Geometrii trnszformációk, trnszformációs egenletek és lklmzásuk geoinformtikán Szkdolgozt Bódis Ktlin Szeged 999
Trtlomjegzék Trtlomjegzék Bevezetés.... Feldtok...5. A Föld felszínének sík vló leképezése...5. Koordinát-rendszerek, vetületi rendszerek közötti átjárások.... Különöző rendszerű dtforrásokól szármzó dtok egüttes kezelése.... A hrmdik dimenzió...5. Az eszköztár: Geometrii trnszformációk...6. A geometrii trnszformáció foglm...6. Egevágósági trnszformáció...8. Hsonlósági trnszformáció.... Affin trnszformáció..... Az ffin trnszformáció foglm..... A tengeles ffinitás..... Az osztóviszon...5.. Az ffinitás megdás...6.5 Trnszformációs egenletek...7.5. Lineáris koordinát-trnszformációk....5. Homogén koordináták...5.6 Mgs rendű, polinomml megdott trnszformáció...7.6. A trnszformáció fok...7.6. A lineáris egenletrendszer megoldhtóság...8.6. Az RMS hi.... Alklmzás.... Irodlomjegzék...7 5. Árjegzék...8
Bevezetés Bevezetés A mindennpi élet számos területén egre gkrn szükség vn rr, hog trtlmzó földrjzi közeggel egütt vizsgáljunk izonos információkt. A társdlmi és gzdsági szervezeteknél ezek z ntropogén körnezet felmérésére, tervezésére, természeti körnezet folmtos megfigelésére és kezelésére, z emeri evtkozások eddigi és potenciális htásánk kuttásár, közlekedés és kereskedelem optimális szervezésére, társdlmigzdsági folmtok feltárásár, társdlom struktúrájánk vizsgáltár iránulhtnk. Ezen összetett feldtok igénlik z információk téreli feldolgozását, mi htlms menniségű dt kezelése mitt m már elképzelhetetlen számítástechnik dt lehetőségek kihsználás nélkül. Ennek z eredméne földrjzi információs rendszerek (Geogrphicl Informtion Sstems GIS) meglkotás, fejlesztése. A geoinformtik ezeknek rendszereknek egik fontos techniki összetevője, cskúg, mint távérzékelés, mel új összefüggéseket tár fel és továi feldolgozndó információkt szolgáltt. A geoinformtikán dtinknk téren pontosn meghtározottnk kell lenniük. Ennek iztosításához sokszor különöző geometrii trnszformációkt kell elvégezni. A geometrii trnszformációk közül sík zon trnszformációit igekeztem emuttni dolgoztomn, melek geoinformtiki és távérzékeléses módszerekkel történő kuttások során z dtelőkészítéstől megjelenítésig előfordulhtnk. A dolgozt célj geometrii trnszformációk tárgköréől eg oln ismeretng összeállítás, mel tudománterülettel méleen nem fogllkozó, de nnk lehetőségeit munkáj során gkrn lklmzó szkemer számár tudtosá, s íg könneé teheti z eszköztáról vló válogtást. Célomt szükséges foglmk meghtározásávl, fontosnk vélt tételek ismertetésével és lklmzási példák megdásávl gondoltm megvlósítni. A célkitűzésnek megfelelően nem éreztem szükségesnek felhsznált mtemtiki összefüggések igzolását. Az első fejezet oln feldtoknk és z zokt meghtározó előzméneknek, körülméneknek megfoglmzás, melekkel zonnl szemen tlálj mgát z, ki geoinformtiki vg távérzékeléses módszerekkel kíván földrjzi lpú dtázist kiépíteni.
Bevezetés Eg ilen dtázis összeállításkor ngon sok szempont szerint lehetne sorolni felmerülő kérdéseket, ezek közül téreli-geometrii jellegűeket próálj meg összefogllni dolgozt első része. A földrjzi jellegű dtok, téreliség z kívánság, hog dtinkt elhelezhessük fiziki földrjzi téren, méréseink lklmávl dott mértékegséget hsználhssunk, egséges koordinát-rendszeren, közös méretránn jeleníthessük meg zokt, mjd különöző geoinformtiki és távérzékeléses műveletek során vizsgált területről teljesen új információk irtoká juthssunk kilkítj geometri, geometrii trnszformációk ismerete iránti igént. Ezekkel fogllkozik második fejezet. A hrmdik fejezeten eg-eg lklmzást láthtunk, melen eg digitlizált térkép és eg műholdfelvétel heles geometrii korrekció után, zonos méretránn fedése kerülve lklmsk továi dtnerésre.
Feldtok 5. Feldtok. A Föld felszínének sík vló leképezése A Föld fiziki lkját mel nem írhtó le semmilen zárt mtemtiki formulávl oln elméleti földlkokkl modellezik, melek már megdhtók mtemtiki függvénekkel, ugnkkor vlóságot megfelelően közelítik. A Föld lkjánk elsődleges megközelítője geoid, mel nehézségi erőtér potenciáljánk közepes tengerszinttel egeeső felülete. Ez potenciálfelület sem jellemezhető még egenletekkel. A közelítés második fok z ún. normál szferoid (srkoknál elpult lk), mel Föld forgás mitt fellépő centrifugális erő okozt tömegelrendeződés eredméne. Felülete képzelt nehézségi erő potenciálfelülete, mel megdhtó ugn egenletekkel, de zok még túl onolultk hhoz, hog szferoid térképi vetületek lpfelületeként szolgáljon. A földlk megközelítésének hrmdik fok forgási ellipszoid. Heles lk és méret megválsztás mellett normál szferoiddl szemen kevés eltérést mutt, egenlete viszont egszerű, íg lklms rr, hog térképi vetületek lpfelülete legen. Kise területek felmérése esetén gkrn lklmzzák vetületi lpfelületnek forgási ellipszoidot z árázolndó terület közepe táján érintő simulógöm felületét. Heli jellegű felméréseknél közvetlenül síkfelülettel is helettesíthetik Földet. A térképi vetületek tehát lpfelületként földi ellipszoidot vg gömöt, képfelületként áltlán síkot vg vlmilen sík fejthető felületet, kúp- vg hengerplástot hsználnk. Két, mtemtikilg meghtározott felület legen z egik z lpfelület (A) másik képfelület (K) prméteres egenletei: A: f z f ( u; v) ( u; v) f ( u; v) ˆ g K: ˆ g zˆ g ( p; q) ( p; q) ( p; q) H z lpfelület és képfelület egenleteinek prméterei között megfelelő mtemtiki összefüggést dunk meg, melet p F u; v), q F ( u; ) egenletekkel fejezünk ki, ( v kkor oln kpcsoltot állítottunk fel két felület pontji között, mel szerint z lpfelület minden pontjánk vn megfelelője képfelületen. A prméterek közötti összefüggések
Feldtok 6 (vetületi egenletek) meghtározzák vetület törvénszerűségeit, de térképi árázolás szempontjáól ki kell kötni, hog z lpfelület és képfelület pontji között kölcsönösen egértelmű (ijektív) megfeleltetést kell létesítsenek, legláis z árázolndó terület pontjink esetéen. Az előző összefüggések lpján ehelettesítést elvégezve oln prméteres egenleteket kpunk, meleken z lpfelület prmétereinek és vetületi egenletek ismeretéen jutunk képfelület egenleteihez: ) G ( u; v) ) G ( u; v) ) z G ( u; v) A földfelszín szemléletes foltonosságánk megfelelően kivéve z oln speciális eseteket, mint pl. eg függőleges, vg áthjló sziklfl vetületi összefüggést megdó függvéneknek foltonosnk kell lennie. Az összefüggések megdás során figelemmel kell lenni rr, hog vetítésől szármzó torzulások megdott érték ltt mrdjnk. l. geodézii felméréseknél lklmzott szögtrtó vetületek esetén kikötés, hog hossztorzulás sehol nem hldhtj meg hossz eg tízezred részét hossztorzulás íg kilométerenként legfelje cm lehet. A torzulások geodézii mérések lpelemeit, szögeket (iránokt), hosszkt és területeket érintik. A vetületeket torzulási sjátosságik szerint csoportosítv eszélhetünk áltlános torzulású, távolságtrtó, szögtrtó és területtrtó vetületről. éldául területtrtó vetületeken dott területű körök mindig zonos területű felszíni területeket jelölnek, s ár területek itt egenlők, területek lkji, szögek torzulhtnk. Szögtrtás esetén z lpfelületen lévő lkzt és képe hsonlók lesznek. Áltlános torzulású vetületen hosszk, szögek és területek is torzulnk. Távolságtrtó vetület nincs. Távolságtrtás csk vetületen meghtározott linementum mentén érvénesülhet. A vetületeket továi csoportok lehet sorolni z lpján, hog csk képlettel dhtók-e meg (képzetes vetületek), vg előállíthtók geometrii úton is (vlódi vetületek). A vlódi vetületek szemléletesen megismerhetőek rról, hog meridiánképei eg pontól kiinduló, állndó szögtávolságú sugársorok. A prlelkörök képei kiinduló ponttl koncentrikus körívek. A képzetes vetületek meridiánképei és prlelkörképei tönire nem merőlegesek egmásr. Elkülönítési szempont, hog vetületnek vn-e vetítési központj és h igen, kkor
Feldtok 7 ez véges pont-e vg pedig végtelenen vn. Síkvetületek esetéen vetítés központj elhelezkedhet Föld középpontján (centrális vg gnomonikus vetület), felszínen z árázolt síkkl szemen (sztereogrfikus vetület), végtelenen (ortogrfikus vetület), vlhol Föld elsejéen (intern vetület) vg Földön kívül (etern vetület). Elkülönítési szempont lehet z lp- (gömi vg ellipszoidi) és képfelület (kúp, henger, sík, göm) milensége vlmint egmáshoz viszonított helzete helzetük (poláris, egenlítői vg ferde tengelű kúp, henger vg síkvetületek. A képfelület z lpfelülethez képest lehet érintő, metsző és leegő helzeten (. ár).. ár Az lpfelület és képfelület helzetének kpcsolt
Feldtok 8 A felszín eg pontjánk zonosítását három koordinátájánk meghtározásávl tehetjük meg. A különöző koordinát-rendszerek (geocentrikus, ellipszoidi felületi, gömfelületi, síkfelületi, st. (. ár) meglkotás, jól hsználhtó síkfelületi koordinátákt eredménező, z elméleti földlkokt lpul vevő, vetítéssel, vetítésekkel kpott, lcson illetve célnk megfelelő, ismert torzulású sík-, kúp-, és hengervetületek, vlmint ng területeket egségesen lefedő vetületi rendszerek kidolgozás térképészek feldt. Z Észk Z Észk Φ Φ Egenlítő R R R G r e e n w i c h X Y Λ Φ o Λ Φ Λ Λ Y X Geocentrikus koordinát-rendszer Ellipszoidi földrjzi koordináták Z X R Y λ ϕ z Y X X Y Gömfelületi pont koordinátái ont síkkoordinátái. ár A különöző koordinát-rendszerek
Feldtok 9 A Nemzetközi Geodézii és Geofiziki Unió (Interntionl Unio of Geodes nd Geophsics IUGG) áltl elfogdott földmodell, z ún. World Geodetic Sstem 98WGS8 z lpj geocentrikus koordinátákkl dolgozó, műholds méréseken lpuló gloális hel- és időmeghtározó rendszernek (Glol ositioning Sstem GS.) Ezek segítségével ng pontossággl meghtározhtjuk felszíni vg felszínhez közeli pontok földrjzi koordinátáit, tengerszint feletti mgsságát és z időt. Az meriki nvigációs rendszer (NAVigtion Sstem with Time And Rnge NAVSTAR) mel z meriki védelmi minisztérium és légierő kezeléséen vn teljes kiépítéskor, k. föld-középpontú körpálán keringő műhold segítségével iztosítj helmeghtározást, mel kkor sikeres, h 6 különöző pálán, km mgsságn keringő műholdk közül leglá műholdról rdiometrii értelemen látszik földi megfigelőpont. Az merikihoz hsonló helmeghtározó rendszer z orosz GLONASS (GLol Oriting nd NAvigtion Stellite Sstem). A földi vevőkészülékek elsődlegesen geocentrikus koordinátákkl zonosítják emért pontot, mjd rendszertől függően számítják át vlmilen vetülete zokt. Ellipszoid felületi rendszerek z lpji legelterjedte vetületi rendszereknek; Guss- Krüger-rendszernek (Krszovszkij-féle ellipszoid) és Universl Trnsverse Merctor (UTM) rendszernek (Hford-ellipszoid), mel koordinát-rendszereket világkoordinátrendszereknek is neveznek. Mindkettő szögtrtó hengervetület. Mgrországon szintén hsználják z említett rendszereket, pl. 98WGS8 geocentrikus rendszert GSméréseknél, Guss-Krüger rendszer ktoni térképészeten, z UTM-rendszert távérzékelésen. A hzi polgári térképezés sjátos vetületi rendszere z Egséges Országos Vetület (EOV), melet kettős vetítéssel (ellipszoidról nnk simulógömjére, mjd gömről síkr) kpnk. A Nemzetközi Geodézii és Geofiziki Unió (IUGG) áltl 967-en jvsolt IUGG/967 elnevezésű forgási ellipszoid dj z lpfelületet, erről vetítenek rr 679,7 m sugrú gömre, mel Budpest körnékén simul legjon z ellipszoidhoz. A gömről vetítés oln ferde tengelű, süllesztett hengerplástr történik, mel z ország területén épp hog metszi gömöt. A henger tengele merőleges Gellérthegen átmenő hosszúsági kör és 7 o 6 észki földrjzi szélességi kör metszéspontján átmenő gömi főkör síkjár. A hossztorzulás kelet-nugti iránú tengel mentén kilométerenként 7 cm, z ország legészki pontján 6 cm, legdéli pontján cm. A területtorzulás hossztorzulás-értékek négzetével egenlő. Az Egséges Országos Vetület szögtrtó. Een
Y X Feldtok vetületen készül el z országot lefedő Egséges Országos Térkép Rendszer (EOTR), mel szelvénezés koordinát-rendszerének origój z országtól DN-r tlálhtó, íg mivel z ország teljes területe koordinát-rendszer első síknegedée esik minden pont mindkét koordinátáj pozitív (. ár). Mgrország területén z koordináták mindig kiseek méternél, z koordináták mindig ngok méternél, íg koordináták felcserélésének hilehetősége is csökken. X X km km Y km km 65 km. ár Mgrország helzete z Egséges Országos Vetületi Rendszer (EOV) koordinát-rendszeréen km Y
Feldtok. Koordinát-rendszerek, vetületi rendszerek közötti átjárások Az eltérő vetületű dtforrásokól szármzó információkt eg rendszerre vontkozttv kell megdnunk hhoz, hog eg dott geometriilg koordinátákkl meghtározott területre jellemző leíró dtokt eg dtázisn kezelhessük. H pl. domorztr vontkozó mgssági dtokt digitlizálás útján Guss-Krüger-rendszeren készült ktoni topográfii térképek szintvonliról vesszük, z út- és településhálózt digitális térképéhez EOV-en készült térképek szolgálnk lpul, területhsznosítás térképezéséhez UTM-rendszere vetített űrfelvételeket hsználunk és rádásul néhán korán nem térképezett, de számunkr fontos ojektum helmeghtározásához geocentrikus vontkozttási rendszerrel dolgozó GS-t hsználjuk, kkor dtink egséges rendszeren vló, egidejű felhsználásához igzán szükség vn geometrii trnszformációk ismeretére, zok lklmzásár. Szerencsére z eges vetületi rendszerek közötti átszámításokr igzolv ezzel előfordulásuk gkoriságát és fontosságát külön kise-ngo progrmokt írtk, sőt, z áltlánosn elterjedt, világszerte hsznált vontkozttási rendszerek közötti koordináttrnszformációk eépített modulji jelentőse térinformtiki- és távérzékelésesképfeldolgozó rendszereknek. Az. tálázt lehetséges átszámítások közül leggkorikt említi.. tálázt Fontos vetületi rendszerek közötti átszámítási módszer Honnn Hov Módszer Áltlános megdás * Ellipszoidi rendszer Síkfelületi rendszer Vetítés f (Φ,Λ) f (Φ,Λ) Gömfelületi rendszer Síkfelületi rendszer Vetítés f (φ,λ) f (φ,λ) Síkfelületi rendszer Síkfelületi rendszer (megegező lpfelület) ) Indirekt trnszformáció két lépésen ** ) Trnszformációs egenletek pl. gömfelületi rendszer esetén i) inverz függvén φ g (, ) λ g (, ) ii) új, síkfelületi egenlet f 5 (φ,λ) f 6 (φ,λ) Síkfelületi rendszer Síkfelületi rendszer (eltérő lpfelület) Trnszformációs egenletek (egenleteket ld. késő) - hsonlósági trnszformáció - ffin trnszformáció - mgs fokú polinomok * A Φ,Λ,φ,λ szögek helzetét. ár szemlélteti, z f -6, g - függvének ** Az indirekt trnszformáció elvégzéséhez ismerni kell közös lpfelület geometrii jellemzőit és felhsznált vetületek egenleteit. Ezek hiánán kontrollpontok lpján, egenletekkel trnszformálhtunk.
Feldtok. Különöző rendszerű dtforrásokól szármzó dtok egüttes kezelése Geoinformtiki és távérzékeléses módszerekkel történő vizsgálódások során z ojektumok jellemzését szolgáló geometrii és leíró (ttriútum) dtok mint z előzőeken is említettük igen eltérő eredetű, más-más jellegű dtforrásokól szármzhtnk. A geometrii trnszformációk szempontjáól z dtnerési eljárások közül most fiziki hel minél pontos meghtározását szolgáló geometrii dtok gűjtése fontos elsősorn leíró jellegű dtokkl szemen. Az dtok feldolgozás számítógéppel történik és digitális formán vló előállításuk során két fázist lehet elkülöníteni. Az elsően geometrii dtok forrás közvetlenül vizsgált ojektum vg nnk képe. Ilen elsődleges dtnerési eljárások pl. földi geodézii mérések, műholds helmeghtározások, fotogrmmetrii módszerek, távérzékelés. A másodlgos dtnerési módszerek z elsődleges módszerek mérési eredménein lpuló, nlóg vg már digitális formán is létező dtforrásokt hsználják fel. Een z értelemen tehát eg földmérési dtok lpján megszerkesztett térkép kézi digitlizálás, szkennelése, vg pl. diszkrét pontokr vontkozó, digitális formán már meglévő dtok átvétele másodlgos dtnerési módszernek minősül. Az dtnerési módszerek szintjeit z dtok továi feldolgozásához szükséges, lklms geometrii trnszformáció kiválsztásához is léneges ismerni. Hsonlósági vg ffin geometrii trnszformációt (elsőfokú vg lineáris trnszformációk) célszerű hsználni ners légi- és űrfelvételek térképi vetülete vló vetítésekor, digitális térképek, légi- és űrfelvételek tájoláskor, már síkr vetített, de még ismert vetület nélküli műholdfelvételek (pl. SOT és Lndst Level B dti) vetületi rendszere vló elhelezésekor. Affin trnszformációt érdemes hsználni térképi síkvetületek másik síkfelületi vetületen vló megdáskor viszonlg nem ng területen dolgozv. Szintén ffin trnszformációt kell hsználnunk digitlizált térképi állománok ún. táli koordinátrendszeréől vlmel kiválsztott vetület koordinát-rendszerée vló áttéréskor is. Tö térképlp digitlizálás esetén z eges drokon elvégzett koordinát-trnszformáció után szomszédos területek szintén hsonlósági trnszformációk révén (speciálisn eltolássl) kerülnek egmás mellé. Ezt funkciót képfeldolgozás képek összeillesztésekor (mozikolás) hsználj. Hsonlósági trnszformációt hsználunk oln műveletekkor is, mikor méretránt változttunk vg keresés, szerkesztés közen rá-zoom-olunk z érdekes jelenségre. A lineáris trnszformációk htását szemlélteti. ár.
Feldtok eredeti kép iránú nújtás iránú nújtás iránú nírás iránú nírás forgtás ngítás kicsinítés eltolás. ár Lineáris trnszformációk htás Másod- vg mgs fokú trnszformációt (nemlineáris trnszformáció) lklmzunk nemlineáris torzulások esetén (5. ár). Ilen pl. mgsról készült, ng területet lefedő felvételeknél kmer lencséje okozt, dott iránú torzulás. Ezt másodfokú trnszformációvl korrigálják. Hrmdfokú trnszformációvl torzult légifelvételeket, rdrfelvételeket, negedfokú trnszformációvl erősen torzult légifelvételeket korrigálnk. eredeti kép néhán lehetséges kimenet 5. ár Nemlineáris trnszformációk htás
Feldtok A trnszformálási művelet célj mindig z, hog z eredeti képi dtállománt oln formá hozzuk, mel továi feldolgozáskor lklmssá teszi z dtokt geoinformtiki funkciókr, műveletekre. Az dtkezelés, lekérdezés, heles elemzés és megjelenítés csk ismert vetületen, ismert koordinát-rendszeren történhet eredménesen. Már meglévő rendszer ővítése vg frissítése is csk trnszformált rendszeren mehet vége. Az dtelemzés eszközeként hsznált logiki-, ritmetiki-, geometrii- vg mtemtiki sttisztiki műveletek sem képzelhetőek el ners, legfelje leíró dtokt trtlmzó, korrigáltln állománokon. Szükségünk vn koordinátákr, méretrán és mértékegség ismeretére továi dtnerést szolgáló mérések lklmávl, helkiválsztási, övezetgenerálási műveleteknél. Közös koordinát-rendszeren, zonos méretránn kezelt képi dtok esetén végezhetjük el vizsgált területre vontkozó leíró dtok összehsonlítását, körülménekre, z dott időeli állpot felmérésére, változásokr, előrejelzésre iránuló geoinformtiki műveleteket.
Feldtok 5. A hrmdik dimenzió A digitális domorztmodellek (mgssági modellek) vg egé, felszín pontjir jellemző, eg-eg jelenséghez trtozó információk lpján meglkotott sttisztiki felületek lehetőséget dnk oln műveletek elvégzésére, melek csk két dimenziót hsználv nem lehetségesek vg túlságosn lssú és körülménes voln végrehjtni őket. A domorzt mgssági dti esetén látvános, áltlán ortogonális onometrikus megjelenítés (6. ár) mellett fontos művelet eláthtósági vizsgáltok elvégzése, lejtőszögek, lejtők kitettségi viszonink meghtározás, vízgűjtőterületek lehtárolás, st. A mgssági dtokhoz hsonlón normál eloszlásúnk kezelt egé dtokól szintén interpolálási eljárássl kphtunk felületeket, melek lpján izovonlkt trtlmzó dtállománt hozhtunk létre. Az dott méretránn vló megjelenítés, mgssági torzítás megdás, mérési műveletek elvégzése megelőző geometrii trnszformációk mitt tehető meg. 6. ár A Velencei-hegség D-s digitális domorztmodellje A modellek lklmzási területe sokféle, z előállítás módj zonn közös. A síkfelületi rendszereli (;) koordinátákkl dott ponthoz mgssági értéknek, hrmdik koordinátként oln értéket rendelhetünk, mel ponthoz leíró dtként kpcsolódik. Egeg ojektumhoz gkorltilg ármenni leíró jellemző trtozht. A geometrii trnszformációk ezekre leíró dtokr nincsenek htássl korrekció során. Ez tuljdonság teszi lehetővé, hog dtink geometrii korrigálását elvégezhessük csk sík trnszformációivl illetve, hog jelen dolgozt szintén csk ezekkel fogllkozzon...
Az eszköztár: Geometrii trnszformációk 6. Az eszköztár: Geometrii trnszformációk. A geometrii trnszformáció foglm Definíció: A geometrii trnszformáció oln leképezés, mellel minden ponthoz vg vlmel ponthlmz minden pontjához hozzárendelünk eg-eg pontot. Definíció: H eg ponthoz (tárgpont) trnszformáció eg pontot (képpont) rendel, zt mondjuk, hog ezek megfelelő (homológ) pontok. Eg lkzthoz (tárg) z lkzt pontjihoz trtozó képpontokól álló lkztot (kép) rendeljük hozzá. Az lkzt trnszformálás képlkztr vló áttérést jelenti. A legegszerű péld trnszformációr z identikus leképezés, helenhgás, mel minden ponthoz önmgát rendeli. Definíció: Eg trnszformációt közönségesnek nevezünk, h más-más tárgponthoz más-más képpontot rendel. A sík vg tér trnszformációj elfjuló, h teljes sík képe lineáris lkzt, illetve teljes tér képe síkeli lkzt lesz. Közönséges trnszformációnk vn ellentétes (inverz) trnszformációj, mel képponthoz rendeli tárgpontokt. A továikn jelző nélküli trnszformáció elnevezést fogjuk hsználni közönséges trnszformációk esetéen. Definíció: Eg ϕ trnszformáció inverze z leképezés (ϕ ), mel eg ponthoz zt pontot rendeli, melhez ϕ z dott pontot rendeli. ϕ : A ϕ( A) A ϕ : A ϕ ( A ) ϕ ( ϕ( A) ) ( ϕ ϕ )( A) ι( A) A Bizoníthtó állítás, hog eg trnszformáció inverze szintén trnszformáció, vlmint hog eg trnszformáció és inverzének egmásutánj z identikus trnszformációt dj. Jelölje pl. ρ C C középpontú, α szögű elforgtást, elvégezve két trnszformációt identitást kpunk: ρ ρ C C ( ρ ( ) ) C ρ ( ) ( ρ ( ) ) ( ρ ρ )( ) ι( ) C C C C ρ C z ellentétes trnszformációt. Egmás után
Az eszköztár: Geometrii trnszformációk 7 Definíció: Az oln trnszformációt, mel megegezik z inverzével involúciónk nevezik. l.: t tengelre vontkozó tengeles tükrözés jelöljük σ t -vel inverze szintén t tengelre vontkozó tengeles tükrözés: σ t σ t. A definícióól és trnszformációk egmás utáni elvégzéséől dódik, hog involutórikus trnszformációk négzete z identikus leképezés. A geometrii trnszformációk mgához geometriához hsonlón tárglhtók elemi geometrii szemléleten és nlitikus módon. Földrjzi lklmzások során trnszformálndó ojektumok áltlán koordinátákkl dottk, íg elsősorn koordináttrnszformációk elvégzésére vn szükség, meleket kívánt trnszformációt megdó egenletek (polinomok) és hozzájuk trtozó, ún. trnszformációs mátriok segítségével tudunk elvégezni. Az eges trnszformációkról lkotott képzetünket zonn főként z elemi geometrii szemlélet lkított ki. A koordinát-rendszer evezetése után rendszeren elhelezett és koordinátákkl zonosított ojektumokon már e szemlélet szerint, de z nlitikus módszerekkel hjtjuk végre trnszformációt. A geometrii trnszformációkt csoportosíthtjuk tuljdonságik szerint. Definíció: Eg trnszformáció egenes trtó, h trnszformáció mellett eg e egenes képe vlmel e egenes. Definíció: Eg trnszformáció távolságtrtó, h tárgpontok távolság és trnszformáció melletti képpontok távolság megegezik: ϕ : A ϕ( A) Adottk z A, B pontok és ϕ trnszformáció.. ϕ : B ϕ( B) Távolságtrtó trnszformáció esetén d( A, B) d( ϕ( A), ϕ( B)). Hsonlón értelmezhetjük szksztrtó, szögtrtó, párhuzmosságtrtó, területtrtó trnszformációkt is. Definíció: Fipont: pont és trnszformáció melletti képe megegezik. Definíció: Fi egenes: oln egenes, melnek minden pontj fipont. Definíció: Invriáns egenes: oln egenes, mel megegezik trnszformáció melletti képével. (Az invriáns egenes áltlán nem fi egenes.)
Az eszköztár: Geometrii trnszformációk 8. Egevágósági trnszformáció A legspeciális és egen legegszerű geometrii trnszformációk z egevágóságok. Ide trtozik trnszformációk triviális példájként említett identikus trnszformáció, helenhgás is, vlmint z áltlános- és középiskoli tnulmánok során megismert tükrözések, forgtások, eltolások és ezek egmásutánjiként kpott trnszformációk. Definíció: A távolságtrtó leképezést egevágóságnk nevezzük. Az egevágóság különöző pontokhoz különöző pontokt rendel, hiszen A B esetén, h trnszformáció utáni ϕ (A) egenlő voln ϕ(b) -vel, kkor távolságokr következő összefüggés lenne érvénes: d( A, B) d( ϕ( A), ϕ( B)), ilen eseten zonn definíció értelméen nem eszélünk egevágóságról. Eől következik, hog z egevágóságnk vn inverze és z is egevágóság. Definíció: Két nem feltétlenül különöző lkzt egevágó, h vn oln egevágóság, mel z egiket másik viszi át. Az egevágóságok speciális esetei tengeles tükrözés, pont körüli elforgtás, középpontos tükrözés és z eltolás. Ezen trnszformációk néhán jellemző tuljdonságát fogllj össze. tálázt. Definíció: A körüljárási iránt megtrtó egevágóságokt mozgásnk nevezzük. A pont körüli elforgtás, középpontos tükrözés és z eltolás szemléletesen oln, minth z egész trtlmzó síkot (vg teret) elmozgtnánk z lkzttl egütt. Beláthtó, hog sík mozgási előállíthtók két tengeles tükrözés egmás utáni elvégzésével (szorztávl). Két párhuzmos egenesre vontkozó tükrözés szorzt eltolás. Az eltolás irán merőleges z egenesekre, ngság tengelek távolságánk kétszerese. Két, közös ponttl rendelkező egenesre vontkozó tükrözés egmásutánj két egenes metszéspontj körüli elforgtásnk felel meg, hol z elforgtás szöge két egenes áltl ezárt szög kétszerese, irán pedig tükrözés sorrendjétől függ. Speciálisn o 8 -os elforgtást (középpontos tükrözést) eredménez két, egmásr merőleges egenesre vló tükrözések egmásutánj. Az elforgtás középpontj, (illetve középpontos tükrözés centrum) két egenes metszéspontj (7. ár).
t t t t t t Az eszköztár: Geometrii trnszformációk 9 t t α α β β C - (αβ) (αβ) α α β β α C (αβ) d d d d d d d 7. ár Mozgások előállítás két tükrözés szorztként Az egevágóságokr vontkozó, izoníthtó tétel, hog sík tetszőleges egevágóság előállíthtó legfelje három tengeles tükrözés szorztként. Szintén izoníthtó, hog három tengeles tükrözés szorzt kkor és csk kkor helettesíthető egetlen egenesre vontkozó tükrözéssel, h három tengel párhuzmos, vg eg pontr illeszkedik. Definíció: A sík vlmel három egenesre tükrözését vlódi három egenesre tükrözésnek nevezzük, h nem redukálhtó eg egenesre vló tükrözésre. Definíció: Legen dott z egmástól különöző,, és c egenes síkn úg, hog és párhuzmosk, c pedig merőleges rájuk. Ekkor egevágóságot csúszttv tükrözésnek nevezzük. ϕ σ o σ o σ A csúszttv tükrözés vlódi három egenesre tükrözés, s nem egezhet meg z identitássl. c
. tálázt Egevágóságok néhán tuljdonság tengeles tükrözés forgtás középpontos tükrözés előállíthtó-e síkmozgásként nem igen igen hogn dhtó meg trnszformáció egenes és képe közötti kpcsolt vn-e fi pont, fi egenes, invriáns egenes tengellel (dott egenes) pont és képének megdásávl forgtás iránított α szögével és forgtás O centrumávl pont és képének, vlmint z elforgtás szögének megdásávl pont és képének, vlmint z elforgtás centrumánk megdásávl tükrözés középpontjávl dott pont körüli 8 o -os elforgtássl pont és képének megdásávl egenes és képe áltlán nem párhuzmos tengellel párhuzmos egenesek párhuzmosok képükkel egenes és képe áltlán nem párhuzmos csk 8 o -os forgtás esetén lesz párhuzmos z egenes képével (középpontos tükrözés) egenes és képe mindig párhuzmos egmássl fi pont: tengel pontji fi egenes: tengel invriáns egenes: tengelre merőleges egenesek fi pont: centrum fi egenes: nincs invriáns egenes: nincs, csk 8 o -os forgtásnál fi pont: középpont fi egenes: nincs invriáns egenes: középpontr illeszkedő egenesek körüljárási irán megtrtás nem igen igen eltolás igen eltolás vektorrl pont és képének megdásávl egenes és képe mindig párhuzmos egmássl fi pont: nincs fi egenes: nincs invriáns egenes: z eltolás vektorávl párhuzmos egenesek igen
Az eszköztár: Geometrii trnszformációk. Hsonlósági trnszformáció Definíció: Hsonlóságnk nevezünk eg pont-trnszformációt, h ármel két pont képének távolság pontok távolságávl osztv mindig ugnzt nullától különöző hándost dj. A képtávolságok és megfelelő tárgtávolságok rán dj hsonlóság ránát. Mivel távolságokról vn szó, ezért hsonlóság rán pozitív szám. O A hsonlóság rán ( λ ) lpján eszélhetünk kicsinítésről, egevágóságról és O ngításról. Definíció: A hsonlóság kicsinítés, h egevágóság, h ngítás, h λ <, λ >. λ, A definícióól következik, hog minden hsonlóságnk vn inverz trnszformációj, mel λ ránú hsonlóság esetéen λ ránú hsonlóság. Szintén definíció következméne, hog két képtávolság rán mindig megegezik hozzájuk trtozó tárgtávolságok ránávl. A hsonlóságr vontkozó állítások izonításkor sokszor szükség vn párhuzmos szelők tételének ismeretére, mel következő: H eg szög szárit párhuzmosokkl metsszük, kkor z egik száron keletkező szkszok rán megegezik másik száron keletkező megfelelő szkszok ránávl Definíció: Két lkzt hsonló, h vn oln hsonlósági trnszformáció, mel z egiket másikhoz rendeli. Bizoníthtó, hog h eg lkzt minden eges pontjához zt pontot rendeljük hozzá, melik eg rögzített O pontól induló O félegenesen vn és melikre O λ O, hol λ eg rögzített pozitív szám, kkor z íg hozzárendelt pontok z eredetihez hsonló lkztot lkotnk, vgis hozzárendelés hsonlóságot d meg.
t Az eszköztár: Geometrii trnszformációk Definíció: H két hsonló lkzt esetéen vn oln O pont, mel ármel megfelelő pontpárrl egütt eg egenesre illeszkedik, kkor centrális hsonlóságról eszélünk. Az O pont hsonlóság centrum. Az elő megdott hsonlóság centrális hsonlóság, és melet felhsználv eláthtó, hog két hsonló síkeli lkzthoz tlálhtó síknk oln hsonlóság, mel két lkztot egmáshoz rendeli. H hsonló síkeli Φ, Φ lkztoknk t és t eg-eg megfelelő távolság, kkor eg tetszőleges O pontot válsztv, leírás lpján Φ -ől oln Φ lkztot tudunk készíteni, melen t -nek t távolság felel meg. A Φ és Φ lkztok egevágók, mert hsonlók és eg-eg megfelelő távolságuk egenlő, tehát hsonlóság rán. Az egevágóság definíciój szerint vn oln egevágóság, mel Φ és Φ lkztokt egmás viszi. Ezt z egevágóságot vlmint megdott hsonlóság inverzét egmás után lklmzv Φ lkztr Φ lkzthoz jutunk. Az eddigiek lpján eláthtó, hog minden hsonlóság előállíthtó eg centrális hsonlóság és eg egevágósági trnszformáció egmás utáni elvégzésével. (8. ár). Φ Φ : centrális hsonlóság ( γ O ) Φ Φ : egevágóság ( ϕ ) t Φ Φ Φ : keresett hsonlóság: γ O oϕ t Φ Φ o 8. ár Hsonlóság előállítás egevágóság és centrális hsonlóság egmásutánjávl Definíció: Két hsonló lkzt párhuzmos helzetű, h megfelelő szkszikt trtlmzó egenesek párhuzmosk egmássl. Az oln hsonlóságot, mel párhuzmos helzetű lkztokt rendel egmáshoz, párhuzmos hsonlóságnk nevezzük.
Az eszköztár: Geometrii trnszformációk Az identikus trnszformáció, z eltolás, pontr vontkozó tükrözés és z előzőeken megdott centrális hsonlóság párhuzmos hsonlóságok. Bizoníthtó, hog minden centrális hsonlóság egen párhuzmos is, vlmint h eg párhuzmos hsonlóság nem eltolás, kkor centrális. árhuzmos hsonlóságnál eszélhetünk hsonlóság előjeles távolságáról is. Az zonosság előjeles rán, pontr vontkozó tükrözésé, megdott O középpontú centrális hsonlóság rán λ, z O-r tükrözve is meg. λ ránú hsonlóságot d A hsonlósági trnszformáció fontos tuljdonság szögtrtás. Eől következik z is, hog kollineáris pontoknk ugnilen pontok felelnek meg, tehát hsonlóság egenes trtó trnszformáció. A háromszögek hsonlósági lpeseteinek ismerete z lpj hsonlósági trnszformációk sokszögekre vló lklmzásánk. Két háromszög hsonló, h ) oldlik rán egenlő, ) két-két oldluk rán és z ezek áltl közezárt szögük egenlő, c) két-két oldluk rán és e két-két oldl közül ngokkl szemközti szögük egenlő, d) két-két szögük páronként egenlő. Körök hsonlóságár vontkozón megállpíthtó, hog minden két kör hsonló, mert z oln hsonlóság, melik z egik kör középpontjához másik kör középpontját rendeli, s melnek rán két kör sugránk rán, z két kört egmás viszi.
Az eszköztár: Geometrii trnszformációk. Affin trnszformáció.. Az ffin trnszformáció foglm Definíció: Eg síknk önmgár vg eg másik síkr vló ffin trnszformációján (ffinitásán) sík egenes trtó trnszformációját értjük. Megj.: A hsonlósági trnszformációk, zon elül z egevágóságok z ffin trnszformációk hlmzánk részhlmz, mivel zok egenes trtó trnszformációk. Affinitások szorzt is ffinitás, ugnis egenes trtó trnszformációk egmás utáni elvégzése során egenes képe szintén egenes kell legen, mi definíció szerint ffin trnszformációt jelent. Indirekt módon izoníthtó, hog eg ffinitás inverze is ffinitás vlmint, hog z ffinitás párhuzmosságtrtó trnszformáció... A tengeles ffinitás Definíció: Eg ffinitás esetén tengelnek nevezzük z ffinitásr fi egenest. Definíció: A sík önmgár vló, nem identikus ffinitását tengeles ffinitásnk nevezzük, h vn tengele. l.: tengeles tükrözés, mint ffinitás esetéen z ffinitás tengele tükörtengel. Beláthtó, hog sík önmgár vló, nem identikus ffinitásánk legfelje eg tengele vn, ugnis, h vn két tengel ( t,t ), kkor eg rájuk nem illeszkedő, tetszőleges pontr is megmutthtó, hog fipont, vgis h eg ffinitásnk vn két tengele, kkor identikus trnszformációról lehet csk szó. Bizoníthtó továá, hog tengeles ffinitásn z egmásnk megfelelő nem fi pontokt összekötő egenesek párhuzmosk. Definíció: A tengeles ffinitás megfelelő pontjit összekötő egenesek iránát z ffinitás iránánk nevezzük. Definíció: H tengeles ffinitás irán merőleges tengelre, kkor merőleges vg ortogonális ffinitásról, h párhuzmos z ffinitás irán tengellel, kkor párhuzmos ffinitásról, egé eseten ferde ffinitásról eszélünk (9. ár)
Az eszköztár: Geometrii trnszformációk 5 irán e f Q t Qt Q tengel 9. ár A tengeles ffinitás tengele és irán Indirek úton izoníthtó, hog tengeles ffinitásnk tengelen kívül nincs fi pontj... Az osztóviszon Definíció: Az (A;B) egenes vlmel B pontjánk z A, B lppontokr vontkozó A osztóviszonán z iránított szkszok előjeles hándosát értjük. B A B Jelölés: ( AB) Az osztóviszon előjele nem függ z egenes iránításától, mert megváltozttv z egenes iránítását mindkét iránított szksz előjelet vált, íg hándosuk előjele nem változik. Az osztóviszon eg ránt jelöl, nem függ z egség megdásától. A párhuzmos szelők tételének következméneként igzolhtó, hog tengeles ffinitás osztóviszontrtó. Szintén párhuzmos szelők tételének következméne következő tétel: Tétel: H tengeles ffinitás irán nem párhuzmos z ffinitás tengelével, kkor ármel nem fi pontot képponttl összekötő egenesnek és tengelnek t metszéspontjár ( t ) osztóviszon ponttól függetlenül állndó. QQ Minden és Q pont esetén igz: Q t Q t
Az eszköztár: Geometrii trnszformációk 6.. Az ffinitás megdás Az előző tétel következméne, hog tengeles ffinitás egértelműen megdhtó tengelével és eg nem fi megfelelő pontpárjávl. Adott t tengelű tengeles ffinitás t tengelének és nem fi, pontpárok ismeretéen eg tetszőleges Q pont képe megszerkeszthető (. ár): ( Q) t M, fi pont (, ) f, Q f Q (, M ) t Q M t Q (, Q) t (, Q ) e, e t (, ) ( Q, Q ) e f Q f t Q t Q e. ár Eljárás eg tetszőleges Q pont képének megszerkesztésére tengeles ffinitásnál f A tengeles ffinitás megdhtó továá tengelével, iránávl és ( t ) osztóviszonnl. A merőleges tengeles ffinitás megdhtó ( t ) osztóviszonnl. Minden ffinitás megdhtó három nem kollineáris pontpárrl. Tétel: Minden ffinitás előállíthtó eg hsonlósági trnszformáció és eg tengeles ffinitás szorztként. A hsonlóság rántrtó tuljdonságánk (osztóviszontrtás), z ffinitások osztóviszontrtásánk és z előállításukr vontkozó tétel következméneként mondhtó ki, hog minden ffinitás osztóviszontrtó.
Az eszköztár: Geometrii trnszformációk 7.5 Trnszformációs egenletek A vlós földrjzi tér vizsgált ojektumit különöző vontkozttási rendszereke helezve, rendszereli koordinátáivl zonosítjuk. A geoinformtiki feldolgozás során trnszformálndó ojektumok vontkozttási rendszerét koordinát-trnszformáció útján képezzük le kívánt koordinát-rendszere. A trnszformációt kkor tudjuk végrehjtni, h meg tudunk dni oln pontokt, meleknek ismerjük mindkét vontkozttási rendszereli koordinátáit. Az ilen pontokt referencipontoknk vg illesztési pontoknk nevezzük. H z dtgűjtés eredméneként (digitlizált térképen, szkennelt légifelvételen, műholdképen, st.) eg térelemhez ( ; ) pontot rendeljük hozzá vlmel vontkozttási rendszeren megdott koordinátákkl, és továikn ugnennek térelemnek eg másik, z ún. korrigált rendszeren ( ; ) pontot kívánjuk megfeleltetni, kkor meg kell dnunk zt z összefüggést, zt z egenletet, mel megfelelő koordinátákt átviszi egmás. H koordinátákt ismerjük, kkor ezekől ki tudjuk számítni z egenletek egütthtóit és z íg meghtározott trnszformációs egenlet lpján továi, forráskoordinátákkl megdott pontoknk meg tudjuk htározni korrigált vontkozttási rendszereli helét, ottni koordinátáit kiszámítv. Az illesztési pontok szám vlmint z dtforrás meghtározz lehetséges trnszformáció módját. A sík legegszerű trnszformációi hsonlósági trnszformációk. Een z eseten z eredeti és kép koordinát-rendszer közötti kpcsoltot elforgtássl, méretrán-váltássl (ngítás vg kicsinítés) és eltolássl, illetve ezek egmás utáni elvégzésével dhtjuk meg. A két koordinát-rendszer kezdőpontj nem esik ege (eltolás), z eredeti és korrigált koordinát-rendszer megfelelő tengelei ϕ szöget zárnk e egmássl (ϕ szögű elforgtás), vlmint tengeliránú léptékváltás történhet. A. ár hsonlósági trnszformáció elvét szemlélteti késő is hsználtos jelölésekkel.
Az eszköztár: Geometrii trnszformációk 8. ár A hsonlósági trnszformáció elve A hsonlósági trnszformációkkl megegező, de különöző tengeleken eltérő mértékű léptékváltást is engedélező koordinát-trnszformáció z ffin trnszformáció. Az említett trnszformációk közös tuljdonság, hog egenesek trnszformáció utáni képe is egenes lesz. (Az ffinitások osztóviszontrtási tuljdonságánk ismeretéen ez z dtszerkezet szempontjáól zt is jelenti, hog jelölt pontok szám nem fog növekedni. Két pont áltl kijelölt szksz képe pontok képe áltl meghtározott szksz lesz.) A trnszformációt megdó egenleten minden koordinát legfelje z első htvánon szerepel, s íg ezeket elsőrendű trnszformációknk is nevezzük. Az elsőrendű trnszformációk megdásához szükséges trnszformációs egenlet egütthtóit minimálisn 6 prméteről, tehát pont-képpont páról lehet meghtározni. A koordináták lpján kpott lineáris egenletrendszert z lkn lehet felírni, hol z ismeretlenek z, koordináták egütthtói. Az egütthtókt mátri lkn felírv kpjuk trnszformáció mátriát.
Az eszköztár: Geometrii trnszformációk 9 A lineáris trnszformációkhoz hsonlón mgs fokú polinomokkl megdott trnszformációk is forrás- és referencikoordináták segítségével felírt n-ed fokú polinomokkl dják meg kpcsoltot két koordinát-rendszer között. A kpott egenletrendszer egütthtói forráskoordináták lesznek, ismeretleneit pedig trnszformációs egenlet meghtározndó egütthtói lkotják. Ezeket szintén írhtjuk mátri lk. Az íg kpott mátri trnszformáció mátri. A polinomok fokszám és z egütthtók meghtározásához minimálisn szükséges illesztő pontok szám között összefüggés vn. H polinom fokszám n pontok számát pedig p-vel jelöljük, kkor p értéke kiszámíthtó: ( n )( n ) p (Bizonítás Mgs rendű, polinomml megdott trnszformáció témkören!)
Az eszköztár: Geometrii trnszformációk.5. Lineáris koordinát-trnszformációk Legen V és W két vektortér T test felett. A Ψ : V W leképezést kkor nevezzük lineáris trnszformációnk, h v, v V és λ T esetén érvénes következő összefüggés: Ψ ( v v ) Ψ( v) Ψ( v ) és Ψ( λ v ) λψ( v) Adott n-dimenziós vektortéren, dott ázis (lineárisn független vektorrendszer) esetén z n- dimenziós vektorok lineáris trnszformációi leírhtók nn-es mátriokkl. A -dimenziós sík esetén síktrnszformációk töségét -es mátri megdásávl lehet elvégezni. (Látni fogjuk, hog z íg megdott trnszformáció egedül z origót hgj változtlnul, tehát síkeli eltolást nem tudunk megvlósítni -es mátriszl.) A ( ; ) és ( ; ) pontok közötti lineáris trnszformáció megdhtó következőkkel: hol A [ ] A [ ] An z eseten, h,,, vgis h trnszformáció mátri z identikus trnszformációról eszélünk. A E (másodrendű egségmátri) A mátriszorzás szerint z új koordináták értéke kiszámíthtó:
Az eszköztár: Geometrii trnszformációk A lineáris trnszformációt leíró A márti speciális esetei z ún. elemi koordináttrnszformációk, meleket z. tálázt és hozzá trtozó. ár mutt e.. tálázt Lineáris trnszformációt megdó mátri speciális esetei, és tengel iránú léptékváltás elfjuló trnszformáció és tengelek mentén zonos skálázás és > > tengel iránú ngítás tengel iránú ngítás és < < < < tengel iránú kicsinítés tengel iránú kicsinítés és < tükrözés z tengelre < tükrözés z tengelre és skálázás eltér két tengelen (ffin trnszformáció) vetítés, (léptékváltás mjd tükrözés z egenesre) elfjuló trnszformáció,, nírás, (ffin trnszformáció) Az origó körüli ϕ szögű elforgtás szintén megdhtó [ ] A [ ] cosϕ,, sinϕ, sinϕ, cosϕ, cosϕ sinϕ tehát trnszformáció mátri: A, sinϕ cosϕ Az új koordinátákt (. ár) mátriszorzást elvégezve kpjuk: cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ mátriszl, hol:
Az eszköztár: Geometrii trnszformációk. ár Elemi koordinát trnszformációk
Az eszköztár: Geometrii trnszformációk Eg ϕ szögű, origó körüli elforgtást λ méretrán-változás (λ-tól függően ngítás, kicsinítés vg egevágóság) mellett következő trnszformációs mátriszl, illetve egenlettel dhtunk meg: λ cosϕ A λ sinϕ λ sinϕ λ cosϕ λ cosϕ λ sinϕ λ sinϕ λ cosϕ r sin α r cos α r r ( ; ) r sin ( α ϕ ) cos ( α ϕ ) sin cos r ( α ϕ ) sinα cosϕ cosα sinϕ ( α ϕ ) cosα cosϕ sinα sinϕ ϕ α (;) r cosϕ sinϕ r r r sinϕ cosϕ r r r cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ. ár Az origó körüli forgtás utáni koordináták kiszámításánk elve A méretrán-változás szkszok trnszformáció utáni és előtti hosszánk ránávl is megdhtó. H ; ), Q( ; ) pontok koordinát-trnszformáció utáni képei ( p Q Q ; ), Q ( ; ) pontok, kkor méretrán-változás λ értéke egszerűen ( Q Q kiszámíthtó képszksz és z eredeti szksz hosszánk hándosávl:
Az eszköztár: Geometrii trnszformációk ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, Q Q Q Q Q d Q d λ A mátriszorzás nem kommuttív, trnszformációk nem felcserélhetőek, sorrendjük fontos. A sorrendet felcserélve szorzt áltlán különöző trnszformációkt eredménez. éldául: Origó körüli 9 fokos forgtás negtív irán, mjd tükrözés z tengelre: [ ] [ ] origó körüli 9 fokos forgtás negtív irán [ ] [ ] tükrözés z tengelre [ ] [ ] [ ] tükrözés z tengelre Tükrözés z tengelre mjd origó körüli 9 fokos forgtás negtív irán: [ ] [ ] tükrözés z tengelre [ ] [ ] origó körüli 9 fokos forgtás negtív irán [ ] [ ] [ ] tükrözés z tengelre -es mátri szorzásávl z és koordináták oln trnszformációit tudjuk csk végrehjtni, mel z origót helen hgj. Nem tudunk megdni oln -es mátriot, mellel szorozv koordinátákt eg eltolásvektor htását eredménezné. A homogén koordináták evezetése kiküszööli ezt hiánosságot.
Az eszköztár: Geometrii trnszformációk 5.5. Homogén koordináták Definíció: H h, kkor z ( ; ; h) számhármst ; síkeli pont homogén h h koordinátáink nevezzük. Jelölés: ( ˆ ; ˆ ) ~ ( ; ; h) Az ( ; ˆ ) ˆ tetszőleges síkeli pontnk végtelen sokféle homogén-koordinátás lkj vn, definíció lpján ugnis: λ λ λ. λh λh h h ( ˆ ; ˆ ) ~ ( λ ; λ; λh) ( λ R), mert ( ; λ; λh) ~ ; ; ( ˆ; ˆ ) Definíció: Az ( ˆ ; ˆ ) síkeli pont normlizált homogén koordinátáink nevezzük ( ; ; h) számhármst, h homogenitás mellett h feltétel is teljesül. Az eddigiek lpján minden síkeli pontnk létezik normlizált homogén koordinátás lkj: ( ˆ ; ˆ ) ~ ( ˆ; ˆ ; ) A homogén koordináták trnszformációi is leírhtók mátriokkl. A korái, -es mátriműveletek dt trnszformációs lehetőségek továr is elvégezhetőek, mivel zok "homogén -et " változtlnul hgják: [ ˆ ] A ~ [ ˆ ˆ ] ˆ
Az eszköztár: Geometrii trnszformációk 6 Az M trnszformációs mátri nég fő részre oszthtó (. tálázt), ttól függően, hog koordinát-trnszformáció során milen jellegű változásokt eredméneznek z egütthtók.. tálázt A trnszformációs mátri felosztás I. léptékváltás, nírás, origó körüli forgtás, tükrözés,, II. eltolás z ( ) ;,, helvektorrl III. zonos mértékű (/-ránú) léptékváltás mindkét koordinát iráná ( ) IV. síkeli perspektív trnszformáció (centrális projekció), (, ) I. Ezen trnszformációkról Lineáris koordinát-trnszformációk témkören vn szó. II. Eltolás z ( ; ) helvektorrl: [ ˆ ] [ ˆ ˆ ] ˆ III. Léptékváltás mindkét koordinát iráná / -ránn: [ ˆ ˆ ] [ ˆ ˆ ] IV. * Síkeli perspektív trnszformáció (centrális projekció) [ ˆ ] [ ˆ ˆ ˆ ˆ ] ˆ Ez pont síkeli ˆ ˆ ; pontnk felel meg. Beláthtó, hog két ˆ ˆ ˆ ˆ egütthtó növelésével trnszformált pont egre közele kerül z origóhoz, tehát trnszformáció centrális projekció.
Az eszköztár: Geometrii trnszformációk 7.6 Mgs rendű, polinomml megdott trnszformáció.6. A trnszformáció fok Az elsőrendű trnszformációk lklmzását oln eseteken tehetjük meg, mikor szükséges változttások lineáris jellegűek és trnszformáció során megengedhető, hog egenes képe szintén egenes legen. Az ilen tuljdonságú trnszformációkt leíró egenleteken minden koordinát legfelje z első htvánon szerepel. Nemlineáris torzulások esetén oln trnszformációkr vn szükség, melek nem lineáris változttásokkl ezeket korrigálni tudják. A koordinátáink trnszformációjához itt is egenleteket polinomokt hsználunk. A torzultságától, z illesztési pontok számától és egmáshoz viszonított elhelezkedésüktől függő összetett polinomok szükségesek kellő trnszformáció végrehjtásához. Ezeken polinomokn már nem csk első htvánon szerepelnek koordináták. A legmgs kitevő dj meg polinom fokszámát, z pedig trnszformáció fokát. Áltlán első- és másodfokú trnszformációkt lklmzunk H eg illesztési pont forráskoordinátáit ( ; ) -nl jelöljük, referenci-koordinátákt pedig ( ) ; -vel, kkor ezek lpján következő két polinomot tudjuk felírni: 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9...... A trnszformáció mátriát z illesztési pontok koordinátái lpján számítjuk ki. A mátri koordinát-trnszformációhoz hsznált polinom (trnszformációs függvén) egütthtóiól áll. Mérete függ trnszformáció fokától. A trnszformációs függvénen sokdfokú tgokt forráskoordináták lkotják. Az illesztési pontok forrás- és referencikoordinátáit megdv sokdfokú tgok ismerté vállnk, és egütthtóik lesznek trnszformációs függvén meghtározndó ismeretlenei. Ezek z ismeretlenek (, ) már első htvánon szerepelnek és megdott forráskoordinátákkl i i lineáris egenleteket lkotnk. Tö illesztési pont megdásávl lineáris egenletrendszerhez jutunk. E lineáris egenletrendszer megoldhtóságát és megoldásit kell vizsgálnunk.
Az eszköztár: Geometrii trnszformációk 8 l.: másodfokú trnszformáció esetén z i -k és i -k ( [ ] ;;;;;5 i ) z ismeretlenek. 5 5 Forrás- koordináták Referenci- koordináták 7 7 5 5 5 6 9 6 6 7 9 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 7 6 7 6 9 9 6 7 6 6 5 6 5 6 6 5 6 5 9 5 6 5 5 6 5 5 6 9 7 6 9 9 6 9 6 7.6. A lineáris egenletrendszer megoldhtóság Definíció: Szálosnk nevezünk eg lineáris egenletrendszert, h z egenletek szám megegezik z ismeretlenek számávl és z eges egenletek lineárisn függetlenek egmástól. A lineáris lgeráól ismert tétel, Crmer szál értelméen szálos lineáris egenletrendszer megoldhtó és pontosn eg megoldás vn z egütthtóknk. A megoldás elvégezhető Guss-elimináció módszerével, vg Crmer szálán megdott determinánsokt felhsználv. A trnszformációs függvén egütthtói szálos egenletrendszer ismeretleneit lkotják, h megfelelő számú illesztési pontot dunk meg. Az íg kpott egütthtókt visszírv trnszformációs függvéne trnszformálndó felület ármel pontjánk meg tudjuk dni képét. A kérdés már csk z mrd felhsználó számár, hog minimálisn hán illesztési pont megdásár vn szükség eg dott fokú trnszformáció elvégzéséhez?
Az eszköztár: Geometrii trnszformációk 9 Az előzőek lpján kérdést úg is meg lehet foglmzni, hog hán egütthtój vn mimálisn eg n-ed fokú polinomnk? Az 5 6 7 8 9... lkú... polinomokt n-ed fokú eseten felírhtjuk következő összeg formáján: k l n kl k, l k l n k l k l n kl k, l 5 k l 6 n k l 7 8 9 Az k és z l szorztánk összes oln kominációj szerepel polinomokn, melre k l n. Ezek számát megdhtjuk, h elem (; ; ) n-tgú ismétléses kominációink számávl: t elem n-tgú ismétléses kominációink szám; t n n ( t n )! n! ( t )! ( ) C n i t. Esetünken t. Három elemől (; ; ) képzett n-tgú ismétléses kominációk szám: ( n )( ) n n n n n. Enni egütthtój lesz eg egenletnek. Minden n-ed fokú trnszformáció esetén eg illesztőponthoz két egenlet trtozik, egenletenként ( n )( n ), összesen ( )( n ) n számú különöző egütthtóvl. Egértelműen megoldhtó, szálos lineáris egenletrendszert kpunk, h z egenletek szám szintén ( )( n ) n. Mivel eg pontpár (ismert forrás- és referencikoordinátákkl rendelkező illesztési pont) két egenletet htároz meg, ezért ( n )( n ) trnszformációs függvén egértelmű meghtározásához. dr illesztési pont megdásár vn szükség Összefogllv: h trnszformáció fok n, meghtározáshoz szükséges pontok számát pedig p-vel jelöljük, kkor p értéke kiszámíthtó: p ( n )( n )
Az eszköztár: Geometrii trnszformációk.6. Az RMS hi A gkorltn trnszformáció elvégzéséhez áltlán tö illesztési pontot hsználunk, mint mennit trnszformáció fokszám megkíván. Ilenkor tö egenletet tudunk felírni, mint hán egütthtó vn. Elvileg ármelik egenlet helettesítheti másikt trnszformációs függvén egütthtóink kiszámításánál, trnszformációs függvén egértelműen meghtározhtó. A trnszformáció során nem lép fel mérhető hi. A vlóságn zonn ritkán tudunk oln szerencsésen illesztési pontokt kiválsztni, hog különöző egenletek lpján kiszámított trnszformációs függvének között ne legen eltérés, illetve z dtrögzítési technikák elkerülhetetlen hiforrási mitt mindig vlmilen hiávl kell dolgoznunk. A cél z, hog hiát definiálni tudjuk és lehető legkise értéken trtsuk munkánk során. A trnszformációhoz minimálisn szükségesnél tö pont megdáskor sttisztikán hsznált legkise négzetek módszere szerint történik pontokr legjon illeszkedő göre ( trnszformációs függvén) meghtározás. A legkise négzetek módszere pontok és göre távolságát minimlizálj. Azt görét keressük, melre igz, hog h pontoknk görétől mért távolságit négzetre emeljük, mjd kpott számokt összegezzük, kkor ez z összeg minimális lesz, vgis nincs oln másik göre, melre kise ilen összeget kpnánk. A trnszformációs függvén meghtározásán íg minden illesztési pont részt vesz, de nem fog illeszkedni minden pont trnszformációs függvén göréjére. Az ún. RMS (Root Men Squre) hi értékét trnszformációs függvén lpján számított hel és referenciként megdott hel számított távolságink négzetösszegének számtni közepéől vont négzetgökeként lehet megdni. H F() trnszformáció függvéne, eg pont forráskoordinátáit ( ; )-vel, referencikoordinátáit ( ) e eltérés: ( F ) ) ( F( ) ) ( ; -vel jelöljük, kkor z
e Az eszköztár: Geometrii trnszformációk Az RMS hi értékét p számú pont esetén következő képlettel lehet kiszámítni (. ár): RMS e e e... e p p Illesztési pontok Trnszformált pontok e Eltérés e e. ár Az RMS hi kiszámítás Az RMS hi eg másik kiszámítási módj szerint z eltérés értékét trnszformációs függvén inverzével számítjuk ki úg, hog referencikoordinátákt z inverz trnszformációvl vissztrnszformáljuk forráspontok koordinát-rendszerée és z ott kpott különségek dják z e i eltéréseket. Az (5. ár) és koordinátákr külön-külön is kiszámíthtó z eltérés értéke. 5. ár Az iránú eltérés értékének meghtározás