II. rész Valós függvények
Feladatok 3
4 3.. Értelmezési tartomány Határozza meg a következ függvények értelmezési tartományát! 3.. y = + + 3.. 3.4. 3.6. y = y = 3 y = + 3 ln 5 4 3.3. 3.5. 3.7. y = 3 + y = ln( 3 + ) y = arcsin 3 5 3.8. y = arccos 9 3.9. y = ln 5 0 + 6 3.0. y = ln ln 3.. Határérték Határozza meg a következ függvények határértékét az adott pontban! 3.. 3.3. 3.5. 3.7. (3 + ) 3 3 + 4 3 + 3 3 4 + 4 3.. 3.4. 3.6. 3.8. 4 + 3 5 + 3 +, kɛn rögzített. k 3 3 + 4 4 + 4 + 3 0 4 6 + 8 5 + 4
3.9. 3.. 3.3. 3.5. 3.7. 3.9. 3.30. 3.3. 3.33. 3.35. 3.37. 3.38. 3.39. 3.40. 8 3 6 5 + 3.0. 3.. n nɛz. ( 4 ) 3.4. 3 + 3 + 5 3.6. 3.8. + 3 3 3 3.3. + + + 3 + 3 + ( 3 ) 3 3 + + 9 + 3 + 3.34. ( ) 3.36. + 3 + 3 + 4 + 5 + 5 5 3 + n + 3 6 + n 0 7 + 963 + + + + + + 6 4 5
6 3.4. 3.4. 3.44. 3.45. 3.46. 3.48. 3.50. 3.5. 3.54. 3.55. 3.56. 3.58. 3.60. 3.43. 3 5 sin() tg () cos() + 3 + 3 sin(m), n, mɛn n sin a, a, bɛr, b 0. sin b 3.47. 3.49. ( sin tg ) 3.5. + sin cos sin cos π sin + sin 3 sin sin 3 ( ) ( ) cos sin cos() 3.53. tg tg ( π ) π 4 4 π 6 sin + sin sin 3 sin + 3.57. 3.59. 3.6. sin(5) ctg () cos sin tg () sin() 3 cos 3 cos π 6 ( cos ) tg 3 sin 3 ( sin π ) 6 3 cos() + tg () tg () sin()
3.6. 3.64. 3.66. ( ) 3.63. + ( ) 3.65. + ( + ) 3.67. ( ) + ( ) 4 ( )ctg () + tg () 7 3.3. Inverz függvény Határozza meg a következ függvények inverz függvényét! 3.68. 3.70. 3.7. 3.74. 3.76. y = y = + y = 3 + y = 3 3.69. 3.7. 3.73. 3.75. y = + 4 3.77. y = + y = y = 6 y + y 3 = 0 y = + 4 + + 4 3.4. Függvény ábrázolás Rajzolja meg a következ függvények görbéit! 3.78. y = 3.79. y = +
8 3.80. 3.8. 3.84. 3.86. 3.88. 3.90. 3.9. y = + + 3.8. y = 3.83. y = 3.85. 4 y = e 3.87. y = e 3.89. y = arccos(cos()) y = arctan ( ) 3.9. y = + y = + + y = ± + y = e y = arcsin(sin()) y = arctan(tg ()) 3.93. Mivel egyenl? ( ) 3.94. sin arcsin() ( ) sin arccos() 3.95. 3.97. 3.99. 3.0. 3.03. ( ) 3.96. sin arccos() ( ) 3.98. cos arcsin() sh () ch (), ha sh () =. arch(5) 3.00. 3.0. 3.04. tg ( ) arccos() ( ) sin arctg (, 4) ch (3) arsh(4) arth( 0, 6)
3.5. Egyváltozós függvény dierenciálása 9 Határozzuk meg a következ függvények deriváltját! 3.05. f() = 4 3 + 7 3.06. f() = 4 + + 3 3.07. f() = ( 3 3) sin 3.08. f() = 3 ( )( 3 ) 3.09. f() = 3 + 3 ( + + ) cos 3.0. f() = sin 3.. f() = sin 3.. f() = tg 3 3.3. f() = cos 4 3.4. f() = sin( 5 + 8) 3.5. f() = ( 4 6 + ) 6 tg 3.7. f() = cos 4 + sin 3 3.9. f() = sin 3 ( + tg ) 3.6. f() = sin + + 3.8. f() = tg 3.0. f() = 3.. f() = 0 sin 3 3.. f() = lg 3.3. f() = e 3.4. f() = π sin 3.5. f() = lg sin 4 3.6. f() = 3.7. f() = 3.8. f() = sin 3.9. f() = + 3.30. f() = 3.3. f() = + tg 3 3.3. f() = e 3.33. f() = lg( + sin ) 3.34. f() = tg + 3.35. f() = sh [ 3 ln( + 7)] 3.36. f() = arth ( ) 3.37. f() = + 3.38. f() = arcsin 3.39. f() = 5 arcsin 3.40. f() = arcsin 3.4. f() = arctg 3.4. f() = arch +
0 3.43. f() = e arth 3.44. f() = 3 3.45. f() = cos Implicit módon megadott függvények deriválása 3.46. + y = sin 3.47. cos y + sin y cos = 3.48. 3 + y 3 3ay = 0 3.49. ( ) cos y + cos y = 0 3.50. y = y 3.5. f() = + arctg f() 3.5. f() = ( + ) ( ) 3.6. Taylor polinom Írja fel az alábbi függvények 0 helyhez tartozó Taylor polinomját! 3.53. 3.54. 3.55. 3.56. 3.57. 3.58. 3.59. 3.60. f() = ln, 0 = e, T 4 () =? f() = e, 0 =, T 4 () =? f() = tg, 0 = π 4, T 3() =? f() = sin, 0 = π 4, T 3() =? f() = sin 3, 0 =, T 4 () =? f() = 3 6 + 5, 0 =, T 4 () =? f() = + 3 5 + 7 6, 0 =, T 4 () =? f() = 5 4 3 + 3 + 4 + 0, 0 =, T 4 () =?
Írja fel az alábbi függvények 0 = 0 helyhez tartozó Taylor polinomját! 3.6. 3.6. 3.63. 3.64. 3.65. 3.66. f() = e, T 4 () =? f() = sin 3, T 6() =? f() = cos, T 5 () =? f() = arctg, T 3 () =? f() = ln( + ), T n () =? f() = ( + ) α, T n () =? 3.67. Mekkora hibát követünk el, ha az y = sin függvény értékét a [0, ] intervallumon a T 5 () = 3 3! + 5 5! Taylor polinommal közelítjük? 3.68. Határozzuk meg e értékét két tizedesjegy pontossággal Taylor polinom segítségével! 3.7. Dierenciálszámítás alkalmazásai Határérték meghatározása L'Hospital szabállyal 3.69. sin 3 3.7. π 4 tg 5 tg sin 4 3.73. e e sin 3.75. sin e 3.70. tg + cos 3 e e 3.7. e sin 3.74. tg sin 3.76. ln ( + ) sin e
3.77. ln 3.79. 3.8. 3.83. sin e cos sin cos 3 ) (e ( ) ctg 3.85. (arc sin ) tg 3.87. ( )tg 3.78. 3.80. ln ln sin sin a ( 3.8. sin 3.84. (sin ) tg π 3.86. (tg ) π π ) Síkgörbék érint je és normálisa 3.88. Határozzuk meg az y = 3 parabola = abszcisszájú pontjához húzott érint jének az egyenletét! 3.89. Hol metszi az y = ln görbe = e abszcisszájú pontjához húzott érint je az tengelyt? 3.90. Meghatározandó az y = tg görbének az a pontja, amely ponthoz tartozó érint párhuzamos az y = 5 egyenessel! 3.9. Meghatározandók az y = 3 6 + 56 görbének azok a pontjai, melyekben az érint párhuzamos az y = 6( π) egyenessel! 3.9. Bizonyítsuk be, hogy az y = a görbe bármely pontjához húzott érint je és a koordináta tengelyek által alkotott háromszög területe független az érintési ponttól! 3.93. Írjuk fel az y = tg görbe = π 4 abszcisszájú pontjához tartozó normálisának az egyenletét. 3.94. Meghatározandók az y 3 3 4y + 3 = 0 implicit alakban adott függvény görbéjének az = abszcisszájú pontjaihoz tartozó érint inek és normálisainak egyenletei. 3.95. Keressük meg az y = 3 3 + görbe azon pontjait, ahol a.) az érint párhuzamos az tengellyel b.) az érint az tengely pozitív irányával 45 -os szöget zár be. Egyváltozós függvények széls értéke 3.96. Határozzuk meg az y = 3 függvény széls értékeit! 3.97. Határozzuk meg az y = 4 e függvény széls értékeit! Határozzuk meg az alábbi függvények széls értékeit!
3 3.98. f() = 3 9 + 5 3 3.99. f() = + 3.00. f() = ln 3.0. Határozzuk meg az R sugarú körbe írt legnagyobb terület derékszög négyszöget. 3.0. Határozzuk meg az R sugarú gömbbe írt legnagyobb térfogatú hengert. 3.03. Határozzuk meg az R sugarú gömbbe írt legnagyobb térfogatú kúpot. 3.04. Határozzuk meg az egy literes, felül nyitott legkisebb felszín hengert. 3.05. Egyenl szélesség három deszkából csatornát készítünk. Az oldalfalak milyen hajlásszöge mellett lesz a csatorna keresztmetszete maimális? 3.06. Határozzuk meg a h alkotójú legnagyobb térfogatú kúpot. 3.07. Egy a szélesség csatornából derékszögben kinyúlik egy b szélesség csatorna. A csatornák falai egyenes vonalúak. Határozzuk meg azon gerenda legnagyobb hosszát, amely az egyik csatornából átcsúsztatható a másikba. 3.08. Keressük meg az y = 8 parabolának azt a pontját, amely a (6, 0) ponttól a legkisebb távolságra van. 3.09. Feltételezve, hogy a g zhajó energiafogyasztása a sebesség harmadik hatványával egyenesen arányos, keressük meg a leggazdaságosabb óránkénti sebességet abban az esetben, ha a hajó c km/óra sebesség vízsodrással szemben halad. 3.8. Függvényvizsgálat 3.0. Vizsgáljuk és ábrázoljuk az f() = ln függvényt! Vizsgáljuk az alábbi függvényeket. 3.. f() = 3 9 4 3.. f() = + 3.3. f() = + 3.5. f() = + 3.4. f() = e 3.6. f() = e cos
4 3.. ábra. 3.69. feladat 3.9. Szöveges széls érték feladatok 3.69. Az A és B pontok a ill. b távolságra vannak a faltól. Melyik a legrövidebb út A-ból B-be a falat érintve? 3.70. 00 m hosszú drótkerítéssel szeretnénk maimális területet közrezárni, miközben csatlakozunk egy már meglev 00 m hósszú k falhoz. Mekkorák lesznek a kert oldalai? 3.. ábra. 3.70. feladat 3.7. Keressük meg a 4 +9y = 36 elipszisnek azt a pontját, ami a P (, 0) ponthoz legközelebb illetve legtávolabb van. Értelmezzük a kapott eredményt. 3.7. Egy derékszög alakú telek oldalai 00 m és 00 m. A sarokra épített téglalap alapú ház alapterülete mikor lesz maimális? 3.3. ábra. 3.7. feladat
3.73. Egy r sugarú félkörbe írható téglalapok küzuül melyik területe maimális? Melyik területe minimális? 3.74. Egy fapados repül gépen 300 ül hely van. Csak akkor indítják a járatot, ha legalább 00 ül hely foglalt. Ha 00 utas van, akkor egy jegy ára 30e Ft, és minden egyes plusz utas esetén a jegyárak egységesen csökkennek 00 Ft-tal. Hány utas eset lesz a légitársaság bevétele maimális illetve minimális? 3.75. Adott T terület téglalapok küzül melyik kerülete a minimális? 3.76. Egy hosszú drótból levágunk egy darabot, négyzetet csinálunk bel le. A maradékot kör alakúra hajlítjuk. Mikor lesz a két alakzat össz-területe maimális? 5
6
Megoldások 7
8 3.. Értelmezési tartomány 3.. Az y = + + azokra az értékekre van értelmezve, melyek esetén a négyzetgyökjel alatti kifejezések nem negatívak, azaz, ha + 0 és 0. Az értelmezési tartomány tehát:. 3.. 3 3.3. ɛr \ {} 3.4. ɛr \ {0, 3} 3.5. Csak a pozitív számok logaritmusa valós érték. Ez a függvény tehát értelmezve van, ha 3 + > 0 Az egyenl tlenséget megoldva azt nyerjük, hogy az értelmezési tartomány: ɛr \ [, ] 3.6. ln 5 4 0, ha 5 4. Ezért: 4. 3.7. 4. 3.8. 3 8, 8 3. 3.9. < < 3, < < 5, 8 < < 3.0. < < 3.. Határérték 3.. 3 3.. 0 3.3. 0 3.4. 3 3.5. 3.6. Ha a racionális függvény számlálója és nevez je az = a helyen zérus, akkor a tört ( a)-val egyszer síthet. + 3 0 = ( )( + 5) ( )( + ) = + 5 + = + 5 + = 7 3 3.7. 3 3.8. 3 3.9. 6 3.0. 0 3.. n 3.. 3.3.
9 3.4. Helyettesítsük 3 + -et u-val. Ekkor 3 + = u és = u 3. Ha 0, akkor u, tehát 3 + = u u u 3 = u 3.5. = u 5 helyettesítés alkalmazásával 3.6. n u (u )(u + u + ) = u + 3 + 5 = + u 5 u + u = u 4 u 3 + u u + 3 u u u + 3.7. u + u + = 3 3.8. 0 3.9. A számlálót és a nevez t egyaránt szorozva ( + + + ) -el, a kifejezés értéke nem változik. Viszont a számlálóból elt nik a négyzetgyök jel, és ezt követ en a kifejezés egyszer sithet -el. Igy az ismert (a + b)(a b) = a b összefüggést használtuk ki. Négyzetgyökös kifejezések esetén hasonlóan szoktunk eljárni máskor is. = 5 3 + + = + + + + + + + + 3.30. 3.3. + + = ( + + + ) = + + + + = + ( 4 )( + ) = = + ( )( + ) = = ( + + )( + ) + Ebben a példában ugyanaz a kifejezés volt a négyzetgyökjel alatt mind a két helyen, tehát az el z ekben említett példa módjára úgy is eljárhattunk volna, hogy = u helyettesítésével oldjuk meg a feladatot. Az itt bemutatott módszer azonban általánosabb esetben is alkalmazható. 3.3. 3.33. 0 3.34. 0 3.35. 3.36. 4 3.37. 3.38. 3.39. 5 = 3.
0 3.40. 4 3.4. 5 3 3.44. m n 3.4. 3 3.43. 5 3.45. a b 3.46. 3.47. 3.48. 3.49. 3.50. 0 3.5. 3.5. 3.53. 0 3.6. e 3.63. e 3.64. 3.65. 3.66. 3.67. e 3.3. Inverz függvény 3.68. y = 3.69. y = 3.70. y = 3.7. y = 3.7. y = 3 3.73. y = + 6 3.74. y = 3 4 3.75. y = 3 3.76. y = + 3.77. y = ( + )
3.4. Függvény ábrázolás Racionális törtfüggvényeknél az ábrázolás el tt határozzuk meg, hogy hol lesznek a görbének a koordináta tengelyekkel párhuzamos aszimptotái. Törtfüggvénynek pólusa van, ahol a nevez je zérus. Itt van függ leges aszimptota. A vízszintes aszimptota helyét a függvény végtelenben vett határértéke határozza meg 3.93. 3.94. 3.95. sin(arccos ) = sin(arccos ) cos(arccos ) = 3.96. 3.97. + 3.98. sin() = 3.99. sh () = e e tg, sin(arctg.4) = + tg 3 = 3.67 3.00. ch (3) = 0.068 3.0. ch () = ch + sh = + sh = 3, ha sh =. 3.0. arsh = ln( + + ), ezért arsh 4 = ln(4 + 7) =.094 3.03. arch = ln( ± ), ezért arch 5 = ln(5 ± 4) = ln 9.8999 =.9 = ln 0.0 =.9 3.04. arth = ln + y, ezért arth y ( 0.6) = 0.4 ln.6 = 0.693.
3.5. Egyváltozós függvény dierenciálása 3.05. f () = 3.06. f () = 4 3 + 4 + 3 3.07. f () = 3 sin + ( 3 3) cos 3.08. f () = 3[ ( 3 ) + ( )( 6)] ( ) ( 3 ) = 6(4 3 3 ) ( ) ( 3 ) 3.09. f () = 3 ( + + ) cos ( 3 + 3)[( + ) cos ( + + ) sin ] ( + + ) cos 3.0. f() = (sin )(sin ) tehát f () = cos sin + sin cos = sin cos = sin 3.. f () = cos () 3.. f () = 3 cos 3 3.3. f () = 4 cos 3 sin 3.4. f () = ( 5) cos( 5 + 8) 3.5. f () = 6( 4 6 + ) 5 (4 3 6)tg (4 6 + ) 6 3.6. f () = cos + + + ( + ) ( + ) = cos ( + ) cos + + 3.7. f () = 43 sin 4 ( + sin 3 ) 3 cos 4 sin cos ( + sin 3 ) 3.8. f () = tg 4tg = cos cos 3.9. f () = 3 sin ( + tg ) cos( + tg ) (tg + cos ) tg 3.0. f () = ln 3.. f () = 0 sin 3 ln 0 cos 3 3 = 3(ln 0) 0 sin 3 cos 3 3.. f () = ln 0 3.3. f () = e 3.4. f () = π sin ln π cos 3.5. f () = 3.6. f () = 4 cos 4 sin 4 ln 0 = 4 ctg 4 ln 0
3 3.7. f() = 7 8 tehát f () = 7 8 8 3.8. f () = 3.9. f () = cos sin + 3.30. f () = 3.3. f () = 3.3. f () = e 3.33. f () = 3.34. f () = + tg 3 = ( ) 3 3 cos 3 ( ) ( + tg 3) ( ) 4 sin cos lg( + sin ) ln(0) ( + sin ) = sin 4 lg( + sin ) ln(0) ( + sin ) cos + + = ( ) 3.35. f () = ch [ 3 ln( + 7)] (3 + 7 ) 3.36. f () = 3.37. f () = 3.38. f () = 3 ch sh 4 3.39. f () = 5 5 arcsin ln 3.40. f () = 3.4. f () = arctg + 3.4. f () = + = + + 3.43. Mivel arth () = ( ) + ln, ezért e arth = e + lnr+ ln = e + = f () = ( + )( )3 cos + ( + )( ) 3
4 3.44. f () = ( 3 ) 0 ( ) 3 ( 3 ) 3.45. f () = ( ) cos + sin ( ) cos Implicit módon megadott függvények deriválása 3.46. y = y 3.47. cos cos y + sin sin yy cos y + cos cos yy + sin sin y cos = 0 3.48. f () = a f() f() a 3.49. f () = cos f() sin f() + ( ) sin f() 3.50. Vegyük mindkét oldal logaritmusát: ln f() = f() ln. Deriváljuk mindkét oldalt: ln f() + Innen azt kapjuk, hogy f() f () = f () ln + f(). f () = f() f() ln f() f() ln 3.5. f () = + f() 3.5. Mindkét oldalnak a logaritmusát vesszük, aztán mint implicit függvényt deriváljuk: ln f() = ( ) ln( + ) f() f () = ln( + ) + + f () = ( + ) ( ln( + )) +
3.6. Taylor polinomok 3.53. A Taylor polinom képlete szerint: 3.54. 3.55. 3.56. 3.57. T 4 () = f(e) + f (e)! ( e) + f (e)! A fenti képletbeli számítások: f(e) = ln e =, f () =, f (e) = e f () =, f (e) =, e f () =, 3 f (e) =, e 3 f (IV ) () = 3, 4 f (IV ) (e) = 6. e 4 Így a keresett polinom: ( e) + f (e) 3! ( e) 3 + f (4) (e) ( e) 4 4! T 4 () = + ( e) e e ( e) + 3e ( 3 e)3 4e ( 4 e)4. T 4 () = e [ +! ( ) +! ( ) + 3! ( )3 + 4! ( )4 ] T 4 () = [sin3 + 3 cos 3! T 3 () = +! ( π 4 ) + 4! ( π 4 ) + 6 3! ( π 4 )3 T 3 () = [ +! ( π 4 )! ( π 4 ) 3! ( π 4 )3 ] ( ) 3 sin 3! ( ) 33 cos 3 3! ( ) 3 + 34 sin 3 ( ) 4 ] 4! 3.58. Mivel az n-ed fokú polinom megegyezik bármely helyen felírt n-ed fokú Taylor polinomjával, feladatunk az f() függvény 0 = helyhez tartozó harmadfokú Taylor polinomjának felírása. f() = 3 6 + 5, f() = f () = 3 +, f () = 6, f () = 0 f () = 6, f () = 6. Tehát a keresett polinom: f () = T 3 () =! ( ) + 6 3! ( )3 = 5 3.59. 3 6 + 5 = ( ) 3 ( ) + T () = 7 + 9( ) + 76( ) + 0( ) 3 + 90( ) 4 + + 39( ) 5 + 7( ) 6
6 3.60. T () = 6 + 5( ) + ( ) + 4( ) 3 + 4( ) 4 + ( ) 5 3.6. T 4 () = + + + 4 3 3 + 3 4 3.6. T 6 () = T 5 () = [ 9 3 + 8 40 5 ] 3.63. T 5 () = T 4 () = + 3 4 3.64. f() = arctg, f(0) = 0 f () = +, f (0) = 3.65. 3.66. f () = ( + ), f (0) = 0 f () = ( + ) + 8 ( + ) ( + )4 Tehát a keresett polinom: = + 0 ( + ) 3, f (0) =. T 3 () = 3! 3 = 3 3 T n () = + 3 3 4 4 + + (n+) 4 ( ) n t n () = + α α(α ) + α(α )(α ) + 3 +!! 3! α(α )... (α n + ) + + n = n! ( ) ( ) ( ) α α α = + + + + n = n 3.67. A felírt polinom hatodfokúnak is tekinthet, ezért az elkövetett hiba R 6 () = f 7 (ξ) 7 = cos(ξ) 7 7! 5040 n k=0 ( α k < 5040 < 5000 < 5 0 3, mert cos() bármilyen esetén, és a 0 i feltevés miatt <. Ha tehát a 0-tól radiánig ( 57, 3 )terjed szögek sinusát az el bbi ötödfokú polinommal számítjuk ki, akkor a hiba tízezrednél kisebb. 3.68. Az e számot az y = e függvény = helyen vett értéke adja. A feladat most annak megállapítása, hányadfokú Taylor polinom szükséges a kívánt pontosságú megközelítéshez. Az e Taylor-sora: +! +! +... ) k
alakú. A hibára az R n () = f (n+) (ξ) (n + )! (n+) = e(ξ) (n+) (n + )! < 5 0 3 el írást tettük. Írjuk még be az helyébe az = érétket, s akkor a következ becslést kapjuk: e ( ξ) (n + )! < e (n + )! < 3 (n + )! < 5 0 3 A megjelölt egyenl tlenséget kísérletezéssel tudjuk csak megoldani. Mindenesetre vegyük mindkét oldal reciprokát! Ekkor az (n + )! > 600 egyenl tlenségre jutunk, amib l n 5 következik. Mi ötödfokú Taylor polinomot veszünk, T 5 () = +! +! + 3 3! + 4 4! + 5 5! ennek értéke az = helyen T 5 () = + + + 3 + 3 4 + 3 4 5 = + 0, 5 + 0, 5 3 + 0, 5 3 4 + 0, 5 3 4 5 0, 047 =, 667 + 0, 047 + 5 Végeredményben az e értéke két tizedes pontossággal: =, 5 + 0, 667 + 0, 667 4 + =, 7084 + 0, 0083 =, 767 e, 7 0, 667 4 5 7
8 3.7. Dierenciálszámítás alkalmazásai sin 3 3.69 3.70. 3.7. 3.73. tg 5 = e e sin cosh cos 3 cos 3 5 cos 5 3 = 5 cos 3 cos 5 = 3 5 = sinh sin 3.7. 3.74. 3.75. 3.76. 0 3.77. e 3.78. 3.79. 0 3.80. ln ln sin = sin a = = 0, = n sin au u cos sin sin a =, ha akkor u 0 = a cos au = sin cos = 3.8. 3.8. 3 3.83. 0 = cosh cos cos cos sin = = sinh sin = 3.84. π (sin ) tg = e tg ln sin = π ln sin cos sin sin mert tg ln sin = π π ctg = π 3.85. 3.86. 3.87. 3.88. Az érint egyenlete y y(a) = y (a)( a) Példánkban a =, y() =, y () = Az érint egyenlete y = ( ) +, azaz y = + 3.89. Az érint egyenlete y = e Az tengelyt ott metszi, ahol y = 0. Ebb l = 0.Az érint az origón megy keresztül. = sin cos = 0, és e 0 = π
3.90. Az érint iránytangense y megegyezikaz egyenes meredekségével. y = cos =. Innen cos = ±, = ± π 4 + kπ Az tengelyt ott metszi, ahol y = 0. Ebb l = 0. Az érint az origón megy keresztül. 9 3.9. P (, 530) ; P (, 5) 3.9. T = a 3.93. A függvénygörbe P pontjához tartozó normálisán azt az egyenest értjük, amely a P pontban az érint re mer legesen megy át. A normális meredeksége m = y, y = + + π 8 3.94. Keressük meg el ször a jelzett pontokat. Az = értéket a függvénybe beírva: y 3 3 4y + 3 = 0. Innen y(y 4) = 0 Három értéket találunk: y = 0, y =, y 3 = 3.95. P (, 0); P (, ); P 3 (, ) A derivált y 6 4y = 3y 4 = 6 + 4y 3y 4 y (P ) = 3 ; y (P ) = 7 4 ; y (P 3 ) = 4 ; Éint egyenesek: y = 3 ( ); y = 7 4 ( ); y + = ( ); 4 Normális egyenesek: y = 3 ( ); y = 4 ( ); y + = 4( ); 7 a)p (0, ) ; P (, 3 ) b)p 3 ( +, 3 3 ; P 4(, 3 + 3 ) Egyváltozós függvények széls értéke 3.96. A függvénynek széls értéke ott lehet, ahol az els derivált zérus. Ha ezen a helyen az els el nem t n derivált páros rend, akkor van széls érték. Ha ez a derivált az adott pontban pozitív, akkor minimum, ha negatív, akkor maimum van. y = 3, y = 3, y = 6 y = 0 ha = 4, azaz = ± y () = > 0, minimum van y() = 6 y ( ) = < 0, maimum van y( ) = 6. 3.97. y = (4 3 5 )e = 3 (4 )e Mivel e mindenütt pozitív, y = 0 akkor lehet, ha = 0 ill. =, 3 =
30 y = ( 8 4 + 4 6 )e y (0) = 0, tehát ezt a helyet tovább kell vizsgálni. y ( ) = y ( ) = 6 e < 0, tehát ezeken a helyeken a függvénynek maimuma van. Vizsgáljuk az = 0 helyet. y = (4 96 3 + 60 5 8 7 )e ; y (0) = 0 y (IV) = (4 336 + 49 4 76 6 + 6 8 )e y (IV) (0) = 4 > 0, tehát a függvénynek az = 0 helyen van széls értéke: minimuma van. = 0-nál y min = 0 = és 3 = -nél y ma = 4 e. 3.98. f() ma = 4, ha = f() min = 8, ha = 5 3.99. f() ma =, ha = f() min =, ha = 3.00. f() min = e, ha = e 3.0. feladat 3.0. feladat 3.0. Jelöljük a négyszög alapját -el, magasságát m-el, akkor a terület T = m. Az ábra alapján + m = 4R, ahonnan m = 4R, így T = 4R. A kapott függvény maimumát kell keresnünk. Egyszer sítést jelenthet, ha a területfüggvény helyett annak négyzetét tekintjük. T -nek ugyanott van maimuma, ahol T-nek. T = (4R ). A maimális terület négyszög négyzet: = m = R. T = R. 3.0. Legyen a henger sugara r, magassága m. V = r πm V ma = 4 3 π, ha 9 R3 r = R, 3 m = R. 3
3 3.03. feladat 3.05. feladat 3.03. Legyen a kúp alapkörének a sugara r, magassága m. Vezessük be az ábrán jelzett -et. Ezzel a kúp sugara és magassága is kifejezhet. V = r πm ; r = R, m = R +. 3 V = π 3 (R )(R + ) V ma = 3 3.04. r = m = 3 π 3.05. T = π, ha 8 R3 m = 4 R, 3 r = R. 3 a + m = (a + )m ϕ = 60. 3.06. feladat 3.07. feladat 3.06. V ma = 3, ha 7 πh3 r = h, 3 m = h. 3 3.07. l ma = ( a 3 + b 3 ) 3, ha tg α = 3 a b. 3.08. P(,±4). 3.09. Egy óra alatt a hajó v-c km utat tesz meg felfelé. Ez alatt a fogyasztása
3 E = av 3 (a konstans arányossági tényez ). D költséget az egy km megtételéhez felhasznált energiával mérhetjük. A hajózás akkor a leggazdaságosabb, ha egy km út felfelé való megtételéhez a legkevesebb energia szükséges. A költség minimumát a K = a v3 költségfüggvény minimuma adja. A leggazdaságosabb sebesség: v c v = 3 c km/h 3.8. Függvényvizsgálat 3.0. A függvényvizsgálat kiterjed az értelmezési tartomány és az értékkészlet meghatározására a függvény viselkedése az értelmezési tartomány határain gyök meghatározása széls érték, ineiós pont meghatározása növekv és csökken szakaszok konve és konkáv szakaszok meghatározása Az f() = ln függvény értelmezési tartománya D f := { > 0} f() = ; f() = 0 Gyöke az ln = 0 azaz = helyen van. f () = ln + f () = ln + + f () = = ( ln + ) = ln 3 f () = 0, ha ln + = 0 akkor = e = e ( ( = 0 ) nincs az értelmezési tartományban ( f e = + 3 = > 0, tehát minimuma van. f e ) = e f () = 0, ha ln + 3 = 0, = e 3 ) f (e 3 = e 3 0, itt tehát ineiós pont van. f() a 0 < < e szakaszon csökken, az e < < + szakaszon n. A 0 < < e 3 szakaszon konkáv, az e 3 < < + szakaszon alulról konve 3.. f( ) : maimum, f(4) : minimum, f ( 3 ) : ineió. 3.. D f : { < }, = 0 gyök. f() = : maimum, f( ) = : minimum, 0; ± 3 : ineiós pontok. A függvény páratlan; (, ) és (, ) szakaszon csökken, (, ) szakaszon n. (, 3) és (0, 3) szakaszon alulról homorú, ( 3, 0) és ( 3, + ) szakaszon alulról
3.3. domború. Aszimptotája az tengely. R f = { y } f() = + ; D f : { ɛ R /{0}} ; páratlan függvény. f() = : minimum; f( ) = maimum, ineiós pontja nincs. (, ) és (, ) szakaszokon n, (, 0) és (0, ) szakaszokon csökken. (, ) : konkáv, (0, ) konve. R f : {f(), f() } Az y = a függvény aszimptotája. 3.4. D f : { ɛ R} ; f() : maimum hely. az ± helyeken ineiós pont van. A (, 0) szakaszon a függvény monoton n, a (0, + ) szakaszon monoton csökken. A (, ) ( ) ( és, + szakaszokon alulról domború,, ) között homorú. Aszimptotája az tengely. R f : {0 < f() } 3.5. D f : { ɛ R/{ }} ; f(0) = 0 : minimum, f( ) = 4 : maimum, ineió nincs, aszimptotája az y = egyenes. (, ) és (0, + ) szakaszokon növekv, (, ) és (, 0) szakaszokon csökken. R f : {0 < f() 4, f() 0} 3.6. D f : {ɛr} ; R f : {yɛr} Az = π ± kπ helyeken maimum, 4 az = 5π ± kπ helyeken minimum, 4 az = kπ helyeken ineiós pont van. 3.9. Szöveges széls érték feladatok 3.69. Minimális távolság esetén α = α. 3.70. Maimális terület 500 m, míg a minimális terület 0 (egyenes vonal). 3.7. A legközelebbi pont A(3, 0), a legtávolabbi B( 3, 0). 3.7. A ház oldalainak hossza 75 m és 50 m. 3.73. A maimális terület téglalap oldalai eset: egyetlen vonal. r és r 33. A minimális terület téglalap a degenerált
34 3.74 Legyen f() a bevétel, ha utas van. A 00 fölöttiek száma 00, ezért a jegyek ára ennyivel csökken, tehát darabonként 30.000 00 ( 00). Ezért az összes jegy ára: ( ) f() = 30.000 00( 00) = 50.000 00 Az f () = 0 egyenlet megoldása = 50, így a potenciális széls érték helyek: = 00, = 50, = 350. A megfelel függvényértékek: f(00) = 600.000, f(50) = 65.000, f(350) = 55.000 Maimális a bevétel 50 utas esetén, és minimális 350 utas esetén. (A feladat csupán elméleti...) 3.75. Négyzet. 3.76. Az egész drótból kört hajlítunk.