SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel, míg a,,nevezetes sorozat-határértékek című jegyzetrészletben található k sorszámú sorozat-határértékek)re az SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. 1. Minden negatív α szám esetén az α kitevőjű hatványfüggvény id ) határértéke a + -ben nulla. Ha r olyan negatív racionális szám, amelyre id r a negatív számok halmazán is értelmezett, akkor e függvénynek a -beli határértéke is nulla. Bizonyítás. g := id α 0,+ ) monoton fogyó, emiatt van határértéke a + -ben és ez a határérték egyenlő a g értékkészletének alsó határával). Ezek után a határértékre vonatkozó átviteli elv szerint elég megadnunk egyetlen olyan + -hez tartó pozitív tagú) n sorozatot, amelyre g n )) = 0. E célból rögzítsünk egy olyan m pozitív egészt, amelynek reciproka 0 és α közé esik és legyen n := mn. Az e sorozathoz tartozó függvényérték-sorozat pozitív tagú és amint az a alapú eponenciális függvény monoton növő voltából következik felülről becsülhető a n sorozattal, tehát valóban 0-sorozat SH7). A második állítás páros vagy páratlan függvényről szól, tehát következik az elsőből.. Minden pozitív kitevőjű hatványfüggvény határértéke a + -ben + ; minden pozitív egész m és n esetén! 1 n m 1 = + és! 1 m 1 n 1 =. Bizonyítás. Egy u R pontnak valamely pontozott környezetében pozitív [negatív] értékeket felvevő, és az u helyen 0-hoz tartó függvény reciprokának határértéke + [ ], tehát az előző pontban bizonyított állítások következményeiről van szó. 3. Bármely negatív kitevőjű hatványfüggvény jobb oldali határértéke a 0 helyen + ; minden pozitív egész m és n esetén! n m 1 = + és 0! m 1 n 1 =. 0 Bizonyítás. A pozitív számok, illetve a negatív számok H halmazán értelmezett vagy oda leszűkített) p kitevőjű hatványfüggvény egyenlő azzal a kompozícióval, amelynek belső függvénye a H halmazon értelmezett 1/ függvény, külső függvénye pedig az ugyancsak a H halmazon értelmezett vagy oda leszűkített) p kitevőjű hatványfüggvény. Így az itteni állítások a KL tételből és az előző pontban szereplő állításokból következnek. 4. Minden pozitív kitevőjű hatványfüggvény határértéke a 0 helyen 0. Bizonyítás. Az előző bizonyításban követett módszerrel a jobb oldali határérték kérdését vissza lehet vezetni a negatív kitevőjű hatványfüggvények + -beli határértékének kérdésére, sőt, ha a kitevő olyan, hogy a függvény a negatív számok halmazán is értelmezett, akkor a bal oldali határérték vizsgálatát ugyanígy lehet visszavezetni a negatív kitevőjű hatványfüggvények -beli határértékének vizsgálatára KL, FH1). 1

5. Legyen r tetszőleges pozitív egész, b 0,..., b r 1 tetszőleges valós számok, b r tetszőleges nullától különböző valós szám, végül minden valós -re legyen Ekkor f) := b r r + b r 1 r 1 +... + b 1 + b 0. { +, ha!+1 f) = br > 0,, ha b r < 0, továbbá 1 f = +1 f illetve 1 f = 1) +1 f attól függően, hogy r páros, vagy páratlan. Bizonyítás. Mind a négy állítás következik a szorzat határértékéről szóló tételekből, FH- ből, valamint abból, hogy minden valós -re f) = r b r + b r 1 +... + b 1 + b ) 0. r 1 r 6. Legyenek k és m tetszőleges nemnegatív egészek, c 0,..., c k 1 és d 0,... d m 1 tetszőleges valós számok, c k és d m tetszőleges nullától különböző valós számok, végül minden olyan valós -re, amelyre az alábbi nevező nem nulla, legyen Ekkor f) := c k k + c k 1 k 1 +... + c 1 + c 0 d m m + d m 1 m 1 +... + d 1 + d 0.!+1 f) = 0, ha k < m, c k, ha k = m, d m +, ha k > m és c k d m > 0,, ha k > m és c k d m < 0. Ha k m vagy k m páros pozitív egész, akkor 1 f = +1 f, ha k m páratlan pozitív egész, akkor 1 f = 1) +1 f. Bizonyítás. Az f) definíciójában szereplő törtet mindegyik esetben egyszerűsíteni fogjuk m -nel. A k < m esetben célszerű bevezetni a c i := 0 jelölést minden k-nál nagyobb és m-nél nem nagyobb i-re, ennek köszönhetően ugyanis a k < m és a k = m eset egyszerre vizsgálható. Mindkét esetben azt kapjuk, hogy az említett egyszerűsítés után mind a számláló, mind a nevező egy konstans és m darab nullához tartó függvény összege: f) = c m + c m 1 +... + c 1 + c m 1 0 m d m + d m 1 +... + d 1 + d m 1 0 így az új számláló határértéke a + -ben és a -ben egyaránt c m, az új nevezőé d m lásd FH1-t). Tegyük fel most, hogy k > m, a már előre jelzett egyszerűsítés után emeljük ki a számlálóból az k m tényezőt: f) = c k + c k 1 +... + c 1 + c k 1 0 k k m. d m + d m 1 +... + d 1 + d m 1 0 m Itt az első tényező határértéke mind a -ben, mind a + -ben c k /d m FH1), a második tényezőé pedig FH alapján tisztázható, tehát az összes hiányzó eredményt megkapjuk a szorzat határértékéről szóló tételekből. m,

7. Az 1-nél nagyobb alapú eponenciális függvények határértéke a -ben 0, a + ben +, míg az 1-nél kisebb alapúaké a -ben + és a + -ben 0. Bizonyítás. Olyan monoton növő, illetve fogyó függvényekről van szó, amelyeknek az értékkészlete az összes pozitív számok halmazával egyenlő, így mind a négy állítás következik a monoton függvények egy oldali határértékéről szóló tételből.. 8. Az 1-nél nagyobb alapú logaritmusfüggvények határértéke a 0 helyen, a + helyen +, míg az 1-nél kisebb alapúaké a 0 helyen +, a + helyen pedig. Bizonyítás. Olyan monoton növő, illetve fogyó függvényekről van szó, amelyeknek az értékkészlete az összes valós számok halmazával egyenlő, így mind a négy állítás következik a monoton függvények egy oldali határértékéről szóló tételből. 9. Minden egyes u valós szám esetén u cos = cos u és u sin = sin u. Bizonyítás. Az addíciós képletekből levezethető) ismert trigonometriai azonosságok felhasználásával a cos cos u, sin sin u eltéréseket a sin u sin + u, illetve sin u cos + u alakra lehet hozni, s ha figyelembe vesszük a minden valós t számra érvényes sin t t, cos t 1, sin t 1 egyenlőtlenségeket is, akkor innen látható, hogy minden ε > 0 hibakorláthoz megfelel a δ := ε választás. 10.!0 sin )/ = 1. Bizonyítás. Legyen ε tetszőleges pozitív szám. Az előző pontban bizonyítottak szerint 0 cos = 1, ezért és cos 0 = 1 miatt) van olyan δ, melyre minden δ, δ) esetén 1 ε < cos. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy ugyanerre a δ-ra minden 0, δ) esetén sin < < sin / cos, így minden 0, δ) esetén 1 ε < cos < sin < 1, és minthogy a sin /id függvény páros lévén két páratlan függvény hányadosa), az δ, 0) intervallumban felvett értékei szintén az 1 ε, 1) intervallumban vannak. 11. Minden egyes u valós szám esetén cos cos u!u u = sin u és!u sin sin u u = cos u. Bizonyítás. Az FH9 bizonyítása közben egyszer már alkalmazott trigonometriai formulákat ismét felhasználva, a bizonyítandó állítások így fogalmazhatók át: u sin u u sin + u ) = sin u, és u sin u u cos + u = cos u. Az FH10 állítás és a KL tétel szerint a közös első tényező határértéke 1, míg az első tényező elhagyásával adódó állítások az FH9-ben bizonyítottakból és a KL1 tételből következnek. 3

1.!+1 1= = 1. Bizonyítás. Legyen ε tetszőleges pozitív szám; bizonyítjuk egy olyan K pozitív szám létezését, melyre minden K, + ) esetén 1/ 1 ε, 1 + ε). Lévén 1 esetén 1/ 1, ehhez elég a következő két állítást igazolni: a) n n + 1) = 1, s így van olyan K pozitív egész, amelytől kezdve minden n-re n n + 1 < 1 + ε, b) ha > K, akkor 1/ [] + 1) 1/[] ekkor ugyanis a vizsgált függvényünknek a K-nál nagyobb helyeken felvett értékei felülről becsülhetők az n n + 1) sorozat olyan tagjával, amely kisebb, mint 1 + ε). Az a) állítás bizonyítása céljából induljunk ki abból, hogy n ) = 1, ezért az azonosan 1 sorozat és az n ) n ) sorozat által közrefogott sorozat határértéke is 1, tehát ha ez utóbbi sorozatot megszorozzuk a szintén 1-hez tartó n n) sorozattal, akkor ismét 1-hez tartó sorozatot kell kapnunk. b) bizonyítása céljából előbb az 1-nél nagyobb alapú eponenciális függvények monoton növő voltát, majd a pozitív kitevőjű hatványfüggvények monoton növő voltát használhatjuk: 13. Ha p > 0 és 1 c > 0, akkor 1/ 1/[] []+1) 1/[]. log c s s!+1 s p = 0. n+1 n Bizonyítás. A log c függvény folytonos az 1 helyen, így a KL1 tétel és az imént bizonyított 1. állítás szerint + log c 1/ = + 1/) log c = log c 1 = 0. Ebből, a KL tételből, és abból a tényből, hogy + id p = +, következik, hogy log c + id idp = 0, ezért ez utóbbi függvény 1/p-szeresének a határértéke a + helyen szintén nulla márpedig a hatvány logaritmusára vonatkozó azonosság szerint éppen ezt a függvényt kellett vizsgálnunk). 14. Ha q > 0 és a > 1, akkor t!+1 tq a t = 0. Bizonyítás. Alkalmazzuk az előző állítást a p := 1/q, c := a szereposztással, majd újra a KL tételt, ezúttal arra a kompozícióra, amelyet az s log a s)/s 1/q ) külső, és az ep a belső függvényből képezünk, ekkor azt kapjuk, hogy t + t = 0, a t 1/q ) ha most ez utóbbi függvényből mint belső függvényből, és az q külső függvényből képezünk újabb kompozíciót, akkor 0 q = 0 és FH4 miatt alkalmazhatjuk a KL1 tételt, s ebből éppen a kívánt eredményt kapjuk. 15. Ha p pozitív szám, akkor!0 1 p ep 1 ) = 0. 4

Bizonyítás. A vizsgált függvény olyan kompozíció, amelynek külső függvénye a pozitív számok halmazán értelmezett t t p/ e t, belső függvénye pedig a 0-tól különböző valós számok halmazán értelmezett 1/ ) függvény. Az utóbbi határértéke a 0 helyen + FH3), az előbbié a + helyen 0 FH14), így a kompozícióé a 0 helyen a KL tétel szerint 0. 16. Ha p > 0 és 1 c > 0, akkor t!0+ t p log c t = 0. Bizonyítás. Elég a vizsgált függvény 1)-szereséről bizonyítani, hogy a határértéke a 0 helyen jobbról) 0-val egyenlő; de ez a függvény a FH13 állításban szerepelt függvénynek, mint külső függvénynek, és a pozitív számok halmazán értelmezett t 1/t függvénynek, mint belső függvénynek a kompozíciója, az utóbbi határértéke a 0 helyen +, ezért ismét a KL tételre támaszkodhatunk. 17. t!0+ t t = 1. Bizonyítás. A pozitív számok halmazán értelmezett t 1/t függvénynek, mint belső függvénynek ezúttal az 1/ külső függvénnyel képezve a kompozícióját, ismét a KL tételből és FH1-ből) kapjuk, hogy t 0+ ) t 1 1 = t t 0+ t = 1, t tehát ez utóbbi függvény reciprokának határértéke is 1. 18.!+11 + 1/) = e. Bizonyítás. Minden 1-nél nagyobb szám teljesíti az 1 + 1 ) [] A) 1 + 1 ) [] B) 1 + 1 ) C) 1 + 1 ) []+1 D) 1 + 1 ) []+1 [] + 1 [] feltételeket: a B) és C) egyenlőtlenségeket az 1 + 1/ alapú eponenciális függvény monoton növő volta miatt, A)-t az [] kitevőjű, D)-t pedig az [] + 1 kitevőjű hatványfüggvény monoton növő volta miatt. Legyen ε tetszőleges pozitív szám; nyilván elég olyan M pozitív egész létezését igazolni, amelytől kezdve minden n-re e ε < 1 + 1 ) n < 1 + 1 n+1 < e + ε, n + 1 n) ami következik abból, hogy n 1 + 1/n + 1)) n = n 1 + 1/n) n+1 = e, hiszen ekkor > M esetén az [] szám M-nél nem kisebb pozitív egész. Az közismert SH13), hogy n 1 + 1/n) n+1 = e, ebből kapjuk, hogy n 1 + 1/n + 1)) n+ = e, ez utóbbi sorozatot beszorozva az 1-hez tartó n n + 1)/n + )) sorozattal SH3), kapjuk az n 1 + 1/n + 1)) n sorozatot, tehát ennek a határértéke is e. 19.! 1 1 + 1/) = e. Bizonyítás. Az imént bizonyított FH18 állításból következik, hogy az ) +1 ) )) + 1 + 1 + 1 R + = ; 5

függvény + -ben vett határértéke e-vel egyenlő, ezért ugyanez mondható az ) t ) t t t 1 1, + ) t = = 1 + 1 t, t 1 t t) függvényről is, így az utóbbiból, mint külső függvényből, és a, 1) belső függvényből képezett kompozíció határértéke a helyen szintén e KL). 0. t!0 1 + t) 1=t = e. Bizonyítás. Elég a 1, 0) intervallumon, illetve a pozitív számok halmazán értelmezett t 1 + t) 1/t függvényekről külön-külön bizonyítani, hogy határértékük a 0 helyen e-vel egyenlő. Ez a két állítás az FH19, illetve az FH18 határérték felhasználásával a KL tételből következik: az előbbi esetben az FH19-ben szereplő függvénynek mint külső függvénynek a 1, 0) t 1/t belső függvénnyel, az utóbbi esetben pedig az FH18-ben szereplő függvénynek mint külső függvénynek az R + t 1/t belső függvénnyel kell képezni a kompozícióját. 1. Ha 1 c > 0, akkor t!0 1/t) log c 1 + t) = log c e = 1/ ln c. Bizonyítás. A vizsgált függvény az e helyen folytonos) log c külső függvényből és az FH0 állításban szerepelt függvényből mint belső függvényből képezett kompozíció, ezért KL1 szerint) határértéke a 0 helyen valóban log c e.. Ha 1 c > 0 és a > 0, akkor!a logc logc a a = 1 a ln c. Bizonyítás. Ez az állítás a KL tételből következik: képezzük az FH1 állításban szereplő külső) függvénynek a kompozícióját az injektív) /a 1 belső függvénnyel, majd szorozzuk meg ezt a kompozíciót 1/a-val! 3. Ha c > 0, akkor!0 c 1 = ln c. Bizonyítás. c = 1 esetén az állítás nyilvánvaló. Ha c 1, akkor FH1-ből következik, hogy t 0 t/ log c t+1)) = ln c, ha ebből a külső) függvényből és az c 1 belső függvényből képezünk kompozíciót, akkor éppen a vizsgált függvényt kapjuk, a belső függvény injektív, és határértéke a 0 helyen 0, így ismét alkalmazható a KL tétel. 4. Ha c pozitív és u valós szám, akkor!u c c u u = cu ln c. Bizonyítás. Ismét a KL tételt alkalmazzuk: ezúttal az előző állításban szereplő függvény legyen a külső függvény és az u függvény a belső függvény, végül szorozzuk meg a kompozíciót a c u számmal. 5. u c u c )/ u) = c u c 1, ha A) c = 0, vagy B) u > 0, vagy C) u = 0 és c 1, vagy D) u < 0 és c előáll egy egész és egy páratlan pozitív egész hányadosaként. Bizonyítás. A) Az azonosan nulla függvény határértéke nulla. B) Most már feltehető, hogy c 0, ekkor minden u-tól különböző pozitív esetén c u c u = c ec ln e c ln u ln ln u c ln c ln u u. A második tört határértéke FH szerint 1/u, az elsőé pedig FH4 és KL szerint e c ln u = u c. C) c = 1: konstans függvény, c > 1: lásd FH4-t. D) A c és a c 1 kitevőjű hatványfüggvények közül az egyik páros, a másik páratlan, ez alapján az állítás visszavezethető az u > 0 esetre. 6

6. Legyen H R, u H 0, f : H R +, g : H R, és tegyük fel, hogy létezik a u f =: A és a u g =: K határérték. Ekkor a H halmazon értelmezett f)) g) függvény határértéke az u helyen egyenlő A K -val, ha A, K) R + R, egyenlő 0-val, ha az A, K) pár a [0, 1) {+ }) {0} R + ) 1, + ] { }) {+ }, 0)) halmazban van, és egyenlő + -nel, ha az A, K) pár az 1, + ] {+ }) {+ } R + ) [0, 1) { }) {0}, 0)) halmazban van. Bizonyítás. Minden H esetén f)) g) = e g) lnf)). Ha A pozitív szám és K valós szám, akkor a KL1 tételt alkalmazhatjuk, éspedig kétszer: először az ln f kompozícióra, másodszor az ep külső és a g ln f) belső függvény kompozíciójára. A további állítások olyan esetekre vonatkoznak, amikor a kitevő határértéke, illetve +, ekkor a KL tétel alkalmazható. A részletek végiggondolását a Kedves Olvasóra bízzuk. 7. Legyen H R, u H 0, f : H R +, g : H R, u f = 1, végül tegyük fel, hogy létezik a!u f) 1)g) =: β határérték. Ekkor 0, ha β =,!u f))g) = ep = e, ha β R, +, ha β = +. Bizonyítás. Az FH1 állítással egyenértékű az, hogy t 1 ln t)/t 1) = 1, az utóbbival pedig az, hogy lásd a határérték és folytonosság kapcsolatairól szóló egyik tételt) az ln t F t) := t 1, ha t R+ \ {1}, 1, ha t = 1 utasítással értelmezett F : R + R függvény folytonos az 1 helyen. F definíciójából következik, hogy minden H esetén ln f) = f) 1) F f)), ezért f)) g) = e [g)f) 1)] F f)). A tétel egyik feltétele szerint a szögletes zárójelek között lévő első tényező határértéke β, a KL1 tétel szerint a második tényező határértéke 1, így a kitevő határértéke β. Innen β R esetén a KL1, β / R esetén KL tétel alapján állíthatjuk, hogy a vizsgált függvény határértéke megegyezik az eponenciális függvénynek a β helyen vett határértékével. 8. Legyenek a 1, a,...,a m pozitív számok m > 1 egész), ekkor!0 1 m m k=1 a k ) 1 = m a 1 a... a m. Bizonyítás. Az előző állítás alkalmazható lásd az FH3 határértéket). 7