Nemlineáris, sztochasztikus differenciaegyenletek megoldása Uhlig-algoritmussal

Átírás

1 MÛHELY Közgazdasági Szemle, LIII évf, 2006 március ( o) HORVÁTH ÁRON Nemlineáris, szochaszikus differenciaegyenleek megoldása Uhlig-algorimussal A modern közgazdasági elemzések során gyakran alkalmaznak szochaszikus, dinamikus modelleke A mikroökonómiai alapokra épülõ makroökonómiai modellekben például az álalános egyensúlyi modellek megoldásakén adódó feléelek nemlineáris, szochaszikus differenciaegyenle-rendszerrel írhaók le Recepszerû írásomban megmuaom, hogy az egyszerûbb rendszerek a számíásechnika fejlõdésének köszönheõen már graduális szinû közgazdasági udással megoldhaóvá és elemezheõvé válak A Blanchard Kahn [1980] anulmányhoz fûzõdõ algorimus egy márix-egyenlerendszer megoldásakén muaja be a modellek rekurzív formájá Harald Uhlig néme közgazdász ez alakíoa á számíógépes alkalmazás céljából (Uhlig [1999]), így a felhasználók körében gyakran rá hivakoznak A módszer alkalmazhaóságának ké fonos megszoríó kriériuma van: a modelleknek léezzen állandósul állapouk, és legyenek lineárisan közelíheõk Ké példával illuszráljuk, hogy a megoldáshoz szükséges eszközár nem haladja meg a bonyolulabb muliplikáorelemzések szinjé A reál üzlei ciklusok (RBC) modelljén részleesen sorra vesszük a lépéseke, majd röviden egy rövid ávú alkalmazkodás megjeleníõ, ragadós áras modell is bemuaunk* Journal of Economic Lieraure (JEL) kód: A23, C63 Az írás célja, hogy báorísa a kuaóka, egyeemi okaóka és hallgaóka a modern közgazdasági elméleek szochaszikus, dinamikus rendszereinek használaára Ennek megfelelõen felhasználási úmuaó szerenénk szolgálani az Uhlig-algorimushoz, ezér az elsõ példában lépésrõl lépésre haladva muajuk be a módszer 1 A modern közgazdasági modellek megoldásához gyakran nemlineáris differenciaegyenle-rendszerrel kell megbirkóznunk Ezek még elméleük alapján egyszerûbb modellek eseében is igen bonyolulak lehenek, legöbbször analiikusan megoldhaalanok Az Uhlig-algorimus ez a problémá úgy hidalja á, hogy az egyenleeke a Taylor-polinomjaik elsõfokú lineáris közelíésével helyeesíi, azaz lineáris rendszerré alakíja A Taylorközelíés során használ fókuszpon a modellek állandósul állapoa (seady sae), így a közelíés uán megjelenik a válozók állandósul állapoól való elérése A válozók nagy * Köszöneel arozom Világi Balázsnak, aki soka segíe az Uhlig-algorimus elsajáíásában Köszöne illei ovábbá Szilágyi Kaalin és Major Klárá a cikkel kapcsolaos megjegyzéseikér A cikkben alkalmazo vezérlõfájlok leölheõk a hp://wwwbkaehu/makro/macro_mainphp?id=32 címrõl Igyekezem részlees kommenárral elláni õke, és ovábbi kérdésekre szívesen válaszolok az aronhorvah@uni-corvinushu címen 1 Bizonyíásoka csak hivakozás formájában szerepeleek A számíások a MATLAB programcsomag elõre megír segédprogramjának felhasználásával örénik A ké példa közgazdasági aralma szokásos egyeemi ananyag Az eljárás használaához szükséges legbonyolulabb módszerani eszköz pedig a deriválás Horváh Áron a Budapesi Corvinus Egyeem makroökonómia anszékének anársegédje

2 236 Horváh Áron ságrendjének elérésébõl adódó problémák kiküszöbölésére még gyakrabban alkalmazo módszer a loglinearizálás A válozók loglinearizálja a fókuszponól való százalékos elérés muaja meg Felhasználva az egyensúly környezeé leíró loglinearizál egyenleeke, leheõvé válik a rendszer alakulásának rekurzív formájú meghaározása Ehhez a meghaározalan (deerminálalan) együhaók módszerének alkalmazásával egy kvadraikus (másodfokú) márixegyenle megoldása szükséges Ez az egyébkén megleheõsen bonyolul lépés eszi mindenki számára elérheõvé a számíógépes szofver alkalmazása 2 A árgyalás sorrendje megegyezik az Uhlig-algorimus lépéseinek meneével: 1 felírjuk az egyensúly jellemzõ egyenleeke; 2 kiszámoljuk a válozók állandósul állapoá; 3 loglinearizáljuk az egyenleeke; 4 meghaározzuk az egyenlerendszer márixalakjá; 5 megadjuk a paraméereke; 6 megoldajuk a számíógéppel a differenciaegyenle-rendszer; 7 impulzus válasz-függvények segíségével elemezzük a megoldás Az Uhlig-algorimus lépéseinek bemuaásá köveõen a gazdaság rövid ávú (ragadós árak mellei) alkalmazkodásá leíró hagyományos modell, az IS LM modern megfelelõjé ismerejük Reál üzlei ciklusok modellje A szochaszikus, dinamikus rendszerek egyik soka emlegee példája a reál üzlei ciklusok (RBC) modellje 3 I csak röviden vázoljuk a modell alapjai, és nem részleezzük az álalános egyensúly leíró egyenlerendszerhez vezeõ számíásoka A reprezenaív házarás opimalizálási problémája: 4 max E β 1 U (c,l ), feléve, hogy =1 c + k +1 + b = Π + w l + h k + (1 δ )k + (1 + r 1 )b 1 A reprezenaív vállala opimalizálási problémája: max Π = F (k,l ) h k w l A piacok egyensúlyá leíró egyenleek: zár gazdaságról lévén szó, nincs kölcsönállomány: b = 0; árupiac: F (k,l ) + (1 δ )k = c + k +1 ; a õkepiac és a munkapiac egyensúlyá már a jelölések egyszerûsíésébe (nincs külön keresle és kínála) belefoglaluk A feni egyenleekben a válozók sandard jelölései szerepelnek: c a fogyaszás mennyisége a -edik idõszakban, l a munka mennyisége, k a õkeállomány nagysága, b a kövényállomány, Π a reprezenaív vállala profija, w a reálbér, h a õke reálhozama, r a kamaláb A késõbbiekben ugyanezen válozók más formái is felûnnek majd Az index nélküli forma az ado válozó állandósul állapobeli éréké jelöli, a hullám pedig az állandósul állapoól ve akuális százalékos elérés 5 2 Írásunk recep a megoldáshoz, az egyensúly léezésé, sabiliásá, uniciásá, a linearizálhaóságo nem vizsgáljuk Bonyolulabb problémák eseén mindenképpen ajánlhaó a kapcsolódó irodalom mélyebb feldolgozása, kiûnõ áekinés ad például a Marimon Sco [1999] cikkgyûjemény 3 Szineizáló írás a émakörben King Rebelo [1999], valamin részlees ankönyvi leírás nyúj Romer [1996] o 4 A ömörség céljából mos nem kerül ide a végponi, úgyneveze ranszverzaliási feléel 5 Például: c a fogyaszás reálmennyisége a -edik idõszakban; c a fogyaszás reálmennyisége az állandósul állapoban, a c a fogyaszás százalékos formában érelmeze elérése a -edik idõszakban a válozó állandósul állapobeli érékéõl

3 Nemlineáris, szochaszikus differenciaegyenleek megoldása 237 Az egyensúly jellemzõ egyenleek Az elsõrendû feléelek felírásával és egyszerû áalakíásokkal eljuunk az opimaliási feléelekhez A fogyaszó ineremporális opimalizálásá leíró elsõrendû feléel, az Euleregyenle: U c = β(1 + r )E [U c +1 ] A fogyaszó inraemporális opimalizálási feléele (implici munkakínálai összefüggés): U l = w U c A fogyaszó opimális befekeési poliikájá leíró porfólióválaszási egyenle (amely deerminiszikus formában ulajdonképpen egy arbirázsmenességi feléel): U U c E +1 c (1 + r ) = E +1 (1 + r δ ) U c U c A ermelõ profimaximalizálásá leíró elsõrendû feléelek õkeényezõben (implici keresle a õkejószág irán): h = F k munkában (implici munkakeresle): w = F l A ermékpiac egyensúlya (GDP-azonosság): c + k +1 (1 δ )k = F(k,l ) (c + i = y ) A Walras-örvény érelmében a fogyaszó kölségveési korlája egyenlõségkén eljesül Az álalános egyensúly leíró opimalizálási és piaciszulási feléelek némi egyszerûsíése uán egy négy egyenlebõl álló rendszer szokás felírni Az Euler-egyenle: U c = βe [(1 + r )U c +1 ] Munkapiaci egyensúly (a fogyaszó és a ermelõ inraemporális opimalizálásá összevonva): U l = F l (= w ) U c Tõkepiaci egyensúly (a fogyaszó leheséges befekeések ekineében örénõ opimalizálásá a porfólióválaszás és a ermelõ opimális õkefelhasználásá sûríve): A GDP-azonosság: U U c E (1 + r ) = E U c cc U (1 + F k +1 δ ) c + k +1 (1 δ )k = F(k,l ) (c + i = y ) A ovábbiakban a problémá egy addiívan szeparálhaó hasznossági és egy Cobb Douglas-féle ermelési függvénnyel specifikáljuk: c 1 l 1+ϕ U (c,l ) = 1 σ 1 + ϕ y = A k α 1 α l

4 238 Horváh Áron Ennek felhasználásával a kövekezõ négy egyenlehez juunk: c = βe [(1 + r )c +1 ] (1) l ϕ α α = (1 α)a k l c (2) βc βc +1 α 1 l 1 α δ ) E c +1 (1 + r ) = E (1 + αa +1 k c (3) c + k +1 (1 δ )k = A k α l 1 α (4) Ez a négy egyenle írja le a négy endogén válozó (c, l, k, r ) viselkedésé A eljes rendszerhez hozzáarozik még egy exogén (sokk)válozó Az A echnológiai paraméer mozgásá leíró egyenlee a loglinearizál rendszer felírásakor (A lineáris differenciaegyenle-rendszer címû ponban) adjuk meg Az állandósul állapo kiszámíása Az Uhlig-algorimus használaának egyik kriériuma, hogy a válozóknak legyen állandósul állapoa 6 Ponos meghaározásukhoz négy saikus egyenlee kell megoldani négy ismerelennel: r, c, l, k A echnológiai paraméer állandósul állapobeli éréké A = 1-nek definiáljuk (normalizáljuk) 1 Az (1)-bõl: c = β(1 + r)c 1 = β(1 + r) r = 1, β α 1 k r + δ α 1 k a (3)-ból: 1 + r = 1 + α l δ α =, l 1 a (2)-bõl: l ϕ c σ α k = (1 α) l 1 α σ c = l σ (1 α) k l ϕ és a (4)-bõl: c + k (1 δ )k = k α l 1 α 1 α σ l σ (1 α) k l ϕ + δ k l l = k l α l k ϕ 1 l k δ l l σ = 1 l σ (1 α) k α l k Innen már visszahelyeesíéssel könnyen megkaphaó k = l l és c α 6 Az egyes válozók ebben a ponban felve éréké a ovábbiakban index nélküli beûvel jelöljük

5 Nemlineáris, szochaszikus differenciaegyenleek megoldása 239 Loglinearizálás Ebben a lépésben a (1) (4) differenciaegyenleekbõl álló nemlineáris rendszer az Uhligalgorimus részekén loglinearizál formára alakíjuk A Taylor-sorba fejéshez csak deriválás szükséges, kis gyakorlás eseén elsajáíhaók azok az ügyes rükkök is, amelyek ovább könnyíheik a meódus Nézzük, mi a eendõ! Az f (x 1, x 2,, x N ) = 0 differenciálhaó függvény az x = (x 1, x 2,, x N ) fókuszpon körül sorba fejve kapjuk, hogy: N f j=1 x j ( x j ) ( x j x j ) 0, a másodrendû hibáka kicsinynek ekinve és bevezeve x j x j x j -: N f j=1 x j ( x j ) x j = 0 Ez az f (x) = 0 egyenle linearizál válozaa A közgazdaságanban a különbözõ válozók nagyságrendje sokszor elér egymásól, ezér inkább használaos a loglinearizál váloza, amelye a kövekezõ módon definiálunk, amennyiben x j válozó fókuszponbeli éréke nem nulla: x j x j x j x j x j = x j Így muaja a válozó fókuszponól való százalékos elérésé Fókuszponkén x j leggyakrabban az állandósul állapo éréke használaos, így amikor c = 0,03, akkor az akuális fogyaszás nagyjából 3 százalékkal haladja meg az állandósul állapobeli fogyaszás éréké A módszer azér kapa a loglinearizálás neve, mer kis elérések eseén a ermészees alapú logarimus jól közelíi a százalékos elérés: x x x j j log x log x x j Ezek uán az eredei egyenleünk loglinearizál formájá a fókuszponal való szorzással és oszással kapjuk: N f ( x j ) x j x j = 0 j=1 x j Szövegesen érelmezve: a kövekezõ mûveleeke kell elvégezni az összes válozóra: a függvény ado válozó szerini parciális deriváljának éréke a fókuszponban a válozó fókuszponbeli éréke a loglinearizál válozó, majd összegezni kell az összes válozóra A GDP-egyenlõség Nézzük elsõkén a GDP-egyenlõségre örénõ alkalmazás! c + k +1 (1 δ )k A k α 1 α l = 0 A nullára rendeze összefüggésben ö válozó van: c, k +1, k, A, l, 1 c c + 1 k k +1 (1 δ ) k k αak α 1 l 1 α k k k α l 1 α A A (1 α)ak α l α l l = 0

6 240 Horváh Áron Elemi módon árendezve és felhasználva az Ak α l α = y összefüggés: cc + kk +1 (1 δ )kk y[ A + αk + (1 α)l ] = 0, azaz: cc + kk +1 (1 δ )kk = y[ A + αk + (1 α)l ] Euler-egyenle Az Euler-egyenle eseében szorzaípusú az összefüggés: c = βe [(1 + r )c +1 ] A loglinearizálás elvégzése eredményezi a kövekezõke: 1 σc cc = β (1 + r )c E [r ] σβ (1 + r )c 1 ce [c +1 ], ahol r (1 + r ) a szokásosól elérõ jelölés, mer nem a kamaláb, hanem a kamaényezõ százalékos elérésé muaja Egyszerûsíve c -val, és felhasználva a β = 1/(1 + r ) állandósul állapora vonakozó összefüggés, az Euler-egyenle loglinearizál formájá kapjuk: c = E [r σc +1 ] Munkapiaci egyenle A helyeesíési haárráára vonakozó egyenlebõl ehhez hasonlóan 7 kaphaó: σc + ϕl = A + αk αl l ϕ = c σ l ϕ α α σ = (1 α)a k l c A porfólióválaszási egyenle Végül a porfólióválaszási egyenle egy kicsi problémásabb áalakíása: βc +1 βc (1 + r ) = +1 α 1 1 α E E δ ) (1 + αa +1 k +1 l +1 c c A linearizálásnál elûnnek a kovarianciák, hiszen a másodfokú agoka kicsinynek eβc +1 kinjük, így a szochaszikus diszkonfakornak neveze aghoz kapcsolódó részek α 1 l 1 α δ -bõl: is elûnnek Ekkor pedig 1 + r = 1 + αa +1 k (1 + r)r = E [αk α 1 l 1 α AA +1 + α(α 1)Ak α 2 l 1 α kk +1 + α(1 α)ak α 1 l α ll +1 ] = = αak α 1 l 1 α E [ A +1 + (α 1)k +1 + (1 α)l +1 ] A kövekezõlépéshez felhasználjuk az egyenle állandósul állapobeli formájából kapo összefüggés: c 7 Vagy egy szorzaok eseében használaos rükk segíségével: logarimáljuk az egyenlee: σ ln c + ϕ ln l = ln(1 α) + ln A + α ln k α ln l, és ebbõl könnyedén jön a kíván forma: σ cc + ϕ ll = 0 + AA + α kk α ll σc + ϕl = A + αk αl 2 l A k l

7 Nemlineáris, szochaszikus differenciaegyenleek megoldása 241 r = αak α 1 l 1 α δ r + δ = αak α 1 l 1 α = (r + δ )E [ A +1 + (α 1)k +1 + (1 α)l +1 ] 1 + r r + δ r = E [ A +1 + (α 1)k +1 + (1 α)l +1 ] A lineáris differenciaegyenle-rendszer Így a négy immár lineáris egyenleünk: σc + ϕl = A + αk αl, cc + kk +1 (1 δ )kk = y[ A + αk + (1 α)l ], c = E [r σc +1 ], 1 + r r + δ r = E [ A +1 + (α 1)k +1 + (1 α )l +1 ] És mos kerüljön ide az exogén válozó jellemzõ egyenle is! A echnológiai sokk, A vekor perziszenciájá leíró auoregressziós paraméer ρ A jelöli A +1 = ρ A A + ε +1 A márixalak felírása A számíógép számára a feni lineáris egyenlerendszer márixformára kell hozni: 0 = E [Fw +1 + Gw + Hw 1 + Lz +1 + Mz ] z +1 = Nz + ω +1, E [ω +1 ] = 0, ahol az endogén válozók összességé w, az exogén válozóka pedig z vekor jelöli, uóbbiaka az ω +1 -gyel jelöl sokk vezényli A feni márixegyenlee a meghaározalan együhaók módszerével megoldhaó, a válozók alakulásá a kövekezõ rekurzív formában keressük: w = Pw 1 + Qz Nagyobb rendszerek megoldása még a számíógépek számára is nehézsége okozha, ezér Uhlig egy kicsi kifinomulabb felírás javasol: 0 = Ax + Bx 1 + Cy + Dz (5) 0 = E (Fx +1 ) + Gx + Hx 1 + E (Jy +1 ) + Ky + E (Lz +1 ) + Mz (6) z +1 = Nz + ω +1 (7) Az áalakíás nem eljesen mechanikus, mer csoporosíani kell az egyenle válozói és egyenleei Az egyenleek három részre csoporosíása érelemszerû módon a kövekezõképpen örénik: várakozás nélküli (5),

8 242 Horváh Áron várakozásos (6), sokk (7) egyenleek 8 A válozóka pedig kevésbé riviálisan endogén állapo (x ), egyéb endogén (y ) és exogén válozók (z ) csoporjára kell oszani 9 A márixegyenle megoldhaóságának rangfeléeleibõl adódó, a feloszásra vonakozó szabály a kövekezõ: várakozás nélküli egyenleek száma (a sokkegyenle nem érendõ bele) egyéb endogén válozók száma, ami egye jelen a kövekezõ feléellel: a várakozásos egyenleek száma endogén állapoválozók száma Érdemes az egyenlõség fennarására örekedni, mer ekkor a márixegyenle megoldása egyszerûbb Az Uhlig-algorimusban a periódus mindig az új információ érkezésével kezdõdik, ezér a jelölések némileg elérhenek a modellek másfaja didakikus célú indexeléseiõl Jelen eseben a -edik periódusban felhalmozo, majd a + 1-edik periódusban a ermelésbe bevon õkejószág logarimál válozójá szokásosan k +1 -gyel jelölik, de a márixegyenleünkben az elõbbiek érelmében az x vekorba arozik Ebben az eseben ké darab várakozásos egyenleünk van, és láhajuk, hogy k +1 bizosan endogén állapoválozó, mer késleleeje szerepel a várakozás nélküli egyenleben, ami csak x eseében leheséges A helyes felíráshoz még legalább egy endogén állapoválozó szükséges, a megoldásban a kamalába (r ) válaszoam (de c - vagy az l - is lehene) Segísége nyújha még a csoporosíásban a kövekezõ hüvelykujjszabály is: a periódus elején ado válozóka célszerû endogén állapoválozóknak válaszani 10 A z vekor aralmazza az exogén válozóka, ami eseünkben egyelenkén a echnoló giai paraméer, az A Mindezek kövekezében a kövekezõ egyenlerendszer adódik: 0 = 0 0 k α 0 k +1 0 k 0 r + αy + (1 δ )k 0 r 1 + σ α ϕ c A c (1 α)y l y k k +1 0 = 0 0 E r α 1 + r +1 r + δ r 8 Láhaó, hogy a várakozás nélküli egyenleek speciális formájú várakozásos egyenleek 9 Hasonlóképpen láhaó, hogy az egyéb endogén válozók speciális endogén állapoválozók, hiszen elõbbieknek nem szerepel késleleeje az egyenleekben 10 Több idõszakos késleeés eseén hasznos rükk lehe még új (ál)válozók bevezeése (például j 1 g 2 ), amelyek segíségével elérheõ a feni egy idõszakos késleleésû forma

9 Nemlineáris, szochaszikus differenciaegyenleek megoldása k σ 0 c r α E l + +1 σ 0 c E [ A +1 ] + 0 E [ A +1 ] 0 0 l A +1 = ρ A A + ε +1 E [ε +1 ] = 0 A feni, álalános formában az (5) (7) egyenleekkel felír rendszer megoldásához a kövekezõ lineáris rekurzív mozgásszabály együhaói keressük meg meghaározalan együhaók módszerével 11 x = Px 1 + Qz y = Ry 1 + Sz Ekkor a válozók kezdei érékeinek és az exogén (sokk)válozók alakulásá leíró egyenleek a (7) felhasználásával kapo szochaszikus rendszer könnyen vizsgálhajuk A paraméerek kiválaszása Az egyenlerendszer megoldása analiikus formában kezelheelen A numerikus megoldáshoz pedig szükséges az együhaók számszerûsíése, a paraméerek megadása Nézzük röviden, melyiknek mi a jelenése ebben a modellben, mi adha ámpono a nagyságrendjükre vonakozóan! 0 < σ < 1 a fogyaszás ineremporális helyeesíési rugalmasságá jellemzõ paraméer, 0 < ϕ a munka ineremporális helyeesíési rugalmasságá jellemzõ paraméer, 0 < α < 1 a õke kievõje a ermelési függvényben (a õkejövedelem aránya a GDPben), β < 1 a szubjekív diszkonráa, δ < 1 a õke amorizációs ráája, 0 ρ A 1 a echnológiai sokk perziszenciája (aróssága) Ezek felhasználásával és az állandósul állapo kiszámíásakor leírak segíségével számszerûsíheõk a válozók állandósul állapobeli érékei is, amelyek a márixegyenleekben min paraméerek szerepelnek Megoldás MATLAB programcsomaggal A számíógépek megadják a leheõsége egyenlerendszerünk megoldására Egy elõre gyáro szofvernek A, B, C, D, F, G, H, J, K, L, M, N márixokból kell kiszámíania a válozók rekurzív alakulásá leíró P, Q, R, S márixoka A megoldáshoz szükséges márixegyenleek és a hozzájuk kapcsolódó bizonyíás megalálhaó Uhlig [1997] cikké 11 Más néven: deerminálalan együhaók módszere A meódus lényege, hogy amennyiben udjuk egy egyenlerendszer megoldásának álalános alakjá (és ebben az eseben udjuk: egy lineáris, rekurzív mozgásegyenle), akkor a megoldás ulajdonképpen az együhaók meghaározására korláozódik

10 244 Horváh Áron ben I a közgazdászok álal közkedvel MATLAB szofverhez Uhlig álal kínál programcsomago használjuk 12 A programcsomag do_im fájlja kiszámolaja P márix együhaói a solvem-mel, majd ennek felhasználásával a calc_qrsm-mel a Q, R és S márixoka A számos felkínál leheõségrõl az opionsm fájlban ájékozódhaunk, és 1/0 paraméerkapcsolással kérhejük vagy nem kérhejük õke A hp_filerm a Hodrick Presco-filer alkalmazza egy idõsorra Az imprespm egy eszõleges (exogén, endogén) válozó állandósul állapoól való 1 százalékos elmozdulása eseén muaja a öbbi válozó reakciójá A momensmmel varianciáka, kovarianciáka és auókorrelációka számolahaunk Modellünkön alapuló szimuláció könnyedén készíheünk a simulm segíségével A programcsomagban szereplõ és anulmányunkhoz kapcsolódóan leölheõ példavezérlõ fájlok ugyanabban a srukúrában épülnek fel és a kövekezõ lépéseke köveik: a megoldandó modell meghaározása, rövid leírás, paraméerek megadása, állandósul állapo kiszámíása, bemenei márixok felírása, a kíván opciók beállíása, megoldás a do_im hívásával, a megoldás elemzése, például impulzus-válasz függvények rajzolásával Az i alkalmazo vezérlõ fájloka leölheõvé eem, és részlees kommenárral láam el õke A echnológiai sokk haásának elemzése impulzus válasz-függvénnyel A megoldo modelleke az exogén válozók alakulásának specifikálásával lehe elemezni Az impulzus válasz-függvények megmuaják, hogy amennyiben az egyik válozó kimozdul az állandósul állapoból (azaz a loglinearizál válozó a 0 ponból), akkor az idõ múlásával hogyan reagál a öbbi Tulajdonképpen ennek az elemzésnek a leheõsége a modern, dinamikus makroökonómiai modellek egyik legfonosabb hozzájárulása Gondoljunk csak arra, hogy az alapszinû ananyagok hagyományos modelljeiben végze dinamikus vizsgála ulajdonképpen egyálalán nem dinamikus, csak komparaív saika! Az IS-görbe nem elolódik, hanem áugrik egy másik állapoba Az i példakén megoldo modell eseében viszon valóságos dinamiká lehe megjeleníeni: a válozók idõbeli alakulásá vizsgálhajuk Az 1 ábrán az RBC modell válozóinak az A echnológiai paraméer (állandósul állapoból való) 1 százalékos növekedésére ado impulzusok válaszai kövehejük nyomon A poziív echnológiai sokk (1a ábra) kövekezében emelkedik a kibocsáás is (1b ábra) A ermelékenység lassan áll vissza eredei szinjére (1a ábra), ezér ámeneileg érdemes öbbe felhasználni a ermelési ényezõkbõl: a munkából (1e ábra) és a õkébõl is Így a nagyobb keresle mia nõ a ermelési ényezõk reálkölsége, azaz a reálbér (1c ábra) és a reálkamaláb (1d ábra) A õke felhalmozása azonban idõbe elik, a õkeállomány alakulásá leíró függvény (1f ábra) kicsi púpos lesz A õkeállomány felhalmozásához szükséges beruházások nagy mérékben nõnek (1g ábra) A öbblekibocsáás egy részé ermészeesen elfogyaszják, de a fogyaszási függvény is púpos egy kicsi (1h ábra), mer kezdeben az ineremporális helyeesíési haás erõsebb (a reálkamaláb 12 Leölheõ a hp://wwwwiwihu-berlinde/wpol/hml/oolkihm címrõl Ugyani alálhaók a szofverhez kapcsolódó ovábbi segíségek, leölheõ írások, fórum a felhasználók apaszalaairól

11 Nemlineáris, szochaszikus differenciaegyenleek megoldása ábra Impulzus válasz-függvények a) A ermelékenység b) y kibocsáás c) w reálbér d) r reálkamaláb e) l munka f) k őkeállomány g) i beruházások h) c fogyaszás jobban nõ, ezér drágább a jelenbeli fogyaszás), a beruházások a fonosak A válozók hosszú ávú alkalmazkodásában még a beruházások és a reálkamaláb völgymeneé érdemes megfigyelni A jelenség magyarázaa a õkeállomány eheelenségében keresendõ A felhalmozo õkeállomány a echnológiai sokk múlása uán vissza kell állíani a

12 246 Horváh Áron hosszú ávú egyensúlyi szinre Ebben az eseben az amorizáció auomaizmusa sem elég, el kell fogyaszani valamennyi a korábban felhalmozo õkeállományból (egyszerû modellünkben a õke reverzibilis) A nagyobb õkeállomány pedig a echnológiai fellendülés múlásával kisebb reálhozamo hoz, azaz ámeneileg a reálkamaláb is alacsonyabb lesz hosszú ávú egyensúlyi szinjénél Modell ragadós árakkal A ovábbiakban vázlaosan bemuajuk, hogy a gazdaság rövid ávú alkalmazkodásá saikusan leíró IS LM modell hogyan helyeesíheõ modern, opimalizáláson alapuló, dinamikus modellel A moneáris poliika haásának vizsgálaához szükség van a pénz modellbe illeszésére A pénz a hasznossági függvényben (money-in-he-uiliy) ípusú megközelíés szerin a pénzmennyiség explici módon megjelenik a hasznossági függvényben: a fogyaszónál lévõ reálpénzmennyiség hasznos (lehe használni valamilyen jó dologra, a pénz szolgálaása hasznos) M c 1 l1+ϕ + (M / P U )1 v c,l, P = 1 σ 1 + ϕ 1 v Az egyenlerendszer A számíások elvégzése uán a Függelékben részleeze egyenleekbõl a kövekezõkben felsorol loglinearizál egyenleeke kapjuk Már izenké egyenleünk van, így a kezelheõség érdekében csoporosíjuk õke Aggregál keresle A fogyaszó ineremporális opimalizálásá leíró Euler-egyenle: c = +E [ i π +1 σc +1 ], (8) ahol Π P 1 és π (1 + Π ) P 1 (Felhasználva a Fisher-egyenlee, i π +1 = r láhajuk, hogy az elõzõ modellbeli egyenlerõl van szó) A porfólióválaszási feléel (ahol a h +1 a õkebefekeések reálhozama): i + δ E [ i π +1 ] = E [h +1 ] (9) 1 + i A ermékpiaci keresle (a GDP-egyenle): yy = cc + kk +1 (1 δ )kk (10) Pénzkeresle: i + σc = v(m P ) (11) i Aggregál kínála A moneáris poliika haásának elemzéséhez szükség van valamekkora mérékû árragadósságra is A gyakran használ Calvo-egyenle monopoliszikusan

13 Nemlineáris, szochaszikus differenciaegyenleek megoldása 247 versenyzõ vállalaok profimaximalizálási feléeleibõl vezei le az aggregál árszínvonala A ragadós árakhoz vezeõ kulcsfelevés az, hogy a fellépõ menükölség (az árválozaásnak önmagában is van kölsége) mia a vállalaok közül nem mindegyik árazza á erméké minden periódusban (részleesebben lásd Walsh [2003] 225 o) A Calvoegyenle beépíésével így az árszínvonal reálhaárkölség összefüggés: 0 = βe [π +1 ] +υπ 1 + ξ mc (1 + βυ)π (12) A reálhaárkölség nagysága: mc = αh (1 α)w A (13) Munkakínála: w = σc + ϕl (14) Munkakeresle: l = mc w + y (15) Tõkejószág iráni keresle: k = mc h + y (16) Az infláció definíciója: 0 = P P 1 π (17) Exogén válozók Immár ké exogén válozónk van: a echnológia szinje és a moneáris poliika eszköze, a pénzmennyiség: A +1 = ρ A A + ε 1, +1 E [ε 1, +1 ] = 0 (18) M +1 = ρ M M + ε 2, +1 E [ε 2, +1 ] = 0 (19) A moneáris poliika egyenleében ρ M paraméer jelöli a moneáris sokk arósságá A lineáris differenciaegyenle-rendszer Tíz egyenlee [(8) (17)] írunk fel íz endogén válozóval: 13 c, y, k, l, h, w, mc, π, i, P És a ké exogén válozó ( A, M ) leíró ké egyenlee: (18) (19) 13 Ha az árak rugalmasak, akkor a (8) (17) egyenlerendszerben (12) helye mc = 0 szerepelne A helyeesíés megejve, láhaó a reál- és a nominális szféra keõssége: a reálmennyiségek (közük a reálpénzmennyiség és a reálkamaláb) meghaározódik függelenül a nominális pénzmennyiségõl A pénzmennyiség alakulása csak az infláció (és így a nominális kamalába), illeve az árszine haározza meg

14 248 Horváh Áron A megoldás A Függelékben megalálhaó az egyenlerendszer márixformája A reálválozók állandósul állapobeli érékének kiszámíása a klasszikus dichoómia érelmében az elõzõ fejezebeli A márixalak felírása címû ponhoz hasonlóan örénhe Hosszú ávú egyensúlyban nincs pénzmennyiség-válozás, így infláció sem, ehá a nominális és a reálkamaláb állandósul állapobeli éréke megegyezik A paraméerek közül az elõzõ fejezebeli A paraméerek válaszása címû ponban szereplõk kiegészülnek a kövekezõkkel: v: a reálpénzarás ineremporális helyeesíési rugalmasságá meghaározó paraméer, υ: az inflációs perziszencia (az árszínvonal második momenumának ragadóssága), ξ: az árragadósság méréke, 0 ρ M 1 : a moneáris poliika perziszenciája, amikor ρ M = 1, akkor a moneáris haóság nem gyûji vissza a kibocsáo pénz A rendszer ismé megoldja a számíógép 14 Az elemzés A 2 ábrán láhaó egy arós moneáris poliikai sokk haása: a moneáris haóság 1 százalékkal bõvíi a pénzmennyisége (2a ábra) A pénzmennyiség hirelen növekedésére az árszínvonal csak lassan ud reagálni (2b ábra), sõ még a második momenumban, az inflációban (2c ábra) is van perziszencia A pénzmennyiség növekedésével a pénz haárhaszna csökken, így az árszínvonal lassú alkalmazkodása mia a fogyaszás (2d ábra) és a (õke)felhalmozás (beruházások: 2e ábra) is emelkedik (az emberek szabadul 2 ábra Moneáris expanzió haása a második modellben a) M nominális pénzmennyiség b) P árszínvonal c) π infláció d) c fogyaszás Az álalunk alkalmazo program szinén leölheõ

15 Nemlineáris, szochaszikus differenciaegyenleek megoldása ábra (folyaás) Moneáris expanzió haása a második modellben e) i beruházások f) y kibocsáás g) k őkeállomány h) l munka i) w reálbér j) mc reálhaárkölség k) r reálkamaláb l) i nominális kamaláb

16 250 Horváh Áron ni akarnak öbblepénzükõl) Az emelkedõ keresle haására a kibocsáás bõvül (2f ábra), amelye a vállalaok csak nagyobb ényezõfelhasználással udnak elérni A õke (2g ábra) és a felhasznál munka (2h ábra) mennyisége emelkedik A fogyaszók csak nagyobb bérek (2i ábra) melle hajlandók öbbe dolgozni, a reálhaárkölség nõ (2j ábra) A õkejószág emelkedõ szinjével csökken a hozam, azaz a reálkamaláb (2k ábra) Ez az összefüggés ismerõs: a moneáris expanzió rövid ávon csökkeni a reálkamalába (LM görbe jobbra olódik a hagyományos modellben) Hivakozások BLANCHARD, O J KAHN, CH M [1980]: The Soluion of Linear Difference Models under Raional Expecaions Economerica, Vol 48 No o KING, R G REBELO, S T [1999]: Resusciaing Real Business Cycles Megjelen: Taylor, J B Woodford, M (szerk): Handbook of Macroeconomics Elsevier Science, Amszerdam MARIMON, R SCOTT, A (szerk) [1999]: Compuaional Mehods for he Sudy of Dynamic Economies Oxford Universiy Press, New York ROMER, D [1996]: Advanced Macroeconomics McGraw-Hill, California, Berkeley UHLIG, H [1999]: A Toolki for Analyzing Nonlinear Dynamic Sochasic Models Easily Megjelen: Marimon Sco [1999], és leölheõ a hp://wwwwiwihu-berlinde/wpol/hml/oolki/ oolkipdf címen WALSH, C E [2003]: Moneary Theory and Policy The MIT Press London, második kiadás A felhasznál MATLAB szofverhez kapcsolódó programcsomag elérheõaz Uhlig-algorimus honlapján: hp://wwwwiwihu-berlinde/wpol/hml/oolkihm A ké példa vezérlõfájlja pedig a Budapesi Corvinus Egyeem Makroökonómia anszékének honalpján: hp://wwwuni-corvinushu/makro/macro_mainphp?id= i Euler-egyenle: c = βe 1 + π Függelék A rövid ávú modell egyenleei +1 Aggregál keresle c i A porfólióválaszás feléele: 1 + π = h δ Árupiaci keresle: y = c + k +1 + (1 δ )k M 1 + i Pénzkeresle: σ P = i c v +1 Aggregál kínála Árupiaci kínála: y = A k α 1 α l H l Tõkejószág implici kereslee: = A α P k 1 α

17 Nemlineáris, szochaszikus differenciaegyenleek megoldása 251 W k Implici munkakeresle: = A (1 α) P l W Implici munkakínála: = P l ϕ σ c P Az infláció definíciója: π = 1 P 1 α Az aggregál kínálao némileg más formában írjuk fel Profimaximalizálási feléel MC rugalmas árak eseén (ár = haárkölség): 15 P = MC 1 = = mc P H α W 1 α h α w 1 α A haárkölség definíciója: MC = mc A α α ( 1 α) 1 α = A α α (1 α) 1 α A õkejószág kereslee: k = α MC y = α mc y H h MC mc Munkakeresle: l = (1 α ) y = (1 α ) y W w A ragadós áras rendszer leíró egyenlerendszerbõl (8) (19) kapo márixegyenleek l kiejése uán [beírva (15)- a (14)-be]: k k π π 1 = + 0 k P + P 1 i 1 i (1 δ )k v 1/ i α c σ ϕ ϕ 1 ϕ 0 mc 0 0 A + y M c 0 y 0 0 w 0 0 σ h 0 v 15 Ragadós árak eseén ez helyeesíi a Calvo-képle

18 252 Nemlineáris, szochaszikus differenciálegyenleek megoldása k k = E π π + P P β βυ 0 0 i +1 i c k σ r mc π r + δ E + y υ 0 0 P i w +1 1 h +1 c σ mc A A E y 0 ξ w 0 0 M M h