Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki Eg kis elmélet 1 / 21
Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki 1. péld: Számítsk ki súlponti és tengelekre számított másodrendű nomtékokt! Megjegzés: A kezdeti koordinátrendszert tetszőlegesen felehettük. Az tengel helét egértelműen kijelölte szimmetritengel, z tengelt pedig zért ettük fel síkidom tetejére, mert od befoglló és hiánzó tégllp másodrendű nomtékát is könnű kiszámítni (mindkettőnek oldllp tengele). A számítás során először teljes síkidom másodrendű nomtékát kiszámítottk kezdeti tengelre, mjd z íg összeállított, teljes síkidomnk nem súlponti tengeléről tértünk át eg negtí Steiner-tggl súlponti s tengelére. 2 / 21
Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki 2. péld: Írjk fel súlponti másodrendű nomtéki tenzort! Megjegzés: A kezdeti koordinátrendszert tetszőlegesen felehettük. Az tengel helét egértelműen kijelölte szimmetritengel, z tengelt pedig zért ettük fel síkidom ljár, mert od befoglló tégllp és hiánzó félkör másodrendű nomtékát is könnű kiszámítni. A számítás során először teljes síkidom másodrendű nomtékát kiszámítottk kezdeti tengelre, mjd z íg összeállított, teljes síkidomnk nem súlponti tengeléről tértünk át eg negtí Steiner-tggl súlponti s tengelére. 3 / 21
Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki 3. péld: Számítsk ki z O ponton átmenő - tengelekre ett ektoriális és centrifgális másodrendű nomtékokt! Számítsk ki súlponton átmenő S - S tengelekre ett ektoriális és centrifgális másodrendű nomtékokt is! Megjegzés: Az zért számíthtó ilen egszerűen mert tégllphoz hozzádódó és bból kionódó félkörök másodrendű nomték z tengelre egenlő. Szemléletesen bl oldli félkörrel hiánzó rész lefedhető, miel tengel menti eltolás nem áltoztt tengelre ett másodrendű nomték értékén. A hiánzó félkör függőleges átmérő tengelére számolt másodrendű nomték nem ihető át közetlenül z tengelre, miel Steiner-tétel csk súlponti és nem súlponti tengel között érénes, két nem súlponti között nem. Emitt először át kell térni hiánzó félkör sját súlponti tengelére eg negtí, mjd innen z tengelre eg pozití Steiner-tggl. H z tengelre már kiszámoltk másodrendű nomtékot, z S tengelre teljes keresztmetszetre felírt Steiner-tétellel, negtí Steiner-tggl térhetünk át. 4 / 21
Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki 4. péld: Írj fel ázolt síkidomnk berjzolt koordinátrendszerhez trtozó másodrendű nomtéki tenzorát! Megjegzés centrifgális másodrendű nomték számításához: A sját súlponti tengelkeresztjére minden lkotónk nll centrifgális másodrendű nomték, miel tengelek leglább egike szimmetritengel. Ezért teljes síkidom koordinátrendszerhez trtozó centrifgális másodrendű nomték csk Steiner-tgokból teődik össze. 5 / 21
Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki 6 / 21 Eg kis mtemtik (ektorok és mátriok két dimenzióbn) A ektorok lpértelmezésben oszlopektorok: Vektor szorzás sklárrl: c c c Vektorok skláris szorzt: [ ] + Oszlopektor trnszponáltj (sorektor): [ ] T T 22-es mátri: 22 21 12 11 A Mátri szorzás sklárrl: 22 21 12 11 c c c c c A Mátri trnszponáltj (trnszponálás tükrözés főátlór): 22 12 21 11 22 21 12 11 T T A Mátri és oszlopektor szorzt (z eredmén oszlopektor): + + 22 21 12 11 22 21 12 11 A Mátri szorzás ektorokkl mindkét oldlról (z eredmén sklár): [ ] [ ] ( ) ( ) T r 22 21 12 11 22 21 12 11 22 21 12 11 + + + + + A
Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki Elforgtott tengelekre számított másodrendű nomtékok A P ponton átmenő elforgtott ξ η koordinátrendszerhez trtozó másodrendű nomtékok kiszámítás P ponton átmenő - koordinátrendszerhez trtozó értékekből: ξ T e ξ P() e ξ η T e η P( ) e η ξη T T e ξ P( ) eη eη P( ) e ξ P ( ξη ) ξ ξη ξη η e ξ és e η z elforgtott tengelek iránáb mttó egségektorok. 7 / 21
Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki 5. péld: A 9. gkorlt 1. feldt. Írjk fel bejelölt - rendszerhez trtozó másodrendű nomtéki tenzort! 8 / 21
Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki 6. péld: Írjk fel másodrendű nomtéki tenzort bejelölt - koordinátrendszerben! Megjegzés: A sin és cos értékeket most gökös, törtes lkbn írtk föl. Íg is lehet, de számítás során ilenkor is jsolt z áttérés tizedes törtekre. 9 / 21
Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki 7. péld: smert z koordinátrendszerben másodrendű nomtékok tenzor. Htározzk meg másodrendű nomtékok tenzorát ξη koordinátrendszerben, melet úg kpnk, hog z eredeti koordinátrendszert + 30 -os szöggel elforgtjk! 10 / 21
Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki Fő-másodrendű nomtékok és főiránok számítás Eg P ponton átmenő, de különböző szögállású koordinátrendszerekhez különböző másodrendű nomték értékek trtoznk. Az elforgtott koordinátrendszerek között n leglább eg oln, melhez trtozón centrifgális másodrendű nomték nll. Ezt koordinátrendszert főiránok koordinátrendszerének neezzük, és 1-es és 2-es tengelekkel jelöljük. Az is igz, hog z 1-es főtengelre ett másodrendű nomték lehető legngobb, 2-esre ett pedig lehető legkisebb z zonos ponton átmenő, különböző szögállású tengelekre számított másodrendű nomtékok közül. 1 -et és 2 - fő-másodrendű nomtékoknk neezzük. A fő-másodrendű nomtékok és főiránok meghtározás z másodrendű nomtéki tenzor lpján z A fő-másodrendű nomtékokt és főiránokt köetkező sjátérték feldt megoldásként kpjk ( 1 és 2 két sjátérték): ( E) n 0 1, 2 A fő-másodrendű nomtékok z egenletrendszer determinánsánk kifejtéséel dódó másodfokú egenlet gökei: ( E) 0 det, 2 1 1,2 1,2 0, 1 2 A főiránok iránektori köetkező isszhelettesítésekből dódó egenletrendszerek megoldási: ( E) n 0 1 1 ( E) n 0 2 2 A ektoregenletek két sklár egenletet tkrnk, mik zonbn lineárisn összefüggők, zz csk z n 1 és n 2 ektorok iránát htározzák meg, ngságkt nem. A megoldás során ezért ektorok koordinátáját egségninek álsztjk, mjd z koordinátát lmelik egenletből kifejezzük. A gkorltbn z n 2 -t nem isszhelettesítéssel, hnem z n 1 elforgtásál számoljk, mert tdjk, hog főtengelek merőlegesek egmásr. A koordinátrendszer elforgtásánk szöge: n tgϕ n 1 1 ϕ A fő-másodrendű nomtéki tenzor: 12 1 0 0 2 11 / 21
Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki 8. péld: A 9. gkorlt 2. feldt. Számítsk ki súlponti fő-másodrendű nomtékokt! Adjk meg főtengelek iránektorit (nem kell, hog egségektorok legenek)! Számítsk ki z és z 1-es tengel közötti szöget, és ábrázoljk főtengelek helzetét! 12 / 21
Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki 9. péld: A 9.-ről 10. gkorltr átnúló feldt. Számítsk ki súlponti fő-másodrendű nomtékokt! Számítsk ki főtengelek szöghelzetét, és ábrázoljk elhelezkedésüket! Adjk meg főtengelek irán egségektorit! Megjegzés: s számításánál hozzádott és kiont félkörök másodrendű nomtéki egenlők, íg csk befoglló tégllppl kell számolnnk. s és ss számításánál 2-es szorzók zért lklmzhtók, mert két hozzádott és két kiont kör ezekre néze szimmetriksn helezkedik el. 13 / 21
Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki 14 / 21
Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki 10. péld: Számítsk ki súlponti fő-másodrendű nomtékokt! Adjk meg főtengelek iránektorit! Htározzk meg z és z 1-es tengel közötti szöget, és ábrázoljk főtengelek helzetét! Megjegzés: A félkörök másodrendű nomtékát z S tengelre csk két Steiner-tggl tdjk átszámítni. Ennek ok, hog Steiner-tétel két nem súlponti tengel között nem lklmzhtó. Íg z átmérő tengelről először át kell menni sját súlponti tengelre, mjd innen kell toább menni közös súlponti tengelre, mi félkörnek szintén nem súlponti tengele. A 2-es szorzók félkörök szimmetriks helzete mitt hsználhtók. 15 / 21
Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki 16 / 21
Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki 11. péld: Számítsk ki súlponti fő-másodrendű nomtékokt! Adjk meg fő-másodrendű nomtéki tengelek iránektorit! Számítsk ki főtengelek szöghelzetét, és ábrázoljk elhelezkedésüket! 17 / 21
Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki 18 / 21
Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki 12. péld: Írjk fel másodrendű nomtéki tenzort súlponti - rendszerben! Írjk fel másodrendű nomtéki tenzort súlponti 1-2 rendszerben! Számítsk ki és ábrázoljk főtengelek helzetét! 19 / 21
Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki 20 / 21
Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki 13. péld: smert z koordinátrendszerben másodrendű nomtékok tenzor. Htározzk meg fő-másodrendű nomtékokt és főiránokt (iránektorokkl, iránszögekkel és ábrál)! 21 / 21