Rozner Bence Pe ter. E rze kenyse gvizsga lat Le vy-fe le kamatla b-modellekben

Eo vo s Lora nd Tudoma nyegyeem Terme szeudoma nyi Kar Rozner Bence Pe er E rze kenyse gvizsga la Le vy-fe le kamala b-modellekben Szakdolgoza - Alkalmazo maemaikus MSc Te mavezeo : Boros Bala zs kuao Falksenen AB, Budapes Johann Radon Insiue, Linz Belso konzulens: Prokaj Vilmos egyeemi docens Valo szı nu se gelme lei e s Saiszika Tansze k Budapes, 216

Köszönenyilváníás Ezúon is köszönöm émavezeőmnek, Boros Balázsnak a dolgoza igen alapos ellenőrzésé, hasznos megjegyzései, valamin a L A TEX használaával kapcsolaos anácsai. Szerenék köszönee mondani Prokaj Vilmosnak, amiér folyamaosan figyelemmel kísére munkáma, öleeivel segíe, illeve felhíva a figyelmeme az eseleges hibákra. 2

Taralomjegyzék 1. Bevezeés 4 2. Malliavin-kalkulus Poisson-ponfolyamara 5 2.1. Poisson-ponfolyama................................ 5 2.2. Inegrálás Poisson-ponfolyama szerin...................... 6 2.3. Káosz felbonás................................... 1 2.4. Deriválás a p-edik Wiener-Iô-káoszon....................... 13 2.5. Skorohod-inegrál.................................. 15 3. Lévy-féle haáridős kamaláb-modell 17 3.1. Pénzügyi alapfogalmak............................... 17 3.2. Idő-inhomogén Lévy-folyamaok.......................... 18 3.3. Szochaszikus differenciálegyenleek megoldásának regulariása........ 19 3.4. A haáridős kamaláb-modell konsrukciója.................... 2 3.5. Érzékenységvizsgála................................ 26 Irodalomjegyzék 3 3

1. fejeze Bevezeés Ha egy bank elad egy pénzügyi erméke az ügyfélnek, akkor igyekszik megszabadulni minden kockázaól, amely az ado ermékből származik, azaz megpróbálja fedezni a pozíciójá. Ehhez öbbnyire dinamikus fedezei sraégia használhaó, amihez szükség van a pénzügyi eszközök piaci paraméerekre való érzékenységé mérő mennyiségek, az ún. Görögök ismereére. Maemaikailag a Görögök a pénzügyi eszközök árá megadó funkcionál parciális deriválja a piaci paraméerek szerin. A származao pénzügyi eszközök árá megadó funkcionál ipikusan egy várhaó érék, amely függ a piaci paraméerekől. A Görögök numerikus módszerekkel való közelíéséből kéféle hiba adódha, egyrész a deriválásból, másrész a várhaó érék közelíéséből adódó ponalanság. Uóbbi kezelésére a [5] cikkben ismeree, Malliavin-kalkuluson alapuló módszer alkalmazhaó. Ebben a dolgozaban egy idő-inhomogén Lévy-folyamaal meghajo haáridős kamalábmodellel foglalkozunk, amelye Erns Eberlein és Fehmi Özkan dolgozak ki a [4] cikkben. Az idő-inhomogén Lévy-folyama leheővé eszi a modell a rugalmas kalibrálhaóságá. A 2. fejezeben bemuajuk a Poisson-ponfolyamara vonakozó Malliavin-kalkulus alapveő fogalmai, és azok néhány kövekezményé. A 3. fejezeben ismerejük a haáridős kamaláb-modell felépíéséhez szükséges alapveő pénzügyi fogalmaka, a modell konsrukciójá és egy gyakran előforduló pénzügyi eszköz, a caple kapcsán felmerülő érzékenységvizsgálai feladao, és annak megoldásá. 4

2. fejeze Malliavin-kalkulus Poisson-ponfolyamara Ebben a fejezeben a Poisson-ponfolyamara vonakozó Malliavin-kalkulus kerül bemuaásra. Először ismerejük a Poisson-ponfolyama definíciójá. Ezuán a Poisson-ponfolyama szerini öbbszörös inegrál definíciója kövekezik, amelye öbb lépésben ismereünk. Kezdeben egyszerűbb valószínűségi válozókra definiáljuk az inegrál, amelye fokozaosan kierjeszünk álalánosabb valószínűségi válozókra. Végül az inegrálás adjungáljá, a Skorohod-inegrál definiáljuk. A fejeze szerkezee, ovábbá az emlíésre kerülő definíciók és éelek megfogalmazása, valamin a bizonyíások Prokaj Vilmos úmuaásai alapján leek felépíve. 2.1. Poisson-ponfolyama Legyen (Ω, F, P) valószínűségi mező. 2.1.1. Téel. Ha (E, B, µ) σ-véges mérékér, akkor az (Ω, F, P) valószínűségi mezőn megadhaó valószínűségi válozók olyan {N(A) A B családja, ami eljesíi a kövekezőke: (i) ha A B véges µ-mérékű, akkor N(A) Poisson-eloszlású, és E (N(A)) = µ(a); (ii) ha A 1,..., A n páronkén diszjunk, véges µ-mérékű halmazok, akkor az N(A 1 ),..., N(A n ) valószínűségi válozók függelenek. (iii) az A N(A) leképezés (A B) egy valószínűséggel σ-véges mérék. Bizonyíás. Legyen {H k k N + az E egy véges µ-mérékű halmazokból álló paríciója. Minden H k halmazhoz vegyünk egy N(H k ) Poisson-eloszlású valószínűségi válozó, melynek várhaó éréke µ(h k ) úgy, hogy az {N(H k ) k N + valószínűségi válozók függelenek legyenek. Ezek uán minden H k halmazból válasszunk ki egymásól, és a öbbi N(H j ) (j N + \{k) 5

válozóól függelenül N(H k ) pono vélelenszerűen a P k (A) = µ(a H k) µ(h k eloszlás szerin, ahol ) A B. Legyen A B véges µ-mérékű. Jelölje N(A) azon ponok számá, amelyek lefedheők A-val. Vegyük észre, hogy így nem kerülünk ellenmondásba az N(H k ) korábbi definíciójával. Az alábbiakban igazoljuk, hogy az {N(A) A B valószínűségi válozók kielégíi a éelben megfogalmazo köveelményeke. Legyen {A 1,..., A n a H k egy paríciója. Ha (Z i ) N(H k) i=1 jelöli a H k -ból a P k eloszlás szerin válaszo ponok sorozaá, akkor az Y i = ( ) 1 {Zi A 1,..., 1 {Zi A n jelöléssel, az N(A 1 ),..., N(A n ) együes eloszlása megegyezik a N(H k ) i=1 Y i vélelen agszámú összeg eloszlásával. Az N(A 1 ),..., N(A n ) valószínűségi válozók együes eloszlásának karakeriszikus függvényére eljesül, hogy { ( n ) n G N(Hk ) (ϕ Y1 ( 1,..., n )) = exp µ(h k ) P k (A j )e i j = exp{µ(a j )(exp{i j 1), j=1 ahol G N(Hk ) jelöli az N(H k ) generáorfüggvényé. Tehá az N(A l ) valószínűségi válozók függelenek, és µ(a l ) várhaó érékű Poisson-eloszlásúak, ahol l = 1,..., n. Ha A 1,..., A n B páronkén diszjunk véges µ-mérékű halmazok, akkor az j=1 {N(A l H k ) l = 1,..., n és k N + válozók eljesen függelenek és Poisson-eloszlásúak a megfelelő paraméerrel, ezér mindhárom ulajdonság megmarad az N(A l ) = k=1 N(A l H k ) összegek képzése uán is. A éelben felsorol ulajdonságokkal rendelkező N = {N(A) A B folyamao Poissonponfolyamanak, a µ méréke a folyama karakeriszikus, vagy inenziás mérékének nevezzük. 2.1.2. Megjegyzés. Legyen E = [, ) és µ(d) = λd, ahol λ >. Ezzel a szereposzással eseén az N = N([, )) függelen és sacionárius növekményű folyama, ovábbá minden s < eseén N N s eloszlása λ( s)-paraméerű Poisson-eloszlás. Az (N ) folyamao λ-inenziású homogén Poisson-folyamanak nevezzük. 2.1.3. Definíció. Ha N Poisson-ponfolyama az (E, B, µ) σ-véges mérékér fele, akkor az Ñ = N µ folyamao kompenzál Poisson-ponfolyamanak nevezzük. 2.2. Inegrálás Poisson-ponfolyama szerin Ebben a fejezeben bevezejük a Poisson-ponfolyama szerini inegrál. Legyen (Ω, F, P) valószínűségi mező, és legyen N Poisson-ponfolyama a T = (E, B, µ) σ-véges mérékér fele. Ekkor Ñ = N µ a kompenzál Poisson-ponfolyama. Tegyük fel, hogy µ aommenes. 6

Vezessük be a kövekező jelöléseke: L 2 (Ω) = L 2 (Ω, F) = {X : Ω R X F-mérheő és E(X 2 ) <, L 2 (E p ) = {f : E p R f Borel-mérheő és E p f 2 ()d <, ahol p N +. Az Ñ kompenzál Poisson-ponfolyama szerini inegrál először az álóka nem mesző, mérheő églák félgyűrűjén definiáljuk, majd az így kapo inegrál operáor fokozaosan kierjeszjük. 2.2.1. Definíció. Páronkén diszjunk A 1,..., A p B véges µ-mérékű halmazok eseén legyen I p (1 A1 A p ) = Ñ(A 1) Ñ(A p) L 2 (Ω, F). (2.1) Az A 1 A p p i=1 Ñ(A i) leképezés egy vélelen, előjeles mérék, ami egy δ-gyűrűn van érelmezve. Az eszerini (közönséges) inegrálás a kompenzál Poisson-ponfolyama szerini p-szeres inegrálnak nevezzük. 2.2.2. Definíció. Egy függvény egyszerűnek nevezünk, ha előáll álóka nem mesző mérheő églák indikáorainak lineáris kombinációjakén. Jelölje E p az egyszerű függvények halmazá, azaz legyen { n E p = a k 1 Ak,1 A k,p n N +, a k R és i j eseén A k,i A k,j =, ha k = 1,..., n. k=1 Mivel I p végesen addiív a p-dimenziós, álóka nem mesző, mérheő églák félgyűrűjén, ezér kierjeszheő az egyszerű függvényekre. 2.2.3. Lemma. Minden p N + eseén E p L 2 (E p ) sűrű. Bizonyíás. Jelölje Ēp az E p opologikus lezárjá L 2 (E p )-ben. Tekinsük a kövekező halmazrendszereke: C = {A 1 A p E p A1,..., A p B, D = {A B(T p ) 1A Ēp. Megmuahaó, hogy C egy π-rendszer, és D egy λ-rendszer. Az alábbiakban igazoljuk, hogy C D, és ekkor a monoon-oszály éel alapján σ(c) D, azaz B(T p ) = σ(c) D B(T p ) így az kapjuk, hogy D = B(T p ), így Ēp = L 2 (E p ). 7

A C D reláció igazolásához az kell megmuanunk, hogy minden p-dimenziós (mérheő) égla indikáora közelíheő E p -beli függvényekkel. Legyenek A 1,..., A p B eszőleges halmazok, és legyen {α i i I az E alaphalmaz egy véges µ-mérékű halmazokból álló paríciója, ahol I <. Ha A i,j = α i A j (i I és j = 1,..., p), akkor 1 A1 A p = 1 Aσ(1),1 A σ(p),p. σ:{1,...,p I A feni összeg azon agjai, amelyeknél σ : {1,..., p I bijekció, benne vannak E p -ben. Mivel µ aommenes, így a paríció finomíásával elérheő, hogy azon agok hozadéka, amelyek nincsenek E p -ben, akármilyen kicsik legyenek, ehá C D. 2.2.4. Definíció. Ha f : E p R függvény, akkor f szimmerikus válozaa f( 1,..., p ) = 1 f( σ(1),..., σ(p) ), ( 1,..., p ) E p, p! σ S p ahol S p jelöli a p-edfokú szimmerikus csoporo. 2.2.5. Lemma. (A öbbszörös inegrál folyonossága) Ha f E p, és g E q, akkor { I p (f), I q (g) L 2 (Ω) = E[I ha p q, p(f)i q (g)] = p! f() g()d ha p = q, E p ahol f, illeve g az f, illeve a g szimmerikus válozaa. Bizonyíás. Mivel a bizonyíandó egyenlőség mindké oldala bilineáris, ezér elegendő az az esee igazolni, amikor A = {A 1,..., A n páronkén diszjunk véges µ-mérékű halmazok rendszere, valamin {A i1,..., A ip A és {A j1,..., A jq A ovábbá f = 1 Ai1 A ip, g = 1 Aj1 A jq. Feleheő, hogy minden i {1,..., n eseén µ(a i ). Ekkor Vezessük be a kövekező indexhalmazoka: I p (f) = Ñ(A i 1 ) Ñ(A i p ), I q (g) = Ñ(A j 1 ) Ñ(A j q ). α = {i 1,..., i p, β = {j 1,..., j q. A feni jelölésekkel: I p (f)i q (g) = k α β Ñ(A k ) r k, 8

ahol r k = 1 {k α + 1 {k β. Mivel az {Ñ(A k) k α β függelen valószínűségi válozók, ezér E[I p (f)i q (g)] = k α β E[Ñ(A k) r k ]. A jobb oldalon álló szorza ponosan akkor nem-nulla, ha minden r k éréke vagy 2. Ez csak akkor eljesülhe, ha p = q, ovábbá {i 1,..., i p = {j 1,..., j q. Ekkor E[I p (f)i p (g)] = f( 1,..., p )g( σ(1),..., σ(p) )d 1 d p = σ S p = p! = p! f( 1,..., p ) g( 1,..., p )d 1 d p = f( 1,..., p ) g( 1,..., p )d 1 d p. 2.2.6. Kövekezmény. Vegyük észre, hogy minden f E p eseén I p (f) = I p ( f). Ebből adódik I p folyonossága: I p (f) 2 L 2 (Ω) = E[(I p(f)) 2 ] = p! [ f()] 2 d p! E p [f()] 2 d = p! f 2 L 2 (E p ), E p ehá I p : L 2 (E p ) E p L 2 (Ω, F) folyonos és lineáris operáor, így kierjeszheő L 2 (E p )-re folyonos és lineáris operáorkén. Ha p =, akkor legyen I p = I = id R. A ovábbiakban I p (p N + ) jelöli a kierjesze inegrál, azaz I p : L 2 (E p ) L 2 (Ω, F). 2.2.7. Definíció. (Wiener-Iô-káosz) A kompenzál Poisson-ponfolyama szerini p-edik (p N + ) Wiener-Iô-káosz H p = {I p (f) f L 2 (E p ) L 2 (Ω, F). 2.2.8. Téel. Minden p N + eseén H p L 2 (Ω, F) zár, és ha q N + \{p, akkor H p H q. Bizonyíás. A 2.2.6. Kövekezmény alapján eljesül az alábbi izomeria. Minden f L 2 (E p ) eseén I p (f) L 2 (Ω) = Ip ( f) = p! f, L 2 (Ω) amiből adódik, hogy H p L 2 (Ω, F) zár. L 2 (E p ) A H p és H q (p q) alerek orogonaliása a 2.2.5. Lemma kövekezménye. 9

2.3. Káosz felbonás Legyen A B véges µ-mérékű. Jelölje suppn = {x E N({x) 1 a kompenzálalan Poisson-ponfolyama arójá. Ekkor A suppn egy valószínűséggel véges, és a kompenzál Poisson-ponfolyama szerini inegrál minájára definiálhajuk a kompenzálalan Poissonponfolyama szerini inegrál. Vezessük be a kövekező jelölés: eszőleges H halmaz eseén jelölje H p a H p azon elemei, amelyek különbözőek, azaz H p a H-beli, azonos elemeke nem aralmazó p-hosszú sorozaok halmaza. 2.3.1. Definíció. Páronkén diszjunk A 1,..., A p A halmazok eseén legyen Ip(1 A1 A p ) = N(A 1 ) N(A p ) = 1 A1 A p (x) L 2 (Ω, F) (2.2) x (suppn) p Az A 1 A p p i=1 N(A i) leképezés egy vélelen mérék E p mérheő részhalmazain. Az eszerini (közönséges) inegrálás a kompenzálalan Poisson-ponfolyama szerini p-szeres inegrálnak nevezzük. Ha A 1,..., A p A páronkén diszjunk halmazok, és f = 1 A1 A p, akkor (2.1) áírhaó a kövekező alakra: I p (f) = ( 1) p α f α (x) = ( 1) p α I α (f α ), (2.3) α:α {1,...,p x (suppn) α α:α {1,...,p ahol f α az a függvény, ami f-ből az α-ban nem szereplő koordináák µ-szerini kiinegrálásával kapunk. Mindké oldal lineáris f-ben, ezér igaz marad azon egyszerű függvényekre, amelyek arója lefedheő A p -vel. Vezessük be a kövekező jelölés: L 2 (E p A p ) = {f L 2 (E p ) : suppf A p. Ha f L 2 (E p A p ), akkor léezik olyan egyszerű függvényekből álló ( f (n)) függvénysoroza, n=1 hogy f (n) f, ha n, és minden n N + eseén f (n) (n) f. Erre f α f α is eljesül µ (p α ) -m.m., ha n, így (2.3) érvényben marad erre az esere is. Az kapuk, hogy minden f L 2 (E p A p ) eseén I p (f) = ( 1) p α I α (f α ). α:α {1,...,p Legyen α {1,..., p. A feni összefüggés felírhaó f α L 2 (E α A α ) eseén is I α (f α ) = ( 1) α\β I β (f β ). β:β α Ekkor viszon a Möbius-féle inverziós formula szerin I α (f α ) = I β (f β ). (2.4) β:β α 1

Valóban, az X α = I α (f), és Y α = I α (f) jelöléssel X β = ( ) ( 1) β\γ Y γ = β:β α β:β α = γ:γ α = γ:γ α = Y α. γ:γ β Y γ ( β:γ β α Y γ (1 1) α\γ = ( 1) β\γ ) = Az előző számolás speciális eseekén az is megkapjuk, hogy Ip(f) = I α (f α ), I p (f) = ső, ha f = f szimmerikus, akkor I p(f) = I p (f) = ahol f r = f {1,...,r. Másképpen fogalmazva ahol α {1,...,p α {1,...,p r= ( 1) p α I α (f α ), p ( ) p I r (f r ), (2.5) r p ( ) p ( 1) r Ir (f r ), r r= n H p (A) = p= n Hp(A), H p (A) = {I p (f) f L 2 (E p A p ) és H p(a) = {I p(f) f L 2 (E p A p ). A {H p (A) p N + alerek, és a {H p(a) p N + alerek lineáris burka megegyezik, ovábbá p= p+q Ip(f)I q (g) H r, (2.6) ső igazolhaó, hogy az alábbi szorza formula is eljesül p q Ip(f)I q (g) = Ip( f)i ( )( ) p q q ( g) = r! I r r p+q r( f r g), (2.7) r= r= ahol r nem a szokásos konrakív enzor szorza, hanem ( f r g)(x, x, x ) = f(x, x ) g(x, x ), 11

ahol x A r, x A p r és x A q r. Legyen F L 2 (Ω, F) olyan valószínűségi válozó, amely mérheő az F A = σ({n(b) B A) σ-algebrára nézve. Mivel µ(a) <, ezér egy valószínűséggel N(A) <, és a valószínűségi mező eseleges bővíésével feleheő hogy léeznek {Y i i N + függelen és azonos µ( A) µ(a) eloszlású vélelen elemek A-ból, úgy, hogy minden B A eseén N(B) = {1 i N(A) Y i B. I valójában az örénik, hogy a vélelenszerűen kisorsol ponok közül alálomra válaszunk egye, ez lesz Y 1, a megmarad ponok közül az előző válaszásól függelenül válaszunk egye, ez lesz Y 2, és így ovább, majd az Y 1,..., Y N(A) sorozao kiegészíjük egy függelen és azonos eloszlású valószínűségi válozókból álló végelen sorozaá. Legyen G n az (Y i ) n i=1 valószínűségi válozók álal generál σ-algebra, ahol n N +. Ekkor G = (G n ) n N + filráció. Tekinsük a G N(A) = {B F n N + : B {N(A) n G n megállío σ-algebrá. Mivel F F A G N(A), ezér minden n N + eseén F 1 {N(A)=n G n, és megadhaó egy f n : E n R mérheő függvény úgy, hogy az {N(A) = n eseményen F = f n (Y 1,..., Y n ). Mivel F nem függ az Y i (i N + ) valószínűségi válozók sorrendjéől, ezér minden n N + eseén f n szimmerikus függvény, amely csak µ n -m.m. egyérelmű. Teszőleges F F A valószínűségi válozó felírhaó a kövekező alakban F = n= 1 {N(A)=n 1 n! x (suppn) n f n (x) = n= 1 {N(A)=n 1 n! I n(f n ). (2.8) 2.3.2. Téel. A {H p p N + alerek lineáris burka sűrű L 2 (Ω, σ(n))-ben, ahol L 2 (Ω, σ(n)) = {X : Ω R X σ(n)-mérheő és E(X 2 ) <. Bizonyíás. A (2.8) összefüggés jobb oldalán alálhaó függvénysorban, az 1 {N(A)=n In(f n ) agok közül ponosan egy nem nulla, ezér ha F L 2 (Ω), akkor a sor L 2 (Ω)-ben is konvergens. Ebből adódóan elegendő megmuani, hogy minden n-re 1 {N(A)=n In(f n ) a p= H p lezárjában van. Minden n N + eseén az 1 {N(A)=n indikáorra eljesül, hogy 1 {N(A)=n = ( )( ) p N(A) ( 1) p n = n p p=n ( ) p 1 ( 1) p n n p! I p(1 A p), p=n ezér 1 {N(A)=n I n(f n ) = ( ) p 1 ( 1) p n n p! I p(1 A p)in(f n ). (2.9) p=n I Ip(1 A p)in(f n ) p+n k= H k a (2.6) alapján, így elég megmuani, hogy ez a sor L 2 (Ω)-ban konvergens. A (2.5) összefüggés, és a H p alerek orogonaliása alapján megbecsüljük egy 12

álalános ag L 2 (Ω) normájá. I p (1 A p) 2 L 2 (Ω) = = p ( ) 2 p µ r (A)I p r(1 (p r) A ) 2 = r L 2 (Ω) p ( ) 2 p µ 2r (A)(p r)!µ p r (A) p!(1 + µ(a)) 2p. r r= r= A agok L 2 (Ω) normája ( ) p 1 ( 1)p n p! I p(1 A p) L 2 (Ω) p! n!(p n)! (1 + µ(a))p, ami elég gyorsan ar nullához, így a feni sor L 2 (Ω)-ban is konvergens. Ha f n K, akkor (2.7) alapján I p (1 A p)in(f n ) n ( )( ) p n r! K n I () L 2 (Ω) r r p+n r(1 (p+n r) A ) L r= 2 (Ω) n ( )( ) p n r! K n (p + n r)!(1 + µ(a)) p+n r. r r r= Ha f n K, akkor a (2.9) előállíásában szereplő agok L 2 (Ω) normája legfeljebb 1 ( 1)p n p! I p(1 A p)in(f n ) 1 n ( ) n p n K n (p + n r)!(1 + µ(a)) p+n r, L 2 (Ω) n!(p n)! r ami elég gyorsan ar nullához ahhoz, hogy összegezheő legyen, és ezér 1 {N(A)=n In(f n 1 ( fn K)) H p. r= Mivel 1 {N=n I n(f n ) az 1 {N=n I n(f n 1 ( fn K)) soroza L 2 (Ω)-beli limesze, ezér 1 {N=n I n(f n ) és F is p= H p-ben van. Legyen (A n ) n=1 véges µ-mérékű halmazok olyan sorozaa, amelyre minden n N+ eseén A n A n+1, és n=1a n = E, ovábbá E(F F An ) F L 2 (Ω)-ban, ha n. Minden n N + eseén E(F F An ) p= H p, ezér a limesz is ilyen. p= 2.4. Deriválás a p-edik Wiener-Iô-káoszon Vezessük be a kövekező jelölés: { ( L 2 (Ω E) = f : Ω E R f F B-mérheő és E E ) f 2 ()d <. Ha f L 2 (E p ), akkor jelölje f i,x L 2 (E p 1 ) az a függvény, amely az (y 1,..., y p 1 ) E p 1 helyen az f(y 1,..., y i 1, x, y i,..., y p 1 ) éréke veszi fel. 13

2.4.1. Definíció. Ha f L 2 (E p ), akkor az I p (f) L 2 (Ω, F) valószínűségi válozó deriválja az x E ponban p ( ) D x I p (f) = I p 1 (f i,x ) = pi p 1 f(, x), i=1 ahol f az f szimmerizálja. Minden p N + paraméereze folyama. eseén DI p (f) = (D x I p (f)) x E az E elemeivel 2.4.2. Téel. Ha f E p, akkor ( ) E D x I p (f) 2 µ(dx) = DI p (f) 2 L 2 (Ω E) = p I p(f) 2 L 2 (Ω). E Bizonyíás. Legyen f L 2 (T p ). Ekkor ( ) E D x I p (f) 2 µ(dx) = E = = E E E D x I p (f) 2 L 2 (Ω) µ(dx) = p 2 I p 1 ( f(, x)) 2 L 2 (Ω) µ(dx) = p 2 (p 1)! f(, x) 2 L 2 (E p 1 ) µ(dx) = = p p! f 2 L 2 (E p ) = p I p(f) L 2 (Ω), ahol első lépésben a derivál definíciójának szimmerizál válozaá, majd az izomeriá, majd a norma definíciójá, végül újra az izomeriá használuk. Legyen J p : L 2 (Ω) H p a merőleges veíés. Mivel L 2 (Ω) = p= H p, ezér L 2 (Ω E) = p= (H p L 2 (E)). Használjuk a J p jelölés az J p : L 2 (Ω E) H p L 2 (E) merőleges veíésre is. Ekkor, ha F H p, akkor DF H p 1 L 2 (E) és DF 2 L 2 (Ω E) = p F 2 L 2 (Ω). 2.4.3. Téel. (D lezárhaó operáor) A H p erek lineáris burkán érelmeze D operáor lezárhaó, azaz ha F n p= H p és F n L 2 (Ω)-ban, valamin DF n ψ L 2 (Ω E)-ben, akkor ψ =. Bizonyíás. F n = p= F n,p, ahol F n,p = J p F n az F n H p -be eső komponense. Mivel DF n ψ, ezér J p DF n J p ψ minden p-re, és a lineariás mia J p DF n = DJ p+1 F. Ugyanakkor D a H p+1 -en folyonos, így J p ψ = lim n DJ p+1 F n =. Tehá, a ψ = p= J pψ sorfejés minden agja nulla, így ψ is az. Ezuán a Malliavin-derivála a D lezárjakén definiáljuk. 2.4.4. Definíció. (Malliavin-derivál) Legyen D 1,2 = F L2 (Ω) F n H p, lim F n F n L 2 (Ω) = és lim DF n DF m n,m L 2 (Ω E) =. p= Ha F D 1,2, akkor legyen F n olyan soroza ami ez anúsíja és DF = lim n DF n. Tehá, a Malliavin-derivál egy D 1,2 L 2 (Ω E) operáor. 14

2.5. Skorohod-inegrál A δ divergencia operáor a D Malliavin-derivál adjungáljakén definiáljuk. A δ operáor érelmezési arománya { Dom(δ) = ψ L 2 (Ω E) c >, melyre F D 1,2 : DF, ψ L 2 (Ω E) c F L 2 (Ω). A feni definícióban alálhaó c konsans éréke ψ-ől függ. Minden ψ Dom(δ) eseén D 1,2 F ψ, DF L 2 (Ω E) R (2.1) funkcionál folyonos lineáris. Mivel D 1,2 L 2 (Ω) sűrű, ezér a (2.1)-ben definiál funkcionál egyérelműen kierjeszheő L 2 (Ω)-ra. Emlékezeőül, J p : L 2 (Ω E) H p L 2 (E) jelöli a merőleges veíés. Mivel D Hp : H p H p 1 L 2 (E) folyonos leképezés, azér az adjungálja H p 1 L 2 (E) H p folyonos leképezés. Más szavakkal, H p L 2 (E) Dom(δ), minden p N + eseén. A δ operáor Skorohod-inegrálnak nevezzük. Végül muaunk egy összefüggés, amely segíségével bizonyos eseekben egyszerűbben számolhaó a Skorohod-inegrál. 2.5.1. Lemma. Ha u Dom(δ), akkor δj p u = J p+1 δu, és u Dom(δ) δ(j p u) 2 L 2 (Ω) <, p= ovábbá δ(j p u) 2 L 2 (Ω) (p + 1) J pu 2 L 2 (Ω E). Bizonyíás. Legyen F D 1,2. Ekkor F, J p+1 δ(u) L 2 (Ω) = DJ p+1f, u L 2 (Ω E) = = DF, J p u L 2 (Ω E) = = F, δ(j p u) L 2 (Ω), ezér F, J p+1 δ(u) L 2 (Ω) = F, δ(j pu) L 2 (Ω) minden F D 1,2 eseén, ehá J p+1 δ(u) = δ(j p u). Vegyük észre, hogy J δ(u) =. Tehá, a δ(u) Wiener-Iô-káosz szerini felbonása p= δ(j pu), amiből adódik a feléel szükségessége. Ha p= δ(j pu) 2 L 2 (Ω) <, akkor mivel G = p= δ(j pu) léezik, és minden F D 1,2 eseén DF, u L 2 (Ω E) = DF, J p u L 2 (Ω E) = = p= F, δ(j p u) L 2 (Ω) = p= = F, G L 2 (Ω), 15

ehá G = δ(u). Végül az kapjuk, hogy ( ) 2 DF, Jp δ(j p u) 2 L 2 (Ω) = sup u L 2 (Ω E) F H p+1,f F L 2 (Ω) ( ) DF 2 J p u 2 L L 2 (Ω) sup 2 (Ω E) F H p+1,f F 2 = L 2 (Ω) = (p + 1) J p u 2 L 2 (Ω). Igazolhaó, hogy ha F D 1,2 és ϕ L 2 (E), akkor F ϕ Dom(δ), és δ(f ϕ) = F Ñ(ϕ) DF, ϕ L 2 (E). Ha f L 2 (E p+1 ), akkor u = (I p (f(, x))) x E Dom(δ) és δ(u) = I p+1 (f). 16

3. fejeze Lévy-féle haáridős kamaláb-modell Ebben a fejezeben egy idő-inhomogén Lévy-folyamaal meghajo haáridős kamaláb-modell muaunk be, majd megvizsgáljuk a caple árának a piaci paraméerekre vonakozó érzékenységé. A fejeze felépíése elsősorban a [2] és [3] cikkeke, valamin a [7] dolgozao kövei. 3.1. Pénzügyi alapfogalmak A modell a [, T ] véges időhorizonon definiáljuk, ahol T > eszőleges valós szám. Legyen (Ω, F = (F ) [,T ], P) filrál valószínűségi mező, és együk fel, hogy az F filráció (i) jobbról folyonos, azaz [, T ) eseén F = <s T F s, (ii) eljes, azaz [, T ] eseén A F -re, ha P(A) = és B A, akkor B F. Tekinsük az egyik legalapveőbb pénzügyi eszköz definíciójá. 3.1.1. Definíció. Kövénynek nevezzük az olyan pénzügyi ermékeke, amely egységnyi pénz fize a ulajdonosának a T [, T ] időponban, az ún. lejárai időponban. Teszőleges [, T ] eseén jelölje B(, T ) a kövény árá. Ekkor a B(, T ) ( [, T ]) leképezés egy nemnegaív folyama, amely adapál az F filrációhoz, és B(T, T ) = 1 egy valószínűséggel. Úgy is gondolhaunk B(, T )-re, min a T -ben fizee egységnyi összegű pénz -beli érékére. A ovábbiakban felesszük, hogy eszőleges T [, T ] eseén léezik T lejárai idejű kövény. 3.1.2. Definíció. Az azonnali haáridős kamaláb f,t = log B(, T ), amennyiben a derivál T léezik. A ovábbiakban felesszük, hogy eszőleges u [, T ] eseén az f,u haáridős kamaláb léezik, ovábbá B(, T ) = exp{ T f,u du. 3.1.3. Definíció. Az r = f, mennyisége rövid kamalábnak nevezzük. 17

A rövid kamalábra gondolhaunk úgy is, min egy kockázamenes befekeésre, ezér a bankszámla -beli érékének definíciója { B = exp r u du, ahol [, T ], amennyiben léezik a rövid kamaláb. 3.1.4. Definíció. A haáridős kamaláb-folyama definíciója: ahol T U T. F (, T, U) = B(, T ) B(, U) = T e f U,udu+ f,udu = e U T f,udu, 3.1.5. Definíció. Az (Ω, F = (F ) [,T ], P) filrál valószínűségi mezőn definiál P méréke kockázasemleges méréknek, vagy ekvivalens maringál méréknek nevezzük, ha (i) P P, azaz P ekvivalens P-vel, (ii) minden T [, T ] eseén B(,T ) B maringál P ala az F filrációban, ahol T. Vegyük észre, hogy ekkor minden T T eseén ( ) B(, T ) 1 = E P B B T F, ahol E P jelöli a P szerin ve várhaó éréke. 3.2. Idő-inhomogén Lévy-folyamaok 3.2.1. Definíció. Az (L ) folyamao (idő-homogén) Lévy-folyamanak nevezzük, ha függelen és sacionárius növekményű és szochaszikusan folyonos. Az idő-inhomogén Lévy-folyama abban különbözik az idő-homogén Lévy-folyamaól, hogy nem kövelejük meg a növekmények sacionariásá. 3.2.2. Definíció. Az (L ) folyamao idő-inhomogén Lévy-folyamanak nevezzük, ha függelen növekményű és szochaszikusan folyonos. 3.2.3. Téel. ([6] Theorem 13.1) Legyen (L ) idő-inhomogén Lévy-folyama. Ekkor az (L ) folyamanak léezik cádlág modifikációja. A ovábbiakban olyan idő-inhomogén Lévy-folyamaoka vizsgálunk, amelyekhez alálhaó olyan (b, c, F ) = (b, c, F ), melyre minden eseén E ( e iul) ( = exp iub s 1 ) ( ) 2 u2 c s + e iux 1 iux1 x 1 Fs (dx) ds, ahol (b, c, F ) = (b, c, F ) -ra eljesül, hogy 18 R

(i) minden eseén F ({) =, (ii) minden > eseén ( ( b s + c s + x 2 1 ) ) F s (dx) ds <. R A (b, c, F ) = (b, c, F ) hármas lokális karakeriszikának nevezzük. 3.3. Szochaszikus differenciálegyenleek megoldásának regulariása Tekinsük a kövekező szochaszikus differenciálegyenlee: S S = b(s, S s )ds + σ(s, S s )dw s + S = x, R\{ ϕ(s, S s, z)ñ(ds, dz), ahol x R, (W ) T egy m-dimenziós sandard Wiener-folyama, Ñ kompenzál Poissonponmérék a [, T ] (R \ {) szorzaéren, melynek karakeriszikus méréke µ (dz)d. A feni egyenleben szereplő együhaók: b : R + R R, σ : R + R R 1 m és ϕ : R + R R R a érválozó szerin folyonosan differenciálhaó leképezések korláos deriválal, ovábbá a (µ ) [,T ] -re eljesül, hogy T ( ) ( z 2 1)µ (dz) d < és µ ({) =. R\{ Tegyük fel, hogy léezik olyan C > konsans, melyre minden [, T ] és x R eseén b(, x) 2 + σ(, x) 2 + ϕ(, x, z) 2 µ (dz) C(1 + x 2 ) R\{ eljesül. Tegyük fel, hogy léezik olyan ϱ : R R függvény, melyre (i) sup T R\{ ϱ(z) 2 µ (dz) <, és (ii) léezik olyan K > konsans, melyre minden [, T ], x, y R és z R \ { eseén ϕ(, x, z) ϕ(, y, z) K ϱ(z) x y. 3.3.1. Téel. ([9] Theorem 17.4) Legyen (S ) [,T ] a feni differenciálegyenle megoldása. Ekkor minden [, T ] eseén S D 1,2, ovábbá, ha D r, jelöli a Wiener-folyama szerini 19

Malliavin-deriválás, akkor D r, S = + + r r r b x (u, S u )D r, S u du + σ(r, S r ) + σ x (u, S u )D r, S u dw u + ϕ x (u, S u, y)d r, S u Ñ(du, dy), R\{ D r, S =, ha < r T. ha r 3.4. A haáridős kamaláb-modell konsrukciója Legyen (Ω, F = (F ) [,T ], P) a szokásos feléeleke eljesíő filrál valószínűségi mező. Tegyük fel, hogy az azonnali haáridős kamaláb fejlődésé az alábbi szochaszikus differenciálegyenle írja le: df,t = α(, T )d σ(, T )dl T, ahol T [, T ] és [, T ]. A feni definícióban szereplő α : [, T ] 2 R, σ : [, T ] 2 R deerminiszikus függvények, valamin (L T ) [,T ] idő-inhomogén Lévy-folyama. Tegyük fel, hogy minden > T eseén α(, T ) = és σ(, T ) =. Az α- drifnek, a σ- pedig volailiásnak szokás nevezni. 3.4.1. Téel. A kövény diszkonál árá az alábbi formulával kaphajuk meg: { B(, T ) = B(, T ) exp A(s, T )ds + Σ(s, T )dl T s, (3.1) B ahol A(s, T ) = T s T α(s, u)du és Σ(s, T ) = T s T σ(s, u)du. Bizonyíás. A bizonyíás [7] Proposiion (A.1) alapján örénik. Legyen T [, T ] rögzíe időpon. Az azonnali haáridős kamaláb fejlődésé definiáló szochaszikus differenciálegyenle alapján minden [, T ] és u [, ] eseén f,u = f,u + α(s, u)ds Ha a (3.2)- u-szerin inegráljuk a [, T ]-n, akkor T f,u du = T f,u du + T α(s, u)dsdu σ(s, u)dl T s. (3.2) T σ(s, u)dl T s du. (3.3) 2

Ha a (3.2)-ben = u, majd az így kapo egyenlee u-szerin inegráljuk a [, ]-n, akkor f u,u du = f,u du + u α(s, u)dsdu u σ(s, u)dl T s du. Mivel s > u eseén α(s, u) =, és σ(s, u) =, így (3.3) a kövekező alakban írhaó: f u,u du = f,u du + α(s, u)dsdu A (3.3) és (3.4) egyenleeke összeadva az kapjuk, hogy T f,u du + f u,u du = T f,u du + T α(s, u)dsdu σ(s, u)dl T s du. (3.4) T σ(s, u)dl T s du. A szochaszikus Fubini-éel alapján a keős inegrálokban az inegrálások sorrendje felcserélheő, így T f,u du + f u,u du = Mivel B(, T ) = exp{ T A(s, T ) = válaszással az kapjuk, hogy T f,u du + T α(s, u)duds f,u du és B = exp{ f u,udu, ezér az T s T α(s, u)du és Σ(s, T ) = T s T T σ(s, u)du σ(s, u)dudl T s. log B(, T ) + log B = log B(, T ) + A(s, T )ds Σ(s, T )dl T s. 3.4.2. Feléel. Léezik M, ε >, hogy (i) u [ (1 + ε)m, (1 + ε)m] eseén T { x >1 (ii) minden s T T eseén Σ(s, T ) M. exp(ux)f T (dx)d <, 3.4.3. Téel. ([8] Proposiion 1.9) Legyen T [, T ], és [, T ]. Ha az f : R + C függvényre minden x R + eseén Rf(x) M, akkor ( { T ) { T E exp f(s)dl T s = exp θ s (f(s)) ds. 21

3.4.4. Téel. A 3.4.2. Feléel eljesülése melle, ha minden s T T eseén A(s, T ) = θ s (Σ(s, T )), eljesül, akkor a diszkonál kövény árak maringálok, ehá a P mérék kockázasemleges. Bizonyíás. Rögzíe [, T ] eseén legyen X = Mivel (L T növekményű. A 3.4.2. Feléel eseén alkalmazhaó a 3.4.3. Téel, ehá Σ(s, T )dl T s. ) [,T ] függelen növekményű, és Σ deerminiszikus, ezér (X ) [,T ] is függelen ( [, T ]) maringál F-ben P ala, így { E(e X ) = exp ex E(e X ) θ s (Σ(s, T ))ds. Ekkor a { exp θ s (Σ(s, T ))ds + Σ(s, T )dl T s ( [, T ]) leképezés maringál F-ben P ala. Az kapuk, hogy ha A(s, T ) = θ s (Σ(s, T )) ( minden s T T -ra, akkor B(,T ) B maringál F-ben P ala, ehá a P mérék ) [,T ] kockázasemleges. A ovábbiakban együk fel, hogy minden s T T eseén A(s, T ) = θ s (Σ(s, T )). 3.4.5. Definíció. Legyen T [, T ] eszőleges időpon. A P T valószínűségi méréke a T időponhoz arozó kockázasemleges méréknek nevezzük, ha dp T dp = 1 B T B(, T ). 3.4.6. Megjegyzés. Legyen T [, T ] rögzíe időpon. Ha a T -ben lejáró kövény ára a időponban B(, T )/B(, T ) ( [, T ]), akkor ezen árak diszkonál válozaai maringálok P T ala. A ovábbiakban legyen (L T ) [,T ] -ból induló idő-inhomogén Lévy-folyama, melynek lokális karakeriszikája (b, c, F ) [,T ]. Ekkor L T = b T s ds + cs dw T s + R x(µ ν T )(ds, dx), 22

ahol (W T ) [,T ] Brown-mozgás P T ala, és µ ν T az L T vélelen ugrásainak P-kompenzál válozaa, ovábbá ν T (d, dx) = F T (dx)d a µ mérék P-kompenzáora. Teszőleges [, T ] eseén legyen θ az L T ahol z C. θ (z) = zb T kumuláns generáló függvénye, azaz + z2 2 c + (e zx 1 zx)f T R (dx), Legyen T [, T ] rögzíe időpon, és jelölje P T a T időponhoz arozó kockázasemleges méréke. A kockázasemleges mérék. és a (3.1) egyenle alapján { dp T dp = 1 T T B T B(, T ) = exp A(s, T )ds + Σ(s, T )dl T s. Minden [, T ] eseén, a feni egyenlee az F σ-algebrára megszoríva kapjuk, hogy [ ] dp T 1 = E P dp B T B(, T ) F = B(, T ) B B(, T ) = F { = exp A(s, T )ds + Σ(s, T )dl T s. 3.4.7. Téel. ([7] Corollary 3.1) Ha P T jelöli a T [, T ] időhöz arozó kockázasemleges méréke, akkor az (L T ) [,T ] folyama lokális karakeriszikája P T ala: b T s = b T s + c s Σ(s, T ) + x(e Σ(s,T )x 1)F T (dx), R c T s = c s, Fs T (dx) = e Σ(s,T )x F T s (dx), ovábbá P T ala W = W T cs Σ(s, T )ds, ahol (W T ) [,T ] Brown-mozgás P T ala. A Lévy-féle haáridős kamaláb-modellben felesszük, hogy a piacon n > kövény érheő el. A kövények lejárai időponjai legyenek a < T 1 < < T n = T diszkré időponok, és a jelölések egyszerűsíése vége legyen T =. Jelölje δ k = T k+1 T k a rögzíe időponok közö elel idő, ahol k =, 1,..., n 1. Jelölje B(, T i ) a T i időponban lejáró kövény árá -ben, ahol [, T i ] és i = 1, 2,..., n. A haáridős kamaláb-modell Lévy-féle modelljében az F (, T i, T i+1 ) = B(, T i) B(, T i+1 ), folyamao modellezzük, ahol i = 1, 2,..., n 1, és rögzíe i eseén [, T i ]. Legyen (L T ) [,T ] -ból induló idő-inhomogén Lévy-folyama az (Ω, F, P T ) valószínűségi mezőn, és együk fel, hogy a lokális karakeriszikája (b T, c, F T ) [,T ]. 23

Az F (, T n 1, T ) ( [, T n 1 ]) folyamao modellezzük { F (, T n 1, T ) = F (, T n 1, T ) exp λ(s, T n 1 )dl T s alakban, ahol a λ(, T n 1 ) deerminiszikus folyonos függvény. Célunk olyan P Tn 1 mérék konsruálása, amely ala a F (, T n 1, T n ) ( [, T n 1 ]) leképezés maringál F-ben P Tn 1 ala. Ezuán a T időponhoz arozó kockázasemleges méréke kicseréljük a T n 1 -hez arozóra, és az F (, T n 2, T n 1 ) ( [, T n 2 ]) folyamao modellezzük { F (, T n 2, T n 1 ) = F (, T n 2, T n 1 ) exp λ(s, T n 2 )dl T n 1 s alakban. A feni egyenleben (L T n 1 ) [,T ] -ból induló idő-inhomogén Lévy-folyama, amely az (L T ) [,T ] folyamaól csak a drifben különbözik. Az (L T n 1 ) [,T ] folyamaban a drife úgy kell megválaszanunk, hogy F (, T n 2, T n 1 ) ( [, T n 2 ]) maringál legyen a T n 1 -hez arozó kockázasemleges mérék ala. Ezuán a feni konsrukció ieráljuk. 3.4.8. Feléel. Léezik M, ε >, hogy (i) u [ (1 + ε)m, (1 + ε)m] eseén T { x >1 exp(ux)f T (dx)d <, (ii) a B(, T i ) > (i =, 1,..., n 1) érékek adoak, (iii) minden T i (i = 1, 2,..., n) lejárai időponhoz ado egy λ(, T i ) : [, T ] R deerminiszikus folyonos függvény, melyekre eljesül, hogy i λ(s, T n j ) M, j=1 ahol s [, T ] és i = 1, 2,..., n 1. Feleheő, hogy minden i = 1, 2,..., n 1 eseén λ(s, T i ) =, ha s > T i. Ha a feni feléelek eljesülnek, akkor (L T ) [,T ] olyan szemimaringál, melynek kanonikus reprezenációja L T = b T s ds + cs dw T s + R x(µ ν T )(ds, dx). A folyama konsrukciójá kezdjük a legávolabbi lejárai időponal, és együk fel, hogy { F (, T n 1, T ) = F (, T n 1, T ) exp λ(s, T n 1 )dl T s. 24

Annak érdekében, hogy az F (, T n 1, T ) folyama maringál legyen F-ben P T ala, úgy kell megválaszanunk (b T ) [,T ]-, hogy eljesüljön az alábbi egyenlőség: λ(s, T n 1 )b T s ds = = 1 2 c s λ 2 (s, T n 1 )ds R ( e xλ(s,t n 1 ) 1 xλ(s, T n 1 ) ) ν T (ds, dx). Ha a T -hoz arozó kockázasemleges méréke kicseréljük a T n 1 -hez arozóra, akkor az (L T ) [,T ] folyama lokális karakeriszikája megválozik. Ekkor P Tn 1 mérék ala minden [, T ] eseén ahol L T = bs ds + cs dw T n 1 s + R x(µ ν T n 1 )(ds, dx), ovábbá W T n 1 = W T cs λ(s, T n 1 )ds, ν T n 1 (ds, dx) = e xλ(s,t n 1) F s (dx), és végül ( b ) [,T ] a drif. Az F (, T n 2, T n 1 ) ( [, T n 2 ]) folyamao modellezzük az { F (, T n 2, T n 1 ) = F (, T n 2, T n 1 ) exp λ(s, T n 2 )dl T n 1 s alakban, ahol (L T n 1 ) [,T ] -ból induló idő-inhomogén Lévy-folyama, amely csupán a drifben különbözik az (L T ) [,T ] folyamaól. Annak érdekében, hogy az F (, T n 2, T n 1 ) folyama maringál legyen F-ben P Tn 1 ala, úgy kell megválaszanunk (b T n 1 ) [,T ]-, hogy eljesüljön az alábbi egyenlőség: λ(s, T n 2 )b T n 1 s ds = = 1 2 c s λ 2 (s, T n 2 )ds R ( e xλ(s,t n 2 ) 1 xλ(s, T n 2 ) ) ν T n 1 (ds, dx). Ezuán a feni konsrukció ieráljuk. Az kapjuk, hogy eszőleges i = 1, 2,..., n 1 eseén { F (, T i, T i+1 ) = F (, T i, T i+1 ) exp λ(s, T i )dl T i+1 s. A P Ti+1 mérék ala L T i+1 = b T i+1 s ds + cs dw T i+1 s + R x(µ ν T i+1 )(ds, dx), 25

ahol W T i+1 = W T ν T i+1 (ds, dx) = exp { x cs i λ(s, T n j )ds, (3.5) j=1 i λ(s, T n j ) ν T (ds, dx), j=1 a (b T i+1 ) [,T ] drifre eljesül, hogy és végül λ(s, T i )b T i+1 s d = = 1 2 c s λ 2 (s, T i )ds F T i+1 s (dx) = exp { x R ( e xλ(s,t i ) 1 xλ(s, T i ) ) ν T i+1 (ds, dx), i λ(s, T n j ) F s (dx). j=1 A 3.4.2. Feléel mia minden i = 1, 2,..., n 1 eseén i λ(s, T n j ) M, ahol s [, T ], ezér Ti+1 j=1 { i x exp xλ(s, T n j ) F s (dx)ds <. x >1 j=1 3.5. Érzékenységvizsgála Ebben a fejezeben megvizsgáljuk, hogy a Lévy-féle haáridős kamaláb-modellben a caple ára mennyire érzékeny a LIBOR kamaláb megválozására. Mivel a floor ára a pu-call pariás segíségével kiszámíhaó a cap árából, és viszon, így elegendő az egyike meghaározni. A cap a LIBOR kamalábra vonakozó call opciók sorozaa, amelyeke caple-nek nevezünk. Legyen K a rögzíe kamaláb, és T i a caple lejárai ideje. Legyen δ i = T i+1 T i, ahol i {, 1,..., n 1. Ekkor a kifizeési függvény δ i (L(T i, T i ) K) +, ahol a kifizeés a T i+1 időponban örénik, és a feni képleben lévő L(T i, T i ) mennyiség a LIBOR kamaláb. A LIBOR kamaláb definíciója, és a haáridős kamalábbal való kapcsolaa: L(, T i ) = 1 (F (, T i, T i+1 ) 1) = 1 ( ) B(, Ti ) δ i δ i B(, T i+1 ) 1. 26

Jelölje C(T i, K) a caple árá. Ekkor C(T i, K) = B(, T i )E PTi+1 ( L(Ti, T i ) K) +). A haáridős kamaláb és a LIBOR kamaláb közö fennálló összefüggés alapján a caple ára C(T i, K) = δ i B(, T i )E PTi+1 [ ( F (T i, T i, T i+1 ) K i ) + ], ahol Ki = 1 + δ i K. Legyen i {1,..., n 1 rögzíe index, és ekinsük az (F (, T i, T i+1 )) [,Ti ] haáridős kamaláb-folyamao. A ovábbiakban jelölje az ún. variációs folyamao, ahol [, T i ]. Y (, T i, T i+1 ) = 1F (, T i, T i+1 ) 1 F (, T i, T i+1 ) 3.5.1. Téel. Az (F (, T i, T i+1 )) [,Ti ] haáridős kamaláb-folyamara eljesül, hogy eszőleges [, T i ] eseén F (, T i, T i+1 ) D 1,2, és a Malliavin-derivál haása D r, F (, T i, T i+1 ) = Y (, T i, T i+1 )Y (r, T i, T i+1 ) 1 F (r, T i, T i+1 )λ(r, T i ) c r 1 {r. Bizonyíás. A éel a [9] Theorem 17.4 kövekezménye. Jelölje C(T i, K) az előző szakaszban láo caple árá. A ún. Dela definíciója (F (, T i, T i+1 )) = 1C(T i, K) 1 F (, T i, T i+1 ). Ebből már megkaphaó a LIBOR kamaláb szerini derivál is, azaz hiszen (L(, T i )) = 1C(T i, K) 1 L(, T i ) = = (F (, T i, T i+1 )) 1F (, T i, T i+1 ) 1 L(, Ti ) = = δ i (F (, T i, T i+1 )), L(, T i ) = δ i (F (, T i, T i+1 ) 1). Tekinsük a T i függvényoszály, melynek definíciója: { Ti T i = h i L 2 ([, T i ]) h i (u)du = 1. Vezessük be a kövekező jelölés: ahol i {1,..., n 1. Λ i (s) = i λ(s, T n j ), j=1 27

3.5.2. Téel. Teszőleges h i T i eseén [ B(, T i+1 ) ( (F (, T i, T i+1 )) = F (, T i, T i+1 ) E P T F (T i, T i, T i+1) K ) + i ( T T ) exp Λ n i+1 (s)dl T s θ s (Λ n i+1 (s))ds ( Ti h i (u) λ(u, T i ) dw T u c u Ti h i (u)λ n i+1 (u) du) ]. λ(u, T i ) Bizonyíás. A éel álalánosabb kifizeés-függvényekre bizonyíjuk. Legyen H : R R lokálisan inegrálhaó függvény, amelyre eljesül, hogy Vezessük be a kövekező jelölés: E PTi+1 [ H (F (Ti, T i, T i+1 )) 2] <. H (F (, T i, T i+1 )) = 1E PTi+1 [H (F (T i, T i, T i+1 ))]. 1 F (, T i, T i+1 ) Először együk fel, hogy H folyonosan differenciálhaó, és kompak arójú. Ebben az eseben a deriválás és a várhaó érék felcserélheő, így [ H (F (, T i, T i+1 )) = E PTi+1 H (F (T i, T i, T i+1 )) ] 1F (T i, T i, T i+1 ) = F (, T i, T i+1 ) = E PTi+1 [H (F (T i, T i, T i+1 )) Y (T i, T i, T i+1 )]. A 3.5.1. Téel alapján, minden h i T i függvény eseén Y (T i, T i, T i+1 ) = Ti h i (u)y (u, T i, T i+1 ) D u, F (T i, T i, T i+1 ) F (u, T i, T i+1 )λ(u, T i+1 ) du. c u A lánc-szabály ([1] Proposiion 4.8) alapján az kapjuk, hogy ( F (, Ti, Ti 1) ) = [ ] Ti = E PTi+1 H h i (u)y (u, T i, T i+1 ) (F (T i, T i, T i+1 )) D u, F (T i, T i, T i+1 ) F (u, T i, T i+1 )λ(u, T i ) du = c u [ Ti h i (u)y (u, T i, T i+1 ) = E PTi+1 D u, H (F (T i, T i, T i+1 )) F (u, T i, T i+1 )λ(u, T i ) du c u [ Ti = E PTi+1 R ] h i (u)y (u, T i, T i+1 ) D u,x H (F (T i, T i, T i+1 )) F (u, T i, T i+1 )λ(u, T i ) δ (dx)du, c u ahol δ jelöli a -ra koncenrál Dirac-méréke. A Skorohod-inegrál definíciója alapján ( )] hi ( )Y (, T i, T i+1 )δ ( ) H (F (, T i, T i+1 )) = E PTi+1 [H (F (T i, T i, T i+1 )) δ F (, T i, T i+1 )λ(, T i ). c 28 ] =

Mivel ( ) hi ( )Y (, T i, T i+1 )δ ( ) F (, T i, T i+1 )λ(, T i ) c u T i előrejelezheő folyama, így a Skorohod-inegrál egybeesik az Iô-inegrállal, ehá H (F (, T i, T i+1 )) = E PTi+1 [H (F (T i, T i, T i+1 )) Ti h i (u)y (u, T i, T i+1 )dw T i+1 u F (u, T i, T i+1 )λ(u, T i ) c A [9] Lemma 12.28 alapján a feni összefüggés igaz minden olyan lokálisan inegrálhaó H függvényre, melyre E PTi+1 [ H (F (Ti, T i, T i+1 )) 2] <. Ha a H függvény megegyezik a caple kifizeési függvényével, azaz ( H (F (T i, T i, T i+1 )) = B(, T i+1 ) F (T i, T i, T i+1 ) K ) + i, akkor a caple árának, ehá a C(T i, K) várhaó érékének a deriválja, az F (, T i, T i+1 ) kezdei érék melle Mivel ezér (F (, T i, T i+1 )) = = B(, T i+1 )E PTi+1 [ ( F (T i, T i, T i+1 ) K i ) + Ti (F (, T i, T i+1 )) = A (3.5) összefüggés alapján ezér dp Ti+1 dp T Y (u, T i, T i+1 ) = F (u, T i, T i+1 ) F (, T i, T i+1 ), [ B(, T ( i+1) F (, T i, T i+1 ) E P Ti+1 F (T i, T i, T i+1) K ) + Ti i W T i+1 = W T Λ n i (s) c s ds, ] h i (u)y (u, T i, T i+1 )dw T i+1 u F (u, T i, T i+1 )λ(u, T i ). c { T T ( = exp Λ n i+1 (s)dl T s θ s Λ n i+1 (s) ) ds, ] ] h i (u)dw T i+1 u λ(u, T i ). c ehá az kapjuk, hogy (F (, T i, T i+1 )) = [ B(, T i+1 ) ( F (, T i, T i+1 ) E P T F (T i, T i, T i+1) K ) + i ( T T ) exp Λ n i+1 (s)dl T s θ s (Λ n i+1 (s))ds ( Ti h i (u) λ(u, T i ) dw T u c u 29 Ti h i (u)λ n i+1 (u) du) ]. λ(u, T i ).

Irodalomjegyzék [1] Erns Eberlein, Kahrin Glau és Anonis Papapanoleon. Analysis of Fourier ransform valuaion formulas and applicaions, Applied Mahemaical Finance 17(3): 211-24, 21. [2] Erns Eberlein, M hamed Eddhabi és Sidi Mohamed Lalaoui Ben Cherif. Compuaion of Greeks in LIBOR models driven by ime-inhomogeneous Lévy Processes, Preprin, 215. [3] Erns Eberlein, M hamed Eddhabi és Sidi Mohamed Lalaoui Ben Cherif. Opion pricing and sensiiviy analysis in he Lévy forward process model, Preprin, 215. [4] Erns Eberlein, Fehmi 348, 25. Özkan. The Lévy LIBOR model, Finance and Sochasics 9: 327- [5] Eric Fournié, Jean-Michel Lasry, Jerôme Lebuchoux, Pierre-Louise Lions, Nizar Touzi. Applicaions of Malliavin calculus o Mone Carlo mehods in finance, Finance and Sochasics 3(4): 391-412, 1999. [6] Olav Kallenberg. Foundaions of Modern Probabiliy, Springer 1997. [7] Demeer Kiss. Lévy Marke Models wih Applicaions o Ineres Rae Derivaive Valuaion, Thesis for M.Sc. degree, 21. [8] Wolfgang Kluge. Time-inhomogeneous Lévy Processes in ineres rae and credi risk models, PhD Disseraion, 25. [9] Giulia Di Nunno, Bern Øksendal és Frank Proske. Malliavin Calculus for Lévy Processes wih Applicaions o Finance, Springer 28. [1] Aleh Yablonski. The calculus of variaions for processes wih independen incremens. Rocky Mounain Journal of Mahemaics 38(2): 669-71, 28. 3