l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f ( ; f ( ; f5 ( és így tovább. Nézzük meg eek a függvéysorozatak éháy tagját a [0,] itervallumo. Ha az f( függvéysorozatba -et rögzítjük modjuk 0,5-ek, akkor az f( 0,5) 0, 5 valós számsorozatot kapjuk. f ( Ha -et 0,8-ak rögzítjük, akkor pedig az f 8 ( 0,8) 0, sorozatot kapjuk. Bárhogy is rögzítjük az -et, ily módo midig egy valós számsorozatot kapuk. 0 akkor ezek a sorozatok szépe ullához fogak tartai, mert ugye Ha matekig.hu q eseté q 0 0 0,5 0,8 Az f( függvéysorozat határértéke tehát 0 eseté ulla, míg eseté. Ez a határérték tulajdoképpe egy függvéy ami a [0;) itervallumo a kostas ulla, míg -be egy. Az így keletkező függvéyt az f( függvéysorozat határérték-függvéyéek, rövidebbe határfüggvéyéek, vagy máskét limeszfüggvéyéek evezzük és F( -el jelöljük. A limeszfüggvéy bármely 0 potba azt az értéket veszi föl, amely az f ( 0 ) sorozat határértéke. Ha egy adott 0 -ba f ( 0 ) em koverges, akkor ott a határfüggvéy ics értelmezve. Ha az f ( függvéysorozat egy itervallum mide potjába koverges, akkor azt modjuk, hogy f ( potokét koverges eze az itervallumo, és így létezik határfüggvéye az itervallum mide potjába. Ezt a fajta kovergeciát potokéti kovergeciáak evezzük. A defiíció a következő: bmbmb ( DEFINÍCIÓ: Az f ) függvéysorozat potokét koverges az I itervallumo és határfüggvéye F (, ha mide eleme I eseté mide 0 eseté f ( F(. 0 -ra létezik olya 0 küszöbide, hogy mide
Az f ( függvéysorozat potokét koverges az I itervallumo, ha az itervallumba lévő összes -re az f (, mit valós számsorozat koverges. Nézzük meg egy másik példát is! Itt va modjuk az A függvéysorozat tagjai f ( függvéysorozatot a [0,6] itervallumo. f ( ; f ( ; f ( ; f ( és így tovább. Mi lehet eek a függvéysorozatak a határfüggvéye? f ( Ha visszaemlékszük arra, hogy a a akkor világos, hogy az f( függvéysorozat határfüggvéye a (0;6] itervallumo az F (. Az ábrá remekül látszik, hogy a (0;6] matekig.hu itervallum mide potjába a határérték egy, mit ahogy az is látszik, hogy 0 -ba ez a határérték ulla, és emiatt itt midegyik függvéygörbe erőse elhajlik. 0 6 Eddigi példáikba a határfüggvéy em folytoos függvéy. Valamelyik végpotba ugyais más értéket vesz föl, mit az összes többi helye. Eek oka abba keresedő, hogy a függvéygörbék midkét esetbe valamelyik végéél erőse elhajlaak a határfüggvéytől, tehát em egyeletese tartaak hozzá a teljes itervallumo. Az f( esetébe az elhajlás -él, míg az f( függvéysorozatál 0 -ba látható. Amit ezek a rajzok sugallak, azt hamarosa defiícióba is ki fogjuk modai. Nevezetese azt, hogy a potokéti kovergeciáál va egy erősebb kovergecia is, egy olya kovergecia, ahol a függvéygörbék egyeletese tartaak a limeszfüggvéyhez és ezért a limeszfüggvéy folytoos. Ezt a fajta kovergeciát egyeletes kovergeciáak evezzük. Az egyeletes kovergecia defiíciója éléke emlékeztet a potokéti kovergecia defiíciójára, egyetle aprócska eltérés va csak köztük. Ez az eltérés viszot dötő fotosságú. DEFINÍCIÓ: Az f ( függvéysorozat egyeletese koverges az I itervallumo és határfüggvéye F (, ha mide 0 0 küszöbide, hogy mide 0 -ra mide eleme I eseté létezik olya eseté f ( F(.
A kétféle kovergecia közötti dötő külöbséget az jeleti, hogy az egyeletes kovergeciáál mide 0 -ra va egy közös 0, ami mide -re jó, míg a potokéti kovergecia eseté mide -re külö 0 va. Tehát mide -re va ugya 0, de em ugyaaz az 0 és emiatt éhol felgyorsulhat, éhol pedig agyo lelassulhat a kovergecia, ami miatt a határfüggvéy szétszakad. Ez a helyzet például az f ( arctg ( függvéysorozat esetébe is. f ( arctg ( Ábráko látszik, hogy a határfüggvéy 0 eseté a kostas /, míg 0 -ra a kostas / tehát a limeszfüggvéy a ullába kettészakad. Ahogy a ullához midikább közeli -eket veszük, úgy egyre lassabbá válik a határfüggvéyhez való kovergecia, a függvéygörbék mid jobba elhajlaak a / -él illetve / -él húzott egyeesektől. Egyeletes kovergeciáál ilyesmi em fordulhat elő. / / matekig.hu Az f ( / függvéysorozat egyeletese koverges bármely korlátos itervallumo, így az ábráko szereplő [ 6;6] itervallumo is, és határfüggvéye az F ( 0. f ( A rajzból jól látszik, hogy a függvéysorozat tagfüggvéyei a vizsgált itervallum végpotjaiba vaak legtávolabb az F ( 0 határfüggvéytől, de ez a távolság ott is tart ullához. Va tehát az egész itervallumo közös 0. Ha ugyais 0 -t úgy választjuk meg, hogy az f ( F( külöbség 6 vagy 6 eseté is -ál kisebb legye os, akkor garatált, hogy mide más -re is ez a külöbség -ál kisebb lesz. bmbmb Ahogya a valós számsorozatokál a sorozat tagjait összeadva egy végtele sort kapuk, úgy a függvéysorozatokál a tagfüggvéyek összeadásával függvéysorok keletkezek. A f ( függvéysor koverges az I itervallumo, ha mide 0 eleme I -re a f ( 0 ) valós végtele sor koverges.
Va a függvéysorokak egy speciális fajtája, amikor a függvéysor tagjai hatváyfüggvéyek. Ezeket a függvéysorokat hatváysorokak evezzük. A a ( 0 ) függvéysort hatváysorak evezzük, ahol 0 a hatváysor középpotja, a pedig valós (vagy komple számsorozat. A valós (vagy komple számokak azo halmazát, ahol a a ( 0 ) hatváysor koverges, kovergecia-itervallumak, vagy kovergecia halmazak evezzük. A hatváysor az 0 helye biztosa koverges, tehát a kovergecia halmaz sosem üres halmaz, és mideképpe tartalmazza a hatváysor középpotját. A kérdés, hogy vajo 0 -o kívül még mely -ek tartozak a kovergecia-halmazba. kovergecia tartomáy 0 A ( 0 hatváysor kovergecia tartomáya 0 -ak az a yílt maimális köryezete, a ) amire a sor koverges. matekig.hu A kovergecia tartomáy meghatározásához a végtele sorokál megismert gyök-kritériumot alkalmazva kapjuk azt a evezetes tételt, ami Cauchy-Hadamard tétel éve va forgalomba. A ( 0 hatváysor kovergecia-tartomáya az 0 R; 0 R itervallum, vagy a ) komplebe azok az komple számok, amelyekre R, ha lim sup a 0 R / S, ha lim sup a S és S pozitív valós szám R 0, ha lim sup a kovergecia sugár 0 R ahol R a kovergecia-sugár és: A hatváysor kovergecia-tartomáya mide esetbe 0 -ak egy köryezete, így az midig szimmetrikus. A kovergecia-tartomáy azoba em feltétleül az a legbővebb halmaz, ahol a hatváysor koverges, mert defiiálásából adódóa midig egy yílt itervallum, (vagy komplebe yílt köryezet) a sor pedig koverges lehet még az itervallum valamely, vagy esetleg midkét végpotjába is (komplebe a köryezet bármely határpotjába is). bmbmb Eze kívül máshol viszot biztosa em. A kovergecia halmaz tehát valós számok esetébe égyféle lehet. Vagy éppe megegyezik a kovergecia tartomáyal, ami midkét végé yílt itervallum, vagy bee va még aak bal végpotja, vagy bee va a jobb végpotja, vagy midkettő végpotja. Nézzük midegyikre példákat. Igazá remek példákat foguk ézi, de a agyobb élvezet kedvéért érdemes kicsit visszaemlékezi a végtele sorokra.
. A sor a kovergecia-tartomáy midkét végpotjába koverges. 0. A sor a kovergecia-tartomáy jobb végpotjába koverges, a bal végpotba diverges. 0. A sor a kovergecia-tartomáy bal végpotjába koverges, a jobb végpotba diverges. matekig.hu. A sor a kovergecia-tartomáy midkét végpotjába diverges. 0 0 bmbmb 5