A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. /
A L Hospital-szabály Tétel. Legyen a<b +, f,g: ]a, b[ R, és legyen a x b. Haf és g differenciálható ]a, b[ \{x }-on, g (x) minden x ]a, b[-re és. f(x) = g(x) vagy x x x x f(x) =± g(x), valamint x x x x f (x) 2. létezik x x g (x) f(x) akkor x x g(x) = A. = A véges vagy végtelen határérték, Megjegyzés. A L Hospital-szabály vagy alakú határértékek meghatározására használható. Megfelelő helyettesítéssel viszont más alakú függvények határértékének meghatározása is elvégezhető. A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. 2/
A alakú határértékek x 3x 2 2x 5x 2 x 4 x 6x 2 x = 4 9. x e x2 cos x x e x2 2x ( sin x) e x2 x 2x 2x +2 e x2 cos x =2. x +x x x 2 ( + x) 2 x 2 +x = 2. x 2 ln x 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2 x = 2. A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. 3/
alakú határérték x x 2 2 x x 2x 2 x ln 2 x 2 2 x ln 2 ln 2 =. x 3x 3 +7x 2 +8x +3 4x 3 +3x 2 +2x + x x 9x 2 +4x +8 2x 2 +6x +2 8x +4 24x +6 = 3 4. x ln x x n x x n x n = n x x n =. A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. 4/
Elaszticitás Az elaszticitás megmutatja, hogy a független változó (x) értékét %-kal növelve, hány százalékkal változik a függő változó (f(x)). Kiszámítása: E(x) = x f(x) f (x). Példa. Egy árucikk iránti keresletet az x ártól függően az f(x) = x +2 függvény adja meg. Hány százalékkal változik a kereslet, ha az áru 5Ft-os árát %-kal emelik, illetve 3%-kal csökkentik? Megoldás. A függvény elaszticitása az egyszerűsítések után: E(x) = x f(x) f (x) = x x+2 x (x +2) = (x +2) 2 (x +2) 2 = x x +2. A függvény elaszticitása megmutatja, hogy ha %-kal növeljük a független változó értékét, akkor a függő változó hány százalékkal változik. Az első kérdés éppen erre vonatkozik. A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. 5/
Elaszticitás E(5) = 5 5+2 = 5 7 =.7. A kereslet tehát.7%-kal csökken. Mivel az elaszticitás az %-kos növeléshez tartozó változást írja le, a 3 százalékkal való csökkentést az elaszticitás ( 3)-szorosával közelítjük. (A negatív előjel jelzi a csökkentést.) ( 3) E(5) = 5 7 =2.4. Ha az áru árát 3%-kal csökkentik, akkor a kereslet 2.4%-kal nő. A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. 6/
Magasabbrendű deriváltak Definíció. Legyen H R, f : H R differenciálható, és tegyük fel, hogy az f : H R deriváltfüggvény differenciálható az x H pontban. Ekkor azt mondjuk, hogy az f kétszer differenciálható x -ban, és az f második deriváltja az x H-ban f (x )=(f (x )). Ha az f a H minden pontjában kétszer differenciálható, akkor f-et kétszer differenciálható függvénynek nevezzük, és f : H R függvény az f második deriváltfüggvénye. Megjegyzés. Hasonlóan értelmezzük az x -beli (n +)-edik deriváltat is: amennyiben az f (n) : H R n-edik deriváltfüggvénye létezik és differenciálható x -ban, akkor f (n+) (x )=(f (n) (x )) az f függvény x -beli (n +)-edik deriváltja. Ha az f függvény a H halmaz minden pontjában (n +)-szer differenciálható, akkor f (n +)-szer differenciálható függvény. A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. 7/
A monotonitás és a differenciálás kapcsolata Tétel. Legyen H R, f : H R, ]a, b[ H, f differenciálható ]a, b[-n. f monoton nő ]a, b[-n ha f (x) minden x ]a, b[-re, f monoton csökken ]a, b[-n ha f (x) minden x ]a, b[-re, f szigorúan monoton nő ]a, b[-n, ha f (x) x ]a, b[-re, és nincs olyan ]c, d[ ]a, b[ (részintervallum), melyre f (x) =minden x ]c, d[-re, f szigorúan monoton csökken az ]a, b[-n, ha f (x), x ]a, b[-re, és nincs olyan ]c, d[ ]a, b[, melyre f (x) =minden x ]c, d[-re, f konstans ]a, b[-n ha f (x) =minden x ]a, b[-re. Tétel. Legyen H R, f : H R differenciálható függvény. Az x az f függvény szélsőértékhelye pontosan akkor, ha f (x )=és f az x -ban előjelet vált. A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. 8/
A konvexitás és a differenciálás kapcsolata Tétel. Legyen H R, f : H R, ]a, b[ H és f differenciálható ]a, b[-n. f konvex ]a, b[-n ha f monoton nő ]a, b[-n, f konkáv ]a, b[-n ha f monoton csökken ]a, b[-n. Tétel. Legyen H R, f : H R, ]a, b[ H, f kétszer differenciálható ]a, b[-n. f konvex ]a, b[-n ha f (x) minden x ]a, b[-re, f konkáv ]a, b[-n ha f (x) minden x ]a, b[-re. Tétel. Legyen H R, f : H R kétszer differenciálható függvény. Az x pontban az f függvénynek inflexiós pontja van akkor és csak akkor, ha f (x )=és f az x -ban előjelet vált. A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. 9/
Példa Feladat. A fenti tételek alkalmazásával számítsuk az f(x) =5x 3 4x 4 függvény monotonitási- és konvexitási intervallumait, szélsőértékhelyeit, szélsőértékeit, valamint inflexiós pontjait! Megoldás.. Mivel a fenti kifejezésre kikötést nem kell tennünk, ezért az értelmezési tartomány a valós számok halmaza. 2. A lehetséges szélsőértékhelyek az f (x) =5x 2 6x 3 = x 2 (5 6x) = egyenlet megoldásai, azaz x =, x 2 = 5 6. A nekik megfelelő függvényértékek rendre:, illetve.3. x x< x = <x< 5 x = 5 6 6 5 6 <x f (x) + + f(x) max. hely A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. /
Példa 3. A függvény lehetséges inflexiós pontjai az x =, valamint az x 2 = 5 8, mivel az f (x) =3x 48x 2 függvény ezeken a helyeken veszi fel a nulla értéket. Kiszámítjuk még a függvényértékeket: f() = és f ( 5 8) =.6. x x< x = <x< 5 8 x = 5 8 5 8 <x f (x) + f(x) konkáv I.P. konvex I.P. konkáv Vegyük észre, hogy az első derivált az x =helyen nem vált előjelet, így ez nem valódi szélsőértékhely. A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. /
Példa 2 Feladat. A fenti tételek alkalmazásával számítsuk az f(x) =x + x 2 függvény monotonitási- és konvexitási intervallumait, szélsőértékhelyeit, szélsőértékeit, valamint inflexiós pontjait! Megoldás.. A függvény értelmezési tartománya: D f = R \{}. 2. A függvény elsőrendű deriváltja: f (x) = 2 x 3 = x3 2 x 3. Így a lehetséges szélsőértékhely: x = 3 2. A függvényérték pedig: f(x).89. x x< <x< 3 2 x = 3 2 3 2 <x f (x) + + f(x) min. hely A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. 2/
Példa 2 3. Mivel az f (x) = 6 x 4, ezért a függvénynek nincs zérushelye, inflexiós pont nem létezik. x x< <x< 3 2 x = 3 2 3 2 <x f (x) + + f(x) konvex konvex A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. 3/