KARSZTFEJLŐDÉS XV. Szombathely, pp A DOLOMIT KARSZTOS LEPUSZTULÁSÁNAK MATEMATIKAI MODELLJE PÉNTEK KÁLMÁN

Átírás

1 KARSZTFEJLŐÉS XV. Szombathly, 1. pp A OLOMIT KARSZTOS LEPUSZTULÁSÁNAK MATEMATIKAI MOELLJE PÉNTEK KÁLMÁN Nyugat-magyarországi Egytm, Trmészttudományi Kar, Matmatika és Fizikai Intézt 97 Szombathly, Károlyi Gáspár tér 4. pntk@ttk.nym.hu Abstract: In th papr w prsnt th mathmatical dscription of th dnudation procss of dolomit, which occurs in th zon of dbris. alcit-brooks ar prcolating th dolomit and bcom shingly. W ar modling th dstruction of dolomit with th solution of idal dolomit sphrs, which surfac is covrd by calcit layr. Th prsntd modl in this papr is th natural gnralization of th dscription modl of th zon of dbris of th solution of chalk. Th dtaild xprssions ar in accordanc with th formr dscription of xprssions of karstic thory. 1. Bvztés A dolgozatban a murvásodó dolomit karsztos dnudációs folyamatának gy lhtségs matmatikai modlljévl ismrkdhtünk mg. A tárgyalásra krülő modll flhasználásával lhtőségünk lsz a dolomit dnudációs sbsségénk mghatározására is. A dolomit karsztos pusztulási folyamatát több szrző, pl. JAKUS (1971) és VERESS (1998) vizsgálta és a dnudáció sbsségénk kísérlti méréss módszrkkl történő mghatározásával is találkozhatunk (IZÁPY- MAUHA, ). Amint az közismrt, a mészkő és a dolomit karsztos pusztulása a térbn két jól lkülöníthtő tartományban, a flszínn és az áramló karsztvíz övébn mgy végb (JAKUS, 1971). Maga a karsztos flszín is két, lénygsn különböző módon pusztulhat a bszivárgó csapadékvizk hidrokarbonátos oldásának hatására: horizontális karsztosodással (VERESS-PÉNTEK, 199, 1994, 1996), továbbá vrtikális karsztosodással (VERESS-PÉNTEK, 1994, 1995, 1998). A horizontális karsztosodás hatására alakul ki az oldásos dolinákat tartalmazó karsztos térszín, a vrtikális karsztosodással pdig a hasadékok, kürtők és aknák rndszrét tartalmazó karsztos térszín fjlődik ki. A klasszikus horizontális dnudációs modllt több lépésbn finomította és fjlszttt PÉNTEK (1), PÉNTEK-VERESS (), valamint PÉNTEK (7, 8). Ezn modllk a mészkő karsztos pusztulását írták 5

2 l, így kívánatos célként fogalmazódott mg a dolomit dnudációs modllj flépítésénk igény. A karsztos pusztulás matmatikai lírásának alapja NERNST (194) klasszikus diffrnciálgynlt. Az alábbiakban bmutatandó matmatikai modllbn a kalcitrkkl átszőtt murvásodó dolomit karsztos dnudációját vizsgáljuk, lvztjük a dnudációs sbsségt kiszámító formulát. Mghatározzuk azokat a paramétrkt, amlyk bfolyásolják, illtv mghatározzák a dolomit dnudációját. Tárgyalásunk a mészkő dnudációjára kidolgozott lináris modll (PÉNTEK, 1) dolomitra történő általánosítása.. Gomorfológiai modll amg O 3 gy kttős só. A vgytiszta dolomitkőzt és a mészkő között a trmésztbn számos átmnt fordul lő. A dolomitkőztkbn általában az lmélti normál dolomit arányánál nagyobb mnnyiségű ao 3 komponns található. Ez a flslgs mészanyag kalcit formájában cmntálja össz a dolomit ásvány kristályait. Az oldódás során lőbb a kalcit tapasztó anyag krül az oldatba, így a dolomit murvásodik. Ezután a murvásodott dolomit oldódása során lőbb a a, majd zt kövtőn az Mg ionok krülnk oldatba (JAKUS, 1971), továbbá (VERESS, 1998). Ezt az oldási folyamatot tárgyaljuk a továbbiakban. A dolomit karsztos pusztulása gomorfológiai modlljénk mgalkotása során gy talajrétggl borított, kalcitrkkl szövtszrűn átjárt, rpdztt horizontális lhlyzkdésű dolomit térszínből indulunk ki. A talajon áthaladó csapadékvíz széndioxiddal fldúsul, amir lflé haladva léri a kőzt flszínét. A kőztb szivárgó víz fltvésünk szrint lőször a kalcit tapasztó anyagát oldja fl, majd a dolomit flülti oldás hatására darabokra különül, majd oldódik tovább. Miközbn az oldószr lflé halad, fokozatosan a floldott kalcit, illtv dolomit anyagától fokozatosan tlítődv lvszti oldóképsségét. A kőzt a térbn mindn irányban kialakult rpdésk mntén végbmnő oldás hatására törmlékdarabokra különül, murvásodik, s záltal kifjlődik a szálkőzt flső tartományából fltvésünk szrint gy két, horizontális tartományra tagolható törmléks oldódási zóna. Modllünk fltvés szrint az alsó tartományban oldódik a kalcit tapasztó anyag, s záltal itt a törmléks oldódási zóna lénygébn úgy működik, mintha mészkőtörmlék oldódna. A flső tartományban pdig a murvásodott dolomit törmlék flült oldódik a tiszta dolomitra jllmző kisbb oldási intnzitással. A dolomit ásvány ( ) 6

3 A szálkőztről lváló törmlékdarabok mértét a kőzt rpdzttségénk mérték határozza mg. A törmlékdarabkák mért a szálkőzttől flflé haladva fokozatosan csökkn. E tapasztalat magyarázata gyrészt az, hogy a kétrétgű törmléks zóna flső részén található törmlékdarabok korábban szakadtak l a szálkőztről, másrészt itt a zóna flső tartományában lghatékonyabb az oldási folyamat, mivl itt lgagrsszívbb a flülről érkző oldószr. A kétrétgű törmléks oldódási zóna folyamatosan lflé tolódik l, hiszn az oldás hatására a zóna flső tartományában ltűnnk a tljsn floldott törmlékdarabok. Ezért a még nm tljsn tlítődött oldószr a szálban álló, rpdztt kőzt flső tartományába nyomulhat, s így a törmléks zóna a szálkőzt aprózódásával alulról pótlódik. Ha az oldás körülményi számottvőn nm módosulnak, valamint a kőzt jllg is lénygébn a vizsgált tartományban azonos, akkor az oldási folyamatra jllmző vastagságú, valamint rögzíttt arányban kttős rétgű flül dolomit, alul kalcit bvonatos dolomitos törmléks oldódási zóna fjlődik ki. A szálkőzt és a törmléks oldódási zóna alsó határa abban a mélységbn található, ahol az oldószr tlítődik, s határ a zóna flső szélévl dinamikus gynsúlyban gy rögzíttt vastagságú oldási tartományt képzv folyamatosan süllyd lflé. Ha az oldás körülményi mgváltoznak, akkor mgváltozik a kttős rétgű oldódási zóna vastagsága és rétgzttségénk arányai és gy új dinamikus gynsúlyi állapot alakul ki. A törmléks oldódási zóna, s vl gyütt karsztos flszín is olyan ütmbn süllyd, ahogyan zt a zónát képző törmlékdarabok oldódása mgngdi. A mészkő térszínénk dnudációjához hasonlóan a törmléks oldódási zóna lvilg a nyílt, vagy fdtln dolomit karszt tljs trültén mgszakítás nélkül kifjlődht. Trmésztsn az gys dolomitos karsztos térszínkn az oldást mghatározó tényzők hlyilg jlntősn különbözhtnk gymástól, így a térszín különböző hlyin a lpusztulás sbsség is ltérő lht. Ez a különböző lpusztulási sbsség fllős a dolomitos térszínk jllgzts formakincsénk kialakulásáért. 3. Matmatikai modll A dolomit karsztos pusztulása matmatikai modlljénk mgalkotása során az lőző részbn kifjttt gomorfológiai modll alapvtő tulajdonságait mgtartjuk, d néhány gyszrűsítő idalizáló fltvést fogalmazunk mg. Fltvésink a kövtkzők: a) A karsztosodó kalcitrs dolomit flső tartományában a rpdésk három kvidisztáns párhuzamos síkrndszrt alkotnak. E síknyalábok rndszr 7

4 páronként gymásra mrőlgs, gyikük horizontális lhlyzkdésű. E három síkrndszr a szálkőzt flső tartományát gymással gybvágó, a élhosszúságú kockák rndszrér bontja szét. b) Az a) részbn mgkonstruált kockák rndszrébn a R átmérőjű törmlékgömbök rndszr hlyzkdik l, amlyk mindgyikénk középső azonos r( < R) sugarú részébn gy-gy dolomit gömb, az zt burkoló r és R sugarakkal határolt gömbhéjban pdig kalcit bvonat található. Valamnynyi törmlékgömb középpontja a tljs oldódási folyamat során az adott gömböt rdtilg tartalmazó a élhosszúságú kocka középpontjában marad. c) A b) részbn mgkonstruált törmlékgömbök rndszr alkotja az idális törmléks oldódási zónát. A zóna két horizontális tartományra különíthtő. Az alsó tartományt azok a horizontális törmlékgömb rétgk alkotják, amlyk flültén még az gys gömbhéjakból a kalcit oldódik, a flső tartományt pdig azok a horizontális törmlékgömb rétgk, amlyknk már a középső részébn található dolomit oldódik. d) Az idális törmléks oldódási zónában lhlyzkdő törmlékgömbök a átmérőj lénygsn kisbb a zóna d vastagságánál, továbbá érvénys z a mgállapítás alsó kalcit oldódási d, valamint a flső dolomit oldódási d tartomány vastagságára gyaránt. Az idális törmléks oldódási zónát alkotó gömbök sugara alulról, a gömbök zárt közös térkitöltésétől indulva fölflé haladva fokozatosan csökkn az oldás hatására és tart nullához, vagyis a gömbök tljs floldódásához. ) Az idális törmléks oldódási zónán átszivárgó oldószr oldott anyag koncntrációja a zóna flső határától mért x mélység függvényébn a (1) x, ha x < d d ( x d ), ha d x d d x ( ) + < összfüggéssl írható l, ahol a flső dolomittartományon áthaladt oldószr oldott anyag koncntrációja, pdig az oldószr gynsúlyi koncntrációja. Látható, hogy fltvésünk szrint a lflé haladó oldószr a mgttt út alapján a dolomitos törmlékn áthaladva kisbb mértékbn, a kalcitos törmlékn áthaladva nagyobb mértékbn, d mindkét szakaszon lináris függvény szrint tlítődik (1. ábra). 8

5 1. ábra: A törmlékzónás karsztos térszín idális oldódási modllj Jlmagyarázat:a) a karsztosodó térszín idális krsztszlvény, b) a (x) függvény, c) a gomtriai modll Fig. 1: Idal dissolution modll of th karst of th zon of dbris Lgnd: a) th idal cross-stion of th karstification ground surfac, b) th (x) function, c) th gomtric modl A mészkő, illtv a dolomit hidrokarbonátos oldódása klasszikus matmatikai lírását NERNST (194) adta mg a dm k k dt k + k K T () S ( ) K alakú diffrnciálgynlt sgítségévl. Itt m [kg] a kőzt oldásnak kittt flültéről ltávozott tömg, t [s] a kőzt oldódásának időtartama, k K [m/s] a kémiai oldás sbsségi állandója, k T [m/s] a határrétgbn ljátszódó anyagtranszport sbsségi állandója, S [m ] az oldódó kőzt flült, [kg/m 3 ] az oldószr gynsúlyi koncntrációja [kg/m 3 ] az oldószr aktuális pillanatnyi oldott anyag koncntrációja. Az anyagtranszport sbsség UBLJANSZKIJ (1987) nyomán flírható a T (3) kt δ ν 3 9

6 alakban, ahol δ [m ] az áramló rndszrr jllmző karaktrisztikus mért, jln stbn az gys törmlékgömbök átmérőj, [m /s] a diffúziós állandó, ν [m /s] az áramló oldószr kinmatikai viszkozitási tényzőj. Ha jlöli a mészkő, illtv a dolomit sűrűségét, dr az S pillanatnyi flszínű törmlékgömb sugarának dt idő alatti mgváltozását, akkor érvénys a (4) dm dt S dr dt összfüggés, amlynk flhasználásával a () diffrnciálgynlt a dr kk kt (5) dt k + k K alakban írható fl. A (3) képlt (5) formulába történő bhlyttsítésévl rndzés és összvonás után nyrhtjük a T (6) dt 1 16 R + ν dr k 85 3 K összfüggést. A (6) diffrnciálgynlt képzi számításaink kiinduló pontját, amlynk alapvtő célja a kalcitrkkl átszőtt dolomitos térszín lpusztulási sbsségénk mghatározása. Mgjgyzzük, hogy a további részkbn a (), (3), (4), (5) és (6) gynltk flhasználása során az gys mnnyiségkt jlölő btűk lábindxébn szrplttjük a, illtv a btűt attól függőn, hogy az összfüggés a dolomit, illtv mészkő (kalcit) oldódására vonatkozik. 4. A dolomit karsztosodásának matmatikai vizsgálata Első lépésként a lflé ltolódó két tartományból álló idális törmléks oldódási zónát vizsgáljuk mg. Tgyük fl, hogy az oldódási zónában gymás alatt n+m számú horizontális rétgbn hlyzkdnk l a törmlékgömbök. Az alsó n rétgbn a kalcit bvonatos törmlékgömbök, a flső m ré- 1

7 tgbn pdig a dolomit törmlékgömbök találhatóak. Mivl az gys gömbökt körülvvő kockák élhosszúsága a, így a törmléks zóna d vastagsága kifjzhtő a (7) d ( n + m) a n a + m a d + d összfüggéssl. A folyamatos karsztos oldás hatására a törmléks oldódási zóna gynlts sbsséggl süllyd lflé, d az gyszrűbb matmatikai tárgyalás kdvéért fltétlzzük a zóna szakaszos süllydését olyan módon, hogy szakaszos mozgás átlagsbsségét kiszámolva az mggyzzn a folyamatos süllydés sbsségévl. Úgy tkintjük thát, hogy a tljs törmléks oldódási zóna Δ t idig mgtartja térbli hlyztét, miközbn folyik a karsztos oldás, majd zt kövtőn hirtln ltolódik lflé a tljs zóna az gys törmlékgömbökt körülvvő kockák a élhosszával. Ezután az új térbli hlyztbn gy Δ t idig tartó oldási szakasz, majd zt kövtőn gy a nagyságú lflé történő hirtln ltolódás, gy lzökknés kövtkzik b, stb. Ezn digitalizált mozgás átlagos sbsség a fnti összfüggésk alapján a tljs oldódási zónára (8) c t a Δt ( n + m) a ( n + m) Δt d ( n + m) Δt, vagy az alsó kalcit bvonatos rétgkr (9) c t a n a d, Δt n Δt n Δt illtv a flső dolomit rétgkr pdig a (1) t a Δt m a m Δt d m Δt összfüggéssl jllmzhtő. A törmléks oldódási zóna süllydését a (8)- (1) összfüggésk annál pontosabban közlítik mg, minél kisbb a törmlékgömbök a átmérőj a zóna d vastagságához képst. 11

8 . ábra: A (x) függvény mgközlítés lépcsős függvénnyl Fig. : Approximation of th (x) by stp function Az idális törmléks oldódási zóna flső széléhz rögzíttt, s azzal gyütt lflé ltolódó koordinátarndszrbn az (1) összfüggésbn rögzíttt alakú (x) függvényt a fntikbn bmutatott szakaszos ltolódás alapján a (11) k 1, ha ( k 1) a x< k a, 1 k n m x ( ): l 1 ( ) +, ha ( l 1) a + d x l a + d, 1 l n n alakú lépcsős függvény flhasználásával írhatjuk l (. ábra). 5. Egy törmlékgömb floldódási folyamata 5.1. A mészkőhéj tartományának oldódása Vizsgáljuk mg zután gy kalcitbvonatos törmlékgömb tljs floldódási folyamatát! 1

9 Tgyük fl, hogy lmzésünk kzdtén éri l éppn a flülről érkző szakaszosan lflé mozgó idális törmléks oldódási zóna a kiválasztott törmlékgömböt. Így az lső Δ t időtartamú oldási szakaszban az mlíttt törmlékgömb a zóna lgalsó, kalcitbvonatos dolomit gömbökt tartalmazó rétgébn hlyzkdik l. Itt az oldószr koncntrációja a (11) összfüggés alsó sorából az l n hlyttsítéssl n 1 x + n (1) ( ) ( ) értékűnk adódik. Így a (6) gynlt (13) dt 1 16 R + dr kk ν n ( ) + n formájú, amlynk rndzésévl a (14) 1 16 R dt + n k K ν ( ) dr Δ t időtartamú oldási szakasz- alak adódik. Intgráljuk a (14) összfüggést a ra, nnk rdményként a (15) Δt Rn R dt + dr ( k ) Rn K ν n formula, illtv a t R 8 R Δ (16) [] t + 1 k 85 3 ( ) ν n Rn 1 K Rn összfüggés nyrhtő, amly a rndzésk és összvonások lvégzés után a 13

10 (17) 1 R R 8 R R Δ t + n k 85 ν n n 1 n n 1 3 K alakra hozható. Ezn Δ t időtartamú oldási szakasz után az idális törmléks oldódási zóna lzökkn a értékkl mélybb szintr, zért tkinttt törmlékgömbünk a zóna alulról számított második rétgéb krül, bár térbli hlyzt nm változott. Itt a zóna flső széléhz viszonyított kisbb mélységbn lévén némilg agrsszívbb oldószr oldja a törmlékgömb kalcitos flültét. Ebbn a hlyztbn az oldószr koncntrációja ismét a (11) összfüggés alsó sora alapján az l n 1 hlyttsítéssl nyrhtő: n 3 x +. n (18) ( ) ( ) Ekkor a (6) gynlt alakja (19) dt 1 16 R + dr kk ν n ( ) + n, amlyből az lső lépésnél látott módszrrl nyrhtjük a (17) formulának mgfllő () 3 n Δt R n 1 k R K n R n 1 3 R ν n összfüggést a második oldási szakasz végér. Mgkzdtt ljárásunkat tovább folytatva a kiszmlt törmlékgömbön szakaszosan halad krsztül az idális törmléks zóna alsó tartománya. Az n-dik utolsó lépésbn a törmlékgömb a zóna alsó tartományának flső szintjéb krül, s kkor oldódik l a gömb flültéről a kalcitbvonat lgblső rétg. Itt az oldószr koncntrációját a (11) összfüggés alsó sorának flhasználásával az l 1 hlyttsítéssl nyrhtjük: 1 x +. n (1) ( ) ( ) 14

11 A (6) gynlt alakja () dt 1 16 R + n dr kk ν ( ) +, ahonnan az lső lépésbn részltztt módon a (17) formulának mgfllő (3) n 1 R1 R 8 R1 R Δ t + n k 85 ν 3 K összfüggés vzthtő l. Ezzl lírtuk az idális törmléks zóna alsó, n számú rétgből álló tartományának a kiválasztott törmlékgömbön történő áthaladását, amlynk rdményként az a átmérőjű törmlékgömb flültéről n lépésbn a kalcit bvonat tljsn loldódik. Összgzzük most a (17), (), illtv (3) összsn n számú összfüggését, amly rndzés és összvonások után a kövtkző alakot ölti: (n 1) (4) Δ t n ( R R ) + ( R R ) ( R R ) n n 1 n 1 n 1 k K ( R ) ( ) ( n Rn 1 + Rn 1 Rn R1 R ) 3 A (4) összfüggés bal oldalán szrpl az lső n darab páratlan szám öszszg, amlynk érték n. Az összfüggés jobb oldalán mindkét tag szám- lálójában gy-gy tlszkopikus összg szrpl, így a (4) az alábbi tömörbb alakra hozható: ν + (5) n Rn R 8 Rn R Δ t + k 85 ν 3 K, 15

12 a vizsgált törmlékgömbnk a zóna alsó, kalcit bvonatot oldó tartományán történő áthaladásának tljs időtartama (5) flhasználásával: (6) Rn R 8 Rn R n Δ t + 3 kk 85 ν. 5.. A blső dolomit tartomány oldódása Az lső n lépésből álló oldási szakasz után a vizsgált törmlékgömb külső kalcitbvonata tljsn loldódott és az (n+1)-dik oldási szakaszban már a törmléks oldódási zóna flső, dolomitot oldó tartományának lgalsó rétgébn hlyzkdik l. Itt az oldószr koncntrációja a (11) összfüggés flső sorából a k m hlyttsítéssl m 1 (7) x ( ) m értékűnk adódik. A (6) gynlt (8) dt 1 16 R + dr k K m ν m alakú, nnk átrndzésévl a (9) 1 16 R dt + k K ν m m dr Δ t időtar- összfüggést nyrhtjük. Intgráljuk zután a (9) összfüggést a tamú oldási szakaszra, nnk rdményként a (3) Δt rm R dt + dr m k rm K ν m 16

13 formula, továbbá a t R 8 R Δ (31) [] t + m 1 k 85 3 ν m rm 1 K r m összfüggés nyrhtő, amly a rndzésk és összvonások lvégzés után a (3) m 1 m r r 8 r r Δ t + k 85 ν m m 1 m m 1 3 K alakra hozható. Eljárásunkat folytatva zn Δ t időtartamú oldási szakasz után az idális törmléks oldási zóna lzökkn a értékkl mélybb szintr, így az általunk vizsgált törmlékgömb a zóna dolomitos flső tartományának alulról számított második rétgéb krül, bár bérbli hlyztét mindvégig mgtartja. Itt a törmlékdarabnak a zóna flső széléhz viszonyított hlyzt tovább csökkn, zért az gyr agrsszívbb oldószrrl krül kapcsolatba. Az oldószr koncntrációja a (11) összfüggés flső sora alapján a k m 1 hlyttsítéssl nyrhtő: m 3 (33) x ( ). m Ekkor a (6) gynlt alakja (34) dt 1 16 R + dr k K m ν m, ahonnan az lőző lépésnél látott módszrrl nyrhtjük a (3) formulának mgfllő (35) m 3 m r r 8 r r Δ t + k 85 ν m 1 m m 1 m 3 K 17

14 alakra hozható. Eljárásunkat tovább folytatva a vizsgált törmlékgömbön szakaszosan halad krsztül az idális törmléks zóna flső tartománya. Az m-dik utolsó lépésbn a törmlékgömb a zóna lgflső rétgéb krül, s z utolsó összsn (n+m)-dik oldási szakasz végér tljsn floldódik. Ezn utolsó szakaszban éri a lgagrsszívbb oldószr, amlynk koncntrációját a (11) összfüggés flső sorának flhasználásával a k1 hlyttsítéssl nyrhtjük: 1 (36) x ( ). m Ekkor a (6) gynlt alakja (37) dt 1 16 R + dr k K ν m, amlyből a fntikbn bmutatott ljárással a (3) formulának mgfllő összfüggés a (38) m r r r r Δ t + k 85 3 ν K alakban írható fl. Ezzl lírtuk az idális törmléks zóna flső, m számú rétgből álló tartományának a kiszmlt törmlékgömbön történő áthaladását, amlynk rdményként a kalcit bvonatától oldással mgfosztott dolomit törmlékgömb m lépésbn tljsn floldódik. Összgzzük most a (3), (35), illtv (38), összsn m számú formuláját, amly a rndzés és összvonások után a kövtkző alakot ölti: (39) m 1 m m m m Δ t ( r r ) + ( r r ) ( r r ) m m 1 m 1 m 1 + k K 18

15 ( r ) ( ) ( m rm 1 + rm 1 rm r1 r ) E formula baloldalán szrplő tört számlálója összvonás és kimlés után flismrhtőn szintén tartalmazza a kalcitos oldási szakasz összgző formulájához hasonlóan az lső m számú páratlan szám összgét, amlynk érték m. A jobb oldalon pdig mindkét szrplő tagban gy-gy tlszkopikus összg található. Ezn észrvétlk flhasználásával a (39) tömörbb alakra hozható: 3 ν. (4) ( ) 8 m rm r rm r Δ t + k 85 ν 3 K. A vizsgált törmlékgömbnk a zóna flső, dolomitot oldó tartományán történő áthaladásának tljs időtartama: (41) rm r 8 rm r m Δ t + 3 kk 85 ν Az oldódás időtartama A szóban forgó törmlékgömbnk az idális törmléks oldódási zónán történő áthaladásának, s gyúttal a törmlékgömb tljs floldódásának időtartama pdig a (6) és (41) összfüggésk flhasználásával (4) T ( n+ m) Δ t n Δ t+ m Δ t Rn R 8 Rn R kk 85 ν rm r 8 rm r kk 85 ν 19

16 a Vgyük észr azonban, hogy Rn R, rm R és r, amlyk flhasználásával (4) a (43) T R R 8 R R kk 85 ν R R k K ν gyszrűbb alakot ölti, az gys oldási időszakok időtartama pdig (4), illtv (43) alapján: (44) 1 1 R R 8 R R Δ t T + + n+ m n+ m 3 kk 85 ν R R + + k ν 3 K. 6. A dolomit dnudációs sbsségénk kiszámítása Az lőző részbn bmutatott összfüggésk ismrtébn már mghatározhatjuk a vizsgált dolomitos karsztos térszín modllünk alapján származtatható dnudációs sbsségét. Szmljük ki az idális törmléks oldódási zóna gy ttszőlgs n+m számú törmlékgömböt tartalmazó oszlopát. E gömbök mért alulról flflé haladva gyr kisbb. Az alsó n számú dolomit anyagú gömb kalcit bvonattal rndlkzik és mészkő gömbök módjára oldódik, a flső m számú pdig dolomit gömb az lőző fjzt modlljévl összhangban. Könnyn bláthatjuk, hogy törmlékgömbök sugarainak nagysága rndr mggyzik gy adott törmlékgömb tljs floldódási folyamata gys fázisaiban mérhtő, az lőző részbn kiszámított sugaraival, miközbn gömbön áthalad az idális törmléks oldódási zóna. E sugarak érték az oszlopban lntről flflé haladva gy Δ t időtartamú oldási szakasz kz-

17 a dtén Rn, Rn 1, Rn,..., R, R1, rm, rm 1,..., r, r1, az oldási szakasz végén pdig rndr Rn 1, Rn, Rn 3,..., R1, R, rm 1, rm,..., r1, r. E gömbök térfogatai pdig az oldódási szakasz kzdtén: 3 4 a Vn π, Vn 1, Vn,..., V, V1, vm, vm 1,..., v, v1, az oldódási szakasz 3 végén rndr Vn 1, Vn,..., V1, V, vm 1, vm,..., v1, v. A Δ t oldási időtartam alatt gömboszlopból kioldott ltűnő térfogat nagysága: (45) V ( V V ) ( V V )... ( V V ) ( V V ) Δ n n 1 n 1 n 1 1 ( v v ) ( v v )... ( v v ) ( v v ) m m 1 m 1 m 1 1 4π a π V n v V n a 3 6 hiszn (45) a (4) és (39) összfüggéskhz hasonlóan szintén gy tlszkopikus összgt tartalmaz. Ha Δ x jlöli a dolomitos karsztos térszín lsüllydését a Δ t idő alatt, akkor érvénys a (46) Δ V a Δ x összfüggés is, amlyt (45) összfüggéssl gybvtv nyrjük a 3 3, vagyis a (47) (48) π 3 6 a a Δ x, π Δ x a 6 összfüggést. A kalcitrs dolomitos térszín dnudációs sbsségét már gyszrűn mghatározhatjuk a (44) és (48) flhasználásával a 1

18 π a Δx c 6 Δt 1 R R 8 R R R 8 R n+ m 3 3 kk 85 kk 85 ν ν (49) π d 1 a a R R 8 R 8 R kk 85 kk 85 ν ν formában. Figyljük mg, hogy ha spciálisan modllünkbn a kalcit bvonattal llátott dolomitgömbök oldódásakor a blső dolomitgömb sugara, azaz tiszta mészkőgömbök rndszr oldódik, akkor a dnudáció sbsség (49) alapján (5) π d Δx c 1 Δt a 8 a kk 4 ν π d a a kk ν hiszn kkor d d,. R Ez tljs gyzést mutat PÉNTEK (1) dolgozata (3) végformulájával. Vgyük észr továbbá, hogy ha a kalcit bvonattal llátott dolomitgömbök oldásakor bvonat vastagsága, azaz tiszta dolomitgömbök rndszr oldódik, akkor a dnudáció sbsség (49) alapján 1,

19 (51) π d Δx c 1 Δt a 8 a + k 85 4 ν 3 K π d a a + 1 k 85 ν 3 K 1, a mivl kkor d d,, R. Láthatjuk thát, hogy modllünk a mészkő karsztos dnudációs modllj trmészts kitrjsztésénk tkinthtő. 7. Összgzés A dolgozatban gy olyan matmatikai modllt mutattunk b, amlynk flhasználásával viszonylag kvés paramétr ismrtébn kiszámíthatjuk gy kalcitrkkl átszőtt dolomitos térszín karsztos dnudációs sbsségét. Így ismrnünk kll a törmléks oldódási zóna d vastagságát, az gys törmlékdarabok átlagos a nagyságát. Szükségs továbbá az adott oldási körülményk között az oldószr tlítési koncntrációját, illtv kalcit és a dolomit arányával kapcsolatban lvő koncntráció és R sugár értékkt. Ismrnünk kll a mészkő, valamint a dolomit sűrűségét, továbbá az áramló oldószr mészkő, valamint dolomit oldásakor mérhtő, illtv diffúziós állandóját, ν, illtv ν kinmatikai viszkozitását. Ez utóbbi két-két paramétrt az Arrhnius gynltkből számíthatjuk ki a PÉNTEK-VERESS (), illtv a PÉNTEK (8) dolgozatokban részltztt módon. Ezn mnnyiségk mghatározása laboratóriumi méréskkl lhtségs. A dolomit dnudációját szabályozó fizikai-kémiai folyamatok paramétrink mgmérés, kiszámítása, valamint a ténylgs dnudációs sbsség lőállítása és a (49) képlt alapján történő numrikus mghatározása munkánk soron kövtkző fontos fladata. 3

20 IROALOM UBLJANSZKIJ, J.V. (1987): Torticsszkoj modlirovanij dinamiki formirovanija gidrotrmokarsztovüh polosztyj Mtodi i izucsnyija gologicsszkih javlnyij, Novoszibirszk p IZÁPY G. MAUHA L. (): A magyarországi karsztos dnudáció sbsségénk bcslés Karsztfjlődés V., BF. Trmésztföldrajzi Tanszék, Szombathly, p. 7-. JAKUS L. (1971): A karsztok morfogntikája Akadémiai Kiadó, Budapst NERNST, W. (194): Thori dr Raktionsgschwindigkit in htrognn Systmn II. Zitschift für Physikalisch hmi. 47. p PÉNTEK K. (1): Karsztosodó mészkő térszínk lpusztulásának matmatikai modllj Karsztfjlődés VI., BF Trmésztföldrajzi Tanszék, Szombathly, p PÉNTEK K. (7): A horizontális karsztosodás gynltrndszrénk lvztés lmi tárgyalással Karsztfjlődés XII., BF Trmésztföldrajzi Tanszék, Szombathly, p PÉNTEK K. (8): A horizontális karsztosodás gynltrndszrénk gy gyszrű mgoldása Karsztfjlődés XIII., NYME Trmésztföldrajzi Tanszék, Szombathly, p. 5-. PÉNTEK K. VERESS M. (): A karsztos lpusztulás sbsségénk kiszámítása gy törmléks oldódási zóna adatainak flhasználásával Karsztfjlődés VII., BF Trmésztföldrajzi Tanszék, Szombathly, p VERESS M. (1998): Általános trmészti földrajz Savaria Univrsity Prss, Szombathly VERESS M. PÉNTEK K. (199): Kísérlt a karsztos flszínk dnudációjának kvantitatív lírására Karszt és Barlang I. p VERESS M. PÉNTEK K. (1994): Néhány karsztos folyamat lírása a fizikai kémiai hidrodinamika alapján BTF Tudományos Közlményi IX. Trmészttudományok IV. Szombathly, p VERESS M. PÉNTEK K. (1995): Kísérlt a flszíni vrtikális karsztosodás kvantitatív lírására Földrajzi Értsítő XLIV p VERESS M. PÉNTEK K. (1996): Thortical modl of surfac karstic procsss Zitschrift für Gomorphologi p VERESS M. PÉNTEK K. (1998): Modlling of karst surfac volution: Quantitativ dscription of surfac vrtical karstification Windows on Hungarian Gography, Studis in Gography in Hungary 8. Gographycal Rsarch Inst. HAS, Budapst, p