A Malfatti probléma Fonyó Lajos, Keszthely

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A Malfatti probléma Fonyó Lajos, Keszthely"

Átírás

1 Fonyó Lajos: A Malfatti probléma A Malfatti probléma Fonyó Lajos, Keszthely Giovanni Francesco Malfatti ( ) olasz matematikus 180-ban vetette fel az alábbi problémát: Adott egy háromszög alapú egyenes hasáb márványból, melyből ki kell vágni három nem feltétlenül egybevágó egyenes körhenger alakú oszlopot úgy, hogy a keletkező hulladék minimális legyen. Ez a gyakorlati probléma ekvivalens az alábbi síkgeometriai feladattal: Adott ABC háromszögben adjuk meg azt a három nem feltétlenül azonos sugarú, egymást nem metsző kört, melyek területösszege maximális. Malfatti és még sokan mások azt gondolták, hogy a probléma megoldása három olyan kör, melyek páronként érintik egymást és mindegyik érinti még a háromszög két oldalát. A Malfatti körök megszerkesztése is komoly kihívás elé állította a matematikusokat. Először trigonometriai számításokon alapuló megoldások születtek, majd 187-ben Steiner közölt egy tisztán elemi geometriai eljárást bizonyítás nélkül. Ennek helyességét végül Hart igazolta. 1. Adott ABC háromszögbe szerkesszünk három egymást érintő kört, amelyek külön-külön még két-két háromszögoldalt is érintenek. I. megoldás: Jelöljük az ABC háromszög oldalainak hosszát a, b, c-vel, a k 1, k, k Malfatti körök középpontjait O 1, O, O -mal, sugarait r 1, r, r -mal, az A, B, C csúcsoknak az érintési pontoktól mért távolságait x, y, z-vel. 95

2 Kistérségi tehetséggondozás Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy az ABC háromszög félkerülete 1 egység. Használjuk fel, hogy két egymást érintő ρ 1 és ρ sugarú kör közös külső érintőjének az érintési pontok közé eső szakasza ρ1ρ hosszúságú. Ez alapján a = y + z + r r, b = x + z + r1 r, c = x + y + r r 1 Az ABC háromszög k beírt körének középpontját O-val, sugarát r-rel jelölve az ábra szerinti AE 1 O 1 és AEO derékszögű háromszögek hasonlóságát kihasználva: AE = s a = 1 a r1 x = r 1 a Az ABC háromszög területének kétféle felírása alapján: És így Hasonlóképpen és r s = s ( s a)( s b)( s c) ( s a)( s b)( s c) r = = 1 a 1 b 1 c. s ( 1 b)( 1 c) ( a) r r1 = x = x. 1 a 1 ( 1 a)( 1 c) ( b) r r = y = y 1 b 1 ( 1 a)( 1 b) ( c) r r = z = z. 1 c 1 Ezen összefüggések felhasználásával az ABC háromszög oldalaira felírt kifejezések a koszinusztételre emlékeztető alakra írhatók át az alábbiak szerint: 96

3 ( a ) = ( y ) + ( z ) y z ( 1 a ) ( b ) = ( x ) + ( z ) x z ( 1 b ) ( c ) = ( x ) + ( y ) x y ( 1 c ) Fonyó Lajos: A Malfatti probléma a + b + c = és a háromszög-egyenlőtlenség alapján 0 < a < 1, 0 < b < 1, 0 < c < 1 és így 1 < 1 a < 0, 1 < 1 b < 0, 1 < 1 c < 0, ezért léteznek olyan ϕ 1, ϕ, ϕ tompaszögek, melyekre cosϕ 1 = 1 a, cosϕ = 1 b és cosϕ = 1 c. Az ábra szerint kialakított tompaszögű háromszögek körülírt körének sugara mindhárom esetben 1/ egység, mivel pl.: a a 1 R1 = ϕ = = sin 1 1 cos ϕ 1 Tekintve a háromszögek azonos sugarú körülírt köreit, azokban az azonos hosszúságú oldalakhoz azonos kerületi szögek tartoznak, azaz x, y, z oldalakkal szemben rendre ε 1, ε, ε szögek. Így az egyes tompaszögű háromszögek belső szögeinek összegére: ϕ1 + ε + ε = 180, ϕ + ε1 + ε = 180, ϕ + ε1 + ε =

4 Kistérségi tehetséggondozás Ezekből az összefüggésekből ϕ1 ϕ ϕ ε1 =, ϕ ϕ1 ϕ ε =, ϕ ϕ1 ϕ ε =. Figyelembe véve, hogy a körülírt kör sugara 1/, ezért az egyes háromszögek oldalai és a szemközti szögek szinuszai közötti kapcsolatok: valamint a x ϕ = sin 1, b sin ε = sin 1, y sin = ϕ, c = sinϕ, = ε, z = sin ε. A magasságtétel és a Thálesz tétel alapján a, b, c ismeretében a, b, c, majd ϕ 1, ϕ, ϕ az ábra szerint megszerkeszthetők. Az ε 1, ε, ε szögek ϕ 1, ϕ, ϕ segítségével a korábbi összefüggések alapján megszerkeszthetők és ezek segítségével előbb a x, y, z, majd az x, y, z hosszúságú szakaszok is az ábra szerint megkaphatók. Az érintőszakaszok ismeretében a Malfatti körök már egyszerűen megszerkeszthetők. 98

5 Fonyó Lajos: A Malfatti probléma II. megoldás: 1. segédtétel: Ha a k 1, k és k, k körpárok közös külső érintői e 1, f 1 és a k 1, k körpár közös belső érintője g 1 egy közös D pontban metszi egymást, akkor a megfelelő körök társérintői is közös pontba futnak össze. Bizonyítás: Legyen e1 e = G, g1 g = H, f1 f = I és e f = E. Rajzoljuk meg a k kör E pontbeli érintőjét és jelöljük ennek e 1 -gyel való metszéspontját F-fel. Meg fogjuk mutatni, hogy az EF egyenes érinti a k 1 kört. A k kört érintő hurkolt DIEG négyszögben: DI +DG = EG + EI. A k kört érintő DIEH négyszögben: DI + EH = DH + EI. A két egyenlet megfelelő oldalainak kivonásával és a kapott egyenlet rendezésével: DG + DH = EG + EH. Ez viszont azt jelenti, hogy a DGEH négyszög oldalai egy kör érintői. Mivel a négyszög három oldala már érinti a k 1 kört, így az EH oldalnak is ugyanazt a kört kell érintenie. Ezzel az állítást beláttuk.. segédtétel: Ha a k 1, k körökből az A 1 B szelő két egyenlő hosszúságú A 1 B 1 =A B húrt metsz ki, akkor a szelő két végpontjához húzott érintők M metszéspontjából a két kör egyenlő szög alatt látszik. 99

6 Kistérségi tehetséggondozás Bizonyítás: Legyenel F 1, P, F az O 1, M, O pontok vetületei az A 1 B szelőn. Ekkor MPA 1 Σ=A 1 F 1 O 1 Σ=90 és A 1 MPΣ=O 1 A 1 F 1 Σ (merőleges szárú hegyesszögek). Így MPA 1 A 1 F 1 O 1. Hasonló gondolatmenettel MPB B F O. A hasonlóságokat felhasználva A M MP A O = és A F MP B F =. B M B O A két egyenlet összeszorzásával és felhasználva, hogy A 1 F 1 =B F : A M B M A O = B O Így az MO 1 A 1 és MO B derékszögű háromszögek hasonlóak és így A 1 MO 1 Σ=B MO Σ. A kapott egyenlőségeket -vel beszorozva éppen a kívánt állítást kapjuk. Következmény: Jelöljük az A 1 és B pontokból a k és k 1 körökhöz húzott érintőszakaszok végpontjait K és L-lel. Ekkor AK = A 1 A A 1 B = B B 1 B A 1 = B L. Megjegyzés: az állítás fordítva is igaz, ha az A 1 B szelő olyan, hogy az A 1 K és B L érintőszakaszok egyenlő hosszúak, akkor a k 1, k körökből kimetszett A 1 B 1 és A B húrok egyenlő hosszúságúak.. 100

7 Fonyó Lajos: A Malfatti probléma Ezután térjünk vissza a Malfatti körök megszerkesztéséhez. Jelöljük a keresett Malfatti köröket o 1, o, o -mal, páronkénti érintési pontjaikat F, G, H-val! Mivel a körök közös belső érintői egyben hatványvonalai is a köröknek, ezért a három kör közös P hatványpontjában metszik egymást. Legyen R és S az a két pont, ahol az o 1 és o körök érintik az AB oldalt, E 1, E, E pontok pedig az ABC háromszög három szögfelező egyenese által képzett OAB, OBC és OCA háromszögekbe rajzolt k 1, k, k érintőköröknek az oldalakon lévő érintési pontjai. Ekkor felhasználva, hogy egy külső pontból adott körhöz húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúságúak: E M E L = RM LS = MH LG = PM PL. A kapott egyenlőség azt bizonyítja, hogy az LMP háromszögbe írt kör az LM oldalt E -ban érinti. Jelöljük ezt a kör k -mal és k 1, k -vel pedig azokat a hasonló köröket, amelyek az E 1 és E pontban érintik a BC és AC oldalakat. Jelöljük az E 1 P, E P, E P egyeneseknek az ABC háromszög oldalaival alkotott metszéspontját L, M, N-nel és E L-nek és E N-nek k -mal és k 1 -gyel való érintési pontját U-val és V-vel. A k 1, k, o körökből álló rendszert vizsgálva az E 1 L, E M, E N közös érintők illeszkednek a P pontra, így az 1. segédtétel alapján társérintőik is közös ponton mennek át. Ez viszont azt jelenti, hogy a k 1 és k körök közös belső érintője áthalad az AB és BC közös külső érintők B metszéspontján. Mivel E F = E S = UG és FV = E 1 T = E 1 G, az egyenletek összeadásával E V = E 1 U. Ez a. segédtétel következménye alapján azt jelenti, hogy az E 1 E szakasz a k 1, k körökből egyenlő hosszúságú szakaszokat metsz ki és ugyanezen segédtétel alapján a k 1 és k közös belső érintője a B csúcsnál levő szög felező egyenese. Ez alapján a Steiner féle szerkesztés lépései: a) Megszerkesztjük az ABC háromszög beírt körének középpontját. b) Megszerkesztjük az AOB, BOC, COA háromszögek k 1, k, k beírt szögeit és meghatározzuk k 1, k, k -nak a háromszög oldalaival alkotott E 1, E, E érintési pontjait. c) E 1, E, E pontokból megszerkesztjük a (k, k ), (k 1, k ), (k 1, k ) körpárokhoz tartozó közös belső érintőket, melyek a Malfatti körök közös hatványpontjában metszik egymást. d) A megrajzolt belső érintőkkel olyan háromszögeket kapunk, melyek mindegyikének egyik oldala az érintők egyike, másik két oldala pedig az ABC háromszög két oldala. Ezen háromszögek beírt körei lesznek a keresett Malfatti körök. 101

8 Kistérségi tehetséggondozás 199-ben Lob és Richmond megállapították, hogy a Malfatti körök nem minden esetben megoldásai a Malfatti problémának. Például az egyenlő oldalú háromszögben az ábra szerinti k 1, k, k körök területösszege nagyobb, mint a Malfatti köröké ben Goldberg már azt is igazolta, hogy a Malfatti körök egyik háromszög esetén sem szolgáltatják a Malfatti probléma megoldását ben Zalgaller és Loss oldották meg általánosan a problémát. 5 oldalas bizonyításukban megmutatták, hogy amennyiben az ABC háromszög szögeire az α β γ feltétel mellett a sin tg feltétel teljesül, akkor az 1., míg α β α β sin tg reláció esetén a. ábra szerinti k 1, k, k körök területösszege maximá- lis. 10

9 Fonyó Lajos: A Malfatti probléma Kiss Sándor erdélyi magyar matematikus 00-ben az Octogon Magazin IV. számában adott a problémára viszonylag rövid, elegáns megoldást.. Egy adott négyzetben elhelyezünk két egymást nem metsző kört. Milyen esetben lesz maximális az általuk lefedett terület? Megoldás: Jelöljük a négyzet csúcsait A, B, C, D-vel, oldalát pedig a-val, és helyezzünk el a négyzetben két tetszőleges egymást nem metsző ρ 1 és ρ sugarú kört. Toljuk el a két kört úgy, hogy az egyiket a négyzet AB és AD, a másikat CB és CD oldala érintse. Az eltolások során a két kör középpontjának távolsága nem csökkenhet, mivel az 1. és. ábrák alapján az új helyzetben a két középpont távolsága két 10

10 Kistérségi tehetséggondozás a ρ1 ρ befogójú derékszögű háromszög átfogójával megegyező hosszúságú, míg az eredeti helyzetben pedig egy olyan derékszögű háromszög átfogójával, amelyből a befogók hossza nem haladja meg a a ρ1 ρ értéket. Így az elmozgatott körök továbbra sem metszik egymást és eredeti területük összege nem változik meg. Ezután hajtsunk végre a CB és CD oldalakat érintő körnél egy C középpontú nagyítást úgy, hogy a kapott kör érintse a másikat. (. ábra) Az eljárás során kapott, egymást érintő két kör területének összege nyilván legalább akkora lesz, mint az eredetileg felvett két köré. Jelöljük a kapott két kört k 1, k -vel, középpontjaikat O 1, O -vel. Mivel az a oldalú négyzet átlója a hosszúságú és O 1, O rajta van az AC átlón, ezért A két kör területének összege Feladatunk tehát r 1 r r + r + r + r = a, 1 1 r1 + r = a = a. + 1 t t π r r 1 + = maximumának meghatározása. Tegyük fel, hogy r1 r. Mivel mindkét kör része a négyzetnek, ezért a 0 r1, r. Legyen r1 = a x és r = a + x, ahol 1 0 x a. Ekkor 1 r r 1 + = + r r a x. + pontosan akkor maximális, 1 ha x = a, azaz a r1 = a és r =. 104

11 Fonyó Lajos: A Malfatti probléma Tehát a két kör által lefedett terület akkor maximális, ha az egyik a négyzet beírt köre, a másik pedig a beírt kört és a négyzet két oldalát érintő kör.. Egy adott háromszögben elhelyezünk két egymást nem metsző kört. Milyen esetben lesz maximális az általuk lefedett terület? Megoldás: Jelöljük a háromszög csúcsait A, B, C-vel, beírt körét k-val, annak középpontját és sugarát O-val, illetve r-rel. Legyenek a keresett körök k 1, k, középpontjaik O 1, O, sugaraik pedig r 1, r. Feltételezhetjük, hogy mindkét kör érinti a háromszögnek legalább két oldalát és egymást is, mivel ellenkező esetben a köröket eltolhatnánk úgy, hogy azok érintsék a háromszög két-két különböző oldalát és a középpontjaik távolsága eközben nem csökkenne, továbbá ha az egyik kört a megfelelő háromszög-csúcsból felnagyítanánk úgy, hogy érintse a másikat, akkor a két kör területösszege növekedne. Tehát feltehetjük, hogy k 1 érinti az AB és AC, k pedig az AB és BC oldalakat, továbbá k 1 és k kívülről is érintik egymást. Ekkor O 1 és O középpontok az A és B csúcsokhoz tartozó belső szögfelezőkön helyezkednek el. Vizsgáljuk azt az esetet, amikor k 1 és k egyike sem esik egybe k-val! Ekkor meg fogjuk mutatni, hogy létezik olyan k kör r sugárral az ABC háromszögön belül, amelyiknek nincs közös pontja k-val, továbbá k és k területösszege nagyobb mint k 1 és k -é. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy α β. Ekkor szükségképpen r 1 r, ugyanis r 1 > r esetén tekintve azt a k 1 kört, aminek sugara r 1 = r és érinti az AB, BC oldalakat, és azt a k kört, aminek a sugara r = r 1 és érinti az AB, AC oldalakat.ekkor r 1 r, és k 1, k területösszege annyi mint k 1, k -é. Továbbá a. ábra alapján: O M O N O N O O O O r r r r α α β sin sin sin = = = =

12 Kistérségi tehetséggondozás Tehát k 1 és k köröknek nincs közös pontja. Így élhetünk azzal a feltételezéssel, hogy α β esetén r 1 r. Legyen ε = r r > 0. Ha r 1 < ε, akkor r1 r r r1 + r < r1 + r r, ami azt jelenti, hogy k 1 és k területösszege kisebb mint k-é. Vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor r 1 > ε > 0. Legyen r = r1 ε > 0 és k az α szög szárait érintő r sugarú kör. Ekkor + és ( ) + = + ε + 1 ε = ε 1 + ε > 1 + r r r r r r r r r r és már csak azt kell belátni, hogy k-nak és k -nek nincs közös pontja. Használjuk fel, hogy OO ε ε = = O O β α sin sin 1 Ekkor a háromszög-egyenlőtlenség alapján: OO = OO + O O OO + OO O O Tehát k és k köröknek nincs közös pontja. A korábbi eredményeinket összefoglalva, az ABC háromszögben elhelyezett két egymást nem metsző körnek a területösszege pontosan akkor maximális, ha az egyik a háromszög beírt köre, a másik pedig érinti a beírt kört és a háromszög legkisebb szögéhez tartozó két oldalt. 4. Mekkora annak a legkisebb méretű négyzetnek az oldala, amelyben elhelyezhető két egymást nem metsző a és b sugarú kör? Megoldás: Jelöljük a keresett N négyzet oldalának hosszát x-szel, az a és b sugarú köröket k 1, k -vel, középpontjaikat O 1, O -vel. Tegyük fel, hogy a b! Ekkor O 1 és O benne vannak olyan N 1 és N 106

13 Fonyó Lajos: A Malfatti probléma négyzetekben, amelyek maguk is benne vannak N-ben és oldalaik N oldalaitól a és b távolságra vannak. Jelöljük A, B-vel N 1 és N két azon átellenes helyzetű csúcsát, amelyekre az AB átlójú négyzet tartalmazza az O 1 O szakaszt. Ekkor O1O AB = ( x a b) Másrészt mivel k 1 és k körök nem metszők O1O a + b. Így ( x a b) a + b, amiből x ( a b) + +. Továbbá mivel a k 1 kör + benne van az N négyzetben: x a. Ha 1 b a b + az N négyzet oldala + x = ( a + b). Az egyenlőség is fennállhat, pl. O 1 = A, O = B választás esetén. + Ha ( a + b) < a, akkor x = a. Eredményeinket összefoglalva: x + ( + ), ha ( + 1) a b b a b = + < a, ha 1 b a a + b a, azaz 5. Mekkora annak a legkisebb méretű szabályos háromszögnek az oldala, amelyben elhelyezhető két egymást nem metsző a és b sugarú kör? Megoldás: Jelöljük a keresett H szabályos háromszög oldalának hosszát x-szel, az a, b sugarú köröket k 1, k -vel, középpontjaikat O 1, O -vel. Tegyük fel, hogy a b. Ekkor O 1 és O benne vannak olyan H 1 és H szabályos háromszögekben, amelyek maguk is benne vannak H-ban és oldalaik H-tól a és b távolságra vannak. Jelöljük A-val és B-vel H 1 és H azon két csúcsát, melyekre teljesül, hogy O 1 és O benne vannak a B középpontú BA sugarú kör H -höz tartozó körcikkében. (Ilyen csúcsok mindig kiválaszthatók H 1, H -nél.) Mivel a k 1 és a k körök nem metszők, ezért O1O a + b. 107

14 Kistérségi tehetséggondozás Másrészt AB O 1 O, mivel AB < O 1 O esetén a BO O 1 háromszögben O 1 O lenne a legnagyobb oldal, és azzal szemben 60 -nál nagyobb szögnek kellene lenni, viszont O 1 BO Σ 60. Így AB a + b. Az ábrán kialakított ABE derékszögű háromszögre felírva a Pitagorasz tételt Ebből x a + b + ab adódik. Továbbá mivel a k 1 kör benne van a H szabályos háromszögben x a, azaz x a. 6 Ha azaz ( a + b) AB = ( a b) + x ( a + b) a + b + ab a, b a b, 0 a a b b a b akkor a H szabályos háromszög oldala fennállhat, pl. O 1 = A, O = B választás esetén. Ha a > b, akkor x = a. Eredményünket összefoglalva:. a + b + ab, ha b a b x = a, ha b < a x = a + b + ab. Az egyenlőség 108

15 Fonyó Lajos: A Malfatti probléma 6. Mutassuk meg, hogy az egyenlő oldalú háromszögben a Malfatti probléma megoldása a beírt kör és két olyan kör, amelyek érintik a beírt kört és a háromszög két-két oldalát. Megoldás: Válasszuk a szabályos háromszög oldalát egység hosszúságúnak. Tegyük fel, hogy az egymást nem metsző k 1, k, k körök sugaraira az a b c nagyságrend teljesül. Azt fogjuk belátni, hogy 1 a =, 1 b =, 6 1 c =. 6 Ennek igazolásához meg fogjuk mutatni, hogy teljesül az egyenlőtlenség. Két esetet fogunk vizsgálni: 1. eset: a b 1 Felhasználva, hogy a 11 a + b + c a + b + c a + b a + a = Az egyenlőség feltétele: a =, b = c = = 6. eset: b a b Legyen b = x b, ahol x > 0. 1 Ekkor az a és b között feltételezett nagyságrend alapján: x

16 Kistérségi tehetséggondozás Az 5. feladat megoldása alapján ekkor Ennek figyelembe vételével a + b + ab 1, x + 1 b + xb 1, b 1 ( x + x + ) 1 4 9x + a + b + c a + b = 9x + b =. 1 Így elegendő belátnunk, hogy ( x + x + 1 ) Az 1 x 1 feltétel miatt Az x 1 0 és 4 9x x 1x 110x 44x , ( x )( x x x ) ( x + x + ) 1 5x + 9x 17x 61 = 51x x + 174x + 9x = > 0 egyenlőtlenségek alapján az állítást igazoltuk. Az egyenlőség feltétele: x = 1, hogy b = c = 1 ( x + x + ) a =, b = c = =. 6, ami éppen azt jelenti, 110

17 Fonyó Lajos: A Malfatti probléma Gyakorló feladatok: 7. Határozzuk meg a Malfatti körök sugarát az egység oldalú szabályos háromszögben és mutassuk meg, hogy azok nem megoldásai a Malfatti problémának. 8. Adott négyzetbe helyezzünk el két egymást nem metsző r 1 és r sugarú kört. Határozzuk meg a) r 1 r maximumát, b) r + r maximumát Adott háromszögben helyezzünk el két egymást nem metsző kört. Határozzuk meg, mely esetben lesz a területük szorzata maximális. 10. Helyezzünk el adott téglalapban két egymást nem metsző kört úgy, hogy a) területük összege, b) területük szorzata maximális legyen. 11. Határozzuk meg annak a legkisebb méretű négyzet oldalainak hosszát, amelyben elhelyezhető két egymást nem metsző és egység sugarú kör. 1. Határozzuk meg annak a legkisebb méretű négyzet oldalának hosszát, amelyben elhelyezhető három egymást nem metsző 1, és egység sugarú kör. 1. Határozzuk meg annak a legkisebb méretű szabályos háromszögnek oldalhosszát, amelyben elhelyezhető három egymást nem metsző, és 4 egység sugarú kör. 14. Oldjuk meg a Malfatti problémát egy négyzetben elhelyezett három egymást nem metsző körre. 15. Határozzuk meg annak a legkisebb méretű négyzetnek oldalhosszát, amelyben elhelyezhető öt egymást nem metsző egység sugarú kör. 16. Adott kockába helyezzünk el két egymást nem metsző gömböt úgy, hogy a) felszínük összege, b) térfogatuk összege maximális legyen. 17. Határozzuk meg annak a legkisebb méretű kockának élhosszát, amely tartalmaz két egymást nem metsző a és b sugarú gömböt. 111

18 Kistérségi tehetséggondozás 18. Határozzuk meg annak a legkisebb méretű kockának az élhosszát, amely tartalmaz kilenc egymást nem metsző egység sugarú gömböt. Gyakorló feladatok megoldásai: 7. A r + r = 1 összefüggés alapján a Malfatti 1 körök sugara: r =. 4 A Malfatti körök területösszege: 1 π π = 0, A 6. feladat alapján a megoldást szolgáltató 1 1 körök sugara r 1 =, r = r =. 6 A körök területösszege π π + π = 0, π < π Tehát r + r = a és 8. A. feladat megoldása alapján a körök r 1, r sugarára 1 ( ) a 0 < r1, r, ahol a jelöli a négyzet oldalát. a) A számtani-mértani közép közti egyenlőtlenség alapján r1 + r r1 r a a = r 1 r pontosan akkor maximális, ha r 1 = r = a. 11

19 Fonyó Lajos: A Malfatti probléma r b) 1 r r1 r r1 r r1 r1 r r r1 r ( r1 r1 r r ) + + = + + = = r1 + r = ( r ) 1 + r r1 + r. r + r = a állandó érték, ezért Mivel 1 ( ) maximális, ha r 1 r + maximális. 1 r r + pontosan akkor A. feladat megoldása alapján ez r 1 r esetén az r1 = a és a r = értékeknél teljesül. Ekkor 50 5 r1 + r = a A megoldást jelentő körök érintik egymást és a háromszög két-két oldalát. A számtani-mértani közép közti egyenlőtlenséget használva r1 r 1 π r1 r π + =. t t Így a területük szorzata pontosan akkor maximális, ha r1 + r értéke a lehető legnagyobb. A. feladat alapján a megoldást két olyan egymást érintő kör adja, melyek közül az egyik a beírt kör, a másik pedig érinti a háromszög legkisebb szögéhez tartozó két oldalt. 10. Tegyük fel, hogy a téglalap a és b oldalaira teljesül, hogy a b. Ha a b, akkor elhelyezhetünk a téglalapban a két egymást nem metsző sugarú kört, és így lesz a körök területének összege maximális. A b a b esetben a. feladat alapján elegendő olyan köröket vizsgálnunk, melyek érintik egymást és a téglalap két-két szemközti oldalát. 11

20 Kistérségi tehetséggondozás Ekkor az ábra alapján: b r 1 r, 0 < r1, r esetén legyen ( r + r ) = a ( r + r ) + b ( r + r ) r1 + r = a + b ab a + b ab a + b ab r1 = x és r = + x, ahol Ekkor 1 r r + pontosan akkor maximális, ha ab a 0 x. a + b ab 1 + = + r r x. ab a x =, azaz b b r1 = a + ab és r =. 114

21 Fonyó Lajos: A Malfatti probléma b) A r1 + r 1 r1 r t t = π π átalakítás alapján a területek szorzata pontosan akkor a lehető legnagyobb, amikor a területük összege maximális. 11. A 4. feladat megoldása alapján a keresett négyzet oldalának hossza + + = A 11. feladat alapján az r 1 =, r = sugarú egymást nem metsző köröket tartalmazó legkisebb méretű négyzet oldalának hossza +. Ebben a négyzetben az ábra szerint még elhelyezhető egy olyan r = 1 sugarú kör is, amely nem metszi a másik kettőt, mivel és 1 = 1 + = = 1 + O O r r O O = = 9 + > r + r. Tehát a keresett négyzet oldalának hossza

22 Kistérségi tehetséggondozás 1. Az 5. feladat megoldása alapján az r 1 = 4, r = sugarú egymást nem metsző köröket tartalmazó legkisebb méretű szabályos háromszög oldalának hossza ( 4 + ) + 4 = 11. Ebben a szabályos háromszögben az ábra szerint még elhelyezhető egy olyan r = sugarú kör is, amely nem metszi a másik kettőt, mivel és O O = 5 + = 79 > r + r 1 1 O O = = 109 > r + r Tehát a keresett szabályos háromszög oldalának hossza Használjuk a 4. feladat eredményeit és a 6. feladat megoldási módszerét. 15. Tegyük fel, hogy az öt egymást nem metsző kör elhelyezhető egy a oldalú négyzetben. Ekkor a és a körök középpontjai benne vannak egy a oldalhosszúságú négyzetben. Osszuk fel ezt az utóbbi négyzetet négy darab a oldalhosszúságú négyzetre a középponton áthaladó oldalakkal párhuzamos vágásokkal. A skatulyaelv értelmében ekkor biztosan lesz olyan kis négyzet, amelybe legalább két kör középpontja kerül. Ha ezek a középpontok O 1 és O, akkor mivel nem metszik egymást, a ezért O 1 O. Másrészt O1O. a Így, amiből a

23 Fonyó Lajos: A Malfatti probléma A. ábra alapján az a = + oldalú négyzetben el is helyezhető az öt egymást nem metsző egység sugarú kör. 16. Elegendő azt az esetet vizsgálni, amikor a két gömb érinti egymást és a kocka két átellenes csúcsára illeszkedő - lapot. Jelöljük a kocka élét a-val, a körök sugarát r 1, r -vel, felszínét A 1, A -vel, térfogatát V 1, V -vel. Ekkor: a) A ( 1 + A = 4π r1 + r ) Feladatunk tehát r Legyen ahol Ekkor r + r + r + r = a, 1 1 r 1 r. 1 a + = = + a 1 r + maximumának meghatározása. r1 = a x és r = a + x, 4 4 a 0 < r1 r és 0 x a = a + x r r 4, így 1 r r + pontosan akkor maximális, ha 1 x = a, azaz 4 r1 = 1 a a és r =. Tehát a két gömb felszínének összege pontosan akkor maximális, ha az egyik a kocka beírt gömbje, a másik pedig a beírt gömböt és a kocka A1 + A = 8 4 π a. lapját érintő gömb. Ekkor 117

24 Kistérségi tehetséggondozás 4π b) V1 + V = ( r1 + r ) Feladatunk tehát r 1 r + maximumának meghatározása. ( r r ) ( r r ) r1 + r r1 + r = Mivel r1 + r = a állandó érték, ezért r1 + r pontosan akkor a legnagyobb, ha r1 + r maximális, azaz az a) eset alapján r 1 = 1 a a és r = esetén. Ekkor 9 5 V1 + V = π a. 17. Jelöljük a keresett K kocka éleinek hosszát x-szel, az a és b sugarú gömböket g 1, g -vel, középpontjaikat O 1, O -vel. Tegyük fel, hogy a b! Ekkor O 1 és O benne vannak olyan K 1 és K kockákban, amelyek maguk is benne vannak K-ban és lapjaik K lapjaitól a és b távolságra vannak. Jelöljük A, B-vel K 1 és K azon két átellenes csúcsát, melyekre az AB testátlójú kocka tartalmazza az O 1 O szakaszt. Ekkor O O AB ( x a b) =. 1 Másrészt mivel g 1 és g gömbök nem metszők, O1O a + b. Így ( x a b) a + b, amiből x ( a b) + +. Továbbá mivel a g 1 gömb + benne van a K kockában: x a. Ha ( + ) a + b a, azaz b a b, akkor a K kocka oldala + x = ( a + b). Az egyenlőség 6 is fennállhat, pl. O 1 = A és O =B választás esetén. + Ha a + b < a, akkor x = a. 118

25 Fonyó Lajos: A Malfatti probléma Eredményeinket összefoglalva: ( + ) + ( a + b), ha b a b 6 x = ( + ) a, ha b < a Tegyük fel, hogy a kilenc egymást nem metsző egység sugarú gömb elhelyezhető egy a élű kockában. Ekkor a és a gömbök középpontjai benne a vannak egy a élű kockában. Osszuk fel ez utóbbi kockát nyolc darab élű kockára a középpontján áthaladó lapjaival párhuzamos vágásokkal. A skatulyaelv értelmében ekkor biztosan lesz olyan kis kocka, amelybe legalább két gömb középpontja kerül. Ha ezek a középpontok O 1 és O, akkor a figyelembe véve, hogy a gömbök nem metszők: O1O, amiből ( + ) 1 a. Az ( + ) 1 a = élhosszúságú kockában el is helyez- a élű hető a kilenc egység sugarú gömb, ha a gömbök középpontjait az kocka csúcsaiban és középpontjában helyezzük el. 119

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat 3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

18. Kerületi szög, középponti szög, látószög

18. Kerületi szög, középponti szög, látószög 18. Kerületi szög, középponti szög, látószög Középponti szög fogalma: A körben a középponti szög csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara, illetve azok félegyenese. Egy középponti szög (ω)

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA)

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Oktatási Hivatal A 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Egy húrtrapéz pontosan

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2013. április 8. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. Jelöljük x-szel az adott hónapban megkezdett 100 kb-s csomagok számát. Az első szolgáltatónál

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

8. Geometria = =

8. Geometria = = 8. Geometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy négyzet átlójának hossza 4 + 2. Mennyi a négyzet oldalhossza? (A) 1 + 2 2 (B) 4 + 2 (C) 2 2 + 2 (D) 2 + 2 (E) 2 2 + 1 Egy a oldalú négyzet átlója a 2. Ezt

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: 1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: a) ( 7) + ( 12) = 19 b) ( 24) + (+15) = 9 c) ( 5) + ( 27) = 32 d) (+19) + (+11) = +30 e) ( 7) ( 25) = +175 f) ( 5) (+14) = 70 g) ( 36) (+6)

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Telepítő programok Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Súgó Menü Súgó Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

XXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, április 8-12.

XXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, április 8-12. XXIV. NEMZETKÖZI MGYR MTEMTIKVERSENY Szabadka, 05. április 8-. IX. évfolyam. Egy -as négyzetháló négyzeteibe a bal felső mezőből indulva soronként sorra beirjuk az,,3,,400 pozitív egész számokat. Ezután

Részletesebben

Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal-

Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Fazekas Gabriella IV. matematika-informatika Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Jelen tanulmány a fent megjelölt fogalmak egy lehetséges

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22.

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22. osztály Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! y + yz = 8 yz + z = 9 z + y = 5 (0 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: ( + yz + z) = Ebből kivonva az egyenleteket: y =, yz = 6, z

Részletesebben

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! 1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Síkgeometria. Ponthalmazok

Síkgeometria.  Ponthalmazok Síkgeometria http://zanza.tv/matematika/geometria Ponthalmazok Alapfogalmak: pont egyenes sík (nincs kiterjedése; általában nagy betűvel jelöljük) (végtelen hosszú; általában kis betűvel jelöljük) (végtelen

Részletesebben

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET)

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10 14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) Kosztolányi József - Mike János MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10-14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK **

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

= 0. 1 pont. Összesen: 12 pont

= 0. 1 pont. Összesen: 12 pont 1. Egy számtani sorozat páros sorszámú, illetve páratlan sorszámú tagjai is számtani sorozatot alkotnak. Páratlan sorszámú tag összesen 11 darab van, páros sorszámú pedig 10. A feladat feltétele szerint:

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

Oktatási Hivatal. A döntő feladatai. 1. Feladat Egy kifejezést a következő képlettel definiálunk: ahol [ 2008;2008]

Oktatási Hivatal. A döntő feladatai. 1. Feladat Egy kifejezést a következő képlettel definiálunk: ahol [ 2008;2008] OKTV 7/8 A öntő felaatai. Felaat Egy kifejezést a következő képlettel efiniálunk: 3 x x 9x + 7 K = x 9 ahol [ 8;8] x és x Z. Mennyi a valószínűsége annak hogy K egész szám ha x eleget tesz a fenti feltételeknek?.

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

. Számítsuk ki a megadott szög melletti befogó hosszát.

. Számítsuk ki a megadott szög melletti befogó hosszát. Szögek átváltása fokról radiánra és fordítva 2456. Hány fokosak a következő, radiánban (ívmértékben) megadott szögek? π π π π 2π 5π 3π 4π 7π a) π ; ; ; ; ; b) ; ; ; ;. 2 3 4 8 3 6 4 3 6 2457. Hány fokosak

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI

TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI http://zanza.tv/matematika/geometria/thalesz-tetele http://zanza.tv/matematika/geometria/pitagorasz-tetel http://zanza.tv/matematika/geometria/nevezetes-tetelek-derekszogu-haromszogben

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 009/00-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC. ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC

Részletesebben

Oktatási Hivatal. A döntő feladatainak megoldása. 1. Feladat Egy kifejezést a következő képlettel definiálunk: ahol [ 2008;2008]

Oktatási Hivatal. A döntő feladatainak megoldása. 1. Feladat Egy kifejezést a következő képlettel definiálunk: ahol [ 2008;2008] OKTV 7/8 A öntő felaatainak megolása. Felaat Egy kifejezést a következő képlettel efiniálunk: 3 x x 9x + 7 K = x 9 ahol [ 8;8] x és x Z. Mennyi a valószínűsége annak hogy K egész szám ha x eleget tesz

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

pont százalék % érdemjegy (jeles) (jó) (közepes) (elégséges) alatt 1 (elégtelen

pont százalék % érdemjegy (jeles) (jó) (közepes) (elégséges) alatt 1 (elégtelen A dolgozat feladatai az órán megoldott feladatok valamelyike, vagy ahhoz nagyon hasonló. A dolgozat 8 feladatból áll. 1. feladat 13 pont. feladat 8 pont 3. feladat 4. feladat 5. feladat 5 pont 6. feladat

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z 146/1 147/2 1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z b) 0; H; I; N; O; S; X; Z c) 0; O; H; I; X; Z a) kőr dáma b) pikk jumbo; kőr dáma.; káró

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

. Az OED derékszögű háromszögben alkalmazhatjuk a befogótételt, sin,

. Az OED derékszögű háromszögben alkalmazhatjuk a befogótételt, sin, Magyar Ifjúság 16. XV. GEOMETRIAI SZÁMÍTÁSI FELADATOK Egyes feladatokban nem konkrét számértékekkel, hanem paraméterekkel, betűkkel adják meg az adatokat, és ezek függvényeként kell kifejezni a kérdezetteket.

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Megáll a józan ész! ( vagy csak az ész? ) Ágotai László (Kisújszállás)

Megáll a józan ész! ( vagy csak az ész? ) Ágotai László (Kisújszállás) Megáll a józan ész! ( vagy csak az ész? ) Ágotai László (Kisújszállás) A foglalkozáson olyan bizonyításokkal, okoskodásokkal foglalkozunk, amelyekből kapott eredmények a józan eszünknek és az eddigi matematikai

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V. Geometria V. DEFINÍCIÓ: (Középponti szög) Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a kör középponti szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Kerületi szög) Ha egy szög csúcsa egy adott körvonal pontja,

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 7.

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 7. A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók a szürke

Részletesebben

XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői

XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői XI.5. LÉGY TE A TANÁR! Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Algebrai, geometriai, kombinatorikai és valószínűségszámítási tipikus gondolkodási hibák, buktatók. Előzmények Mérlegelv, másodfokú egyenletek

Részletesebben

Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz Geometria 1 haladó szint (2011/2012 es tanév, 2. félév)

Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz Geometria 1 haladó szint (2011/2012 es tanév, 2. félév) Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz 1) Az euklideszi síkon adva van két egyenlő sugarú kör k 1 és k 2, amelyek az M, N pontokban metszik egymást. Jelölje r a két kör sugarát. Az M ponttal, mint centrummal,

Részletesebben

T T A. Összeállította: Vinczéné Varga Adrienn Kézi Csaba. Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék

T T A. Összeállította: Vinczéné Varga Adrienn Kézi Csaba. Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék T T A Összeállította: Vinczéné Varga Adrienn Kézi Csaba Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék A függvény fogalma, tulajdonságok Függvény megadása Értelmezési tartomány Értékkészlet Zérushelyek

Részletesebben

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül! Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Geometria I. Vígh Viktor

Geometria I. Vígh Viktor Geometria I. Vígh Viktor Kivonat Jelen jegyzet az SZTE osztatlan matematikatanár-képzésében szereplő Geometria I. tantárgyhoz íródott. A kurzus a tanulmányok első félévében kötelező. Ezért a tárgyalásban

Részletesebben

1. Feladatsor. I. rész

1. Feladatsor. I. rész . feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható

Részletesebben

Kompetencia Alapú Levelező Matematika Verseny

Kompetencia Alapú Levelező Matematika Verseny Név: Iskola: Kompetencia Alapú Levelező Matematika Verseny 2012. december 10. 2. forduló Pótlapok száma: db. 1. Egy telek területe 2000 m 2. Adja meg az érdeklődő angol vevőnek, hány négyzetlábbal egyenlő

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni

1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni 1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni a) 5 db 8 cm hosszú, b) 8 db 5 cm hosszú cérnával? Megoldás:

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév kezdők III. kategória I. forduló

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév kezdők III. kategória I. forduló Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/013-as tanév kezdők I II. kategória II. forduló kezdők III. kategória I. forduló Megoldások és javítási útmutató 1. Egy osztályban

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. A komplex számok ábrázolása

1. A komplex számok ábrázolása 1. komplex számok ábrázolása Vektorok és helyvektorok. Ismétlés sík vektorai irányított szakaszok, de két vektor egyenlő, ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak. Így minden vektor kezdőpontja az

Részletesebben