Heloszlás háromszögelt síkrészen

Átírás

1 Heoszás háromszöget sírészen Mós Bánt és Zsombor Vmos Koozsár Msza Egetem Automatzáás és Számítógépe ar május Konat. Objetum orentát mpentácót és eméet eszözöet adun több NURBS görbe segítségée meghatározott sírészen értemezett d"függeten h"forrás néü h"eoszás egenet numerus megodására. Eg Deauna tuajdonságra aapuó háromszögeéses módszerre generáun jó mn"ség* éges eem feosztást az értemezés tartománra. A tartománon értemezett függéne terét neárs spne-o segítségée dszretzáju éges etortérré amne dmenzóját a feosztás határozza meg. A megodandó egenet függénében számoju azoat a saároat amee meghatározzá a éges tér azon függénét ame a egözeebb á a megodáshoz. Kucsszaa: NURBS görbe Deauna háromszögeés Deauna fnomítás agortmus éges eem módszer neárs háromszög mere mátr

2 Tartaomjegzé. Beezet.... NURBS görbé Mért? Görbé Fotonosság Kontro ponto Bázs függéne Knot-o Bázs függéne defnáása Knot-o és sara Raconás görbé..... Kterjesztése..... Adatstrutúrá..... Krajzoás Véges eem módszer A éges eem módszer átaános megfogamazása A éges eem módszer aamazása a síbe heoszás egenetére Bázs függéne - dszretzácó Integráás A mere mátro összeonása eg gobás egenetrendszerré Dszretzáás hbá Adatstrutúra és mpementácó Kterjesztése Feosztás Beezet a éges eem feosztáso generáásába A feadat megfogamazása és a megodás Ponthamaz Deauna háromszögeése Kötött Deauna háromszögeés Pogonás tartomán Deauna háromszögeése Deauna fnomítás agortmus Impementácó és adatstrutúrá Fejesztés ehetsége módosításo Köeteztetése...33 Könészet... 34

3 . Beezet A fza szmuácó során nagon garan szüséges parcás dfferencá egenete megodása. Az anatus módszeree értemezés tartomántó ag aár magátó az egenett" függ"en nehézesen ag aár egátaán nem ehet ezeet megodan. Mérnö szempontbó garan eégít"e a megözeít" numerus módszere megodása ha erögzíthet" eg oan hbaorát ameet a módszer hbá nem haadna meg. Parcás dfferencá egenete megodására aamazott numerus módszere: Véges üönbsége módszere Fnte Dfference Method szonag egszer* és gors módszer de nem megfee"en febs am matt épteen bonout értemezés tartománoat ezen Véges eeme módszere Fnte Eement Method A gaorat aamazásoban a egnagobb népszer*ségne örend mert bonout tartománora s épes onergens megodást nújtan. A módszerhez szüséges az értemezés tartomán egszer* eemere aó feosztása éges eeme. Határeem módszere Boundar Eement Method Ez a módszer s feosztáson aapsz. Ebben az esetben csa a határfeüetet szüséges feosztan s ezért gorsabb de csa sajátos eseteben hasznáható. Kooácós módszer Coocaton Method A többee eentétben tt nem szüséges az értemezés tartomán feosztása. Új még nem tejesen rstáosodott módszer me a gaoratban sem terjedt még e. Eg d"függeten h"forrás néü h"eoszás egenetet numerus megodását tanumánozzu dogozatun során. Eg objetum orentát mpentácót adun az aábbaban bemutatott eméet eszözö fehasznáásáa. A megodandó egenetet eg tetsz"eges aaú one sítartománon értemezzü. Ezt a tartománt NURBS Non Unform Ratona B-Spnes görbé határojá. Azért áasztottu ezt a eírás formát mert eg sor reprezentatí pont segítségée nag ontroun an eg görbe/feüet föött amee mnden formát tudun mímen. Más e"ne hog értéeése ponomás és egszer*en tudju ontroáható észámú pogonná aaítan. Az íg apott pogonás tartomán háromszögeését ét épésben aósítju meg. E"ször a generáju a ötött Deauna háromszögeést ezután ezt a Deauna fnomítás agortmus segítségée aaítju jó mn"ség* éges eem feosztássá. Az íg apott háromszögeés garantája hog mndeg háromszög mnmá szöge nagobb a fehasznáó áta meghatározott érténé ez ma fo. Eze a fetéte szüséges az átaun hasznát éges eem módszer m*ödéséhez. A öetez" épése a egd"génesebbe mert nagon so számoássa járna. A generát háromszögeen értemezün bázsfüggéneet s toább feadatént a bázsfüggénehez tartozó onstansoat eressün. Eze a onstanso eg oan függént határozna meg ebben a térben ame a egjobban özeít meg egenetün megodását. M neárs spne bázsfüggénee dogozun mert az génet számoáso efogadható d"n beü eégezhet"e.

4 3 A számítógépes fza szmuácó a öetez" foamatábrát öet: Dogozatun a öetez" módon aósítja meg a fent emített foamatot: A CAD sstem a m esetünben eg oan grafus nterfész ame segítségée meg tudun határozn eg értemezés tartománt. Ez esz a rendszer bemenete. A mesh generator a fent meghatározott tartománt fogja feosztan megfee" háromszögere éges eemere. A probéma természetéb" adódóan rendszerünne. nncs szüsége anag és adat defnícóra A soer program a fent emített éges eem módszert aamazza. A zuazácó színsáa segítségée ábrázoja az eredmént.

5 4. NURBS görbé.. Mért? Enne a fejezetne az a céja hog eg fajta beezetést nújtson a NURBS nonunform ratona B-spnes görbé ágába. Átaában mnden grafus rajzoó csomag a bonout domo megrajzoását egszer* görbé segítségée grafa prmtíe eze összeraásáa tesz ehet"é. Ien prmtíe özé tartoz pédáu a szaasz ame a ét égpontja áta an meghatároza ag a háromszög ameet a három csúcsa defná és íg toább. Ezene a febontása és aaja nem függ a hezetüt" ezért égrehajthatun rajtu egszer* grafa m*eeteet: forgatás sugaras nagítás ag párhuzamos etoás. Ezeet a grafa prmtíeet hasznáhatju hog defnájun bonoutabb objetumoat mnt pédáu eg focabdát de természetesen eg sor matemata tuajdonságna agun tée: ha eg számban onstans szaaszsorozatta özeítün meg eg ört forgatás során módosu az aaja nagítás során meg módosu a febontása. Itt jön be a NURBS görbéne az e"ne: ehet"é tesz hog ábrázojun eü tetsz"eges formáat fenntarta eg matemata pontosságot és febontás-függeten tuajdonságot. A hasznos tuajdonsága özü néhán: mnden eépzehet" formát tudna ábrázon mímen: ponttó eezde az egenes szaaszo és soszög onaon eresztü a úpszeeteg ör epszs paraboa hperboa ete a tetsz"eges formájú szabad onaag nagszer* ezehet"séget nújt a görbe átoztatásában eg ontropont etor és eg ú.n. not etor áta; dret módon tudju átoztatn a fnomságát. görbüetét épese ábrázon nagon bonout formáat jeent"sen eés adatta; p. ha szeretnén eg 3 cm átmér"j* ört rajzon ameet szaaszoa özeítün szüség an több ezer szaaszra ameene a ezd"pontjat. égpontjat mnd e e táronun hog eg örne nézzen ne eg soszögne; uganezt a ört NURBS-a defnáa eég etáron hét ontro pontot és not-ot.. Görbé Mnt tudju három smert mód an arra hog eírjun eg görbét függéne segítségée: epct függénne mpct függénne. parametrus formában. Azt s tudju hog eze özü a parametrus függéne a egfebsebbe és épese eírn a egtöbb görbét. Átaában Qt {Xt Yt} aaúa aho XXt és YYt t-ne függéne. t eg adott értéére az Xt megfeetet eg -et az Yt pedg eg -t az számpár eg pont a görbén.

6 5.3. Fotonosság Tentsü a görbéhez húzott érnt" ránát bárme pontban. Ezeet számohatju a görbét meghatározó függéne es"rend* derátjabó: Q t Pédáu az.ábrán a ta-na megfee" pont a görbén: QtA az érnt" pedg Q ta. Ha az érnt" nem átoztat hrteen ránt aor azt mondju hog a görbe C tuajdonságú. Pontosabban: fotonos és az es"rend* derátja s fotonos. Az ábrán é" görbéne nncs meg ez a tuajdonsága a tb-ne megfee" pontban.. ábra Ha a függénne a másodrend* derátja s fotonos aor azt mondju hog C tuajdonságú. Ez a görbüetet határozza meg de err" majd és"bb..4. Kontro ponto Eg ucs-tuajdonsága a NURBS görbéne az hog a formájuat aajuat eg éges ponthamaz eemene hezete határozza meg. Eze az ú.n. ontro ponto a. ábrán B -e.. anna jeöe: A ontro ponto mozgatása az ábrán átható módon befoásoja a görbét a B 7 pontot húztu eg cst jobbra. Megjegezzü hog a görbéne csa eg nagon cs része A. ábra

7 6 A ontro ponto mozgatása az ábrán átható módon befoásoja a görbét a B 7 pontot húztu eg cst jobbra. Megjegezzü hog a görbéne csa eg nagon cs része átozott meg az áta hog eg ontro pontot emozgattun. Ez eg nagon fontos tuajdonság pédáu a Bezer görbére ez nem jeemz" ugans ehet"é tesz hog oazát átoztatásoat égezzün a görbén anéü hog befoásoju a görbe több részét. Intutíen íg tudnán ezt matemata formában fejezn: n Q t B N t Az N t függéne fejez hog eg adott B ontro pont men mértében befoásoja a görbe átozását bárme t-ben..5. Bázs függéne Az N t függéneet neezzü bázs függénene. Tuajdonéppen a B-spne megneezésb" a B a bass-b" ags bázs jön. Az értée eg en függénne eg pontban eg aós szám mnt pédáu 5 íg a öetez" módon defnáód eg görbén é" Qt pont értée: mondju 5% az eg ontro pont hezeténe pusz 5% eg más ontro pont hezeténe pusz 5% eg harmadéna. Hog tejes egen a NURBS egenetün még meg e határoznun a ontro ponto mndegéhez tartozó bázsfüggént. Még emészün hog eg cé az hog mndeg ontro pontna oás hatása egen a görbére. Léén hog a görbénet parametrusan defnátu amíg t átoz eg bzonos [ab] nteraumban enne a átozásna megfee a görbéne eg része a Qt áta. Tegü fe hog a tejes görbe t. és t. özött átoz. Íg eg görbe-rész ehet pédáu t3.3 és t7.5 özött ameen a B ontro pont befoásoja a görbét és ez a hatás t5-ben özpontosu. A 3.ábra eg pédát mutat arra hog nézhet eg bázsfüggén: a egnagobb hatása a görbére t3.-ban an amor ez b. 95% és az egész görbe átozását csa t. és t6. özött befoásoja: 3.ábra t

8 7 Megjegezzü hog a függén eg Gauss harang. Mndeg ontro ponthoz tartoz eg bázsfüggén íg pédáu eg NURBS görbe ameet öt ontro pont határoz meg an öt bázs függéne. Mndeg eg adott t nteraumot taar. A 4.ábrán pédáu t.3-ban a B pont hatása a görbére. a B ponté.7 és a B é.5. 4.ábra Egenetes bázs függéne.6. Knot-o Láttu hog mndeg bázs függénne uganaz az aaja és uganoan hosszúságú t nteraumot taar. Ha megátoztatju ezene az nteraumona a hosszát aor eges ontro ponto a görbéne nagobb részét fogjá befoáson míg máso sebb részét. A NU a NURBS rödítésben a nonunform-bó jön nem egenetes. A megodás az hog defnáun eg pontetort ame részere osztja azt az nteraumot ameben t átoz az egész görbe eírása során. A 4.ábrán átható bázsfüggéne a öetez" not-etoron anna defnáa: { } ez eg egenetes not-etor. Az 5.ábrán átun pédát eg NURBS görbére ameet en not-etoron értemezett bázsfüggénee és a B..4 ontro ponto segítségée apun: 5.ábra NURBS görbe egenetes not-etorra

9 8 Ha megátoztatju a not-etort { }-re aor a bázs függéne a 6.ábrán átható módon fogna nézn és ha uganazoat a ontro pontoat hasznáju mnt az 5.ábrán aor a görbe 7.ábrán átható átozásoat fogja szenedn: 6.ábra 7.ábra NURBS görbe egenetes not-etorra.7. Bázs függéne defnáása Eértün ahhoz a panathoz hog megadju a NURBS görbé tejes defnícóját az áta hog defnáju a bázsfüggéneet. Tuajdonéppen aármen neársan függeten függénhamazt hasznáhatnán de neün oanora an szüség amee áta a fenn ért tuajdonságo eégüne. Puszba még be jön az d" ame aatt eg függén eauáód. Cészer*e a ponomás függéne mert önn* "et értéen és jóa gorsabban menne mnt pédáu a trgonometrus bázs függéne etorána értéeése. A defnícó a öetez": N N ha t < t másépp t N t t t N t aho a onenconás jeöés a -d not-ra a not-etor-bó. a bázs függén rendje order és ez szernt reurzían an feépíte. Ha a egnagobb rend* bázs függén rendje n a ne megfee" NURBS görbét n-ed rendne ag n-ed foúna híju. Természetesen eze a függéne rendeezne eg raás tuajdonságga ameet önö mnd megtaána a An Introducton to Spnes for Use n Computer Graphcs and Geometrc Modeng cím* önben. Itt én most fesoroo néhánat eze a tuajdonságo özü amee özetenü öt"dne enne a dogozatna

10 9 a témájához ete amee fgeembe étee néü épteenség mpementán eg oan grafus nterfészt ame NURBS görbée dogoz: n bárme t-re fenná: N t ha n ontro pont határozza meg a görbét ha mnden ontro pont súa poztí aor a görbe benne an a ontro ponto áta meghatározott ponthamaz one tartománában one ombnácó bárme t-re nem több mnt bázs függén befoásoja a görbét ags értée zérótó üönböz" bárme -ad rend* görbe esetében pontosan darab bázs függén eauáód zérótó üönböz"re. Ez utóbb tuajdonság eméet fontosságú a gaoratban többnre neárs adrus. ubus NURBS-oat hasznána. 3-ad foúa ugans eze eégé febse majdnem mnden fotonos feüetet meg ehet eü özeíten és megfee"en gorsan értéehet"e..8. Knot-o és sara Itt meg e jegeznün hog nem egenetes not etor fontossága nem annra a görbe formájána módosításában an hanem a öetez"ben: ehet"séget nújt hog a görbét átezessü bzonos ontropontoon tudju ontroán a görbe fotonosságát -> tudju ezt csúcsosítan Mnd ett"t az áta tudju eérn hog eg pár pontot egbees"ne áasztun a notetorbó. Pédáu a { } not-etoron értemezett 3-ad rend* spne bázsfüggéne és az eze. eg 5 pontbó áó ontro pont etor etor áta meghatározott görbe a öetez"éppen néz : 8.ábra 9.ábra Észreesszü hog a görbe áthaad az es" ontro ponton mert t-ban az összes bázs függén értée éte az N 3 -na íg a B pont az egeten ame ontroája a görbét am áta a görbe áthaad ezen a ponton. Hasonó hezette áun szemben

11 amor a not-etor özepébe megsoszorozun eg not-ot. A görbe csúcsos esz eg pontban az áta hog énteen áthaadn eg ontro ponton..9. Raconás görbé Eddg áttu hogan m*ödne a ontro ponto not-o és a bázs függéne tehát áttu a NUBS nonunform B-spne részét a NURBS rödítésne. Még hánz az R ame a ratona raconás megneezésb" jön. Az ötet az hog súozzu a ontro pontoat: mndeg ponthoz hozzá rendeün eg sút weght ame eg poztí aós szám. A görbé ameeet eddg áttun eg oan sajátos esetet épezte amor mndeg pont súa pontosan am azt jeent hog mndeg ontro pont hasonó mértében befoásoja a görbe átozásána a rá es" részét..ábra A.ábrán áthatju hogan befoásoja a görbe átozását eg ontro pont ha enne súát és özé es"ne ete fööttne áasztju. Észreesszü hog mné nagobb eg pont súa w > a görbe anná özeebb haad e a ontro pont meett és mné sebb ez <w < a görbe anná táoabb haad e a pont meett. Matemataag ez íg fejezhet" : Q n t n B w N t aho n a ontro ponto számát a görbe rendjét B az w N t -d ontro pontot w az -d ontro pont súát és N t az -d bázs függént jeent. Ha ezt a fejezést értéejü eg t-re a Qt{XtYt} megfeetet ne eg pontot a görbér".

12 .. Kterjesztése Eddg csa a síbe NURBS görbér" beszétün tt pedg fogju átn hog nagon egszer*en át tudun térn a térbe NURBS görbére ete a NURBS feüetere. Eze s hasonó tuajdonságoa rendeezne mnt a síbe görbé. térbe NURBS -ad rend* görbe n darab ontro pontta: Q t { X t Y t Z t} B { z w } n Q t n n B w N w N t t pq-ad rend* NURBS feüet m*n darab ontro pontta: aho N p és j q S u m n N p j m n j N u N p j q u N w j q j w B N a bázs függéne B j a ontro ponto és w j j j ezene a súa... Adatstrutúrá Ahhoz hog önnebben és áttenthet"bben tudjun dogozn en görbée szüség an eg fajta adatstrutúrára ameet áthatun az aábbaban eze a síbe NURBS görbére anna defnáa térbe görbére ag feüetere hasonó adatstrutúrát hasznáun. A módosításoat a fent összefüggése értemében e tegü. cass contropont { doube ; //az oordnáta doube ; //az oordnáta doube w; //a pont súa } cass NURBScure { nt order; //a görbe rendje nt numponts; //a ontro ponto száma contropont[] controponts; //ontro pont etor doube[] nots; //not etor AtrbuteSet cureatrbutes; //atrbutumo p. szín } Eg pár dogot nem szabad efeejtsün am az átaun adott mpementácót et:

13 a görbe rendje és 6 özött e egen. A rend* görbe tuajdonéppen eg pogonás ona ame összeöt a ontro pontoat. Föür" azért orátoztu a rendet 6-ra mert azt jeent hog bárme t-re 6 darab t-ben 5-öd foú ponomot e értéenün ame már ezd eég assan menn a w sú bárme pont esetén eg poztí aós szám e egen a ontro ponto száma nagobb ag egen" e egen a görbe rendjéné a not-o száma egen" a ontro ponto száma pusz a görbe rendje a not etor eg nöe" aós sorozat e egen ha a görbe rendje nem szabad a not etorban több mnt - egen" eem öesse egmást.. Krajzoás Ez nagon egszer*: az ötet az hog bejárju a not etort eg e"re meghatározott épésszámma ezeben a pontoban értéejü a görbét megadó függéneet. Az íg apott ponto bztos a görbén anna. Ha az egmás után pontoat eg-eg szaassza összeötjü íg eg pogonás onaat apun. Ha megfee"en nag a épésszám ags ha a értéeend" pontoat t-et nagon öze esszü egmáshoz aor a pogonás ona fog tartan a görbéhez. M úg odtu meg a rajzoást hog an eg áítható átozó: render ame eg poztí egész szám és a görbe egenetét a not etor mnden egmás után pontja özött render-n egmástó egen" táoságra é" pontban értéejü. not[-] not[] not[] not[ ] not[ ] t render Fgeembe e ennün azt s hog a görbét eg atódcsöes épern"re rajzoju amene a febontása mtát íg enné nagobb febontást a görbe esetében épteene agun megfgen. A görbe jó meghatározott a ontro ponto és a not etor áta ameet eég ha etároun most hog mennre pontosan rajzoju ezt az már t"ün függ. Ha mnden t-re t aós szám a not etorbó értéenén az egenetet aor megapnán a pontos görbét. A pontos megrajzoás a jeen esetben eméet jeeg* ugans e dogozat eretében a NURBS görbé azt a cét szogájá hog febsen defnáhassun eg értemezés tartománt ameet önnen tudun módosítan eg szóa jó ontroun an a görbé föött. Ezen a tartománon értemezett étátozós függéne özü a eressü azt ame eégít eg Lapace egenetét. Ezt a függént éges eem módszerre eressü ame értemében ezt a tartománt fe e bontanun cs egszer* eemere: háromszögere. A febontás eredméneént eg pogonás doménumot apun eg ú.n. egenes é sí gráfot. Tehát a háromszögeés során a tartomán határonaa ameet a görbé éne meghatározzana átaauna egeg pogonás onaá. Léén hog az egenet megodása a cé a jeen esetben íg nagobb hangsú es a háromszögeésre ete a megodás módszerre ezért nncs érteme nagon pontos febontásoa dogozzun a görbe esetében. t

14 3 3. Véges eem módszer 3.. A Véges eem módszer átaános megfogamazása Legen V eg Hbert tér.. saár szorzatta és normáa. Tentsü az a.. a : V V R L : V R bneárs formát és az neárs formát a öetez" u a u u L u fetétee meett: a szmmetrus a fotonos mndét átozóban ags étez > a u a V - eptus ags étez > a u L u V V. u V a L fotonos ags > úg hog úg hog úg hog Tentjü a öetez" mnmum ete araconás probémá megfogamazását az eptus esetre: M Határozzu meg azt az u V és F u mn V F aho V Határozzu meg azt az u V a u L V. - t amerefenná: F a u L - t amerefenná: Téte: a ét probéma: M és V eaens étez eg és csa eg eégít a ét probémát a öetez" stabtássa: u. u V ame Toábbá tentsü a V-ne eg éges dmenzójú V h a-terét és ebben eg bázst: { e e e3... em } e Vh. Íg V h bó bárme etor feírható a öetez" formában: M c e aho c R. Enne értemében megfogamazhatju az M ete V probémáat dszrét formában: M h Határozzu meg azt az uh Vh -t amere fenná F uh F Vh;

15 4 V h Határozzu meg azt az uh Vh -t amere fenná a uh L Vh; Vegü a dszrét araconás probémát Keressü meg azt az összefüggést. h h -re aho M : e u V -t ame eégít az a u e L e M Hasznáa u h fejezését a bázs segítségée h u h M c e aho c R a fent reácóbó öetez: a u h e L e M c a e e j a L e j M c e e j M j L e j ags A c B M M aho c c R b b R b L e - e és A a a a e e. j j j Tuajdonság: Az A mere mátr szmmetrus és poztían meghatározott. Téte: Legen u V a V probéma megodása és uh Vh a V h dszretzát probéma megodása aho h VV. A öetez" a dszretzáás matt femerü" hba-esztmácó: u u h u V. h 3.. Véges eem módszer aamazása a síbe h9eoszás egenetére Tentsü a étdmenzós d"ben naráns és h"forrás néü h"eoszás egenetét ameet a öetez" parcás dfferencá egenetet fejez : u u aho és az ete tenge ment h"dffúzós egüttható. Ha ez a

16 5 $ $ u aaban írható fe ameben ha síban áandó aor a Lapace egenetéhez jutun: $ u. M a egenet megodását eressü az " tartománon a # -n szabott határ fetéteee. Határfetétee: # Tartomán: " Tentsü a egenetne megfee" súozott ntegrá egenetet: % " $ $ u wd" 3 A Gauss-Green formua értemében: % " u $ $ u wd" % $ u $ wd" % wd# 4 n " A 4 reácót beheettesíte a 3 összefüggésbe a egenet eaens formáját apju: % " u $ u $ wd" % wd# 5 n A baoda ntegráandót a öetez"éppen írju át: # # u $ u $ w w u & w & & j & j 6 aho u ' n un és w ' m ahog fenn áttu ' n - bázsfüggéne.

17 6 A & ténez"et a öetez" módon számoju: * - * - & & & & & & & & & & & & Bázs függéne dszretzácó Legen I " " U a tartomán eg háromszögeése. Vegün eg " háromszöget amene csúcsa: 3. Tentsü a d poztí egész számot. A d j P j j j ] [ ] [ ] [ pontoat Bezer doménum pontona híju és a öetez" módon defnáju:.... d j d j j j 3 ] [ 3 ] [ Jeöjü } { [] d P j D az összes doménum pont hamazát amene számossága: T d E d V D M d aho V a csúcso számát E az ée számát és T a háromszöge számát jeö. Feetessün meg mnden en doménum pontna eg aós számot: ] [ ] [ R : j j d P c D c /. Defnáun mnden háromszögön eg-eg barcentrus oordnáta rendszert: és eg függént: j j j d c S 3 ] [ ] [. Íg eg M dmenzójú d-ed rend* spne tért aptun aho M éges am segítségée serüt síban dszretzán a " -n értemezett függéne terét.

18 7 Ebben a térben fogju eresn a egenet megodását am eg ] [ S u " 7 aaú függén esz. Meg e tehát határoznun a [ ] j c onstansoat Integráás M neárs bázs függéneet hasznátun a dszretzááshoz az mpementáás során d. Íg a dszretzát térne a dmenzója megegez a csúcso számáa. A csúcso hamaza épez ebben az esetben a doménum ponto hamazát. Mndeg csúcshoz hozzá an rendee eg-eg aós szám: V u V één a csúcso száma ameene a meghatározását fogju öetn az aábbaban. Ebben az esetben u a öetez"éppen néz mndeg háromszögön: 3 u u u u q p ' ' ' aho u p u q u az " háromszög p ete q csúcsana megfee" aós számo 3 3 ezene a oordnátá és [ ] [ ] [ ] & & ' & ' & ' a fent jeöése értemében. Tehát 5 egenetb" apju a % % # " # d n u u m m n m n n ' ' ' ' ' reácót ame meghatározza a mere mátroteement stffness matr: A mn.

19 8 - * 3 3 Pédáu A et íg számoju: A Terüet aho Terüet a háromszög terüetét jeent A mere mátro összeonása eg gobás egenetrendszerré Eddg amnt áttu mndent reduátun eg háromszögecsére. Most tt az deje hog ezeet összeraju: azo a háromszöge amee szomszédosa éet osztana meg egmássa a mere mátrana a megfee" eemet összeadju. Íg apun eg V egenetb" áó egenetrendszert ameben az smeretene u V V a csúcso száma. Enne a rendszerne a mátra mnt fenn áttu szmmetrus és ha az eeme száma nag aor ez eg rta mátr. A rendszerre aamazzu a határfetéteeet ame reduája enne rendjét. A megodásbó apott onstansoat u V sszaheettesítjü a 7 összefüggésbe és megaptu a eresett függént ame eégít a ért egenetet Dszretzáás hbá Tentsü a " tartománon értemezett függéne terén az egenetes I táoságot dst f g ma f g. Toábbá tentsü " U " eg háromszögeését és " az ez segítségée értemezett d ed rend* éges spne teret S d. Igaz a öetez" összefüggés: d d c R poztí aós szám ú.h. dst f S c h D f aho h ma " jn j háromszög átméröje 99-ben Schumaer beátott eg oan összefüggést ameben a özeítés pontosságát a háromszöge mnmum szögéne függénében adja meg. Enne értemében mné nagobb a mnmum szög anná pontosabb a özeítés. A dogozatban szerep" háromszögeés módszer ezt a cét öet ags hog mamzája a mnmum szöget Adatstrutúra és mpementácó A öetez" adatstrutúráat hasznátu a csúcsora éere ete háromszögere: cass Node { Pont oordnata; d } /* numerus nformácó */ doube a b ; cass Edge {

20 9 Node n nj; Eement epos eneg; } /* numerus nformácó */ doube aj aj; cass Eement { Node[3] node; Edge[3] edge; } /* numerus nformácó */ doube[3][3] stffnessmatr; A rendszert úg építjü fe hog bejárju az éeet és a numerus nformácóat eg új mátrba írju át. A rendszer megodását három módon s mpementátu: - Gauss emnácóa - Choes fatorzácóa - Gauss-Sede teratí úton. A megodást háromszögenént rajzoju színeben ábrázoa az értéeet Kterjesztése E dogozat eretén beü amnt fenn áttu neárs spne bázs függénee dszretzátun ameee szonag önn* ot dogozn één hog a parcás deráta mnd onstansna jötte íg a 33-as mere mátr formáját ézze tudtu számon a háromszög csúcsna oordnátá függénében. Íg a program szonag gorsan fut. Ha áttérnén másodfoú bázs függénere a mere mátr 66- os enne ameben az eemeet már numerus adratúráa éne számon. Ez a futás d"t jeent"sen megnöené de szont a pontosság s n"ne. Be an áta hog étezne oan egenete ameere az tt átott özeít" megodás nem eégít" még harmadfoú bázso áasztásáa sem. Három dmenzós térbe tartománora aó áttérés szonag önnen menne: újra e defnánun a barcentrus oordnáta rendszert ameeet már tetraéderere értemeznén bejönne eg pusz adatstrutúra: a ap. A gobás egenetrendszer összeraását eze aapján tennén. A több nagjábó uganaz maradna.

21 4. Feosztás 4.. Beezet9 a éges eem feosztáso generáásába Amnt áttu numerus megodáso soszor dszretzáásra aapozna íg történ a m esetünben s. Eg fotonos tartománt éges számú s eem -re osztju fe. Síban négszög* ag háromszög* eemere térben heahedronora ag tetraéderere. Ezt a dszretzáást neezzü éges eem feosztásna. A éges eem feosztás generáásában három f" ránzat aaut : a struturát structured a nem-struturát unstructured és a hbrd bo-struturát bostructured feosztás. Ez utóbb az es" ett"ne a ombnácója. A struturát feosztáso esetében mnden csúcs foa megegez mnden csúcs topoógusan dentus. Eze szonag egszer* feosztáso nem hasznána tú so memórát me a oordnátáat ehet számon és nem szüséges etáron. Hátránu a febtás hána. Bonoutabb értemezés tartománora nagon nehéz ag aár eheteten eg en feosztást generán. Vanna üönböz" techná am segítségée mégscsa számoható eg feosztás de eze átaában nem eégít"en pontosa f"eg a határonaa mentén. A nem-struturát feosztáso esetében átozó a csúcso foa. Enne nag e"ne a febtás amne öszönhet"en tetsz"eges tartománora hasznáható. A nem-struturát feosztáso átaában háromszög-eemeet generána. A bo-struturát feosztás több oás struturát feosztás ombnáásábó á. Ezért mndét e"bb feosztás e"net éez eenben ez a feosztás nem tejesen automatzát ember beaatozás szüséges generáásához és ezért eésbé népszer*. Struturát nem-struturát és hbrd feosztás baró jobbra A éges eem módszere esetében éppen a febtás matt a nem struturát feosztáso a egeterjedtebbe és m s ezt fogju hasznán. Amnt már emítettü ez a feosztás háromszögeet generá tehát háromszöge. A asszus érteemben ett háromszögeés nem engedéez csa a bemenet csúcsoat a m esetünben azonban szüséges az úgneezett Stener ponto hasznáata ags a bemenet csúcsoon íü

22 hasznát csúcso. Mért szüségese? A áasz egszer*: a háromszöge bzonos formára és nagságra onatozó fetéteene e eeget tegene am so esetben nem ehetséges új csúcso néü. 4.. A feadat megfogamazása és a megodás M a ét dmenzós háromszögeés tranguaton? A bemenet tartomán oan feosztása aho az eeme csa éeben csúcsoban taáozna ag egátaán nem metsz egmást. Az optmás háromszögeés optma tranguaton pedg nagság forma ag a háromszöge száma tehát bzonos szemponto szernt egjobb háromszögeés. A m esetünben a fetétee a öetez": ne hasznájun s szögeet ags háromszögen a ehet" egözeebb egene az egen" odaú háromszöghöz onergenca mné eesebb háromszöget hasznájun éges eem anaízs sebessége A fetétee megfogamazásábó már átsz hog nem egértem* me a jó háromszögeés. Hasznáhatun nagon so s háromszöget amee nag mértében megözeít az egen" odaú háromszöget de ebben az esetben nem eégítjü a másod fetétet. Tehát eg bzonos ompromsszum egensút e taán a ét fetéte tejesítésében. Feadatun a fent emített fetéteene megfee" háromszögeés generáása tetsz"eges formájú aár uaat s tartamazó síbe tartománra. Még pontosabban tartománun pogonás tartomán amt a NURBS görbé tárgaásáná már bemutattun. Tehát a bemenet eg pogonás síbe tartomán a menet meg enne a háromszögeése. Az átaun aamazott módszer a Deauna háromszögeést hasznája: e"ször s generáju a bemenet tartomán ötött Deauna háromszögeését majd a Deauna fnomítás agortmus értemében eheezzü a Stener pontoat. Ez a módszer bztosítja a menet háromszögeés mnmum szögét és eméeteg bzoníthatóan orátos számú háromszöget haszná. A mnmum szöget fehasznáó sznten módosíthatju. Eenben határt szab enne az érténe mnd az agortmus m*ödése mnd a számítógép számoás hbája. A gaoratban ez aár 35 fo s ehet. Enne az agortmusna Eg más e"ne hog átozó méret* háromszögeet haszná ags aho nem szüséges nem osztja toább a háromszögeet. Az en feosztásoat nem-egenetes non-unform feosztásona neezzü Ponthamaz Deauna háromszögeése Adott S eg síbe ponthamaz amne a Deauna háromszögeését eressü. S Deauna háromszögeése a öetez" tuajdonságú gráf: eg ört üresne neezün ha nem tartamaz eg pontot sem az S hamazbó. u u S Deauna é ha étez oan

23 üres ör am áthaad az u és pontoon. Beezetjü a Deauna háromszög fogamát s: eg háromszög aor és csas aor Deauna tuajdonságú ha a öréje írt ör üres. Können beátható hog ha eg háromszög Deauna tuajdonságú aor az ée Deauna ée és fordíta. Tehát a Deauna háromszögeés Deauna éeet tartamazó mamás sí gráf graf panar mama. Ha az S bemenet hamazban a ponto átaános hezetben anna ags bárme nég pont nncs eg örön aor eg és csas eg Deauna háromszögeés étez. e Deauna e nem Deauna Eg tuajdonsága a Deauna háromszögeésne hog tartamazza a ponthamaz one tartománát cone hu. Eg más nagon fontos és számunra érdeesebb tuajdonsága a Deauna háromszögeésne hog eg adott S ponthamaz esetén az összes háromszögeés özü a mamás mnmá szöget bztosítja. Mt jeent ez? Defnáju eg háromszögeés mnmá szögét mnt a háromszögeést aotó háromszöge szöge hamazábó a egsebb szöget. Vágos hog eg ponthamazra nagon so háromszögeés étez de eze özü a Deauna háromszögeés bztosítja a egnagobb mnmá szöget. Egútta a Deauna háromszögeés mnmzája a egnagobb háromszög öré írt ört. Deauna háromszögeés átható hog mnden háromszög oré írt ör üres Ezeet a tuajdonságoat a fp agortmus segítségée bzoníthatju. A fp agortmus eg tetsz"eges háromszögeésb" ndua meghatározza a Deauna háromszögeést addg fp -e a nem Deauna éeet amíg az összes é Deauna tuajdonságú esz. A fp -eés során az éhez tartózó ét háromszög áta meghatározott négszögben a jeeneg átó heett a másat fogju hasznán. Bebzonítható hog ez az agortmus meghatározza a Deauna háromszögeést. Ezeníü mnden fp

24 3 m*eet során a fent emített tuajdonságo jó ránba átozna s enne öszönhet"en az agortmus égére optmás hezetbe erüün. Eze a tuajdonságo a feosztás generáásna pontosan megfeene. A hasonóan értemezett nagobb dmenzójú háromszögeéseben sajnos már nem érénese Kötött Deauna háromszögeés A ponthamaz Deauna háromszögeése nem megfee" a éges eem feosztás esetében amnt az aább ábrán s átható. Ez a háromszögeés tartamazhat oan éeet amee nem érénese ag oan háromszögeet amee rossz formájúa. a tartomán a csúcso Deauna háromszögeése eg érénes feosztás Vágos hog a mnet érde" tartomán határéet s mndenépp e tartamazza feosztásun. Ezért beezetjü a ötött Deauna háromszögeést constraned Deauna tranguaton. A ponthamaz hasonó Deauna háromszögeéséhez de tt a bemenet eg egenes é* sí gráf. Az egenes é* sí gráf oan gráf am ét fetétene tesz eeget: tartamazza mnden é égpontjat ete az ée csa égpontoban ag egátaán nem metszhet egmást. A ötött Deauna háromszögeés abban üönböz a ponthamazétó hog mnden bemenet é jeen e egen a háromszögeésben. Ahhoz hog defnáhassu a ötött Deauna háromszögeést szüségün an még eg fogaomra. Eg u csúcs átható csúcsbó ha az u szaasz nem metsz a gráf egeten éét sem. Hasonóan a u é átható a w csúcsbó ha u é bárme pontja átható w-b". A ötött Deauna háromszögeés aor és csas aor tartamazza az u éet ha u átható -b" és étez eg ör u és csúcsoon eresztü ame nem tartamaz oan bemenet-csúcsot ameb" átható az u szaasz. Természetesen amnt már emítettü a bemenet-ée része a háromszögeésne. Kötött Deauna háromszögeés A ötött Deauna háromszögeésre s érénese azo a tuajdonságo amet a ponthamaz Deauna háromszögeésére jeentettün s ezért hasznáhatóa éges eem feosztás generáására.

25 4 De még ez sem bztosít eg jó mn"ség* feosztást. Hszen áttu hog a ponthamaz Deauna háromszögeése tartamazhatott oan háromszögeet amee nagon aposa ag nagon hegese ota s ezt a hátránt nem táoította e a ötött Deauna háromszögeés sem. Ha új csúcsoat s hasznáun a háromszögeésünben aor amnt az ábra mutatja érénes jó mn"ség* feosztáshoz juthatun. Ezeet a csúcsoat Stener pontona neezzü. Természetesen ezeet a Stener pontoat csa tartománun besejébe ag eseteg határonaara ehetjü fe. A feadat az hog mént áasszu meg ezeet az új csúcsoat hog megfee" feosztás eredménezzene. Amnt és"bb átn fogju a Deauna fnomítás agortmus áaszt ad erre a érdésre. Tehát öronaazódta feadatun megodásához szüséges épése: generáju a pogonás tartomán ötött Deauna háromszögeését és ebb" csa a tartomán besejét egü fgeembe a tartománon íü es" része nem érdeese a m szempontunbó ezt a háromszögeést addg jaítju a Deauna fnomítás agortmus aapján amíg megfee a fehasznáó mnmum szög szempontjána. Ez a fnomítás megfee" Stener ponto hozzáadásáa történ Pogonás tartomán Deauna háromszögeése Mt jeent a pogonás síbe tartomán? Eg B {b b b n } határpogon hamaz áta meghatározott tartomán am eeget tesz a öetez" fetéteene: mnden határpogon oan zárt pogon ame éges számú ránított szaaszbó á eze a szaaszo nem metsz egmást csa égpontoban és mnden szaasz ba odaán taáható a meghatározott tartomán. Eg en pogont a csúcso bzonos sorrendben megadott sorozata s meghatároz. az es" határpogon a üs" ez mndenépp jeen e egen. a bes" határpogono a uaat határozzá meg eze egrosszabb esetben s csa eg csúcsban metszhet egmást. A bes" határpogono száma tetsz"eges aár hánozhatna s. Ez a meghatározás eeget tesz az egenes é* sí gráf meghatározásána s de sajátos eset. So szerz" a gráf ötött Deauna háromszögeését generája majd a üs" éeet tör az eredménb". Hatéonabb megodás a háromszögeés azon éet generán amee a tartomán besejében anna. Ezt a módszert hasznája a m programun s.

26 5 Hagomános ötött Deauna háromszögeés eg sítartomán esetén a m módszerün ugorja a másod épést. Természetesen az aamazott agortmus eszít átaánosságábó s tetsz"eges egenes é* sí gráf bementre nem m*öd. De ez a m szempontunbó egátaán nem fontos. Ezt az agortmust 996-ban Renhard Ken jaasota. Dde-et-mpera típusú agortmus. A egfontosabb megfgeés az hog mnden bemenet ránított éne megfee eg és csas eg csúcs ame az é Deauna háromszöget aot. Eg éne megeressü a megfee" csúcsát és étrehozzu a háromszöget majd reurzían más ée háromszöget eressü. Eg pogonás áncot eg háromszög ét részre oszt. Most ezene a áncona a háromszögeése a feadatun egészen addg amíg csa háromszögen maradna. Eg fontos feadat a pogonás áncon az eáasztó é megáasztása úg hog egenetesen daraboja fe a áncot üönben ogartmus ompetás heett neárs esz a domnáns. A megáasztásró b"ebben a és"bbeben esz szó. Az agortmus m*ödése eg szmpa pogon esetén nncsene ua

27 6 Me a eresett csúcs és hogan taáju meg? Ez a csúcs a öetez" tuajdonságona e eeget tegen: ebb" a csúcsbó átható e egen az é és az aotott háromszög a tartomán besejében e egen. a három pont áta meghatározott ör üres e egen. Természetesen ez a csúcs aor eged ha a bemenet csúcso átaános hezetben anna de az agortmusun szempontjábó eégséges ha megtaáun eg érénes csúcsot. Természetesen fontos hog eg adott ére hatásos agortmussa apju meg ezt a hozzátartozó csúcsot. E"ször efordítju a fetéteeet a programozás szempontjábó eérhet"bb jeentéseé:. a eresett csúcs az ránított é bafeén heezed e. az é égpontja áthatóa e egene ebb" a pontbó 3. a három pont áta meghatározott ör üres e egen. A. fetéte nem föd azt a tént hog az é átható a csúcsbó hszen ehetséges hog a égpontotó üönböz" pont az érü nem átható a m csúcsunbó. De összességében a 3 fetéte nem eszít átaánosságábó mert 3. fetéte sz*r az e"bb átengedett pontoat. Keresésün a ehetséges csúcsoat teszte. Megjegzend" hog ha a fetétee ege nncs eégíte aor a pont bztos nem jó és en meggondoásbó fööseges a több fetétet een"rzn. Ha fetéteeet en sorrendben zsgáju aor eés pontra e mnd a három fetétet eeen"rznün. Ez fontos a hatéonság szempontjábó. Eg más fontos érdés az hog áasszu meg e ehetséges csúcsoat hog mné hamarabb megtaáju a jó csúcsot. Vágos hog a eresett csúcs nncs nag táoságra az ét" és ezért a öetez" módszert aamazzu: az é örü meghatározun eg örnezetet ameben eressü a csúcsot és ezt a örnezetet addg nöejü amíg megapju a csúcsot. Most hog megfee" módon meg tudju határozn a Deauna csúcsot zsgáju meg hog a pogonás áncró men szempont szernt áasszu a fedogozandó éet. A feadat a áncró eg oan éet áasztan am a egegenetesebben áasztja szét a áncot. Enne érdeében értemezhetün eg funconást am megfeetet eg értéet mnden éne és enne a mamuma szernt áasztju meg az éet. Az agortmus eredet szerz"je öt üönböz" en függént tesztet üönböz" bemenetere és íg áasztotta a egmegfee"bbet: az éhez tartozó ét szög összege. Tehát me"tt eg pogonás áncot fedogoznán éggmegün a áncon és áasztju azt az éet ame mamzája a függént.

28 7 Az eddg tanumánun nem tért arra hogan tud az agortmus ebánn a uaa. A uana megfee" ánc fedogozásaor ét eset ehetséges: ét u egesü a tartomán ét részre szaad a ét u egesü a tartomán ét részre szaad Az agortmusna nem jeent nehézséget eg eset sem önnen beátható hog me a ánco fedogozása tejesen függeten ezért töéetesen fog m*ödn ua esetén s Deauna fnomítás agortmus Adott a tartomán besejéne ötött Deauna háromszögeése és eressü azoat a pontoat ameeet ha hozzáadju a háromszögeésünhez aor nöe a mnmá szöget. Ezt az agortmust Jm Ruppert fejesztette és 994-ben erü adásra. Két aapm*eetet hasznáun az agortmus során: az éosztás és a háromszögosztás. Értemezzü eg é átméros öréne azt a ört meet úg szeresztün hog az é egen a ör átmér"je. Eg bemenet éet eg csúcs áta brtootna neezün hog ha az é átmér"s öre tartamazza azt a csúcsot. Most meg értemezzü a ét m*eetet. Az éosztás során beezetjü az é feez"pontját mnt a háromszögeés Stener pontját. A háromszögosztás során pedg hasonóan a háromszög öré írt ör özéppontját ezetjü be mnt Stener pontot. Az agortmus szempontjábó az éosztás nagobb prortású tehát amíg étezne brtoot ée addg nem oszthatun háromszöget ete ha eg háromszögosztás során aame bemenet é brtoottá áhat aor a háromszögosztás heett azoat az éeet osztju. Ksszög háromszögne azt a háromszöget neezzü amene mnmum szöge sebb mnt a m orátun. A meéet ábrán mnd az s mnd az s az a pont áta brtoot

29 8 Az agortmus a öetez" módon m*öd: ncazáun eg FIFO stát a brtoot éene és a sszög* háromszögene amíg nem üres az ée stája osztju a soron öetez" éet ha étez sszög* háromszög aor azt osztju. Ha ezáta ée brtoottá ánána aor nem osztju a háromszöget hanem a megfee" éeet betesszü a stába és fotatju az e"bb épést". addg smétejü az utosó ét épést míg efogna a sszög* háromszöge. Ruppert bebzonította hog az fent ázot agortmus befejez"d bárme 9 foná nagobb bemenet szög* és 7 foná sebb orátra. Természetesen a gaoratban a bemenet szöge nagon garan sebbe mnt 9 fo. Az agortmusna gondot oozhatna tehát a s szöge. Erre a probémára ugancsa Ruppert hozott eméet megodást saro eágásos pajzs módszerre. A pqr szög mértée sebb mnt 45 fo és ezért brtootság eg ér" a másra ugr az éosztás során A fent ábrán tsztán átható mért s ooz gondot a s bemenet szög. A gaorat mpementácóban eg soa egszer*bb módszert aamazna nem pedg a Ruppert saro eágásos módszerét am nag mpementácós nehézségeet oozna és soszor föösegesen so háromszöget generána. Ez az egszer*bb módszer égü s szmuája az eméeteg jaasotat. Eg módosított éosztást aamazun.

30 9 Azt az éet amene eg és csas eg csúcsa bemenet csúcs nem a özéppontban hanem a feez"ponthoz egözeebb es" magnárus ör metszeténé fogju osztan Amnt a fent ábrán s átható a rtus hezeteben a örö fogjá meghatározn az eosztás pontot. S me ezt a pontot dszréten uganannna áasztju meg ezért nem fog a égteenségg smét"dn a brtooás hszen eg adott panatban a eetezett háromszög aár egen" szárú s ehet. A épet am megadja a ör sugarát ' fetéteez eg onstans D rögzítését. A sugár: d' D aho; aho d az é hossza és a d og D eereített egész értée. A D értééne -et jaasot Ruppert. Még mndg érdés hog ha már tudju hog me Stener pontot fogju betenn háromszögeésünbe aor hogan fogju beépíten. Természetesen Deauna tuajdonságona megfee"en. Erre eg megfee" agortmus enne az nrementás Deauna építés agortmus. Ez az agortmus oazája azt a háromszöget ameben taáható az új pont és újraöt az éeet megátoztata a háromszögeet. Két módszer s smert a Lawson ete a Bower-Watson. Az es" ameet m s hasznáun a oazát háromszöget feosztja az új pont szernt három új háromszögre majd reurzían az összes módosított háromszög odaat eeen"rz hog Deauna tuajdonságúa-e és ha nem aor fp -pe és újbó een"rz az új háromszögeet és íg toább... Természetesen a bemenet éeet nem fp -pehetjü. Ha pedg éosztás útján pont bemenet ére erü a Stener pont aor csa ét új háromszöget szeresszün s csa en ránba e een"rzzü a Deauna tuajdonságot. A Deauna tuajdonságot a háromszög öré írt örre een"rzzü. Átaában eg en Stener pont beötése esetén a háromszög oazácója emészt fe a egtöbb d"t. Az mpementácó során eg gorsító háós adatstruturát hasznáun enne a fegorsítására. Ha eg háromszögosztás brtoona éeet aor az agortmus során az éeet e osszu. Ez a m*eet fetéteez hog tudjun törön s a háromszögeésb" am a öetez" módon történ: töröjü az összes éet am a csúcsba érez/ndu s az íg eetezett uat újraháromszögejü az eddg s hasznát pogon-ánc Deauna háromszögeésse.

31 Impementácó és adat-strutúrá Mután méregetü a megodás módszereet eg egfontosabb érdés az adatstrutúrá hees megáasztása. A programun a dupán áncot é sta doub connected edge st módosított átozatát és eg gorsító egenetes négzetháó unform grd strutúrát haszná. Az es" három stát tartamaz: az éee a csúcsoa és a háromszögee. Eze özü az ée a egfontosabba pontosabban az ránított féée hafedge mee segítségée eérhet"e a égpont csúcso az érnt" háromszöge ete eze ée. Természetesen az ránítás a topoóga egértem*sége céjábó szüséges. A csúcso tartamazzá a oordnátáat ete eg csúcsbó ndua s eérhetün eg éet am ebb" ndu s nnen már mndent eérün a fent emítette aapján. A háromszöge s eg ére mutatna ahonnan aármt eérdezhetün de tartamazna oan nformácóat amre többször s szüség esz: a háromszög öré írt ör özéppontja sugara ete a egsebb szög. A más fontos strutúrán a négzetháó. Ezáta feosztju a tartomán áta efödött tégaap aaú terüetet s tégaapora ameeet oene neezün. Eze a oee az összes oan ére ete csúcsra fogna mutatn ame metsz az et" oet. Nagon hasznosa eszne a áthatóság Deauna csúcs ete a oazáás m*eetené. Bárme pontna am a m tartománunban ag örnéén an bztosítana eg megözeítést. Pédáu a áthatóság teszteése során nem szüséges csa bzonos oe-eben taáható éee aó metszetet een"rzn am nagon esz*ít a ört. Ig tudju szabáozn a Deauna csúcs meghatározásáná hog men zónábó áasztun ehetséges csúcsoat. A négzetháó adatstrutúra a sötét oehez a astag ée tartózna ete a meger"sített csúcs A háromszögeésben aó oazáás a öetez" épen m*öd. Eg nduó éb" forduun amíg a pont ránába átun és aor ezdün özeíten egészen addg

32 3 míg eérjü a pont háromszögét. Ezene a m*eetene a száma nagon ecsöenhet ha eredeteg eg öze éb" nduun amt eg oe segítségée megapun. Ahhoz hog ezeet a stáat feépítsü szüséges eg megfee" módszer a oee meghatározására ameeben eg szaasz taáható. Az Amatdes és Woo áta pubát agortmus grafában aamazott. Ott s nagon fontos a sebesség m s ezt hasznátu. Tehát a ehet" egmegfee"bb az objetum orentát mpementáás ot mert mnden egséget csúcs é háromszög jeemzett bzonos adat és eírt bzonos seedés. Pédáu az ée esetén a saárszorzat ag hog eg csúcs t"e bara ag jobbra fesz... Ugancsa emítésre érdemes hog sajnos a aóságban nagon garan degenerát hezetee s taáozun. Mnden agortmus módszer amt a fenteben tárgatun sebb-nagobb módosításoa m*öd degenerát esetere s. Impementácónba a ehet" egtöbb en esetet próbátu efedn. Eg más hbaforrást jeenthetne a számítás hbá. Pédáu eg számítás eredméneént eg csúcs eg ét" bara erühet noha a más számítás am az ránított háromszög terüetét adná az pontosan az eenez"jét tanúsítaná. Eze erüésére jobban fejesztett agortmuso adna részeges megodást ete az eact arthmetc computng am eg bzonos pontosságot bztosít de soa d"génesebb. M epszonos örnezetes technát hasznáun aho az egen"ség nem pontos egen"séget hanem epszonos örnezetet jeent Fejesztés ehet9sége módosításo Ezze az agortmus eg nagon nag ontrot ad a mnmum szög feett. Ez nagon fontos a onergenca szempontjábó de a hba szempontjábó a háromszög méret s számotte". Soszor az aamazás során a tanumánozott tartomán eg bzonos terüete eemeten fontos ezért jó enne arra a terüetre sebb háromszögeet generán fnomabb feosztást étrehozn. Lehetne módosítan az osztás fetéteeet a háromszög öré írt ör sugara szempontjábó s am a háromszög nagságáa arános ha már megfee" a mnmum szög. Eg méret- és szöggarantát agortmust Chew fejesztett. Ez az agortmus mnden szöget garantátan 3 és özött tart és a háromszöge ée s orátota mndeg háromszög öré írt ör sugara eg bemenet argumentum h és dupája özött één. Enne a módszerne nag hátrána az hog egenetes mért* háromszögeet generá a tartomán tejes részén am nagon so számoáshoz ezet a éges eem anaízs toább épése során. Három dmenzóban me nem érénese a mnmá szög mamzácós tuajdonságo a Deauna háromszögeés esetén más megözeítés szüséges s eg nagon etejedt módszer az adancng front approach am során a Deauna módszerre feoszott feüetre foozatosan szeresztü a tetraédereet míg megtötjü a tejes tartománt.

33 3 Bemenet Kötött Deauna háromszögeés 7 háromszög Fnomítás után mn. 5 fo 9 háromszög Fnomítás után mn. 3 fo 6 háromszög Fnomítás után mn. 34 fo 77 háromszög

34 33 5. Köeteztetése Régebb az en céú aamazásoat Fortran-ba írtá. Ez cészer* ot mert az aor számítógépeen performensen futott. Az en programona átáthatósága mnmás és toábbfejesztése nehézes. Ezért manapság er"söd az a tendenca hog ezt a probémát objetum orentát módon özeítsé meg am áta üszöböhet"e a fent emített hátráno. Természetesen n"ne az er"forrás géne de a ma számítógépe meett ez megengedhet". M s hasonóan gondooztun és az objetum orentát fejeszt" örnezete özü a Jaa meé tettü e osunat. A Jaana mnt tudju a egnagobb e"ne a portabtás és számunra adatstrutúra zbtást s nújtott. A hátrána a sebességben nánu meg aamnt abban hog nem nújt tejes ontrot a program föött. Tehát cészer* enne eg más gorsabb de szntén objetum orentát örnezetre áttérn. A programun eretében hasznát feosztás generátorna több fehasznáó paramétere an. Az es" a négzetháó méreténe megáasztása záróag a feosztás generáásána sebességét befoásoja. Jaasot egaább 55-ot hasznán de fontos tudn hog a méret nöeése nem fötétenü nöe a sebességet eg adott határ föött csa a memóragént. A más paraméter a mnmá szög soa fontosabb. Ez dret befoásoja a háromszöge számát és ezáta a toább számoáso dejét. Teszteés során arra a öeteztetésre jutottun hog a 3 foná nagobb mnmá szögené rohamosan n" a háromszöge száma ezért átaában nem cészer* en feosztást hasznán. A három dmenzóba aó áttérés es"sorban eg új feosztás generáót génene. De az adato mennsége nagon megn"ne ezért megodást eene taán a sebesség nöeésére. Jó megodás a párhuzamosítás ame a probéma természetéb" adódóan ehetséges és cészer*.

35 34 Könészet [] John Amanatdes Andrew Wo: A fast oe traersa agorthm for ra tracng; Eurographcs 87 pages 3- North-Hoand August 987 [] Mar de Berg Marc an Kreed Mar Oermars and Ottfred Schwarzopf: Computatona Geometr: Agorthms and Appcatons. Second edton Sprnger-Verag [3] Marsha Bern and Dad Eppsten: Mesh Generaton and Optma Tranguaton. Computng n Eucdean Geometr Lecture Notes Seres on Computng oume ; Word Scentfc Sngapore 99 [4] Marsha Bern Pau Passmann: Mesh generaton [5] Pau Baga: Geometre computafonag. Notfe de curs; Cuj-Napoca [6] Genn Eguch Massachusetts Insttute of Technoog: 6.838J/4.4J - Geometrc Computaton Lecture Notes [7] Pau Hecbert: Quad-Edge Data Structure and Lbrar; Carnege Meon Unerst Reson : 4 Feb. [8] Professor Peter Hunter: FEM/BEM Notes; Department of Engneerng Scence; The Unerst of Aucand New Zeaand Februar 9 [9] Renhard Ken: Constructon of the constraned Deauna tranguaton of a pogona doman 996 [] Fume Lam Massachusetts Insttute of Technoog: Representg Pohedra 6.838J/4.4J - Geometrc Computaton [] Dan Lschns Corne Unerst Ithaca: Incrementa Deauna Tranguaton; New Yor 993 Academc Press [] masterand Tana Angeca Lungu: Lucrare de Dsertafe. Metoda eementuu fnt pentru ecuaf cu derate parfae de tp paraboc; Facutatea de Matematcg Informatcg Unerstatea Babe-Boa Cuj-Napoca [3] Gheorghe Mcua Sanda Mcua: Handboo of Spnes; Dordrecht Netherands: Kuwer 999 [4] Steen Owen: An ntroducton to unstructured mesh generaton Part I: Meshng agorthms; Sanda Natona Laboratores [5] Jm Ruppert: A Deauna refnement agorthm for quat -dmensona mesh generaton; Journa of Agorthms 83: Ma 995 [6] Jonathan Rchard Shewchu: Lecture Notes on Deauna Mesh; Department of Eectrca Engeneerng and Computer Scence Unerst of Caforna at Bere September 999 [7] Jonathan Rchard Shewchu: Trange: Engeneerng a D Quat Mesh Generator and Deauna Tranguator; Unerst of Caforna at Bere Ma 996 [8] NURB Cures: A Gude for the Unntated The Appe Technca Journa