Readme. Balog Dániel december 24.

Átírás

1 Readme Balog Dániel 009. december 4. A jegyzet Dr. Simon Péter: Kalkulus I (mfna0) órái alapján készült a 009/00 tanév első félévében. A jegyzet letölthető a honlapomról: A jegyzet kinyomtatható, nyomtatott formában, illetve ben/im programokkal ezen readme csatolásával szabadon terjeszthető. Más tárhelyen való elhelyezéshez ben kell értesíteni! Címem: skippersd@gmail.com A jegyzet nem módosítható. Amennyiben hibát találsz benne, kérlek értesíts a fenti címen. Külön köszönet: Dr. Simon Péternek, amiért a jegyzetet szabadidejében átnézte, valamint Monoki Sándornak, a hasznos magyaráztokért. utóirat: A jegyzet teljesen ingyen használható, de a köszisöröket szivesen fogadom

2 Kalkulus Balog Dániel Halmazok.. Alapjai A halmaz olyan valami, amiről tudjuk, hogy mik vannak benne, és mik nincsenek. (Lehet pontosabban definiálni, de mindegy, semmi szükség nem lesz rá) Pl.: A = {; ; 3; 8} A 5 / A B = {x R : x < } Jelölések: Minden Van olyan, létezik (ezek az ún. kvantorok) Következik Ekvivalens Részhalmaz: A B, ha x A-ra x B Magyarul: A minden eleme B-ben is benne van, de B-nek lehet olyan eleme, ami nincs benne A-ban. Tehát, ha két halmaz egyenlő, akkor A B, B A, a két halmaz részhalmaza egymásnak. Valós részhalmaz: A B Üres halmaz: jele: Nincs eleme... Halmazműveletek: A B Az A és B elemei együttesen. x A B x A vagy x B A B A és B közös elemei. x A B x A és x B A\B Azon elemek, amelyek csak A-ban vannak benne, de B-ben nem. x A\B x A és x / B Pl.: A{; ; 3} B{3; 4; 5} A\B = {; } B\A = {4; 5}... Komplementer halmaz: A (B re vonatkozóan) Azon elemek, melyek x / A; x B A = B\A (Lehet A helyett A) pl.: A = {x N : x 00}; B = {N}A = {x N : x > 00}

3 ... Rendezett pár: halmazok, amelyeknek elemei halmazok. Legyen például: C = {{}, {, }, {,, 3}, {}, {, 3}, {3}, {, 3}} C = 7 C elemeinek száma C = {} C = {{}} C C C C A, B két halmaz, a A; b B Az (a, b) rendezett pár - szó szerint az a-ból és b-ből álló pár. Formális definíció: (a, b) = {{a}, {a, b}} A "rendezett" annyit jelent, hogy a sorrendjük is számít: (a, b) (b, a) (de {a, b} = {b, a}). (Nyilván lehetne rendezett hármasokat, négyeseket stb. is definiálni ugyanígy: (a, b, c), (a, b, c, d),...)..3. Descartes-szorzat A B= {(a, b) : a A b B} Az olyan rendezett párok halmaza, amelyek első eleme A-beli, a második B-beli. Pl.: A = {; ; 3} B = {4; 5} A B = {(, 4); (, 5); (, 4); (, 5); (3, 4); (3, 5)} (Vehetnénk kettőnél több halmazt is - háromnak a szorzata rendezett hármasokból áll, stb.)..4. Reláció A reláció olyan halmaz, amely két másik halmaz Descartes-szorzatának részhalmaza - vagyis olyan halmaz, ami rendezett párokból áll. pl: M={Magyar szavak halmaza} A={Angol szavak halmaza} M A olyan párokból áll, amiknek az első tagja egy magyar, a második egy angol szó. (A M azokból a párokból áll, ahol az angol szó áll elől, a magyar hátul. Ez két különböző halmaz.) r M A, r azokból a párokból áll, ahol az angol és a magyar szó ugyanazt jelenti. (Angol-magyar szótár. Részhalmaza a szópárok összességének.) (kutya;dog) M A (dog;kutya)/ M A (kutya;dog) r (kutya;yes)/ r < R R (; ) < (5; 3) / < (4; 4) / < Szülő-gyerek reláció: E = {emberek} r E E (a; b) r ha a gyereke b-nek.

4 . Függvények Az f A B relációt függvénynek nevezzük, ha: (x ; y ) f és (x ; y ) f esetén y = y (Vagyis ha minden x-hez csak egy y tartozik).. Értelmezési tartomány: D f = {x A : y; (x; y) f} Azok az x-ek, amikhez az f hozzárendel valamilyen y-t. Vagyis: ha x eleme D f -nek, akkor létezik olyan y, hogy az (x;y) rendezett számpár eleme f-nek... Értékkészlet R f = {y B : x A; (x; y) f} Azok az y-ok, amiket a függvény valahol értékként felvesz. Vagyis: Ha y eleme R f -nek, akkor létezik olyan x eleme A-nak, hogy az (x;y) rendezett számpár eleme f-nek. f A B f : A B Az f függvény A-ból B-be képez. Pl: f : R R f(x) = x D f = R R f = {x R : x 0} (; ) f (; 4) f (; 9) / f (3; 8) / f.3. Függvények kompozíciója: Összetett függvények g : A B f : B C f g "f kör g" A C (f g)(x) = f(g(x)) pl.: g(x) : x + f(x) : x g, f : R R (f g)(x) = (x + ) = x + x + (g f)(x) = x +.4. Függvények tulajdonságai: Legyen f A B függvény, f : A B f injektív: ha f(x ) = f(x ) x = x - magyarul különböző helyeken nem veheti fel ugyanazt az értéket, kölcsönösen egyértelmű f szürjektív: ha R f = B - vagyis minden lehetséges értéket fölvesz. f bijektív: ha az előző kettő teljesül, vagyis injektív és szürjektív egyszerre..5. Inverz függvény: Legyen f A B injektív függvény. f inverze: f B A f (y) = x, ha y = f(x) "visszakeresi" y ból x et, a függvényértékhez rendeli az ősképet. Az f R f je Injektív függvénynél megegyezik az ősképpel. pl.:f : R R; f(x) = x + f (y) = y, mert y = x + x = y (egyenletmegoldás) 3

5 Kalkulus Balog Dániel Számhalmazok.. Természetes számok halmaza Jele: N Műveletek: Összeadás, szorzás. a; b; c N a + b = b + a a b = b a a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c a (b + c) = a b + a c Kommutatív Asszociatív Disztributív Nézzük ezt az egyenletet: a + x = b; a; b; x N Ha b kisebb mint a, az egyenletnek nincs megoldása bővítjük a halmazt. (Hogy legyen.).. Egész számok halmaza a + x = b; a; b; x Z Az egyeletnek mindig van megoldása A negatív számokhoz kellenek új jelek, így "kitalálunk". 0 Z, hogy a + 0 = a a Z a Z b Z hogy a + b = 0 ezt a-val jelöljük Algebrában csoportnak nevezzük azt, amire igazak az eddigi axiómák. N hogy a = a a Z Itt is van hiányosság, mert 3x = x = / Z, nem értelmezhető! 3.3. Racionális számok halmaza p Q p; q Z q a Q b Q a b = a; b 0 A racionális számok halmazában az eddigi összes axióma érvényes. Az újabb áruló a gyökvonás, Phitagorasz tanítványai öngyilkosak lettek a miatt. Az egyiptomiak el számolták a π-t, de pontosabban utánnaszámolva kiderül, hogy π; / Q 7 Az egész számoknak is eleme, mert a N Z Egészen C-ig igaz

6 .4. Valós számok halmaza Nehéz definiálni, mert sok új jel van. A felső határ a suprémum, az alsó az infimum. Legyen H R és k R a halmaz egy felső korlátja x H igaz, hogy x k Az alsó korlátnál x H igaz, hogy x k Legyen a H egy olyan halmaz, aminek van felső korlátja. H legkisebb felső korlátját (ha van) nevezzük H felső határának. Jele: sup H. H = {x R : x < +} max H = sup H = + H = {x +} max H = + sup H = +.5. Felső határ axióma A R olyan halmaz, amelyben minden felülről korlátos halmaznak van felső határa. Q nem ilyen, mert: H = {x Q; x < } Értelmes, de sup H nem értelmezhető. A felső határ axióma minden lyukat betöm. XD folytonos számegyenes Az eddigi axiómákból az összes többi szabály levezethető..6. Hatványok a R; n N a n = a n a m = a n+m (a n ) m = a n m Def.: n a = sup {x R : x n < a} Jelölés:a n = n a a 0 Páratlan n esetén negtív számokra is teljesül. a 0 ( n a) n = a p, q N; a < 0 a p q = q a p n N; a 0 a n = a n a 0 a n a n = a 0 = Ezzel n N; a > 0 értelmezve van. NODE! a a... a }{{} n db r Q a 0 Az r Q szám definíció szerint, két egész szám hányadosa. A negatív kitevő, és a törtre emelés is értelmezve volt, tehát a r értelmezve van. értelmezése: x R; a > 0 a x = sup{a r : r < x; r Q} x R r Q hogy r < x Amennyiben r x = ε 0 akkor r "megfeleltethető" x nek.

7 .7. Intervallumjelölések: a, b R; a < b [a, b] = {x R; a x b} Zárt intervallum (a; b) = {x R; a < x < b}nyílt intervallum (a; ) = {x R; a < x} ( ; ) = {x R}.8. Egyenlőtlenségek x, y R x y x + y x + y x R x =.8.. Számtani-, és mértani közép egyenlőtlenség { x, ha x 0 x, ha x < 0 a, a,..., a n 0 G n S n Bizonyítás n = esetén: Számtani közép S n = a +a +...+a n n Mértani közép G n = n a a... a n a + a a a Ez pedig mindig teljesül. (a + a ) 4a a a a a + a 0 (a a ) 0 3

8 Kalkulus Balog Dániel Komplex számok.. Definíciók x = x R, dex / R Kell egy új halmaz: C Legyen R R(,5) C ( dimenziós "vektor") csak hasonlít hozzá, mert vektorokkal nem lehet osztani Definiálás: R C A kettőnek más a szimbolikája, ahogy Z Q nak is. Pl.: p Q, addig p q Műveletek: (a,b)+(c,d) }{{} Új művelet = p Z vagy(a+i b) C addig(a+i 0) = a R = (a+c,b+d) }{{} Régi művelet (a,b) (c,d) }{{} Új művelet Az új műveletek megtartották a régiek tulajdonságait. = (ac bd,ad+bc) }{{} Régi művelet Legyen i = (0, ) C új jel, imaginárius (képzetes) egység. i = (a,b) helyetta+i b Osztás: +i 3 i = +i 3 i 3+i 3+i = (+i)(3+i) 9 ( ) Egy komplex szám konjugáltja: a+ib = a ib = 3 +i+6i 0 = +7i 0 = i.. Polárkoordináta Komplex számok trigonometrikus alakja. a+ib felírható r (cosϕ+i sinvarphi) alakban is. r = a +b ; ϕ [0,π]; tanϕ = b ; a+ib = r ;a = rcosϕ; b = rsinϕ a

9 . ábra. Komplex szám trigonometrikus alakja. Aza+ib C trigonometrikus alakja miért is hasznos? Mert a szorzás, osztás könnyebben elvégezhető..3. Műveletek Legyen Z = r (cosϕ +i sinϕ ), Z = r (cosϕ +i sinϕ ).3.. Szorzás Z Z = r r (cos(ϕ +ϕ )+i sin(ϕ +ϕ )) Bizonyítás: Z Z = r r ((cosϕ cosϕ sinϕ sinϕ ) }{{} +i (cosϕ sinϕ +cosϕ sin ϕ ) }{{} ) cos(ϕ +ϕ ) sin(ϕ +ϕ ).3.. Osztás Bizonyítás: Z vel való visszaszorzás. Z Z = r r (cos(ϕ ϕ )+sin(ϕ ϕ ).3.3. Hatványozás Z = r(cos(ϕ)+i sin(ϕ)) C;n N

10 Z n = r n (cos(n ϕ)+i sin(n ϕ)) Bizonyítás: Az szorzásra vonatkozó képletből következik Példák Z 3 = Z = r(cosϕ+i sinϕ) Z 3 = r 3 (cos(3ϕ)+i sin(3ϕ)) r 3 = ϕ = 0+kπ k Z 3 k = 0 ϕ = 0 k = ϕ = π = 3 0 k = ϕ = 4π = 3 40 k = 3 ϕ = 6π = Def szerint! ϕ < 360 Tehát a megoldások: Z = 0 Z = cos0 +i sin0 = 3 +i Z 3 = cos40 +i sin40 = 3 i.4. Komplex számok exponenciális alakja: Egy komplex szám felírható r e iϕ alakban is. Az átalakítás az Euler-formulával történik: r e iϕ = r(cosϕ+isinϕ A műveletek úgy végzendőek, mint a trigonometrikus alaknál..5. Gyökvonás: n r e iϕ = n r e i(ϕ n +kπ n ) k N {0} : k < n Tehát egy szám n-edik gyökénekndarab komplex megoldása van! 3

11 Kalkulus Balog Dániel Számsorozatok.. Példák,, 3, 4 a n = n (), 4, 9, 6 a n = n (), 4, 8, 6 a n = n (3),,, a n = ( ) n (4), 9 4, 64 7, a n = ( n + n )n (5),, 3, 4,, 3, 4 a n = n a n = ( )n n (6) (7).. Definíciók A számtani sorozat ugyanannyival változik. A mértani sorozat ugyanannyiszorosára változik. Def:A sorozat olyan függvény, aminek értelmezési tartománya N. (értsd: első, második harmadik tag.) Def:A számsorozat olyan sorozat, amelynek értékkészlete R (esetleg C) Jelölés: a függvény, mely N R a sorozat n-edik tagja a(n) helyett a n.3. Sorozatok tulajdonságai (a n ) a sorozat jelölése (a n ) korlátos, ha K, K R K a n K n N Korlátos Nem korlátos (4),(5),(6),(7) (),(),(3)

12 Def:(a n ) monoton nő, ha (a n ) (a n+ ) n N (a n ) monoton csökken, ha (a n ) (a n+ ) n N Szig. mon nő, ha helyett >. Határérték TÖRTÉNELMI PILLANAT:.. A határérték fogalma Def: Egy (a n ) van határértéke, és ez A R ha, ε > 0 N N(küszöbindex), hogya ε a n A + ε Jelölés: (a n ) határértéke:lim n a n = n N Pl.: (6) a n = n Tetszőleges ε N = ε lim n = 0 n Fontos. Nem minden sorozatnak van határértéke! Pl:a n = ( ) n Def: (a n ) sorozat + -be tart, ha K R N N, hogy K a n n N Jelölés: Def: (a n ) sorozat -be tart, ha K R N N, hogy K a n n N Jelölés: lim n a n =.. Néhány határérték: lim a n = + n lim n n = + lim n n = 0 ( ) n lim n n = 0 lim n n3 = lim ( n )n = 0

13 .3. A határérték és a rendezés kapcsolata:. ha n a n b n lim a n lim b n. Rendőrelv: ha n a n b n c n és lim a n = lim c n, akkor lim b n = lim a n = lim cn Ha a n és c n ugyanoda konvergál, akkor b n is oda konvergál..4. Határértékek és műveletek kapcsolata:. lim (a n + b n ) = lim a n + lim b n. lim (a n b n ) = lim a n lim b n A B A < 0 0 A > 0?? B < 0 A B A B A B 0 A B A B A B B > 0 A B A B A B?? Szorzásnál, osztásnál is hasonló szabályok, de több kivétellel. Egy példa: lim (n+) (n 3) = lim + n 3 n A B A < 0 0 A > 0? B < 0 AB 0 AB 0? 0 0 0? B > 0 AB 0 AB? leosztom a számlálót, nevezőt n-nel = mert a hozzáadott, ill. kivont tagok tartanak 0 hoz. A + B A < 0 0 A > 0?? B < 0 A + B A + B A + B 0 A + B A + B A + B B > 0 A + B A + B A + B?? A A < 0 0 A > 0 B? 0 0 0? B < 0? A B 0 A B? 0????? B > 0? A B 0 A B?? 0 0 0? 3

14 .5. Fontos határértékek: lim n nm = lim n qn + ha, m > 0; ha, m=0; 0, m<0. + ha, q>; ha, q=; 0 ha, -<q<; nincs, ha q. lim n n a = a > 0 különben a / R Bizonyítás:rendőrelv, számtani mértani közép lim n n n = lim n ( + n )n (a n ) Szig mon nő, és felülről korlátos. Bizonyítsuk hogy a n < 4 Ha egy sorozat monoton nő, és felülről korlátos, akkor véges határértéke. Biz:lim a n = sup a n.6. e mint határérték: Def: ( + n )n limeszét jelölje e. lim ( + n n )n = e e, 78 e Q Euler-féle összefüggés. 4

15 Kalkulus Balog Dániel Számsorok Sorozat: a, a, a 3 Sor: a n = a + a + a Pl.:a n = n =, 4, 8, 6,... Legyen S n = n = qn q Trükkös... A sorozatot egy mértani sorozatként fogjuk fel, ha az első tagot ( ) a nek vesszük, a q pedig legyen egyenlő -el. S n másképp felírva: n = n ( ) = n lim n Def: Legyen (a n ) egy számsorozat, legyen S n = a + a a n n az a n sorozatból képzett részletösszegsorozat. Az a n sorozatból képzett végtelen sor jele: a n ha lim S n a n van összege. a n = lim S n Ha ez a lim véges, akkor a sorozatot konvergensnek hívjuk, ha nem akkor divergensnek. n= mert n nullához konvergál

16 { nincs limes; Divergens: van limes, de végtelen. q < an konvergens, = lim S n Pl:a n = q n q = divergens n= q nincs összege a sornak, ezért divergens lim S n = lim (q + q q n ) = lim q qn q = q n= Pl: Ez végtelen, de nem látszik... = + + n }{{ 4} }{{ 8} }{{ 6} > > > Akárhányszor (-nél nagyobb) lehet az összeg. q n = q Pl.: v.0 n Véges az öszeg, mert: S n = n Erre konkrét képletet nem találni, de adjunk rá becslést egy hasonlóval. Ötlet: Helyette n(n + ) = = + 3 }{{} 6 lim S n = n n + = }{{} n= }{{} 0 n(n + ) = n S n = n n(n + ) S n = n(n + ) +... n n + = n + Az első sorozat n + -ik tagja kisebb, mint a második n-edik tagja. (n N) Ha a második sorozat összegéhez hozzáadjuk az első sorozat első tagját, akkor biztosan nagyobb lesz az összeg. Tehát n=. n n k= k n k= Ha a n konvergens lim a n = 0 (nem bizonyítjuk) n(n + ) + = mert q n 0 3 (n + ) n+ 0

17 Fontos: Ha a n és b n konvergens a n + b n is konvergens. a n + b n = n=.. Összehasonlító kritérium: Legyen: 0 a n b n a {, bn konvergens a Ha n konvergens, an divergens b n divergens a n + n= Ezt már használtuk, szereposztás: a n = n ; b n = n(n+) pl.: n konvergens-e? Divergens, mert: n < n? Tudjuk, hogy divergens, n.5 n n Nem bizonyítjuk: Ha a kitevő >, akkor konvergens. n= konvergens. Ez a mocsok meg a kettő közé esik. b n.. Hányados kritérium: Pl.: n n? Tegyünk úgy, mintha ez egy mértani sorozat lenne, ekkor két tagot egymással elosztva megkapjuk a q-t. a n+ a n = (n+) n+ n n = (n + ) n (n + ) = n n+ n n n = (n + ) }{{ n } Legyen a n > 0 sorozat. Ha q <,amelyre igaz, hogy a n+ a n konvergens. a Az is jó, ha lim n+ n a n < q a n konvergens. < q (kellően nagy n esetén) a n.3. Gyök kritérium: pl: n másképp n n n = n n = ( n n) = n lim n a n < a n konvergens Legyen a n > 0 Ha lim n a n > a n divergens lim n a n =? 3

18 Kalkulus Balog Dániel Függvények határértéke pl.: f(x) = x 4 = x 4 x+ = x+ x x x+ Mit csinál f(x), haxközeledik-höz? f(x) = x+ hax + (szakadás + nél) lim x f(x) = 4 Def.: Legyenf R R a R Az f függvény határértéke a pontban A, ha: ε > 0 δ > 0 hogy x (a δ,a+δ) és x a f(x) (A ε,a ε) Egy tetszőlegesa±ε -hoz választoka±δ intervallumot. Ez a logikai sorrend, bár úgy tűnhet hogy nem. Ábrán előbbi kék, utóbbi sárga

19 Jelölés: lim x a f(x) = a vagy lim a x 4 lim x x = 4 x a A határérték független a függvényértéktől Ez kurva fontos, olvassuk el mégegyszer! Pl.: g(x) = lim g(x) x 0 haε δ de a teljes x tengely megfelel ennek. haε < δ ez a limesz nem létezik. Példa: (nem annyira degenerált fajta) f(x) = hax 0;y De nem éri el! x Hax ;y 0 akkor lim f(x) = 0 x f = A vagyf(x) A,x a { +, hax > 0;, hax < 0. Def.: legyenf :R R Az f függvénynek benaahatárértéke, ha ε > 0 K R, hax > K, f(x) (A ε,a+ε) és nem mászik ki a mocsok! pl: lim x x = 0 lim sinx 0 x lim sinx = nem létezik! x Def.: Az f függvénynek benaahatárértéke, ha ε > 0 K R, hax < K, f(x) (A ε,a+ε) lim x 0 x lim x 0 = nem létezik! () x = + Def: Legyenf :R R, legyena R A határérték a ban+ ha K R δ > 0, hogyx (A δ,a+δ) ésx a f(x) > K. Egyoldali határértékek: Def: Legyenf :R Rlegyen a R Az f függvény jobboldali határértéke azaban, ha K R δ > 0, hax (a,a+δ) f(x) > K Jele: limf(x) = + vagy lim f(x) = + a+ x a+ Műveletek, és kivételek ugyanazok mint a sorozatoknál. mint az első, csakx > K helyettx < K Azért kell(), mert különben felváltva ugrálna, között. Ld.:A fölötte lévő

20 Kalkulus Balog Dániel Valós függvények néhány tulajdonsága: f : R R Def.: Egy fr Rfüggvény felülről korlátos, ha x K R f(x) K, korlátos, ha alulról és felülről is korlátos. Def.: egyfr Rmonoton növő, ha bármelyx < x D f f(x ) f(x ). Elemi függvények:.. Hatványfüggvények:: Adottx Rhatványfüggvényf(x) = x m D(f) = {x R,x > 0} m =, x, x 3, x 3, x, x, x. x < 0 nem mindig értelmes pl:, R x az értelmezési tartomány függ m től. m = 4, R+ +{0} 3, R x x x x 3 x

21 Ham > 0 szig mon nő Ham < 0 szig mon csökken.. Exponenciális függvény: Adott egya R +, ésf(x) = a x = exp a (x) exp(x) = e x D(f) =R x 5 5 x (minden érték pozitív)az összes a x függvény alulról korlátos. (R f =R + ).3. Logaritmus függvény log(x) log0(x) Az exponenciális függvény inverze. log a = (exp a ) y-ból x-et keresünk. x = log a y Ez működik, mert exp a injektív, ha a egyértelműen visszakereshető, mert szig mon nő log a csak akkor van értelmezve, ha a > 0;a D(log a ) = {x R;x > 0}, mert R(exp a ) = {y R;y > 0}

22 .4. Trigonometrikus függvények 4 sin(x) cos(x) tan(x) Sin, cos tg, ctg x az ívhossz (el van sumákolva) x ívhosszhoz tartozó függőleges koordináta a sinx a vízszintes acosx tgx = sinx cosx ctgx = cosx sinx.4.. Nevezetes szögek szögfüggvényei: sin =? Ez nehéz. sin π = Ez nem. Kör kerületeπ ezt se bizonygatjuk, ezért π negyede kör sugarának, ezért hozzá tartozó pont: (0,) sinπ = 0; cosπ = Koordinátái:(,0) Egyéb nevezetes: sin π = (Szabályos háromszög) 6 sin π = cos π = 4 4 = (Egyenlőszárú, derékszögű háromszög) Nem tudom a többit, így azokat sorokból fogjuk kiszámolni. 3

23 .4.. Trigonometrikus függvények inverze: Nem kereshető vissza, hogy mennyi volt a sin függvény, mert nem injektív nincs inverze. sin [ π, ( [ π ] már injektív. Ennek az inverze, arcsinx = sin π, ]) π arccosx = (cos [0,π]) arctgx = ( tg [ π, ]) π arcctgx = (ctg [0,π]) De. Hiperbolikus függvények: shx = ex e x e x és e x távolságainak megfelezése. chx = ex +e x thx = shx chx cthx = chx shx.. Hiperbolikus függvények inverze: arsh = sh arch = (ch [0,+ ]) arth = th arcth = cth sem a cos,tgctg 4

24 Kalkulus Balog Dániel Deriválás: f(x+h) f(x) Def.: Legyen f R R f differenciálható(deriválható) egy x R helyen, ha lim és véges. h 0 h Azf deriváltjaxpontban : df dx = f (x) = lim f (x 0 ) = lim (x x 0 ) 0 f(x+h) f(x) h 0 h f(x) (f(x x 0 )) x x 0 x x 0 = h pl.: f(x) = x f x+h x h (x) = lim = lim = h 0 h h 0 h f(x) = x f (x) = lim h 0 (x+h) x h = lim x +hx+h x h 0 h f(x) = x lim h 0 x+h x h h(x+h) = lim = limx+h = x h 0 h h 0 x > 0, lim h 0 x+h x h = x h+x x < 0, lim h 0 h 0+h 0 x = 0, lim h 0 h = Tehát az abszolultértékfüggvény nem deriválható a 0 pontban, de minden más pontban igen. Lehet alim végtelen is, pl: f(x) = 3 x 0 ban.(itt nem is deriválható.) Az érintő vízszintessel bezárt szögének tangense:tgα = f(x+h) f(x) h Fontos további példák kiszámítása: f(x) = e x e f(x) = lim x+h e x h 0 h = e x f(x) = lnx f ln(x+h) lnx (x) = lim h 0 h f(x) = sinx f sin(x+h) sinx (x) = lim h 0 h = x f(x) = cosx f cos(x+h) cosx (x) = lim h 0 h = cosx = sinx = (f +g) =? ( (f+g) f(x+h)+g(x+h) (f(x)g(x)) f(x+h) f(x) (x) = lim = lim h 0 h h 0 h f(x+h) f(x) g(x+h) g(x) = lim + lim = f (x)+g (x) h 0 h h 0 h + g(x+h) g(x) ) = h

25 (f g) =? (f g) f(x+h) g(x+h) f(x) g(x+h)+f(x) g(x+h) f(x) g(x) (x) = lim = h 0 h f(x+h) f(x) lim g(x+h) +f(x) g(x+h) g(x) = f (x) g(x)+f(x) g (x) h 0 }{{ h }}{{}}{{ h } f g(x) (x) g (x) Deriválási szabályok: pl.: h(x) = e x sinx (f ±g) f ±g (c f) c f (f g) f g +f g ( f f g f g ) g g (f g) f (g(x)) g (x) Legyen f(x) = e x és g(x) = sinx h (x) = e x sinx+e x cosx h(x) = ex h (x) = sinx ex sinx ex cosx sin x h(x) = e sinx Legyen: f(x) = e x és g(x) = sin(x)gondold végig mit használnál először számológépen! h (x) = (f g) (x) = e sinx cosx h(x) = +x Legyen (szereposztás)g(x) = +x és f(x) = x h (x) = x = x +x +x HF h(x) = sin(x +) Deriválási táblázat: f(x) f (x) (x n ) n x n x x x e x e x a x a x lna lnx x sinx cosx cosx sinx tgx cos x ctg x sin x arcsin x x arccos x x f(x) x x f (x) x x (+lnx) +x +x arctg x arcctg x shx chx chx shx tanhx ch x cthx sh x arshx +x arch x x arth x arcth x x x

26 Kalkulus Balog Dániel A deriválás három haszna:.. Növekedés, fogyás, szélsőérték Monotonitás (Növekedés, fogyás, szélsőérték) Lényeg: f (x) > 0 A függvény nő f (x) < 0 A függvény csökken f (x) = 0 (lokális) szélsőérték Ez matematikailag kifejezve: f f(x+h) f(x) (x) = lim h 0 h Haf (x) > 0 δ > 0, hogy h < δ( δ < h < δ) f(x+h) f(x) > 0 h 0 < h < δ f(x+h) > f(x) Ha δ < h < 0 f(x+h) < f(x) Ezt lokálisan növőnek nevezzük. A δ függ azx-től (nem lehet túl távol tőle "az a poén ha aδ kicsi") Állítás: Haf (x) > 0 az f függvény az x pontban lokálisan szigorúan nő. Állítás: Haf (x) < 0 az f függvény az x pontban lokálisan szigorúan csökken.

27 Def.: Azf függvénynek azxpontban lokális maximuma van, ha δ > 0; δ < h < δ f(x+h) f(x) Def.: Azf függvénynek azxpontban lokális 3 minimuma van, ha δ > 0; δ < h < δ f(x+h) f(x) 4 A lokális és a globális minimum közötti különbség aδ-ban van. (A globálisnál lehet nagyon nagy is) Állítás: Haf-nekx-ben lokális szélsőértéke van, akkorf (x) = 0 Bizonyítás: Kizárásos alapon. Haf szig mon nő: f (x) > 0 Haf szig mon csökken:f (x) < 0 A kettő kizárja egymást, marad az hogy egyenlő 0, és a szélsőérték. Lehetséges még az, hogy nem lehet ott deriválni. Fontos: Ez fordítva nem igaz! pl: f(x) = x 3 f (0) = 0, de itt nincs szélsőértéke!.. Konvexitás: A konvex síkidom két pontját összekötő bármely egyenest tartalmazza. A függvényeknél a görbe feletti részt tekintjük mérvadónak. "síkidomnak" Def.:Az f függvény az I intervallumon konvex, ha x,x I-re f(x ) és f(x ) pontokat összekötő szakasz a függvény grafikonja felett van. Def.:Az f függvény az I intervallumon konkáv, ha x,x I-re f(x ) és f(x ) pontokat összekötő szakasz a függvény grafikon alatt van. Def.:Haf azxpontban vált konvexitást, akkor azt a pontot inflexiós pontnak nevezzük. Mi köze van ennek a deriváláshoz? Észre lehet venni, hogy konvex részen a szög nő, konkávban csökken. lehet globális is, de az nem biztos! Az x közelében nincs nála nagyobb érték 3 lehet globális is, de az nem biztos! 4 Az x közelében nincs nála kisebb érték

28 Állítás: Haf növekvő az I intervallumon, akkor ottf konvex, ha csökkenő, akkor konkáv. Def.:Legyenf = (f ) ez azf függvény második deriváltja. f > 0 I, f konvexi-ben Állítás: Ha f < 0 I, f konkávi-ben f-nek inflexiós pontja van x-ben f = 0 Biz: f > 0 f nő fkonvex f < 0 f csökken fkonkáv.3. Függvény ábrázolás: Pl.:f(x) = x 3 3x Ezt kéne ábrázolni... f (x) = 3x 3 0 = 3x 3 / +3 3 == 3x / 3 Itt lehet előjelváltás. x = / () x = ± f (x) = 6x 0 = 6x/ 6 x = 0 Itt lehet előjelváltás. (, ) (, 0) 0 (0, +) (+, ) f (x) f (x) f(x) konk. konk. konk. inf. pont konv. konv. konv. A függvény határértéke±, illetve beteg helyeken Most nincs beteg hely Indoklás: x 3 3x = x 3 }{{} ( }{{ x ) } lim x + x3 3x = + lim x x3 3x = 3

29 .4. A függvény grafikonja: f(x) = = 0 Lokális maximum helye: x = Értéke:( ) 3 3 ( ) = Lokális minimum helye: x = + Értéke:() 3 3 () = Inflexiós pont:x = 0 Hol metszi az X tengelyt? 0 = x 3 3x Ennek 0 megoldása. Harmadfokú az egyenlet, szal van még! 3x = x 3 / x 3 = x / () x = ± 3.5 x**3-3*x A "recept" összefoglalva:. f kiszámítása, 0 előjelváltás. f kiszámítása, 0 előjelváltás 3. Ezekből összerakni táblázatot 4. A limesz± és beteg helyeken 5. Függvényértékek, és grafikon 4

30 .5. Egy genya példa: f(x) = x+ x f (x) = x = x / () = x = 0 x = ± f (x) = x 3 Na ez nem lesz nulla. Nem csak a görbület változik meg 0 nál, hanem el is szakad. Táblázat: (, ) (,0) 0 (0,+) (+, ) f (x) x f (x) x Beteg limes: x 0 lim x 0+ = Ábra: 0 x+/x

31 Kalkulus Balog Dániel A deriválás további haszna: Def: Legyenf : R R; f = (f ) ;f (4) = (f ) ;f (k) = (f (k ) ) k N Ezek f többszörös deriváltjai.. Taylor polinom Cél: függvény közelítése polinommal Motiváló példa: f(x) = e x x = 0 körül közelítjük. Legegyszerűbb közelítés: e x Ez egy0-ad fokú polinom. Kicsit pontosabb az érintő egyenes. e x +x Hogyan jött ez ki? f (x) = e x,f (0) = = tgα =meredekség Érintő (egyenes) egyenlete: a + b x = + x }{{}}{{} f(0) f (0) "Keresek olyan elsőfokú polinomot, melyrep(0) = f(0),p (0) = f (0)" Ugyanilyen logikával keresek egy másodfokút: p(x) = c 0 +c x+c x f(x) = e x,f (x) = e x,f (x) = e x p (x) = c +c x p (x) = c Ez még nem az igazi, az eredei elképzelésünk második deriváltja kétszer annyi mint kéne! Nem gond, leoszjuk kettővel. e x +x+ x Eze -re,5-öt ad. f(x) = e x h(x) = +x+ x g(x) = +x

32 f(x) g(x) h(x) Harmadfokú közelítő polinom: p(0) = f(0);p (0) = f (0);p (0) = f (0);p (0) = f (0) p (0) = c = f (0) = p(0) = c = f(0) = p(0) = 6c 3 = f(0) = Tehát: c 0 =,c =,c =,c 3 = 6 e x +x+ x + 6 x3 e,66... Általános megközelítés Legyen f : R R sokszor differenciálható. a R pont körül közelítek. (x=0 helyett x=a-ban) Rögtön n-ed fokú polinomot keresek, melyre: p(a) = f(a),p (a) = f (a),p (a) = f (a),...,p (n) (a) = f (n) (a) Észrevétel: keressük p-t ilyen alakban: p(a) = c 0 +c (x a)+c (x a) +c 3 (x a) 3 + +c n (x a) n p (a) = c +c (x a)+3c 3 (x a) + +nc n (x a) n p (a) = c +6c 3 (x a)+ +n(n )c n (x a) n Észrevehető, hogy a deriválás miatt egy konstans szorzó jön ki. Ezek szerint: Ez így nagyon szimpatikus, legyen belőle tétel! p (n) (a) = n!(c n )

33 .. Taylor-polinom Legyen f : R R n-szer differenciálható -ban. Ekkor egy, és csakis egy T n polinom, amelyre igaz, hogy: T n,a (x) = f(x),t n,a (x) = f (x),...,t n,a(x) (n) = f (n) (x) Ez képlettel is megadható: Ez fontos! T n,a (x) = f(a)+f (a) (x a)+ f (a) (x a) + f (a) (x a 3 ) + + f(a) (a) (x a) n 6 n! Avagy tömörebben: T n,a (x) = n k=0 f (k) (a) k! Például: sin függvény közelítése: Ötödfokú polinommal, a = 0 körül. (x a) k Függvény Érték 0 pontban f(x) = sinx f(0) = 0 f (x) = cosx f (0) = f (x) = sinx f (0) = 0 f (x) = cosx f (0) = f (4) (x) = sinx f (4) (0) = 0 f (5) (x) = cosx f (5) (0) = T 5 (x) = 0+x+ 0 x 6 x ! x4 + 0 x5 = x 6 x3 + 0 x5 Ez így néz ki:.5 T 5 sin(x) Na jó, de mennyire pontos ez a közelítés? 3

34 .3. Taylor formula Langrange maradék taggal Legyen f : R R, ami n + -szer differenciálható. Ekkor x-ben c R a és x között, hogy: f(x) T n (x) = fn+ (c) n+ (x a)n+ Pl. e x közelítésének pontossága: Pl.: x = T 5,0 (x) = +x+ x! + x3 3! + x4 4! + x5 5! e x T 5 (x) = ec 6! x6 c [0;] e c e < 4 ezt már bizonyítottuk... Tehát a különbség kisebb mint 80 Deriválás utolsó haszna:.4. L Hospital szabály: e = ec 70 }{{} 4 70 Képlet a beteg limeszek kiszámítására Alapötlet: f(x) lim x a g(x) = lim f(x) f(a) x a g(x) g(a) = lim f (c ) x a g (c ) = f (x) lim x a g (x) Legyen f,g differenciálható,lim a f = lim a g = 0, vagylim a f = lim a g = ± Ekkor ha lim a f g lim a f g és ezek egyenlőek. pl.: cosx cos3x sinx+3sin3x lim = lim x 0 x x 0 x Lehet olyan, hogy ez se segít... cosx 9cos3x = lim = 8 x 0 c, [a,x] 4

35 Kalkulus Balog Dániel Integrálás Határozott: Riemann integrál Határozatlan: Primitív függvények.. Határozatlan: Def: Legyen f : I R (Intervallum R is lehet) Az F : I R függvény primitív függvénye f -nek, ha F = f Pl.: f(x) = cos (x) F (x) = sin x, de F (x) = sin x + 3 is jó f(x) = e x F (x) = e x + akármi f(x) = x ez gondolkodós... f(x) F (x) = x Ez helyes? Ennek a deriváltja x, ezért le kell osztani az x őt vel. Így a megoldás: x Ez könnyű, de kellően hosszú összetett függvény esetén baj van! Pl: f(x) = x 4 4 x3 Ez sem ellenfél... f(x) = e x x ex Visszaderiválva:= e x + x x ex x EZ NEM JÓ! Nem tudjuk megcsinálni! (más se tudta... ) Egy függvénynek hány primitív függvénye van? Állítás: F, G : I R primitív függvénye f-nek F G =konstans. (nem függ x től) Biz:(F G) = F G = f f = 0 Van olyan tétel: miszerint ha valakinek a deriváltja 0 egy intervallumon, akkor az konstans. (ezért fontos az intervallum... Ha F = f, ezt jelöljük: f = F + c f az f primitív függvénye, vagy határozatlan integrálja. Megjegyz.: A határozatlan integrál nem más, mint a deriválás inverze.

36 A deriválásgépet tudományosabban operátornak hívják.. Inverz akkor van, ha injektív. A deriválás meg nem az... Hiszen (sin +konstans) = cos(x) Ezért tesszük hozzá a +c-t, és le van tudva. Integrálási szabályok. I. (f ± g) = f ± g II. (c f) = c f Fontos: Szorzásra, osztásra kompozícióra nincs szabály. De tényleg... pl: (sin x + e x ) dx = sin xdx + e x dx = cos x + e x + c 3 x + 3 = (x + 3) 3 3 x = ( x) 3 tan x = sin x = ln(cos x) cos x Baj: x + = (x + ) (de ez nem stimmel visszaderiválva!) 3x Integráltáblázat f(x) f(x) ln x x x n e x xn+ n+ e x sin x cos x cos(x) sin x tg x cos x tg x ln(cos x) x x + +x x arcsin x arctg x arsh x arch x. Integrálási módszerek:.. Parciális integrálás: (szorzás-szabály helyett) Ötlet: (f g) = f g + g f / fg = f g + g f Parciális integrálás: (f g) = fg (fg ) pl.:

37 ( x }{{} g(x) }{{} e x f (x) )dx = e x x e x dx = e x x e x + c Ell:(e x x e x ) = e x x + e x e x = e x x x }{{} g(x) sin }{{} x = x cos x cos x = x cos x + sin x + c f (x) Ell: ( x cos x + sin x = cos x + x sin x + cos x Cseles: ln x = }{{} f }{{} ln x = x ln x x = x ln x x + c x g Ell: (x ln x x) = ln x + x x = ln x +.. Helyettesítéses integrálás: (kompozíció-szabály helyett) Legyen F = f (F (ϕ(x))) = F (ϕ(x)) ϕ (x) / (F ϕ) F (ϕ(x))dx = f(ϕ(x)) ϕ (x)dx Pl: e x e x + dx ϕ(x) = e x + e x + }{{} F (ϕ(x)) e x }{{} ϕ (x) f(y) = y = ln(e x + ) +c }{{} F (ϕ(x)) F (y) = ln y Ilyen az tg x = sin x cos x Mert a szinusz a koszinusz deriváltja. Általánosítva: ϕ (x) ϕ(x) = ln(ϕ(x)) Úgyszint hasznos: f(y) = y α = (ϕ(x)) α ϕ (x) = (ϕ(x))α+ α+ pl: x x + = ϕ(x) = x + ; α = x x + = (x +) 3 Recept: e x dx e x + Behelyettesítés: e x = u x = ln u Deriváljuk mindkét oldalt u szerint! dx = du u/ du dx = du u 3 3

38 Tehát: Visszahelyettesítve: ln u + = ln e x + e x e x + dx = u u + u du = du = ln u + u + Nehéz példa: x dx = a függvény [, ] intervallumban van értelmezve! x = sin u u = arcsin x dx = cos u du dx = du cos u cos u cos u du cos u cos u du Az intervallum miatt: cos u = cos u cos u du Kis elmélkedés: cos u sin u = cos u cos u = cos u cos u = + cos u ( + cos u)du = u + 4 arcsin x + x cos u + c arcsin x + x x + c sin u + c 4

39 Kalkulus Balog Dániel Határozott integrál Legyen a,b R;a < b Legyen f[a, b] R korlátos Cél: Terület definiálása. Megadunk egy felosztást[a, b]-ban x 0 = a < x < x < < x n = b Lényeg: A függvénygörbét téglalappal közelíteni. De hol legyen a teteje? Riemann: mindegy hol van legyenξ [x i,x i ];x N n A téglalap teteje:f(ξ)-nál van. A terület Riemann féle közelítő összege: σ = f(ξ )(x x 0 )+f(ξ )(x x )+ +f(ξ n )(x n x n ) A téglalapok területeinek összege σ = n f(ξ i )(x i x i ) i=

40 Sűrítsük az x...x n felosztást, és nézzük meg mit csinál σ. Def: Az f függvényt az [a, b] intervallumon Riemann integrálhatónak nevezzük, ha a felosztás sűrítésével a σ valamihez közelít, amihez közelít, azt b a f-nek nevezzük. Pontosabban: Az f függvényt az[a, b] intervallumon Riemann integrálható, ha I R szám, hogy ε > 0-hoz δ > 0, hax i x i < δ i-re, akkor ξ }{{} i választásával σ I < ε elég sűrű felosztás Sajnos a kiszámítás ezzel a definícióval nagyon hosszadalmas. Egy könnyű példa: 3 f(x) = c konstans függvény σ = c b a 3 Szimbolika: σ helyett: f(ξ i ) x i I helyett: lim f(ξi ) x i x i 0 }{{} Másfajta limesz! Szabályok, amiket be lehet bizonyítani: Állítás: legyen f, g[a, b] R Riemann integrálható... b (f ±g) = b f ± b a a a b a c f) = c b a g f c R 3. Haf g b a f b a g Kérdés: Hogyan { dönthető el egy függvényről, hogy Riemann-integrálható-e? ha, x Q pl.:f(x) = 0 ha, x / Q Ez nem Riemann integrálható:

41 Ugrál aσ aξ-től függően Nem leszi amihez közelít Tétel: Haf folytonos, akkor Riemann-integrálható! Def: f : R R egy x 0 pontban folytonos, ha ε > 0 δ > 0: x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε Mese a területről: Szép halmaz területe egyértelmű sokszögnek van területe kiszámítható, hiszen háromszögekre bonthatjuk. Van olyan halmaz, aminek nincs területe: mértékelmélet.. Integrál kiszámítása Newton-Leibniz formulával A hatátozott és a határozatlan integrál kapcsolata Van egyszer T(x) = x f a b a f(x) és az f(x) Állítás: T = f, haf folyamatos függvény. Biz: T(x+h T(x)) Kell: lim = f(x) h 0 h ( x+h ) x f f = h a a ( x+h ) f = h f(c h ) h x Létezik olyanc h amix < c h < x+h lim h 0 f(c h) = f(x) Ahogy összenyomom a téglalapot,f(c h ) f(x)ld. ábra sumák... 3

42 ... Newton-Leibniz tétel: Legyen f : [a,b] R folytonos, legyenf : [a,b] R függvénye (azaz f = f) Ekkor b a f = F(b) F(a) Biz: Tudjuk hogyt = f c szám F = T +c (csak konstansban térnek el)f(a) = T(a) +c }{{} 0 b f = T(b) = F(b) c = F(b) F(a) Mostantól recept (ész nélkül) a f(x) = x ;a = 0;b = 0 0 x dx Mi af? Ez a kihívás! Jelen esetben: F(x) = x3 ha van plussz konstans, akkor az kiesik, szal minek kiírni? 3 [ ] Jelölés: x x dx = 3 = 3 03 = f(x) = sinx;a = 0;b = π π sinxdx = F(x) = cosx [ cosx] π 0 = cosπ ( cos0) = + =.. Határozott Parciális integrál: f g = f g f g b a pl: f g = [fg] b b a a f g 4

43 }{{} x }{{} e x = [ e x x] 0 e x dx = e 0+ e x dx = e +[ e x ] 0 = 0 g f 0 0 e e +e 0 = e.3. Határozott helyettesítéses integrál: F(ϕ(x)) = f(ϕ(x)) ϕ (x) AholF = f Ez határokkal: b a f(ϕ(x)) ϕ (x)dx = F(ϕ(b)) F(ϕ(a)) pl: a kör területe: A szinezett rész területe: r x T = r r r x dx x = r sinu dx du = r cosu Most jön az újdonság: hax [ r,r], akkoru? u [ π, π] π π T = r r sin u rcosu du = r cos u du π cos F je:cos = cosu+ π T = r π π r [sinu+ cos u+du ]π π = r [ π π ] = r π 5