KARSZTFEJLŐDÉS XIII. Szombathely, pp A HORIZONTÁLIS KARSZTOSODÁS EGYENLET- RENDSZERÉNEK EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA PÉNTEK KÁLMÁN

Átírás

1 KARSZTFEJLŐDÉS XIII. Szombahly, 8. pp. 5-. A HORIZONTÁLIS KARSZTOSODÁS EGYENLET- RENDSZERÉNEK EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA PÉNTEK KÁLMÁN Nyuga-magyarországi Egym, Trmészudományi és Műszaki Kar, Mamaika és Fizikai Inéz 97 Szombahly, Károlyi Gáspár ér 4. pnk@mk.nym.hu Absrac: This papr prsns an lmnary soluion of quaion sysm of horizonal karsificaion procss. 1. Bvzés A horizonális karszosodás folyamaának gomorfológiai modllj és annak lső mamaikai lírása VERESS-PÉNTEK (199, 1996) munkáiban szrpl. E örmléks oldódási zóná képző karszos dnudációs folyama gy némilg más gomorfológiai modlljénk kidolgozásá és mamaikai árgyalásá SZUNYOGH (1994) végz l. Az lsőkén flépí mamaikai modll finomíásá és ovábbfjlszésé PÉNTEK (1) és PÉNTEK-VERESS () készí l. A horizonális karszosodás SZUNYOGH (1994) álal mgado mamaikai modllj a parciális diffrnciálgynlk lmélénk flhasználásával írja l a dnudáció folyamaá. Ezn flsőbb mamaikai szközök alkalmazásá hlysíő lmi flépíésbn árgyalja a örmléks zóná rdményző karszosodási folyamao PÉNTEK (7) dolgozaa. Ez a dolgoza a szrző zn uóbbi munkája szrvs folyaásának kinhő, amlybn bmuaásra krül a karszos oldás álalános gynlrndszrénk gy rövid és gyszrű mgoldása. Az alkalmazo fogalmak és jlölésk ljs összhangban vannak a szóban forgó dolgoza árgyalásával.. A karszos oldás gynlrndszr A örmléks oldódási zóná képző karszos oldás álalános gynlrndszrénk alakja 5

2 (1) C 1 κ w v + ρ = x κ x w 3 R = x R R C C 1 16 R = + ρ 85 3 kk D ν 1, a x, haárámn képzv juunk a () C 1 κ w v + ρ = x κ x w 3 R = x R R C C 1 16 R = + ρ 85 3 kk D ν 1 formájú gynlrndszrhz. A karszos oldás zn gynlrndszrébn szrplő mnnyiségk jlnés a kövkző: v = a lflé szivárgó oldószr áramlási sbsség, C = az oldószrnk a örmléks zóna ado ponjában és időpillana - ban mérhő CaCO 3 koncnrációja, x = a örmléks oldódási zóna kzdő időponban mér flső prméől mér ávolság, κ = a örmléks oldódási zóná alkoó örmlékgömbök hézagérfo - gaa, ρ = a CaCO 3 sűrűség, w = a lflé mozgó örmlékgömböknk a örmléks zóna ado ponjában és időpillanaban mérhő süllydési sbsség, R = a örmlékgömböknk a örmléks zóna ado ponjában és idő - pillanaban mérhő sugara, = az oldási folyama kzdő időponja óa ll idő, C = az oldószr oldási rndszrr jllmző gynsúlyi líési CaCO 3 koncnrációja, 6

3 k K = a CaCO 3 kémiai oldódásának sbsségi állandója, D = az oldási rndszr diffúziós állandója, ν = az oldási rndszr kinmaikai viszkoziási ényzőj. Az (1), illv () gynlrndszrbn a v, κ, ρ, C, k K, D és ν mnnyiségk érék ismr, vagy ismr érékkből a gyakorlai számíásoka bmuaó részbn közöl módon mghaározhaó. Ezér mnnyiségk gynlrndszrünk mgoldása szmponjából ismrknk kinjük. Fladaunk a () gynlrndszrbn szrplő C = C( x, ), R= R( x, ) és w= w( x, ) függvényk mghaározása. Egynlrndszrünk olyan mgoldásá krssük, amly lg sz a kövkző kzdi, illv prmflélknk: a. Ha x< és =, akkor R = R, C = és w =, hiszn a kzdi időpillanaban még nincs oldás, csupán lindul flülről lflé a bszivárgó oldószr. b. Ha x és >, akkor R= R, C = C és w=, mr a z flszín ala nagy mélységbn a bszivárgó oldószr már lí. c. Ha x= és >, akkor C =, miuán a örmléks zóna flszínén a bszivárgó oldószr még nm aralmaz oldo CaCO 3 anyago. 3. A karszos oldás gynlrndszrénk néhány kövkzmény Induljunk ki a () gynlrndszr lső gynléből és szorozzuk mg a κ hézagérfogaal: C w (3) κ v + (1 κ) ρ =. x x Mivl κ, v és ρ érék állandó, így (3) a diffrnciálszámíás lmi szabályai szrin a [ κ vc + (1 κ) ρ w] (4) = x alakra hozhaó. Vgyük észr, hogy a (4) szögls zárójlbn szrplő kifjzés a f ljs ömgáramsűrűség, amlynk lső agja a folyadék fázisban áramló CaCO 3 ömgé, a második agja a örmlékgömbök süllydéséből származó szilárd fázisban áramló CaCO 3 ömgé jlni (SZUNYOGH 1994, PÉNTEK 7). 7

4 Az f ljs ömgáramsűrűség x válozó szrini parciális driválja a (4) szrin lűnik, így mnnyiség az x válozóól függln, érék lgfljbb a időől függh: (5) κ vc + (1 κ) ρ w= A ( ), vagy részlsbbn (6) κ vcx (, ) + (1 κ) ρ wx (, ) = A ( ). A () gynlrndszr kzdi, illv prmflélink b) ponja szrin x és > sén C = C és w=, amly alapján (6) flhasználásával z A( ) függvényr (7) κ vc + (1 κ) ρ = A ( ) ljsül. Így (8) A( ) = κ v C, amlynk alapján az (5) összfüggés az (9) f = κ v C+ (1 κ) ρ w= κ v C (= konsans) alako öli. Az így nyr (9) gynlőség a ömgáramsűrűség állandóságának örvényé mondja ki. A örmléks oldódási zóna oldás haására lflé lolódó, lvilg végln mélységig rjszkdő ljs arományának mindn ponjában a CaCO 3 ljs f ömgáramsűrűség a karszos oldási rndszrr jllmző állandó mnnyiség. A ömgáramsűrűség imén flismr állandóságához az alábbi mgjgyzésk fűzzük. A ljs ömgáramsűrűség a (9) összfüggésbn is szrplő kéagú összg. Első agja az oldo állapoú 3 CaCO áramlásá, második agja a szilárd halmazállapoú örmlékgömbök lflé süllydő áramlásá írja l. A fni örvény ké ag összgénk állandóságá rögzíi, viszon nyilvánvaló, hogy az összadandók mindgyik válozik a ljs örmléks zónában. 8

5 A örmléks zóna flső részén még alig van oldo állapoú CaCO 3, zér az összg lső agja kicsi, ugyanakkor a második ag nagy, hiszn az gys örmlékgömbök lflé örénő lolódása az alauk lvő régk oldódása mia i a lgnagyobb. Ahogyan haladunk lflé a örmléks zónában, az oldószr gyr líbb lsz, az összg lső agja há növkszik. A líődés flé közlíő oldószr már gyr kvsbb old l a örmlékgömbök flszínéről, zálal azok lflé örénő lolódása gyr kisbb mérékű lsz, vagyis az öszszg második agja csökkn. Láhaó há, hogy a ljs ömgáramsűrűség lső agja a örmléks zónában lflé haladva gyr nő, második agja pdig zzl szinkronban úgy csökkn, hogy összgük mindig állandó maradjon. Ezuán a (9) összfüggésből ké ovábbi mgállapíás vzünk l. Osszuk végig a (9) gynlőségé a κ v mnnyiséggl, így a (1) 1 κ ρ C+ w= C κ v összfüggéshz juunk, amlynk gyszrű árndzésévl a (11) vagy részlsbbn a 1 κ ρ C = C w, κ v (1) 1 κ ρ Cx (, ) = C wx (, ) κ v összfüggés adódik. Láhajuk, hogy (1) kapcsolao rm a örmlékgömbök w süllydési sbsség, valamin a karszos olda pillananyi C CaCO 3 koncnrációja közö. A () gynlrndszr kzdi, illv prmflélink c. ponja szrin x= és > sén C =. Jlölj w a örmléks zóna flső széléhz arozó örmlékgömbök süllydési sbsségé! Ekkor lvégzv a (11) gynlbn a C = és w= w hlysíés a 1 κ ρ (13) = C w κ v 9

6 összfüggés nyrjük, amlynk árndzésévl v (14) w = κ C 1 κ ρ adódik SZUNYOGH (1994) rdményévl összhangban. Az így nyr (14) gynlőség a karszos érszín állandó sbsségű süllydésénk örvényé mondja ki. A örmléks oldódási zóna flső haára, s zzl gyü a karszos flszín is ado karszosodási flélk mll időbn állandó nagyságú sbsséggl süllyd. A karszos érszín a fnik szrin az oldás haására gynls sbsséggl (vagyis sm nm gyorsulva, sm nm lassulva) süllyd. Ha a karszosodás körülményi nm váloznak, akkor a rndszrr jllmző, bár horizonálisan slg ponról ponra válozó, d az ado hlyn állandó süllydési sbsséggl kll számolnunk. Ha azonban mgváloznak a karszosodás körülményi, akkor a mgválozo viszonyoknak mgfllő, d szinén állandó sbsségű süllydési folyama alakul ki. 4. A karszos oldás gynlrndszrénk mgoldása Az lőző részkbn mgszrz ismrk birokában ráérünk a karszos oldás álalános gynlrndszrénk mgoldására. Krssük há a () gynlrndszr kilégíő azon Cx (, ), Rx (, ) és wx (, ) folyonos függvényk, amlyk a örmléks zóna kzdő időponban lfoglal flső prméől mér x mélységbn és időponban mgadják rndr a lflé szivárgó olda pillananyi CaCO 3 koncnrációjá, a örmlékgömbök sugará és a örmlékgömbök süllydésénk sbsségé. A (14) összfüggésbn mgállapíouk, hogy a örmléks oldódási zóna flső haára gynls w sbsséggl süllyd. A örmléks zóna flső prmén az oldószr még ljsn líln. Ahogyan lflé haladunk, a flülről érkző karszos oldószr az x mélységgl nagyjából mggyző oldási ú mgél uán gyr inkább líődik. A () gynlrndszr kzdi, illv prmflélink b. ponja szrin x és > sén C = C, vagyis ign nagy mélységbn az oldószr gyakorlailag ljsn líődik. 1

7 Ezk alapján krssük a lflé szivárgó oldószr Cx (, ) pillananyi CaCO 3 koncnrációjának szigorúan monoon növkdő, folyonos függvényé λ( x w) (15) Cx (, ) = C 1 x w ( ) alakban, ahol λ gy gylőr még mghaározásra váró, az xponnciális líődés ümé mgszabó poziív állandó (1. ábra,.a. ábra). 1. ábra: A Cx (, ) függvény a időponban Fig. 1 Th funcion Cx (, ) a poin of im 11

8 . ábra: A Cx (, ), wx (, ) és Rx (, ) függvényk a időponban Fig. Th funcions Cx (, ), wx (, ) and Rx (, ) a poin of im Láhajuk, hogy (15) gy olyan xponnciálisan líődő apriodikus hullámfüggvény, amly w sbsséggl olódik l lflé, kísérv az zn sbsséggl süllydő örmléks oldódási zóná. Hlysísük zuán a (15) alakú Cx (, ) függvény a (1) gynlb. Ekkor λ (16) ( x w) 1 κ ρ C ( 1 ) = C w( x, ) κ v adódik, ahonnan a kijlöl művlk lvégzés, összvonások és (14) összfüggés flhasználásával a (17) λ( x w wx (, ) = w ) x w összfüggés nyrjük (.b. ábra). Láhajuk, hogy wx (, ) függvény a Cx (, ) függvényhz hasonlóan gy w sbsséggl lflé lolódó, xponnciálisan lcsngő apriodikus hullámfüggvény. Amíg azonban a Cx (, ) függvény a (15) alapján a apaszalaal összhangban lflé nő és ar az gynsúlyi koncnráció C éréké- 1

9 hz, addig a wx (, ) függvény a (17) alapján lflé haladva csökkn és xponnciálisan -hoz ar. Készísük l zuán a (17) függvény x válozó szrini (18) w λ = λ w x ( x w ) parciális driváljá, s hlysísük a karszos oldás () alakú álalános gynlrndszrénk második gynléb. Ekkor a (19) λ( x w) 3 R λ w = R összfüggés kapjuk. Mivl wx (, ) és R( x, ) folyonos függvényk, zér a (19) gynlőség ké oldalán álló függvényk azonos haárok közö kin haározo ingráljai is mggyznk. Ingráljuk zér a (19) mindké oldalá idő szrin a [, ] haárok közö: () λ( x wτ) 3 Rx (, τ ) λw dτ = dτ Rx (, τ) τ, amlyből λw 1 (, ) (1) τ Rxτ λw dτ = 3 dτ Rx (, τ) τ kövkzik. Az ingrálás rdménykén λw τ () λw = 3ln [ R( x, τ )] λw adódik. A () gynlrndszr kzdi, illv prmflélink a) ponja alapján ha τ =, akkor R( x, τ ) = R szőlgs x < mélységbn, zér a () összfüggésből gyszrűsíés és összvonás uán 13

10 (3) λ( x w) = 3ln R( x,) lnr [ ] adódik, amlynk árndzésévl (4) λ( x w ) R( x, ) = ln, 3 R amlyből alapra örénő mléssl (5) ( x w ) λ Rx (, ) ln 3 R R( x, ) = = R kövkzik, innn pdig már közvlnül nyrjük az (6) ( x w ) λ 3 Rx (, ) = R x x összfüggés (.c. ábra). Figyljük mg, hogy a folyama kzdén szőlgs mélységbn a (6) alapján (7) λw 3 3 R( x,) = R = R = R = R, ha =, há valamnnyi örmlékgömb azonos, R sugarú. Ezuán a (15), (17) és (6) függvénykbn szrplő λ > paramér mghaározásával foglalkozunk. Tkinsük zér a karszos oldás () gynlrndszrénk harmadik gynlé, s annak gyszrű árndzésévl fjzzük ki a Cx (, ) függvény. Így 1 16 R R (8) Cx (, ) = C + ρ + k 85 3 K D ν 14

11 adódik, amlynk bal oldalába hlysísük b Cx (, ) (15) összfüggésbn szrplő alakjá: (9) λ( x w) 1 16 R ( 1 ) R C = C + ρ + k 85 3 K D ν, amlyből bszorzás és összvonás uán λ (3) ( x w) 1 16 R R C = ρ + k 85 3 K D ν kövkzik. A Cx (, ) és Rx (, ) folyonos függvényk, így a (3) mindké oldalán álló függvény azonos haárok közö kin haározo ingráljai is gynlők. Ingráljuk há a (3) mindké oldalá idő szrin a [, ] haárok közö: (31) λ( x wτ) 1 16 Rx (, τ) Rx (, τ) C dτ = ρ + dτ k 85 3 K D ν τ, ahonnan λx λw 1 16 (, ) (, ) (3) τ Rxτ Rxτ C dτ = ρ + dτ k 85 3 K D ν τ adódik. Az ingrálás lvégzés uán (33) λwτ x λ R( x, τ) 8 R ( x, τ) C = ρ + λw 3 kk 85 D ν kövkzik. A () gynlrndszr kzdi, illv prmflélink a) ponjá flhasználva ha τ =, akkor R( x, τ ) = R szőlgs x < érék mll, így a (33) összfüggésből összvonások uán 15

12 (34) C λ( x w) R R 8 R R = ρ + λw 3 kk 85 D ν adódik. A gyakorlai számíások apaszalaai szrin a (34) gynlőség jobb oldalán a szögls zárójl lső agja öbb nagyságrnddl kisbb a másodiknál, így a ovábbi munka gyszrűsíés érdkébn zn lső ago lhanyagoljuk. Ezuán R éréké már könnyn kifjzhjük az (35) 3 85 C D ν λ( x w) R = R 8 ρ λ w formában. Hlysísük mos a (35) jobb oldalán álló kifjzés a (3) összfüggés gyszrű áalakíásával nyr λ (36) ( x w ) λ x 3 (, ) = ln R x R gynlőség jobb oldalába! Ezzl a (37) λ( x w) = 3 85 C D ν λ( x w) R 3 8 ρ ln λ w = R gynlőséghz, illv a jobb oldal gyszrű áalakíásával a (38) λ( x w) = C D ν λ( x w ln 1 ) = 8 ρ λ w R 16

13 alakhoz juunk. Közlísük a (38) gynlőség jobb oldalán álló ln függvény aralmazó kifjzés Taylor sorának lső agjával: (39) ln(1 x) x (SZUNYOGH, 1994), zzl a (38) gynlőség az (4) λ( x w) = C D ν λ( x w) = 8 ρ λ w R formá öli. A > sbn a (4) gynlőség mindké oldalá végigoszhajuk a szögls zárójlbn álló poziív kifjzéssl, majd a kapo összfüggés gyszrű árndzésévl kifjzhjük a krs λ paramér éréké: (41) 3 55 C D ν λ = 16 ρ w R Láhajuk, hogy ado örmléks oldódási zóna sén a λ paramér ismr, illv számíhaó mnnyiségkből épül fl, s érék poziív. 5. A karszos érszín puszulásának sbsség Az lőző részkbn bmuao számíásaink rdményink birokában SZUNYOGH (1994) nyomán haladva már mghaározhajuk a karszos érszín ado ponjában a dnudáció méréké, a érszín lalacsonyodásának sbsségé. A q flszíni bszivárgás, az oldószr v áramlási sbsség és a κ hézagérfoga közö érvénys a (4) q= κ v 17

14 összfüggés, hiszn a szivárgó víz csupán a κ hézagérfogaú örmléks zóna ürgibn képs mozogni. Ekkor a (14) összfüggés a (4) flhasználásával a κ v q C (43) w = C = 1 κ ρ 1 κ ρ alakra hozhaó. A érszín álagos évs süllydésénk kiszámíásához ingráljuk idő szrin a (43) összfüggés gy ljs év T időaralmára. A w zn időaramra vonakozó ingrálja a érszín gy évs h ljs süllydésé adja mg: (44) T q C 1 C h = d qd 1 κ ρ = 1 κ ρ. T A (44) jobb oldalán szrplő ingrál a vizsgál karszos érszín ado ponjában lhullo ljs csapadék mnnyiség bszivárgásra ső részé haározza mg: (45) T Q= q d, így a érszín évs süllydés a (44) és (45) flhasználásával a (46) 1 C h = Q 1 κ ρ formában számíhaó ki. A (46) összfüggés birokában már mghaározhajuk a dnudáció sbsségé. A gyakorlai mérésk apaszalaai szrin a bszivárgó oldószr hőmérsékl a örmléks oldódási zónában 1 C 83 K. E hőmérsékln a víz diffúziós állandója 6 1 D= 3, 1 m / s, kinmaikai viszkoziási ényzőj ν = 1, 8 1 m / s. Az oldószr szivárgási sbsség a örmléks oldódási zónában v= 1 m/ s, a gömb alakú örmlékdarabok kzdi sugara a z rpdzség alapján R 1 m. A gömb alakú örmlék- 18

15 darabokból flépülő örmléks oldódási zóna hézagérfogaának éréké válasszuk κ =,11 nagyságúnak. A szakirodalmi adaok és számíások alapján, ha a vizsgál hőmérsékln a alajban a vízr,8 pco parciális nyomás hao, akkor az oldószr gynsúlyi CaCO 3 koncnrációja C =,313 kg/ m. A mész 3 3 sűrűség ρ = 7 kg / m, a karszos érszínn az álagos bszivárgás a mérésk alapján 6 mm / év csapadékhozamból 7%-os arányú bszivárgással Q= 16 mm/ év (Maucha, L. közlés) számolunk (JAKUCS 1977, MAUCHA 199, SZUNYOGH 1994, IZÁPY-MAUCHA, PÉNTEK- VERESS ). Ezn adaok birokában a karszos érszín évs süllydés a (46) flhasználásával 1,313 (47) h = 16 /,1 / 1,11 7 mm év = mm év, ami az jlni, hogy 1 év ala a karszos érszín süllydés 1 mm. Ez az érék jó gyzés mua a dnudáció mérékér lfogado, más módszrkkl nyr érékkl. A örmléks oldódási zóna flső prménk süllydési sbsség a (14) alapján (48) w, =,313 1, 4 1 m/ s. 1,11 7 A (15), (17) és (6) összfüggésbn szrplő λ ( > ) paramér érék a (41) alapján (49) ( ) 7 ( ) 3 1 6,313 3, 1 1, λ = =,67 m , végül a karszos oldás álalános gynlrndszrénk mgoldásá jlnő függvényk alakja a (15), (17) és (6) flhasználásával 3 7 Cx (, ) =,313 1 kg/ m x 1, 4 1, 7,67 ( x 1,41 ) (5) 1, 19

16 , ( x 1,41 ) (51) wx (, ) 1,4 1 7 = [ / ] 1,4 1 m s x, és (5) ( x 7 ),67 1,41,67 x 3 7 [ ] R( x, ) = 1 m x 1,4 1, ahol három összfüggésbn szrplő x mélység [ m ], a idő [ s ] mérékgységbn mérjük (3. ábra). 3. ábra: A Cx (, ), wx (, ) és Rx (, ) függvényk a i ( i = 1,,3,4,5 és < < < < ) időponban Fig. 3 Th funcions Cx (, ), wx (, ) and Rx (, ) a poin of im i ( i = 1,,3,4,5 and < < < < )

17 6. Összgzés A karszos oldás gynlrndszrénk gy mgoldásá bmuaó munkánk rdményink összfoglalásakén a kövkző mgállapíásoka fogalmazhajuk mg. a. A karszos érszín süllydés a ljs ömgáramsűrűség állandóságának örvényé kövv mgy végb: a ljs örmléks oldódási zónában ado idő ala, ado vízszins hlyzű krszmszn áhaladó CaCO 3 folyadék fázisból és szilárd fázisból összvődő ljs ömgáramsűrűség a örmléks zóna mindn ponjában állandó. b. A karszos érszín flső prm a karszos puszulásból származó, a karszosodás körülményi álal szabályozo módon állandó nagyságú sbsséggl süllyd. c. A lflé szivárgó karszos olda pillananyi CaCO 3 koncnrációja xponnciálisan líődik, s a süllydő örmléks oldódási zóná kísérő (15) alakú apriodikus hullámfüggvénnyl írhaó l. d. A örmléks oldódási zónában lvő örmlékdarabok süllydési sbsség a zónában lflé haladva xponnciálisan csökkn, s a süllydő zóná kísérő (17) alakú apriodikus hullámfüggvénnyl írhaó l.. A örmléks oldódási zónában alálhaó örmlékgömbök sugara a zónában alulról flflé haladva a zóna mindnkori flső prméig a (6) alakú függvény szrin csökkn. A folyama kzdén mindn örmlékgömb gyforma mérű, majd fokozaosan oldódnak és űnnk l a flső régk. IRODALOM IZÁPY, G. MAUCHA, L. (): A magyarországi karszos dnudáció sbsségénk bcslés Karszfjlődés V. BDF Trmészföldrajzi Tanszék, Szombahly, p. 7-. JAKUCS, L. (1971): A karszok morfognikája. Akadémiai Kiadó, Budaps 31 p. MAUCHA, L. (199): A karszos bszivárgás számíása Hidrológiai Közlöny, p PÉNTEK, K. (1): Karszosodó mész érszínk lpuszulásának mamaikai modllj Karszfjlődés VI. BDF Trmészföldrajzi Tanszék, Szombahly, p PÉNTEK, K. (7): A horizonális karszosodás gynlrndszrénk lvzés lmi árgyalással Karszfjlődés XII. BDF Trmészföldrajzi Tanszék, Szombahly, p

18 PÉNTEK, K. VERESS, M. (): A karszos lpuszulás sbsségénk kiszámíása gy örmléks oldódási zóna adaainak flhasználásával - Karszfjlődés VII., BDF Trmészföldrajzi Tanszék, Szombahly, p SZUNYOGH, G. (1994): A horizonális karszos lpuszulás folyamaának mamaikai modllzés A Brzsnyi Dánil Tanárképző Főiskola Tudományos Közlményi IX. Trmészudományok 4. Szombahly, p VERESS, M. PÉNTEK, K. (199): Kísérl a karszos flszínk dnudációjának kvaniaív lírására Karsz és Barlang I. p VERESS, M. PÉNTEK, K. (1996): Thorical modl of surfac karsic procsss Zischrif für Gomorphologi p