Török Anikó. Dinamikai rendszerek periodikus megoldásai
|
|
- Magda Tamás
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Török Anikó Dinamikai rendszerek periodikus megoldásai BSc szakdolgozat Témavezet : Dr. Kovács Sándor Numerikus Analízis Tanszék Budapest, 216
2 1
3 Köszönetnyilvánítás Szeretném megköszönni témavezet mnek, Dr. Kovács Sándornak a rengeteg segítséget, amellyel támogatta a szakdolgazatom elkészülését. Köszönettel tartozom továbbá szüleimnek és barátaimnak, hogy végig mellettem álltak, bíztattak és támogattak. Budapest, 216. május 27. Török Anikó 2
4 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 2. Alapvet ismeretek Általános fogalmak, jelölések Periodikus pontok Elemi periodikus megoldások 8 4. Floquet elmélet Lineáris rendszerek konstans együtthatókkal Homogén lineáris rendszerek periodikus együtthatókkal Gerjesztett lineáris rezgések A Floquet elméletr l más megközelítésben Stabilitás 3 8. Példák és alkalmazások Hill egyenlet Mathieu egyenlet Egy további példa Fixponttételek 42 1.Dierenciaegyenletek 45 3
5 1. Bevezetés A természeti jelenségek között számos periodikus mozgás gyelhet meg, például a Föld keringése a Nap körül, az órainga mozgása vagy egy motor m ködése. Periodikusság fedezhet fel továbbá biológiai folyamatokban is, mint ahogy a légzésben, keringésben és a szívverésben. Ezen vizsgált mozgások jelent s része az id függvényében periodikus. Ha a jelenség leírható paraméterekkel, úgynevezett fázis-koordinátákkal, akkor a jelenség periodikussága leírható egy fázistérbeli zárt görbével, mivel a pálya egy meghatározott id múlva visszatér a kezd pontjába, és ezt követve halad tovább. A periodikus mozgást általában valamely természeti (mechanikai, zikai vagy biológiai) törvény írja le, amely a legtöbbször dierenciálegyenletek formájában írható fel. A dierenciálegyenletek periodikus megoldásaval foglalkozó témakör a Floquetelmélet, amely a 2. és 3. fejezetben taglalt általános eredmények után a 4., 5. és 6. fejezetben kerül kifejtésre. A 7. fejezetben leírt általános stabilitási fogalmak és tételek után, ezeket felhasználva a 8. fejezetben szó esik néhány lényegi alkalmazásról. A 9. fejezetben kitérünk a xponttételek alkalmazására a periodikus megoldások témakörében, majd végül, a 1. fejezetben a diszkrét halmazon értelmezett dierenciaegyenletekre. 4
6 2. Alapvet ismeretek 2.1. Általános fogalmak, jelölések Legyen Ω R 1+n nyílt és összefügg, f : Ω R n, folytonos. Tekintsünk a következ közönséges dierenciálegyenletet: y = f (id, y). (2.1) Ennek az egyenletnek az y(τ) = ξ kezdeti feltételt kielégít teljes megoldását jelölje ϕ( ; τ, ξ), a megoldás értelmezési tartományát pedig I(τ, ξ). Ha τ =, azaz a kezdeti feltétel ϕ() = ξ, akkor jelöljük ezeket ϕ( ; ξ)-vel és I(ξ)-vel Periodikus pontok Tekintsük most a következ autonóm dierenciálegyenlet. y = f y, (2.2) ahol Ω R n nyílt, f : Ω R n folytonos, és a kezdeti feltétel legyen y() = ξ. A következ deníció és állítások erre a rendszerre vonatkoznak Deníció. Egy x Ω pontot egyensúlyi pontnak nevezünk, ha ϕ(t; x ) = x minden t I(x )-ra Deníció. Egy x 1 Ω pontot periodikus pontnak hívunk, ha létezik T >, úgy hogy ϕ(t + T ; x 1 ) = ϕ(t; x 1 ) minden t I(x 1 )-re. A T számot x 1 pont periódusának nevezzük. Nyilvánvalóan látszik, hogy minden egyensúlyi pont egyben periodikus pont is, hiszen ekkor ϕ(t; x ) = x minden t I(x )-ra, azaz ϕ(t+t ; x ) = x, tehát x periodikus pont is. Ezen deníciókat felhasználva belátható az alábbi tétel (vö. [2]). 5
7 2.1. Tétel. 1. Ha x 1 Ω periodikus, akkor [, ) I(x 1 ). 2. x 1 Ω pontosan akkor periodikus, ha létezik T >, úgy hogy ϕ(t ; x 1 ) = x 1. Bizonyítás. 1. Ha x 1 Ω periodikus, akkor valamely T > -ra, akkor ϕ(t ; x 1 ) = ϕ(; x 1 ), tehát T I(x 1 ). Ezáltal kt is I(x 1 )-ben van minden k N-re. Azaz [, kt ) I(x 1 ) minden k N-re, tehát [, ) I(x 1 ). 2. Ha x 1 Ω periodikus, akkor ϕ(t ; x 1 ) = ϕ(; x 1 ) = x 1. Legyen most t I(x 1 ). Tudjuk, hogy ϕ(t + T ; x 1 ) = ϕ(t; x(t ; x 1 )). Ebbe behelyettesítve az el z t ϕ(t + T ; x 1 ) = x 1 adódik, tehát x 1 T -periodikus pont Tétel. Legyen x 1 Ω periodikus pont. Ekkor egyenérték ek az alábbi állítások. 1. x 1 egyensúlyi pont. 2. inf{t > ϕ(t + T ; x 1 ) = x 1 t I(x 1 )} =. Bizonyítás Ekkor ϕ(t; x 1 ) = x 1 minden t R-re, azaz inf{t > ϕ(t + T ; x 1 ) = x 1 t I(x 1 )} = Ha 2.-t igaznak tekintjük, és x 1 periodikus pont, akkor létezik egy (T n ) sorozat, melyre lim(t n ) = és T n >, ϕ(t + T n, x 1 ) = ϕ(t, x 1 ) (n N) 6
8 minden t I(x 1 )-re, és minden n N-re. Most az ϕ(t) : ϕ(t, x 1 ) jelölést használva látható hogy azaz Ebb l pedig ϕ(t + T n ) ϕ(t) lim =, T n T n ϕ (t) =. f(x 1 ) = f(ϕ(t)) = ϕ (t) = következik minden t [, )-re, tehát x 1 egyensúlyi pont. Továbbá látható, hogy egy x 1 Ω periodikus pont pontosan akkor nem egyensúlyi pont, ha létezik T, melyre T = inf{t > ϕ(t + T ; x 1 ) = ϕ(t), t [, )} >. Az el z ek tirivális következménye a 2.3. Tétel. Legyen x 1 Ω. Ekkor az alábbi állítások közül pontosan az egyik igaz. 1. x 1 egyensúlyi pont. 2. x 1 periodikus pont, ahol a minimális periódus pozitív. 3. ϕ(t; x 1 ) x 1 minden t I(x 1 )-re. Bizonyítás. Nyilvánvalóan 3. pontosan akkor nem igaz, ha 1. vagy 2. igen. Az el z tétel pedig pont azt mondja ki, hogy 1. és 2. nem teljesülhet egyszerre. 7
9 3. Elemi periodikus megoldások 3.4. Tétel. Ha f : R R folytonos, periodikus függvény, továbbá k R, akkor az y + ky = f (3.3) els rend dierenciálegyenletnek van periodikus megoldása. Bizonyítás. Mivel a (3.3) egyenlet lineáris, ezért bármely c R esetén a ϕ(t) := e kt f(s)e ks ds + c (t R) (3.4) függvény megoldása az (3.3) egyenletnek. Ha az f függvény T -periodikus, azaz alkalmas T > esetén f(t + T ) = f(t) (t R), akkor érdemes el ször megvizsgálni, hogy van-e olyan c R, amely esetén a (3.4)-beli megoldás is T -periodikus. 1. lépés. Megmutatjuk, hogy a (3.4)-beli megoldás T -periodikus volta csak a e kt c := e kt 1 T f(s)e ks ds esetben állhat fenn. Valóban, ha (3.4)-beli megoldás T -periodikus, azaz t+t f(s)e ks ds + c = e kt f(s)e ks ds + c (t R), e k(t+t ) akkor e kt t+t f(s)e ks ds + c = f(s)e ks ds + c (t R), ill. c(e kt 1) = f(s)e ks ds e kt t+t f(s)e ks ds = = f(s)e ks ds e kt 8 T f(s)e ks ds + T +t T f(s)e ks ds.
10 Felhasználva, hogy az f függvény T -periodikus, a τ := t T helyettesítéssel azt kapjuk, hogy f(s)e ks = f(τ + T )e k(τ+t ) = f(τ)e kτ e kt (s [T, T + t]), azaz T +t f(s)e ks ds = e kt f(τ)e kτ dτ. T Ennélfogva c(e kt 1) = T f(s)e ks ds e kt f(s)e ks ds f(s)e ks ds = T = e kt f(s)e ks ds, ami azzal egyenérték, hogy e kt c = e kt 1 T f(s)e ks ds. 2. lépés. Megmutatjuk, hogy az iménti c esetén a (3.4)-beli megoldás, azaz a T ϕ(t) := e kt f(s)e ks ds e kt f(s)e ks ds (t R) e kt 1 függvény T -periodikus. Valóban, bármely t R esetén t+t T ϕ(t + T ) = e k(t+t ) f(s)e ks ds e kt f(s)e ks ds = e kt 1 = e kt e kt T f(s)e ks ds + t+t f(s)e ks ds T 9
11 T = e kt e kt 1 +e kt = e kt e kt = e kt e kt = e kt f(s)e ks ds = e kt e kt f(τ)e kτ dτ e kt e kt f(τ)e kτ dτ T e kt e kt 1 f(τ)e kτ dτ + f(τ)e kτ dτ T e kt e kt 1 T f(t)e kt dt+ f(s)e ks ds = } T {1 e kt e kt 1 1 T e kt 1 f(s)e ks ds = f(s)e ks ds = f(s)e ks ds = = ϕ(t) Tétel. Ha a, f : R R folytonos, T -periodikus függvény, akkor az y + ay = f (3.5) els rend dierenciálegyenlet minden olyan ϕ megoldása T -periodikus, amelyre ϕ() = ϕ(t ) teljesül. Bizonyítás. Az egyértelm ség következtében, ha ϕ és ψ az (3.5) egyenlet olyan megoldása, amelyre ϕ() = ψ(), akkor ϕ = ψ. Mivel ϕ megoldása az (3.5) egyenletnek, ezért ϕ (t + T ) + a(t + T )ϕ(t + T ) = f(t + T ), ahonnan az a, ill. az f függvény T -periodikussága miatt ϕ (t + T ) + a(t)ϕ(t + T ) = f(t) (t R) 1
12 következik. Ha most akkor ψ(t) := ϕ(t + T ) ψ (t) + a(t)ψ(t) = f(t) (t R), (t R). Ha Ezért ϕ(t ) = ϕ(), akkor ψ() = ϕ(). ψ(t) = ϕ(t) (t R), azaz ϕ(t + T ) = ϕ(t) (t R). 11
13 4. Floquet elmélet Ebben a fejezetben lineáris rendszerek periodikus megoldásaira fogunk kitérni. Lineáris rendszerekkel lehet modellezni számos zikai és mechanikai problémát, például a rugalmasság, h terjedés, hullámterjedés vagy az elektromágneses jelenségek kérdésében (vö. [4]) Lineáris rendszerek konstans együtthatókkal Tekintsük a következ egyenletet, A konstans együtthatómátrixszal, és egy b úgynevezett periodikus gerjesztéssel: y = Ay + b, (4.6) ahol A egy n n-es konstans mátrix, b C (R, R n ) pedig egy T -periodikus függvény, azaz b(t + T ) = b(t), ahol t R. Ekkor megmutatható, hogy bármely megoldás ϕ(t) = exp(at)ϕ + exp(a(t s))b(s)ds alakú, ahol ϕ = ϕ(). Az (3.5.) tételb l következik, hogy ϕ periodikus megoldása (4.6)-nak, akkor és csak akkor ha ϕ(t ) = ϕ(). Tehát ϕ periodikusságához szükséges és elégséges feltétel: T ϕ(t ) = exp(at )ϕ + exp(a(t s))b(s)ds = ϕ. (4.7) Könnyen bizonyítható az alábbi tétel Tétel. Ha a (4.6)-hoz tartozó homogén rendszernek nincs periodikus megoldása a triviális (azonosan ) megoldástól eltekintve, akkor (4.6)-nak pontosan egy megoldása van. Bizonyítás. Vegyük a (4.7) periodikussági feltételt. Ezt beszorozva exp( AT )-vel, majd átrendezve, a következ t kapjuk. T (exp( AT ) I)ϕ = exp( As)b(s)ds. (4.8) 12
14 (4.7)-nek pontosan egy ϕ megoldása van, ha det(exp( AT ) I). Az együtthatómátrixot exp(at )-vel beszorozva, és a determinánsok szorzástételét alkalmazva adódik, hogy det(i exp(at )). Tudjuk, hogy det(i exp(at )) = pontosan akkor, ha exp(at ) mátrixnak az 1 szám egy sajátértéke. Felhasználva a tételt, hogy ha egy adott M mátrix sajátértékei λ 1,..., λ n, és ezek f értelmezési tartományában vannak, akkor f(m) sajátértékei f(λ 1 ),..., f(λ n ), könnyen adódik, hogy ez csak akkor eshet meg, ha 2kπi T sajátértéke A-nak, valamely k =, 1, 2,...- ra. Belátható, hogy a homogén rendszernek pontosan akkor van a triviálistól eltér T - periodikus megoldása, ha 2kπi T sajátértéke A-nak. Tehát ha a homogén rendszernek nincsen ilyen megoldása, (4.8) egyértelm en megoldható, azaz (4.6)-nak pontosan egy T -periodikus megoldása van Homogén lineáris rendszerek periodikus együtthatókkal Vegyük az alábbi általános alakban felírt egyenletet. x = f (id, x), (4.9) ahol f, f C (R + Ω, R n ), Ω egy nyílt, összefügg részhalmaza R n -nek és f periodikus az els változójában T > peridódussal, azaz f(t + T, x) = f(t, x), t R +, x Ω. Erre vonatkozóan könnyen belátható a következ tétel Tétel. Az (4.9) egyenlet egy ϕ : R + Ω megoldása pontosan akkor T-periodikus, ha létezik egy t R +, melyre ϕ(t + T ) = ϕ(t ). 13
15 Bizonyítás. A szükségesség nyilvánvalóan látszik, az elégségességhez pedig elég látni, hogy Φ(t) : ϕ(t + t ) is megoldása (4.9)-nek: Φ (t) ϕ (t + T ) = f(t + T, ϕ(t + T )) = f(t, Φ(t)), mivel f periodikus T -ben. Továbbá, mivel Φ(t ) = ϕ(t + T ) = ϕ(t ), a megoldások egyértelm gése miatt Φ(t) = ϕ(t), azaz ϕ(t + T ) = ϕ(t), t R +. Most tekintsük (4.9) egyenlet egy speciális (lineáris) esetét: y = Ay, (4.1) ahol A C (R +, R n n ), és periodikus T > periódussal, azaz A(t + T ) = A(t), ahol t R +. Feltételezzük, hogy T a legkisebb pozitív periódus. Legyen Φ ennek a rendszernek egy alapmátrixa. Az el z bizonyításhoz hasonlóan ebb l következik, hogy Φ( + T ) is alapmátrixa a feladatnak. Emiatt tehát létezik egy C konstans mátrix, melyre Φ( + T )C = Φ, (4.11) vagyis C = Φ 1 Φ( + T ) = Φ 1 ()Φ(T ). Ha feltesszük, hogy Φ az az alapmátrix, amely t = -ban az egységmátrix, melyet ezentúl I-vel jelölünk, akkor ezáltal Φ 1 () = I. Ebb l pedig az következik, hogy C = Φ(T ). Ezt visszahelyettesítve (4.11)-be, megkapjuk hogy Φ( + T ) = ΦΦ(T ). Vegyük észre, hogy C mátrix függ az alapmátrix választásától, tehát ha az alapmátrixunk Φ, akkor a C-t deniáló egyenlet Φ( + T ) = ΦC. Mivel tudjuk, hogy létezik egy reguláris U mátrix, melyre Φ = ΦU, ezért ezt behelyettesítve C = Φ 1 () Φ(T ) = U 1 Φ 1 ()Φ(T )U = U 1 CU. Tehát C hasonló C-hoz, azaz C mátrix csak hasonlóság erejéig függ az alapmátrix megválasztásától. C sajátértékeit nevezzük az (4.1) rendszer karakterisztikus multiplikátorainak, míg C-t principális mátrixnak. Mivel Φ reguláris mátrix, a nem lehet karakterisztikus multiplikátor. 14
16 4.8. Tétel. Ha λ (4.1) egy karakterisztikus multiplikátora, akkor létezik egy nemtriviális ϕ megoldás, melyre ϕ( + T ) = λϕ, visszafele pedig, ha (4.1) egy ϕ nemtriviális megoldására ϕ(t ) = λϕ(), akkor λ egy karakterisztikus multiplikátor, melyhez tartozó sajátvektor ϕ(). Bizonyítás. Legyen λ a karakterisztikus multiplikátor, és s a hozzá tartozó sajátvektor. Vegyük (4.1) azon ϕ megoldását, melyre ϕ() = s. Tehát ϕ = Φs, és mivel Φ( + T ) = ΦΦ(T ) = ΦC, ezért ϕ( + T ) = Φ( + T )s = ΦCs = Φλs = λϕ. A másik irányhoz pedig felhasználjuk, hogy ϕ(t ) = Φ(T )ϕ(). Tehát a feltétel szerint Φ(T )ϕ() = λϕ(), azaz Cϕ() = λϕ(), ami azt jelenti, hogy λ karakterisztikus multiplikátor és a hozzá tartozó sajátvektor ϕ() Tétel. A (4.1) rendszernek létezik nemtriviális T -periodikus megoldása pontosan akkor, ha az 1 szám karakterisztikus multiplikátora. Továbbá, (4.1) rendszernek létezik nemtriviális 2T -periodikus megoldása pontosan akkor, ha a 1 szám karakterisztikus multiplikátora. Bizonyítás. A tétel els részéhez segítséget nyújt a korábban belátott (4.8.)-es tétel, mely szerint ha λ = 1, akkor létezik egy nemtriviális ϕ megoldás, melyre ϕ( + T ) = ϕ. Visszafele, ha ϕ 1 egy nemtriviális T -periodikus megoldás, akkor nyilván ϕ 1 (T ) = ϕ(), tehát szintén (4.8.) miatt λ = 1. Most nézzük a tétel második részét. Ha λ = 1 karakterisztikus multiplikátor, akkor ϕ(( + T ) + T ) = ϕ( + T ) = ϕ, tehát ϕ 2T -periodikus. Visszafele, ha ϕ 2 egy nemtriviális 2T -periodikus megoldás (de nem T -periodikus), akkor a korábbi megállapítások szerint ϕ 2 (2T ) = Cϕ(T ) = C 2 ϕ 2 () = ϕ 2 (). Ezáltal C 2 sajátértéke 1, és a hozzátartozó sajátvektor ϕ 2 (). Emiatt 1 és 1 közül legalább az egyik karakterisztikus multiplikátor. 15
17 Látszik, hogy (C 2 I)ϕ 2 () = (C + I)(C I)ϕ 2 () =. Ha 1 nem lenne karakterisztikus multiplikátor, akkor C + I reguláris lenne, tehát a fenti egyenl ség ekvivalens lenne (C I)ϕ 2 () = -val, ám ekkor ϕ 2 (T ) = Cϕ 2 () = ϕ 2 (), ami azt jelentené, hogy ϕ 2 T -periodikus, ami ellentétben áll a feltevésünkkel, tehát λ = 1. Nézzük most a Floquet elmélet f tételét Tétel. (Floquet) A (4.1) rendszer Φ alapmátrixa felírható Φ = P exp(b ) alakban, ahol P C 1 (R +, C n n ) egy reguláris, T -periodikus mátrix, azaz minden t R + - ra P (t + T ) = P (t), P () = I, és B C n n konstans mátrix. Ha az (4.1)-beli A valós, és (4.1) egy 2T -periodikus rendszer, akkor Φ = P 1 exp(b 1 ), ahol P 1 C 1 (R +, R n n ) reguláris 2T -periodikus mátrix, azaz minden t R + -ra P 1 (t + 2T ) = P 1 (t), P 1 () = I, és B R n n konstans mátrix. Bizonyítás. Legyen B az a mátrix, melyre exp(bt ) = C = Φ(T ) (bizonyítható, hogy ilyen létezik). Nyilvánvalóan Φ = Φ exp( B ) exp(b ). Legyen ekkor P = Φ exp( B ). Ekkor adódik, hogy P ( + T ) = Φ( + T ) exp( B( + T )) = ΦΦ(T ) exp( B ) exp( BT ) = Φ exp(bt ) exp( B ) exp( BT ) = Φ exp( B ) = P. Könnyen látszik, hogy az így megadott P teljesíti a tételbeli feltételeket. 16
18 Továbbá, ha A valós, akkor bizonyíthatóan létezik B 1 valós mátrix, melyre exp(b 1 2T ) = C 2 = Φ(T, )Φ(T, ) = Φ(2T, ). Legyen P 1 = Φ exp( B 1 ). Ekkor az el z höz hasonló átalakítást végezve (mindössze P helyett P 1 -et, B helyett B 1 -et, valamint T helyett 2T -t írva) és gyelembe véve, hogy Φ valós mátrix, könnyen látható, hogy P 1 teljesíti a tétel feltételeit. A fent deniált B mátrix sajátértékeit az y = Ay rendszer karakterisztikus kitev inek nevezzük. Könnyen látható, hogy ha ν karakterisztikus kitev, akkor λ = exp(νt ) karakterisztikus multiplikátor, és visszafele is. De a karakterisztikus kitev k nincsenek egyértelm en meghatározva, hiszen maga B mátrix sincs. Ha λ karakterisztikus multiplikátor, akkor a hozzá tartozó karakterisztikus kitev k alakja a következ képpen néz ki: ν k = 1 T lnλ = ln λ T i(argλ + 2kπ) + T (k =, ±1, ±2...), ahol felhasználtuk a komplex számok logaritmusának tulajdonságát. A fenti bizonyításban deniált B 1 sajátértekei szintén ilyen alakban állnak el, ha λ befutja a karakterisztikus multiplikátorok halmazát. Ha ν 1 B 1 sajátértéke, akkor létezik egy λ karakterisztikus multiplikátor, melyre exp(ν 1 2T ) = λ 2. Ezért valamely k =, ±1, ±2...-re. ν 1 = 1 2T lnλ2 = 1 ln λ lnλ = T T + i(argλ + 2kπ) T = ν k A megadott képlet alapján meggondolható, hogy az, hogy egy karakterisztikus kitev valós része negatív, ekvivalens azzal, hogy a hozzá tartozó karakterisztikus multiplikátor ebszolútértéke kisebb, mint 1. Belátható, hogy Floquet tétele alapján minden ν karakterisztikus kitev höz tartozik egy ϕ, a homogén rendszerhez tartozó megoldás, melyre ϕ = exp(ν )p 17
19 ahol p T -periodikus függvény. Ugyanis B mátrix egy ν-höz tartozó sajátvektorát jelöljük s-sel. Tehát Bs = νs, és vegyük azt a ϕ megoldást, melyre ϕ() = s. Ekkor ϕ = P exp(b )ϕ() = P exp(b )s = P e ν s = e ν p ahol p = P s láthatóan T -periodikus Egyszer bb alakra transzformálás A következ kben nézzünk néhány tételt a reducibilitásra vonatkozóan, azaz hogy minden homogén, periodikus együtthatós, lineáris rendszer áttranszformálható lineárisan egy lineáris rendszerré, konstans együtthatókkal Tétel. (Ljapunov I.) Ha A valós mátrix, akkor létezik egy reguláris, T - periodikus P C 1 (R +, C n n ) mátrix, melyre P () = I, úgy hogy az y = P z transzformáció átviszi (4.1)-t egy homogén, lineáris rendszerbe konstans együtthatókkal. Továbbá, ha A valós mátrix, akkor létezik egy reguláris 2T -periodikus P C 1 (R +, R n n ) mátrix, melyre P () = I, úgy hogy az y = P z transzformáció átviszi (4.1)-t egy homogén, lineáris rendszerbe valós konstans együtthatókkal. Bizonyítás. A tételben szerepl feltételeknek eleget tesz a P = Φ exp( B ) mátrix, ahol B az a mátrix melyre exp(bt ) = C = Φ(T ). Helyettesítsünk be y = P z-t (4.1)-be. Ekkor az alábbi egyenletet kapjuk z-re. P z + P z = AP z, azaz, átrendezve z = P 1 (AP P )z. 18
20 A rendszer együtthatómátrixáról elemi átalakításokkal a következ ket kapjuk: P 1 (AP P ) = = exp(b )Φ 1 (AΦ exp( B ) Φ exp( B ) + ΦB exp( B )) = exp(b )Φ 1 (Φ exp( B ) Φ exp( B ) + ΦB exp( B )) = exp(b )Φ 1 ΦB exp( B ) = B. Tehát z megoldása a z = Bz homogén, lineáris, konstans együtthatós rendszernek. A tétel második fele hasonlóan bizonyítható, P helyett P 1, B helyett B 1 -t írva, a korábban deniáltak alapján Tétel. (Ljapunov II.) Legyen S C 1 (R +, C n n ) reguláris és T -periodikus. Ekkor az y = Sz transzformáció átviszi (4.1)-t egy homogén lineáris rendszerbe, T - periodikus együtthatómátrixszal, melynek karakterisztikus multiplikátorai megegyeznek (4.1) karakterisztikus multiplikátoraival. Bizonyítás. Az y = Sz transzformációt (4.1)-be helyettesítve a következ t kapjuk. S z + Sz = ASz, (4.12) tehát z megoldása a z = S 1 (AS S )z rendszernek. Az S 1 (AS S ) együtthatómátrix folytonos és T -periodikus. Legyen Φ a (4.1) rendszer azon alapmátrixa, melyre Φ() = I. Ekkor (4.12) alapmátrixa Ψ = S 1 Φ. Ekkor (4.12) karakterisztikus multiplikátorai a Ψ 1 ()Ψ(T ) mátrix sajátértékei. Látszik azonban, hogy Ψ 1 ()Ψ(T ) = Φ 1 (, )S()S 1 (T )Φ(T, ) = IS()S 1 C = C, mivel S 1 is T -periodikus. Tehát a karakterisztikus multiplikátorok megegyeznek. 19
21 Approximáció a karakterisztikus multiplikátorokra Beláttuk tehát, hogy a karakterisztikus multiplikátorok az imént deniált dierenciálegyenleteknél invariáns halmazt alkotnak. Ennek a halmaznak a tulajdonságai meghatározzák a megoldások viselkedését, a periodikus megoldás létezését, és a stabilitást is. Ám ahhoz, hogy a karakterisztikus multiplikátorokat meghatározzuk, ismernünk kell az alapmátrixot, melyhez kell az összes, lineárisan független megoldás. Ezt elkerülvén készíteni fogunk egy algoritmust, mely egy közelítést ad a karakterisztikus multiplikátorokra. Az egyszer ség kedvéért tegyük fel, hogy A valós mátrix. Osszuk fel a [, T ] intervallumot N darab egyenl részre: = t < t 1 <... < t N = T. Ekkor egy rész hossza h = t k+1 t k = T/N, k =, 1,..., N 1. Most pedig az Y = AY (4.13) dierenciálegyenlet együtthatómátrixát módosítsuk a következ szakaszonként konstans A h (t) mátrixra: A h (t) = A hk, t [t k, t k+1 ), (k =, 1,..., N 1), ahol A hk egy konstans mátrix, melyre min A(t) A hk max A(t), t [t k, t k+1 ]. (4.14) Természetesen min A(t) azt a mátrixot jelöli, melynek minden eleme A(t) megfelel elemének a minimuma, max A(t) hasonlóan. Azt, hogy A mátrix kisebb mint egy B deniáljuk úgy, hogy a dimenziójuk megegyezik, és A minden eleme kisebb, mint a neki megfelel B-beli elem. Látható A hk lehet például A(t k ). Most legyen Y h : [, T ] R n n egy folytonos mátrix, amelyre teljesül A h folytonossági pontjaiban, azaz t Y h = A h Y h (4.15) 2 k=,...,n 1 (t k, t k+1 ), és Y h () = I.
22 Ekkor Ebb l látszik, hogy Y h (t) = exp((t t k )A hk ) exp(ha h,k 1 )... exp(ha h ), (4.16) t [t k, t k + 1], (k =,... N 1). Y h (T ) = exp(ha h,n 1 ) exp(ha h,n 1 )... exp(ha h ). (4.17) Jelöljük (4.13) megoldásait, melyet teljesítik Y () = I-t Y -nal. Emiatt, a korábbiak alapján Y (T ) az (4.1) egyenlet alapmátrixa. Tehát sajátértékei a rendszer karakterisztikus multiplikátorai. Most meg fogjuk mutatni, hogy Y h (T ) Y (T ), ha h. Integrálva (4.13)-t, és (4.15)-t, a következ ket kapjuk. Y (t) = I + A(τ)Y (τ)dτ (t [, T )) Y h (t) = I + A h (τ)y h (τ)dτ (t [, T )) Tehát, t [, T )-re, A(τ)Y h (τ)-t kivonva és hozzáadva: Y h (t) Y (t) = (A h (τ) A(τ))Y h (τ)dτ + A(τ)(Y h (τ) Y (τ))dτ. Bármilyen szokásos mátrixnormával felírható a következ becslés, t [, T )-re: Y h (t) Y (t) A h (τ) A(τ) Y h (τ) dτ + A(τ) Y h (τ) Y (τ) dτ. (4.18) Legyen A(t) M, ha t [, T ]. Ekkor (4.14) miatt A hk M(k =, 1,..., N 1), és (4.16) miatt Y h (t) exp(h A hk ) exp(h A h,k )... exp(h A h, ) exp(hnm) = exp(t M), 21
23 ahol t [, T ]. Továbbá, A egyenletes folyotonossága miatt a [, T ] intervallumon, minden ε > - hoz létezik δ(ε) >, úgy hogy minden τ 1, τ 2 [, T ]-re, ha τ 1 τ 2 < δ(ε), akkor A(τ 1 ) A(τ 2 ) ε. Tehát (4.14) miatt következik, hogy A h (τ) A(τ) ε minden τ [, T ]-re, ha h < δ(ɛ). Emiatt (4.18) becslést így folytathatjuk, ha h < δ(ɛ), és t [, T ): Y h (t) Y (t) ε exp(t M)T + Most szükségünk lesz a Grönwall lemmára, amely így szól. M Y h (t) Y (t) dτ Tétel. (Grönwall-lemma) Ha u, f C ([t, t 1 ]), u(t), f(t), k >, t [t, t 1 ], és u(t) k + f(τ)u(τ)dτ, t akkor u(t) k exp f(τ)u(τ)dτ. t Alkalmazva ezt Y h (t) Y (t) ε exp(t M) exp( M)dτ = ε exp(t M + Mt) (t [, T ]). Azaz, Y h (t) Y (t) εt exp(2t M) (t [, T ]) melyb l következik, hogy Y (T ) = lim h Y h (T ). Mivel a mátrix sajátértékei folytonosan függnek a bemenett l, Y h (T ) sajátértékei az (4.1) rendszer karakterisztikus multiplikátoraihoz tartanak. Az Y h (T ) mátrixot numerikusan meghatározhatjuk bármely pozitív h esetén az (4.16) egyenletet alkalmazva. 22
24 5. Gerjesztett lineáris rezgések Ebben a fejezetben inhomogén lineáris periodikus rendszerekkel fogunk foglalkozni, azaz nézzük az alábbi egyenletet. y = Ay + b, (5.19) ahol az A együtthatómátrix, és a b úgynevezett gerjeszt tag folytonos, és T -periodikus függvények, azaz A C (R +, R n n ), b C (R +, R n ), és A(t + T ) = A(t), b(t + T ) = b(t), valamely T > -ra, minden t R + -ra. A korábbi tételeket fogjuk kiterjeszteni az ilyen alakú rendszerekre Tétel. Ha az (5.19)-hoz tartozó homogén rendszernek nincs a triviálistól periodikus megoldása T periódussal, akkor (5.19)-nek pontosan egy T -periodikus megoldása van. Bizonyítás. Ljapunov els tétele szerint létezik egy T -periodikus mátrixfüggvény, P, mely (5.19)-hez tartozó homogén rendszert az y = P z transzformációval a z = Bz (5.2) rendszerbe viszi, ahol B egy konstans mátrix. Ugyanez a transzformáció (5.19)-et átviszi z = Bz + P 1 b (5.21) rendszerbe. Ha a homogén rendszernek nincs periodikus megoldása, akkor nyilván (5.2)-nak sem. Emiatt, az (4.6.) tételt alkalmazva (5.21)-nek van T -periodikus megoldása, tehát (5.19)-nek is. A megoldások egyértelm sége pedig abból látszik, hogy ha (5.19)-nak két különböz periodikus megoldása lenne, akkor a különbségük egy nemtriviális T -periodikus megoldása lenne a homogén rendszernek, amely ellentmond a feltevésünknek. Az alábbi következmény pedig látszik az el z tételekb l Tétel. Ha az 1 szám nem karakterisztikus multiplikátora a homogén rendszernek, akkor (5.19)-nek pontosan egy T -periodikus megoldása van. 23
25 A következ tételt Massera fogalmazta meg 195-ben Tétel. (Massera) Ha az (5.19) rendszernek van korlátos megoldása [, ]-en, akkor van T -periodikus megoldása is. Bizonyítás. Jelöljük ezt a korlátos megoldást ϕ-vel, és Φ-vel a homogén rendszer alapmátrixát, melyre Φ() = I. Ekkor a megoldás felírható az alábbi alakban: ahol ϕ = ϕ(), t R +. ϕ(t) = Φ(t)ϕ + Φ(t)Φ 1 (s)ds, azaz Ekkor nyilván T ϕ(t ) = Φ(T )ϕ + Φ(T )Φ 1 (s)ds, ϕ(t ) = Φ(T )ϕ + c. (5.22) Mivel ϕ( + T ) szintén megoldás, mely a -ban ϕ(t )-t vesz fel, ezért Ebb l látszik, hogy ϕ(t + T ) = Φ(t)ϕ(T ) + Φ(t)Φ 1 (s)ds. (t R + ) T ϕ(2t ) = Φ(T )ϕ(t ) + Φ(T )Φ 1 (s)ds = Φ(T )ϕ(t ) + c. Ide (5.22)- t behelyettesítve adódik, hogy ϕ(2t ) = Φ 2 (T )ϕ + (Φ(T ) + I)c. Ezt bármely m = 1, 2...-ra felírva ϕ(mt ) = Φ m (T )ϕ + m 1 k= Φ k (T )c. Most indirekt módon feltételezzük, hogy (5.19)-nek nincs T -periodikus megoldása. 24
26 Mivel ϕ(t ) = Φ(T )ϕ + c, ha ϕ (5.19) egy megoldása, az indirekt feltevés azt jelenti, hogy a Φ(T )ϕ + c = ϕ periodikussági feltételnek nincs megoldása. Átrendezve (I Φ(T ))ϕ = c adódik. Megjegyezzük, hogy a Bx = c egyenletrendszernek létezik x megoldása, akkor és csak akkor, ha nem létezik egy v, melyre v B =, v c, ahol v -vel v transzponáltját jelöljük. Ez nyilván igaz, hiszen ha létezne ilyen v, az azt jelentené, hogy B oszlopai által generált alterére mer leges, ám c-re nem. De ez pont ellentmond annak, hogy c benne van B oszlopterében, azaz létezik x melyre Bx = c. A másik irány hasonlóképp, ha létezik x, úgy hogy Bx = c, akkor c benne van B oszlopterében, tehát nem létezhet v, amely mer leges B oszlopterére, de c-re nem. Alkalmazva ezt a mi tételünkre, az, hogy (I Φ(T ))y = c egyenletrendszernek nincs megoldása, azzal ekvivalens, hogy létezik egy v vektor, melyre v (I Φ(T )) =, v c. Transzponálva ezt, megkapjuk, hogy (I Φ (T ))v =, c v, ahol -gal az adjungáltat jelöljük. Az els egyenletrendszerb l az látszik, hogy Φ (T )v = v, azaz Φ -gal balról szorozva Φ k (T )v = v, ahol k =, 1,
27 Most vegyük ϕ(mt ) skaláris szorzatát v-vel, ahol -vel a transzponáltat jelöljük. Az eddig belátottak alapján ϕ (mt ) v = ϕ Φ m (T ) v + m 1 = ϕ Φ m (T )v + m 1 = ϕ v + m 1 k= k= k= c Φ k (T )v c Φ k (T ) v c v = ϕ v + mc v. Ha m végtelenhez tart, akkor a jobboldal is, hiszen ott egy m-es szorzó. Tehát a bal oldalon ϕ (mt ) v is végtelenhez tart, azaz ϕ (mt ), ha m. Ez pedig ellentmond annak, hogy ϕ korlátos. Tehát ha ϕ korlátos, akkor létezik periodikus megoldás, tehát a tételt beláttuk. Továbbá érdemes megjegyezni azt is, hogy ha egy megoldás T -periodikus, akkor szükségképpen korlátos is, hiszen ϕ(t) max{ ϕ(ϑ) ϑ [, T ]} < minden t R + -ra. A most belátottakból könnyen következik az alábbi tétel Tétel. Ha az (5.19) rendszernek nincs periodikus megoldása, akkor egy megoldás sem korlátos t R + -on. 26
28 6. A Floquet elméletr l más megközelítésben A korábban deniált principális mátrixot és karakterisztikus multiplikátorokat bevezethetjük másképp is (vö. [7]). Nézzük az x = Ax (6.23) dierenciálegyenletet, ahol A C (R +, R n n ) folytonos, és T -periodikus, azaz A(t+T ) = A(t), ahol t R +. Jelölje u = ϕ( ; τ, ξ) azt a megoldását (6.23)-nak, melyre u(τ) = ξ. Ekkor ϕ( ; τ, ξ) = ϕ( + T ; τ + T, ξ), hiszen ha u megoldás, akkor u( + T ) is. Most deniáljuk az F (τ; ) úgynevezett T -leképezést: F (τ; ξ) := ϕ(τ + T ; τ, ξ). F egy diszkrét dinamikai rendszer, amely jellemzi (6.23) viselkedését Tétel. A (6.23) egyenletnek létezik T -periodikus u(t) megoldása pontosan akkor, ha ξ := u(τ) xpontja az F (τ;.) T -leképezésnek, azaz F (τ; ξ ) = ξ. Bizonyítás. Ez nyilván igaz, hiszen ha u T -periodikus, akkor u(τ) = u(τ + T ), azaz ϕ(τ; τ, ξ ) = ϕ(τ + T ; τ + T, ξ ). Ezáltal ξ = u(τ) = F (τ; ξ ). Legyen τ =, és F := F (; ). Valamint legyen most F (ξ ) = ξ, és u(t) az ehhez tartozó T -periodikus megoldás, továbbá Az így kapott egyenlet DF (ξ ) := ϕ x (T ;, ξ ) Y = AY, Y () = I. 27
29 Itt DF (ξ ) = Y (T ). A DF (ξ ) mátrix sajátértékei a karakterisztikus multiplikátorok, melyek az u T - periodikus megoldáshoz tartoznak. A következ kben autonóm rendszerekhez fogjuk deniálni a Poincaré-leképezést. Legyen x = f x, u egy T -periodikus megoldás, és γ az ehhez tartozó periodikus pálya. A Poincaré-leképezés minden xpontja megfelel egy periodikus pályának. El nye a T -leképezéssel szemben, hogy az ismeretlen T -periódust megkapjuk a xpont úgynevezett visszatérési idejeként. Legyen H az az n 1 dimenziós hipersík, amely irányvektora a pálya f(z) érint vektora z γ pontban. A z + H hipersíkot transzverzálisnak hívjuk z γ-ban, ha R n = f(z) H, ahol f(z) az f(z) vektor által kifeszített egydimenziós altér Tétel. Legyen H = {w R n : w, x = }, valamely w -ra Ekkor z + H transzverzális z γ-ban pontosak akkor, ha w, f(z). Továbbá, U z + H lokális transzverzális metszete a γ pályának z pontban, pontosan akkor ha w, f(x), minden x U-ra Tétel. Legyen γ egy T -periodikus pályája x = f x autonóm egyenletnek, és legyen z + H egy transzverzális hipersík z γ-ban. Ekkor létezik egy U lokális transzverzális metszete a γ pályának z pontban, és egy ϑ : U R, melyre ϑ(z) = T 28
30 γ ϑ(x) (x) z + H mindenx Ura ϑ folytonosan dierenciálható. A ϑ függvényt visszatérési id nek hívjuk. A függvény egyértelm abban az értelemben, hogy az U környezet választható úgy, hogy létezik egy pozitív ε, melyre ha x U, γ t (x) z + H, t + T < ε teljesül, akkor t = ϑ(x). A Π : U z + H, x γ ϑ(x) (x) Poincaré leképezés folytonosan dierenciálható és létezik z xpontja. Bizonyítás.[vázlat] A tétel belátható, ha alkalmazzuk az inverzfüggvény tételt g(t, x) = - ra, ahol g(t, x) := w, (γ t (x) z), g : R n R R, felhasználva, hogy g(t, z) =. 29
31 7. Stabilitás Most essen néhány szó a stabilitásról. Tekintsük a következ, általános alakban megadott rendszert. x = f (id, x), (7.24) ahol f, f C (R + Ω, R n ), ha Ω R n egy összefügg, nyílt tartomány Deníció. Egy ψ : R + Ω megoldását (7.24)-nek Ljapunov értelemben stabilnak nevezünk, ha ε > -hoz és τ -hoz létezik egy ε-tól és τ-tól függ δ >, úgy hogy ha ξ ψ < δ, akkor bármely ϕ(t; τ, ξ) [τ, + )-n értelmezett megoldásra, minden t > τ-ra ϕ(t; τ, ξ) ψ(t) < ε, ahol ψ = ψ(τ), valamely τ > -ra 7.4. Deníció. Egy ψ : R + Ω megoldását (7.24)-nek attraktornak nevezünk, ha minden τ -hoz létezik egy τ-tól függ η, úgy hogy, ha x ψ < η, akkor lim ϕ(t; τ, ξ) ψ(t) = t 7.5. Deníció. Egy ψ : R + X megoldását (7.24)-nek aszimptotikusan stabilisnak nevezünk, ha stabilis és attraktor. A továbblépéshez, vegyük a következ rendszert y = Ay, (7.25) ahol A C (R +, R n n ), A(t + T ) = A(t) valamely T > -ra és minden t R + -ra. Bebizonyítható az alábbi tétel (vö. [4]): 3
32 7.21. Tétel. (a) A (7.25) rendszer akkor és csak akkor aszimptotikusan stabil, ha minden karakterisztikus multiplikátorának abszolútértéke kisebb, mint 1. (b) A rendszer akkor és csak akkor Ljapunov értelemben stabil, ha minden karakterisztikus multiplikátorának abszolútértéke kisebb vagy egyenl 1-gyel, és amelyeknek abszolútértéke 1, azok a minimálpolinomban egyszeres multiplicitással rendelkeznek. (c) A renszer instabil, ha van egy karakterisztikus multiplikátora, melynek abszolútértéke nagyobb, mint egy, vagy pontosan egy és multiplicitása a minimálpolinomban nagyobb mint egy. 31
33 8. Példák és alkalmazások 8.1. Hill egyenlet A korábbi eredményeink alkalmazásaképp írjuk fel Hill egyenletét: y + py =, (8.26) ahol p C (R +, R), p(t + T ) = p(t) valamely T > -ra, ahol t R +. Különösen fontos foglalkoznunk ezzel az egyenlettel, hiszen belátható, hogy bármely másodrend lineáris dierenciálegyenlet periodikus és folytonosan dierenciálható együtthatókkal, visszavezethet (8.26)-ra. Tehát számos probléma megoldását könnyítik meg ezek az általános eredmények. A visszavezetéshez tehát legyen a 1 C 1 (R +, R), a C (R +, R), a 1 (t + T ) = a 1 (t), és a (t + T ) = a (t) valamely T > -ra, ahol t R +. Vegyük a z + a 1 z + a z = (8.27) rendszert. Bevezetve egy új y ismeretlen függvényt a z(t) = y(t) exp 1 2 a 1 (s)ds (t R + ) (8.28) transzformációval, azt kapjuk, hogy z kielégíti a (8.27)-et pontosan akkor, ha y kielégíti (8.26)-t, ahol p = a a 2 1/4 a 1/2. Mindez könnyen látszik, ha az így megadott z-t behelyettesítjük (8.27)-be, majd a deriválásokat elvégezve valóban (8.26)-t kapjuk. Visszatérve (8.26)-hez, most Ljapunov módszerét ismertetjük, mely meghatározza az általános megoldást, és a stabilitási feltételeket. Az (8.26) rendszer egy ekvivalens felírása y 1 = y 2, y 2 = py 1. (8.29) 32
34 El ször (8.29) Φ(t) alapmátrixát fogjuk meghatározni, melyre Φ() = I. Ezt végtelen sor formájában tesszük meg. Most (8.26) helyett egy általánosabb alakú dierenciálegyenletet nézünk: y = µpy, (8.3) ahol µ R. Itt µ helyébe 1-et helyettesítve megkapjuk Hill egyenletét. Az (8.3) rendszer y() = 1, y () = kezdeti feltételeket kielégít megoldását nevezzük ϕ µ -nek. Nyilván (8.26) ϕ megoldására ϕ = ϕ 1. Tegyük fel, hogy a ϕ µ megoldások felírhatóak konvergens hatványsor alakban az alábbi módon: ϕ µ = ϕ k µ k. (8.31) k= Ezt visszahelyettesítve (8.3)-ba, adódik, hogy k= ϕ kµ k = pϕ k µ k+1 Ahhoz, hogy µ azonos hatványaihoz tartozó együtthatók megegyezzenek, kell: k= ϕ =, ϕ k = pϕ k 1 (k = 1, 2...). Ahhoz, hogy a kezdeti feltételek teljesüljenek, legyen ϕ() = 1, ϕ () =, ϕ k () = ϕ k() =, hak 1, Ezeket felhasználva, kiintegrálva az el z feltételeket, megkapjuk, hogy ϕ (t) = 1, ϕ k (t) = 1 p(t 2 )ϕ k 1 (t 2 )dt 2 dt 1. (t R + ) A második integrálból adódik, hogy ϕ k (t) = p(t 2 )ϕ k 1 (t 2 )dt 1 dt 2 = t 2 (t τ)p(τ)ϕ k 1 (τ)dτ (t R + ), ahol felhasználtuk a Fubini-tételt, illetve, hogy a bels integrál nem függ t 1 -t l. 33
35 Indukcióval látható, hogy ha a periodikus p függvénynek M fels korlátja, akkor ϕ k (t) M k t 2k (2k)! t R +, k = 1, 2... és ϕ k C 2 (R). Tehát tetsz leges µ > -ra és t > -ra a k= µ k M k t 2k (2k)! = ch(t (µ M) 1/2 ) konvergens sorozat felülr l becsli (8.31)-et, ha t < t és µ < µ tehát (8.31) abszolút konvergens, és összege valóban (8.3) megoldása. Azaz beláttuk, hogy (8.26) megoldása, mely teljesíti a megadott kezdeti feltételeket ϕ = ϕ 1 = ( 1) k ϕ k. k= Hasonlóképp belátható, hogy (8.26) megoldása, melyre y() =, y () = 1 a következ képp néz ki: ahol ψ (t) = t, és ψ(t) = t + ( 1) k ψ k (t) t R +, k=1 ψ k (t) = (t τ)p(τ)ψ k 1 (τ)dτ, t R +, k = 1, Ekkor a Φ alapmátrixa (8.26)-nek, amely teljesíti a Φ() = I feltételt ϕ ψ. ϕ ψ A karakterisztikus multiplikátorok a C λi = egyenlet megoldásai, ahol C = Φ(T ). A folytatáshoz írjuk fel a következ lemmát, mely Lioville nevéhez köthet Lemma. Legyen Y az Y = AY megoldása, és legyen t (α, β). Ekkor minden t (α, β)-ra det(y (T )) = det(y (t )) exp T ra(s)ds, ahol T ra(s) az A(s) mátrix nyoma. t 34
36 Ezt felhasználva T det(φ(t )) = exp T r 1 dt = exp() = 1. p(t) Visszatérve a Φ(T ) λi = egyenlethez, behelyettesítve Φ(T )-t ϕ(t ) λ ψ(t ) ϕ (T ) ψ (T ) λ = adódik. Ez a determináns (ϕ(t ) λ)(ψ (T ) λ) ψ(t )ϕ (T ) = λ 2 aλ + 1, ahol a = ϕ(t ) + ψ (T ) = T rφ(t ), melyet Ljapunov konstansnak nevezünk Tétel. Ha a Ljapunov konstans abszolútértéke nagyobb 2-nél, akkor (8.29) rendszer instabil, ha pedig kisebb 2-nél, akkor pedig Ljapunov értelemben stabil. Bizonyítás. A λ 2 aλ + 1 = egyenlet gyökei λ 1,2 = a ± a A (7.21.) tételt alkalmazva, a gyökök értékét gyelembe véve a tételt beláttuk Tétel. Ha a Ljapunov konstans 2, akkor a (8.29) rendszer Ljapunov értelemben stabil pontosan akkor, ha minden megoldása T -periodikus. Továbbá, ha a Ljapunov konstans 2, akkor a (8.29) rendszer Ljapunov értelemben stabil pontosan akkor, ha minden megoldása 2T -periodikus. Bizonyítás. Ha a = 2, akkor a rendszer karakterisztikus polinomja p(λ) = (λ 1) 2. Felhasználva a (4.9.) tételt, ekkor létezik egy nemtriviális T -periodikus megoldás. A (7.21.) tétel szerint a rendszer pontosan akkor Ljapunov értelemben stabil, ha a minimálpolinomja q(λ) = λ 1, mert így az 1 karakterisztikus multiplikátor multiplicitása egyszeres. 35
37 Továbbá, q(λ) = λ 1 minimálpolinom pontosan akkor, ha C I =, ahol ϕ(t ) ψ(t ) C = Φ(T ) =. ϕ (T ) ψ (T ) Ezt elemenként felírva, ϕ(t ) = 1 = ϕ(), ϕ (T ) = = ϕ (), ψ(t ) = = ψ(), és ψ (T ) = 1 = ψ (). Tehát ez a két független megoldás, általuk az összes megoldás T -periodikus. Ha a = 2, akkor a rendszer karakterisztikus polinomja p(λ) = (λ + 1) 2. Tehát létezik egy nemtriviális 2T -periodikus megoldás. A rendszer Ljapunov értelemben stabil, ha a minimálpolinom q(λ) = λ + 1. Emiatt C + I =. Elemenként, ϕ(t ) = 1 = ϕ(), ϕ (T ) = = ϕ (), ψ(t ) = = ψ(), ésψ (T ) = 1 = ψ (). Tehát Ezáltal és [ϕ(t ), ϕ (T )] = [ϕ(), ϕ ()], és [ψ(t ), ψ (T )] = [ψ(), ψ ()]. [ϕ(2t ), ϕ (2T )] = [ϕ(t ), ϕ (T )] = [ϕ(), ϕ ()], [ψ(2t ), ψ (2T )] = [ψ(t ), ψ (T )] = [ψ(), ψ ()], azaz minden megoldás 2T -periodikus. Összefoglalva 1. Ha a > 2, akkor a rendszernek van egy valós karakterisztikus multiplikátora, melynek abszolútértéke nagyobb, mint 1, és egy másik valós, melynek kisebb, mint 1. Ebb l belátható, hogy a Hill egyenlet néhány megoldása exponenciálisan végtelenbe tartó amplitúdókkal oszcillálhat, és néhány a -ba tart, ha t. 2. Ha a < 2, akkor a rendszernek van kett (komplex konjugált) karakterisztikus multiplikátora, melyek abszolútértéke 1. Ez azt jelenti, hogy a Hill egyenlet minden megoldása korlátos, oszcillál, de a triviálisokon kívül egyik sem T -, vagy 2T - periodikus. 36
38 3. Ha a = 2 (illetve a = 2), akkor vagy minden megoldás T -periodikus (illetve 2T - periodikus), vagy van egy nemtriviális T -periodikus (illetve 2T -periodikus) megoldás, és minden más megoldás független ett l, és végtelenbe tartó amplitúdóval oszcillál Mathieu egyenlet Az alábbi fejezetben alkalmazásokkal, és egy a Hill egyenlet egy speciális esetével, a Mathieu egyenlettel fogunk foglalkozni. Egy lényeges alkalmazás bemutatásaképp beszéljünk a hullámokról. Ez egy olyan probléma, amely az élet számos területén el fordul, például ha megpendítünk egy gitárhúrt, ráütünk egy dobra, vagy beledobunk egy követ a vízbe. Beszélhetünk rugalmas, elektromágneses, vagy számos egyéb hullámról. Most kétdimenziós hullámokkal fogunk foglalkozni. A terjedésüket a kétdimenziós hullámegyenlet írja le: U = c 2 U, ahol -vel a t szerinti deriválást jelöljük, c > konstans, U pedig a hullám amplitúdója, U(t, x, y) jelöli az (x, y) koordinátájú pont függ leges kitérését a t id pillanatban, ahol t R +, (x, y) R 2. Itt a jelölés pedig a Laplace operátor, tehát f = div(grad f) = 2 f x 2 f R 2 R kétszer deriválható függvény. + 2 f y 2, ha Tegyük fel, hogy a rezgés harmonikus, és alkalmazzuk a változók szétválasztásának módszerét. Ekkor belátható, hogy U(t, x, y) = exp(iωt)u(x, y) (t R +, (x, y) R 2, ω R). Ezt visszahelyettesítve a hullámegyenletbe ( ) exp(iωt)u(x, y)ω 2 = c 2 exp(iωt) 2 u(x, y) + exp(iωt) 2 u(x, y), x 2 y 2 azaz egyszer sítve és átrendezve az egyenletet u + k 2 u = (8.32) 37
39 adódik, ahol k = ω/c. Tegyük fel, valós problémákra alaphozva, hogy a peremfeltételek egy ellipszis mentén vannak megadva. Ehhez vezessük be (vö. [3]) a ξ és η ortogonális elliptikus koordinátákat az alábbi transzformációval x = h 1 ch ξ cos η, y = h 1 sh ξ sin η, ahol h 1 > konstans, ξ, η R Alkalmazva a Laplace operátort ezekre a görbe vonalú ortogonális koordinátarendszerbeli koordinátákra, (8.32) egyenletb l 2 u(ξ, η) + 2 u(ξ, η) + k2 h 1 (ch 2ξ cos 2η)u(ξ, η) = ξ 2 η 2 (8.33) 2 lesz, ahol a most szerepl u függvény ξ-t l és η-tól függ. Újból a változók szétválasztásának módszerét alkalmazva legyen u(ξ, η) = A(ξ)B(η). Ezt visszahelyettesítve (8.33)-be, AB-vel leosztva A (ξ)/a(ξ) + 2h 2 ch 2ξ = B (η)/b(η) + 2h 2 cos 2η = r adódik, ahol h = kh 1 /2 és r tetsz leges szám, és -vel a saját változó szerinti deriválást jelöljük. Ezáltal a következ két dierenciálegyenletet kapjuk A (ξ)(r 2h 2 ch 2ξ)A(ξ) =, B (η)(r 2h 2 cos 2η)B(η) =. Egy komplex tanszformációval a két egyenlet könnyen átvihet egymásba, tehát most vizsgáljuk a 2 y(t) t 2 + (r 2q cos 2t)y(t) = (t R) (8.34) egyenletet. Ezt a másodrend dierenciálegyenletet nevezik Mathieu egyenletnek. Számos olyan zikai probléma során el kerül, melyben valamiféle elliptikus szimmetria szerepel, például a h vezetés, elekromágnesesség, rugalmas jelenségek, vagy a már tárgyalt hullámterjedés. Látható, hogy Mathieu egyenlete Hill egyenletének speciális esete, ahol minden t R- re p(t) = r 2q cos 2t, amely t-ben π-periodikus. 38
40 A zikai problémák megoldásához sok esetben csak a π-, vagy 2π-periodikus megoldásokra van szükségünk. Mint ahogy a példának okáért hullámterjedésnél is, hiszen η periodikus pont, azaz a megoldások ugyanazt az értéket veszik fel t-ben és t + 2π-ben minden t R-re. Továbbá, (8.34)-at tekintve q értékét több tényez is befolyásolja, mint például a feladathoz tartozó zikai és geometriai adatok, a dierenciálegyenlet paraméterei, és az ellipszis alakja, mely körül a peremfeltételek vannak megadva. Ha q R rögzített, akkor r azon értékei, melyre (8.34)-nak létezik π-, vagy 2πperiodikus megoldása, diszkrét halmazt alkotnak. Ezek pontosan azok az értékek, melyre a = 2, ahol a a korábban deniált Ljapunov konstans. Karakterisztikus értékeknek nevezzük azon r(q) értékeket, melyre (8.3)-nak létezik nemtriviális π-, vagy 2π-periodikus megoldása. Ezen megoldásokat elliptikus henger -, vagy els fajú Mathieu függvényeknek nevezzük. Bizonyítható, hogy minden m pozitív egész számhoz tartozik két karakterisztikus érték, ρ m és σ m. Ezeket r helyébe visszahelyettesítve a Mathieu egyenletbe, az egyenletnek van nemtriviális π, illetve 2π-periodikus páros, illetve páratlan megoldása, melynek pontosan m darab zérushelye van [, π)-n. Ezeket a Mathieu függvényeket ce m (t, q)- val és se m (t, q)-val jelöljük, ahol t R. Ha m páros akkor 2π-, ha m páratlan, akkor π-periodikusak. Most tekintsük a q = esetet. Ekkor Mathieu egyenlete az y + ry = (8.35) alakot veszi fel. Ez az egyenlet pontosan akkor rendelkezik π-, illetve 2π-periodikus megoldással, ha r = m 2, ahol m pozitív egész szám. Tehát ekkor ce m (t, ) = cos mt, se m (t, ) = sin mt, ρ m () = σ m () = m 2 (t R ). Ezen függvényeknek valóban m darab zérushelyük van [, π)-n. Ezenfelül, ha q 1, akkor ρ m () σ m (), és ha (8.34)-nak van nemtriviális π-, illetve 2π-periodikus megoldása, akkor egyik másik lineárisan független megoldás sem lehet π-, illetve 2π-periodikus. Emiatt (8.23.)-ben nem teljesülhet a stabilitás feltétele, ha a = 2. 39
41 Ezen eredményeken felül feltehet, hogy (8.34) karakterisztikus értékei, és a hozzájuk tartozó Mathieu függvények harványsorba fejthet k q paraméter körül: ρ m (q) = m 2 + α k q k, ce m (t, q) = cos mt + q k c k (t), k=1 k=1 m =, 1,... σ m (q) = m 2 + β k q k, se m (t, q) = sin mt + q k s k (t), k=1 k=1 m = 1, 2,..., t R. Az α k, β k együtthatók, és c k, s k függvények meghatározhatók az (8.34) egyenletbe való behelyettesítéssel Egy további példa Végül nézzünk egy gyakran el foduló matematikai problémát, amely szintén a Mathieu egyenletre vezethet vissza. Ez a matematikai inga oszcilláló felfüggesztési ponttal. Egy m tömeg anyagi pont fel van függesztve egy súly nélküli l hosszú rúdra, amely O felfüggesztési pont körül forog. Tegyük fel, hogy a rúd mozgása vízszintes harmonikus rezgés A > amplitúdóval és ω > körkörös frekvenciával. A súrlódásnak csillapító hatása van, b > együtthatóval, mely arányos a szögsebességhez. A mozgásegyenlet ekkor a következ képp néz ki: lmθ (t) = mg sin θ(t) + maω 2 cos(ωt) sin θ(t) bθ (t) (t R + ). Tegyük fel, hogy a θ szögeltérés kicsi, és sin θ-t helyettesítsük θ-val. Ekkor átrendezés után a egyenletet kapjuk. θ (t) + b ( ) g lm θ (t) + l + Aω2 cos(ωt) θ(t) (t R + ) l Ezáltal, alkalmazva a fejezet elején bemutatott (8.28) transzformációt: Ezt behelyettesítve megkapjuk az új ψ (t) + θ(t) = ψ(t) exp( bt 2lm ) (t R +). [ g l Aω2 cos(ωt) l ( )] b ψ(t) = (t R + ) 2lm 4
42 egyenletet. Most pedig vezessük be a τ = ωt 2 jelöléseket. r = 4g ( b ω 2 l 2lm Ezáltal megkapjuk Mathieu egyenletét: változót, és a ), q = 2A l. 2 ψ(τ) τ 2 + (r 2q cos 2τ)ψ(τ) = (τ R + ) 41
43 9. Fixponttételek A periodikus megoldások elméletében fontos szerepet játszanak a xponttételek. Érdemes megemlíteni az alábbi tételeket Tétel. (Brouwer-féle xponttétel) Az (R,, ) euklideszi tér esetén minden folytonos ϕ : B 1 () B 1 () leképezésnek van xpontja Tétel. (Schauder-féle xponttétel) Legyen (X, ) Banach-tér, K X konvex, korlátos és zárt halmaz, ϕ : K K folytonos operátor. Ekkor létezik u K, hogy ϕ(u) = u, azaz ϕ-nek van xpontja. A Brouwer-féle xponttétel felhasználásával bizonyítható a következ tétel (vö. [5]) Tétel. Az (R d,, ) Euklideszi tér esetén legyen adott a :=, norma, ξ R d vektor és T > szám. Tegyük fel, hogy Az f : R R n R d függvény T -periodikus az els változójában, tehát f(x+t, y) = f(x, y), ahol (x, y) R n. Az f függvény folytonos, és alkalmasan választott L > -ra f(x, y) f(x, z) L y z, ahol (x, y), (x, z) R R d, tehát második változójában Lipschitz-folytonos. Minden y B 1 ()-ra f(x, y), y <, ahol x R. Ezen feltételek mellett az y = f (id, y), y() = ξ (9.36) kezdetiérték-feladatnak létezik a ϕ() = ϕ(t ) feltételt teljesít megoldása. 42
44 Bizonyítás. A második feltétel miatt a feladatnak pontosan egy lokális megoldása létezik, mely a ϕ : I(ξ) R d megoldássá folytatható. A harmadik feltételt felhasználva látszik, hogy B 1 () invariáns halmaz, tehát minden ξ B 1 ()-ra a fázistér ezen pontjából induló pályák B 1 ()-ban maradnak. Ugyanis, ha bármely τ I(ξ)-re ϕ(τ) = 1 (tehát valóban az egységgömb határán van), akkor a φ(x) := 1 2 ϕ(x) 2 függvényre, ahol x I(ξ) φ (τ) = ϕ (τ), ϕ(τ) = f(τ, ϕ(τ)), ϕ(τ) <. Azaz, alkalmasan választott ε > -ra a φ [τ,τ+ε) függvény monoton csökken, azaz minden x [τ, τ + ε)-ra ϕ(x) B 1 (). Legyen most ξ 1, ξ 2 B 1 (). Ezen kezdeti értékekhez tartozó ψ 1, ψ 2 maximális megoldásokra (ψ 1 ψ 2 )(x) = ξ 1 ξ 2 + x (f (t, ψ 1 (t) f(t, ψ 2 (t))) dt, ahol x [, ). Ezt becsülve, az els feltételt felhasználva (ψ 1 ψ 2 )(x) ξ 1 ξ 2 + L (ψ 1 ψ 2 )(t) dt adódik. Erre alkalmazva a Grönwall-lemmát, x (ψ 1 ψ 2 )(x) ξ 1 ξ 2 exp(lx). Emiatt a P : B 1 () B 1 (), P (ξ) := φ(t ) Poincaré-leképezés folytonos, emiatt a Brouwer-féle xponttételt alkalmazva P -nek van xpontja, mégpedig ϕ(). Tehát ϕ(t ) = P (ϕ()) = ϕ(). Alkalmazva az els feltételt, látható, hogy ϕ és ϕ( + T ) is megoldása a (9.36)-nak, továbbá ezek az egyértelm ség miatt egyenl ek. Így beláttuk, hogy (9.36) ϕ megoldása T -periodikus. 43
45 A Schauder-féle xponttételt alkalmazva bebizonyítható az alábbi tétel (vö. [6]) Tétel. Legyen e : R + R folytonos, T -periodikus függvény, azaz e(t + T ) = e(t) (t R + ). Továbbá legyen Ha g : R R függvény folytonos és T e(s)ds =. g(x)/x, ha x, és létezik egy b szám melyre xg(x), ha x b, akkor bármely c R számra a x + cx + g(x) = e dierenciálegyenletnek létezik legalább egy T -periodikus megoldása. 44
46 1. Dierenciaegyenletek A dierenciaegyenletek a dierenciálegyenletekkel ellentétben diszkrét halmazon vannak értelmezve. A matematikai alkalmazásaiban számos területen el fordulnak, legyen szó valószín ségszámításról, biológiai populáció kérdésekr l, vagy programozásról. Gyakorlatilag bárhol, ahol rekurzív sorozatokkal találkozhatunk (vö. [1]). Az el z ekhez hasonlóan itt is fontos szerepet kapnak a periodikus megoldások. Ebben a fejezetben erre nézünk néhány deníciót és tételt. Legyen n N, és f : N R m R m. Ekkor az y(n + 1) = f(n, y(n)) n N, (1.37) dierenciaegyenlettel fogunk foglalkozni. A (1.37) megoldása egy olyan ϕ : N R m sorozat, melyre ϕ(n + 1) = f(n, ϕ(n)) n N, teljesül. A (1.37) dierenciaegyenlet felírható két ekvivalens formában: y(n + 1) = d(n)y(n) + b(n), n N, (1.38) vagy y(n) = a(n)y(n) + b(n), n N, (1.39) ahol a korábbiakkal ellentétben pedig a dierenciaoperátort jelöli, azaz y(n) = y(n+ 1) y(n). A második egyenletb l az els t egy egyszer a(n) = d(n) 1 behelyettesítéssel kapjuk Deníció. A ϕ : N R sorozatot p-periodikusnak nevezzük, ha ϕ(n + p) = ϕ(n) minden n N -re, és p pozitív egész. Az p-t alapperiódusnak nevezzük, ha nem létezik másik p 1 periódus, melyre p 1 < p. Ha a = b, akkor (1.39) megoldásai a konstans függvények, melyek 1- periodikusak. 45
47 Ha a, akkor a megoldás n 1 ϕ(n) = c + b(l), n N l= alakú, ahol c tetsz leges konstans. Ez az (1.39)-be való behelyettesítéssel ellen rizhet. Az ϕ(n + p) = ϕ(n) egyenletbe való behelyettesítéssel pedig az adódik, hogy az p- periodikussághoz szükséges és elégséges feltétel és b függvény pedig legyen p-periodikus. p 1 b(l) =, Szintén ellen rizhet, hogy a b esetben a megoldás alakú, ahol c tetsz leges konstans. l= n 1 ϕ(n) = c (1 + a(l)), n N (1.4) l= Tehát ha a(j) = 1 valamely j N -ra, akkor y(n) =, ha n > j, tehát létezik 1-periodikus triviális megoldás megfelel en nagy n-re. Ha ez nem teljesül, akkor a szükséges és elégséges feltétele a nemtriviális periodikus megoldás létezésének az, hogy a p-periodikus és p 1 (1 + a(l)) = 1. l= Ha a, b, akkor a megoldás n 1 ϕ(n) = c (1 + a(l)) + l= n 1 l= ( n 1 j=l+1 (1 + a(j)) alakú, amely szintén ellen rizhet behelyettesítéssel. ) b(l), n N (1.41) El ször nézzük azt az esetet mikor a és b függvények p-periodikusak Tétel. Legyenek a, b : N R függvények p-periodikusak. Ha p 1 (1 + a(l)) 1, l= akkor (1.39)-nek létezik egy egyértelm p-periodikus megoldása az [ p 1 ( p 1 ) ] [ ] p 1 y() = (1 + a(j)) b(l) 1 (1 + a(j)) l= j=l+1 j= 46
48 kezdeti értékkel. Ha p 1 (1 + a(l)) = 1, l= akkor minden megoldás p-periodikus. Ha p 1 (1 + a(l)) = 1, l= akkor nincs p-periodikus megoldás. ( p 1 p 1 l= l= j=l+1 ( p 1 p 1 j=l+1 (1 + a(j)) (1 + a(j)) ) ) b(l) =, b(l), Bizonyítás. Az (1.41) általános megoldás alakjából, ϕ(p) = ϕ() periodikussági feltételt felírva a tétel átalakításokkal adódik. Az eddig belátott feltételekb l látszik, hogy (1.39)-nek pontosan akkor van egyértelm p-periodikus megoldása, ha a x(n) = a(n)x(n), n N (1.42) homogén egyenletnek nincsen nemtriviális p-periodikus megoldása. A továbbiakban ne tegyük fel a és b periodicitását Tétel. Ha az a függvény nem p-periodikus semmilyen p N-re, akkor (1.39)- nek legfeljebb egy p-periodikus megoldása lehet. Bizonyítás. Indirekt módon, tegyük fel, hogy u és v két különböz p-periodikus megoldása (1.39)-nek. Ha valamely j N -ra u(j) = v(j), tehát (1.39) y(n + 1) = (1 + a(n))y(n) + b(n) alakjából következik, hogy u(n) = v(n) minden n > j-re. Ezáltal, u és v periodikussága miatt u(n) = v(n), minden n N -ra. Emiatt semelyik két különböz u és v megoldás nem veheti fel ugyanazt az értéket sehol. Emiatt u(n) v(n) egy soha el nem t n p- periodikus megoldása a (1.42) homogén egyenletnek. De ekkor a már belátott feltételek miatt a függvénynek muszáj periodikusnak lennie, tehát ellentmondásra jutottunk. Tudjuk, hogy minden periodikus megoldás korlátos. Tehát a korlátosság szükséges feltétele a periodicitás szükséges feltétele is egyben. Például, ha a(l) abszolút konvergens, akkor a periodikus megoldás létezésének szükséges feltétele a ( n 47 l= l= b(l) ) n= sorozat
Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
Részletesebben3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
Részletesebbeny = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)
III Az exp (Ax mátrixfüggvény módszere Ha y = ay, y( = y, a = állandó y = y exp (ax d dx [exp (Ax] = Y = AY, Y ( = Y, Y (x = exp (AxY exp (Ax = I + n= A n x n (n! = A A n x n, n! ] A n x n I + = A exp
RészletesebbenCsászár Szilvia. Exponenciális dichotómia
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Császár Szilvia Exponenciális dichotómia BSc szakdolgozat Témavezet : Dr. Kovács Sándor Numerikus Analízis Tanszék Budapest, 2015 Köszönetnyilvánítás
RészletesebbenDifferenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
RészletesebbenParciális dierenciálegyenletek
Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Részletesebben1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek
7 Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Legyen n N, I R intervallum és A: I M n n (R), B: I R n folytonos függvények, és tekintsük az { y (x) = A(x)y(x) + B(x) y(ξ) = η kezdeti érték problémát,
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenFolytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja
Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)
RészletesebbenMODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS
MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenExplicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenMátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22
Mátrixfüggvények Wettl Ferenc 2016. április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények 2016. április 28. 1 / 22 Tartalom 1 Diagonalizálható mátrixok függvényei 2 Mátrixfüggvény a Jordan-alakból 3 Mátrixfüggvény
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
Részletesebben(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1
Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
Részletesebbendifferenciálegyenletek
Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y
RészletesebbenMátrix-exponens, Laplace transzformáció
2016. április 4. 2016. április 11. LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET RENDSZEREK ÉS A MÁTRIX-EXPONENS KAPCSOLATA Feladat - ismétlés Tegyük fel, hogy A(t) = (a ik (t)), i, k = 1,..., n és b(t) folytonos mátrix-függvények
RészletesebbenLineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
Részletesebben(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenDifferenciálszámítás normált terekben
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kapui Dóra Differenciálszámítás normált terekben Szakdolgozat Matematika BSc, elemz szakirány Témavezet : Tarcsay Zsigmond Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Differencia- és differenciálegy.-rsz. H607 2017-04-05
RészletesebbenDiszkrét idej rendszerek analízise az id tartományban
Diszkrét idej rendszerek analízise az id tartományban Dr. Horváth Péter, BME HVT 06. október 4.. feladat Számítuk ki a DI rendszer válaszát, ha adott a gerjesztés és az impulzusválasz! u[k = 0,6 k ε[k;
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
RészletesebbenVégeselem modellezés alapjai 1. óra
Végeselem modellezés alapjai. óra Gyenge alak, Tesztfüggvény, Lagrange-féle alakfüggvény, Stiness mátrix Kivonat Az óra célja, hogy megismertesse a végeselem módszer (FEM) alkalmazását egy egyszer probléma,
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenLagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Nemesné Jónás Nikolett Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Szekeres Béla János,
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2016. április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2016. április 12. 1 / 35 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Norma 3 Mátrixnorma 4 Alkalmazások Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenElhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban. Mindkét csoport. Rövidítve.
TTK, Matematikus alapszak Differenciálegyenletek 1 (BMETE93AM15) Elhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban Mindkét csoport Rövidítve 1 gyakorlat 017 szeptember 7 T01 csoport Elsőrendű közönséges
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenOrtogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41
Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét
RészletesebbenElhangzott tananyag óránkénti bontásban
TTK, Matematikus alapszak Differenciálegyenletek (Előadás BMETE93AM03; Gyakorlat BME TE93AM04) Elhangzott tananyag óránkénti bontásban 2016. február 15. 1. előadás. Közönséges differenciálegyenlet fogalma.
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
RészletesebbenLNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei
Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2
Részletesebben1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.
1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
Részletesebben3. Fékezett ingamozgás
3. Fékezett ingamozgás A valóságban mindig jelen van valamilyen csillapítás. A gázban vagy folyadékban való mozgásnál, kis sebesség esetén a csillapítás arányos a sebességgel. Ha az vagy az ''+k sin =0,
RészletesebbenSajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
RészletesebbenFüggvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
RészletesebbenFourier transzformáció
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Fourier transzformáció Fourier transzformáció, heurisztika Tekintsük egy 2L szerint periodikus függvény Fourier sorát: f (x) = a 0 2 + ( ( nπ ) ( nπ )) a n cos
RészletesebbenLagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
RészletesebbenFüggvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
RészletesebbenGibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén
Matematikai modellek, I. kisprojekt Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén Unger amás István B.Sc. szakos matematikus hallgató ungert@maxwell.sze.hu, http://maxwell.sze.hu/~ungert
RészletesebbenAutonóm egyenletek, dinamikai rendszerek
238 8. Autonóm egyenletek, dinamikai rendszerek 8.8. tétel. (Andronov Witt) 5 6 Ha a Γ periodikus pálya karakterisztikus multiplikátorainak abszolút értéke 1-nél kisebb, akkor a Γ pálya stabilis határciklus.
RészletesebbenTartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)
Tartalom 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció) 2015 1 Állapotgyenletek megoldása Tekintsük az ẋ(t) = ax(t), x(0) = 1 differenciálegyenletet. Ismert, hogy a megoldás
RészletesebbenJanuary 16, ψ( r, t) ψ( r, t) = 1 (1) ( ψ ( r,
Közelítő módszerek January 16, 27 1 A variációs módszer A variációs módszer szintén egy analitikus közelítő módszer. Olyan esetekben alkalmazzuk mikor ismert az analitikus alak amelyben keressük a sajátfüggvényt,
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
Részletesebben1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)
Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
Részletesebben4. Laplace transzformáció és alkalmazása
4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:
RészletesebbenWigner tétele kvantummechanikai szimmetriákról
Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet és MTA-DE "Lendület" Funkcionálanalízis Kutatócsoport, Debreceni Egyetem 2014. Október 30. Elméleti Fizika Szeminárium A tétel története Wigner tétele Tétel Legyen
Részletesebben0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)
Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses
RészletesebbenDierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
Részletesebben1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában
1. Reprezentáció elmélet 1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában A vektorok és az operátorok mátrixok formájában is felírhatók. A végtelen dimenziós ket vektoroknak végtelen sok sort tartalmazó oszlopmátrix
RészletesebbenIV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +
RészletesebbenJulia halmazok, Mandelbrot halmaz
2011. október 21. Tartalom 1 Julia halmazokról általánosan 2 Mandelbrot halmaz 3 Kvadratikus függvények Julia halmazai Pár deníció Legyen f egy legalább másodfokú komplex polinom. Ha f (ω) = ω, akkor ω
Részletesebben25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1
6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
Részletesebben6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján
Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenL-transzformáltja: G(s) = L{g(t)}.
Tartalom 1. Stabilitáselmélet stabilitás feltételei inverz inga egyszerűsített modellje 2. Zárt, visszacsatolt rendszerek stabilitása Nyquist stabilitási kritérium Bode stabilitási kritérium 2018 1 Stabilitáselmélet
RészletesebbenAnalízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
Részletesebben