Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás a valós számok halmazában? Válasz: tetszőleges a, b, c R választással (a + b) + c = a + (b + c) és (ab)c = a(bc). 2. Írja le a valós számokkal kapcsolatban a műveletek és a rendezés kapcsolatára vonatkozó axiómát! Válasz: bármely a, b, c R, a b esetén i) a + c b + c, ii) ha még 0 c is igaz, akkor ac bc. 3. Hogyan szól a disztributivitásra vonatkozó axióma? Válasz: bármely a, b, c R esetén (a + b)c = ac + bc. 4. Mikor nevez egy A R halmazt felülről korlátosnak? Válasz: az A R halmazt felülről korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan K R szám, amellyel az x K egyenlőtlenség minden x A elemre teljesül. 5. Mikor nevez egy A R halmazt alulról korlátosnak? Válasz: az A R halmazt alulról korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan M R szám, amellyel az x M egyenlőtlenség minden x A elemre teljesül. 6. Írja le a felső határ axiómát! Válasz: legyen az A R halmaz felülről korlátos és K := {K R : x K (x A)} az A felső korlátainak a halmaza. Ekkor a K halmaznak van legkisebb eleme. 7. Mi a szuprémum definíciója? Válasz: legyen az A R halmaz felülről korlátos és K := {K R : x K (x A)} az A felső korlátainak a halmaza. Ekkor sup A := min K (a K halmaz legkisebb eleme) az A halmaz felső határa (idegen szóval szuprémuma). 8. Mi az infimum definíciója? Válasz: legyen az A R halmaz alulról korlátos és M := {M R : x M (x A)} az A alsó korlátainak a halmaza. Ekkor inf A := max M (az M halmaz legnagyobb eleme) az A halmaz alsó határa (idegen szóval infimuma). 9. Írja le a teljes indukció elvét! Válasz: legyen N N olyan halmaz, amelyre 0 N és bármely n N esetén n + 1 N. Ekkor N = N. 10. Fogalmazza meg egyenlőtlenségekkel azt a tényt, hogy α = sup A R! Válasz: az α = supa egyenlőség a következőkkel ekvivalens: x α (x A) és bármely ε > 0 esetén van olyan a A, amelyre a > α ε. 1

11. Fogalmazza meg egyenlőtlenségekkel azt a tényt, hogy β = inf A R! Válasz: a β = inf A egyenlőség a következőkkel ekvivalens: x β (x A) és bármely ε > 0 esetén van olyan a A, amelyre a < β + ε. 12. Mit jelent az, hogy egy A R halmaz felülről nem korlátos? Válasz: az A R halmaz felülről nem korlátos, ha bármely K R esetén valamilyen x A elemmel x > K. 13. Mit jelent az, hogy egy A R halmaz alulról nem korlátos? Válasz: az A R halmaz alulról nem korlátos, ha bármely M R esetén valamilyen x A elemmel x < M. 14. Mikor nevez egy A C halmazt korlátosnak? Válasz: az A K halmazt korlátosnak nevezzük, ha van olyan q R, hogy x q (x A). 15. Írja le az Archimedes-tételt! Válasz: tetszőleges x, y R, x > 0 valós számokhoz létezik olyan n N természetes szám, hogy nx > y. 16. Hogyan szól a Dedekind-tétel? 17. Válasz: tegyük fel, hogy az A, B R halmazokra az alábbiak teljesülnek: minden a A és minden b B elemre a b. Ekkor valamilyen γ R valós számmal a γ b (a A, b B). Írja le a Cantor-tételt! Válasz: minden n N természetes szám esetén az a n, b n R, a n b n végpontokkal tegyük fel, hogy [a n+1, b n+1 ] [a n, b n ] (n N). Ekkor n=0 [a n, b n ]. 18. Fogalmazza meg a Bernoulli-tételt! Válasz: tetszőleges h R, h 1 valós szám és n N természetes szám esetén fennáll az alábbi egyenlőtlenség: (1 + h) n 1 + nh. Igaz továbbá, hogy az előbbi Bernoulli-egyenlőtlenségben akkor és csak akkor áll fenn az (1 + h) n = 1 + nh egyenlőség, ha h = 0, vagy n = 0, vagy n = 1. 19. Mit mond ki a számtani-mértani középpel kapcsolatos állítás? Válasz: legyen n N és az a 0,..., a n R számokról tegyük fel, hogy valamennyien nem-negatívok: a k 0 (k = 0,..., n). Ekkor ( ) n+1 1 n a k n + 1 n a k. Az itt szereplő egyenlőtlenségben akkor és csak akkor írható egyenlőség, ha az a k (k = 0,..., n) számok mindannyian egyenlők: a 0 = a 1 = = a n. 20. Mit ért azon, hogy reláció? Válasz: valamely A, B halmazok esetén az A B Descartes-szorzat bármely részhalmazát (bináris) relációnak nevezzük. 21. Definiálja a reláció értelmezési tartományát! Válasz: valamely A, B halmazok és r A B reláció esetén a D r := {x A : létezik (x, y) r} halmaz az r reláció értelmezési tartománya. 22. Definiálja a reláció értékkészletét! Válasz: valamely A, B halmazok és r A B reláció esetén az R r := {y B : létezik (x, y) r} halmaz az r reláció értékkészlete. 2

23. Hogyan értelmezi a függvényt? Válasz: tekintsük az A, B halmazokat és az f A B relációt. Valamely x A elemre legyen f x := {y B : (x, y) f}. Azt mondjuk, hogy az f reláció függvény, ha tetszőleges x A választással az f x halmaz legfeljebb egy elemű. 24. Mi a függvényérték definíciója? Válasz: tekintsük az A, B halmazokat és az f A B függvényt. Ekkor minden x D f elemre egyértelműen létezik olyan y R f, amellyel (x, y) f. Az f(x) := y elemet az f függvény által az x-helyen felvett függvényértéknek (vagy helyettesítési értéknek) nevezzük. 25. Mit jelent az f A B szimbólum? Válasz: valamely A, B, halmazok esetén az f A B szimbólum egy olyan függvényt jelent, amelyre D f A és R f B. 26. Mit jelent az f : A B szimbólum? Válasz: valamely A, B, halmazok esetén az f : A B szimbólum egy olyan függvényt jelent, amelyre D f = A és R f B. 27. Mit ért azon, hogy két függvény egyenlő? Válasz: ha f, g A B egy-egy függvény, akkor az f = g egyenlőség a következőt jelenti: D f = D g és tetszőleges x D f esetén f(x) = g(x). 28. Definiálja halmaznak függvény által létesített képét! Válasz: tekintsük az f A B függvényt és legyen U D f. Ekkor az U halmaznak az f függvény által létesített képén az alábbi halmazt értjük: f[u] := {f(x) B : x U} (speciálisan f[ ] := ). 29. Definiálja halmaznak függvény által létesített ősképét! Válasz: tekintsük az f A B függvényt és legyen V R f. Ekkor a V halmaznak az f függvény által létesített ősképén az alábbi halmazt értjük: f 1 [V ] := {x A : f(x) V } (speciálisan f 1 [ ] := ). 30. Mikor nevez egy függvényt injektívnek? Válasz: az f A B függvény injektív, ha tetszőleges x, v D f, x v esetén f(x) f(v). 31. Definiálja az inverzfüggvényt! Válasz: ha az f A B függvény injektív, akkor az f 1 B A inverzfüggvény az a függvény, amelyre D f 1 = R f, R f 1 = D f és tetszőleges u D f 1, v R f 1 választással a v = f 1 (u) egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha u = f(v). 32. Mi a definíciója az összetett függvénynek? Válasz: legyen g A B és f C D egy-egy függvény, és tegyük fel, hogy R g D f. Ekkor az f g A D összetett függvény a következő: (f g)(x) := f (g(x)) ( x Df g := g 1 [D f R g ] ). 33. Hogyan értelmezi két (valós vagy komplex értékű) függvény összegét? Válasz: tegyük fel, hogy az f, g függvények valós vagy komplex értékűek, azaz R f K, R g K és D f D g. Ekkor a D f D g x f(x) + g(x) K függvényt az f és a g összegének nevezzük, és az f + g szimbólummal jelöljük. 34. Hogyan értelmezi két (valós vagy komplex értékű) függvény szorzatát? Válasz: tegyük fel, hogy az f, g függvények valós vagy komplex értékűek, azaz R f K, R g K és D f D g. Ekkor a D f D g x f(x) g(x) K függvényt az f és a g szorzatának nevezzük, és az f g szimbólummal jelöljük. 3

35. Hogyan értelmezi két (valós vagy komplex értékű) függvény hányadosát? Válasz: tegyük fel, hogy az f, g függvények valós vagy komplex értékűek, azaz R f K, R g K és D f {t D g : g(t) 0}. Ekkor a D f {t D g : g(t) 0} x f(x) g(x) K függvényt az f és a g hányadosának nevezzük, és az f g szimbólummal jelöljük. 36. Hogyan értelmezi egy (valós vagy komplex értékű) függvény reciprokát? Válasz: tegyük fel, hogy az f függvény valós vagy komplex értékű, azaz R f K, továbbá {t D f : f(t) 0}. Ekkor a {t D f : f(t) 0} x 1 f(x) K függvényt az f reciprokának nevezzük, és az 1 f szimbólummal jelöljük. 37. Mit jelent az, hogy egy egyváltozós valós függvény monoton növő? Válasz: az f R R egyváltozós valós függvény monoton növő, ha tetszőleges x, t D f, x t helyeken f(x) f(t). 38. Mi a definíciója annak, hogy egy egyváltozós valós függvény szigorúan monoton növő? Válasz: az f R R egyváltozós valós függvény szigorúan monoton növő, ha tetszőleges x, t D f, x < t helyeken f(x) < f(t). 39. Mit ért azon, hogy egy egyváltozós valós függvény monoton fogyó? Válasz: az f R R egyváltozós valós függvény monoton fogyó, ha tetszőleges x, t D f, x t helyeken f(x) f(t). 40. Mikor mondja, hogy egy egyváltozós valós függvény szigorúan monoton fogyó? Válasz: az f R R egyváltozós valós függvény szigorúan monoton fogyó, ha tetszőleges x, t D f, x < t helyeken f(x) > f(t). 41. Mi a definíciója a sorozatnak? Válasz: az f függvényt sorozatnak nevezzük, ha D f = N. 42. Hogyan definiálja egy sorozat tagjait? Válasz: az f sorozat esetén f n := f(n) (n N) az f sorozat n-edik (vagy n-indexű) tagja. 43. Mit ért azon, hogy indexsorozat? Válasz: azt mondjuk, hogy a (ν n ) számsorozat indexsorozat, ha minden tagja természetes szám és ν n < ν n+1 (n N). 44. Hogyan definiálja egy sorozat részsorozatát? Válasz: tetszőleges x sorozat és bármely ν = (ν n ) indexsorozat esetén az x ν függvény is sorozat, amelyet az x sorozat ν indexsorozat által meghatározott részsorozatának nevezünk. Így az x ν sorozat n-edik tagja a következő: (x ν) n = (x ν)(n) = x(ν(n)) = x νn (n N). 45. Mikor mondja, hogy egy (valós) sorozat monoton növő? Válasz: azt mondjuk, hogy az (x n ) : N x n x n+1 (n N). 46. Mikor mondja, hogy egy (valós) sorozat szigorúan monoton növő? R (valós) számsorozat monoton növő, ha Válasz: azt mondjuk, hogy az (x n ) : N R (valós) számsorozat szigorúan monoton növő, ha x n < x n+1 (n N). 4

47. Mikor mondja, hogy egy (valós) sorozat monoton fogyó? Válasz: azt mondjuk, hogy az (x n ) : N x n x n+1 (n N). 48. Mikor mondja, hogy egy (valós) sorozat szigorúan monoton fogyó? R (valós) számsorozat monoton fogyó, ha Válasz: azt mondjuk, hogy az (x n ) : N R (valós) számsorozat szigorúan monoton fogyó, ha x n > x n+1 (n N). 49. Milyen tételt tud mondani valós sorozatok és monoton sorozatok viszonyáról? Válasz: bármely x = (x n ) : N R számsorozatnak van monoton részsorozata, azaz létezik olyan ν indexsorozat, amellyel x ν monoton növő (vagy monoton fogyó). 50. Mit értettünk egy valós sorozat csúcsán? Válasz: az x = (x n ) : N R sorozat esetén valamely n N mellett x n az x sorozat csúcsa, ha x n x k (k N, k n). 51. Mit ért azon, hogy egy valós sorozat felülről korlátos? Válasz: az x = (x n ) : N R sorozat felülről korlátos, ha egy alkalmas M R felső korláttal x n M (n N). 52. Mit ért azon, hogy egy valós sorozat alulról korlátos? Válasz: az x = (x n ) : N R sorozat alulról korlátos, ha egy alkalmas M R alsó korláttal x n M (n N). 53. Mit ért azon, hogy egy (valós vagy komplex) számsorozat korlátos? Válasz: az x = (x n ) : N K (valós vagy komplex) számsorozat korlátos, ha az értékkészlete korlátos halmaz, azaz van olyan K R szám, amellyel x n K (n N). 54. Mit ért azon, hogy egy számsorozat konvergens? Válasz: egy x = (x n ) : N K számsorozatot konvergensnek nevezünk, ha van olyan α K, amellyel bármely ε > 0 számhoz létezik egy N N küszöbindex, hogy x n α < ε (n N, n > N). 55. Definiálja egy konvergens számsorozat határértékét! Válasz: ha az x = (x n ) : N K sorozat konvergens, akkor egyértelműen létezik olyan α K, amellyel bármely ε > 0 számhoz létezik egy N N küszöbindex, hogy x n α < ε (n N, n > N). Ezt az α-t az x sorozat határértékének (vagy limeszének) nevezzük. 56. Mit tud mondani konvergens sorozatok részsorozatairól? Válasz: ha az x = (x n ) : N K sorozat konvergens, akkor tetszőleges ν indexsorozat esetén az x ν résszorozat is konvergens és lim(x ν) = lim x. 57. Milyen állítást ismer monoton sorozatok konvergenciájáról? Válasz: bármely monoton és korlátos x : N R sorozat konvergens. Ha x monoton növő, akkor lim x = sup R x, ha pedig monoton fogyó, akkor lim x = inf R x. 58. Milyen állítást ismer sorozatok esetén a konvergencia és a korlátosság kapcsolatáról? Válasz: ha az (x n ) sorozat konvergens, akkor korlátos is. 59. A valós sorozatok segítségével mit tud mondani komplex sorozat konvergenciájáról és a határértékéről? Válasz: bármely z = (z n ) : N C komplex sorozatra fennáll a következő ekvivalencia: a z sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha a Re z, Im z sorozatok konvergensek. Igaz továbbá, hogy ha a z sorozat konvergens és α := lim z, akkor Re α = lim(re z), Im α = lim(im z). 60. Hogyan szól a Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel? Válasz: bármely korlátos z = (z n ) : N K sorozatnak van konvergens részsorozata. 5

61. Sorozatokkal kapcsolatban milyen állítást ismer majoráns kritérium néven? Válasz: tegyük fel, hogy az (x n ), (y n ) : N K sorozatokra teljesülnek az alábbiak: (y n ) nullasorozat és x n y n (m.m. n N). Ekkor (x n ) is nullasorozat. 62. Mit tud mondani korlátos sorozat és nullasorozat szorzatáról? Válasz: bármely (x n ) nullasorozat és tetszőleges (y n ) : N K korlátos sorozat esetén (x n y n ) is nullasorozat. 63. Mit tud mondani nullasorozatok lineáris kombinációjáról? Válasz: tetszőleges (x n ), (y n ) nullasorozatok és c K esetén (x n + cy n ) is nullasorozat. 64. Milyen állítást ismer konvergens sorozatok lineáris kombinációjáról? Válasz: tetszőleges (x n ), (y n ) : N K konvergens sorozatok és c K esetén (x n + cy n ) is konvergens és lim(x n + cy n ) = lim(x n ) + c lim(y n ). 65. Milyen állítást ismer konvergens sorozatok szorzatáról? Válasz: tetszőleges (x n ), (y n ) : N K konvergens sorozatok esetén (x n y n ) is konvergens és lim(x n y n ) = lim(x n ) lim(y n ). 66. Milyen állítást ismer konvergens sorozatok hányadosáról? Válasz: tegyük fel, hogy (x n ), (y n ) : N K konvergens sorozatok és y n 0 lim(y n ) 0. Ekkor (x n /y n ) is konvergens és lim(x n /y n ) = lim(x n )/ lim(y n ). 67. Mi a kapcsolat sorozatok konvergenciája, ill. határértéke és a kisebb-nagyobb reláció között? Válasz: tegyük fel, hogy az (x n ), (y n ) : N R sorozatok konvergensek. Ekkor: i) ha x n y n (m.m. n N), akkor lim(x n ) lim(y n ); ii) ha lim(x n ) < lim(y n ), akkor x n < y n (m.m. n N). 68. Hogyan szól sorozatokkal kapcsolatban az ún. közrefogási elv? (n N), Válasz: az (x n ), (y n ), (z n ) : N R sorozatokról tegyük fel, hogy x n y n z n (m.m. n N), az (x n ), (z n ) sorozatok konvergensek és lim(x n ) = lim(z n ). Ekkor az (y n ) sorozat is konvergens és lim(y n ) = lim(x n ). 69. Mikor nevez egy sorozatot Cauchy-sorozatnak? Válasz: az (y n ) : N K sorozat Cauchy-sorozat, ha tetszőleges ε > 0 esetén létezik olyan N N küszöbindex, amellyel y n y m < ε (n, m N, n, m > N). 70. Mi a kapcsolat a konvergens sorozatok és a Cauchy-sorozatok között? Válasz: az (y n ) : N K sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. 71. Mit jelent az, hogy egy valós számsorozatnak + a határértéke? Válasz: tekintsünk egy (x n ) : N R valós sorozatot. Azt mondjuk, hogy az (x n ) sorozatnak + a határértéke, ha tetszőleges p R valós számhoz létezik olyan N N küszöbindex, hogy x n > p (n N, n > N). 72. Mit jelent az, hogy egy valós számsorozatnak a határértéke? Válasz: azt mondjuk, hogy az (y n ) : N R sorozatnak a határértéke, ha bármely q R esetén van olyan N N, amellyel y n < q (n N, n > N). 73. Mikor mondja, hogy a (z n ) : N R sorozatnak van határértéke? Válasz: azt mondjuk, hogy a (z n ) : N R sorozatnak van határértéke, ha (z n ) konvergens, vagy létezik a lim(z n ) = + (vagy ) határérték. 74. Milyen tételt ismer monoton sorozatok határérékéről? Válasz: bármely monoton x = (x n ) : N R sorozatnak van határértéke. Ha (x n ) monoton növő, akkor lim(x n ) = sup R x, ha monoton fogyó, akkor lim(x n ) = inf R x. 6

75. Milyen állítást tud mondani (kibővített értelemben) határértékkel bíró sorozatok összegéről? Válasz: tegyük fel, hogy az (x n ), (y n ) : N R sorozatok mindegyikének van határértéke, legyen α := lim(x n ), β := lim(y n ), ahol az α + β R összeg értelmezve van. Ekkor az (x n + y n ) összeg-sorozatnak is van határértéke és lim(x n + y n ) = α + β. 76. Milyen állítást tud mondani (kibővített értelemben) határértékkel bíró sorozatok szorzatáról? Válasz: tegyük fel, hogy az (x n ), (y n ) : N R sorozatok mindegyikének van határértéke, legyen α := lim(x n ), β := lim(y n ), ahol az αβ R szorzat értelmezve van. Ekkor az (x n y n ) szorzatsorozatnak is van határértéke és lim(x n y n ) = αβ. 77. Milyen állítást tud mondani (kibővített értelemben) határértékkel bíró sorozatok hányadosáról? Válasz: tegyük fel, hogy az (x n ), (y n ) : N R sorozatok mindegyikének van határértéke, legyen α := lim(x n ), β := lim(y n ), ahol y n 0 (n N) és az α/β R hányados értelmezve van. Ekkor az (x n /y n ) hányados-sorozatnak is van határértéke és lim(x n /y n ) = α/β. 78. Mondjon példát olyan (x n ), (y n ) számsorozatokra, amelyeknek van határértéke, létezik az (x n /y n ) hányados-sorozat, de az (x n /y n ) sorozatnak nem létezik a határértéke! Válasz: legyen x n := 1/(n + 1), y n := ( 1) n /(n + 1) (n N). Ekkor a most definiált sorozatok nullasorozatok. Ugyanakkor x n /y n = ( 1) n (n N) miatt az (x n /y n ) sorozatnak nincs határértéke. 79. Mondjon példát olyan (x n ), (y n ) számsorozatokra, amelyekre léteznek a lim(x n ), lim(y n ) határértékek, x n < y n (m.m. n N), de nem igaz, hogy lim(x n ) < lim(y n ). Válasz: legyen x n := 1/(n + 1) 2, y n := 1/(n + 1) (n N). Ekkor lim(x n ) = lim(y n ) = 0, de x 0 = y 0, x n < y n (1 n N). 80. Mi a kapcsolat a konvergencia és a határérték szempontjából az (x n ), ( x n ) : N K sorozatok között? Válasz: ha az (x n ) : N K sorozat konvergens és α := lim(x n ), akkor az ( x n ) sorozat is konvergens és lim( x n ) = α. Ugyanakkor az x n := ( 1) n (n N) sorozatra (x n ) divergens, ( x n ) = (1) konvergens. 81. Tegyük fel, hogy az (x n ) : N R sorozat konvergens, α := lim(x n ) és a c R számmal x n c (m.m. n N). Mit tud mondani az α és a c viszonyáról? Válasz: ekkor α c. 82. Tegyük fel, hogy az (x n ) : N R sorozat konvergens, α := lim(x n ) és a c R számmal α < c. Mit tud mondani a c és az x n (n N) tagok viszonyáról? Válasz: ekkor x n < c (m.m. n N). 83. Mondjon példát olyan (x n ), (y n ) : N R sorozatokra, amelyekre lim(x n ) = lim(y n ) = 0 és lim(x n /y n ) = 0! Válasz: pl. x n := 1/n 2, y n := 1/n (1 n N), ekkor lim(x n ) = lim(y n ) = 0 és lim(x n /y n ) = lim(1/n) = 0. 84. Mondjon példát olyan (x n ), (y n ) : N R sorozatokra, amelyekre lim(x n ) = lim(y n ) = 0 és lim(x n /y n ) = +! Válasz: pl. x n := 1/n, y n := 1/n 2 (1 n N), ekkor lim(x n ) = lim(y n ) = 0 és lim(x n /y n ) = lim(n) = +. 85. Mondjon példát olyan (x n ), (y n ) : N R sorozatokra, amelyekre lim(x n ) = lim(y n ) = + és lim(x n /y n ) = 0! Válasz: pl. x n := n, y n := n 2 (1 n N), ekkor lim(x n ) = lim(y n ) = + és lim(x n /y n ) = lim(1/n) = 0. 7

86 Mondjon példát olyan (x n ), (y n ) : N R sorozatokra, amelyekre lim(x n ) = lim(y n ) = +, de az (x n /y n ) sorozatnak nincs határértéke! Válasz: pl. x n := n 2, ha n páros és x n := n, ha n páratlan, y n := n 2 (1 n N), ekkor lim(x n ) = lim(y n ) = +, de x n y n = 1 (n páros) (1 n N) 1 n (n páratlan) miatt lim(x 2n /y 2n ) = 1, lim(x 2n+1 /y 2n+1 ) = 0, ezért az (x n /y n ) sorozatnak nincs határértéke. 87. Mondjon példát olyan (x n ), (y n ) : N R sorozatokra, amelyekre lim(x n ) = lim(y n ) = + és lim(x n y n ) = +! Válasz: pl. x n := n 2, y n := n (n N), ekkor lim(x n ) = lim(y n ) = + és lim(x n y n ) = lim ( n(n 1) ) = +. 88. Mondjon példát olyan (x n ), (y n ) : N R sorozatokra, amelyekre lim(x n ) = lim(y n ) = + és lim(x n y n ) = 0! Válasz: pl. x n := n + 2, y n := n (n N), ekkor lim(x n ) = lim(y n ) = + és lim(x n y n ) = lim ( n + 2 n ) ( ) 2 = lim = 0. n + 2 + n 89. Legyen q K. Mit tud mondani a (q n ) sorozatról konvergencia, ill. határérték szempontjából? Válasz: legyen q K. Ekkor q < 1 esetén a (q n ) sorozat konvergens és lim(q n ) = 0. Ha q > 1, akkor a (q n ) sorozat divergens és lim( q n ) = +. A q = 1 esetben a (q n ) sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha q = 1 és ekkor lim(q n ) = lim(1) = 1. A q R, q > 1 esetben lim(q n ) = +, míg q R, q < 1 esetén nincs határértéke a (q n ) sorozatnak. 90. Milyen állítást ismer monotonitás és korlátosság szempontjából az x n := (1 + 1/n) n (0 < n N) sorozatról? Válasz: az x n := (1 + 1/n) n (0 < n N) sorozat szigorúan monoton növő és felülről korlátos. 91. Hogyan szól az m a (2 m N, a > 0) létezésével kapcsolatban tanult tétel? Válasz: legyen 2 m N, a > 0 és tekintsük azt az (x n ) számsorozatot, amelyre x 0 := a, x n := 1 m ( ) (m 1)x n 1 + a xn 1 m 1 (0 < n N). Ekkor az (x n ) sorozat konvergens, γ := lim(x n ) > 0 és γ m = a. 92. Milyen konvergencia-tételt tanult az ( n a ) (a > 0) sorozatról? Válasz: bármely 0 < a R esetén az ( n a ) sorozat konverges és lim ( n a ) = 1. 93. Milyen konvergencia-tételt tanult az ( n n ) sorozatról? Válasz: az ( n n ) sorozat konverges és lim ( n n ) = 1. 8

94. Legyen P és Q egy-egy polinom, ahol Q legalább elsőfokú. Mit tud mondani határérték szempontjából a ( P(n)/Q(n) ) sorozatról? Válasz: legyen valamely 0 < N, M N esetén adott az N-ed fokú P polinom és az M-ed fokú Q polinom, ill. tekintsük az x n := P(n) (n N \ N Q ) Q(n) sorozatot, ahol N Q jelöli a Q polinom gyökeinek a halmazát. Ha N M P(x) = a k x k, Q(x) = b j x j j=0 (x K), akkor 1 o N = M esetén az (x n ) sorozat konvergens és lim(x n ) = a N bn ; 2 o N < M esetén az (x n ) sorozat konvergens és lim(x n ) = 0. 95. Hogyan definiálja az e számot? ( Válasz: e := lim 1 + n) 1 n. 96. Hogyan definiál egy végtelen sort? Válasz: legyen adott az (x n ) : N K számsorozat és jelöljük (x n )-nel azt az (S n ) sorozatot, amelyre S n := n x k (n N). A (x n ) sorozatot az (x n ) sorozat által meghatározott végtelen sornak nevezzük. 97. Mit ért végtelen sor összegén? Válasz: bármely (x n ) : N K számsorozat esetén az általa generált (x n ) végtelen sor is egy számsorozat. Ha ez a végtelen sor (számsorozat) konvergens, akkor n=0 x n := lim (x n ) a (xn ) végtelen sor összege. 98. Mondjon szükséges feltételt arra nézve, hogy a (x n ) végtelen sor konvergens legyen! Válasz: tegyük fel, hogy a (x n ) végtelen sor konvergens. Ekkor (x n ) nullasorozat, azaz konvergens és lim(x n ) = 0. 99. Igaz-e az, hogy ha lim(x n ) = 0, akkor a (x n ) végtelen sor konvergens? (A válaszát indokolja meg!) Válasz: nem igaz, ui. lim(1/n) = 0, de a (1/n) harmonikus sor divergens. 100. Hogyan szól a Cauchy-kritérium végtelen sorokra? Válasz: a (x n ) végtelen sor akkor és csak akkor konvergens, ha tetszőleges ε > 0 esetén létezik olyan N N, hogy m x k < ε (n, m N, m > n > N). k=n+1 101. Milyen állítást ismer a harmonikus sor és a szuperharmonikus sor konvergenciájával kapcsolatban? Válasz: a (1/n) harmonikus sor divergens, a (1/n 2 ) szuperharmonikus sor konvergens. 102. Mikor nevez egy végtelen számsort abszolút konvergensnek? Válasz: legyen (x n ) : N K, ekkor a (x n ) végtelen sort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a ( x n ) végtelen sor konvergens. 9

103. Hogyan szól végtelen sorokkal kapcsolatban az összehasonlító kritérium? Válasz: tegyük fel, hogy az (x n ) : N K, (y n ) : N K sorozatokra az alábbiak teljesülnek: x n y n (m.m. n N). Ekkor: i) ha a (y n ) végtelen sor abszolút konvergens, akkor a (x n ) sor is abszolút konvergens; ii) ha a (x n ) végtelen sor nem abszolút konvergens, akkor a (y n ) sor sem abszolút konvergens. 104. Melyik végtelen sor összegeként állítottuk elő az e-t? Válasz: a ( ) 1 1 sor konvergens és n! n! = e. n=0 105. Mikor nevez két végtelen (szám)sort ekvikonvergensnek? Válasz: tegyük fel, hogy az (x n ), (y n ) : N K sorozatok tagjai majdnem mindenütt megegyeznek: x n = y n (m.m. n N). Ekkor a (x n ), (y n ) végtelen sorok ekvikonvergensek, azaz a (x n ) végtelen sor akkor és csak akkor konvergens, ha a (y n ) végtelen sor konvergens. 106. Írja le a Cauchy-féle gyök-kritériumot! ( n Válasz: tegyük fel, hogy az (x n ) : N K sorozatra létezik a δ := lim xn ) Ekkor: 1 o ha δ < 1, akkor a (x n ) végtelen sor abszolút konvergens; 2 o ha δ > 1, akkor a (x n ) végtelen sor divergens. határérték. 107. Írja le a D Alembert-féle hányados-kritériumot! Válasz: tegyük fel, hogy az (x n ) : N K\{0} sorozatra létezik a γ := lim Ekkor: ( ) xn+1 határérték. x n 1 o ha γ < 1, akkor a (x n ) végtelen sor abszolút konvergens; 2 o ha γ > 1, akkor a (x n ) végtelen sor divergens. 108. Milyen állítást tanult váltakozó előjelű sorokkal kapcsolatban? Válasz: tegyük fel, hogy 0 x n+1 x n (n N). Ekkor a ( ) ( 1) n x n Leibniz-sor konvergenciájának a szükséges és elégséges feltétele az, hogy az (x n ) sorozat nullasorozat legyen, azaz lim(x n ) = 0. 109. Hogyan értelmezi egy végtelen sor zárójelelezését? Válasz: tekintsük az (x n ) : N K sorozatot, ill. az általa generált (x n ) végtelen sort. Legyen adott az m = (m n ) indexsorozat és tegyük fel, hogy m 0 = 0. Ekkor a σ n := m n+1 1 k=m n x k (n N) összegekkel definiált (σ n ) végtelen sort a (x n ) sor (m által meghatározott) zárójelezésének nevezzük. 110. Tegyük fel, hogy a (x n ) végtelen sor konvergens. Mit tud mondani a szóban forgó sor (σ n ) zárójelezéseinek a konvergenciájáról? Válasz: ha a (x n ) végtelen sor konvergens, akkor bármely (σ n ) zárójelezett sora is konvergens és x k = n=0 σ n. 10

111. Tegyük fel, hogy a (x n ) végtelen sor esetén valamely (σ n ) zárójelezett sor konvergens. Milyen feltételek mellett konvergens a (x n ) végtelen sor? Válasz: tegyük fel, hogy a (x n ) végtelen sorra és az (m n ) indexsorozatra teljesülnek a következő feltételek: 1 o lim(x n ) = 0; 2 o m 0 = 0 és sup{m n+1 m n R : n N} < + ; 3 o a (σ n ) = ( ) mn+1 1 k=m n x k zárójelezett sor konvergens. Ekkor a (x n ) végtelen sor is konvergens. 112. Hogyan értelmezi egy végtelen sor átrendezését? Válasz: legyen p : N N egy bijekció, (xn ) pedig egy végtelen sor. Ekkor a (x p(n) ) végtelen sort a (x n ) sor (p-által meghatározott) átrendezésének nevezzük. 113. Milyen tételt ismer abszolút konvergens sorok átrendezéseit illetően? Válasz: tegyük fel, hogy (x n ) : N K és a (x n ) végtelen sor abszolút konvergens. Ekkor bármely (x p(n) ) átrendezése is abszolút konvergens és n=0 x p(n) = n=0 x n. 114. Mikor nevez egy végtelen (szám)sort feltételesen konvergensnek, és milyen tételt ismer ilyen sorok átrendezéseivel kapcsolatban? Válasz: tegyük fel, hogy az (x n ) : N R (valós) sorozat által generált (x n ) végtelen sor konvergens, de nem abszolút konvergens (röviden: feltételesen konvergens). Ekkor 1 o van olyan (x p(n) ) átrendezés, amelyiknek nincs határértéke; 2 o tetszőleges α R esetén megadható olyan (x p(n) ) átrendezés, amelynek van határértéke és a (x p(n) ) sor összege α-val egyenlő. 115. Hogyan értelmezi végtelen (szám)sorok téglányszorzatát? Válasz: az (x n ), (y n ) : N K sorozatok esetén legyen n n 1 z 0 := x 0 y 0, z n := x n y j + y n j=0 x k (1 n N). Ekkor a (z n ) sort a (x n ), (y n ) sorok téglányszorzatának nevezzük. 116. Milyen tételt ismer végtelen (szám)sorok téglányszorzatának a konvergenciáját illetően? Válasz: tegyük fel, hogy a (x n ), (y n ) végtelen sorok konvergensek. Ekkor a (z n ) téglányszorzatuk is konvergens és n=0 z n = n=0 x n n=0 y n. Ha (x n ), (y n ) abszolút konvergensek, akkor (z n ) is abszolút konvergens. 117. Definiálja végtelen (szám)sorok oszlopszorzatát és sorszorzatát! Válasz: tételezzük fel, hogy a (x n ), (y n ) (szám)sorok konvergensek és legyen t n := x n y k, T n := y n x k (n N). Ekkor a (t n ) végtelen sort a (x n ), (y n ) sorok oszlopszorzatának, a (T n ) sort pedig a (xn ), (y n ) sorszorzatának nevezzük. 118. Milyen tételt ismer végtelen (szám)sorok oszlop(és sor)szorzatának a konvergenciáját illetően? Válasz: tegyük fel, hogy a (x n ), (y n ) végtelen sorok konvergensek. Ekkor a (t n ), (Tn ) oszlop-ill. sorszorzatuk is konvergens és n=0 t n = n=0 T n = n=0 x n n=0 y n. Ha (xn ), (y n ) abszolút konvergensek, akkor (t n ) és (T n ) is abszolút konvergens. 11

119. Definiálja végtelen (szám)sorok Cauchy-szorzatát! Válasz: legyen valamely (x n ) számsor esetén c n := n j=0 x jy n j (n N). Ekkor a (c n ) sort a (x n ), (y n ) sorok Cauchy-szorzatának nevezzük. 120. Írja le a Mertens-tételt! Válasz: tegyük fel, hogy a (x n ), (y n ) sorok konvergensek és legalább az egyikük abszolút konvergens. Ekkor a (c n ) Cauchy-szorzatuk is konvergens és n=0 c n = n=0 x n n=0 y n. Ha (x n ) is és (y n ) is abszolút konvergens, akkor (c n ) is abszolút konvergens. 121. Milyen állítást tanult valós számok p-adikus tört-alakjával kapcsolatban? Válasz: tetszőleges 2 p N és α [0, 1] számhoz van olyan (x n ) : N {0,..., p 1} sorozat, x n amellyel α = p n+1. n=0 122. Mit jelent az, hogy a Cauchy-féle gyök-kritérium bizonyos esetekben nem alkalmazható? Illusztrálja példákkal mindezt! Válasz: tegyük fel, hogy valamely (x n ) : N K sorozat esetén létezik a lim ( n x n ) = 1 határérték. Ekkor a (x n ) sor lehet konvergens is meg divergens is. Pl. legyen x n := 1 n, y n := 1 n 2, z n := ( 1)n n (1 n N). Ekkor lim ( n x n ) = lim ( n y n ) = lim ( n z n ) = 1, ugyanakkor a (x n ) sor divergens, a (yn ) sor abszolút konvergens, a (z n ) sor konvergens, de nem abszolút konvergens. 123. Mit jelent az, hogy a D Alembert-féle hányados-kritérium bizonyos esetekben nem alkalmazható? Illusztrálja példákkal mindezt! Válasz: tegyük fel, hogy valamely (x n ) : N K \ {0} sorozatra létezik a lim ( x n+1 / x n ) = 1 határérték. Ekkor a (x n ) sor lehet konvergens is meg divergens is. Pl. legyen x n := 1 n, y n := 1 n 2, z n := ( 1)n n (1 n N). Ekkor lim ( x n+1 / x n ) = lim ( y n+1 / y n ) = lim ( z n+1 / z n ) = 1, ugyanakkor a (x n ) sor divergens, a (y n ) sor abszolút konvergens, a (z n ) sor konvergens, de nem abszolút konvergens. 124. Mondjon példát olyan végtelen sorra, amelyik konvergens, de nem abszolút konvergens! Válasz: pl. a ( ( 1) n /n ) sor konvergens, de nem abszolút konvergens. 125. Legyen 2 p N. Mondjon olyan α [0, 1) számot, amelyre alkalmas, egymástól különböző (x n ), (y n ) : N {0,..., p 1} sorozatokkal α = x k p k+1 = y k p k+1! Válasz: legyen pl. α := 1 p és x 0 := 1, x n := 0 (1 n N), továbbá y 0 := 0, y n := p 1 (1 n N). Ekkor y k p k+1 = k=1 p 1 p k+1 = p 1 p 2 1 1 1/p = 1 p = x k p k+1. 12

126. Mit ért függvénysorozaton és függvénysoron? Válasz: nevezzünk egy (f n ) sorozatot függvénysorozatnak, ha minden n N esetén f n függvény és valamilyen D = halmazzal D fn = D (n N). Ha a szóban forgó (f n ) függvénysorozatra R fn K (n N) is igaz akkor az (f n ) függvénysorozat által meghatározott (f n ) függvénysor a következő függvénysorozat: (f n ) := ( n f k). 127. Mi a hatványsor definíciója? Válasz: legyen adott az a K középpont és az (a n ) : N K együttható-sorozat, továbbá ezek segítségével tekintsük az alábbi függvényeket: f n (t) := a n (t a) n (t D := K, n N). Ekkor a (fn ) függvénysort (a középpontú, (a n ) együtthatós) hatványsornak nevezzük. 128. Hogyan szól a hatványsorok konvergencia-sugarát meghatározó tétel? 129. Válasz: bármely a, a n K (n N) esetén megadható olyan 0 r R, hogy 1 o ha r > 0, akkor minden x K, x a < r helyen a ( a n (t a) n) hatványsor az x helyen abszolút konvergens; 2 o ha r < +, akkor tetszőleges x K, x a > r mellett a ( a n (t a) n) hatványsor az x helyen divergens. Írja le a Cauchy-Hadamard-tételt! Válasz: tegyük fel, hogy az (a n ) : N K sorozat esetén létezik a lim ( n a n ) határérték és legyen ( + lim ( n a n ) ) = 0 r := 1 lim ( ( n a n ) lim ( n a n ) ) > 0. Ekkor bármely a K mellett a ( a n (t a) n) hatványsorról a következőket mondhatjuk: 1 o ha r > 0, akkor minden x K, x a < r helyen a ( a n (t a) n) hatványsor az x helyen abszolút konvergens; 2 o ha r < +, akkor tetszőleges x K, x a > r mellett a ( a n (t a) n) hatványsor az x helyen divergens. 130. Definiája hatványsor összegfüggvényét! Válasz: tegyük fel, hogy a ( a n (t a) n) hatványsor r konvergencia-sugara pozitív: r > 0. Ekkor az f(x) := a n (x a) n (x K, x a < r) n=0 függvényt a szóban forgó hatványsor összegfüggvényének nevezzük. 131. Milyen állítást ismer a hatványsorok középpontjának az eltolására vonatkozóan? Válasz: tekintsük a ( a n (t a) n) hatványsort, legyen r a konvergencia-sugara és tegyük fel, hogy r > 0. Ekkor bármely b K r (a) esetén léteznek a b k := n=k sorösszegek és tetszőleges 0 < ρ < r b a mellett n=0 ( ) n a n (b a) n k (k N) k a n (x a) n = b k (x b) k ( x Kρ (b) ). 13

132. Tegyük fel, hogy a ( a n (t a) n) hatványsor r konvergencia-sugara egy pozitív szám. Illusztrálja példákkal, hogy az x K, x = r helyeken a szóban forgó hatványsor lehet abszolút konvergens, feltételesen konvergens, divergens! Válasz: tekintsük az alábbi példákat: a n1 := 1, a n2 := 1 n + 1, a n3 := 1 (n + 1) 2 (n N), ill. legyen a (i) := 0 (i = 1, 2, 3). Ekkor a ( a ni (t a (i) ) n) hatványsorok r i konvergenciasugarára r i = 1 (i = 1, 2, 3). Ha x K, x = 1, akkor ( x n /(n + 1) 2) abszolút konvergens, a ( t n /(n + 1) ) hatványsor t = 1-ben divergens, a t = ( 1)-ben konvergens, de nem abszolút konvergens, ill. a ( t n) hatványsor egyetlen x K, x = 1 esetén sem konvergens az x helyen. 133. Fogalmazza meg környezetekkel, hogy valamely A K halmaznak az α K torlódási pontja! Válasz: legyen A K, ekkor az α K torlódási pontja az A halmaznak, ha bármely K(α) környezetre ( K(α) \ {α} ) A. 134. Egyenlőtlenségekkel megfogalmazva mit jelent az, hogy valamely A K halmaznak az α K szám torlódási pontja? Válasz: legyen A K, ekkor az α K szám torlódási pontja az A halmaznak, ha tetszőleges ε > 0 esetén van olyan x A, hogy 0 < x α < ε. 135. Mikor mondja (egyenlőtlenségekkel megfogalmazva), hogy valamely A R halmaznak a + torlódási pontja? Válasz: legyen A R, ekkor a + torlódási pontja az A-nak, ha bármely p R esetén van olyan a A, hogy a > p. 136. Egyenlőtlenségekkel megfogalmazva mit jelent az, hogy valamely A R halmaznak a torlódási pontja? Válasz: legyen A R, ekkor a torlódási pontja az A-nak, ha bármely p R esetén van olyan a A, hogy a < p. 137. Mikor mondja, hogy valamely A C halmaznak a torlódási pontja? Válasz: legyen A C, ekkor a torlódási pontja az A C halmaznak, ha tetszőleges r > 0 esetén A {z C : z > r}. 138. Legyen A K, α K. Jellemezze az A K(α) metszetekkel azt a tényt, hogy α A! Válasz: bármely A K halmaz és α K esetén fennáll a következő ekvivalencia: α A akkor és csak akkor igaz, ha az α bármely K(α) környezetére az A K(α) metszet végtelen halmaz. 139. Legyen A K, α K. Jellemezze sorozatokkal azt a tényt, hogy α A! Válasz: legyen A K és α K. Az α akkor és csak akkor torlódási pontja A-nak, ha van olyan (x n ) : N A \ {α} sorozat, amelynek létezik határértéke és lim(x n ) = α. 140. Mikor nevez egy A K halmazt kompaktnak? Válasz: az A K halmazt kompakt, ha bármely (x n ) : N A sorozatnak van olyan ( x νn ) részsorozata, amely konvergens és lim ( x νn ) A. 141. Mikor mondja, hogy egy f K 1 K 2 függvénynek valamely a K 1 helyen van határértéke? Válasz: legyen f K 1 K 2 és a D f. Ekkor azt mondjuk, hogy az f függvénynek az a helyen van határértéke, ha létezik olyan A K 2, amelyre tetszőleges K(A) K 2 környezetet is véve megadható az a-nak egy alkalmas k(a) K 1 környezete, amellyel f [( k(a) \ {a} ) ] D f K(A) teljesül. 14

142. Hogyan értelmezi egy f K 1 K 2 függvénynek az a D f helyen vett határértékét? Válasz: tegyük fel, hogy az f K 1 K 2 függvénynek az a D f helyen van határértéke. Ekkor egyértelműen létezik olyan A K 2, amelyre bármely K(A) K 2 környezethez van olyan k(a) K 1 környezet, hogy f(x) K(A) (a x k(a) D f ). Ezt az egyértelműen létező A K 2 számot, vagy valamelyik végtelent az f függvény a helyen vett határértékének nevezzük. 143. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a végesben vett véges határérték definícióját! Válasz: legyen f K K, a D f K, A K. Ekkor: lim a f = A ε > 0 δ > 0 x D f, 0 < x a < δ : f(x) A < ε. 144. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a végesben vett plusz végtelen határérték definícióját! Válasz: legyen f K R, a D f K. Ekkor: lim a f = + p R δ > 0 x D f, 0 < x a < δ : f(x) > p. 145. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a végesben vett mínusz végtelen határérték definícióját! Válasz: legyen f K R, a D f K. Ekkor: lim a f = p R δ > 0 x D f, 0 < x a < δ : f(x) < p. 146. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a plusz végtelenben vett véges határérték definícióját! Válasz: legyen f R K, + D f, A K. Ekkor: lim + f = A ε > 0 p R x D f, x > p : f(x) A < ε. 147. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a mínusz végtelenben vett véges határérték definícióját! Válasz: legyen f R K, D f, A K. Ekkor: lim f = A ε > 0 p R x D f, x < p : f(x) A < ε. 148. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a plusz végtelenben vett plusz végtelen határérték definícióját! Válasz: legyen f R R, + D f. Ekkor: lim + f = + p R q R x D f, x > q : f(x) > p. 149. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a plusz végtelenben vett mínusz végtelen határérték definícióját! Válasz: legyen f R R, + D f. Ekkor: lim + f = p R q R x D f, x > q : f(x) < p. 150. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a mínusz végtelenben vett plusz végtelen határérték definícióját! Válasz: legyen f R R, D f. Ekkor: lim f = + p R q R x D f, x < q : f(x) > p. 151. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a mínusz végtelenben vett mínusz végtelen határérték definícióját! 152. Válasz: legyen f R R, D f. Ekkor: lim f = p R q R x D f, x < q : f(x) < p. Írja le a határértékre vonatkozó átviteli elvet! Válasz: bármely f K 1 K 2 függvény és a D f esetén az f-nek az a helyen akkor és csak akkor létezik határértéke, ha tetszőleges (x n ) : N D f \ {a}, lim(x n ) = a sorozatra az ( f(x n ) ) sorozatnak van határértéke. Ha létezik az A := lim a f határérték, akkor az előbbiekben említett minden (x n ) sorozatra lim ( f(x n ) ) = A. 153. Milyen tételt ismer függvények összegének a határértékére vonatkozóan? Válasz: tegyük fel, hogy f, g K 1 K 2, az a D f D g torlódási pontban léteznek az A := lim a f, B := lim a g határértékek, a ( ) D f D g és létezik az A + B K 2 összeg. Ekkor az f + g összegfüggvénynek az a helyen van határértéke és lim a (f + g) = A + B. 15

154. Milyen tételt ismer függvények szorzatának a határértékére vonatkozóan? Válasz: tegyük fel, hogy f, g K 1 K 2, az a D f D g torlódási pontban léteznek az A := lim a f, B := lim a g határértékek, a ( ) D f D g és létezik az AB K 2 szorzat. Ekkor az fg szorzatfüggvénynek az a helyen van határértéke és lim a (fg) = AB. 155. Milyen tételt ismer függvények hányadosának a határértékére vonatkozóan? Válasz: tegyük fel, hogy f, g K 1 K 2, az a D f D g torlódási pontban léteznek az A := lim a f, B := lim a g határértékek, a ( D f {x D g : g(x) 0} ) és létezik az A/B K 2 hányados. Ekkor az f/g hányadosfüggvénynek az a helyen van határértéke és lim a (f/g) = A/B. 156. Milyen tételt ismer hatványsor összegfüggvényének a határértékéről? Válasz: tegyük fel, hogy a ( a n (t a) n) hatványsor r konvergencia-sugara nem nulla és legyen f(x) := n=0 a ( n(x a) n x Kr (a) ). Ekkor bármely b K r (a) esetén létezik a lim b f határérték és lim b f = f(b) = n=0 a n(b a) n. 157. Mit jelent az, hogy egy f K 1 K 2 függvénynek valamely a D f helyen nincs határértéke? Válasz: a határérték definíciója alapján azt, hogy bármely A K 2 esetén egy alkalmas K(A) K 2 környezettel akármilyen k(a) K 1 mellett valamilyen x ( k(a) \ {a} ) D f helyen f(x) / K(A). 158. Mit jelent egyenlőtlenségekkel megfogalmazva az, hogy egy f K 1 K 2 függvénynek valamely véges a D f K 1 helyen nincs véges határértéke? Válasz: a határérték definíciója alapján azt, hogy bármely A K 2 esetén egy alkalmas ε > 0 számmal tetszőleges δ > 0 mellett egy x D f, 0 < x a < δ helyen f(x) A ε. 159. Mikor nevez egy függvényt valamely pontban folytonosnak? Válasz: azt mondjuk, hogy az f K 1 K 2 függvény az a D f pontban folytonos, ha minden ε > 0 számhoz megadható olyan δ > 0 szám, amellyel bármely x D f, x a < δ esetén f(x) f(a) < ε. 160. Mi a kapcsolat a pontbeli folytonosság és határérték között? Válasz: legyen f K 1 K 2 és a D f D f. Ekkor f C{a} azzal ekvivalens, hogy f-nek az a-ban létezik a határértéke és lim a f = f(a). 161. Milyen tételt tanult a pontbeli folytonosság és a (függvények közötti) összeadás, szorzás, osztás közötti kapcsolatot illetően? Válasz: tegyük fel, hogy f, g C{a}. Ekkor f + g, fg C{a} és ha g(a) 0, akkor f/g C{a}. 162. Hogyan szól a pontbeli folytonosságra vonatkozó átviteli elv? Válasz: legyen f K 1 K 2, a D f. Ekkor f C{a} azzal ekvivalens, hogy tetszőleges (x n ) : N D f, lim(x n ) = a sorozatra lim ( f(x n ) ) = f(a). 163. Mit tud mondani az összetett függvény pontbeli folytonosságáról? 164. Válasz: tegyük fel, hogy f, g K 1 K 2, g C{a} és f C{g(a)}. Ekkor f g C{a}. Írja le a Bolzano-tételt! Válasz: tegyük fel, hogy valamely < a < b < + esetén az f : [a, b] R függvény folytonos és f(a) f(b) < 0. Ekkor van olyan ξ (a, b), amelyre f(ξ) = 0. 165. Mit jelent az, hogy egy függvény Darboux-tulajdonságú? Válasz: legyen I R intervallum, h : I R. Azt mondjuk, hogy a h függvény Darbouxtulajdonságú, ha tetszőleges a, b I, a < b, h(a) h(b) esetén a h(a), h(b) végpontú intervallum minden y eleméhez van olyan ξ [a, b], hogy h(ξ) = y. 16

166. Mi a kapcsolat a Darboux-tulajdonság és a folytonosság között? Válasz: bármely I R intervallumon értelmezett h : I R folytonos függvény Darboux-tulajdonságú. 167. Mit tud mondani intervallumon értelmezett folytonos valós függvény értékkészletéről? Válasz: tegyük fel, hogy az f R R folytonos függvény értelmezési tartománya intervallum. Ekkor az értékkészlete vagy egy elemű halmaz, vagy intervallum. 168. Milyen tételt ismer kompakt halmazon folytonos függvény értékkészletéről? Válasz: ha az f K 1 K 2 függvény folytonos, és a D f értelmezési tartomány kompakt, akkor az R f értékészlet is kompakt. 169. Hogyan szól a Weierstrass-tétel? Válasz: tegyük fel, hogy az f K R függvény folytonos és D f kompakt. Ekkor az R f értékkészletnek van legnagyobb és legkisebb eleme. 170. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak? 171. Válasz: az f K 1 K 2 függvény egyenletesen folytonos, ha bármely ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy f(x) f(t) < ε (x, t D f, x t < δ). Írja le a Heine-tételt! Válasz: ha az f K 1 K 2 függvény folytonos és D f kompakt, akkor f egyenletesen folytonos. 172. Mit tud mondani az inverzfüggvény folytonosságáról? Válasz: legyen az f K 1 K 2 függvény folytonos, invertálható és az értelmezési tartománya kompakt. Ekkor az f 1 inverzfüggvény is folytonos. 173. Mit tud mondani inverzfüggvény folytonosságáról az intervallumok segítségével? Válasz: tegyük fel, hogy az invertálható f R R függvény folytonos és az értelmezési tartománya intervallum. Ekkor az f 1 inverzfüggvény is folytonos. n 1 174. Mivel egyenlő a δ n := e (0 < n N) különbség? k! Válasz: bármely 0 < n N esetén van olyan θ n (0, 1), amellyel δ n = θ n n n!. 175. Definiálja az exponenciális-, a szinusz- és a koszinuszfüggvényt! Válasz: legyen expx := exp(x) := e x := az exp : K K exponenciálisfüggvény, n=0 x n n! (x K) sin x := sin(x) := ( 1) n x2n+1 (2n + 1)! n=0 (x K) a sin : K K szinuszfüggvény, cosx := cos(x) := n=0 ( 1) n x2n (2n)! (x K) a cos : K K koszinuszfüggvény. 176. Mit jelent az, hogy az exponenciálisfüggvény multiplikatív? Válasz: exp(x + y) = (expx) (exp y) (x, y K). 177. Hogyan szól az Euler-összefüggés? 17

Válasz: exp(ıx) = e ıx = cosx + ı sinx (x K). 178. Írja le a sin, cos függvényekre vonatkozó összegzési tételeket! Válasz: bármely x, y K esetén sin(x + y) = sin xcosy + cosxsin y, cos(x + y) = cosxcos y sin xsin y. 179. Milyen állítást nevez Pitagoraszi-összefüggésnek a sin, cos függvényekre vonatkozóan? Válasz: bármely x K esetén cos 2 x + sin 2 x = 1. 18