Mátrixok. Bevezetés és példák / Mátrix ritmetiki bevezetés Trtlom. Bevezetés Mátrixelemek és jelölések 3. Mátrixok fjtái: 4. Elemi műveletek mátrixokkl 4. Egyelőség 4. Trszpoálás 4.3 Szorzás 4.3. Szorzás sklárrl 4.3. Vektor szorzás vektorrl skláris 4.3.3 Vektor szorzás vektorrl diádikus. 4.3.4 Mátrix szorzás mátrixszl 4.3.5 Néháy szorzást illető állítás 4.4 Mátrixok osztás : szorzás iverz mátrixszl 4.4. z iverz mátrix foglm 4.4. mátrix determiás 4.4.3 mátrix djugáltj 4.4.4 mátrix iverze és lieáris egyeletredszer megoldás 5. Néháy egyszerű mátrixritmetiki péld Irodlom. Bevezetés Tudomáyos vizsgáltok sorá, többek között z lklmzott mtemtiki modellek prmétereiek meghtározásáál htékoy segédeszköz mátrixk evezett mtemtiki objektum. Egy dott fiziki jeleséget, tárgyt meghtározht egyetle szám, egy sklár, de leírásához szükség lehet több számr is, pl. gyságr és iráyr, vgy egy test ruglms viselkedését leíró ormális és yíró feszültségekre, melyek eseté vektor- vgy tezor meyiségekről beszélek. Több sklár oszlopb vgy sorb redezve vektort képez, több vektor egymás mellé vgy egymás lá redezve tábláztot, mátrixot lkít ki. Vgy fordított sorredbe foglmzv egy mátrix oszlopi vgy sori vektorok, egy mátrix vgy egy vektor elemei pedig sklárok. Mtrixbev.doc
Mátrixok. Bevezetés és példák / mátrix vektor sklár Mátrixok hszált mit láthtó lesz redkívül leröviditi mtemtiki leírást, egyfjt gyorsírásk tekithető. Nemcsk megértést teszi köyebbé, hem, ezt jelölésredszert lklmzv, erre kilkított softwre-rel áttekithetőe és és tömöe lehet progrmozi. Kísérletek, elemzések eredméyét mgdó számítások elveit és előírásit mátrixritmetiki út megkerülésévl csk oly boyolult lehete leíri, hogy értelmezésük egyszerűe ésszerűtle lee. Mátrixelemek és jelölések Egy skláris szám jele legye dölt kisbetű,. Vektorb redezett sklárok lsó idexet (subscript) kpk, i. Idexek eseté szokás megdi z idexek lehetséges értékeit, pl. i =,,,. i futó idex utolsó értéke drb i sklár oszlopb, vgy sorb redezve vstgbetűvel jelölt vektort képez. m drb j vektor (j =,,, m) mátrixot lkot. mátrixk sor és m oszlop, és x m skláris elem lesz. Szokás mátrixot elemeivel is jelöli következő módo: = [ ] i =,, K. ; j =,, K, m. sorú és m oszlopú, x m méretű mátrix mérete megdhtó: m mátrix egy oszlop sorú oszlopú oszlopmátrix, j vektor (j =,,, m) elemű vektor mérete megdhtó: mátrix egy sor m oszlopú sorú sormátrix, i vektor (i =,,, ) Mtrixbev.doc
Mátrixok. Bevezetés és példák 3/ = i 3. Mátrixok fjtái: Legye egy mátrix sorik, m egy mátrix oszlopik szám. H = m, kkor mátrix égyzetes, kvdrtikus. Egy sort ( = m oszlopot) trtlmzó kvdrtikus mátrix redje:. H egy mátrixb > m, kkor mátrix álló tégllp H egy mátrixb < m, kkor mátrix fekvő tégllp H egy mátrix csup 0-t trtlmz, kkor ull- vgy zérus mátrix H egy kvdrtikus mátrixb egy elem i és j idexe megegyezik, kkor z ii elem átlós, digoális elem. H i j, z elem átlókívüli elem. kvdrtikus mátrixb z ii (i =.,, ) elemek z mátrix átlóját dják. H egy mátrixb mide átlós elem, és mide átlókívüli elem 0, mátrix egységmátrix, E. Bizoyos szövegköryezetbe z E egységmátrix egy-egy elemét δ Kroecker szimbolumml jelölik: δ = 0 h h i = j i j H egy kvdrtikus mátrixb = ji, kkor mátrix szimmetrikus. H egy mátrixb egy vgy több sort és egy vgy több sort elhgyk, megmrdt mátrixot miormátrixk evezik. i-edik sorák és j-edik oszlopák elhgyásávl keletkezett miormátrix jele Szokás ezt miormátrixot z elemhez trtozó miormátrixk evezi. 4. Elemi műveletek mátrixokkl Mátrixokr bizoyos elemi műveletek értelmezve vk. Ilyeek z egyelőség j trszpoálás dditiv műveletek (összedás, kivoás) multipliktív műveletek (szorzások) Mátrixokál z osztást reciprok (iverz) mátrixszl vló szorzás helyettesíti. Vektorr z osztás ics értelmezve, vektorrl oszti em lehet. 4. Egyelőség Mtrixbev.doc
Mátrixok. Bevezetés és példák 4/ és B mátrixok egyelőek, h mide elemük megegyezik: m m = b i =,, K. ; j =,, K, m. Csk egyező méretű mátrixok lehetek egyelőek. 4. Trszpoálás H mátrix mide sorát oszloppá, és mide oszlopát sorrá lkítjuk, T trszpoált mátrixot kpjuk. T m m mátrix eleme egyezik T mátrix ji elemével: T = ji Kvdrtikus mátrix trszpoálás elemeiek főátlór vló tükrözésekét is szemléltethető. Vektor trszpoálás z oszlopvektor elfektetésével, sorvektor felállításávl szemléltethető. 4. Összedás, kivoás Mátrixokt úgy duk össze, vgy vouk ki, hogy zoos idexű elemeiket djuk össze vgy vojuk ki. C = ± B m m m c = ± b i =,, K. ; j =,, K, m. Csk egyező méretű mátrixok dhtók össze. z összegmátrix mérete egyezik tgok méretével. Szorzás 4.3. Szorzás sklárrl Mátrixokt úgy szorzuk skláris számml, hogy zok mide elemét megszorozzuk sklárrl. [ ] i =,, K, ; j =,, K m α = α, Mtrixbev.doc
Mátrixok. Bevezetés és példák 5/ 4.3. Vektor szorzás vektorrl skláris Vektor és vektor skláris szorzt skláris szám, téyező vektorok elemeiek szorztösszege: b = b b [ ] c = ibi = L i= M b skláris szorzás egy bloldli sorvektor szorzás jobbról egy oszlopvektorrl. Csk zoos méretű vektorok szorozhtók össze. Mérettel megdott téyezők eseté vektor szorzásál (is) szembeéző idexek egyezzeek meg, z eredméy méretét szélső idexek dják meg. mátrix téyezők sorredje em felcserélhető. 4.3.3 Vektor szorzás vektorrl diádikus. Vektor és vektor diádikus szorzt mátrix, melyek c eleme z és b elemek szorzt. b = C = m m [ c = b ] = M [ b Lb ] i j m clc = L c Lc m m m skláris szorzás diádikus szorzás Diádikus tetszőleges méretű vektorok szorozhtók össze. Mérettel megdott téyezők eseté vektor szorzásál (is) szembeéző idexek egyezzeek meg, z eredméy méretét szélső idexek dják meg. Bármely mátrix felbothtó diádikus szorztok összegére. Mtrixbev.doc
Mátrixok. Bevezetés és példák 6/ 4.3.4 Mátrix szorzás mátrixszl x m és B m x p mátrixok szorzt C x p méretű mátrix, melyek c eleme i-edik sorák és B j-edik oszlopák skláris szorzt. m i B = C = b = b jk i =,, K, ; k =,, K, p m mp p m m k j= Csk oly mátrixok szorozhtók össze, melyekél bloldli mátrixtéyező oszlopik és jobboldli mátrixtéyező sorik szám megegyezik (mérettel megdott téyezők eseté mátrixok szembeéző idexei megegyezek). Mérettel megdott téyezők eseté z eredméy méretét szélső idexek dják meg. b j i c mátrix téyezők sorredje áltláb em felcserélhető. B B m m m m Több mátrix is összeszorozhtó. B C = B C = BC = D m mp pr p pr r r B C B BC Mtrixbev.doc
Mátrixok. Bevezetés és példák 7/ 4.3.5 Néháy szorzást illető állítás Kvdrtikus mátrix szorzás zérusmátrixszl zérusmátrixot d 0 = 0 = 0 Nem kvdrtikus mátrix szorzás zérusmátrixszl zérusokt trtlmzó em kvdrtikus mátrixot d, de ezt em evezik zérusmátrixk. 0 = m 0 m Egységmátrixszl szorzott mátrix em változik E = E = m mm m E = E = m 4.4 Mátrixok osztás : szorzás iverz mátrixszl Mátrixok körébe z osztásk megfelelő műveletet z iverz mátrixszl vló szorzás végzi el. Szűkebb értelembe vett iverz mátrix kvdrtikus mátrixokk v. Nem kvdrtikus mátrixok eseté z áltláosított iverz lklms ugyerre célr. 4.4. z iverz mátrix foglm Kvdrtikus mátrix iverze zo - módo jelölt mátrix, mely eleget tesz következő kritériumk: szám. - = - = E -k ics iverze, h determiás 0, h tehát sziguláris iverze kiszámíthtó z dj( ) = det( ), képlettel, hol dj() z djugált mátrix, det() pedig determiás, egy skláris 4.4. mátrix determiás Egy kvdrtikus mátrix determiás skláris szám, melyet legegyszerűbb, méretű esetbe köyű kiszámíti: det( ) = = det = determiás kiszámításához itt láthtó főátló elemeiek szorztából ki kellett voi mellékátló elemeiek szorztát. 3 x 3 s mátrixál eljárhtuk úgy, hogy főátló elemeiek szorztához hozzádjuk vele párhuzmos két átló 3-3 eleméek szorztát, mjd kivojuk mellékátlók elemszorztik összegét: Mtrixbev.doc
Mátrixok. Bevezetés és példák 8/ 3 det 3 = 33 + 33 + 33 ( 33 + 33 + 33) 3 3 33 Ugyez lesz z eredméy, h z első sor, (vgy első oszlop) egyes elemeit megszorozzuk hozzájuk trtozó előjeles ldetermiásokkl, zz z elemhez trtozó miormátrixok determiásávl, (z miorrl ) és tgokt összegezzük. tgokt skktáblszerűe előjelezzük: páros I + j idexű elemekhez trtozó tgok +, pártl I + j idexű elemekhez trtozó tgok előjelet kpk. det 3 3 3 3 33 = + 3 3 = 3 3 33 3 33 3 + 3 3 3 Ez z utóbbi eljárás tetszőleges redű égyzetes mátrixok eseté is érvéyes. Péld = 9 5 5 3 8 6 7 8 >> = 8 7 8 >> = 3 6 8 >> 3 = 3 8 6 7 >> tg=(,)*det() = 53 >> tg=(,)*det() = 90 >> tg3=(,3)*det(3) = -35 >> det=tg-tg+tg3 = 88 Fotos állítás: digoális mátrixk vlmit z oly mátrixokk, melyekek lsó vgy felső átlókívüli része csk 0-kt trtlmz (felső vgy lsó háromszögmátrixok), determiás z átlós elemek szorzt. Ngyobb méretű mátrixok determiását célszerűe úgy számítják ki, hogy mátrixokt elöbb digoálissá vgy háromszöggé lkítják, mjd determiást z átlós elemek szorzásávl állítják elő. Determiásokt számos progrmcsomg természetese egyetle utsítássl számít ki. Mtrixbev.doc
Mátrixok. Bevezetés és példák 9/ 4.4.3 mátrix djugáltj z mátrix djugáltj k mátrixk trszpoáltj, melyek elemei egyes elemeihez trtozó előjeles ldetermiások. dj( ) = L L L L elem egtív értéket kp, h i + j pártl, pozitív egyébkét. Péld >> = 9 5 5 3 8 6 7 8 miorok: >> M = 8 7 8 >> M = 3 6 8 >> M3 = 3 8 6 7 >> M = 5 5 7 8 >> M = 9 5 6 8 >> M3 = 9 5 6 7 >> M3 = 5 5 8 >> M3 = 9 5 3 >> M33 = 9 5 3 8 z előjeles eldetermiások mátrixák előállítás: >> >> B(,)=(-)^(+)*det(M) = 57 >> B(,)=(-)^(+)*det(M) = 57-8 >> B(,3)=(-)^(+3)*det(M3) = 57-8 -7 >> B(,)=(-)^(+)*det(M) = 57-8 -7-5 0 0 és így tovább z előjeles eldetermiások mátrix: B = 57-8 -7-5 4-33 -35 6 57 T j Mtrixbev.doc
Mátrixok. Bevezetés és példák 0/ z djugált mátrix trszpoálás utá dódik: dj = 57-5 -35-8 4 6-7 -33 57 4.4.4 mátrix iverze és lieáris egyeletredszer megoldás 4.4. potb szereplő összefüggés szerit mátrix iverze: dj( ) = det( ) z előző példákb tárgylt mátrix determiás: det() = 88. iverze, djugáltják felhszálásávl: >> iv=dj/det() = 0.979-0.074-0.5-0.065 0.458 0.008-0.0938-0.46 0.979 szorozv - iverzével mit tudott z egységmátrixot dj: >> *iv = 0 0 0 0 0 0 z iverz mátrixokt műszki, tudomáyos gykorltb legtöbbször lieáris egyeletredszerek megoldásáál hszálják fel. Egy x = y -ismeretlees egyeletredszer megoldhtó úgy, hogy midkét oldlát z - iverzzel ( reciprok -vl ) szorozzuk: x = Péld y Tekitsük 9x 3x 6x + 5x + 8x + 7x + 5x + x 3 3 + 8x = 3 = 6 7 = 7 lieáris egyeletredszert. Mátrix lkb: 9 x = 3 5 5 8 7 Lévé iverze: 5 x x 8 x 6 = y = 7 7 Mtrixbev.doc
Mátrixok. Bevezetés és példák / - = 0.979-0.065-0.0938 z ismeretleek: X y = 0.979-0.065-0.0938-0.074 0.458-0.46-0.074 0.458-0.46-0.5 0.008 0.979 5. Néháy egyszerű mátrixritmetiki péld Legye =, - 0.5 6 0.008 = = 7 x 0.979 7 0 0 - B = 0 0-3 C = 0 x = - ) Trszpoáljuk -t! >> '= 0 0 - b) Számítsuk ki (0.)B mátrixot 0.*B = 0.000 0.4000 0.000 0.000 0 0.000 0 0.4000-0.000 0.000 0.4000 0.6000 c) Számítsuk ki C T C mátrixszorztot! >> C'*C = 5 4 4 5 Mtrixbev.doc
Mátrixok. Bevezetés és példák / d) Milye hossszú z x vektor? >> sqrt(x'*x) =.73 = sqrt(3) e) Számítsuk ki xx T vektorszorztot! >> x*x' = - - - - f) Számítsuk ki CB T mátrixszorztot! >> C**B'= 3 5 6 7 4 6 5 0 g) Számítsuk ki y értékét, h y=*x! >> y=*x = >> 0-3 Irodlom Rózs P.: Bevezetés mátrixelméletbe. Typotex, Budpest, 009 Schritzky V.: Mátrixszámítás. (Bolyi köyvek) Műszki Köyvkidó, Budpest 00. Horvi G (szerk): Sokváltozós dtelemzés (kemometri), Nemzeti tköyvkidó, Budpest, 00 Rózs P.: Lieáris lgebr és lklmzási. Tköyvkidó, Budpest, 99. Fg Ki-Ti és Zhg Yi-Tig: Geerlized Multivrite lysis. Spriger Verlg, Berli, 990. Kor, G.. és Kor, T.M.: Mtemtiki kéziköyv műszkikk. Műszki Köyvkidó, Budpest, 975. Mtrixbev.doc