Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás vázlatok. Téma szerit az el adást a sorozatok égy típusára szeretém kocetráli, égy olya típusra, amelyek midegyike a közismert számtai sorozat tagjaira épül. A dolgok közepébe vágva, rögtö sorolom a égy típust.. Hatváyösszegek: k + k + 3 k +... + k. Itt és a továbbiakba is k-val tetsz leges rögzített pozitív egész kitev t jelölük.. Hatváyozott számtai sorozatok összegzése: a k + [a + d] k + [a + d] k +... + [a + )d] k. Vegyük észre, hogy a = d = eseté ez a típus az. típusú hatváyösszegre redukálódik, k = eseté pedig a sima számtai sorozatra. 3. Kosziusz függvéyel leképezett számtai sorozatok összegzése: cos a + cos[a + d] + cos[a + d] +... + cos[a + )d]. 4. Kosziusz függvéyel leképezett hatváyozott számtai sorozatok összegzése: cos k a + cos k [a + d] + cos k [a + d] +... + cos k [a + )d].
A két utóbbi típus sziusz függvéyel is hasolóa tárgyalható, azoba a kosziusz függvéy választása eseté valamivel egyszer bb a tárgyalás, azért ezzel az esettel illusztráljuk a számítás módszerét. Ez a két utóbbi típus külööse érdekes abba a speciális esetbe, amikor d = π. Ilyekor a függvéy argumetumokat szögekek tekitve, ezek iráyai egyeletes lépésközökkel potosa körbejárják a szélrózsát. Az. típus felkeltette az érdekl désemet már gimazista koromba, és kiszámítottam az a = k sorozat els tagjáak zárt összegképletét a k = 7 kitev ig. Egy kis füzetet jelöltem ki képletgy jteméy céljára, melyek els lapjá szépe felsoroltam el ször a k =,, 3 kitev k esetére voatkozó közismert, majd folytatólagosa az általam kiszámított, ezt megel z e viszot általam em ismert k = 4, 5, 6, 7 kitev k esetére voatkozó összegképleteket. Valahogy így: + + 3 +... + = +) + + 3 +... + = +)+) 6 3 + 3 + 3 3 +... + 3 = +) 4 + 4 + 3 4 +... + 4 = +)+)[3+) ] 30 5 + 5 + 3 5 +... + 5 = +) [+) ] 6 + 6 + 3 6 +... + 6 = +)+)[3 +) 3+)+] 4 7 + 7 + 3 7 +... + 7 = +) [3 +) 4+)+] 4 Amikor éppe ezzel voltam elfoglalva, potosabba: amikor már megvolt a hetedik hatváyok összegképlete, Autheried taár a füzetembe ezt megpillatva arra kért, hogy szereté, ha kit zém Kömal feladatkét. Ezt megel z e is felvetette már, hogy helyes vola, ha a mások által kit zött feladatok szorgalmas megoldása mellett magam is t zék ki feladatokat. Sajos a kreativitás soha em volt az er s oldalam, talá ezért ezt a kérését akkor em teljesítettem. Metségemre szeretém felhozi, hogy az is motivált a egatív hozzáállásomba, hogy a Budapeste talá havi de lehet, hogy aál ritkább) redszerességgel, Reima Istvá szervezésébe és vezetésével tartott Ifjúsági Matematikai Kör összejöveteleiek egyiké szóba hoztam, hogy é tudom a 3-ál agyobb kitev j hatváyösszegeket is zárt formulával, Reima taár úr azoba leitett, em hagyta, hogy err l beszéljek, mert bizoyára em tartotta elég fotosak vagy érdekesek. Évtizedekkel kés bb, kicsit eltér módo, léyegébe teljesítettem Autheried taár régi kérését, amikor sajos már em élt. Azzal a külöbséggel, hogy em általam már megoldott, haem még megoldatla feladatokat t ztem ki az iteretes holapomo. Mideesetre a taár régi kérése motivált abba, hogy a weblapomo yilváos pályázatot t ztem ki a magasabb kitev kre voatkozó hatváyösszegek zárt képleteiek a megadására. Eek megoldásába többe beszálltak, és ezáltal k = 35 kitev ig jutottam el a hatváyösszegek zárt képleteiek a felsorolásával a holapomo. A Térlefed coverig) kódok kérdései c. 0-re elkészült köyvembe pedig egy külö rövid fejezetet szátam megoldatla problémák felsorolására a köyv témájába. 4
Az említett iskolás kori füzetemek további lapjai a többszörös szögek szögfüggvéyeire voatkozó képleteket gy jtöttem össze, evezetese si kx és cos kx kifejezését si x és cos x poliomjakét. Példakét az egyik ilye képletsort idézem, cos kx kifejezését cos x poliomjakét. Ez volt a kis füzetem egyik további lapjáak egy részlete. Arra még emlékszem, hogy cos 7x-él tovább is folytattam, de arra már em, hogy potosa meddig. lehet, hogy valahol 0 körül álltam meg, de lehet, hogy csak 5 körül. cos x = cos x cos 3x = 4 cos 3 x 3 cos x cos 4x = 8 cos 4 x 8 cos x + cos 5x = 6 cos 5 x 0 cos 3 x + 5 cos x cos 6x = 3 cos 6 x 48 cos 4 x + 8 cos x cos 7x = 64 cos 7 x cos 5 x + 56 cos 3 x 7 cos x A feti képletsor közvetleül ugya em tartozik az el adás témájához, viszot segédeszközül szolgál a 4. típusú összegképletek kezeléséhez. Ha ugyais a cos kx kifejezés poliom el állítását egy bizoyos k-ig bezárólag megadtuk, akkor ezek segítségével a cos k x hatváyokat is fel tudjuk íri külöböz argumetumú kosziusz függvéyek lieáris kombiációjakét. Nevezetese cos x = + cos x) cos 3 x = 3 cos x + cos 3x) 4 cos 4 x = 3 + 4 cos x + cos 4x) 8 cos 5 x = 0 cos x + 5 cos 3x + cos 5x) 6 cos 6 x = 0 + 5 cos x + 6 cos 4x + cos 6x) 3 cos 7 x = 35 cos x + cos 3x + 7 cos 5x + cos 7x) 64 Az utóbbi képletsor viszot hídat képez a 3. és 4. típusú összegzési formulák között. Ilye képletek segítségével a 4. típusú összegzéseket vissza tudjuk vezeti a 3. típusra. Eze bevezetés utá vegyük sorra az el adás témájakét felsorolt típusokat. 3
. Hatváyösszegek képletei A kit zött cél: Állítsuk el a i k = k + k + 3 k +... + k alakú összegeket zárt alakba. A k 7-re voatkozó kokrét esetekr l már szó volt, az alábbiakba újra felsoroljuk eze speciális esetek összegképletét: + + 3 +... + = +) + + 3 +... + = +)+) 6 3 + 3 + 3 3 +... + 3 = +) 4 + 4 + 3 4 +... + 4 = +)+)[3+) ] 30 5 + 5 + 3 5 +... + 5 = +) [+) ] 6 + 6 + 3 6 +... + 6 = +)+)[3 +) 3+)+] 4 7 + 7 + 3 7 +... + 7 = +) [3 +) 4+)+] 4 Létezik egy szép általáos képlet is, amelyr l diákkét még em tudtam, csak jóval id sebb korba találtam meg a szakirodalomba: ahol B = 6, B 4 = 30, B 6 = 4 4 k i k = k+ k + + k + ) k B j k j+, j j j= a Beroulli számok. A Beroulli számok deíciója és további elemei köyvekbe és iteretes portálok táblázataiba megtalálhatók.) Nem tartozik szorosa a témához, mégis érdemes itt megemlítei, hogy egatív kitev j véges hatváyösszegek eseté zárt formulát em ismerük, ezzel szembe a végtele összegekre létezek klasszikus eredméyek: a = eseté a harmoikus sort kapjuk, amelyre a végtele összeg diverges. Aszimptotikusa a log x függvéy görbéjéhez illeszkedik.) )-él kisebb egész kitev kre a végtele összeg koverges; zárt képletet páros egatív kitev kre ismerük, például + + 3 +... = π 6 + 4 + 3 4 +... = π4 90 + 6 + 3 6 +... = π6 945 4
3. Hatváyozott számtai sorozatok összegképletéek meghatározása Ebbe a szakaszba azokkal a sorozatokkal foglalkozuk, melyekél a sorozat általáos tagja a = [a + d )] k. A megoldás tetsz leges k eseté visszavezethet az el z szakaszba megfogalmazott típusra, például k = eseté közöséges számtai sorozat) [a + di )] = a + d[ + + 3 +... + )] = a + d ), k = eseté [a + di )] = a + ad[ + + 3 +... + )] + d [ + + 3 +... + ) ] = k = 3 eseté = a + ad ) + d ) ), 6 [a+di )] 3 = a 3 +3a d[++3+...+ )]+3ad [ + +3 +...+ ) ]+ +d 3 [ 3 + 3 + 3 3 +... + ) 3 ] = = a 3 + 3a d ) + 3ad ) ) 6 + d 3 ). 4 Az általáos esetbe tetsz leges k kitev re [a + i )d] k = a k + = a k + k j= ) k a k j d j j [ a k + i= k j= i ) j = a k + i= ] k )a k j i ) j d j = j k k )a k j d j i j. j j= 5
4. Kosziusz függvéyel leképezett számtai sorozatok Tekitsük az olya sorozatokat, melyek általáos tagja a = cos[a + d )]. Az összegképlet: si[a+ )d] si[a d], ha d 0 mod π) si cos[a + i )d] = d cos a, ha d 0 mod π) ) Külö gyelmet érdekel az a speciális eset, amikor d = π e, ahol e egy 0 és közötti egész. Az el bbi képletet erre a speciális esetre alkalmazva azt kapjuk, hogy cos[a + i ) π e] = 0 ha 0 < e <. ) 5. Kosziusz függvéyel leképezett hatváyozott számtai sorozatok Az el z szakaszba tárgyalt sorozat általáos elemét k-adik hatváyra emeljük: a = cos k [a+d )]. A k = kitev re voatkozó eredméy birtokába erre az általáosabb problémára is tuduk megoldást találi. Láttuk, hogy cos x = + cos x) cos 3 x = 3 cos x + cos 3x) 4 cos 4 x = 3 + 4 cos x + cos 4x) 8 cos 5 x = 0 cos x + 5 cos 3x + cos 5x) 6 cos 6 x = 0 + 5 cos x + 6 cos 4x + cos 6x) 3 cos 7 x = 35 cos x + cos 3x + 7 cos 5x + cos 7x) 64 Az általáos esetre külö páros és külö páratla kitev kre az alábbi képletek bizoyíthatók: [ r cos r x = ) r ) ] r + cos jx, r 3) r r j cos r+ x = r r j=0 j= ) r + cosj + )x. 4) r j 6
A feti összefüggések alapjá például cos [a + i )d] = + cos[a + i )d] = = + si[a+ )d] sia d), ha d 0 mod π) si d cos a, ha d 0 mod π), 5) = cos 3 [a + i )d] = 3 4 3 si[a+ )d] si[a d] 4 si d cos[a + i )d] + 4 cos[3a + i )3d] = + si[3a+ )3d] si[3a 3d], ha d 0 mod π) 4 si 3d 3 3 si[a+ )d] si[a d] + cos 3a, 4 si d 4 ha d 0 mod π ), de d 0 mod π) 3 3 cos a + cos 3a, ha d 0 mod π) 4 4 A hatváykitev további övelése sorá a hasoló módo felírható formulák egyre boyolultabbá válak, mivel egyre több külöböz modulusra kell egyszerre gyelemmel lei. Viszoylag köyebb dolguk va abba a speciális esetbe, amikor d = π. Ilyekor a kosziusz függvéyel leképezett hatváyozott számtai sorozat összegképletét általáos formulával is meg tudjuk adi, azoba k és paritásától függ e egymástól többékevésbé eltér összegképletek írhatók fel. Páros k = r eseté = r ) r + r Páratla k = r + eseté [ cos r+ a + i ) π ] = [ cos r a + i ) π ] = 6) r r h= r r h= 0 ha páros, r h=0 r r r h ) cos ha ha páros, r r h) cos ha ha páratla. r+ r h ) cosh + )a ha páratla. 7) 7
6. Alkalmazások matematikai verseyfeladatok megoldására A hatváyösszegek képleteire em kerestem az el adásomhoz kokrét alkalmazásokat. Ehelyett csak ayit szereték elmodai, hogy diákkori matematikai feladatmegoldói praxisomba gyakra vettem haszát ezekek a képletekek természetese csak k =,, 3 kitev vel külöböz algebrai, kombiatorikai és szöveges Kömal és egyéb feladatok megoldására. Mivel az ilye feladatok a kevésbé ehéz kategóriába tartozak, azt hiszem ikább az I-II. osztályosok 4-6 évesek) számára kiírt gyakorlatokba fordultak el. Szögfüggvéyekkel kapcsolatos összegképletek emzeti és emzetközi taulmáyi verseyek feladatai között is felbukkatak. Ilyeekre mutatuk éháy példát az alábbiakba. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia 96/4. feladat. Oldjuk meg a következ egyeletet: cos x + cos x + cos 3x =. Egy lehetséges megoldás: A kosziusz függvéyel leképezett hatváyozott égyzetre emelt) számtai sorozat 5) összegképlete szerit cos x + cos x + cos 3x = 3 + si[x+6 )x] six x) si x, ha x 0 mod π) 3 cos x, ha x 0 mod π), A x 0 mod π) eset kizárható, mert ilyekor az összeg értéke midig. Ezért a kit zött feladat a következ egyeletre vezet: 3 + si 7x si x si x =. Átredezéssel: 0 = si 7x + si x = si 4x cos 3x = 8 si x cos x cos x cos 3x. Eek megoldása már triviális, csak e feledkezzük el az x 0 mod π) hamis gyökök kizárásáról. 8
Nemzetközi Matematikai Diákolimpia 963/5. feladat. Bizoyítsuk be, hogy cos π 7 cos π 7 + cos 3π 7 =. Egy lehetséges megoldás: A cos x = cosπ x) összefüggés alapjá a feladatba szerepl kifejezést úgy is írhatjuk, hogy cos π 7 + cos 3π 7 + cos 5π 7. A kosziusz függvéyel leképezett számtai sorozat ) összegképlete szerit si[x+3 )x] si[x x] si 6x =, ha x 0 mod π) si x si x cos x + cos 3x + cos 5x = 3 cos x, ha x 0 mod π). Az x = π 7 esetre kokrétizálva, iét azt kapjuk, hogy cos π 7 + cos 3π 7 + cos 5π 7 = si 6π 7 si π 7 = si π 7 si π 7 =. Egy 997. évi erdélyi matematikai verseyfeladat: Bizoyítsuk be, hogy [si 7 x + si 7 x + π 3 + [cos 7 x + cos 7 x + π 3 ) + si 7 x + 4π 3 ) + cos 7 x + 4π 3 A 7) összegképletet k = 7 r = 3), = 3 esetére alkalmazva 3 cos 7 [ x + i ) π 3 ] = 3 6 0 h=0 )] + 8) )] = [ ] 63. 64 ) 7 cosh + )3x = 3h 63 cos 3x. 64 A sziusz hatváyösszegeket a si x = cosx π ) összefüggés alapjá kosziusz hatváyösszegekké átalakítva 3 si 7 [ x + i ) π 3 ] = 3 cos 7 [ x π + i )π 3 Ezek alapjá már egyszer e következik a 8) egyel ség. ] = 63 cos 3x π ) 64 = 63 si 3x. 64 A 8) alatti egyel ség úgy is iterpretálható, hogy a bal oldalo álló kifejezés em változik meg, vagyis tehetetle marad az x szög tetsz leges változtatása eseté. Ezzel az észrevétellel kapcsolatba azo t dtem, hogy egyetle kokrét esetre voatkozó tehetetleségi tulajdoság ömagába em túl érdekes, de milye szép lee, ha be lehete bizoyítai egy általáos tehetetleségi tételt tetsz leges kitev és tetsz leges számú tagból álló hasoló eseté. Az erre adott válasz részbei tárgyalását a következ külö szakaszba tettem. 9
7. A tehetetleségi probléma teljeskör megoldása Az erre voatkozóa felvetett kérdés ömagába is elég komplex ahhoz, hogy akár egy öálló külö el adás tárgya lehete. Ezért most csak rövide és bizoyítás élkül szeretém ismerteti a válasz léyegét. Az el z szakaszba felvetett tehetetleségi probléma megoldásával foglalkozva kiderült, hogy teljes általáosa em igaz, de ige sok esetbe feáll a tehetetleségi tulajdoság, vagyis az, hogy a [ si k x + i ) π ) ] [ + cos k x + i ) π ) ] 9) összeg értéke em függ x-t l a k, ) párok egy jól meghatározható halmazára. Ugyaez a probléma geometriai iterpretációba is megfogalmazható. Tekitsük a ξ, η) koordiátaredszerbe az origó középpotú egység sugarú körbe írt szabályos sokszögeket. Legye egy tetsz leges ilye -szög 3, tetsz leges) egyik csúcsáak a ξ- tegellyel bezárt szöge x. Ekkor a szabályos -szög P ξ, η ), P ξ, η ),..., P ξ, η ) csúcsaiak koordiátái: ξ = cos x, η = si x, ξ = cos x + π ),..., ξ = cos x + ) π ), η = si x + π ),..., η = si x + ) π ), tehát a vizsgált tehetetleségi probléma a szabályos sokszögek csúcsaiak koordiátáival kifejezve úgy hagzik, hogy a [ ] [ ξi k + η k i ] égyzetösszeg mely k, ) párok eseté függetle és mely k, ) párok eseté em függetle az egységkörbe írt szabályos -szög helyzetét l. A válasz léyegét a következ két táblázat tartalmazza: 0
A 9) kifejezés értéke x-t l függetle az alábbi esetekbe: k páratla páros páratla k < 3 midig páros k < k < Ezzel szembe a 9) kifejezés értéke x-t l függ mide más esetbe, vagyis az alábbi esetekbe: k páratla páros páratla k 3 soha páros k k
8. Bizoyítás vázlatok Valameyi itt következ bizoyítás elemi. Általáos képletek bizoyítása helyett ikább speciális esetek bizoyításra törekszem a jobba követhet ség érdekébe. A hatváyösszegek képleteiek bizoyítása kissé eltér páratla, illetve páros esetbe. Páratla k = r + eseté az [ + )]r+ [ )]r+ = r i=0 ) r + r i+ r i azoosságból iduluk ki, amit úgy kapuk, hogy a bal oldal tagjaira a biomiális tételt alkalmazzuk. Összevoás utá mide második tag kiesik.) Ezt követ e értékét egyesével csökketve r = 0 és r = eseté közvetleül megkapjuk a kivát összegképletet, r eseté pedig egy rekurzív formulához jutuk. k = r = 0) eset: [ + )] [ )] = [ )] [ ) )] =... = 0 = A felsorolt egyel ségeket összeadva azt kapjuk, hogy k = 3 r = ) eset: [ + )] = + +... + [ + )] [ )] = 3 [ )] [ ) )] = ) 3... = 3 0 = 3 A felsorolt egyel ségeket összeadva azt kapjuk, hogy [ + )] = 3 + 3 +... + 3)
k = 5 r = ) eset: [ + )]3 [ )]3 = 3 5 + 3 [ )]3 [ ) )]3 = 3 ) 5 + ) 3... 3 3 = 3 5 + 3 3 03 = 3 5 + 3 A felsorolt egyel ségeket összeadva most azt kapjuk, hogy [ + )]3 = 3 5 + 5 +... + 5) + 3 + 3 +... + 3) Ezutá a jobb oldali második összeg már ismert zárt képletéek behelyettesítésével és az egyel ség átredezésével célhoz érük. k = 7 r = 3) eset: [ + )]4 [ )]4 = 4 7 + 4 5 [ )]4 [ ) )]3 = 4 ) 7 + 4 ) 5... 4 4 = 4 5 + 4 5 4 04 = 4 5 + 4 5 A felsorolt egyel ségeket összeadva most azt kapjuk, hogy [ + )]4 = 4 7 + 7 +... + 7) + 4 5 + 5 +... + 5) Ezutá az el z esettel hasoló módo fejezzük be a számítást, a hetedik hatváyok összegéek zárt formulával törté el állítását. 3
Páros k = r eseté a páratla esetél kicsit boyolultabb a számítás, mivel a + ) [ + )]r ) [ )]r = r c i r i egyel ségb l iduluk ki. A c i értékeket a kokrét esetekre voatkozó számítások sorá potosítai fogjuk.) k = r = ) eset: + ) [ + )] ) [ )] = 3 ) [ )] 3) [ ) )] = 3 )... 5 3 = 3 3 0 = 3 A felsorolt egyel ségeket összeadva azt kapjuk, hogy k = 4 r = ) eset: i=0 + ) [ + )] = 3 + +... + ) + ) [ + )] ) [ )] = 5 4 + ) [ )] 3) [ ) )] = 5 ) 4 + )... 5 3 = 5 4 + 3 0 = 5 4 + A felsorolt egyel ségeket összeadva most azt kapjuk, hogy + ) [ + )] = 5 4 + 4 +... + 4) + + +... + ) Ezutá a jobb oldali második összeg már ismert zárt képletéek behelyettesítésével és az egyel ség átredezésével célhoz érük. 4
k = 6 r = 3) eset: + ) [ + )]3 ) [ )]3 = 7 6 + 5 4 ) [ )]3 3) [ ) )]3 = 7 ) 6 + 5 ) 4... 5 3 3 3 = 7 6 + 5 4 3 3 03 = 7 6 + 5 4 A felsorolt egyel ségeket összeadva most azt kapjuk, hogy + ) [ + )]3 = 7 6 + 6 +... + 6) + 5 4 + 4 +... + 4) Ett l fogva a befejezés a korábbiakhoz hasoló. 5
A kosziusz függvéyel leképezett számtai sorozatok ) összegképlete az iskolai táblázatokból jól ismert egyik képlet alkalmazásakét származó ] ] si [ a + i ) d si [ a + i 3 ) d = cos[a + i )d] si d egyel ségek i = -t l -ig törté összegzésével adódik. voatkozó egyel ség evides.) A d 0 mod π) esetre A d = π e 0 < e < ) speciális esetbe az ) képlet els sora érvéyes, ahol a számlálóba lév két sziusz függvéy argumetuma π egész számú többszörösével tér el egymástól, és így a számláló két tagja kiejti egymást. A kosziusz függvéyel leképezett hatváyozott számtai sorozatok összegképletéhez el ször is a kosziusz függvéyek hatváyaira kell képleteket találi. Bebizoyítható a már korábba 3)-4) sorszámmal is felírt) alábbi általáos formula: cos r x = r [ r ) + r r j= ) ] r cos jx, r j cos r+ x = r r j=0 ) r + cosj + )x. r j A bizoyítást elhagyjuk, bár em túlságosa ehéz, de hosszadalmas iparos mukát igéyel az általáos bizoyítás véghezvitele. Ezekb l a képletekb l x = a + i )d helyettesítéssel és i-re törté összegzéssel adódik, hogy cos r [a + i )d] = r ) r + r r r j= ) r cos[ja + i )jd] r j és cos r+ [a + i )d] = r r j=0 ) r + cos[j + )a + i )j + )d]. r j Itt a kett s szummázásoktól megszabadulhatuk, ha a bels, i szeriti összegzésekre alkalmazzuk a kosziusz függvéyel leképezett számtai sorozat) összegképletét. Ha ezt megtettük, akkor végül a vizsgált érdekes speciális esetre, a d = π esetre felírt 6)-7) képletek levezetése csak techika kérdése. 6