier analízis Matematikai bevezetés 1.4. Kidolgozott példa. Adjuk meg a négyszögkel Fourier együtthatóit! Legyen a négyszögjel olyan, hogy [0, π] tartományon 1, míg [π, π] tartományon zérus, majd ez periodikusan ismétlődjön. Ekkor az együtthatók: c m = 1 π f(x)e imx dx = π π 1 0 Felhasználva a trigonometrikus függvényekről az ismereteinket: e imx dx = 1 ( e imπ 1 ) = 1 (cos(mπ) + i sin(mπ) 1) πim πim (1..0) c m = 1 1 πim (( 1)m 1) c m+1 = πi(m + 1), c m = 0 (1..1) 11

1. Fourier analízis Matematikai bevezetés 1.5. Kidolgozott példa. Lássuk be, hogy az alábbi Gauss függvény valóban normált: f(x) = 1 x e ε πε Ehhez először számoljuk ki az integrál négyzetét: I = 1 πε e x ε dx I = 1 πε Térjünk át polár koordinátákra! (x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, dxdy = rdrdϕ): I = 1 πε Nézzük meg az exponenciális deriváltját: d π 0 r dr e ɛ 0 e x ε dx e y ε dy (1..) e r ɛ rdrdϕ (1..3) = r r e ɛ ɛ (1..4) Ez szerepel pont az integrandusban, tehát meg is van a primitív függvény! integrál egy triviális π szorzót hogy be. Így: I = e r ε 0 A szög szerinti = 1 I = 1 (1..5) A negatív előjelet az zárja ki, hogy az integrált függvény mindenütt pozitív, így az integráljának is annak kell lennie. 1

1. Fourier analízis Matematikai bevezetés 1.6. Kidolgozott példa. Számoljuk ki a lépcsőfüggvény Fourier-transzformáltját! A Θ(x) Fourier-transzformáltját nehézkes közvetlenül kiintegrálni, az lim k e ikx értelmezése miatt. Használjuk egy közelítő függvényt: ahol α > 0 Θ α (k) = 0 e αx e ikx dx = Θ α (x) = Θ(x)e αx (1..6) e (α+ik)x (α + ik) 0 = e αx e ikx (α + ik) 0 = 1 α + ik (1..7) Itt egy érdekes dologba ütközünk. Ha naivan behelyettesítünk α = 0-át, akkor nem a helyes eredményt kapjuk. Hogy ezt lássuk, vegyük az eredmény képzetes és valós részét: Θ α (k) = 1 α ik α + ik α ik = α α + k i k (1..8) α + k A képzetes részben nyugodtan be lehet írni α = 0-át, viszont mi a helyzet a valós résszel? Ott k = 0 esetén ezt nem tehetjük meg. Be lehet látni, hogy a valós rész k szerinti integrálja π (α-tól függetlenül). Továbbá α 0 esetén ez a függvény pontonként tart zérushoz, kivéve k = 0-ban, ott végtelenhez tart. Látszik tehát, hogy ez a függvény egy πδ(k) disztribúcióhoz tart! Végül tehát a lépcsőfüggvény Fourier-transzformáltja: Θ(k) = πδ(k) + 1 ik (1..9) 13

1. Fourier analízis Matematikai bevezetés 1.7. Kidolgozott példa. Számoljuk ki az 1 ik függvény Fourier-transzformáltját! 14

1.3 Gyakorló feladatok Matematikai bevezetés 1.3. Gyakorló feladatok 1.1. Bevezető feladat. Lássuk be az alábbi komplex függvényre a Cauchy-Riemann relációkat! a.) f(z) = z b.) f(z) = sin(z) 1.. Bevezető feladat. Adott az alábbi komplex függvény: f(z) = z Számoljuk ki A és B komplex számok közötti vonalintegrált, ahol A = 0 és B = 1 + i. 1.3. Bevezető feladat. Számoljuk ki a sin (x) Fourier-együtthatóit! 1.1. Gyakorló feladat. Adott az alábbi komplex függvény: f(z) = x 3 αxy + i(3x y y α ) Mi legyen α értéke, hogy teljesüljenek a Cauchy-Riemann relációk? Hogyan függ z komplex változótól a függvény (z = x + iy) 1.. Gyakorló feladat. Végezzük el az alábbi integrálokat a Reziduum-tétel segítségével: a.) b.) e itx x +1 dx x +5 dx (x +1) (x +4) 1.3. Gyakorló feladat. Adjuk meg az alábbi periodikus függvények Fourier együtthatóit! a.) Négyszögjel b.) Háromszögjel c.) sin(x) 1.4. Gyakorló feladat. Számítsuk ki az alábbi függvényt: δ ε = 1 π e iωt εω dω Mutassuk meg, hogy ε 0 esetén valóban igaz, hogy: δ ε (t t 0 )f(t)dt f(t 0 ) [ ea Jegyzet, 7.3 GyF ] 1.5. Gyakorló feladat. Számoljuk ki az alábbi függvény saját magával vett konvolúcióját: f(x) = 1 x e ε πε Ezek alapján mit válaszolnánk arra a kérdésre, hogy mi az aminek saját magával vett konvolúciója szintén saját maga? 15

Variációszámítás. Variációszámítás A variációszámítás lényege, hogy egy funkcionálnak keressük a szélsőértékét a függvények terében. A funkcionál a függvények teréhez rendel egy skalárt, tipikusan ezek határozott integrálok szoktak lenni. Például: S[y(x)] = x1 x 0 L (y(x), y (x), x) dx (.0.1) Természetesen lehetnek magasabb deriváltak is. A későbbi használatuk miatt S-t hatásnak, L- et, Lagrange-függvénynek fogjuk hívni. A hatást extremalizáló függvényeket megadó egyenlet az Euler-Lagrange egyenlet: d L = L (.0.) dt y y További jelöléseket fogunk alkalmazni a kanonikus impulzusra, és kanonikus erőre: p = L y F = L y (.0.3) További hasznos formula a kanonikus energiára vonatkozik, ami egy megmaradó mennyiség, amennyiben az L nem függ expliciten x-től: E = py L (.0.4) Amennyiben megtaláltuk a stacionárius függvényeket, és visszaírtuk az a funkcionálba, akkor megkapjuk az úgynevezett eikonált, mint a végpontok függvényét: S(x 0, y 0 ; x 1, y 1 ) Ha a variációs problémánkban ezek nem rögzítettek, akkor az ezek szerinti differenciálnak is el kell tűnnie: ds = p(x 1 )dy 1 E(x 1 )dx 1 p(x 0 )dy 0 + E(x 0 )dx 0 = 0 (.0.5) Például, ha rögzített a kiinduló pont, a végpontnak pedig csak az x 1 koordinátája, akkor:.1. Kitérő: Ciklois ds = p(x 1 )dy 1 = 0 p(x 1 ) = 0 (.0.6) A ciklois egy különleges görbe, ami gyakran előfordul variációs problémáknál, mint azt látni fogjuk. Most röviden megnézzük, hogy geometriailag hogy jön ki egy ilyen görbe. Ez tulajdonképpen nem más, mint egy tisztán gördülő körlap egy kiszemelt pontja által leírt görbe. Speciális eset, amikor ez a pont a köríven van rajta. Akkor ϕ szögelfordulás esetén a pont koordinátái: ( ) x(ϕ) = R y(ϕ) ( ) ϕ sin(ϕ) 1 cos(ϕ) (.1.1) 16

. Legősibb variációs probléma: brahisztokron Variációszámítás.. Legősibb variációs probléma: brahisztokron A legelső variációs problémák egyike, hogy minimalizáljuk egy lejtőn tartózkodás idejét. A függvénytér, amiben minimalizálni kell maga a lejtő alakja. Ez egy jól definiált, érdekes probléma..1. Kidolgozott példa. Homogén gravitációs térben gurul egy test egy lejtőn. Milyen alakú legyen a lejtő, hogy P (x 0, y 0 ) pontból P (x 1, y 1 ) pontban a legrövidebb idő alatt elérjen? Írjuk fel először a minimalizálandó idő formuláját: ds S = dt = (..1) v Homogén gravitációs térben az energiamegmaradás az alábbi: mgy 0 = mgy + m v v = g(y 0 y) (..) Az ívhosszt pedig felírhatjuk a koordináták differenciáljaival: ds = dx + dy ds = dx Ezekkel már egy y(x)-től függő funkcionált kapunk: S[y(x)] = 1 + ( ) dy (..3) dx 1 + y (x) dx (..4) g(y0 y) Mivel az integrandus nem függ expliciten x-től, ezért a kanonikus energia megmarad: ( E = py L = L 1 y (x) y y L = g(y0 y) 1 + y (x) ) 1 + y (x) (..5) Néhány átalakítás után: 1 1 E = (..6) g(y0 y) 1 + y (x) Ez már egy elsőrendű szeparálható differenciálegyenlet: y 1 (x) = ge (y 0 y) 1 dx = dy (..7) 1 1 ge (y 0 y) Az integrál elvégzéséhez végezzünk el néhány változócserét: ỹ = ge (y y 0 ), dy = Ezekkel: x x 0 = 1 ỹdỹ dỹ 1 (..8) ge ge 1 ỹ 1 ỹ 1 = Eszközöljünk egy újabb változócserét: ỹ = sin ( ( t ), dỹ = sin t ( ) cos t ) dt : x x 0 = 1 sin ( ) t ( ) ( ) t t ge ) sin cos dt = 1 ( t sin ge 1 sin ( t ) du = 1 4gE dỹ ge (1 cos(t)) du (..9) 17

. Legősibb variációs probléma: brahisztokron Variációszámítás x x 0 = 1 (t sin(t)) (..10) 4gE Továbbá az y koordinátára: y = ỹ ( t ge + y 0 = ) sin + y ge 0 y y 0 = 1 (1 cos(t)) 4gE (..11) Nem kaptunk explicit y(x) függvényt, de ez nem baj! Elég, ha egy t-vel paraméterezett görbét kapunk. Már csak a végpontok rögzítése van hátra. Könnyebbség kedvéért induljon a test az origóból! Tehát y(t = 0) = 0 és x(t = 0) = 0. Ehhez egyből látszik, hogy x 0 = y 0 = 0 szükséges. Tehát az így kapott görbe paraméteres alakja: ( ) x(t) y(t) = 1 4gE ( t sin(t) 1 cos(t) ) (..1) A végpont rögzítése általában transzcendens egyenlethez vezet, de ki lehet jelölni. Legyen t -nél a görbe vége. Erre kívánjuk kiróni, hogy legyen x 1,y 1 pontban. Tehát megoldandó egyenletrendszer: y(t ) = y 1 = 1 4gE (1 sin(t )) x(t ) = x 1 = 1 4gE (t sin(t )) (..13) Mi van, ha a végpontból, csak az egyik koordináta rögzített? Legyen ez az x 1. Ekkor, mint láttuk, a kanonikus impulzusnak el kell tűnnie a végponton: 1 y (x) p(x 1 ) = = 0 (..14) g(y0 y) 1 + y (x) x=x1 Ez csak akkor lehetséges, ha y (x) x=x1 = 0, tehát a lejtő merőleges fut be a függőleges x 1 egyenesbe. 18

.3 Dido királynő problémája Variációszámítás.3. Dido királynő problémája Az alapgondolat az az, hogy vegyünk egy adott hosszúságú kötelet, és kerítsünk el vele a tengerparton a lehető legnagyobb területet rögzített végpontokkal. Ismeretes, hogy ennek a megoldása egy félkör a parton. Lássuk, hogyan jön ki ez variációszámítással!.. Kidolgozott példa. Oldjuk meg Dido királynő problémáját úgy, hogy mind a két végpont rögzítve van! A maximalizálandó funkciónál természetes maga a terület, ami mellett megjelenik a kötél hossza, mint kényszer. Ezt Lagrange multiplikátorral vesszük figyelembe: x1 ( L ) x1 x1 S = y(x)dx + λ ds l 0 = y(x)dx + λ 1 + y (x) dx (.3.1) x 0 x 0 0 x 0 Itt kihasználtuk az ívhosszra vonatkozó összefüggést (ds = dx +dy ) A hosszt el lehet hagyni, hiszen az egy konstans, ne befolyásolja a variálás eredményét. Így a Lagrange függvény: Ez nem függ expliciten x-től, így a kanonikus energia állandó: L = y(x) + λ 1 + y (x) (.3.) E = py L = L y (x) ( y y L = λ 1 + y (x) y(x) + λ ) λ 1 + y (x) = y(x) 1 + y (x) (.3.3) Ez egy szeparálható differenciálegyenlet: y λ (x) = (E + y(x)) 1 (.3.4) Vezessünk be egy új változót: Így az integrál: dx = ỹ = y + E λ x + c = λ 1 dy (.3.5) λ 1 (E+y(x)) dy = λdỹ (.3.6) ỹ 1 ỹ dỹ = λ 1 ỹ (.3.7) Vegyük észre, hogy mind a két oldal határozatlan integrál, melyek konstansait egy konstansba (c) sűrítettük. A megoldás tehát: (x + c) = λ ( 1 ỹ ) (x + c) + (y + E) = λ (.3.8) Ez egy kör egyenlete! A peremfeltételekhez az alábbi egyenleteket kell megoldani: (x 1 + c) + (y 1 + E) = λ (x 0 + c) + (y 0 + E) = λ x1 x 0 1 + y (x) dx = l 0 (.3.9) Megjegyzés: a feltételekben a harmadik egyenletben szereplő integrált nem is kell feltétlenül kiszámolni, hiszen látjuk, hogy a kör sugara λ. E miatt elemi úton (de nem feltétlenül egyszerű módon) is megoldható a probléma. 19

.3 Dido királynő problémája Variációszámítás.3. Kidolgozott példa. Mi jön ki akkor, ha a végpontnak csak egyik koordinátája van rögzítve? Először vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor x 1 rögzített. kell eltűnnie a végpontban: Ekkor a kanonikus impulzusnak p(x 1 ) = L y (x) y = λ = 0 (.3.10) x=x1 1 + y (x) x=x1 Tehát az x 1 függőleges egyenesbe merőlegesen kell beérkezzen a kötél (hiszen ott el kell tűnjön a derivált). Tehát a (.3.9)-es képlet első egyenlete helyett ez lesz a feltétel. Ugyanígy, ha y 1 rögzített, akkor a kanonikus energiának kell eltűnnie a végpontban: E(x 1 ) = ( y(x) λ 1 + y (x) ) x=x1 = 0 y(x) 1 + y (x) x=x1 = λ (.3.11) Az utolsó összefüggésnek geometriai jelentése is van, hiszen az y(x)-et szorzó tag az x 1 pontbeli érintő és x tengely által bezárt szög koszinusza. 0

.3 Dido királynő problémája Variációszámítás.4. Kidolgozott példa. Oldjuk meg ívhossz paraméterezéssel a Dido királynő problémáját! Hogyan tudjuk rögzíteni ekkor a végpont koordinátáit? Az ívhosszt már többször átírtuk az x,y koordinátákra. Ugyanolyan eljárással megkaphatjuk dx-et ívhosszal: ds = dx + dy dx = ds 1 y (s) (.3.1) Így funkcionál: l0 0 y(s) 1 y (s) ds (.3.13) Ez automatikusan tartalmazza a hosszra a kényszert! Kanonikus energia itt is állandó: E = py y (s) L = y(s) 1 y (s) y(s) y(s) 1 y (s) = (.3.14) 1 y (s) Vezessünk be új változót: ( ) y(s) y (s) = 1 (.3.15) E ds = 1 1 ) dy (.3.16) ( y(s) E y(s) = E sin u dy = E cos udu (.3.17) Így az integrál: s s 0 = E ( y ) du = Eu = Earcsin E ( ) s s0 y(s) = E sin E (.3.18) 1

.4 Láncgörbe Variációszámítás.4. Láncgörbe.5. Kidolgozott példa. Számoljuk ki, milyen alakú egy súlyos kötél alakja homogén gravitációs térben! Legyen a végpontok rögzítve a ( D, 0) és (D, 0) pontokban! Ebben az esetben az egyensúlyi helyzetben lesz a potenciális energia a minimális. Legyen a kötél sűrűsége ν (ami egy egydimenziós sűrűséget jelöl). Ekkor egy kis ívelem gravitációs potenciálja: V [ds] = dmgy = νdsgy (.4.1) Ezt kell felintegrálni a teljes hosszra, majd kiróni azt a kényszert, hogy a kötél adott l 0 hosszúságú: x1 S = νg y ( x1 ) 1 + y (x) dx + λ 1 + y (x) dx l 0 (.4.) x 0 x 0 A Lagrange függvény tehát (konstanst megint elhagyva): Kanonikus energia megmarad: L = νgy 1 + y (x) + λ 1 + y (x) = (vgy + λ) 1 + y (x) (.4.3) E = py y (x) L = (νgy + λ) 1 + y (x) (νgy + λ) (νgy + λ) 1 + y (x) = (.4.4) 1 + y (x) Változócsere: Így az integrál: y (x) = dx = ỹ = νgy + λ E x + c = E νg (νgy + λ) E 1 (.4.5) dy (νgy+λ) 1 E (.4.6) dy = E dỹ (.4.7) νg dỹ ỹ 1 (.4.8) Újabb változócsere: Megoldás y(x)-re: ỹ = ch(u) dỹ = sh(u)du (.4.9) x + c = E du = E νg νg u = E ( ) νgy + λ νg arch (.4.10) E y(x) = E ( νg ) νg ch E (x + c) λ (.4.11) νg A feladat szerint a kötél szimmetrikus az y tengelyre, ami csak úgy lehetséges, ha c = 0. Rójuk ki továbbá az egyik peremfeltételt: 0 = y(1) = E νg ch ( νg E Az utolsó feltétel, hogy a hossz rögzített: l 0 = D D 1 + y (x) dx = E νg sh ( νg E x ) D ) λ νg D = E ( νg sh D νg ) E λ = Ech ( νg ) E E = (.4.1) Dνg arsh ( l 0 ) (.4.13) νg E Ez egy transzcendens egyenlet, melyet konkrét értékek mellett numerikusan meg lehet oldani.

.5 Fermat-elv alkalmazása Variációszámítás.5. Fermat-elv alkalmazása.6. Kidolgozott példa. Milyen pályán halad a fénysugár, ha a törésmutató n(y) = n 0 y 3

.5 Fermat-elv alkalmazása Variációszámítás ( r α..7. Kidolgozott példa. Legyen a törésmutatónak csak radiális függése: n(r) = n 0 r 0 + 1) Milyen pályán halad a fénysugár egy ilyen közegben? Hogyan néz ki hengerkoordinátákban a Snellius-Descartes törvény? 4

.6 Bevilágító variációs problémák (*) Variációszámítás.6. Bevilágító variációs problémák (*).8. Kidolgozott példa. Milyen további stacionárius megoldásai vannak a brahisztokron problémának? Mit jelentenek ezek? 5

.6 Bevilágító variációs problémák (*) Variációszámítás.9. Kidolgozott példa. Oldjuk meg a homogén gravitációs térben logó kötél alakjának problémáját ívhossz paraméterezéssel! 6

.6 Bevilágító variációs problémák (*) Variációszámítás.10. Kidolgozott példa. Milyen y(x)-ekre minimális az alábbi funkcionál? S[y(x)] = 1 1 y (x) (1 y (x)) dx 7

.7 Gyakorló feladatok Variációszámítás.7. Gyakorló feladatok.1. Bevezető feladat. Lássuk be a variációszámítás segítségével, hogy két pont között a legrövidebb út az egyenes!.1. Gyakorló feladat. Keressük meg az alábbi hatásokat exremalizáló függvényeket! a.) S = 1 0 (y + y )dx y(0) = 0 y(1) = 1 b.) S = 1 0 yy dx y(0) = p > 0 y(1) = q > 0.. Gyakorló feladat. Két koaxiális kör alakú keret között hártyát feszítünk ki. a.) Milyen alakú lesz a minimális forgásfelület? b.) Ha egyik kört nem rögzítjük mit kapunk megoldásnak? [ ea Jegyzet, 6.1.3 Példa ].3. Gyakorló feladat. Adjuk meg annak a lejtőnek az alakját, amin súrlódásmentesen egy test a leghamarabb A = (0, 0) pontból egy tetszőleges, de A alatti pontba eljut. (brahisztokron probléma).4. Gyakorló feladat. Oldjuk meg a brahisztokron problémát úgy, hogy a.) Csak az x 1 koordináta rögzített! b.) Csak az y 1 koordináta rögzített! c.) A végpont legyen rajta az f(x) = α(1 x) egyenesen!.5. Gyakorló feladat. Egy gravitációs mezőben ( V (r) = α r ) két egymástól R távolságra levő pont között (melyek azonos R távolságra helyezkednek el a gravitációs centrumtól) milyen alakú lejtőn jut el leghamarabb egyik pontból a másikba egy súrlódásmentesen csúszó tömegpont. (elég kijelölni a differenciálegyenleteket, melyek megadják az alakot).6. Gyakorló feladat. Oldjuk meg Dido királynő problémáját ívhossz paraméterezéssel, úgy, hogy a kezdőpont az origó, a végpont pedig nincs rögzítve! Adjuk meg a görbe egyenletét az x y síkon!.7. Gyakorló feladat. Milyen alakú egy gravitációs térben levő súlyos kötél alakja, ha kezdőpontja az origóban van, végpontja pedig x 1 mentén függőlegesen egy sínen mozoghat?.8. Gyakorló feladat. Milyen alakú a forgatott ugrókötél? Hanyagoljuk el a gravitációt, és tekintsük a végpontokat rögzítettnek! [ ea Jegyzet, 6.3. GyF ].9. Gyakorló feladat. Milyen alakú egy nagyon hosszú súlyos kötél, ha az a Földtől lényegesen távol van felfüggesztve? [ ea Jegyzet, 6.5. GyF ].10. Gyakorló feladat. Milyen potenciál mellett lesz a leggyorsabb pálya láncgörbe alakú? [ ea Jegyzet, 6.5. GyF ] 8

.7 Gyakorló feladatok Variációszámítás.11. Gyakorló feladat. Az n(r) 1/r sugárirányban lecsengő törésmutató esetén milyen pályák alakulhatnak ki?.1. Gyakorló feladat. Igazoljuk, hogy n(r) 1/ r törésmutató mellett minden fényút parabola! [ ea Jegyzet, 6.33. GyF ].13. Gyakorló feladat. Milyen pályán halad a fénysugár, ha a közeg törésmutatója, csak y koordinátától függ n(y) = n 0 y módon? Induljon a fénysugár a P (0, y 0 ) pontból!.1. Emelt szintű példa. Oldjuk meg a súlyos kötél problémáját ívhossz paraméterezéssel!.. Emelt szintű példa. Milyen pályán halad a fénysugár, ha a közeg törésmutatója, csak az origótól vett távolságtól függ n(r) = n 0 r α módon? (akkor igazán nehéz a példa, ha kézzel integrálunk).3. Emelt szintű példa. Dido királynő problémáját oldajuk meg ívhossz paraméterezéssel, és Lagrange multiplikátor segítségével rögzítsünk a végpontot x 1 -ben!.4. Emelt szintű példa. A brahisztokron probléma esetén, ha a végpontnak csak az x koordinátáját rögzítjük, megjelennek stacionárius megoldásként félegész hosszúságú cikloisok, míg a globális extrémum csak a fél ciklois. a.) Lássuk be, hogy a többi megoldás nyeregpont! b.) Természetesen teljesen rögzített végpont esetén is jelenhetnek meg további megoldások. Rögzített A = (0, 0) kezdeti pont esetén adjunk feltételt B = (x 1, y 1 ) végpontra, ahol csak egy megoldás jelenik meg (ami a tényleges extrémum)..5. Emelt szintű példa. Vezessük le a Snellius-Descartes törvényt, nem Descartes-i koordinátákban (például henger koordinátákban)! 9

Lagrange-féle mechanika 3. Lagrange-féle mechanika 3.1. Lagrange mechanikai bevezető példák 3.1. Kidolgozott példa. Adott az x tengelyre rögzített D rugóállandójú rugó, aminek M tömegű végére felfüggesztünk egy l hosszúságú m tömegű matematikai ingát. Kicsiny szöggel térítsük ki a nyugalmi helyzetéből a rendszert! Mik lesznek a kis rezgések frekvenciái, és van-e megmaradó mennyiség? Vizsgáljuk meg az alábbi határeseteket: a.) M 0 b.) M c.) D 0 30

3.1 Lagrange mechanikai bevezető példák Lagrange-féle mechanika 3.. Kidolgozott példa. Vegyünk egy egyszerű fonálingát, azonban a felfüggesztési pont egy rögzített R sugarú kör legfelső pontján legyen, a fonál pedig simuljon rá a körre! Mi a rendszer frekvenciája kis kitérések esetén? [ EFP, 11.7 ] 31

3. Hatás mélyebb vizsgálata: h.o. (*) Lagrange-féle mechanika 3.. Hatás mélyebb vizsgálata: h.o. (*) 3.3. Kidolgozott példa. Oldjuk meg a harmonikus oszcillátort Lagrange-i mechanika segítségével! Mennyi a hatás a fizikai pályán? Ez a hatásnak milyen fajta stacionárius pontja? 3

3.3 Gyakorló feladatok Lagrange-féle mechanika 3.3. Gyakorló feladatok 3.1. Gyakorló feladat. Írjuk fel a gömbingára vonatkozó mozgásegyenleteket! Mik a megmaradó mennyiségek? 3.. Gyakorló feladat. Tekintsünk olyat ingát, amelynek rúdja időben változó hosszúságú (l = l(t)). Írjuk fel a mozgásegyenleteket! [ ea Jegyzet, 6.38 GyF ] 3.3. Gyakorló feladat. Mozoghasson egy M tömegű tömegpont az y tengely mentén homogén gravitációs térben. Ehhez a testhez rögzítsünk egy zérus nyugalmi hosszúságú rugót úgy, hogy a rugó másik végét az (x, y) = (0, d) pontban rögzítjük! Írjuk fel az egyensúlyi helyzet körüli kis rezgések frekvenciájának nagyságát! 3.4. Gyakorló feladat. Írjuk fel egy olyan ingának a mozgásegyenleteit, melynek: a.) Felfüggesztési pontja egy R sugarú függőleges körön mozog állandó ω szögsebességgel! b.) Felfüggesztési pontja vízszintes rezgést végez ω frekvenciával! c.) Felfüggesztési pontja függőleges rezgést végez ω frekvenciával! [ Landau I, I.3. példa ] 3.1. Emelt szintű példa. Adott két sín egymástól d távolságra. Mindegyiken mozoghat a sín mentén egy-egy M tömegű test amiket egy l 0 nyugalmi hosszú D rugóállandójú rugó köt össze. a.) Adjuk meg d l 0 függvényében a stabil és instabil egyensúlyi helyzeteket! b.) Számoljuk ki a stabil egyensúlyi helyzetek körüli kis rezgések frekvenciáját! c.) Mi a helyzet l 0 = d esettel? (Tipp: keressünk olyan paraméterezést, ahol látszik, mi a megmaradó mennyiség!) 3.. Emelt szintű példa. Az oszcillátor esetén a stacionárius pálya nem feltétlenül globális minimum, amit könnyedén be lehet látni, ha a teljes periódusidőre integráljuk a hatást. Azonban ha kis t tartományra integrálunk, akkor már globális minimum! Vizsgáljuk meg t függvényében stacionárius pont jellegének viselkedését! Ha kell számoljuk ki hozzá a hatás második variációját! 3.3. Emelt szintű példa. Egy inga adott görbe mentén végez rezgéseket, aminek frekvenciája független az amplitúdótól! Milyen alakú ez a görbe? 33

Egydimenziós rendszerek 4. Egydimenziós rendszerek 4.1. Periódusidő energiafüggése és fázistér 4.1. Kidolgozott példa. Mekkora a V (x) = V 0 ch (αx) potenciálban mozgó test periódusideje? (Tegyük fel, hogy 0 > E > V 0 ) Ismert, hogy a periódusidőt az alábbi módon kell kiszámolni: T = m x0 x 0 dx E V (x) = m x0 0 dx E V (x) (4.1.1) Kihasználtuk, hogy a potenciál szimmetrikus. A fordulópont ott van, ahol az energia megegyezik a potenciális energiával: x 0 = ± 1 α arch (4.1.) E = V 0 ch (αx 0 ) Beírva az energiát és a potenciális energiát: V 0 E T = 8m x0 V 0 0 dx 1 1 ch(αx) ch(αx 0 ) (4.1.3) Eszközöljünk egy változócserét: dx = z = ch (αx) dz = αsh (αx) dx ch (0) = 1 z 0 = ch (x 0 ) dz αsh (αx) = 1 α dz ch (αx) 1 Ezeket írjuk vissza, majd néhány algebrai átalakítás után: = 1 dz α z 1 (4.1.4) Újabb változócsere: T = T = 8m α V 0 z0 1 z 0 z dz (4.1.5) z 0 z z 1 u = z u 0 = z 0 1 = 1 8m 1 z 0 α V 0 1 Most csináljuk a változóban egy sima eltolást (u 1 = w): du = zdz (4.1.6) z 0 du (4.1.7) u 1 z 0 u T = m z z 0 1 0 dw V 0 α 0 w z 0 1 w (4.1.8) 34

4.1 Periódusidő energiafüggése és fázistér Egydimenziós rendszerek És még egy változócsere: s = w T = m z w0 0 V 0 α 0 Utolsó változócsere: ds s s w0 s = T = z 0 1 = w 0 ds = 1 1 dw = dw w s m 1 w0 E α 0 s = sin ɛ w 0 ( π ) sin (0) = 0 sin = 1 Így a periódusidő (tudván, hogy az energia negatív): ds w 0 s = m E 1 w0 α 0 ds ( w 0 1 (4.1.9) ) s w 0 (4.1.10) ds = cos ɛdɛ (4.1.11) w 0 8m π 1 dɛ = π m (4.1.1) E α α E 0 T = π α m E (4.1.13) Erre a megoldásra más módon is juthatunk, persze ahhoz meg kell sejteni a megfelelő koordinátatranszformációt. Írjuk fel az energiát: E = m ẋ V 0 ch (αx) (4.1.14) Eszközöljük az alábbi változócserét: Ezekkel: y = sh (αx) 1 + y = ch (αx) dy = αch (αx) dx ẋ = E = m 1 αch (αx)ẏ (4.1.15) ẏ 1 + y V 0 1 + y (4.1.16) V 0 E = m α ẏ + E y (4.1.17) Ha csinálunk pár átnevezést, máris felismerhetjük ebben a harmonikus oszcillátort (E = V 0 E,m = m/(α ),D = E ), és visszakapjuk azt a periódusidőt, amit kiszámoltunk! 35

4.1 Periódusidő energiafüggése és fázistér Egydimenziós rendszerek 4.. Kidolgozott példa. Adott egy V (x) potenciál, melynek egy lokális maximuma x 0 helyen van, ahol a potenciál közelítőleg a.) Hogyan néz ki a fázistér x 0 körül? b.) Milyen az időfüggés a maximum körül? V (x) V 0 1 k (x x 0) (4.1.18) c.) Tegyük fel, hogy a rendszer periodikus rezeg valamely x 1,x (x > x 1 > x 0 ) pontok között (E < V 0 ). Hogyan divergál a periódusidő, ha a rezgés fordulópontja tart x 0 -hoz? Használjuk fel, hogy az energia megmarad: E = m ẋ k (x x 0) + V 0 1 = ± ( ẋ E V 0 m ) (x x 0) ( ) (4.1.19) E V 0 k Az előjelet a V 0 E előjele dönti el. Ettől függően négy hiperbolaágat kapunk. Az időfüggést a mozgásegyenletekből könnyedén megkaphatjuk: mẍ = k(x x 0 ) mẍ = kx (4.1.0) ahol x = x x 0. Ebből egyből látszik, hogy ( ) ( ) k k x(t) = Ach m t + Bsh m t + x 0 (4.1.1) Legyen kezdetben a hely x 0 a sebesség pedig v 0 (ehhez természetesen V 0 < E-re van szükség): Így a maximum körüli időfüggés: x(0) = A + x 0 A = 0 k ẋ(0) = B m = v 0 m B = k v 0 (4.1.) x(t) = x 0 + v 0 m k sh ( k m t ) (4.1.3) Fontos megjegyezni, hogy ez addig jó, amíg jó közelítésnek gondoljuk a kvadratikus sorfejtés a potenciálra x 0 körül! 36

4.1 Periódusidő energiafüggése és fázistér Egydimenziós rendszerek 4.3. Kidolgozott példa. Határozzuk meg egy m tömegű részecskének a periódusidejét az energia függvényében, amely az alábbi potenciálban mozog: V (x) = V 0 x β Adjuk meg a periódusidőt T β = T F (E) alakban, ahol T az β = oszcillátornak megfelelő periódusidő! Vizsgáljuk meg az alábbi eseteket: a.) β = b.) β 0 c.) β d.) V 0 < 0, β < 0 37

4. Perturbációszámítás és disszipáció Egydimenziós rendszerek 4.. Perturbációszámítás és disszipáció 4.4. Kidolgozott példa. Mutassuk meg, hogy a periódusidő valamely általános V 0 (x) potenciál εv 1 (x) perturbációja esetén első rendig T 0 + εt 1, ahol T 1 = T0 V 1 (x 0 (t)) dt (4..1) E 0 38

4. Perturbációszámítás és disszipáció Egydimenziós rendszerek 4.5. Kidolgozott példa. Mi a harmonikus oszcillátor Green-függvénye? Mi a helyzet súrlódásos esetben? 39

4. Perturbációszámítás és disszipáció Egydimenziós rendszerek 4.6. Kidolgozott példa. Számoljuk ki egy asztallapon súrlódó test helyének időfüggésér Lagrange-Rayleigh formalizmus segítéségével! Mi a helyzet a ritka közegben haladó testtel? 40

4. Perturbációszámítás és disszipáció Egydimenziós rendszerek 4.7. Kidolgozott példa. Adott egy vízszintes sínen mozgó M tömegű test, melyhez egy l 0 nyugalmi hosszúságú rugót rögzítünk a síntől d távolságra. Vegyük figyelembe a rugó belső súrlódását egy η együtthatóval. Hogyan fog csökkenni a kis rezgések amplitúdója idő függvényében? 41

4.3 Gerjesztett oszcillátor Egydimenziós rendszerek 4.3. Gerjesztett oszcillátor 4.8. Kidolgozott példa. Legyen egy súrlódó oszcillátorra adott gerjesztés az alábbi: F (t) = F 0 (Θ(t) Θ(t t 0 )) a.) Számoljunk ki Green-függvény segítségével egy partikuláris megoldást! b.) Hogyan néz ki a megoldás nagy t 0 esetén? c.) Vizsgáljuk a súrlódásmentes esetet! Mekkora legyen t 0, hogy t > t 0 esetben ne legyen oszcilláció? Mikor lesz maximális az amplitúdó? 4

4.4 Gyakorló feladatok Egydimenziós rendszerek 4.4. Gyakorló feladatok 4.1. Gyakorló feladat. Mi lesz a periódusidő, ha a potenciál V (x) = V 0 tg (αx) 4.. Gyakorló feladat. Adott egy olyan fázistér, aminek sebességtengelytől balra első felén ellipszisek vannak, míg a jobbra eső felén vízszintes egyenesek (egymással folytonosan összekötve). Milyen potenciálnak felel ez meg? 4.3. Gyakorló feladat. Vegyük a fonálinga fázisterét! Ebben két szignifikánsan különböző görbesereget a szeparátrix választ el (amikor nem lendül át az inga, és amikor átlendül). Mi ennek a szeparátrixnak az egyenlete a ϕ = π, ϕ = 0 közelében? (tegyük fel, hogy az inga nyugalmi helyzete a ϕ = 0, ϕ = 0 pont) 4.4. Gyakorló feladat. Számoljuk ki az f(t)-vel gerjesztett oszcillátor időfüggését, ahol { f(t) = F (t) m = 0, ha t < 0 (4.4.1) f 0 e αt, ha t > 0 4.5. Gyakorló feladat. Hasson egy oszcillátorral az alábbi gerjesztés: 0, ha t < 0 F (t) = f 0 /τ, ha 0 < t < τ 0, ha t > τ (4.4.) Mi kapunk τ 0 határesetben (pillanatszerű lökés)? 4.6. Gyakorló feladat. Vegyük a harmonikus gerjesztéses gyengén súrlódó oszcillátort. Mekkora a gerjesztő erő által invesztált teljesítmény? Adjuk meg egy formulát, ami azt mutatja, hogy egy fix nagyságú amplitúdó eléréséhez mekkora (időre átlagolt) teljesítményt kell befektetni a súrlódási tényező függvényében! 4.7. Gyakorló feladat. Adott a rendszer, ahol az x tengelyen levő rugó végére ingát függesztünk fel, ami egy súrlódó közegben mozog. Tegyük fel, hogy a rugóban a disszipáció a megnyúlási sebebességével arányos. Írjuk fel a mozgásegyenleteket! Linearizálás után próbáljuk kiszámolni az időfüggést! 4.1. Emelt szintű példa. Hogyan modelleznénk a játszótéren a gyerekét hintáztató szülőt, mint külső gerjesztését a hintának, mint rúdingának? Az inga súrlódásának függvényében adjunk meg egy f(t) gerjesztő függvényt, amivel egy adott amplitúdó tartható! Használhatunk harmonikus közelítést! (esetleg közelítés nélkül, numerikusan is lehet dolgozni!) 43

Síkmozgások 5. Síkmozgások és kényszerek 5.1. Kidolgozott példa. Egy síelő egy y(x) = αx alakú sísánc h magasságú pontjából indul kezdősebesség nélkül. Határozzuk meg, mekkora erővel nyomja mozgása során a sáncot (tehát mekkora a nyomóerő x,y függvényében). A súrlódástól tekintsünk el! (A konkrét időfüggést megoldani szükségtelen, használjunk multiplikátorokat és használjuk fel az energiamegmaradást!) [ EFP, 11.9 ] 44

Síkmozgások 5.. Kidolgozott példa. Adott az alábbi potenciál: ( x V (x, y) = V 0 ch + y ) x 0 y 0 Mekkorák a kis rezgések frekvenciái? 45

5.1 Anholonom kényszer Síkmozgások 5.1. Anholonom kényszer 5.3. Kidolgozott példa. Egy homogén tömegeloszlású, l hosszúságú rúd végein kicsin, elhanyagolható tömegű görgők találhatóak, melyek egymástól függetlenül, súrlódásmentesen foroghatnak a rúd tengelye körül. Hogyan mozog a görgős rúd, ha vízszintes, érdes felületre helyezzük, majd a két végét a tengelyre merőleges v 1 és v sebességgel megpöccintjük? 46

5. Gyakorló feladatok Síkmozgások 5.. Gyakorló feladatok 5.1. Gyakorló feladat. Mozogjon egy test homogén gravitációs térben egy h(x, y) felületen. a.) Adjuk meg a centripetális erő nagyságát adott helyen, adott sebességek mellett! b.) Tegyük fel, hogy ennek a felületnek van lokális minimuma. végzett kis rezgések frekvenciája? Mekkora az e pont körül 5.. Gyakorló feladat. Tisztán guruljon egy elhanyagolható vastagságú korong egy síklapon. Milyen pályákon mozoghat a tömegközéppontja? 5.3. Gyakorló feladat. Vegyük az alábbi potenciált: V (x, y) = V 0 (1 cos (xy)) Mik az egyensúlyi helyet körüli kis rezgések frekvenciái? 5.4. Gyakorló feladat. Egy síelő egy y(x) = α(1 x ) alakú lejtőn csúszik lefele úgy, hogy kezdetben x = 0-ban volt, és v 0 sebességgel indul el lefele. Mekkora a kényszererő hely függvényében? Hol válik el a pályától v 0 és α függvényében? 5.1. Emelt szintű példa. Adott egy R sugarú teljes körív, melyen belül középen egy m tömegű testet rögzítettünk D direkciós erejű rugókkal úgy, hogy a négy (zérus nyugalmi hosszú) rugó rögzítési pontjai a köríven egyenlő távolságra vannak egymástól (lásd ábra). A kis test súrlódásmentesen mozoghat. Írjuk fel a mozgásegyenleteket abban az esetben, ha körlemezt egy Ω szögsebességgel forgatjuk! Mik ekkor a kis rezgések frekvenciái? 5.. Emelt szintű példa. Tisztán guruljon egy elhanyagolható vastagságú, m tömegű korong egy α hajlásszögű lejtőn! Írjuk fel a mozgásegyenleteket! Vizsgáljuk meg az alábbi határeseteket: a.) Tetszőleges kezdőfeltétel, de α = 0 b.) Tetszőleges α, de ϑ(0) = 0 és ϑ(0) = 0 c.) Tetszőleges α és ϑ(0) = π, ϑ(0) = 0. ahol ϑ a korong síkjának a lejtő esési irányával bezárt szöge. 47

6. Kis rezgések és Hamiltoni-mechanika 6.1. Molekulák rezgési módusai Kis rezgések és Hamiltoni-mechanika 6.1. Kidolgozott példa. Számoljuk ki egy széndioxid molekula lehetséges longitudinális rezgési módusainak frekvenciáját! 48

6.1 Molekulák rezgési módusai Kis rezgések és Hamiltoni-mechanika 6.. Kidolgozott példa. Számoljuk ki a széndioxid molekula összes lehetséges rezgései módusának frekvenciáját! 49

6. Hamilton-egyenletek alkalmazása Kis rezgések és Hamiltoni-mechanika 6.. Hamilton-egyenletek alkalmazása 6.3. Kidolgozott példa. Írjuk fel a Hamilton-egyenleteket az ábrán látható rendszerre! 50

6. Hamilton-egyenletek alkalmazása Kis rezgések és Hamiltoni-mechanika 6.4. Kidolgozott példa. Mozogjon egy m tömegű, Q töltésű kis test homogén gravitációs erőtérben, ahol a B indukciójú mágneses tér merőlege a gravitációs térre. Legyenek a kezdeti sebességek nullák! Milyen pályán mozog a test? 51

6.3 Hamilton-Jacobi egyenletek Kis rezgések és Hamiltoni-mechanika 6.3. Hamilton-Jacobi egyenletek 6.5. Kidolgozott példa. Írjuk fel és oldjuk meg a Hamilton-Jacobi egyenleteket az egy dimenziós harmonikus oszcillátorra! 5

6.3 Hamilton-Jacobi egyenletek Kis rezgések és Hamiltoni-mechanika 6.6. Kidolgozott példa. Oldjuk meg a ferde hajítás problémáját Hamilton-Jacobi egyenletek segítségével! 53

6.4 Adiabatikus invariánsok Kis rezgések és Hamiltoni-mechanika 6.4. Adiabatikus invariánsok 6.7. Kidolgozott példa. Egy labda pattog h 0 amplitúdóval. Hogyan változik a pattogás magassága, ha gravitációs konstans lassan elkezd változni? 54

6.5 Gyakorló feladatok Kis rezgések és Hamiltoni-mechanika 6.5. Gyakorló feladatok 55

Merev testek 7. Merev testek 7.1. Tehetetlenségi nyomatékok kiszámítása 7.1. Kidolgozott példa. Adott négy darab tömegpont az (a, a),( a, a),( a, a),(a, a) pontokban az x-y síkban melyeknek tömeg rendre M,m,M,m. Határozzuk meg ennek a rendszernek a tehetetlenségi nyomatékát x-y-z koordináta-rendszerben, majd az xy síkban vett 45 fokosan elforgatott x -y -z koordináta-rendszerben is! Pontrendszerre a tenzort az alábbi képlet mondja meg: Θ ij = ( ( m k δ ij r (k) s r s (k) k ) r (k) i ) r (k) j (7.1.1) Könnyebbség kedvéért határozzuk meg először a tenzort a vesszős rendszerben, hiszen ahogy látni fogjuk, ott az off-diagonális tagok zérusok lesznek. Az y és x komponensek nagyságai mindenütt a, továbbá a testek a tengelyeken vannak. Így az összeg sokat egyszerűsödik: Θ x x = M(r M x M) = 4Ma (7.1.) Θ y y = M(r m y m) = 4ma (7.1.3) Θ z z = M( a) + m( a) = 4(M + m)a (7.1.4) Mivel a testek a tengelyeken vannak, ezért a többi elem azonosan zérus. Így a keresett tenzor: 4Ma 0 0 Θ = 0 4ma 0 (7.1.5) 0 0 4(M + m)a A két koordináta-rendszer között egy forgatás teremt kapcsolatot: r = Ur U = 1 1 0 1 0 1 0 0 1 (7.1.6) ami pont egy 45 fokos forgatásnak felel meg. A tenzor transzformációja: m + M m M 0 Θ = UΘ U T = a m M m + M 0 (7.1.7) 0 0 (m + M) 56

7.1 Tehetetlenségi nyomatékok kiszámítása Merev testek 7.. Kidolgozott példa. Számoljuk ki egy homogén henger tehetetlenségi nyomaték tenzorát! 57

7.1 Tehetetlenségi nyomatékok kiszámítása Merev testek 7.3. Kidolgozott példa. Egy m tömegű, L hosszúságú rudat a csuklós felfüggesztésénél ω szögsebességgel forgatunk. Mekkora a stacionárius állapotban a ϑ szög értéke? (amivel kitér az inga). Mekkora a csuklóban ébredő erő? 58

7.1 Tehetetlenségi nyomatékok kiszámítása Merev testek 7.4. Kidolgozott példa. Egy bolygó M tömeggel V sebességgel halad az űrben, miközben Ω szögsebességgel forog. A felszínre teljesen rugalmatlanul belecsapódik v sebességgel egy m tömegű meteor. Mennyivel változik meg a szögsebessége a bolygónak? (tegyük fel, hogy M m és v V ) Itt csak megmaradási tételeket kell kihasználni. Tegyük fel, hogy a meteor egy r pontba csapódott be. Ekkor az impulzus és impulzusmomentum megmaradás alapján: Fejezzük ki az új sebességet: MV + mv = MV + m (V + Ω r) (7.1.8) ΘΩ + r mv = ΘΩ + r m (V + Ω r) (7.1.9) V = M M + m V + m M + m (v Ω r) (7.1.10) Így: ΘΩ + r mv = ΘΩ + mr ( M M + m V + m ) M + m (v Ω r) + Ω r (7.1.11) ΘΩ + r mv = ΘΩ + Mm M + m r V + m m + M r v + Mm M + m r (Ω r) (7.1.1) Végül az új szögsebességre (felhasználva a gömb tehetetlenségi nyomatékát): ( Ω = 1 + 5 ) m M + m (1 e r e r ) Ω + 5 m r (V-v) (7.1.13) m + M R ahol ( A 1 = 1 + 5 ) m M + m (1 e r e r ) Ω = AΩ + a (7.1.14) ( 5 m a = A m + M ) r (V-v) R (7.1.15) 59

7. Szimmetrikus súlyos pörgettyűk Merev testek 7.. Szimmetrikus súlyos pörgettyűk 7.5. Kidolgozott példa. Ismert a szimmetrikus súlyos pörgettyűre vonatkozó effektív mozgásegyenlet: A ϑ = Mgs sin ϑ Cω t ω pr sin ϑ + (A C)ω pr sin ϑ cos ϑ ahol A és C a tehetetlenségi nyomatékok. Vizsgáljuk meg az alábbi stacionárius eseteket: a.) C = 0, tehát a sima súlyos vékony rúd esete! (hasonlítsuk össze az eredményt a 7.3-as példa eredményével!) Mivel stacionárius esetet vizsgálunk, ezért a ϑ = 0 megoldásokat keressük. Mivel C = 0 ezért: 0 = Mgs + Aω pr cos ϑ (7..1) Mivel homogén vékony rúdról van szó, ezért a tömegközéppont éppen a felezőpontjánál van. Továbbá a tehetetlenségi nyomatékokat a felfüggesztési ponton átmenő főtengelyekre írjuk fel. Így: 0 = Mg L + M 3 L ωpr cos ϑ cos ϑ = 3 g (7..) b.) Súlytalan vékony rúd végén egy M tömegű korong (szokásos kísérleti berendezés). Mikor lehet vízszintesen? Milyen a rúd súlytalan, ezért annak nincsen járuléka a tehetetlenségi nyomatékban. Azokban a korongnak mindkét tengelyre van: Lω pr C = MR A = MR4 4 + ML (7..3) Így stacionárius állapotra (tudván, hogy a tömegközéppont az a korong közepe): ) 0 = MgL MR ω tω pr + (ML MR4 ωpr cos ϑ (7..4) 4 R gl cos ϑ = ω tω pr ( R L) ω 4 pr Akkor lesz ez vízszintesen, ha a ϑ = π, tehát: (7..5) gl = R ω tω pr (7..6) c.) Adjunk meg olyan feltételeket, hogy felfele állhasson a pörgettyű! Általános: Mgs Cω t ω pr + (A C)ω pr cos ϑ = 0 (7..7) Ekkor a szögre: cos ϑ = Mgs Cω tω pr (C A)ω pr Tehát akkor áll felfele a pörgettyű, ha ez teljesül. > 0 (7..8) 60

7.3 Gyakorló feladatok Merev testek 7.3. Gyakorló feladatok 61

Rugalmasságtan 8. Rugalmasságtan 8.1. Hullámegyenlet 1 dimenzióban Vizsgáljuk olyan húrokat, melyeknek mind a két vége rögzített (ami teljesen reális elvárás, ha hangszerekre gondolunk). Bármi legyen a megoldása a kitérés hely és időfüggésére, bizonyos, hogy a rögzített végeken annak zérusnak kell lennie. Ebben az egyesben a húr alakját olyan Fourier sor alakjában kereshetjük, ami ezt automatikusan teljesíti: Ψ(x, t) = n=1 ( nπ ) a n (t) sin L x (8.1.1) Ezt beírva a Ψ t = Ψ c (8.1.) x hullámegyenletbe, igaznak kell lenni módusonként, hogy ä n (t) = c ( nπ L ) a n (t) = ω na n (t) (8.1.3) Tehát minden módus oszcillátorként rezeg más-más frekvenciával. Így az általános megoldása a mind a két végén befogott húrnak: Ψ(x, t) = n=1 ( a n (0) cos(ω n t) + ȧn(0) ) ( nπ ) sin(ω n t) sin ω n L x A kezdeti feltételek megadásával megkaphatjuk a konstansokat: a n (0) = L ȧ n (0) = L L 0 L 0 (8.1.4) ( nπ ) Ψ(x, 0) sin L x dx (8.1.5) ( nπ ) Ψ(x, 0) sin L x dx (8.1.6) 6

8.1 Hullámegyenlet 1 dimenzióban Rugalmasságtan 8.1. Kidolgozott példa. Adottak az alábbi kezdőfeltételek egy L hosszúságú húrra: ( Ψ(x, 0) = 0 Ψ(x, 0) = v0 sin Nπ x ) L Adjuk meg a teljes hely és időfüggését a kitérésnek! Nincs más dolgunk, mint egy darab egyszerű integrál elvégzése: ȧ n (0) = L L 0 ( v 0 sin Nπ x ) ( sin nπ x ) dx = v 0 L L L L δ nn = v 0 δ nn (8.1.7) Visszaírva ezt az általános megoldásba, az összegből csak egy tag marad: Ψ(x, t) = v 0 sin (ω N t) sin (N π ) ω N L x ω N = c π L N (8.1.8) 63

8.1 Hullámegyenlet 1 dimenzióban Rugalmasságtan 8.. Kidolgozott példa. A kezdetben zérus sebességgel rendelkező L hosszúságú húr kitérés függvénye kezdetben az alábbi: Ψ(x, 0) = { h a h b x, ha x < a (L x) ha a < x < L ahol a + b = L, tehát az a helyen kifeszítjük. Elengedés után hogyan fog rezegni a húr? Hol húzzuk ki, hogy a k-adik felhang ne szólaljon meg? Itt csak kezdőhelyzet van, nincs kezdősebesség. Egy integrál elvégzése szükséges: a n (0) = ( a h ( nπ ) L L 0 a x sin L x h ( nπ ) ) dx + a b (L x) sin L x dx (8.1.9) Ennek az elvégzése nem annyira nehéz, csak az alábbiakat kell felhasználni: x sin(cx)dx = 1 c sin(cx) x cos(cx) L = a + b (8.1.10) c Ezekkel: Így a teljes megoldás: Ψ(x, t) = n=1 a n (0) = h ab L ( nπ ) n π sin L a ( h L ( nπ ) ( nπ ) ) ( nπ ) ab n π sin L a cos L ct sin L x (8.1.11) (8.1.1) Az n. felhang akkor nem szólal meg, ha az ahhoz tartozó amplitúdó zérus: a n (0) = h ab L ( nπ ) n π sin L a = 0 a = Lk n k n (8.1.13) Tehát a meghúzás helyére kaptunk egy feltételt. Fontos, hogy ilyenkor nem kizárólag csak az n. felhang nem szólal meg, hanem még sok másik! 64