EURÓPAI UNIÓ STRUKTURÁLIS ALAPOK M A T E M A T I K A I. PMMANB 3 segédlet a PTE PMMK építőmérök hallgatói részére Az építész- és az építőmérök képzés szerkezeti és tartalmi ejlesztése HEFOP/004/3.3./000.0
MATEMATIKA I. FEKETE MÁRIA PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM POLLACK MIHÁLY MŰSZAKI KAR MÉRNÖKI MATEMATIKA TANSZÉK 007
PMMANB3 Matematika I. RÉSZLETES TANTÁRGYPROGRAM Hét Ea/Gyak./Lab.. 3 óra előadás óra gyakrlat. 3 óra előadás óra gyakrlat 3. 3 óra előadás óra gyakrlat 4. 3 óra előadás óra gyakrlat 5. 3 óra előadás óra gyakrlat 6. Témakör A matematika yelvéek elemei, deiíció, tétel, szimbólumk, jelek szerepe. A matematikai lgikai alapgalmai, lgikai műveletek, igazságtáblák, lgikai áramkörök. Vektr galma, vektrk összeadása, kivása, számmal való szrzása. A Descartes-éle derékszögű krdiáta redszer, a vektr krdiátái. Felmérő teszt a középisklás ayagból. Két vektr skaláris és vektriális szrzata, tulajdságai, kiszámítása krdiátákkal adtt vektrk eseté. Vektrk vegyesszrzata, vektrk krdiátagemetriai alkalmazásai: sík és egyees egyelete. Valós számsrzat galma, megadási módjai. Krlátsság, mtitás, kvergecia, divergecia galma. Műveletek kverges és diverges srzatk között. Krlátsság, mtitás, kvergecia kapcslatára vatkzó tételek. Nevezetes srzatk a =/; a =q ; a =(+/). SZÜNET 7. 3 óra előadás óra gyakrlat 8. 3 óra előadás óra gyakrlat 9. 3 óra előadás óra gyakrlat 0. 3 óra előadás óra gyakrlat. 3 óra előadás óra gyakrlat. 3 óra előadás óra gyakrlat 3. 3 óra előadás óra gyakrlat 4. 3 óra előadás óra gyakrlat 5. 3 óra előadás óra gyakrlat Pótlásk A leképezés és a üggvéy galma. Egy- és kétváltzós valós üggvéy megadása, tulajdságai. Összetett és iverz üggvéy képzése. Elemi üggvéyek sztályzása.. Zárthelyi dlgzat. Algebrai és traszcedes üggvéyek tulajdságai. Egyváltzós üggvéy végesbe és végtelebe vett határértékéek galma. Jbb- és balldali határérték. Függvéy adtt ptbeli lytssága, a szakadás ajtái. Flyts üggvéyekre vatkzó tételek. Egyváltzós valós üggvéy dierecia- és diereciál-háyadsáak galma, gemetriai és izikai jeletése. A deriváltüggvéy értelmezése. A lytsság és a diereciálhatóság kapcslata. Deriválási szabályk. Hatváyüggvéy deriválása. Összeg-, szrzat-, háyads-, összetettés iverz üggvéy deriválási szabálya. Elemi üggvéyek deriválása. Egyváltzós üggvéy magasabb-redű deriváltja. A diereciálszámítás középértéktételei. A l ' Hspital-szabály, Taylr-rmula.. Zárthelyi dlgzat. Deriválható üggvéy mtitásáak és szélsőértékéek vizsgálata a derivált segítségével. Kveitás, kkávitás, ileiós pt galma. Diereciálható üggvéyek eseté ezek kapcslata a másdik deriválttal. A teljes üggvéyvizsgálat lépései. 3
PMMANB3 Matematika I. TARTALOMJEGYZÉK RÉSZLETES TANTÁRGYPROGRAM... 3 I. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI... 7. ALAPFOGALMAK... 7. LOGIKAI MŰVELETEK...7. Negáció... 7. Kjukció... 8.3 Diszjukció... 8.4 Implikáció... 8.5 Ekvivalecia... 8.6 Kidlgztt példák... 9 II. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI...0. ALAPFOGALMAK... 0. Alapgalmak, jelölések... 0. Halmazk megadása... 0.3 Halmazk egyelősége....4 Üres halmaz....5 Ve-diagram.... RÉSZHALMAZ, TARTALMAZÁS... 3. MŰVELETEK HALMAZOKKAL... 3. Halmazk metszete... 3. Halmazk egyesítése... 3.3 Halmazk metszetéek és egyesítéséek műveleti tulajdságai... 3 3.4 Halmazk külöbsége... 3 3.5 Kmplemeter halmaz... 4 3.6 Hatváyhalmaz... 4 3.7 Halmazk Descartes-szrzata... 4 3.8 Számhalmazk... 5 3.9 Halmazk számssága... 6 III. VEKTORALGEBRA... 6. ALAPFOGALMAK, ALAPMŰVELETEK... 6. A vektr galma... 6. Vektrk összeadása... 7.3 Vektrk kivása... 8.4 Vektr szrzása skalárral (vektr számszrsa)... 9.5 Vektrk lieáris kmbiációja... 9.6 Vektrk elbtása... 9.7 Vektr krdiátái....8 Műveletek krdiátáikkal adtt vektrkkal.... VEKTOR SZORZÁSA VEKTORRAL... 3. Vektrk skaláris szrzata... 3. Vektrk vektriális szrzata... 5.3 Vektrk vegyes szrzata... 8 3. KOORDINÁTAGEOMETRIAI ALKALMAZÁSOK... 9 3. Az egyees... 9 3. A sík... 30 IV. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNY... 3. A FÜGGVÉNY FOGALMA (ÁLTALÁNOSAN)... 3. SZÁMSOROZATOK... 3. A számsrzat galma... 3. Mt és krláts srzatk... 34.3 Srzatk kvergeciája... 35.4 Kvergeciakritériumk... 38.4. A kvergecia szükséges eltétele... 38.4. A kvergecia elegedő eltétele... 38 4
PMMANB3 Matematika I..4.3 A kvergecia szükséges és elégséges eltételei... 38.5 Végtelehez tartó srzatk... 39.6 Néháy evezetes kverges srzat... 39.7 Műveletek kverges srzatkkal... 4.8 Példák srzatk határértékéek kiszámítása... 43 3. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNY ALAPTULAJDONSÁGAI... 44 3. A üggvéy galma, megadása... 44 3. Függvéyek jellemzése, üggvéytai alapgalmak... 45 3.. Krlátsság... 45 3.. Párs, páratla üggvéyek... 46 3..3 Peridikus üggvéyek... 46 3..4 Mt üggvéyek... 47 3..5 Függvéyek szélsőértéke...47 3..6 Függvéy zérushelye... 48 3.3 Műveletek üggvéyekkel... 49 3.3. Függvéyek leszűkítése... 49 3.3. Függvéyek összege, külöbsége, szrzata, háyadsa... 49 3.3.3 Függvéyek összetétele... 50 3.3.4 Függvéyek iverze... 5 3.4 Egyváltzós elemi üggvéyek... 5 3.5 Függvéyek határértéke... 6 3.5. Függvéy véges helye vett véges határértéke... 6 3.5. Függvéyek helye vett végtele határértéke... 64 3.5.3 Függvéyek végtelebe vett véges határértéke... 65 3.5.4 Végtelebe vett végtele határérték... 65 3.5.5 A határértékszámítás műveleti szabályai... 66 3.5.6 Nevezetes határértékek... 66 3.6 Függvéyek lytssága... 67 3.6. Az elemi üggvéyek lytsságáról... 68 3.6. Szakadáss üggvéyek... 68 V. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA... 69. A DIFFERENCIÁLHÁNYADOS ÉRTELMEZÉSE A DERIVÁLTFÜGGVÉNY... 69. A diereciaháyads értelmezése...69. A diereciálháyads értelmezése...70.3 Jbb- és balldali diereciálháyads... 7.4 A lytsság és a diereciálhatóság kapcslata... 7.5 A deriváltüggvéy (diereciálháyads-üggvéy)... 7. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK... 73. Általás diereciálási szabályk... 73. Elemi üggvéyek diereciálása... 75.3 Speciális diereciálási szabályk... 80.3. Lgaritmikus diereciálás... 80.3. Paraméteres alakba adtt üggvéy deriváltja... 8.3.3 Plárkrdiátás alakba adtt üggvéy diereciálása...8.3.4 Implicit alakba adtt üggvéy diereciálása... 84 3. DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNY DIFFERENCIÁLJA... 84 4. MAGASABBRENDŰ DIFFERENCIÁLHÁNYADOSOK... 85 5. A DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS KÖZÉPÉRTÉKTÉTELEI... 86 6. A DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI... 87 6. Határértékszámítás, a L Hspitál-szabály... 87 6. Függvéyvizsgálat (Függvéydiszkusszió)... 88 6.. A üggvéy övekedése, csökkeése, szélsőértékei... 88 6.. Kve, kkáv üggvéyek, ileiós pt... 89 6..3 A üggvéydiszkusszió vázlata (Teljes üggvéyvizsgálat)... 9 6.3 Szélsőérték prblémák... 94 6.4 Taylr plim; Taylr rmula... 95 6.5 Síkgörbék éháy jellemzője.... 96 6.5. Síkgörbe éritője; rmálisa... 96 6.5. Síkgörbék hajlásszöge... 96 6.5.3 Síkgörbék éritkezése... 97 6.6 Egyeletek közelítő megldása Newt módszerrel... 98 6.6. Itervallum lyts üggvéyek tulajdságai... 98 5
PMMANB3 Matematika I. 6.6. Egyeletek közelítő megldása... 99 6.6.3 Newt éle éritőmódszer... 00 6
PMMANB3 Matematika I. I. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI. Alapgalmak A matematikába az állításkat, kijeletéseket ítéletekek evezzük és az ítéletet alapgalmak tekitjük. A tvább em btható, egyetle állítást tartalmazó ítéleteket elemi ítéletekek evezzük. Az összetett ítéletek elemi ítéletekből épülek el. Mide ítélet az alábbi két tulajdság közül ptsa az egyikkel redelkezik: vagy vagy hamis. igaz, Az igaz ítélet lgikai értékét a hamis ítélet lgikai értékét: i h -val jelöljük Ítélet Elemi ítélet (egyetle állítást tartalmaz) Összetett ítélet (elemi ítéletekből épül el) PÉLDA 8 sztható 4-gyel Elemi ítélet; igaz A izika természettudmáy Elemi ítélet; igaz Mit csiálsz hlap? Nem ítélet A kutya emlősállat és si > Összetett ítélet; hamis Mide égyszög téglalap Elemi ítélet; hamis Ne kiabálj! Nem ítélet. Lgikai műveletek. Negáció DEFINÍCIÓ. Adtt A ítélet tagadása a em A ítélet, melyet az A ítélet egációjáak evezük és κ A-val jelölük. A κ A ítélet akkr és csak akkr igaz, ha A hamis. A egáció művelettáblája ill. értéktáblázata: A i h κ A h i PÉLDA A (ítélet): 3 sztója 6-ak igaz κ A (ítélet): 3 em sztója 6-ak hamis 7
PMMANB3 Matematika I.. Kjukció DEFINÍCIÓ. Adtt A és B ítéletek kjukciójáak evezzük és AϖB (lv: A és B) vel jelöljük az A és B összetett ítéletet. Az AϖB ítélet akkr és csak akkr igaz, ha A is igaz, B is igaz. A kjukció értéktáblázata:.3 Diszjukció A B AϖB i i i i h h h i h h h h DEFINÍCIÓ. Adtt A és B ítéletek diszjukciójáak evezzük és AωB (lv: A vagy B) vel jelöljük az A vagy B (megegedő értelmű vagy) összetett ítéletet. Az AωB ítélet akkr és csak akkr igaz, ha A és B közül legalább az egyik igaz. A diszjukció értéktáblázata:.4 Implikáció A B AωB i i i i h i h i i h h h DEFINÍCIÓ. Adtt A és B ítéletekekből A előtaggal és B utótaggal képzett implikációak evezzük és AΨB vel jelöljük a ha A akkr B összetett ítéletet. Az AΨB ítélet akkr és csak akkr hamis, ha A igaz, B hamis. Az implikáció értéktáblázata:.5 Ekvivalecia A B AΨB i i i i h h h i i h h i DEFINÍCIÓ. Adtt A és B ítéletek ekvivaleciájáak evezzük és A]B (lv. A ekvivales B) vel jelöljük az akkr és csak akkr A, ha B összetett ítéletet. Az A]B akkr és csak akkr igaz, ha A és B lgikai értéke egyelő. 8
PMMANB3 Matematika I. Az ekvivalecia értéktáblázata:.6 Kidlgztt példák A B A]B i i i i h h h i h h h i. PÉLDA Készítsük el az AΨ(BΨA) rmula értéktáblázatát! Megldás A B BΨA AΨ(BΨA) i i i i Tehát a rmula értéke i h i i midig igaz h i h i h h i i. PÉLDA Készítsük értéktáblázatt a κaϖκ (κaωb) rmuláhz! Megldás A B κ A (κ AωB κ (κ AωB) κ Aϖκ (κ AωB) i i h i h h A rmula i h h h i h értéke h i i i h h midig h h i i h h hamis 3. PÉLDA Igazljuk a következő azsságt: A]B = (κ AωB) ϖ (κ BωA)! Megldás A B κ A κ κ B κ (κ AωB) ϖ (κ A]B AωB BωA BωA) i i h i h i i i i h h h i i h h h i i i h h h h h h i i i i i i Mivel (κ AωB) ϖ (κ BωA) és A]B lgikai értéke midig azs, ezért valóba igaz az azsság. 9
PMMANB3 Matematika I. II. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI A halmazelmélet a matematika új ejezete az 800-as évek. elébe Catr émet matematikus vezeti be a halmazelméleti alapgalmakat (halmazk számsságával is glalkzik) A halmazelmélet agy jeletőségű, mert a matematika mide ágáak mdellje elépíthető halmazelméleti galmakkal.. Alapgalmak. Alapgalmak, jelölések A halmaz alapgalm a matematikába (bizys meghatárztt, külöböző, valóságs vagy gdlatba kialakíttt dlgkak az összesége) Jelölések: A, B, C,, H, halmazkat a, b, c,, h, elemeket a H b H jeletése jeletése PÉLDA vezessük be a következő jelöléseket N + : a pzitív egész számk halmaza N: a emegatív egész számk halmaza Z: az egész számk halmaza 3 N de 0 N +, 00 Z - N, - Z. Halmazk megadása jelölek a eleme a H halmazak a bee va a H halmazba H halmaz tartalmazza az a elemet b em eleme a H halmazak Egy halmazt adttak tekitük, ha mide dlgról, elemről egyértelműe el tudjuk dötei eleme-e a halmazak vagy sem. A halmazk megadási módjai a) Aalítikus út: elemeiek elsrlásával (ha kevés véges sk elemet tartalmaz), vagy ayi eleméek elsrlásával (ha végtele sk eleme va), hgy abból bármely eleme képezhető legye. Pl. A:= {Jóska, Pista, Pali} B:= {, 4, 6,,, } b) Szitetikus út: a halmaz elemeit valamilye tulajdságuk alapjá adjuk meg (tehát, ha A halmaz az dlgk halmaza, melyek τ tulajdsággal redelkezek, akkr ezt A:= { τ()}-el jelöljük. Pl. C: = {, N+, 3 és <00} (C a 3-mal sztható, 00-ál kisebb pzitív egész számk halmazát jeleti) 0
PMMANB3 Matematika I..3 Halmazk egyelősége DEFINÍCIÓ. ugyaazk. Két halmazt akkr és csak akkr tekitük egyelőek, ha elemeik Pl: ) {,, 3, 4} = {4, 3,, } ) {,, 3} K {a, b, c} 3) B:= {, 4, 6,,, } C:= {, N +, } D:= {a pzitív párs számk halmaza} B=C, de BKD D={B}={C} 8 D (D-ek egyetle eleme va!).4 Üres halmaz DEFINÍCIÓ. Azt a halmazt, amelyek egyetle eleme sics, üres halmazak evezzük, és Ø-val jelöljük. Pl: Ø= {az egyelő ldalú tmpaszögű hármszögek}.5 Ve-diagram A sík zárt görbevallal határlt ptjaival szemléltetük halmazkat. PÉLDA M: = {a vizsgá kapható sztályzatk}={,, 3, 4, 5} M -4,5 0 3 4 5 π. Részhalmaz, tartalmazás DEFINÍCIÓ. Az A halmazt a B halmaz részhalmazáak evezzük, ha A mide eleme B-ek is eleme. Jele: A B v. B A DEFINÍCIÓ. Az A halmaz valódi részhalmaza B-ek, ha A része B-ek, de AKB. Jele: A B v. B A
PMMANB3 Matematika I. A B A B TÉTEL Mide A-ra AφA releivitás Ha AφB és BφA, akkr A=B atiszimmetria Ha AφB és BφC, akkr AφC trazitivitás Øφ A, mide A-ra TÉTEL AδA egyetle A-ra sem áll e Ha AδB, akkr B A Ha AδB és BδC, akkr AδC 3. Műveletek halmazkkal 3. Halmazk metszete DEFINÍCIÓ. Két halmaz metszeté v. közös részé azkak az elemekek a halmazát értjük, amelyek midkét halmazba bee vaak. Jelölés: A és B halmaz metszete AB Szemléltetés: A B A B A B DEFINÍCIÓ. Ha A-ak és B-ek ics közös eleme, AW B, ekkr az A és B u. diszjukt halmazk. 3. Halmazk egyesítése DEFINÍCIÓ. Két halmaz egyesítésé v. uiójá azkak az elemekek a halmazát értjük, amelyek a két halmaz közül legalább az egyikbe bee vaak. Jelölés: A és B halmaz egyesítése AUB
PMMANB3 Matematika I. Szemléltetés: B A B A TÉTEL Tetszőleges A, B halmazkra eállak az AB φ A φ AχB és AB φ B φ AχB tartalmazási kapcslatk. Ha AφB, akkr AB = A és AχB = B 3.3 Halmazk metszetéek és egyesítéséek műveleti tulajdságai TÉTEL Tetszőleges A, B, C halmazkra. A(BC) = (AB)C Aχ(BχC) = (AχB)χC asszciatív. AB = BA AχB = BχA kmmutatív 3. AA = A AχA = A idemptes 4. A(AχB) = A Aχ(AB) = A elyelési tul. 5. A(BχC) = (AB)χ(AC) Aχ(BC) = (AχB) (AχC) disztributív 3.4 Halmazk külöbsége DEFINÍCIÓ. A és B halmazk külöbségé értjük A összes lya eleméek a halmazát, amelyek icseek a B-be. Jele: A(B Szemléltetés: A B A B Képletbe: A(B = { 0A, de B} TÉTEL Tetszőleges A, B halmazkra A\B = A((AB) = (AχB)(B Ha A(B = Ø ], ha AφB 3
PMMANB3 Matematika I. 3.5 Kmplemeter halmaz DEFINÍCIÓ. A H halmaz valamely A részhalmazáak H-ra vatkzó kmplemeteré értjük a H(A halmazt. Jelölése: TÉTEL A H = H(A v. A = H(A H halmaz tetszőleges A és B részhalmazaira ( A ) = A A A = Ø, Aχ A = H A B = Ac B, AU B = AW B 7 (de Mrga képletek) 3.6 Hatváyhalmaz DEFINÍCIÓ. Egy H halmaz összes részhalmazai újabb halmazt alktak, ezt evezzük a H hatváyhalmazáak. Jele: P(H) H hatváyhalmaza; H halmaz P(H) alaphalmaza AφH ugyaazt jeleti mit A0 P(H). PÉLDA H = {,, 3} Részhalmazk: H = Ø H = {} H 3 = {} H 4 = {3} H 5 = {, } H 6 = {, 3} H 7 = {, 3} H 8 = H 5 = {,, 3} H i φh (i =,, 8) Mst H elemeiek száma: 3 P(H) elemeiek száma: 8 = 3 MEGJEGYZÉS: Általába is igaz, hgy ha H elemeiek száma (véges!), akkr P(H) elemeiek száma:. 3.7 Halmazk Descartes-szrzata DEFINÍCIÓ. A H H,, H emüres halmazk Descartes-szrzatá a következő halmazt értjük: H ΗH ΗH 3 ΗH = {(h, h,,h } h 0H, h 0H,,h 0H } SPECIÁLIS DESCARTES-SZORZATOK. Ha H =, H = H ΗH = Η = = {(, y) 0, y0 } a redezett valós számpárk halmaza 4
PMMANB3 Matematika I. a redezettség miatt pl: (, -) (-, ) (az elemek srredje ts!) szemléltetve: a sík. Η Η = 3 = {(, y, z) 0, y0, z0 } 3 a redezett valós számhármask halmaza 3 szemléltetve: a tér 3.8 Számhalmazk Természetes számk halmaza Jele: N N: = {a pzitív egész szám és a 0} = {0,,, 3, } Elvégezhető műveletek: összeadás, szrzás, kivás Egész számk halmaza Jele: Z Z: = {0, -,, -,, -3, 3, } Elvégezhető műveletek: összeadás, szrzás, kivás Raciális számk halmaza Jele: Q Q: = { = q p, p0z, q0z, q K0} Elvégezhető műveletek: összeadás, szrzás, kivás, sztás (0-val em sztuk!) (Tehát a raciális számk, a két egész háyadsakét elírható számk.) A raciális számk tizedestört alakja: véges v. végtele szakaszs tizedes törtek. Pl: 5; -4;,47; = 0, 3 & 3 Irraciális számk halmaza Jele: Q * Q * : = {a végtele em szakaszs tizedestörtek} irraciális szám: em írható el két egész háyadsakét 3 Pl: 5; -4;,47; 5, 3π, lg3, cs6, lg 4, stb. 3 A valós számk halmaza Jele: : = QχQ * A valós számhalmaz szemléltetése Ve-diagrammal Z N Q Q * 5
PMMANB3 Matematika I. 3.9 Halmazk számssága Véges sk elem eseté: az elemek száma adja a halmaz számsságát Végtele sk elem eseté megszámlálhatóa végtele sk elemű halmazkról beszélhetük: em megszámlálhatóa végtele sk III. VEKTORALGEBRA. Alapgalmak, alapműveletek. A vektr galma A vektr galma a izikából származik. A izikai meyiségek lehetek: a) skalár jellegű meyiségek: értékük egyértelműe megadható egyetle valós számmal Pl.: távlság, tömeg, idő, hőmérséklet, muka stb. b) vektr jellegű meyiségek: iráyíttt szakasszal adhatók meg (melyet agysága, állása, iráyítása határz meg) Pl.: elmzdulás, sebesség, erő, gyrsulás stb. DEFINÍCIÓ. határz meg. Vektr iráyíttt szakaszt értük, melyet hssza, állása és iráya a B Jele: a, b, c, A AB, CD, A a vektr kezdőptja B a vektr végptja MEGJEGYZÉS: A matematikába a vektrt szabadak tekitjük! A kezdőptja tetszőleges! DEFINÍCIÓ. Vektr abszlút értéké a vektrt ábrázló iráyíttt szakasz hsszát (agyságát) értjük uuur Jele: a, b, AB Pl.: DEFINÍCIÓ. párhuzamsak. DEFINÍCIÓ. megegyezik. Két vektr egyező állású, ha az őket tartalmazó egyeesek Két vektr egyelő, ha abszlút értékük, állásuk és iráyuk 6
PMMANB3 Matematika I. b a c a = b a c DEFINÍCIÓ. Azt a vektrt, melyek abszlút értéke ulla, zérusvektrak (ullvektrak) evezzük. A zérusvektr állása és iráya tetszőleges. Jele: 0 ; 0 = 0 DEFINÍCIÓ. evezzük. Azt a vektrt, melyek abszlút értéke egységyi, egységvektrak MEGJEGYZÉS: A ( v 0) e v -vel jelöljük. vektrral azs állású és iráyú egységvektrt v 0 -al vagy DEFINÍCIÓ. DEFINÍCIÓ. DEFINÍCIÓ. szöge. Kllieáris (párhuzams) két vektr, ha állásuk megegyezik. Kmplaárisak azk a vektrk, amelyek egy síkkal párhuzamsak. Két vektr szöge, az őket tartalmazó egyeesek 80 -ál em agybb a b b (a,b) a. Vektrk összeadása DEFINÍCIÓ. 3. Az a és b vektrk ( a, b ) összegé azt az a + b vel jelölt vektrt értjük, amely az a kezdőptjátból a b végptjába mutat. 7
PMMANB3 Matematika I. a b a + b. Ha a és b külöböző állásúak, akkr a + b vektrt megadja az a és b-vel (mit ldalakkal) szerkesztett paralelgrammáak, a vektrk közös kezdőptjából iduló átlóvektra. a a + b b MŰVELETI TULAJDONSÁGOK a, b, c 0 3 tetszőleges vektrkra a + b = b + c a + (b + c)=(a + b) + c a + 0 = a a + (-a) = 0 (ahl a, a elletettje -a = a, -a a, de elletétes iráyúak).3 Vektrk kivása DEFINÍCIÓ. Az a és b vektrk a - b vel jelölt külöbségé azt a vektrt értjük, amelyet b hez hzzáadva az a-t kapjuk. a a - b Nem kmmutatív b - a a - b b 8
PMMANB3 Matematika I..4 Vektr szrzása skalárral (vektr számszrsa) DEFINÍCIÓ. Az a vektr és a λ valós szám λa -val jelölt szrzatá azt a vektrt értjük, amelyek abszlút értéke λ a, állása megegyezik a állásával, iráya a iráyával egyelő, ha λ 0, a -val elletétes iráyú, ha λ < 0 Tehát λa = λ a λa a MŰVELETI TULAJDONSÁGOK: a, b 0 3 ; λ, μ λ a = a λ λ(μ a) = (λ μ) a (λ+μ) a = λ a + μ a λ (a + b) = λ a + λ b a e = a a a iráyú egységvektr, ha a 0.5 Vektrk lieáris kmbiációja DEFINÍCIÓ. Az a, a,, a k vektrk lieáris kmbiációjá a λ a + λ a + + λ k a k vektrt értjük, ahl λ i i=,, k.6 Vektrk elbtása. TÉTEL Ha a 0, akkr bármely a-val párhuzams (kllieáris) v egyértelműe előállítható a lieáris kmbiációjakét, azaz létezik egyértelműe meghatárztt α R, hgy v = α a Bizyítás. Legye vd a és a 0 Ekkr két eset lehetséges α) v e = a e β) v e = - a e α) eseté v v= ve v = ae v = a v = a a a ahl ae = a a Tehát v v v= a = α a ahl α = a a 9
PMMANB3 Matematika I. v β) eseté v= ve v = ae v = a v = a a a v v Tehát v= a = α a ahl α = a a Ha v = 0, akkr v = 0 =0 a áll e, azaz α=0. TÉTEL Két vektr akkr és csak akkr párhuzams, ha legalább egyik a másik számszrsa. Bizyítás. Az. TÉTEL és a számmal való szrzás deiíciójából adódik. (Nem végezzük el.) 3. TÉTEL Ha két vektr a és b em párhuzamsak, akkr az a és b vektrk síkjába eső bármely v egyértelműe előállítható az a és b vektrk lieáris kmbiációjakét, azaz létezik lya α, β R, melyekre Bizyítás. Végezzük el a következő szerkesztést! A b αa v 0 a b βb a B A szerkesztés egyértelműségéből következik, hgy α és β egyértelműe meghatárztt. MEGJEGYZÉS: A 3. TÉTEL így is meggalmazható: Ha a ď b és a,b,v kmplaárisak, akkr v egyértelműe előállítható a és b lieáris kmbiációjakét. 4. TÉTEL Hárm vektr akkr és csak akkr kmplaáris (egysíkú), ha legalább egyikük a másik kettő lieáris kmbiációja. (Nem bizyítjuk.) 5. TÉTEL Ha a, b, c, em kmplaáris (egysíkú) vektrk, akkr a tér bármely v vektra egyértelműe előállítható az a, b, c vektrk lieáris kmbiációjakét. Bizyítás. A bizyítás gdlatmeete azs a 3. TÉTEL bizyításával. P γc c v c 0 b αa βb m a M 0
PMMANB3 Matematika I. A szerkesztés egyértelműségéből következik, hgy α, β, γ R valós számk egyértelműe meghatárzttak. v = m+ γ c = α a + β b + γ c MEGJEGYZÉSEK. Két em párhuzams vektr a síkt, hárm em egysíkú vektr a teret kieszíti, mert lieáris kmbiációkkal a sík, ill. a tér mide vektra egyértelműe előállítható.. A sík em párhuzams vektra a sík egy bázisa, a tér 3 em kmplaáris vektra a tér egy bázisa. DEFINÍCIÓ. A tér emkmplaáris, közös kezdőptból elmért a, b és c vektrk az adtt srredbe jbbredszert alktak, ha c iráyából ézve az a vektr az óramutató járásával ellekező 80 -ál kisebb szögű rgatással a b iráyába rgatható. c b + a MEGJEGYZÉSEK. Ha a, b, c jbbredszer b, a, c balredszer!. A jbbredszert jbbkezük ujjaival, a balredszert balkezük ujjaival szemléltetjük..7 Vektr krdiátái Vegyük el a térbe egy O ptt, valamit az O pttól kiiduló hárm, párkét egymásra merőleges egységvektrt, jelölje őket i, j, k és alkssaak ebbe a srredbe jbbsdrású redszert. Ezeket evezhetjük bázisvektrkak. Az i, j, k a tér bázisa. (rtrmált bázis!). Az 5. TÉTEL értelmébe a tér bármely v vektra egyértelműe elírható a bázisvektrk lieáris kmbiációjakét. Legye a elbtás v = i + y j + z k
PMMANB3 Matematika I. z zk v P k O i i j yj y DEFINÍCIÓ. Az, y, z valós számk a v vektr krdiátái, az i, y j, z k vektrk a v vektr kmpesei (az i, j, k bázisba). Tehát a v krdiátáit egy redezett számhármassal a v = (, y, z) srvektrs alakba szktuk kiejezi, de v = y z szlpvektrs alakba is haszálhatjuk. MEGJEGYZÉS. Másik bázist is választhattuk vla!. v krdiátái üggek a bázisvektrk választásától. 3. A sík, pl. az, y sík v vektrát v = i + y j + 0 z = i + y j alakba állíthatjuk elő, így v krdiátái v = (, y, 0) v = (, y) v = redezett valós számpár y 4. A tér v vektrai és a tér P ptjai közötti kölcsööse egyértelmű megeleltetés miatt a v és P végptjáak krdiátái azsak. A v a P pt helyvektra..8 Műveletek krdiátáikkal adtt vektrkkal TÉTEL A v = (, y, z ) és a v = (, y, z ) adtt vektrk eseté v = v akkr és csak akkr, ha =, y = y, z = z egyszerre teljesül. TÉTEL A v = (, y, z) vektr λ-szrsáak λv -ek krdiátái λv = (λ, λy, λz).
PMMANB3 Matematika I. TÉTEL Az a = (a, a, a 3 ) és b = (b, b, b 3 ) vektrk összegéek, külöbségéek krdiátái: (, 3 3) (, 3 3) a+ b= a + b,a + b a + b a b= a b,a b a b. Vektr szrzása vektrral. Vektrk skaláris szrzata DEFINÍCIÓ. Két vektr skaláris szrzatá a két vektr abszlút értékéek és az általuk bezárt szög ksziuszáak szrzatát értjük. Jele: ab Képlettel: ab: = a b cs(a,b) Ë MEGJEGYZÉS: A skaláris szrzat eredméye em vektr, haem skalár meyiség. MŰVELETI TULAJDONSÁGOK a, b, c tetszőleges vektrk α, β α (a b) = (α a) b α (a b) = a (α b) (α a) (β b) = (α β)(a b) a b = b a a (b + c) = a b + a c TÉTEL Két vektr skaláris szrzata akkr és csak akkr 0, ha a két vektr merőleges egymásra. Bizyítás.. rész: Ha a b, akkr a b = 0 Mst ezt bizyítjuk! Ha a b, akkr ( a,b) = 90, és cs90 = 0 a b = 0. rész: Ha a b = 0, akkr a b Legye a b= 0 azaz a b cs( a,b) = 0 a b Mst ezt bizyítjuk! Ha a = 0 a = 0 és a 0 b Ha b= 0 b= 0 és a 0 a Ha a 0, b 0, akkr cs( a,b) = 0 cs( a,b) = 90 3
PMMANB3 Matematika I. PÉLDA i, j, k alapvektrk (párkét merőlegesek, jbbredszer) ij jk ki cs90 0 = = = = ji= k j= ik = 0 ii jj kk cs0 = = = = TÉTEL Krdiátáival adtt két vektr skaláris szrzata: ( 3) ( 3 ) ( 3) ( 3 ) Ha a = a,a,a = a i+ a j+ a k b = b, b, b = b i + b j+ b k, akkr Bizyítás. ( 3 )( 3 ) ab= a i+ a j+ a k b i+ b j+ b k = a b= ab+ ab+ a3b3 a megelelő műveleti tulajdságt elhaszálva ( ai )( bi ) + ( ai )( bj) + ( ai )( bk 3 ) + ( aj)( bi) + ( aj)( bj) + ( aj)( b3k) + ( ak)( bi) ( ak)( bj) ( ak)( bk) + + = 3 3 3 3 abi abij abik 3 + + 3 + 3 + 3 + 3 3 = + + 3 3 = + + + abji ab j abjk abki abkj abk ab ab ab a krábbi eredméyek elhaszálásával a abszlút értékéek kiszámítása aa= a = a a cs0 = a a = a = + + 3 a a a a Tehát 3 a = a + a + a PÉLDA Legye a = (,,0 ), b = (-,, -6) a b =?, a =? Megldás a b= (-) + + 0 6= 0 a b a = + + 0 = 5 A FIZIKÁBAN A muka: egy ptszerű, egyees pályá mzgó testre ható álladó erő mukája: 4
PMMANB3 Matematika I. F W = F csα r = F r α F r r skaláris szrzat Tehát: W = F r. Vektrk vektriális szrzata Két vektr vektriális szrzatá azt a vektrt értjük, amelyek abszlút értéke a két vektr abszlút értékéek és a közbezárt szögük sziuszáak szrzata, állása midkét téyezőre merőleges iráya pedig lya, hgy az első téyező, a másdik téyező és a vektri szrzat ebbe a srredbe jbbredszert alkt. DEFINÍCIÓ. Jelölés: a b a és b vektriális szrzata a b : = a b si a,b Ë a, b, a b ebbe a srredbe jbbredszert alkt MŰVELETI TULAJDONSÁGOK a, b, c tetszőleges vektrk ; α, β R a b= ( b a) ( a b) ( a ) b a ( b ) α a β b=αβ ( a b) a ( b+ c) = a b+ a c ( b+ c) a = b a+ c a α = α = α ( ) ( ) a b c a b c!!! TÉTEL Két vektr vektriális szrzata akkr és csak akkr zérusvektr, ha a két vektr párhuzams (egyező állású). Bizyítás. Legye a két vektr a és b Ha a = 0 (v. b = 0) a tétel triviálisa teljesül Ha Ha a 0, b 0. rész: Ha a D b, akkr a b = 0 5
PMMANB3 Matematika I. Bizyítás. D Ha a b, akkr a, b Ë = 0 v. 80, de ekkr a b = a b si a, b Ë = 0, de ez azt jeleti, hgy a b = 0. rész: Ha a b = 0, akkr a D b Bizyítás. Ë tehát ( a, b) Ë = 0 v. 80 a b = a b si a,b = 0 si a,b Ë = 0, PÉLDA i, j, k alapvektrk (jbbredszert alktak!) i i= j j= k k = 0 előző tétel szerit i j= k j k = i k i= j TÉTEL Krdiátáival adtt két vektr vektriális szrzata: Ha a = a,a,a, b = b, b, b, akkr Bizyítás. 3 3 a b= ab ab i ab ab j+ ab ab k ( 3 ) ( 3 ) a b= a i+ a j+ a k b i+ b j+ b k = 3 3 3 3 = ab i i + ab i j + ab i k + 3 + ab j i+ ab j j+ ab j k + 3 + ab k i + ab k j+ ab k k = 3 3 3 3 = abk ab j abk+ abi+ ab j abi= 3 3 3 3 = ab ab i ab ab j ab ab k= 3 3 3 3 i j k = a a a3 DETERMINÁNS b b b 3 TÉTEL Két vektr vektriális szrzatáak abszlút értéke a két vektr által kieszített paralelgramma területéek mérőszámával egyelő. 6
PMMANB3 Matematika I. Bizyítás. b γ m a T = a m = a b si γ T = a b PÉLDA Legye a = ( 6,,0 ), b = (-,, ) a b =?, a b =? Megldás a = ( a,a,a ), b= ( b,b,b ) 3 3 i j k a b = 6 0 = ( 0) i ( 0) j ( 6 + ) k = i j+ 8k a b = i j+ 8k =,,8 a b = 4 + 44 + 64 = A FIZIKÁBAN uur M= r F (O ptba rögzített merev testre P ptba F álladó erő hat, melyek hatásvala em halad át O pt. Eze F erőek a testre rgató hatása va, amelyet rgatóymatékak evezük.) r = OP ; (r, F) = α O M F k az erő karja k = r si α k r α P α α M = r F si α M = r F M r ; M F ; r, F, M jbbredszer 7
PMMANB3 Matematika I..3 Vektrk vegyes szrzata DEFINÍCIÓ. Az a, b, c vektrk vegyes szrzatá az a b-ek a c-vel képzett skaláris szrzatát értjük, jele a b c abc= ( a b) c= a b ccs( a b,c) A VEGYES SZORZATA GEOMETRIAI JELENTÉSE TÉTEL Az a b c vegyes szrzat abszlút értéke aak a paralelgramma alapú erde hasábak a térgatát adja, amelyek egy csúcsából kiiduló 3 élvektra éppe az a, b és c vektr. Bizyítás. a b (a b, c) = α α α m c b T T = a b m = c cs α a V = T m = a b c cs α = (a b) c = a b c V = a b c MŰVELETI TULAJDONSÁGOK a, b, c tetszőleges vektrk. abc= bca= cab. abc= bac= cba = acb 3. abc= ( a b) c= a( b c) A gem. jeletésből köv. TÉTEL Hárm vektr vegyes szrzata akkr és csak akkr zérus, ha a hárm vektr kmplaáris (egysíkú). (Nem biz.) TÉTEL Krdiátáival adtt hárm vektr vegyes szrzata, ha a = (a, a, a 3 ), b = (b, b, b 3 ), c = (c, c, c 3 ) az 8
PMMANB3 Matematika I. a a a 3 b b b harmadredű determiással egyelő, azaz 3 c c c 3 a a a3 abc= b b b = ( bc bc ) a ( bc bc) a + ( bc bc) a c c c 3 3 3 3 3 3 3 TÉTEL Ha a, b, c em kmplaárisak, akkr ha a, b, c jbbredszert alkt, akkr a b c >0 ha a, b, c balredszert alkt, akkr a b c <0 MEGJEGYZÉS: a, b, c ebbe a srredbe jbbredszert alkt, ha c és a b az a, b vektrk síkjáak ugyaaz ldalára mutat és rdítva. PÉLDA Jbbredszert alkt-e az a = (,-, 5), b = (, 8, ) és c = (-,, -) vektrhármas? Megldás. 5 abc= 8 = 6 + + + 8 5 = 36 + 50 = 3 > 0 a, b, c jbbredszert alkt! 3. Krdiátagemetriai alkalmazásk 3. Az egyees Adtt P(,y,z ) pt és ( 3) v= v,v,v 0 vektr. e egyees haladj át P pt és e legye párhuzams v-ral (v az egyees iráyvektra!) P e P r O r v P e e D v P(; y; z) pt akkr és csak akkr va az e egyeese, ha uuur PP= r r vektr egyező állású (párhuzams) v-ral, azaz ha Amiből r r = t v t ú r = r + t v t ú lya t ú szám, hgy 9
PMMANB3 Matematika I. TÉTEL Ha egy egyees adtt P ptjáak helyvektra r, iráyvektra pedig v 0, akkr az egyees paraméteres vektregyelete: r = r + t v t ú alakú, ahl r az egyees valamely P ptjába mutató helyvektr és t paraméter, t ú. Az egyees paraméteres egyeletredszere P(,y,z ), r (,y,z) P(,y,z ), r (,y,z) v ( v,v,v ) 0 3 = az egyees adtt ptja és helyvektra = az egyees vm. ptja és helyvektra = az egyees iráyvektra ha r = r + t v t ú, akkr a megelelő krdiáták egyelőségét elírva = + tv y= y + tv az egyees paraméteres egyeletredszere z= z + tv 3 Ha v 0, v 0, v3 0 a 3 egyeletből t = y y z z = = v v v 3 az egyees paraméteres egyeletredszere PÉLDA Írjuk el az A(, -3, ) és B( -5, 7, ) ptk áthaladó egyees paraméteres egyeletredszerét! uuur Megldás iráyvektra: v = AB = (-7, 0, ) egy ptja: A = (, -3, ) Az egyees paraméteres egyeletredszere: = + 7t y= 3+ 0t t z= + t 3. A sík Adtt P(,y,z ) pt és = A, B, C 0 S sík illeszkedje a P ptra és legye merőleges -ra ( a sík rmálvektra!) 30
PMMANB3 Matematika I. P P S P (, y, z), r = (, y, z) P (, y, z ), r = (, y, z ) = ( A, B, C) 0 r r O A P pt akkr és csak akkr va az S sík, ha uuur PP= r r vektr merőleges -ra, azaz ha skaláris szrzatuk 0. r r = 0 (skaláris szrzat) TÉTEL Ha egy sík adtt P ptjáak helyvektra r, rmálvektra pedig 0, akkr a sík vektregyelete: Az sík általás egyelete: r r = 0 = ( A,B,C) = (,y,z) r r = (,y y,z z) r r,y,z A sík vektregyeletébe szereplő skaláris szrzatt a krdiátákkal kiszámítva: Ezt átredezve A + B y y + C z z = 0 a sík általás egyelete A By Cz D 0 + + + = ahl D= ( A + By + Cz ) a sík általás egyelete PÉLDA Írjuk el az sík egyeletét, amely illeszkedik a P(, -, 3 ) ptra és párhuzams a 3 4y 5z 3= 0 egyeletű síkkal! Megldás Az adtt sík: = ( 3, -4, 5) A két sík rmálvektra azs! 3 4y+ y+ 5z 3 A keresett sík egyelete: átalakítva: 3 4 y + 5z = 6 3
PMMANB3 Matematika I. IV. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNY. A üggvéy galma (általása) DEFINÍCIÓ. Ha egy A halmaz bizys elemeihez hzzáredeljük egy B halmaz egy-egy elemét, akkr az A halmazból a B halmazba vivő üggvéyt értelmeztük. Jele: ha ilye üggvéy jele :A B A halmaz :A B üggvéy alaphalmaza B halmaz :A B üggvéy képhalmaza Ha a0a és üggvéy a-hz az (a)-t redeli B-ből, akkr, a helye elvett helyettesítési értéke (a)0b. DEFINÍCIÓ. Az :A B üggvéy értelmezési tartmáya az A-beli elemek halmaza, amelyekhez téylegese hzzáredeli B valamelyik elemét. Az értékkészlete pedig az B-beli elemek halmaza, amelyeket hzzáredel, az A-ak legalább egy eleméhez. Jelölés: értelmezési tartmáya D értékkészlete R D A és R B PÉLDÁK. : ú ú ; (v) = v [ ] D = ; ú ; R ú egyváltzós üggvéy valós. am = : ú ú ; t(a,m) { } + Dt = a,m a,m,a > 0,m > 0, Rt = ú ú ú ú területe kétváltzós üggvéy valós. Számsrzatk. A számsrzat galma DEFINÍCIÓ. Számsrzatak evezzük azt a üggvéyt, amely mide pzitív egész számhz egy-egy számt redel (ez a szám lehet valós, de kmple is!) Jelölése: {a, a, a 3,, a, } a a srzat -edik, v. ált. eleme {a } a srzat rövid jelölése 3
PMMANB3 Matematika I. MEGJEGYZÉS: A srzat mit v. értelmezési tartmáya: N + A srzat mit v. értékkészlete δ (C) Srzatt megadhatuk. Képlettel pl.: a),,,, K,, K = 0N + 3 4 valós srzatk b) -,,-, K,, K = 0N + 3 9 7 3 3 c) { i, -, -i,, i, -, -i,,i, } = { i }. Rekurzív deiícióval K K 0N + pl.: a) (az u. Fibacci-éle számsrzat) a = a = {,, 3, 5, 8, 3,K } valós srzat a = a - + a -, ha P3, 0N a - b) a = a = +, ha P, 0N 3 3,,,, 8 3. Képzési utasítással pl : legye a a π edik tizedesjegye valós srzat { 3,, 4,, 5, 9,, 6, 5, 3, 6,K } 4. Graikusa kmple srzat a - { } N + valós srzat 3 4 5 MEGJEGYZÉS: Mi valós számsrzatkkal glakzuk részletesebbe! 33
PMMANB3 Matematika I.. Mt és krláts srzatk Mt srzatk DEFINÍCIÓ. Az {a } srzat övekedő, ha ao a + {a } srzat szigrúa övekedő, ha am a + {a } srzat csökkeő, ha ap a + {a } srzat szigrúa csökkeő, ha a> a + teljesül 0N + eseté. PÉLDÁK. {0,, 4, 6, 8, } szigrúa övekedő srzat. {0, 0, -, -, -, -, -3, -3, } mt csökkeő srzat 3. {-,, -,, } em mt srzat + 3 4. {a } = 0N + Milye mtitású? + 4 a + = + + 4 + 3 7 a + a = = L = < 0 + ( + )( ) 0N + eseté Tehát a srzat szigrúa mt csökkeő. Krláts srzatk DEFINÍCIÓ. Az {a } srzat elülről krláts, ha K0, hgy + N re a O K Az {a } srzat alulról krláts, ha k0, hgy ko a Az {a } srzat krláts, ha alulról és elülről is krláts, + azaz ha N re koao K k K MEGJEGYZÉSEK: szám a srzat alsó krlátja szám a srzat első krlátja. Krláts srzatak végtele sk alsó, ill. első krlátja va.. A első krlátk között va legkisebb, az alsó krlátk között va legagybb. DEFINÍCIÓ. Felülről krláts srzat legkisebb első krlátját a srzat első határáak (szuprémumáak); alulról krláts srzat legagybb alsó krlátját a srzat alsó határáak (iimumáak) evezzük. 34
PMMANB3 Matematika I. PÉLDÁK. {a } = {+} 0N + alulról krláts srzat mivel 3O + + N re 3 a srzat iimuma!. {a } = 0N + krláts srzat + 0 < O N 0 iimum szuprémum.3 Srzatk kvergeciája Pl.:. Legye a = + (-) { + (-) } 0N + 5 5 9 9 3 3 7 7 + (-) =,,,,,,,,, K 3 4 5 6 7 8 9 a000 = + =, 00 000 övelésével hgya viselkedek a srzat elemei? Igaz-e: ha = h a = Nem igaz! A em téyleges meyiség, haem egy mide határ túl lytatható lyamat szimbóluma. Tehát itt, ha, akkr a Itt a számt a srzat határértékéek evezzük. { }. Legye b ( 3) ( 3) {( 3 ) } { 3, 9, -7, 8,... } = 0N+ = srzat esetébe úgy gdlhatjuk ics lya szám melyet a megközelít, ha. DEFINÍCIÓ (). Az {a } srzat kverges, ha lya A0 szám, hgy A köryezetébe a srzatak véges sk eleme kivételével mide eleme beletartzik és ekkr az A számt a srzat határértékéek evezzük. DEFINÍCIÓ ().. Az {a } srzat kverges és határértéke az A szám, ha ε>0-hz, meghatárzható lya N természetes szám (N ε tól üggő), hgy ha >N akkr a A < ε. Az A szám az {a } határértéke, jelbe: lim a = A v. a A, ha 35
PMMANB3 Matematika I. MEGJEGYZÉSEK. Az A szám ε sugarú köryezeté (ε>0) az ]A-ε; A+ ε[ yílt itervallumt értjük, azaz, A-ε< < A+ ε ]A-ε; A+ ε[ = { } A-ε A A+ε. a -A < ε ] -ε < a -A < ε A-ε < a < A+ε 3. Az {a } srzat kvergeciájára adtt két deiíció ekvivales.. TÉTEL Kverges srzatak csak egy határértéke va. (Nem bizyítjuk!) DEFINÍCIÓ. Az lya srzatt, amelyek ics határértéke divergesek evezzük. PÉLDÁK. Diverges srzatk: {(-3) } = {-3, 9, -7, 8, } { } = {, 4, 9, 6, 5, } +. Bizyítsuk be, hgy az + srzat kverges! Megldás 5 7 9 97 00 000,,,,, K,, K,, K,, K 4 5 6 7 00 00 000 a98 a000 a0000 Sejtés: a határérték A= A. deiícióval igazljuk, hgy a határérték. Írjuk el és ldjuk meg az a -A < ε egyelőtleséget -re, majd elemezzük a megldást. + <ε + 3 <ε + 3 <ε + ε> 0 N + 3 3 - + <ε ε < 36
PMMANB3 Matematika I. 3 Itt N = ε. Tehát ha 3 N > = ε, akkr a - < ε, azaz a srzat teljesíti a. + deiíciót, így kverges és határértéke. + + Jelbe: lim = + A kvergecia bizyítás vége! A srzat az elemei melyekre >N, a ] -ε,+ε [ itervallumba, azaz a ε sugarú köryezetébe vaak. Véges sk elem: a, a, a 3,, a N esik csak kívül a ε sugarú köryezeté. Pl.: legye -3 3 ε=3 0 N = - =998-3 30 küszöbszám! Tehát a 0,003 sugarú köryezeté kívül eső elemek: a, a, a 3,, a 998 a 0,003 sugarú köryezetébe eső elemek: a 999, a 000, a 00, végtele sk. TÉTEL Ha {a } kverges, akkr krláts. Bizyítás. Legye lim a = A A kvergecia deiíciójával bizyítuk. Ekkr pl.: ε=-hez is N 0N +, hgy ha >N, akkr a -A < ]A-<a < A+ A srzat az elemei, melyre >N, teljesítik a eti egyelőtleséget. A srzat a, a, a 3,, a N elemei vaak kívül az ] A-, A+ [ itervallum. Válasszuk alsó krlátt: k = mi{a-, a, a,, a N } Válasszuk első krlátt: K = ma{a+, a, a,, a N } A- A A+ Mide -re koa O K tehát a srzat krláts! MEGJEGYZÉS: Az előző tétel megrdítása em igaz, azaz va lya krláts srzat, amely em kverges! DEFINÍCIÓ. Az α0 számt az{a } trlódási ptjáak evezzük, ha α köryezete a srzat végtele sk elemét tartalmazza. PÉLDA {(-) }={-,, -,, } Két trlódási pt: - és De: a srzat diverges! 37
PMMANB3 Matematika I..4 Kvergeciakritériumk A kvergecia deiíciója alapjá gyakra ehéz bizyítauk kverges-e az adtt srzat, ehhez ugyais ismerük kellee a srzat határértékét! Előrdulhat em is vagyuk kívácsiak a határértékre, csupá az érdekel beüket, kverges-e a srzat (azaz va-e határértéke!) Fts lya kritériumk ismerete, melyek segítségével a kvergecia egyértelműe eldöthető. Külö megadhatuk a kvergeciára. szükséges. elégséges 3. szükséges és elégséges eltételeket!.4. A kvergecia szükséges eltétele TÉTEL A kvergecia szükséges eltétele a krlátsság. (Másképp galmazva: Ha {a } kverges, akkr krláts.) (Krábba biz.!) MEGJEGYZÉSEK. A em krláts srzatk divergesek. Ha a srzat krláts, még em bizts, hgy kverges is! PÉLDÁK lim = 0 0 { } {,4,9,6, } a srzat krláts = K em krláts (ics első krlát) diverges srzat {( ) } {,,,, } = K krláts, de diverges srzat.4. A kvergecia elegedő eltétele TÉTEL Ha az {a } srzat mt és krláts, akkr kverges. (Másképp: Az {a } srzat kvergeciájáhz elegedő, hgy a srzat mt és krláts legye.) (Nem bizyítjuk!).4.3 A kvergecia szükséges és elégséges eltételei. TÉTEL Az {a } srzat akkr és csak akkr kverges, ha krláts és csak egyetle trlódási ptja va. (Nem bizyítjuk!). TÉTEL Az {a } srzat akkr és csak akkr kverges, ha ε>0-hz N természetes szám (N ε-tól üggő), hgy ha, m >N, akkr a - a m <ε. (Cauchy-éle kvergeciakritérium!) 38
PMMANB3 Matematika I..5 Végtelehez tartó srzatk (Eze srzatk divergesek!) DEFINÍCIÓ. Az {a } srzat a + -hez tart, ha k>0 számhz N 0 N +, hgy ha >N, akkr a >K. Jelölése: lim a = ill. a, ha lim a = akkr az a srzat a hez tart. DEFINÍCIÓ. Ha { } Jelölése: lim a = v. a, ha PÉLDÁK. lim ( 3). lim = = 3. lim ( 3 ) =.6 Néháy evezetes kverges srzat a a ú lima = a. { }. lim = 0 a kvergecia deiícióval biz. 3. { q } q ú mértai srzat q a kvóciese 4. { } 5. { } de lim q lim q = =, ha q> a a ú + lim a = lim = 0, ha q <, ha q = diverges, mide egyéb esetbe 6. 9 + =,,,370, && &,44...,,4883, K,,7048..., K 4 a 00 Mutassuk meg, hgy teljesül a eti srzatra a kvergecia elégséges eltétele, azaz mt és krláts. a) A srzat mtitásáak bizyítása Sejtés: a srzat mt övekedő (a éháy első elem ezt sugallja!) A bizyításhz elhaszáljuk a számtai és a mértai közép közötti egyelőtleséget 39
PMMANB3 Matematika I. ekkr a, a, K, a k legyeek emegatív valós számk, ahl k N + k aa, K,a (Ha a = a = a k, k Tekitsük a következő O a + a + K+ a k k ( mértai k. ) ( számtai k. ) akkr és csak akkr egyelő a két ldal.) + db számt +, +, K, +, db Írjuk el a eti (+) szám számtai és mértai közepét! + + + + + K+ + + + + K + < + + + + ( ) + + + < = = + + + + + + + < + ś 0 N eseté igaz + a < a +, tehát a srzat szigrúa mt övekedő b) A srzat krlátsságáak bizyítása Mivel a < a < a < a + < ezért a srzat alulról biztsa krláts. Alsó határ: a =. Tehát csak azt kell bizyítauk, hgy elülről is krláts. Tekitsük a következő + db számt +, +, K, +,, db Írjuk el a eti (+) szám számtai és mértai közepét! 40
PMMANB3 Matematika I. + + + + + K+ + + + + + K + < + + + + + < = 4 + + < 4 + + < 4 ś 0 N -re teljesül + Tehát a < 4 ś 0 N -re így a srzat elülről is krláts, azaz + O + < 4 ś 0 N -re A kvergecia elegedő eltétele teljesül a srzatra (szig., mt ő és krláts), azaz az + srzat kverges, tehát va határértéke. Kimutatták, hgy az + srzat határértéke irraciális szám, melyet e-vel jelölük. DEFINÍCIÓ. DEFINÍCIÓ. Az `e` valós számt az = + e: lim határértékkel deiiáljuk. e.,788885 Az `e` alapú lgaritmust természetes lgaritmusak evezzük. A 0 + szám természetes lgaritmusáak jelölése l. MEGJEGYZÉS: a k k lim e, ha lim a, k a + = = ú.7 Műveletek kverges srzatkkal DEFINÍCIÓ. Az {a } és {b } srzatk összegé azt a {c } srzatt értjük amelyek -edik eleme: c = a + b MEGJEGYZÉS: Haslóa értelmezhető két srzat külöbsége, szrzata, háyadsa. 4
PMMANB3 Matematika I. TÉTEL Ha az {a } és {b } srzat kverges és lim a = A és lim b = B, akkr. lim c a = c lim a = c A ś c 0ú eseté lim a + b = lim a + lim b = A + B. lim a b = lim a lim b = A B 3. 4. a lim a A ha B 0 lim = = b lim b B Csak a. állítást bizyítjuk. Bizyítás. A kvergecia deiíciója alapjá bizyítjuk. Mivel {a } és {b } kverges, így midkét srzatra teljesül a kvergecia deiíciója, ε miszerit ś > 0 számhz N, ill. N term. szám, hgy ε a A <, ha > N ε b B <, ha > N Mi azt akarjuk bizyítai, hgy ( a + b ) ( A+ B) Mutassuk meg, hgy az (a + b ) srzatra is teljesül a kvergecia deiíciója, miszerit a + b A + B <ε, ha > N ahl ( ε tetsz. + szám) ε ε + + O + < + =ε a b A B a A b B v v ha > N = ma N, N ε ε ha > N ; ha > N Tehát a + b A + B <ε, ha > N, ahl ś ε> 0 szám ami igazlja a tétel állítását. TÉTEL (Redőrelv!) Ha {a } és {c } srzat kverges és lim a = lim c = A, valamit véges sk kivételével aobo c teljesül, akkr {b } is kverges és lim b (Nem biz.) = A 4
PMMANB3 Matematika I. MEGJEGYZÉS:. Diverges srzatkkal végzett műveletek eredméyekét kaptt srzatk lehetek kvergesek és diverges is! Midig a kkrét eset vizsgálata szükséges!. Semmi biztsat em mdhatuk a ± 0 ; 0 ; ; ; ; ; 0 ± 0 típusú határértékekről. 0 0.8 Példák srzatk határértékéek kiszámítása A kverges srzatkra vatkzó tételek és a evezetes kverges srzatk határértékéek elhaszálásával számluk határértékeket. Számítsuk ki a következő srzatk határértékekét!.. 3. 4. 5. 7 3 + 7 + 3 + lim = lim = lim = 0 + + 5 7 3 + 5 5 3 8 + 6 + lim = lim = 8 + 3 + 3 3 8 6 3 3 3 3 3 3 3 4 + lim = lim = lim = 0 + 4 + 4 4 + 4 3 3 ( 3) ( ) + 3 + 3 + 3 lim = lim = lim 3 + 9 3 + 9 3 + 9 3 3 Diverges! Két trlódási ptja va: -3 és 3 ( ) lim = + 6+ + 6 6 lim + 6 = lim + 6 = lim = lim = 0 + 6+ + 6+ + 6+ + 3 3 3 lim = lim + = e 6. 7. 43
PMMANB3 Matematika I. 5 + 3 + 5 e lim = lim = = e = e 3 3 e 3 8. 3 5 3 4 9. lim + Redőrelv segítségével! < + < 4 + = Tehát lim 3. Egyváltzós valós üggvéy alaptulajdságai 3. A üggvéy galma, megadása DEFINÍCIÓ. Egyváltzós valós üggvéye lya üggvéyt értük, amelyek értelmezési tartmáya és értékkészlete is a valós számk halmazáak valamely részhalmaza Függvéyek jelölése:, g, h,, ϕ, ψ, stb. Ha egy üggvéyt a matematikai galma alapjá ptsa akaruk megadi, akkr megadjuk az értelmezési tartmáyát, a képhalmazát és a hzzáredelés szabályát. PÉLDÁK. : R R, 3-7 D R R R itt vagy 7 D =[ ; [ 3 R =[ 0; [ 7 ( ) = 3+ 7, D =[ ; [, R R R =[ 0; [ 3 g =, Dg = R 3, Rg R Rg = R 0 3. {} {} 44
PMMANB3 Matematika I. MEGJEGYZÉS: Ha az üggvéy helye vett helyettesítési értéke képlettel megadható és -ek csak alaphalmazát és képhalmazát adjuk meg (itt midkettő), akkr D és R megállapítása számítással jár. Ilyekr D a az legbővebb részhalmaza, amelyekek elemeihez a képlet üggvéyértéket redelhet. Egyváltzós üggvéy szemléltetése : R R, (), D R, R R üggvéy síkbeli derékszögű krdiáta redszerbe, az y = () egyeletű gemetriai alakzattal ábrázljuk, miközbe beutja a D halmaz elemeit. Az y = () egyeletű gemetriai alakzatt az üggvéy graikjáak evezzük. PÉLDA D R R R, () =, 0, ha ha > 0 = 0, ha < 0 = sg előjelüggvéy Ábrázljuk y y = sg O - - { } R, 0, 3. Függvéyek jellemzése, üggvéytai alapgalmak 3.. Krlátsság DEFINÍCIÓ. Az üggvéyt elülről krlátsak evezzük, ha K ú szám, hgy PÉLDÁK D re O K, Az üggvéy alulról krláts, ha k ú szám, hgy D re ko Az üggvéy krláts, ha alulról és elülről is krláts, azaz ko OK D re első határ : legkisebb első krlát (sup () ) alsó határ : legagybb alsó krlát (i () ) 45
PMMANB3 Matematika I.. = si D = R Krláts v, mert R R O O D re =, D =[ 0; [, R R, R =[ 0; [. 0O, D re em krláts, mert csak alulról krláts. 3.. Párs, páratla üggvéyek DEFINÍCIÓ. Az üggvéyt, amelyek értelmezési tartmáya szimmetrikus az D re =, és páratla rigóra párs üggvéyek evezzük, ha üggvéyek, ha ( ) =. MEGJEGYZÉS Ábrázlható üggvéyek eseté, ha párs, graikja az y tegelyre szimmetrikus, ha páratla, a képe az rigóra szimmetrikus. Legye =, D = ú Milye paritású üggvéy? PÉLDA 3 3 + Megldás D rigóra szimmetrikus 3 3 3 3 = = = = = ( ) 3 + + + 3 3 + 3 Tehát, D re = páratla 3..3 Peridikus üggvéyek DEFINÍCIÓ. Az üggvéy peridikus, ha lya p>0 szám, hgy teljesül a következő eltétel: PÉLDÁK. D re + p D. D re + p = A p>0 szám az v periódusa.. = si D =ú si ( + π ) = si D re legkisebb periódusa π. g = cs Dg =ú 46
PMMANB3 Matematika I. cs( + π ) = cs D re π per. π h = tg D = ú( + k π,k Z tg +π = tg π per. 3. 4. k = ctg D = ú( { k π,k Z } ctg( +π ) = ctg π per. 3..4 Mt üggvéyek DEFINÍCIÓ. tartmáyá az üggvéyről akkr mdjuk, hgy ez a üggvéy az értelmezési mt övekvő, ha < O mt csökkeő, ha < ( ) P szig. mt övekvő, ha < < szig. mt csökkeő, ha < ( ) > ( ) a D mide (, ) elempárjára. =, D 0 Mt-e? PÉLDA = ú( {} Megldás y 5 4 3 0-4 -3 - - 0 3 4 - y = Nem mt! - -3-4 -5 3..5 Függvéyek szélsőértéke DEFINÍCIÓ. Az üggvéyek az D ptba helyi miimuma va, ha az ak lya köryezete, hgy ha eze köryezetek, () >. 0 0 Az üggvéyek az D ptba helyi maimuma va, ha az ak lya köryezete, hgy ha eze köryezetek, () <. 0 0 PÉLDA 47
PMMANB3 Matematika I. y y = () [ [ = [ [ : a ;b D a ;b ú a 3 b = a 3 helye -ek abszlút (ttális) maimuma va helye -ek helyi miimuma va helye -ek helyi maimuma va helye -ek helyi miimuma va, ami egybe abszlút miimum is : ú ú, = y y = = 0 -ek helye helyi miimuma va és egybe abszlút miimuma is va. maimuma ics 3..6 Függvéy zérushelye DEFINÍCIÓ. Az üggvéyek az D ptba zérushelye va, ha ( 0) = 0 PÉLDÁK. D ú( {, 3 }, = = ( )( 3) Adjuk meg üggvéy zérushelyét! Megldás Oldjuk meg az () = 0 egyeletet D -e! = 0 = ( )( 3) Tehát -ek az = - helye va a zérushelye.. : =, = cs ú ú zérushelyeit adjuk meg! Megldás cs = 0 π = + k π, k Z ezek a zérushelyek! (végtele sk va!) 48
PMMANB3 Matematika I. 3.3 Műveletek üggvéyekkel 3.3. Függvéyek leszűkítése DEFINÍCIÓ. Legye H D,H. Ekkr az üggvéy H halmazra való leszűkítésé azt a g üggvéyt értjük, melyre D = H,és ś Heseté g() = (). g : ú ú, = si y y = ()=si π 0 π π π - π π Legye H = ; g legye v leszűkítése H ra π π D g = ;, g = si,ha H π y π y = g() 3.3. Függvéyek összege, külöbsége, szrzata, háyadsa Legye és g két lya üggvéy melyekre DW Dg. Z g legye a g üggvéy zérushelyeiek halmaza. DEFINÍCIÓ. Az és g üggvéyek összegé, külöbségé, szrzatá redre azt a F, G, H üggvéyt értjük melyekre F g G g H g D = D WD és F = + g D = D WD és G = g D = D WD és H = g DEFINÍCIÓ. Az és g üggvéyek háyadsá azt az ú üggvéyt értjük melyre 49
PMMANB3 Matematika I. DR = ( DW Dg) ( Z g és R = g PÉLDA g {} Legye D =[ 4 ; [, = + 4 + Dg = R, g = lg Z =,mert lg= 0 = + = + + = W = ú. F g 4 lg, DF D Dg G = g = + 4 lg, D = DWD = ú. G g H = g = + 4 lg, D = DWD = ú 3. H g 4. + 4 R = =, DR = D Dg Zg = g lg 3.3.3 Függvéyek összetétele + + + + ( W ) ú {} DEFINÍCIÓ. Az és g két lya üggvéy, amelyekre RgW D. Az külső és g belső üggvéyből képzett összetett üggvéye értjük azt a h üggvéyt, amelyek értelmezési tartmáya a g értelmezési tartmáyáak az része, ahl g lya értékeket vesz el, melyeke értelmezett. A h összetett üggvéy hzzáredelési h = g. törvéye: ( ) A A+ε D PÉLDA Megldás h = lg Elemzzük a szerkezetét! Adjuk meg h üggvéy értelmezési tartmáyát! 50
PMMANB3 Matematika I. külső üggvéy = D = [0; [, R = [0; [ belső üggvéy g = lg D g = ]0; [, Rg =ú Rg D = [0; [ h értéktart. meghat. lg P 0 lg P lg D=D = ]0;] D h g g 3.3.4 Függvéyek iverze 0MO DEFINÍCIÓ. Legye az üggvéy által létesített leképezés kölcsööse egyértelmű. Az üggvéy iverz üggvéyé értjük azt az üggvéyt, melyek értelmezési tartmáya az értékkészlete és hzzáredelési törvéye: egy D értékhez azt az ( )értéket redeli, melyre () = _ y (( ))= ( ) y = () y = y = () ( ) MEGJEGYZÉSEK. Az üggvéy az értelmezési tartmáyáak H részhalmazá kölcsööse egyértelmű leképzését valósít meg, ha a H halmaz külöböző elemeihez külöböző értékeket = =, H eseté. redel az értékkészletéből, azaz ha. Mivel mide szigrúa mt üggvéy kölcsööse egyértelmű leképzést valósít meg, így a szigrúa mt üggvéyekek midig létezik az iverz üggvéyük. 3. Va lya ivertálható üggvéy, amely em mt! Legye D = ú, = 3 + PÉLDA Adjuk meg az iverz üggvéyét! Megldás Vizsgáljuk meg mtitását! + + + 3 9 3 = 3 3 3 5
PMMANB3 Matematika I. Mivel szig. m. csökkeő ivertálható R meghat. 0M3 0N -3 + + N -3 + + Az iverz v. hzzáredelési törvéye: Mst: D = ] ;[ R = ú () + _ (()) (()) = 3 = () =? _ () + 3 = _ () + = lg ( ) _ () = lg ( ) _ 3 3 3 _ R = ] ;[ = () = lg ( ) Az üggvéy iverz üggvéye 3.4 Egyváltzós elemi üggvéyek Az elemi üggvéyek sztályát a kstas üggvéyek hatváyüggvéyek trigmetrikus üggvéyek lgaritmikus üggvéyek és az ezekből véges számú összeadással, kivással, szrzással, sztással, összetett és iverzüggvéy képzéssel előállítható üggvéyek alktják. Elemi üggvéyek Algebrai üggvéyek Traszcedes üggvéyek Raciális Irraciális Egész Tört Algebrai üggvéyek: azk a üggvéyek, melyek kstaskból és a váltzóból véges számú összeadás, kivás, szrzás, sztás és egész kitevőjű gyökvás útjá jöek létre. Raciális üggvéyek:azk az algebrai üggvéyek, melyek leképzéséhez a gyökvást em kell elhaszáli. Raciális egész üggvéyek v. plimüggvéyek: - -edkú : = a + a + + a+ a D =ú Raciális törtüggvéyek: - ahl a ú i = 0,,...,, a 0 adttak i 5
PMMANB3 Matematika I. Olya törtüggvéy, amelyek számlálója és evezője is plimüggvéy. Traszcedes üggvéyek: azk az elemi üggvéyek, melyek em algebrai üggvéyek (trigmetrikus, lgaritmus üggvéyek és ezek iverzei). Hatváy üggvéyek: D = ú, =, N a) Ha párs R = [0; [ párs y y = y = + D = ú, =, N páratla b) R = ú y y = y = + D = ú( 0, =, N párs c) { } R = ú + y y = y = d) ú( { } R = ú( {} 0 + D = 0, =, N páratla y y = y = Gyökös üggvéyek (Irraciális üggvéyek) 4 6,,,...,..., h Z D = [0; [ R = [0; [ y y = y = 53
PMMANB3 Matematika I.,,...,..., h Z 3 5 + D R = ú = ú y y = y = Epeciális üggvéyek = a D = ú a > 0,a R = ú + y y = (kitevőkhöz hatváyüggvéyeket redel) y = Lgaritmus üggvéyek a = lg D = ú a > 0,a R = ú + y y = (hatváyértékekhez kitevőt redel) a és lga egymás iverz üggvéyei! y = Trigmetrikus üggvéyek (A szögeket radiába adjuk meg!) Radiá: az egységsugarú körbe az adtt középpti szöghöz tartzó ívhssz mérőszáma. 360 = r π= π= π radiá π 80 =π, 90 = stb. A sziusz és a ksziusz üggvéy DEFINÍCIÓ. Az i egységvektr szögű elrgatttjáak első krdiátája az szög ksziusza, másdik krdiátája az szög sziusza. 54
PMMANB3 Matematika I. y y = si π π π y = cs Midkét v-re : D = ú [ ] R = ; Periódikusak π szerit : si = si + π D re A tages üggvéy DEFINÍCIÓ. cs = cs + π si π tg : = = D = ú( + k π, k Z cs R = ú Periódikus π szerit : tg = tg +π, D re y A ktages üggvéy DEFINÍCIÓ. cs ctg : = = D = ú( k π, k Z si R = ú { } Periódikus π szerit : tg = tg +π, D re 55
PMMANB3 Matematika I. y Ciklmetrikus üggvéyek vagy arkuszüggvéyek A trigmetrikus üggvéyek iverz üggvéyei. Mivel a trigmetrikus üggvéyek peridikusak, ezért a teljes értelmezési tartmáyba em ivertálhatók, azba alkalmasa választtt itervallumk szigrúa mtk, tehát ivertálhatóak is! Az arc si üggvéy π π Mivel a si üggvéy a, - szigrúa mt ő és a teljes értékkészletét kimeríti, így ez az itervallum alkalmas ivertálásra. π π DEFINÍCIÓ. Az = arcsi üggvéy a si v ; itervallumra való leszűkítéséek iverze. [ ] D = ; π π R = ; PÉLDA π π arcsi azt a ; -ba eső szöget jeleti, melyek si arcsi = sziusza, azaz y y = g() π π arc si = mert si = π π arc si = mert si = 6 6 π π Az arc cs üggvéy DEFINÍCIÓ. Az = arccs üggvéy a cs v [ 0; π ] itervallumra való leszűkítéséek iverze. D = [ ;] R = 0; π [ ] arccs jeleti azt a[ 0;π] -ba eső szöget, melyek ksziusza, azaz cs( arc cs ) = 56