Többváltozós függvények integrálja. 3. rész. 2018. április 19.
Kettős integrál
Kettős integrál téglalap alakú tartományon. Ismétlés Ha = [a, b] [c, d] téglalap-tartomány, f : I integrálható függvény, akkor f (x, y) d = ˆb a f (x, y) d = ˆc ˆd d a c ˆb f (x, y)dy dx. f (x, y)dx dy. Tehát, ebben az esetben Kettős integrál = Kettő integrál.
Integrálás normáltartományon, ismétlés. Tétel. egy x szerinti normáltartomány. f integrálható -en. Ekkor ˆb Φˆ 2 (x) f (x, y) d = f (x, y)dy dx, a Φ 1 (x)
Példa, ismétlés Legyen egy kör, = {(x, y) : x 2 + y 2 4}. Ez egy normáltartomány. Ekkor f (x, y) d(x, y) = ˆ2 2 4 x 2 ˆ 4 x 2 f (x, y) dy dx.
Körgyűrű alakú tartomány = {(x, y) : 1 x 2 + y 2 4}. f (x, y) d = ˆ1 + 1 ˆ 1 2 4 x 2 ˆ 4 x 2 ˆ 4 x 2 f (x, y)dydx + 1 x 2 f (x, y)dydx + ˆ2 1 ˆ1 1 4 x 2 ˆ ˆ1 x 2 f (x, y)dydx+ 4 x 2 f (x, y)dydx. 4 x 2
Kör alakú tartomány másképp ˆ2 2 4 x 2 ˆ f (x, y)dxdy 4 x 2 Polárkoordinátákban: = {(x, y) : 0 x 2 + y 2 4]}. ={(r, θ) : 0 r 2, 0 θ < 2π} = [0, 1] [0, 2π). TÉGLALAP
Körgyűrű alakú tartomány másképp = {(x, y) : 1 x 2 + y 2 4}. Polárkoordinátákban: ={(r, θ) : 1 r 2, 0 θ < 2π}. =[1, 2] [0, 2π). TÉGLALAP
Koordináta transzformáció
Helyettesítés integrálban. Ismétlés Tétel. f : [a, b] I integrálható függvény. φ : [α, β] [a, b] szigorúan monoton és differenciálható, (x = φ(t)), φ(α) = a, φ(β) = b. Ekkor ˆb a f (x)dx = ˆ β α f (φ(t))φ (t)dt = ˆ φ 1 (b) φ 1 (a) f (φ(t))φ (t)dt. Általánosítás kettős integrálra?
Előkészület. Homogén lineáris transzformáció Tekintsünk egy homogén lineáris transzformációt: x = au + bv y = cu + dv Tömören: x y = T u v, T = a c b d. Feltesszük, hogy det T 0, ekkor a leképezés egy-egyértelmű.
Terület változás I 2 tartomány képe = T (). Állítás. Ha mérhető, akkor A( ) = det (T ) A(). Megjegyzés. Ha a homogén lineáris transzformációt így írjuk x = Φ(u, v) = au + bv akkor T = a c y = Ψ(u, v) = cu + dv, b = J(u, v), a Jacobi mátrix. d det (T ) = det J(u, v) = D(u, v).
Általános transzformáció, terület változása Tekintsünk egy koordináta transzformációt: x = Φ(u, v), y = Ψ(u, v). Tfh a Jacobi mátrix nem szinguláris, azaz D(u, v) 0. Tétel. Legyen I 2 mérhető, ennek ősképe = {(u, v) : x = Φ(u, v), y = Ψ(u, v), (x, y)ɛ}. Ekkor is mérhető, és A( ) = D(u, v)d(u, v). A() = 1 d(x, y) = A( ) = D(u, v)d(u, v)
Integrál transzformáció kettős integrálban Tétel. I 2, f : I integrálható. Adott egy koordináta transzformáció: x = Φ(u, v), y = Ψ(u, v). Tfh Jacobi mátrixa nem szinguláris. J(u, v) = Φ u(u, v) Φ v(u, v), D(u, v) 0 Ψ u(u, v) Ψ v(u, v) az új koordinátákban: = {(u, v) : (Φ(u, v), Ψ(u, v))ɛ}. Ekkor f (x, y)d(x, y) = ( ) f Φ(u, v), Ψ(u, v) D(u, v)d(u, v).
Speciális eset: polárkoordináták (x, y) helyett az új koordináták (r, θ), ahol x = r cos θ, y = r sin θ. A Jacobi determináns: D(r, θ) =det cos θ sin θ r sin θ r cos θ = r cos 2 θ + r sin 2 θ= r. Így a megfelelő integrál transzformáció: f (x, y)d(x, y) = f (r cos θ, r sin θ) r d(r, θ). = {(r, θ) : (r cos θ, r sin θ)ɛ}
Példa. f (x, y) = x 2 y 2. egy nyolcadkör. (x 2 y 2 )d(x, y) =? Polárkoordinátákkal: = {(r, θ) : 0 r 2, 0 θ π 4 }. az (r, θ) koordinátákban TÉGLALAP. Ekkor ˆ2 ˆπ/4 (x 2 y 2 )d(x, y) = r 2 (cos 2 θ sin 2 θ) r dθ dr = 0 0 ˆ2 ˆ = r 3 dr 0 0 π/4 (cos 2 θ sin 2 θ) dθ = [ r 4 4 ] 2 0 [ sin(2θ) 2 ] π/4 0 = 2.
Polár transzformáció, példa. Legyen f (x, y) = xy. Az integrálási tartomány egy félkör: = {(x, y) : (x 2) 2 + y 2 4, y 0}. Polárkoordinátákban = {(r, θ) : 0 θ π, 0 r 4 cos θ}. 2 Ez θ szerinti NOMÁLTATOMÁNY. Így ˆπ/2 4ˆcos θ xy d(x, y) = (r cos θ) (r sin θ) r dr dθ = = π ˆ2 0 [ r 4 4 ] r=4 cos θ r=0 0 0 cos θ sin θ dθ = 64 π ˆ2 0 cos 5 θ sin θ dθ = 32 3.
Hármas integrál
Az integrál értelmezése Tekintsük egy három dimenziós S I 3 tartományt. Legyen f : S I, f (x, y, z) egy ezen értelmezett függvény. A kettős integrálhoz hasonlóan értelmezhető a f (x, y, z)d(x, y, z) hármas integrál. S 1. lépés. A Jordan-mérték: Külső és belső közelítésekkel, egyre kisebb oldalú kockákkal történik. Jelölés: V (S).
2. lépés. Az integrál értelmezése S korlátos tartomány, f : S I korlátos függvény. S egy felosztása: S = S 1... S n, ahol int S i int S j =. (ξ i, η i, ζ i )ɛs i. A felosztáshoz tartozó IEMANN ÖSSZEG: I n = n f (ξ i, η i, ζ i )V (S i ). i=1 f INTEGÁLHATÓ, ha lim n, max(δ(s i )) 0 Ekkor ez a határérték a hármas integrál: S I n, és ftlen a felosztásoktól. f (x, y, z)d(x, y, z).
A hármas integrál fizikai interpretációja: tömeg. Adott egy szilárd test, melyet az S térrész határoz meg. Ennek sűrűsége pontonként változik. Az (x, y, z) pontbeli sűrűség f (x, y, z). Ekkor a test tömege: f (x, y, z)d(x, y, z) S Speciálisan, f (x, y, z) 1 esetén a térfogat mérőszámát kapjuk.
Háromdimenziós intervallum Tegyük fel, hogy = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ], azaz = {(x, y, z) : xɛ[a 1, b 1 ], yɛ[a 2, b 2 ], z ɛ[a 3, b 3 ]}, a k, b k ɛi. zárt és korlátos. Legyen f : I integrálható függvény. Tétel. A fenti feltételek mellett ˆb 1 ˆb 2 ˆb 3 f (x, y, z) d(x, y, z) = f (x, y, z)dz dy dx. a 1 a 2 a 3 Az integrálások sorrendje felcserélhető.
Normáltartomány Legyen S I 2 mérhető tartomány az (x, y) síkon. Definíció. Az tartomány (z szerinti) NOMÁLTATOMÁNY, ha a következő alakú: = {(x, y, z) : (x, y)ɛs, F 1 (x, y) z F 2 (x, y)}, ahol F 1, F 2 : S I folytonos függvények, melyekre F 1 (x, y) F 2 (x, y) minden (x, y)ɛs esetén.
Tétel. Adott = {(x, y, z) : (x, y)ɛs, F 1 (x, y) z F 2 (x, y)}. f : I integrálható függvény. Ekkor F 2 ˆ(x,y) f (x, y, z) d(x, y, z) = f (x, y, z)dz d(x, y). S F 1 (x,y) Speiálisan, ha S = [a, b] [c, d], akkor ˆb ˆd ˆ f (x, y, z) d(x, y, z) = a c F 2 (x,y) F 1 (x,y) f (x, y, z) dz dy dx.