MATEMATIKA I. FEKETE MÁRIA PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM POLLACK MIHÁLY MŰSZAKI KAR MATEMATIKA TANSZÉK feketemt@witch.pmmf.hu 007
PMMANB3 Matematika I. RÉSZLETES TANTÁRGYPROGRAM Hét Ea/Gyak./Lab.. 3 óra előadás óra gyakrlat. 3 óra előadás óra gyakrlat 3. 3 óra előadás óra gyakrlat 4. 3 óra előadás óra gyakrlat 5. 3 óra előadás óra gyakrlat 6. Témakör A matematika yelvéek elemei, defiíció, tétel, szimbólumk, jelek szerepe. A matematikai lgikai alapfgalmai, lgikai műveletek, igazságtáblák, lgikai áramkörök. Vektr fgalma, vektrk összeadása, kivása, számmal való szrzása. A Descartes-féle derékszögű krdiáta redszer, a vektr krdiátái. Felmérő teszt a középisklás ayagból. Két vektr skaláris és vektriális szrzata, tulajdságai, kiszámítása krdiátákkal adtt vektrk eseté. Vektrk vegyesszrzata, vektrk krdiátagemetriai alkalmazásai: sík és egyees egyelete. Valós számsrzat fgalma, megadási módjai. Krlátsság, mtitás, kvergecia, divergecia fgalma. Műveletek kverges és diverges srzatk között. Krlátsság, mtitás, kvergecia kapcslatára vatkzó tételek. Nevezetes srzatk a =/; a =q ; a =(+/). SZÜNET 7. 3 óra előadás óra gyakrlat 8. 3 óra előadás óra gyakrlat 9. 3 óra előadás óra gyakrlat 0. 3 óra előadás óra gyakrlat. 3 óra előadás óra gyakrlat. 3 óra előadás óra gyakrlat 3. 3 óra előadás óra gyakrlat 4. 3 óra előadás óra gyakrlat 5. 3 óra előadás óra gyakrlat Pótlásk A leképezés és a függvéy fgalma. Egy- és kétváltzós valós függvéy megadása, tulajdságai. Összetett és iverz függvéy képzése. Elemi függvéyek sztályzása.. Zárthelyi dlgzat. Algebrai és traszcedes függvéyek tulajdságai. Egyváltzós függvéy végesbe és végtelebe vett határértékéek fgalma. Jbb- és balldali határérték. Függvéy adtt ptbeli flytssága, a szakadás fajtái. Flyts függvéyekre vatkzó tételek. Egyváltzós valós függvéy differecia- és differeciál-háyadsáak fgalma, gemetriai és fizikai jeletése. A deriváltfüggvéy értelmezése. A flytsság és a differeciálhatóság kapcslata. Deriválási szabályk. Hatváyfüggvéy deriválása. Összeg-, szrzat-, háyads-, összetettés iverz függvéy deriválási szabálya. Elemi függvéyek deriválása. Egyváltzós függvéy magasabb-redű deriváltja. A differeciálszámítás középértéktételei. A l ' Hspital-szabály, Taylr-frmula.. Zárthelyi dlgzat. Deriválható függvéy mtitásáak és szélsőértékéek vizsgálata a derivált segítségével. Kveitás, kkávitás, ifleiós pt fgalma. Differeciálható függvéyek eseté ezek kapcslata a másdik deriválttal. A teljes függvéyvizsgálat lépései.
PMMANB3 Matematika I. TARTALOMJEGYZÉK RÉSZLETES TANTÁRGYPROGRAM... I. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI... 5. ALAPFOGALMAK... 5. LOGIKAI MŰVELETEK...5. Negáció... 5. Kjukció... 6.3 Diszjukció... 6.4 Implikáció... 6.5 Ekvivalecia... 6.6 Kidlgztt példák... 7 II. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI... 8. ALAPFOGALMAK... 8. Alapfgalmak, jelölések... 8. Halmazk megadása... 8.3 Halmazk egyelősége... 9.4 Üres halmaz... 9.5 Ve-diagram... 9. RÉSZHALMAZ, TARTALMAZÁS... 9 3. MŰVELETEK HALMAZOKKAL... 0 3. Halmazk metszete... 0 3. Halmazk egyesítése... 0 3.3 Halmazk metszetéek és egyesítéséek műveleti tulajdságai... 3.4 Halmazk külöbsége... 3.5 Kmplemeter halmaz... 3.6 Hatváyhalmaz... 3.7 Halmazk Descartes-szrzata... 3.8 Számhalmazk... 3 3.9 Halmazk számssága... 3 III. VEKTORALGEBRA... 4. ALAPFOGALMAK, ALAPMŰVELETEK... 4. A vektr fgalma... 4. Vektrk összeadása... 5.3 Vektrk kivása... 6.4 Vektr szrzása skalárral (vektr számszrsa)... 7.5 Vektrk lieáris kmbiációja... 7.6 Vektrk felbtása... 7.7 Vektr krdiátái... 9.8 Műveletek krdiátáikkal adtt vektrkkal... 0. VEKTOR SZORZÁSA VEKTORRAL... 0. Vektrk skaláris szrzata... 0. Vektrk vektriális szrzata....3 Vektrk vegyes szrzata... 5 3. KOORDINÁTAGEOMETRIAI ALKALMAZÁSOK... 6 3. Az egyees... 6 3. A sík... 7 IV. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNY... 9. A FÜGGVÉNY FOGALMA (ÁLTALÁNOSAN)... 9. SZÁMSOROZATOK... 9. A számsrzat fgalma... 9. Mt és krláts srzatk... 3.3 Srzatk kvergeciája... 3.4 Kvergeciakritériumk... 35.5 Végtelehez tartó srzatk... 36.6 Néháy evezetes kverges srzat... 36 3
PMMANB3 Matematika I..7 Műveletek kverges srzatkkal... 38.8 Példák srzatk határértékéek kiszámítása... 40 3. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNY ALAPTULAJDONSÁGAI... 4 3. A függvéy fgalma, megadása... 4 3. Függvéyek jellemzése, függvéytai alapfgalmak... 4 3.3 Műveletek függvéyekkel... 44 3.4 Egyváltzós elemi függvéyek... 48 3.5 Függvéyek határértéke... 48 3.6 Függvéyek flytssága... 50 V. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA... 5. A DIFFERENCIÁLHÁNYADOS ÉRTELMEZÉSE A DERIVÁLTFÜGGVÉNY... 5. A differeciaháyads értelmezése...5. A differeciálháyads értelmezése...5.3 Jbb- és balldali differeciálháyads... 54.4 A flytsság és a differeciálhatóság kapcslata... 54.5 A deriváltfüggvéy (differeciálháyads-függvéy)... 55. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK... 55. Általás differeciálási szabályk... 55. Elemi függvéyek differeciálása... 58.3 Speciális differeciálási szabályk... 6 3. DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNY DIFFERENCIÁLJA... 64 4. MAGASABBRENDŰ DIFFERENCIÁLHÁNYADOSOK... 64 5. A DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS KÖZÉPÉRTÉKTÉTELEI... 65 6. A DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI... 66 6. Határértékszámítás, a L Hspitál-szabály... 66 6. Függvéyvizsgálat (Függvéydiszkusszió)... 67 6.3 Taylr plim; Taylr frmula... 7 6.4 Síkgörbék éháy jellemzője.... 7 6.5 Egyeletek közelítő megldása Newt módszerrel... 73 4
PMMANB3 Matematika I. I. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI. Alapfgalmak A matematikába az állításkat, kijeletéseket ítéletekek evezzük és az ítéletet alapfgalmak tekitjük. Mide ítélet az alábbi két tulajdság közül ptsa az egyikkel redelkezik: vagy vagy hamis. igaz, Az igaz ítélet lgikai értékét a hamis ítélet lgikai értékét: i h -val jelöljük Ítélet Elemi ítélet (egyetle állítást tartalmaz) Összetett ítélet (elemi ítéletekből épül fel) PÉLDA 8 sztható 4-gyel Elemi ítélet; igaz A fizika természettudmáy Elemi ítélet; igaz Mit csiálsz hlap? Nem ítélet A kutya emlősállat és si > Összetett ítélet; hamis Mide égyszög téglalap Elemi ítélet; hamis Ne kiabálj! Nem ítélet. Lgikai műveletek. Negáció DEFINÍCIÓ. Adtt A ítélet tagadása a em A ítélet, melyet az A ítélet egációjáak evezük és k A-val jelölük. A k A ítélet akkr és csak akkr igaz, ha A hamis. A egáció művelettáblája ill. értéktáblázata: A i h k A h i PÉLDA A (ítélet): 3 sztója 6-ak igaz k A (ítélet): 3 em sztója 6-ak hamis 5
PMMANB3 Matematika I.. Kjukció DEFINÍCIÓ. Adtt A és B ítéletek kjukciójáak evezzük és AvB (lv: A és B) vel jelöljük az A és B összetett ítéletet. Az AvB ítélet akkr és csak akkr igaz, ha A is igaz, B is igaz. A kjukció értéktáblázata:.3 Diszjukció A B AvB i i i i h h h i h h h h DEFINÍCIÓ. Adtt A és B ítéletek diszjukciójáak evezzük és AwB (lv: A vagy B) vel jelöljük az A vagy B (megegedő értelmű vagy) összetett ítéletet. Az AwB ítélet akkr és csak akkr igaz, ha A és B közül legalább az egyik igaz. A diszjukció értéktáblázata:.4 Implikáció A B AwB i i i i h i h i i h h h DEFINÍCIÓ. Adtt A és B ítéletekekből A előtaggal és B utótaggal képzett implikációak evezzük és AYB vel jelöljük a ha A akkr B összetett ítéletet. Az AYB ítélet akkr és csak akkr hamis, ha A igaz, B hamis. Az implikáció értéktáblázata:.5 Ekvivalecia A B AYB i i i i h h h i i h h i DEFINÍCIÓ. Adtt A és B ítéletek ekvivaleciájáak evezzük és A]B (lv. A ekvivales B) vel jelöljük az akkr és csak akkr A, ha B összetett ítéletet. Az A]B akkr és csak akkr igaz, ha A és B lgikai értéke egyelő. 6
PMMANB3 Matematika I. Az ekvivalecia értéktáblázata:.6 Kidlgztt példák A B A]B i i i i h h h i h h h i. PÉLDA Készítsük el az AY(BYA) frmula értéktáblázatát! Megldás A B BYA AY(BYA) i i i i Tehát a frmula értéke i h i i midig igaz h i h i h h i i. PÉLDA Készítsük értéktáblázatt a kavk (kawb) frmuláhz! Megldás A B k A (k AwB k (k AwB) k Avk (k AwB) i i h i h h A frmula i h h h i h értéke h i i i h h midig h h i i h h hamis 3. PÉLDA Igazljuk a következő azsságt: A]B = (k AwB) v (k BwA)! Megldás A B k A k AwB k B k BwA (k AwB) v (k BwA) A]B i i h i h i i i i h h h i i h h h i i i h h h h h h i i i i i i Mivel (k AwB) v (k BwA) és A]B lgikai értéke midig azs, ezért valóba igaz az azsság. 7
PMMANB3 Matematika I. II. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI A halmazelmélet a matematika új fejezete. Az 800-as évek. felébe Catr émet matematikus vezeti be a halmazelméleti alapfgalmakat (halmazk számsságával is fglalkzik) A halmazelmélet agy jeletőségű, mert a matematika mide ágáak mdellje felépíthető halmazelméleti fgalmakkal.. Alapfgalmak. Alapfgalmak, jelölések A halmaz alapfgalm a matematikába (bizys meghatárztt, külöböző, valóságs vagy gdlatba kialakíttt dlgkak az összesége) Jelölések: A, B, C,, H, halmazkat a, b, c,, h, elemeket a H b ó H jeletése jeletése PÉLDA vezessük be a következő jelöléseket N + : a pzitív egész számk halmaza N: a emegatív egész számk halmaza Z: az egész számk halmaza 3 N de 0 ó N +, 00 Z - ó N, - Z. Halmazk megadása jelölek a eleme a H halmazak a bee va a H halmazba H halmaz tartalmazza az a elemet b em eleme a H halmazak Egy halmazt adttak tekitük, ha mide dlgról, elemről egyértelműe el tudjuk dötei eleme-e a halmazak vagy sem. A halmazk megadási módjai a) Aalítikus út: elemeiek felsrlásával (ha kevés véges sk elemet tartalmaz), vagy ayi eleméek felsrlásával (ha végtele sk eleme va), hgy abból bármely eleme képezhető legye. Pl. A:= {Jóska, Pista, Pali} B:= {, 4, 6,,, } b) Szitetikus út: a halmaz elemeit valamilye tulajdságuk alapjá adjuk meg (tehát, ha A halmaz az dlgk halmaza, melyek τ tulajdsággal redelkezek, akkr ezt A:= { τ()}-el jelöljük. Pl. C: = {, N +, 3 és <00} (C a 3-mal sztható, 00-ál kisebb pzitív egész számk halmazát jeleti) 8
PMMANB3 Matematika I..3 Halmazk egyelősége DEFINÍCIÓ. ugyaazk. Két halmazt akkr és csak akkr tekitük egyelőek, ha elemeik Pl: ) {,, 3, 4} = {4, 3,, } ) {,, 3} { a, b, c} 3) B:= {, 4, 6,,, } C:= {, N +, } D:= {a pzitív párs számk halmaza} B=C, de B D D={B}={C} 8 D (D-ek egyetle eleme va!).4 Üres halmaz DEFINÍCIÓ. Azt a halmazt, amelyek egyetle eleme sics, üres halmazak evezzük, és Ø-val jelöljük. Pl: Ø= {az egyelő ldalú tmpaszögű hármszögek}.5 Ve-diagram A sík zárt görbevallal határlt ptjaival szemléltetük halmazkat. PÉLDA M: = {a vizsgá kapható sztályzatk}={,, 3, 4, 5} M -4,5 0 3 4 5 π. Részhalmaz, tartalmazás DEFINÍCIÓ. Az A halmazt a B halmaz részhalmazáak evezzük, ha A mide eleme B-ek is eleme. Jele: A B v. B A DEFINÍCIÓ. Az A halmaz valódi részhalmaza B-ek, ha A része B-ek, de AKB. Jele: A B v. B A A B AdB 9
PMMANB3 Matematika I. TÉTEL Mide A-ra AfA refleivitás Ha AfB és BfA, akkr A=B atiszimmetria Ha AfB és BfC, akkr AfC trazitivitás Øf A, mide A-ra TÉTEL AdA egyetle A-ra sem áll fe Ha AdB, akkr BçA Ha AdB és BdC, akkr AdC 3. Műveletek halmazkkal 3. Halmazk metszete DEFINÍCIÓ. Két halmaz metszeté v. közös részé azkak az elemekek a halmazát értjük, amelyek midkét halmazba bee vaak. Jelölés: A és B halmaz metszete AB Szemléltetés: A B A B A B DEFINÍCIÓ. Ha A-ak és B-ek ics közös eleme, AW B, ekkr az A és B u. diszjukt halmazk. 3. Halmazk egyesítése DEFINÍCIÓ. Két halmaz egyesítésé v. uiójá azkak az elemekek a halmazát értjük, amelyek a két halmaz közül legalább az egyikbe bee vaak. Jelölés: A és B halmaz egyesítése AUB Szemléltetés: B AcB A 0
PMMANB3 Matematika I. TÉTEL Tetszőleges A, B halmazkra feállak az AB f A f AcB és AB f B f AcB tartalmazási kapcslatk. Ha AfB, akkr AB = A és AcB = B 3.3 Halmazk metszetéek és egyesítéséek műveleti tulajdságai TÉTEL Tetszőleges A, B, C halmazkra. A(BC) = (AB)C Ac(BcC) = (AcB)cC asszciatív. AB = BA AcB = BcA kmmutatív 3. AA = A AcA = A idemptes 4. A(AcB) = A Ac(AB) = A elyelési tul. 5. A(BcC) = (AB)c(AC) Ac(BC) = (AcB) (AcC) disztributív 3.4 Halmazk külöbsége DEFINÍCIÓ. A és B halmazk külöbségé értjük A összes lya eleméek a halmazát, amelyek icseek a B-be. Jele: A(B Szemléltetés: A B A(B Képletbe: A(B = { 0A, de ób} TÉTEL Tetszőleges A, B halmazkra A\B = A((AB) = (AcB)(B Ha A(B = Ø, ha AfB 3.5 Kmplemeter halmaz DEFINÍCIÓ. A H halmaz valamely A részhalmazáak H-ra vatkzó kmplemeteré értjük a H(A halmazt. Jelölése: A H = H(A v. A = H(A
PMMANB3 Matematika I. TÉTEL H halmaz tetszőleges A és B részhalmazaira ( A ) = A A A = Ø, Ac A = H A B = Ac B, AU B = AW B (de Mrga képletek) 3.6 Hatváyhalmaz DEFINÍCIÓ. Egy H halmaz összes részhalmazai újabb halmazt alktak, ezt evezzük a H hatváyhalmazáak. Jele: P(H) H hatváyhalmaza; H halmaz P(H) alaphalmaza AfH ugyaazt jeleti mit A0 P(H). PÉLDA H = {,, 3} Részhalmazk: H = Ø H = {} H 3 = {} H 4 = {3} H 5 = {, } H 6 = {, 3} H 7 = {, 3} H 8 = H 5 = {,, 3} H i fh (i =,, 8) Mst H elemeiek száma: 3 P(H) elemeiek száma: 8 = 3 MEGJEGYZÉS: Általába is igaz, hgy ha H elemeiek száma (véges!), akkr P(H) elemeiek száma:. 3.7 Halmazk Descartes-szrzata DEFINÍCIÓ. A H H,, H emüres halmazk Descartes-szrzatá a következő halmazt értjük: H HH HH 3 HH = {(h, h,,h ) h 0H, h 0H,,h 0H } Speciális Descartes-szrzatk. Ha H =ú, H =ú H HH = úhú = ú = {(, y) 0ú, y0ú} ú a redezett valós számpárk halmaza a redezettség miatt pl: (, -) (-, ) ú szemléltetve: a sík. úhúhú = ú3 = {(, y, z) 0ú, y0ú, z0ú} ú 3 a redezett valós számhármask halmaza ú 3 szemléltetve: a tér
PMMANB3 Matematika I. 3.8 Számhalmazk Természetes számk halmaza Jele: N N: = {a pzitív egész szám és a 0} = {0,,, 3, } Elvégezhető műveletek: összeadás, szrzás, kivás Egész számk halmaza Jele: Z Z: = {0, -,, -,, -3, 3, } Elvégezhető műveletek: összeadás, szrzás, kivás Raciális számk halmaza Jele: Q Q: = { = q p, p0z, q0z, q K0} Elvégezhető műveletek: összeadás, szrzás, kivás, sztás (0-val em sztuk!) (Tehát a raciális számk, a két egész háyadsakét felírható számk.) A raciális szám tizedestört alakja: véges v. végtele szakaszs tizedes tört. Pl: 5; -4;,47; = 0, 3 3 Irraciális számk halmaza Jele: Q * Q * : = {a végtele em szakaszs tizedestörtek} irraciális szám: em írható fel két egész háyadsakét Pl: 3 5, 3π, lg3, cs6, lg 4, 3 stb. A valós számk halmaza Jele: ú ú: = QcQ * A valós számhalmaz szemléltetése Ve-diagrammal Z N Q Q * ú 3.9 Halmazk számssága Véges sk elem eseté: Végtele sk elem eseté: az elemek száma adja a halmaz számsságát megszámlálhatóa végtele sk em megszámlálhatóa végtele sk elemű halmazkról beszélhetük 3
PMMANB3 Matematika I. III. VEKTORALGEBRA. Alapfgalmak, alapműveletek. A vektr fgalma A vektr fgalma a fizikából származik. A fizikai meyiségek lehetek: a) skalár jellegű meyiségek: értékük egyértelműe megadható egyetle valós számmal Pl.: távlság, tömeg, idő, hőmérséklet, muka stb. b) vektr jellegű meyiségek: iráyíttt szakasszal adhatók meg (melyet agysága, állása, iráyítása határz meg) Pl.: elmzdulás, sebesség, erő, gyrsulás stb. DEFINÍCIÓ. határz meg. Vektr iráyíttt szakaszt értük, melyet hssza, állása és iráya a B Jele: a, b, c, A AB, CD, A a vektr kezdőptja B a vektr végptja MEGJEGYZÉS: A matematikába a vektrt szabadak tekitjük! A kezdőptja tetszőleges! DEFINÍCIÓ. Vektr abszlút értéké a vektrt ábrázló iráyíttt szakasz hsszát (agyságát) értjük. Jele: a, b, AB DEFINÍCIÓ. párhuzamsak. DEFINÍCIÓ. megegyezik. Két vektr egyező állású, ha az őket tartalmazó egyeesek Két vektr egyelő, ha abszlút értékük, állásuk és iráyuk 4
PMMANB3 Matematika I. Pl.: b a c a = b a c DEFINÍCIÓ. Azt a vektrt, melyek abszlút értéke ulla, zérusvektrak (ullvektrak) evezzük. A zérusvektr állása és iráya tetszőleges. Jele: 0 ; 0 = 0 DEFINÍCIÓ. evezzük. Azt a vektrt, melyek abszlút értéke egységyi, egységvektrak MEGJEGYZÉS: A v vektrral azs állású és iráyú egységvektrt v -al vagy e v -vel v 0. jelöljük DEFINÍCIÓ. DEFINÍCIÓ. DEFINÍCIÓ. szöge. Kllieáris (párhuzams) két vektr, ha állásuk megegyezik. Kmplaárisak azk a vektrk, amelyek egy síkkal párhuzamsak. Két vektr szöge, az őket tartalmazó egyeesek 80 -ál em agybb a b b (a,b) a. Vektrk összeadása DEFINÍCIÓ. 3. Az a és b vektrk ( a, b ú ) összegé azt az a + b vel jelölt vektrt értjük, amely az a kezdőptjátból a b végptjába mutat. 5
PMMANB3 Matematika I. a b a + b. Ha a és b külöböző állásúak, akkr a + b vektrt megadja az a és b-vel (mit ldalakkal) szerkesztett paralelgrammáak, a vektrk közös kezdőptjából iduló átlóvektra. a a + b b MŰVELETI TULAJDONSÁGOK a, b, c 0 ú 3 tetszőleges vektrkra a + b = b + a a + (b + c)=(a + b) + c a + 0 = a a + (-a) = 0 (ahl a, a elletettje -a = a, -a a, de elletétes iráyúak).3 Vektrk kivása DEFINÍCIÓ. Az a és b vektrk a - b vel jelölt külöbségé azt a vektrt értjük, amelyet b hez hzzáadva az a-t kapjuk. a a - b Nem kmmutatív b - a a - b b 6
PMMANB3 Matematika I..4 Vektr szrzása skalárral (vektr számszrsa) DEFINÍCIÓ. Az a vektr és a λ valós szám λa -val jelölt szrzatá azt a vektrt értjük, amelyek abszlút értéke λ a, állása megegyezik a állásával, iráya a iráyával egyelő, ha λ 0, a -val elletétes iráyú, ha λ < 0. Tehát λa = λ a λa a MŰVELETI TULAJDONSÁGOK: a, b 0 ú 3 ; λ, μ ú λ a = a λ λ(μ a) = (λ μ) a (λ+μ) a = λ a + μ a λ (a + b) = λ a + λ b a e = a a iráyú egységvektr, ha a 0 a.5 Vektrk lieáris kmbiációja DEFINÍCIÓ. Az a, a,, a k vektrk lieáris kmbiációjá a λ a + λ a + + λ k a k vektrt értjük, ahl λ i ú i=,, k.6 Vektrk felbtása. TÉTEL Ha a 0, akkr bármely a-val párhuzams (kllieáris) v egyértelműe előállítható a lieáris kmbiációjakét, azaz létezik egyértelműe meghatárztt α R, hgy v = α a. Bizyítás. Legye vd a és a 0 Ekkr két eset lehetséges α) v e = a e β) v e = - a e α) eseté v v= ve v = ae v = a v = a a a ahl ae = a a Tehát v v v= a = α a ahl α = a a 7
PMMANB3 Matematika I. v β) eseté v= ve v = ae v = a v = a a a v v Tehát v= a = α a ahl α = a a Ha v = 0, akkr v = 0 =0 a áll fe, azaz α=0. TÉTEL Két vektr akkr és csak akkr párhuzams, ha legalább egyik a másik számszrsa. 3. TÉTEL Ha két vektr a és b em párhuzamsak, akkr az a és b vektrk síkjába eső bármely v egyértelműe előállítható az a és b vektrk lieáris kmbiációjakét, azaz létezik lya α, β R, melyekre Bizyítás. Végezzük el a következő szerkesztést! A b αa v 0 a b βb a B A szerkesztés egyértelműségéből következik, hgy α és β egyértelműe meghatárztt. MEGJEGYZÉS: A 3. TÉTEL így is megfgalmazható: Ha a ï b és a,b,v kmplaárisak, akkr v egyértelműe előállítható a és b lieáris kmbiációjakét. 4. TÉTEL Hárm vektr akkr és csak akkr kmplaáris (egysíkú), ha legalább egyikük a másik kettő lieáris kmbiációja. 5. TÉTEL Ha a, b, c, em kmplaáris (em egysíkú) vektrk, akkr a tér bármely v vektra egyértelműe előállítható az a, b, c vektrk lieáris kmbiációjakét. Bizyítás. A bizyítás gdlatmeete azs a 3. TÉTEL bizyításával. P γc c v c 0 b αa βb m a M A szerkesztés egyértelműségéből következik, hgy α, β, γ R valós számk egyértelműe meghatárzttak. v = m+ γ c = α a + β b + γ c 8
PMMANB3 Matematika I. MEGJEGYZÉSEK. Két em párhuzams vektr a síkt, hárm em egysíkú vektr a teret kifeszíti, mert lieáris kmbiációjukkal a sík, ill. a tér mide vektra egyértelműe előállítható.. A sík em párhuzams vektra a sík egy bázisa, a tér 3 em kmplaáris vektra a tér egy bázisa. DEFINÍCIÓ. A tér emkmplaáris, közös kezdőptból felmért a, b és c vektrai az adtt srredbe jbbredszert alktak, ha c iráyából ézve az a vektr az óramutató járásával ellekező 80 -ál kisebb szögű frgatással a b iráyába frgatható. c b + a MEGJEGYZÉSEK. Ha a, b, c jbbredszer b, a, c balredszer!. A jbbredszert jbbkezük ujjaival, a balredszert balkezük ujjaival szemléltetjük..7 Vektr krdiátái Vegyük fel a térbe egy O ptt, valamit az O pttól kiiduló hárm, párkét egymásra merőleges egységvektrt, jelölje őket i, j, k és alkssaak ebbe a srredbe jbbsdrású redszert. Ezeket evezhetjük bázisvektrkak. Az i, j, k a tér bázisa. (rtrmált bázis!). Az 5. TÉTEL értelmébe a tér bármely v vektra egyértelműe felírható a bázisvektrk lieáris kmbiációjakét. Legye a felbtás v = i + y j + z k z zk v P k O i i j yj y 9
PMMANB3 Matematika I. DEFINÍCIÓ. Az, y, z valós számk a v vektr krdiátái, az i, y j, z k vektrk a v vektr kmpesei (az i, j, k bázisba). Tehát a v krdiátáit egy redezett számhármassal a v = (, y, z) srvektrs alakba szktuk kifejezi, de v = y z szlpvektrs alakba is haszálhatjuk. MEGJEGYZÉS. Másik bázist is választhattuk vla!. v krdiátái függek a bázisvektrk választásától. 3. A sík, pl. az, y sík v vektrát v = i + y j + 0 z = i + y j alakba állíthatjuk elő, így v krdiátái v = (, y, 0) v = (, y) v = redezett valós számpár y 4. A tér v vektrai és a tér P ptjai közötti kölcsööse egyértelmű megfeleltetés miatt a v és P végptjáak krdiátái azsak. A v a P pt helyvektra..8 Műveletek krdiátáikkal adtt vektrkkal TÉTEL A v = (, y, z ) és a v = (, y, z ) adtt vektrk eseté v = v akkr és csak akkr, ha =, y = y, z = z egyszerre teljesül. TÉTEL A v = (, y, z) vektr λ-szrsáak λv -ek krdiátái λv = (λ, λy, λz). TÉTEL Az a = (a, a, a 3 ) és b = (b, b, b 3 ) vektrk összegéek, külöbségéek krdiátái: (, 3 3) (, 3 3) a+ b= a + b,a + b a + b a b= a b,a b a b. Vektrk skaláris szrzata. Vektr szrzása vektrral DEFINÍCIÓ. Két vektr skaláris szrzatá a két vektr abszlút értékéek és az általuk bezárt szög ksziuszáak szrzatát értjük. Jele: ab Képlettel: ab: = a b cs(a,b) Ë 0
PMMANB3 Matematika I. MEGJEGYZÉS: A skaláris szrzat eredméye em vektr, haem skalár meyiség. MŰVELETI TULAJDONSÁGOK a, b, c tetszőleges vektrk α, β ú α (a b) = (α a) b α (a b) = a (α b) (α a) (β b) = (α β)(a b) a b = b a a (b + c) = a b + a c TÉTEL Két vektr skaláris szrzata akkr és csak akkr 0, ha a két vektr merőleges egymásra. Bizyítás.. rész: Ha a b, akkr a b = 0 Mst ezt bizyítjuk! Ë Ha a b, akkr a, b = 90, és cs 90 = 0 a b = 0. rész: Ha a b = 0, akkr a b Mst ezt bizyítjuk! Legye a b= 0 azaz a b cs a,b Ë = 0 a b Ha a = 0 a = 0 és a 0 b Ha b = 0 b = 0 és a 0 a Ë Ë Ha a 0, b 0, akkr cs a, b = 0 a, b = 90 PÉLDA i, j, k alapvektrk (párkét merőlegesek, jbbredszer) ij jk ki cs90 0 = = = = ji= k j= ik = 0 ii jj kk cs0 = = = = TÉTEL Krdiátáival adtt két vektr skaláris szrzata: Ha a = a,a,a = a i+ a j+ a k 3 3 b = b, b, b = b i + b j+ b k, akkr Bizyítás. 3 3 ( 3 )( 3 ) ab= a i+ a j+ a k b i+ b j+ b k = a b= ab+ ab+ a3b3 a megfelelő műveleti tulajdságt felhaszálva
PMMANB3 Matematika I. ( ai )( bi ) + ( ai )( bj) + ( ai )( bk 3 ) + ( aj)( bi) + ( aj)( bj) + ( aj)( b3k) + ( ak)( bi) ( ak)( bj) ( ak)( bk) + + = 3 3 3 3 3 = abi + abij+ abik+ 3 + abji+ ab j+ abjk+ 3 3 3 3 3 3 + abki+ abkj+ abk = ab+ ab + ab a krábbi eredméyek felhaszálásával a abszlút értékéek kiszámítása aa= a = a a cs0 = a a = a = + + 3 a a a a Tehát 3 a = a + a + a PÉLDA Legye a = (,,0 ), b = (-,, -6) a b =?, a =? Megldás a b= (-) + + 0 6= 0 a b a = + + 0 = 5 A FIZIKÁBAN A muka: egy ptszerű, egyees pályá mzgó testre ható álladó erő mukája: F W = F csα r = F r α F r r skaláris szrzat Tehát: W = F r. Vektrk vektriális szrzata Két vektr vektriális szrzatá azt a vektrt értjük, amelyek abszlút értéke a két vektr abszlút értékéek és a közbezárt szögük sziuszáak szrzata, állása midkét téyezőre merőleges iráya pedig lya, hgy az első téyező, a másdik téyező és a vektri szrzat ebbe a srredbe jbbredszert alkt. DEFINÍCIÓ.
PMMANB3 Matematika I. Jelölés: a b a és b vektriális szrzata a b : = a b si a,b Ë a, b, a b ebbe a srredbe jbbredszert alkt MŰVELETI TULAJDONSÁGOK a, b, c tetszőleges vektrk ; α, β R a b= ( b a) ( a b) ( a ) b a ( b ) α a β b=αβ ( a b) a ( b+ c) = a b+ a c ( b+ c) a = b a+ c a α = α = α ( ) ( ) a b c a b c!!! TÉTEL Két vektr vektriális szrzata akkr és csak akkr zérusvektr, ha a két vektr párhuzams (egyező állású). Bizyítás Legye a két vektr a és b Ha a = 0 (v. b = 0) a tétel triviálisa teljesül Ha Ha a 0, b 0. rész: Ha a D b, akkr a b = 0 Bizyítás D Ha a b, akkr a, b Ë = 0 v. 80, de ekkr a b = a b si a, b Ë = 0, de ez azt jeleti, hgy a b = 0. rész: Ha a b = 0, akkr a D b Bizyítás Ë tehát ( a, b) Ë= 0 v. 80 a b = a b si a,b = 0 si a,b Ë= 0, PÉLDA i, j, k alapvektrk (jbbredszert alktak!) i i= j j= k k = 0 előző tétel szerit i j= k j k = i k i= j TÉTEL Krdiátáival adtt két vektr vektriális szrzata: Ha a = a,a,a, b = b, b, b, akkr 3 3 a b= ab ab i ab ab j+ ab ab k 3 3 3 3 3
PMMANB3 Matematika I. Bizyítás ( 3 ) ( 3 ) a b= a i+ a j+ a k b i+ b j+ b k = = ab i i + ab i j + ab i k + 3 + ab j i+ ab j j+ ab j k + 3 + ab k i + ab k j+ ab k k = 3 3 3 3 = abk ab j abk+ abi+ ab j abi= 3 3 3 3 = ab ab i ab ab j+ ab ab k= 3 3 3 3 i j k = a a a3 DETERMINÁNS b b b 3 TÉTEL Két vektr vektriális szrzatáak abszlút értéke a két vektr által kifeszített paralelgramma területéek mérőszámával egyelő. Bizyítás b γ m a T = a m = a b si γ T = a b PÉLDA Legye a = ( 6,,0 ), b = (-,, ) a b =?, a b =? Megldás i j k a b = 6 0 = ( 0) i ( 0) j+ ( 6 + ) k = i j+ 8k a b = i j+ 8k =,,8 a b = 4 + 44 + 64 = A FIZIKÁBAN M= r F (O ptba rögzített merev testre P ptba F álladó erő hat, melyek hatásvala em halad át O pt. Eze F erőek a testre frgató hatása va, amelyet frgatóymatékak evezük.) 4
PMMANB3 Matematika I. r = OP ; (r, F)Ë = α O M F k az erő karja k = r si α k r α P α α M = r F A si α M = r F M r ; M F ; r, F, M jbbredszer.3 Vektrk vegyes szrzata DEFINÍCIÓ. Az a, b, c vektrk vegyes szrzatá az a b-ek a c-vel képzett skaláris szrzatát értjük, jele a b c abc= ( a b) c= a b ccs( a b,c) Ë A VEGYES SZORZATA GEOMETRIAI JELENTÉSE TÉTEL Az a b c vegyes szrzat abszlút értéke aak a paralelgramma alapú ferde hasábak a térfgatát adja, amelyek egy csúcsából kiiduló 3 élvektra éppe az a, b és c vektr. Bizyítás a b (a b, c)ë = α T = a b m = c cs α α α m c b T a V = T m = a b c cs α = (a b) c = a b c V = a b c MŰVELETI TULAJDONSÁGOK 5
PMMANB3 Matematika I. a, b, c tetszőleges vektrk. abc= bca= cab. abc= bac= cba = acb 3. abc= ( a b) c= a( b c) A gem. jeletésből köv. TÉTEL Hárm vektr vegyes szrzata akkr és csak akkr zérus, ha a hárm vektr kmplaáris (egysíkú). TÉTEL Krdiátáival adtt hárm vektr vegyes szrzata, ha a = (a, a, a 3 ), b = (b, b, b 3 ), c = (c, c, c 3 ) az a a a 3 b b b harmadredű determiással egyelő, azaz 3 c c c 3 a a a 3 abc= b b b = bc bc a bc bc a + bc bc a 3 3 3 3 3 3 c c c 3 3. Krdiátagemetriai alkalmazásk 3. Az egyees Adtt P(,y,z ) pt és ( 3) v= v,v,v 0 vektr. e egyees haladj át P pt és e legye párhuzams v-ral (v az egyees iráyvektra!) P e P r v P e e v r O P(; y; z) pt akkr és csak akkr va az e egyeese, ha PP= r r vektr egyező állású (párhuzams) v-ral, azaz ha lya t ú szám, hgy Amiből r r = t v t ú r = r + t v t ú 6
PMMANB3 Matematika I. TÉTEL Ha egy egyees adtt P ptjáak helyvektra r, iráyvektra pedig v 0, akkr az egyees paraméteres vektregyelete: r = r + t v t ú alakú, ahl r az egyees valamely P ptjába mutató helyvektr és t paraméter, t ú. Az egyees paraméteres egyeletredszere P(,y,z ), r (,y,z) P(,y,z ), r (,y,z) v ( v,v,v ) 0 3 = az egyees adtt ptja és helyvektra = az egyees vm. ptja és helyvektra = az egyees iráyvektra ha r = r + t v t ú, akkr a megfelelő krdiáták egyelőségét felírva = + tv y= y + tv az egyees paraméteres egyeletredszere z= z + tv 3 Ha v 0, v 0, v3 0 a 3 egyeletből t = y y z z = = v v v 3 az egyees paraméteres egyeletredszere PÉLDA Írjuk fel az A (, -3, ) és B( -5, 7, ) ptk áthaladó egyees paraméteres egyeletredszerét! Megldás iráyvektra: v = AB = (-7, 0, ) egy ptja: A = (, -3, ) Az egyees paraméteres egyeletredszere: = + 7t y= 3+ 0t z= + t t ú 3. A sík Adtt P(,y,z ) pt és = A, B, C 0 S sík illeszkedje a P ptra és legye merőleges -ra ( a sík rmálvektra!) 7
PMMANB3 Matematika I. P P S P (, y, z), r = (, y, z) P (, y, z ), r = (, y, z ) = ( A, B, C) 0 r r O A P pt akkr és csak akkr va az S sík, ha PP= r r vektr merőleges -ra, azaz ha skaláris szrzatuk 0. r r = 0 (skaláris szrzat) TÉTEL Ha egy sík adtt P ptjáak helyvektra r, rmálvektra pedig 0, akkr a sík vektregyelete: Az sík általás egyelete: r r = 0 = ( A,B,C) = (,y,z) r r = (,y y,z z) r r,y,z A sík vektregyeletébe szereplő skaláris szrzatt a krdiátákkal kiszámítva: Ezt átredezve A + B y y + C z z = 0 a sík általás egyelete A By Cz D 0 + + + = ahl D= ( A + By + Cz ) a sík általás egyelete PÉLDA Írjuk fel az sík egyeletét, amely illeszkedik a P(, -, 3 ) ptra és párhuzams a 3 4y 5z 3= 0 egyeletű síkkal! Megldás Az adtt sík: = ( 3, -4, 5) A két sík rmálvektra azs! 3 4y+ y+ 5z 3 A keresett sík egyelete: átalakítva: 3 4 y + 5z = 6 8
PMMANB3 Matematika I. IV. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNY. A függvéy fgalma (általása) DEFINÍCIÓ. Ha egy A halmaz bizys elemeihez hzzáredeljük egy B halmaz egy-egy elemét, akkr az A halmazból a B halmazba vivő függvéyt értelmeztük. Jele: ha f ilye függvéy jele f:a B A halmaz az f:a B függvéy alaphalmaza B halmaz az f:a B függvéy képhalmaza Ha a0a és f függvéy a-hz az f(a)-t redeli B-ből, akkr f, a helye felvett helyettesítési értéke f(a)0b. DEFINÍCIÓ. Az f : A B függvéy értelmezési tartmáya az A-beli elemek halmaza, amelyekhez f téylegese hzzáredeli B valamelyik elemét. Az f értékkészlete pedig az B-beli elemek halmaza, amelyeket f hzzáredel, az A-ak legalább egy eleméhez. Jelölés: f értelmezési tartmáya D f f értékkészlete R f D A és R B f f PÉLDÁK. f: ú ú ; f(v) = v f [ ] D = ; ú ; R ú f egyváltzós függvéy valós. am ú = f: ; t(a,m) ú { } + Dt = a,m a,m,a > 0,m > 0, Rt = ú ú ú ú ª területe kétváltzós függvéy valós. Számsrzatk. A számsrzat fgalma DEFINÍCIÓ. Számsrzatak evezzük azt a függvéyt, amely mide pzitív egész számhz egy-egy számt redel (ez a szám lehet valós, de kmple is!) Jelölése: {a, a, a 3,, a, } a a srzat -edik, v. ált. eleme {a } a srzat rövid jelölése 9
PMMANB3 Matematika I. MEGJEGYZÉS: A srzat mit fv. értelmezési tartmáya: N + A srzat mit fv. értékkészlete dú (dc) Srzatt megadhatuk. Képlettel pl.: a),,,,,, = 0N + 3 4 valós srzatk b) -,,-,,, = 0N + 3 9 7 3 3 c) { i, -, -i,, i, -, -i,,i, } = { i }. Rekurzív defiícióval 0N + pl.: a) (az u. Fibacci-féle számsrzat) a = a = {,, 3, 5, 8, 3, } valós srzat a = a - + a -, ha P3, 0N a b) - a = a = +, ha P, 0N 3 3,,,, 8 3. Képzési utasítással pl : legye a a π edik tizedesjegye valós srzat { 3,, 4,, 5, 9,, 6, 5, 3, 6, } 4. Grafikusa kmple srzat a - { } 0N + valós srzat 3 4 5 MEGJEGYZÉS: Mi valós számsrzatkkal fglakzuk részletesebbe! 30
PMMANB3 Matematika I.. Mt és krláts srzatk Mt srzatk DEFINÍCIÓ. Az {a } srzat övekedő, ha ao a + PÉLDÁK {a } srzat szigrúa övekedő, ha am a + {a } srzat csökkeő, ha ap a + {a } srzat szigrúa csökkeő, ha a> a + teljesül œ 0N + eseté.. {0,, 4, 6, 8, } szigrúa övekedő srzat. {0, 0, -, -, -, -, -3, -3, } mt csökkeő srzat 3. {-,, -,, } em mt srzat + 3 4. {a } = 0N + Milye mtitású? + 4 a + = + + 4 + 3 7 a + a = = = < 0 + ( + )( ) œ 0N + eseté Tehát a srzat szigrúa mt csökkeő. Krláts srzatk DEFINÍCIÓ. Az {a } srzat felülről krláts, ha K0ú, hgy + N re a O K Az {a } srzat alulról krláts, ha k0ú, hgy ko a Az {a } srzat krláts, ha alulról és felülről is krláts, + azaz ha N re koao K k K MEGJEGYZÉSEK: szám a srzat alsó krlátja szám a srzat felső krlátja. Krláts srzatak végtele sk alsó, ill. felső krlátja va.. A felső krlátk között va legkisebb, az alsó krlátk között va legagybb. DEFINÍCIÓ. Felülről krláts srzat legkisebb felső krlátját a srzat felső határáak (szuprémumáak); alulról krláts srzat legagybb alsó krlátját a srzat alsó határáak (ifimumáak) evezzük. 3
PMMANB3 Matematika I. PÉLDÁK. {a } = {+} 0N + alulról krláts srzat mivel 3O + + N re 3 a srzat ifimuma!. {a } = 0N + krláts srzat + 0 < O N 0 ifimum szuprémum.3 Srzatk kvergeciája Pl.:. Legye a = + (-) ; { + (-) } 0N + 5 5 9 9 3 3 7 7 + (-) =,,,,,,,,, 3 4 5 6 7 8 9 a000 = + =, 00 000 övelésével hgya viselkedek a srzat elemei? Igaz-e: ha = h a = Nem igaz! A em téyleges meyiség, haem egy mide határ túl flytatható flyamat szimbóluma. Tehát itt, ha, akkr a Itt a számt a srzat határértékéek evezzük. { }. Legye b ( 3 ) ; ( 3) {( 3 ) } { 3, 9, -7, 8,... } = 0N+ = srzat esetébe úgy gdlhatjuk ics lya szám melyet a megközelít, ha. DEFINÍCIÓ (). Az {a } srzat kverges, ha lya A0ú szám, hgy A œ köryezetébe a srzatak véges sk eleme kivételével mide eleme beletartzik és ekkr az A számt a srzat határértékéek evezzük. DEFINÍCIÓ (). Az {a } srzat kverges és határértéke az A szám, ha œ ε>0-hz, meghatárzható lya N természetes szám (N ε tól függő), hgy ha >N akkr a A < ε. Az A szám az {a } határértéke, jelbe: lim a = A v. a A, ha 3
PMMANB3 Matematika I. MEGJEGYZÉSEK. Az A szám ε sugarú köryezeté (ε>0) az ]A-ε; A+ ε[ yílt itervallumt értjük, azaz ú, A-ε< < A+ ε ]A-ε; A+ ε[ = { } A-ε A A+ε. a -A < ε ] -ε < a -A < ε A-ε < a < A+ε 3. Az {a } srzat kvergeciájára adtt két defiíció ekvivales.. TÉTEL Kverges srzatak csak egy határértéke va. DEFINÍCIÓ. Az lya srzatt, amelyek ics határértéke divergesek evezzük. PÉLDÁK. Diverges srzatk: {(-3) } = {-3, 9, -7, 8, } { } = {, 4, 9, 6, 5, } +. Bizyítsuk be, hgy az + srzat kverges! Megldás 5 7 9 97 00 000,,,,,,,,,,, 4 5 6 7 00 00 000 D D D a a a 98 000 0000 Sejtés: a határérték A= A. defiícióval igazljuk, hgy a határérték. Írjuk fel és ldjuk meg az a -A < ε egyelőtleséget -re, majd elemezzük a megldást. + <ε + 3 <ε + 3 <ε + ε> 0 N + 3 3 - + <ε ε < 33
PMMANB3 Matematika I. 3 Itt N = ε. Tehát ha 3 > N = ε, akkr a - < ε, azaz a srzat teljesíti a. + defiíciót, így kverges és határértéke. + + Jelbe: lim = + A kvergecia bizyítás vége! A srzat az elemei melyekre >N, a ] -ε,+ε [ itervallumba, azaz a ε sugarú köryezetébe vaak. Véges sk elem: a, a, a 3,, a N esik csak kívül a ε sugarú köryezeté. Pl.: legye -3 3 ε=3 0 N = - =998-3 30 küszöbszám! Tehát a 0,003 sugarú köryezeté kívül eső elemek: a, a, a 3,, a 998 a 0,003 sugarú köryezetébe eső elemek: a 999, a 000, a 00, végtele sk. TÉTEL Ha {a } kverges, akkr krláts. Bizyítás. Legye lim a = A A kvergecia defiíciójával bizyítuk. Ekkr pl.: ε=-hez is N 0N +, hgy ha >N, akkr a -A < ]A-<a < A+ A srzat az elemei, melyre >N, teljesítik a feti egyelőtleséget. A srzat a, a, a 3,, a N elemei vaak kívül az ] A-, A+ [ itervallum. Válasszuk alsó krlátt: k = mi{a-, a, a,, a N } Válasszuk felső krlátt: K = ma{a+, a, a,, a N } A- A A+ Mide -re koa O K tehát a srzat krláts! MEGJEGYZÉS: Az előző tétel megfrdítása em igaz, azaz va lya krláts srzat, amely em kverges! DEFINÍCIÓ. Az α0ú számt az{a } trlódási ptjáak evezzük, ha α œ köryezete a srzat végtele sk elemét tartalmazza. PÉLDA {(-) }={-,, -,, } Két trlódási pt: - és De: a srzat diverges! 34
PMMANB3 Matematika I..4 Kvergeciakritériumk A kvergecia defiíciója alapjá gyakra ehéz bizyítauk kverges-e az adtt srzat, ehhez ugyais ismerük kellee a srzat határértékét! Előfrdulhat em is vagyuk kívácsiak a határértékre, csupá az érdekel beüket, kverges-e a srzat (azaz va-e határértéke!) Fts lya kritériumk ismerete, melyek segítségével a kvergecia egyértelműe eldöthető. Külö megadhatuk a kvergeciára szükséges elégséges szükséges és elégséges feltételeket!.4. A kvergecia szükséges feltétele TÉTEL A kvergecia szükséges feltétele a krlátsság. (Másképp fgalmazva: Ha {a } kverges, akkr krláts.) (Krábba biz.!) MEGJEGYZÉSEK. A em krláts srzatk divergesek. Ha a srzat krláts, még em bizts, hgy kverges is! PÉLDÁK lim = 0 0 { } {,4,9,6, } a srzat krláts = em krláts (ics felső krlát) diverges srzat {( ) } {,,,, } = krláts, de diverges srzat.4. A kvergecia elegedő feltétele TÉTEL Ha az {a } srzat mt és krláts, akkr kverges. (Másképp: Az {a } srzat kvergeciájáhz elegedő, hgy a srzat mt és krláts legye.).4.3 A kvergecia szükséges és elégséges feltételei. TÉTEL Az {a } srzat akkr és csak akkr kverges, ha krláts és csak egyetle trlódási ptja va.. TÉTEL Az {a } srzat akkr és csak akkr kverges, ha œ ε>0-hz N természetes szám (N ε-tól függő), hgy ha, m >N, akkr a - a m <ε. (Cauchy-féle kvergeciakritérium!) 35
PMMANB3 Matematika I..5 Végtelehez tartó srzatk (Eze srzatk divergesek!) DEFINÍCIÓ. Az {a } srzat a + -hez tart, ha œ K>0 számhz N 0 N +, hgy ha >N, akkr a >K. Jelölése: lim a = ill. a, ha lim a = akkr az a srzat a hez tart. DEFINÍCIÓ. Ha { } Jelölése: lim a = v. a, ha PÉLDÁK. lim ( 3). lim = = 3. lim ( 3 ) =.6 Néháy evezetes kverges srzat a a ú lima = a. { }. lim = 0 3. { q } q ú, mértai srzat q a kvóciese 4. { } 5. { } de lim q lim q a a ú + lim a = lim = 0, ha q < =, ha q = diverges, mide egyéb esetbe =, ha q> 6. 9 + =,,,370,,44...,,4883,,,7048..., 4 a kvergecia defiícióval biz. a 00 Mutassuk meg, hgy teljesül a feti srzatra a kvergecia elégséges feltétele, azaz mt és krláts. a) A srzat mtitásáak bizyítása Sejtés: a srzat mt övekedő (a éháy első elem ezt sugallja!) A bizyításhz felhaszáljuk a számtai és a mértai közép közötti egyelőtleséget 36
PMMANB3 Matematika I. ekkr a, a,, a k legyeek emegatív valós számk, ahl k N + k aa,,a (Ha a = a = a k, k Tekitsük a következő O a + a + + a k k ( mértai k. ) ( számtai k. ) akkr és csak akkr egyelő a két ldal.) + db számt +, +,, +, db Írjuk fel a feti (+) szám számtai és mértai közepét! + + + + + + + + + + < + + + ( ) + + + + < = = + + + + + + + < + œ 0 N eseté igaz + D D a < a +, tehát a srzat szigrúa mt övekedő + b) A srzat krlátsságáak bizyítása Mivel a < a < a < a + < ezért a srzat alulról biztsa krláts. Alsó határ: a =. Tehát csak azt kell bizyítauk, hgy felülről is krláts. Tekitsük a következő + db számt +, +,, +,, db Írjuk fel a feti (+) szám számtai és mértai közepét! 37
PMMANB3 Matematika I. + + + + + + + + + + + + < + + + + + < = 4 + + < 4 + + < 4 œ 0N -re teljesül + Tehát a < 4 œ 0N -re így a srzat felülről is krláts, azaz + O + < 4 œ 0N -re A kvergecia elegedő feltétele teljesül a srzatra (szig., mt ő és krláts), azaz az + srzat kverges, tehát va határértéke. Kimutatták, hgy az + srzat határértéke irraciális szám, melyet e-vel jelölük. DEFINÍCIÓ. DEFINÍCIÓ. Az `e` valós számt az = + e: lim határértékkel defiiáljuk. e.,788885 Az `e` alapú lgaritmust természetes lgaritmusak evezzük. A 0ú + szám természetes lgaritmusáak jelölése l. MEGJEGYZÉS: a k + = = ú k lim e, ha lim a, k a.7 Műveletek kverges srzatkkal DEFINÍCIÓ. Az {a } és {b } srzatk összegé azt a {c } srzatt értjük amelyek -edik eleme: c = a + b MEGJEGYZÉS: Haslóa értelmezhető két srzat külöbsége, szrzata, háyadsa. 38
PMMANB3 Matematika I. TÉTEL Ha az {a } és {b } srzat kverges és lim a = A és lim b = B, akkr. lim c a = c lim a = c A œc ú eseté lim a + b = lim a + lim b = A + B. lim a b = lim a lim b = A B 3. 4. a lim a A ha B 0 lim = = b lim b B Csak a. állítást bizyítjuk. Bizyítás A kvergecia defiíciója alapjá bizyítjuk. Mivel {a } és {b } kverges, így midkét srzatra teljesül a kvergecia defiíciója, ε miszerit œ > 0 számhz N, ill. N term. szám, hgy ε a A <, ha > N ε b B <, ha > N Mi azt akarjuk bizyítai, hgy ( a + b ) ( A+ B) Mutassuk meg, hgy az (a + b ) srzatra is teljesül a kvergecia defiíciója, miszerit a + b A + B <ε, ha > N ahl ε tetszőleges pzitív szám ε ε + + O + < + =ε a b A B a A b B v v ha > N = ma N, N ε ε ha > N ; ha > N Tehát a + b A + B <ε, ha > N, ahl œ ε> 0 szám ami igazlja a tétel állítását. TÉTEL (Redőrelv!) Ha {a } és {c } srzat kverges és lim a = lim c = A, valamit véges sk kivételével aobo c teljesül, akkr {b } is kverges és lim b = A 39
PMMANB3 Matematika I. MEGJEGYZÉS:. Diverges srzatkkal végzett műveletek eredméyekét kaptt srzatk lehetek kvergesek és diverges is! Midig a kkrét eset vizsgálata szükséges!. Semmi biztsat em mdhatuk a ± 0 ; 0 ; ; ; ; ; 0 ± 0 típusú határértékekről. 0 0.8 Példák srzatk határértékéek kiszámítása A kverges srzatkra vatkzó tételek és a evezetes kverges srzatk határértékéek felhaszálásával számluk határértékeket. Számítsuk ki a következő srzatk határértékekét!.. 3. 4. 5. 7 3 + 7 + 3 7 + 3 lim = lim = lim = 0 + 5 5 + + 5 3 3 8 + 6 8 + 6 lim = lim = 8 3 3 + 3 + 3 3 3 3 3 3 4 + lim = lim = lim = 0 + 4 + 4 4 + 4 3 3 ( 3) ( ) + 3 + 3 + 3 lim = lim = lim 3 + 9 3 + 9 3 + 9 3 3 Diverges! Két trlódási ptja va: -3 és 3 ( ) lim = + 6+ + 6 6 lim + 6 = lim + 6 = lim = lim = 0 + 6+ + 6+ + 6+ + 3 3 3 lim = lim + = e 6. 7. 40
PMMANB3 Matematika I. 5 + 3 + 5 e lim = lim = = e = e 3 e 3 8. 3 3 5 3 4 9. lim + Redőrelv segítségével! < + < 4 + = Tehát lim 3. Egyváltzós valós függvéy alaptulajdságai 3. A függvéy fgalma, megadása DEFINÍCIÓ. Egyváltzós valós függvéye lya függvéyt értük, amelyek értelmezési tartmáya és értékkészlete is a valós számk halmazáak valamely részhalmaza. Függvéyek jelölése: f, g, h,, ϕ, ψ, stb. Ha egy függvéyt a matematikai fgalma alapjá ptsa akaruk megadi, akkr megadjuk az értelmezési tartmáyát, a képhalmazát és a hzzáredelés szabályát. PÉLDÁK. f: R R, 3-7 Df R R f R itt vagy 7 D f =[ ; [ 3 R =[ 0; [ f 7 f ( ) = 3+ 7, D f =[ ; [, Rf R Rf =[ 0; [ 3 g =, Dg = R 3, Rg R Rg = R 0 3. {} {} 4
PMMANB3 Matematika I. MEGJEGYZÉS: Ha az f függvéy helye vett helyettesítési értéke képlettel megadható és f-ek csak alaphalmazát és képhalmazát adjuk meg (itt ú midkettő), akkr D f és R f megállapítása számítással jár. Ilyekr D f a ú az legbővebb részhalmaza, amelyekek elemeihez a képlet függvéyértéket redelhet. Egyváltzós függvéy szemléltetése f: R R, f(), D f R, Rf R f függvéyt síkbeli derékszögű krdiáta redszerbe, az y = f() egyeletű gemetriai alakzattal ábrázljuk, miközbe befutja a D f halmaz elemeit. Az y = f() egyeletű gemetriai alakzatt az f függvéy grafikjáak evezzük. PÉLDA D R f f R R, f() =, ha > 0 0,, ha ha = 0 < 0 = sg előjelfüggvéy Ábrázljuk y y = sg O - - f { } R, 0, 3. Függvéyek jellemzése, függvéytai alapfgalmak 3.. Krlátsság DEFINÍCIÓ. Az f függvéyt felülről krlátsak evezzük, ha K ú szám, hgy f D re f O K, Az f függvéy alulról krláts, ha k ú szám, hgy D re kof f Az f függvéy krláts, ha alulról és felülről is krláts, azaz kof OK D re f felső határ : legkisebb felső krlát (sup f () ) alsó határ : legagybb alsó krlát (if f() ) 4
PMMANB3 Matematika I. 3.. Párs, páratla függvéyek DEFINÍCIÓ. Az f függvéyt, amelyek értelmezési tartmáya szimmetrikus az D re f = f, és páratla rigóra párs függvéyek evezzük, ha f függvéyek, ha f ( ) = f. MEGJEGYZÉS Ábrázlható függvéyek eseté, ha f párs, grafikja az y tegelyre szimmetrikus, ha páratla, a képe az rigóra szimmetrikus. PÉLDA 3 3 Legye f =, Df = ú Milye paritású f függvéy? + Megldás D f rigóra szimmetrikus 3 3 3 3 f = = = = = f ( ) 3 + + + 3 3 + 3 Tehát, D re f = f f páratla 3..3 Peridikus függvéyek f DEFINÍCIÓ. Az f függvéy peridikus, ha lya p>0 szám, hgy teljesül a következő feltétel: f f. Df re + p D. D re f + p = f A p>0 szám az f függvéy periódusa. 3..4 Mt függvéyek DEFINÍCIÓ. tartmáyá az f függvéyről akkr mdjuk, hgy ez a függvéy az értelmezési mt övekvő, ha < f O f mt csökkeő, ha < f ( ) P f szig. mt övekvő, ha < f < f szig. mt csökkeő, ha < f ( ) > f ( ) a D f mide (, ) elempárjára. 43
PMMANB3 Matematika I. 3..5 Függvéyek szélsőértéke DEFINÍCIÓ. Az f függvéyek az D f ptba helyi miimuma va, ha az ak lya köryezete, hgy ha eze köryezetek, f() > f. 0 0 Az f függvéyek az D f ptba helyi maimuma va, ha az ak lya köryezete, hgy ha eze köryezetek, f() < f. 0 0 PÉLDA y y = f() [ [ = [ [ f: a ;b D a ;b f ú a 3 b = a 3 helye f-ek abszlút (ttális) maimuma va helye f-ek helyi miimuma va helye f-ek helyi maimuma va helye f-ek helyi miimuma va, ami egybe abszlút miimum is f: ú ú, f = y y = = 0 f-ek helye helyi miimuma va és egybe abszlút miimuma is va. maimuma ics 3..6 Függvéy zérushelye DEFINÍCIÓ. Az f függvéyek az Df ptba zérushelye va, ha f( ) = 0 3.3 Műveletek függvéyekkel 3.3. Függvéyek leszűkítése DEFINÍCIÓ. Legye H D f,h. Ekkr az f függvéy H halmazra való leszűkítésé azt a g függvéyt értjük, melyre D = H,és œ Heseté g() = f(). g 44
PMMANB3 Matematika I. f: ú ú, f = si y y = f () = si π - π π π π π Legye H = ; g legye f fv leszűkítése H ra π π D g = ;, g = si,ha H π y π y = g() 3.3. Függvéyek összege, külöbsége, szrzata, háyadsa Legye f és g két lya függvéy melyekre DfW Dg. Z g legye a g függvéy zérushelyeiek halmaza. DEFINÍCIÓ. Az f és g függvéyek összegé, külöbségé, szrzatá redre azt a F, G, H függvéyt értjük melyekre F f g G f g H f g D = D WD és F = f + g D = D WD és G = f g D = D WD és H = f g DEFINÍCIÓ. Az f és g függvéyek háyadsá azt az ú függvéyt értjük melyre f DR = ( DfW Dg) ( Z g és R = g PÉLDA f g g {} Legye D =[ 4 ; [, f = + 4 + D = R, g = lg Z =,mert lg= 0 = + = + + = W = ú. F f g 4 lg, DF Df Dg G = f g = + 4 lg, D = DWD = ú. G f g + + 45
PMMANB3 Matematika I. = = + = W = ú 3. H f g 4 lg, DH Df Dg 4. f + 4 R = =, DR = Df Dg Zg = g lg 3.3.3 Függvéyek összetétele + + ( W ) ú {} DEFINÍCIÓ. Az f és g két lya függvéy, amelyekre RgW Df. Az f külső és g belső függvéyből képzett összetett függvéye értjük azt a h függvéyt, amelyek értelmezési tartmáya a g értelmezési tartmáyáak az része, ahl g lya értékeket vesz fel, melyeke f értelmezett. A h összetett függvéy hzzáredelési h = f g. törvéye: ( ) PÉLDA Megldás h = lg Elemzzük a szerkezetét! Adjuk meg h függvéy értelmezési tartmáyát! f = D = [0; [, R = [0; [ külső függvéy f f belső függvéy g lg D g ]0; [, Rg Rg D f = [0; [ h értéktart. meghat. lg P 0 lg P lg D=D = ]0;] D h f g g 3.3.4 Függvéyek iverze = = =ú 0MO DEFINÍCIÓ. Legye az f függvéy által létesített leképezés kölcsööse egyértelmű. Az f függvéy iverz függvéyé értjük azt az f függvéyt, melyek értelmezési tartmáya az f értékkészlete és hzzáredelési törvéye: egy D értékhez azt az f( )értéket redeli, melyre f(f) = _ f 46
PMMANB3 Matematika I. ( ) f f y = f( ) y= f y = y= f f( ) MEGJEGYZÉSEK. Az f függvéy az értelmezési tartmáyáak H részhalmazá kölcsööse egyértelmű leképzését valósít meg, ha f a H halmaz külöböző elemeihez külöböző értékeket f = f =, H eseté. redel az értékkészletéből, azaz ha. Mivel mide szigrúa mt függvéy kölcsööse egyértelmű leképzést valósít meg, így a szigrúa mt függvéyekek midig létezik az iverz függvéyük. 3. Va lya ivertálható függvéy, amely em mt! Legye D f = ú, f = 3 + Adjuk meg az iverz függvéyét! PÉLDA Megldás Vizsgáljuk meg f mtitását! + + + 3 9 3 = 3 3 3 Mivel f szig. m. csökkeő ivertálható R f meghat. 0M3 0N -3 + + N -3 + + Az iverz fv. hzzáredelési törvéye: Mst: D = ] ;[ f R = ú f f() + _ f(f()) f(f()) = 3 = f() =? _ f() + 3 = _ f() + = lg ( ) _ f() = lg ( ) _ 3 3 3 _ R f = ] ;[ = f() = lg ( ) Az f függvéy iverz függvéye 47
PMMANB3 Matematika I. 3.4 Egyváltzós elemi függvéyek Az elemi függvéyek sztályát a kstas függvéyek hatváyfüggvéyek trigmetrikus függvéyek lgaritmikus függvéyek és az ezekből véges számú összeadással, kivással, szrzással, sztással, összetett és iverzfüggvéy képzéssel előállítható függvéyek alktják. Elemi függvéyek Algebrai függvéyek Traszcedes függvéyek Raciális Irraciális Egész Tört Algebrai függvéyek: azk a függvéyek, melyek kstaskból és a váltzóból véges számú összeadás, kivás, szrzás, sztás és egész kitevőjű gyökvás útjá jöek létre. Raciális függvéyek:azk az algebrai függvéyek, melyek leképzéséhez a gyökvást em kell felhaszáli. Raciális egész függvéyek v. plimfüggvéyek: - -edfkú f: = a + a + + a+ a D =ú - f ahl a ú i = 0,,...,, a 0 adttak i Raciális törtfüggvéyek: Olya törtfüggvéy, amelyek számlálója és evezője is plimfüggvéy. Traszcedes függvéyek: azk az elemi függvéyek, melyek em algebrai függvéyek (trigmetrikus, lgaritmus függvéyek és ezek iverzei). MEGJEGYZÉS Az alapfüggvéyek, melyek ismerete a későbbiekbe agy fts, a jegyzet végé találhatók. 3.5 Függvéyek határértéke 3.5. Függvéy véges helye vett véges határértéke DEFINÍCIÓ. (Heie-féle) Legye f() fv az hely valamely köryezetébe értelmezett, kivéve esetleg az ptt. Az f() fv-ek az helye a határértéke A D, srzatra teljesül az, hgy a függvéyértékek szám, ha ( f ) { ( )} f srzata A-hz kvergál, azaz 48
PMMANB3 Matematika I. œ eseté f A Df Jelölése: lim f = A DEFINÍCIÓ. (Cauchy-f.) Legye f() az hely valamely köryezetébe értelmezett, kivéve esetleg az ptt. Az f() fv-ek az helye a határértéke az A szám, ha ε > 0 számhz megadható lya δ > 0 szám hgy ha 0< <δ, akkr f A <ε. MEGJEGYZÉSEK. A feti defiíció ekvivales. A Cauchy-féle defiícióba szereplő ha 0 < <δ akkr f A <ε egyelőtleségek ekvivalesek az alábbi egyelőtleségekkel: ha δ< < +δ, akkr A ε< f < A +ε Félldali határértékek (Bal- és jbbldali hat.ért.) DEFINÍCIÓ. Legye f() az pt valamely jbb, ill. bal ldali félköryezetébe értelmezett, kivéve esetleg az ptt. Az f() ptbeli jbb, ill. bal ldali D,. határértéke az A szám, ha ( f ) > < œ, > eseté f A ill. œ, < eseté f ( ) A és ill. srzatra f A, azaz Jelölések: jbbldali határérték: balldali határérték: lim f () = A + 0 lim f () = A 0 3.5. Függvéyek helye vett végtele határértéke DEFINÍCIÓ. Legye az f() fv az pt valamely köryezetébe értelmezett, kivéve esetleg az ptt. Az f() fv-ek az helye a határértéke + ( ), ha ( D, ) srzatra f Jelölése: lim f () = v. lim f () = f ( ). 3.5.3 Függvéyek végtelebe vett véges határértéke DEFINÍCIÓ. Legye f() a megfelelő félegyeese értelmezett. Az f() fv-ek a +4-be (-4-be) vett határértéke A szám, ha D eseté f A. f 49
PMMANB3 Matematika I. Jelölése: lim f () = A v. lim f () = A 3.5.4 Végtelebe vett végtele határérték DEFINÍCIÓ. Az f() függvéyek a +4-be (-4-be) vett határértéke +4 ill. -4, ha ( Df ) ( ill. ) eseté f ( ) ill. f ( ). Jelölése: lim f () = lim f () = stb. 3.5.5 A határértékszámítás műveleti szabályai TÉTEL Ha lim f () = A és lim g() = B, akkr. limcf() = c limf() = ca, c ú. lim(f() ± g()) = limf() ± limg() = A± B 3. lim f() g() = lim f() lim g() = A B 4. Ha B 0, f() lim f () A lim = = g() lim g() B MEGJEGYZÉS A tétel akkr is igaz, ha helyére + -t, vagy - -t íruk 3.5.6 Nevezetes határértékek. si lim = (Később igazljuk). k k lim( + ) = e, k ú 3. a lim = l a 0 (Később igazljuk!) 3.6 Függvéyek flytssága Az f() függvéy az helye flyts, ha. helye értelmezett. helye véges határértéke va 3. lim f() = f DEFINÍCIÓ. DEFINÍCIÓ. Az f() fv az helye jbbról flyts, ha f() értelmezett az jbbldali köryezetébe és lim f() = f + 0 Az f() fv az helye balról flyts, ha f() értelmezett az balldali köryezetébe és lim f() = f 0 50
PMMANB3 Matematika I. Az f() függvéy egy yílt itervallumba flyts, ha az itervallum mide ptjába flyts. DEFINÍCIÓ. Az f() fv egy zárt itervallum flyts, ha az itervallum mide belső ptjába flyts, a bal végptba jbbról, a jbb végptba balról flyts. Egy függvéyt flytsak mdaak, ha az értelmezési tartmáy mide ptjába flyts. DEFINÍCIÓ.. TÉTEL Ha két függvéy flyts az - helye, akkr összegük, külöbségük, szrzatuk is flyts az ptba. Háyadsuk is flyts, ha a evezőbe levő fv az ptba 0-tól külöböző.. TÉTEL Ha g belső függvéy flyts helye és az f külső fv flyts f ο g= f g összetett függvéy flyts az helye. g -ba, akkr az 3. TÉTEL Ha f az [a;b]- szigrúa mt flyts fv, akkr az iverze f is α; β itervallum, ahl flyts az [ ] α= mi( f(a),f(b) ), β= ma( f(a),f(b) ). 3.6. Az elemi függvéyek flytsságáról Az elemi függvéyek az értelmezési tartmáyuk flyts függvéyek. 3.6. Szakadáss függvéyek Az f() fv-ek ptba szakadási helye va, ha a fv -ba em flyts, de az valamely köryezetébe flyts. DEFINÍCIÓ. A szakadásk típusai DEFINÍCIÓ. f() fv-ek 0 -ba hézagptja va, ha lim f = A létezik ( A ú ) de f -ba em értelmezett. DEFINÍCIÓ. f() fv-ek -ba megszütethető szakadása va, ha lim f létezik, de A f ( ). = A DEFINÍCIÓ. f() fv-ek -ba em megszütethető szakadása va, ha lim f em létezik. Speciálisa, ha lim f =, akkr f ek ba pólusa va. 5