13. EUKLIDESZI ÉS UNITÉR VEKTORTEREK

3. EUKLIDESZI ÉS UNITÉR VEKTORTEREK A orább feezetebe már láthttu, hogy vetortere egy legszemléletesebb példá geometr sí, lletve tér vetor strutúrá. A vetortere elméletée eddg tárgylt témöre zob em tesz lehetővé geometr fotos metrus feldt áltláosítását. Ebbe feezetbe ezt feldtot vlós és omplex számtest felett vetorterere végezzü el. Lát fogu, hogy z így yert euldesz és utér vetorterebe értelmezhetü vetoro hosszát, távolságát, hlásszögét, lletve merőlegességét és bebzoyíthtu geometr számos eredméyée leárs lgebr áltláosítását. Legye V vlós számo R teste felett vetortér és ABl(V V,R) egy rögzített poztív deft, szmmetrus bleárs fucoál. Az (R,V,A) strutúrát euldesz vetortére evezzü, tütetett A bleárs fucoált pedg slárs, vgy belső szorzt hívu és z xy A(x,y) szmbólumml elölü. Az értelmezésből zol övetez, hogy z euldesz vetortér slárs szorztát övetező tuldoságol ellemezhetü. Mde x,x,x,yv és mde rr eseté (R.) (x +x )y=x y+x y, (R.) (rx)y=r(xy), (R.3) xy=yx, (R.4) xx 0 és xx=0 or és css or, h x=0. Megegyezzü, hogy z euldesz vetorteret defálhtu úgy s, mt egy oly R felett V vetorteret, melybe értelmezve v egy slárs szorzt evezett A:V V R, (x,y) xy leépezés, mely eleget tesz z (R.)-(R.4) tuldoságo. 35

3.. Péld: A geometr vetoro G 3 vetortere z xy x y cos(x,y) slárs szorzttl egy euldesz vetortér, hol x, lletve y z egyes vetoro hosszát, (x,y) pedg vetoro hlásszögée rdáb vett mértéét elet. A redezett vlós szám -ese R vetortere z (x,...,x ) (y,...,y ) x y +...+x y slárs szorzttl egy euldesz vetorteret lot. Az [,b]r zárt tervllumo értelmezett vlós értéű folytoos b függvéye vetortere z (f(x),g(x)) f ( x) g( x) dx slárs szorzttl szté egy péld euldesz vetortérre. Legye ezutá V omplex számo C teste felett vetortér H Bl (V V,C) pedg egy rögzített poztív deft hermtus fucoál. Eor (C,V,H) strutúrát utér vetortére, tütetett H hermtus fucoált pedg slárs, vgy belső szorzt evezzü és z xy H(x,y) szmbólumml elölü. Köye megmutthtó, hogy z utér vetortér slárs szorztát övetező tuldoságol ellemezhetü. Mde x,x,x,yv és mde cc eseté (C.) (x +x )y=x y+x y, (C.) (cx)y=c (xy), (C.3) xy =yx, (C.4) xx 0 és xx=0 or és css or, h x=0. Láthtó, hogy z utér vetorteret értelmezhetü úgy s, mt egy oly C felett V vetorteret, melybe értelmezve v egy slárs szorzt evezett H:V V C, (x,y) xy leépezés, m eleget tesz (C.)-(C.4) tuldoságo. 36

3.. Péld: A redezett omplex szám -ese C vetortere z (x,...,x ) (y,...,y ) x y +...+x y slárs szorzttl egy utér vetortér. b Az [,b]r zárt tervllumo értelmezett omplex értéű folytoos függvéye vetortere z (f(x),g(x)) f ( x) g( x) dx slárs szorzttl szté egy utér vetorteret lot. Az euldesz és z utér vetortér özött értelmezésüből dódó szoros pcsolt áll fe, m lehetővé tesz e ét típusú vetortér elméletée párhuzmos vzsgáltát. Vlób, vlós, lletve omplex slárs szorztot ellemző tuldoságot összehsolítv megállpíthtu, hogy (C.)-(C.4) megfelelő (R.)- (R.4) természetes áltláosítás. A omplex slárs szorzt (C.)-(C.4) tuldoságból levezetett eredméye ezért vlós esetbe s érvéyese lesze zzl megegyzéssel, hogy eor ougálás fgyelme ívül hgyhtó. Ezt megállpítást szem előtt trtv együtt tárgylu ét elméletet. Tetettel fetere z euldesz és z utér vetortér özös elevezésére bevezetü slárs szorztos vetortér foglmát. Ez tehát egy vlós, vgy omplex számtest felett vetortér, melybe redezett vetorpáro hlmzá értelmezve v egy oly vlós, lletve omplex számértéű függvéy, mely eleget tesz (C.)-(C.4) tuldoságo. Legye most V egy slárs szorztos vetortér. A slárs szorzt (C.4) tuldoság mtt xx mde xv vetorr egy em egtív vlós szám, s ezért épezhetü xx vlós égyzetgyöét, mely egy ól meghtározott, s szté em egtív érté. Eor z x xx összefüggéssel defált vlós számot z x vetor ormáá evezzü, :V R, x xx függvéyt pedg orm függvéye hívu. A orm függvéy tuldoság vzsgált előtt egy evezetes egyelőtleséget muttu be. 37

3.3. Állítás: (Cuchy-Schwrz egyelőtleség) H V egy slárs szorztos vetortér, or tetszőleges x,yv eseté érvéyes z xy x y egyelőtleség, melybe z egyelőség potos or áll fe, h x és y leárs összefüggő vetoro. Bzoyítás: A V vetortér véges dmezós x,y geerált lterére llmzv.30. és.3. állítást öye beláthtu, hogy V slárs szorztos vetortér tetszőleges x,yv vetorpárár telesül z xy (xx)(yy) egyelőtleség, továbbá z egyelőség potos x és y leárs összefüggése eseté áll fe. Eze egyelőtleség mdét oldlából vlós égyzetgyööt vov xy xx yy övetez, melyből orm értelmezését fgyelembe véve özvetleül dód bzoyítdó állítás. Vegyü észre, hogy Cuchy-Schwrz egyelőtleséget eredméyező xy (xx) (yy) z xy =(xy) (xy) =(xy)(yx) átlítás felhszálásávl helyettesíthető z (xy)(yx) (xx) (yy) egyelőtleséggel, melye egyszerű átredezésével (xx)(yy)-(xy)(yx) 0 dód. Az így yert egyelőtleség bl oldl egy másodredű mátrx determásá tethető, s ezzel beláttu z lább övetezméy helyességét. 3.4. Követezméy: A V slárs szorztos vetortér mde x,yv vetorpárár érvéyes 38 xx xy det 0 yx yy egyelőtleség, melybe z egyelőség or és css or áll fe, h x és y leárs összefüggő vetoro. Ez övetezméy ól mutt, hogy Cuchy-Schwrz egyelőtleség egy ülöleges esete slárs szorztos V vetortér vlmely vetorredszerée leárs összefüggőségét eldötő lább áltláos tétele.

3.5. Állítás: (Grm tétele) Legye {f,...,f } slárs szorztos V vetortér egy tetszőleges vetorredszere. Eor telesül ff ff ff ff ff ff G( f,..., f ) : det 0 ff ff ff Grm-féle egyelőtleség, hol z egyelőség or és css or áll fe, h z {f,...,f } egy leárs összefüggő vetorredszer. Bzoyítás: A V vetortér véges dmezós f,...,f geerált lterére llmzzu.9. és.. állítást, melyeből már özvetleül övetez z állítás. 3.6. Állítás: A slárs szorztos V vetortér orm függvéye z lább tuldoságol redelez: () x 0 és x =0 or és css or, h x=0, () c x = c x, (3) x+y x + y, (Mows egyelőtleség) mde x,yv és c slár eseté. Bzoyítás: A slárs szorzt (C.4) tuldoságából vlós égyzetgyö voássl özvetleül dód orm () tuldoság. Tetszőleges cc és xv eseté c x ( cx)( cx) ( cc) ( xx) c xx c x bzoyít orm () tuldoságát. Tetszőleges x,yv mellett x+y =(x+y)(x+y)=xx+xy+yx+yy= x +xy+ xy + y = = x + Re(xy)+ y x + xy + y x + x y + y =( x + y ) 39

övetez. Ebbe z oosodásb 3.3. állítás egyelőtleségé ívül omplex számo elméletéből zt z egyszerű észrevételt hszáltu fel, hogy ougált omplex számpár összege vlós részü étszerese, továbbá hogy egy omplex szám vlós része sohsem gyobb szám bszolút értééél. A fet becsléssel yert x+y ( x + y ) egyelőtleség mdét oldlá em egtív vlós szám égyzete áll, így gyövoássl özvetleül dód z x+y x + y Mows-féle egyelőtleség, m orm (3) tuldoságát bzoyít. Legye V egy slárs szorztos vetortér. A orm foglmár támszodv V vetortérbe övetezőéppe értelmezzü vetoro távolságát. H x,yv, or z x vetor y vetortól mért távolságá d(x,y) x-y összefüggéssel defált em egtív vlós számot értü, d:v V R, (x,y) x-y függvéyt pedg távolság függvéye evezzü. 3.7. Állítás: A slárs szorztos V vetortér távolság függvéye övetező tuldoságol redelez: () d(x,y) 0 és d(x,y)=0 or és css or, h x=y, () d(x,y)=d(y,x), (3) d(x,y) d(x,z)+d(z,y), ( -egyelőtleség) (4) d(x+z,y+z)=d(x,y) mde x,y,zv eseté. Bzoyítás: A orm függvéy () tuldoságát felhszálv mde x,yv eseté d(x,y)= x-y 0 és d(x,y)= x-y =0 or és css or, h x-y=0 telesül, így gz távolság függvéy () tuldoság. A orm függvéy () tuldoság szert mde x,yv eseté d(x,y)= = x-y = (-) (y-x) = - y-x =d(y,x) dód, tehát gz távolság függvéy () tuldoság s. A orm függvéy (3) tuldoság lpá tetszőleges x,y,zv mellett d(x,y)= x-y = (x-z)+(z-y) x-z + z-y =d(x,z)+d(z,y) telesül, m távolság függvéy (3) tuldoságát bzoyít. 40

Végül mde x,y,zv eseté d(x+z,y+z)= (x+z)-(y+z) = x-y =d(x,y) dód, mely tuldoságot távolság eltolássl szembe vrcáá evezü. Ezzel állításut bebzoyítottu. Megegyezzü, hogy z ()-(3) tuldoságol redelező távolság függvéy V slárs szorztos teret egy metrus tére evezett strutúrává tesz. A metrus tér tehát egy oly em üres hlmz, melye redezett elempár értelmezve v egy oly vlós értéű függvéy, mely eleget tesz 3.7. állítás ()-(3) tuldoság. Legye most V egy euldesz vetortér és tetsü 3.3. állításb szereplő xy x y egyelőtleséget egy oly x,yv vetorpár eseté, melyre x 0 és y 0 telesül. Eor 3.6. állítás lpá x >0 és y >0, így x y >0 dód, mellyel szób forgó egyelőtleség mdét oldlát elosztv xy xy, zz x y x y övetez. Ez utóbb egyelőtleség vlós bszolút érté értelmezése szert egyeértéű xy x y összefüggéssel, melyből láthtó, hogy bee szereplő tört felfoghtó egy ól meghtározott és [0,π] tervllumb eső szög oszuszét, mvel z áltl felvehető értée [-,] tervllumb tlálhtó. Ezért z x és y vetoro áltl bezárt szög defálhtó úgy, hogy oszusz fet egyelőtleségbe szereplő tört legye. H tehát x és y V euldesz vetortér em zérus vetor, or (x,y) hlásszögüet xy cos(x,y) x y összefüggéssel értelmezzü. 4

Mthogy utér vetorterebe ét vetor slárs szorzt áltláb omplex szám, ezért em értelmezzü ét vetor hlásszögét. Értelmezhetü vszot fet defícóvl összhgb md euldesz, mt pedg utér vetorterebe ét vetor merőlegességét, más szóvl ortogoltását. A V slárs szorztos vetortérbe z x vetort or modu ortogoáls z y vetorr, h xy=0 telesül; elölése: xy. Az értelmezésből ylvávló, hogy z ortogoltás egy szmmetrus relácó, így továbbb egymásr ortogoáls vetororól beszélhetü. 3.8. Állítás: (Ptgorsz tétele) H x és y V slárs szorztos vetortér ét egymásr ortogoáls vetor, or érvéyes z x+y = x + y összefüggés. Bzoyítás: H x és y V slárs szorztos vetortér ortogoáls vetor, or xy=yx=0, mből x+y =(x+y)(x+y)=xx+xy+yx+yy=xx+yy= = x + y övetez, s ezzel állításut gzoltu. Euldesz vetortere eseté ez z állítás z lább szert megfordíthtó. 3.9. Állítás: H x és y V euldesz vetortér oly vetor, melyere feáll z x+y = x + y összefüggés, or z x és y egymásr ortogoáls vetoro. Bzoyítás: A V euldesz vetortér tetszőleges x és y vetorár x+y =(x+y)(x+y)= =xx+xy+yx+yy= x +(xy)+ y telesül, melyből állításu x+y = x + + y feltevését felhszálv (xy)=0, zz xy=0 övetez, tehát x és y vlób egymásr ortogoáls vetoro. 4

A V slárs szorztos vetortér egy {x,x,...,x } vetorredszerét ortogoáls vetorredszere evezzü, h mde (, ) dexpár eseté x x =0 telesül. A.5. és.6. állításból özvetleül dód övetező 3.0. Állítás: H V slárs szorztos vetortérbe egy {x,x,...,x } ortogoáls vetorredszer em trtlmzz 0 zérusvetort, or vetorredszer leárs függetle. Legye ezutá V egy véges dmezós slárs szorztos vetortér. H vlmely ortogoáls vetorredszer V vetortér egy bázs, or ezt ortogoáls bázs evezzü. Egy B={e,e,...,e } ortogoáls bázst pedg ortoormált bázs modu, h e = e e ( ) s telesül. Más szóvl B={e,e,...,e } egy ortoormált bázs or és css or, h e e =δ (, ). A.6,.7. és.7. állítás felhszálásávl özvetleül beláthtó 3.. Állítás: Mde -dmezós slárs szorztos V vetortérbe létez ortogoáls, sőt ortoormált bázs s. A 3.. állításb szereplő ortogoáls, lletve ortoormált bázst. feezetbe smertetett Grm-Schmdt-féle ortogolzácós elárássl szereszthetü meg V vetortér egy tetszőleges bázsából dulv. 3.. Állítás: Az -dmezós slárs szorztos V vetortérbe bármely ortogoáls vetorredszer egészíthető ortogoáls bázssá, és bármely ortoormált vetorredszer s egészíthető ortoormált bázssá. Bzoyítás: A.8. és.8. övetezméy lpá gz z állítás. Az ortoormált bázso llmzásá előyet mutt övetező állítás, mely egyszerű övetezméye.9. és.9. állítás. 43

3.3. Állítás: H V egy -dmezós slárs szorztos vetortér és B={e,...,e } ee egy ortoormált bázs, továbbá x,yv egy tetszőleges vetorpár z (x) B = =(x,...,x ) és (y) B =(y,...,y ) oordátál, or érvéyese z x xy x y... x y x x... x x x... x összefüggése. 3.4. Követezméy: A 3.3. állítás elöléset llmzv tetszőleges x,yv eseté érvéyese z xe =x és e y= y ( ) összefüggése s. Bzoyítás: Mvel B={e,...,e } z -dmezós slárs szorztos V vetortér egy ortoormált bázs, ezért (e ) B = (0,...,0,,0,...,0) ( ), mből 3.3. állítás llmzásávl továbbá xe =x 0+...+x - 0+x +x + 0+...+x 0=x, e y=0 y +...+0 y + y +0 y +...+0 y y övetez mde eseté. 3.5. Állítás: (Prsevl zoosság) Az -dmezós slárs szorztos V vetortér tetszőleges x,yv vetorpárá slárs szorzt előállíthtó z 44

xy ( xe ) ( e y) lb, hol B={e,...,e } V vetortér egy tetszőleges ortoormált bázs. Bzoyítás: Allmzzu 3.3. állítást és 3.4. övetezméyét. A 3.3. állítás eredméyée euldesz vetortérre törtéő llmzásávl zol dód 3.6. Állítás: H V egy -dmezós euldesz vetortér, B={e,...,e } e vetortér egy tetszőleges ortoormált bázs, továbbá x és y V vetortér em zérus vetor z (x) B =(x,...,x ) és (y) B =(y,...,y ) oordátál, or e ét vetor (x,y) hlásszöge előállíthtó lb. cos(x,y) = x x y y 3.7. Állítás: (Bessel-féle egyelőtleség) H V egy -dmezós slárs szorztos vetortér, {f,...,f } e vetortér egy ortoormált vetorredszere, xv egy tetszőleges vetor és x =xf ( ), or érvéyes egyelőtleség. Bzoyítás: x x Allmzzu z y x- x f V vetorr slárs szorzt tuldoságt: 45

0 yy x xf xf x xf x x f x ( f x) x x ( f f ) x x x x x x x f xx x x f x x x ( xf x x s ebből már özvetleül dód bzoyítdó egyelőtleség. Megegyezzü, hogy z -dmezós slárs szorztos V vetortérre mét bzoyított Bessel-féle egyelőtleségbe z egyelőség ele potos or telesül, h xf,...,f. 3.8. Állítás: Bármely véges dmezós vlós, vgy omplex test felett V vetortérbe bevezethetü egy slárs szorztot úgy, hogy egy előre megdott bázs ortoormált legye. Bzoyítás: Legye V egy -dmezós, vlós vgy omplex test felett vetortér és tetsü ee egy tetszőleges B={e,e,...,e } bázsát. H z x és y vetoro e bázsr votozó oordátá (x) B =(x,x,...,x ) és (y) B =(y,y,...,y ), or tetsü z f:v V K, (x,y) x y x y..., x y leépezést, hol K elöl R és C vlmelyét. Ez leépezés ylvávló elégít slárs szorztr rótt (R.)-(R.4), lletve (C.)-(C.4) övetelméyeet. Az így yert (K,V,f) slárs szorztos vetortérbe: e e =f(e e )=δ (, ), tehát dulás B bázs ortoormált lett, s ezzel állításut bzoyítottu. ) 46

Legye V egy -dmezós slárs szorztos vetortér. H W V vetortér egy ltere, or W {xv W:x=0} hlmzt W ltér ortogoáls omplemeterée evezzü. A W tehát V vetortére zoból vetorból áll, melye W mde vetorár merőlegese. A.0. és.0. állítás lpá gz 3.9. Állítás: H W véges dmezós slárs szorztos V vetortér egy tetszőleges ltere, or érvéyese övetező összefüggése: () W «V ; () V=WW ; (3) W (W ) =W. A feezet tovább részebe slárs szorztos vetortere leárs trszformácóvl fogllozu. Először egy egyszerű, de ésőbbebe gyr dézett lemmávl smeredü meg. 3.0. Lemm: H V egy slárs szorztos vetortér és z,bv egy vetorpárr mde xv eseté feáll z x=xb egyelőség, or ebből =b övetez. Bzoyítás: H mde xv eseté feáll x=xb, or x(-b)=0 s telesül. Válsszu meg z x vetort úgy, hogy legye x -b, eor fetből (-b) (-b)=0 övetez. A orm értelmezése szert így -b =0, ezért -b =0, mből 3.6. állítás () része mtt -b=0, vgys =b dód. 3.. Állítás: Legye V egy véges dmezós slárs szorztos vetortér. A V vetortére értelmezett mde L leárs fucoálhoz létez egy és css egy oly V vetor, mellyel z L előállíthtó z L(x)=x lb. 47

Megfordítv, mde rögzített V eseté z L(x) x összefüggéssel értelmezett leépezés egy leárs fucoál. Bzoyítás: Legye B={e,...,e } véges dmezós slárs szorztos V vetortér egy ortoormált bázs, xv egy tetszőleges vetor z (x) B =(x,...,x ) oordátál, s legye L V vetortére értelmezett leárs fucoál. Eor x=x e +...+x e, így L(x)=L(x e +...+x e )=x L(e )+...+x L(e ), s h L( e ) ( ) és V vetortér zo ól meghtározott vetor, melyre () B =(,..., ) telesül, or L(x)= x... x x. Ezzel megmutttu, hogy V vetortére értelmezett mde leárs fucoál előállíthtó ívát lb. Ez z előállítás egyértelműe meghtározott, hsze h z L leárs fucoál előállíthtó L(x)=x és L(x)=xb lb s, or mde xv vetorr feálló x=xb összefüggésből 3.0. lemm felhszálásávl =b övetez. Megfordítv, egyszerű számolássl gzolhtu, hogy z L(x) x összefüggéssel defált leépezés egy leárs fucoál. Vlób, mde x,x,x vetor és slár eseté L(x +x )=(x +x ) =x +x =L(x )+L(x ), vlmt L(x)=(x)=(x)= L(x) telesül, s ezzel állításut bzoyítottu. 3.. Állítás: H V egy véges dmezós slárs szorztos vetortér, AEd(V) egy leárs trszformácó, or rögzített yv eseté z leépezés z x leárs fucoál. Bzoyítás: Mde x,x,x vetorr és slárr L y (x) A(x) y és L y (x +x )=A(x +x ) y=(a(x )+A(x )) y=a(x ) y+a(x ) y= =L y (x )+L y (x ), L y (x)=a(x) y=( A(x)) y=(a(x) y)= L y (x) telesül, így z L y :V K, x A(x) y leépezés vlób egy leárs fucoál. 48

A most bzoyított állításb láthttu, hogy mde rögzített yv eseté z L y (x)=a(x) y egy leárs fucoál, h AEd(V). A 3.. állítás szert ehhez z L y leárs fucoálhoz mde rögzített y vetor eseté létez és egyértelműe meghtározott egy oly y' vetor, mellyel L y felírhtó z L y (x)=xy' lb. Tetsü eor zt z A* szmbólumml elölt és fete szert egyértelműe meghtározott leépezést, mely mde y vetorhoz z y' vetort redel, vgys legye A*:V V, y y'. Eor ostrucó lpá z A és z A* trszformácó özött érvéyes z A(x) y=l y (x)=xy'=x A*(y) összefüggés. Az A* trszformácót z A leárs trszformácó dugáltá evezzü, z A(x) y=x A*(y) összefüggést pedg z dugált trszformácó defáló összefüggésée hívu. 3.3. Állítás: H V egy véges dmezós slárs szorztos vetortér, or tetszőleges AEd(V) leárs trszformácó A* dugált s egy leárs trszformácó, tehát A*Ed(V) s telesül. Bzoyítás: H x V vetortér egy tetszőleges, de rögzített vetor, or mde y,y,yv vetorr és slárr és x A*(y +y )=A(x) (y +y )=A(x) y +A(x) y =x A*(y )+x A*(y )= =x (A*(y )+A*(y )), x A*(y)=A(x) (y)= (A(x) y)= (x A*(y))= =x ( A*(y)) telesül, melyeből 3.0. lemm felhszálásávl A*(y +y )=A*(y )+A*(y ) és A*(y)= A*(y) övetez, tehát A* vlób V vetortér egy leárs trszformácó. 49

A továbbb zt vzsgálu, hogy egy véges dmezós slárs szorztos V vetortérbe egy AEd(V) leárs trszformácóról z A*Ed(V) dugált leárs trszformácór vló áttérés * művelete leárs trszformácó összedásávl, slárrl vló szorzásávl, ompozícóávl és vertálhtóság eseté verzével mlye összefüggésbe áll. 3.4. Tuldoság: H A véges dmezós slárs szorztos V vetortér egy tetszőleges leárs trszformácó, or érvéyes z (A*)*=A összefüggés. Bzoyítás: H x V vetortér egy tetszőleges, de rögzített vetor, or mde yv eseté 50 y A(x)= A( x) y x A*( y) =A*(y) x=y (A*)*(x) telesül, mből 3.0. lemm felhszálásávl A(x)=(A*)*(x) dód. Ebből leárs trszformácó egyelőségée értelmezését felhszálv özvetleül yerü z (A*)*=A összefüggést. 3.5. Tuldoság: H A és B véges dmezós slárs szorztos V vetortér ét tetszőleges leárs trszformácó, or telesül z (A+B)*=A*+B* összefüggés. Bzoyítás: H y V vetortér egy tetszőleges, de rögzített eleme, or mde xv eseté x ((A+B)*(y))=(A+B)(x) y=(a(x)+b(x)) y=a(x) y+b(x) y= =x A*(y)+x B*(y)=x (A*(y)+B*(y))=x ((A*+B*)(y)) dód, melyből 3.0. lemm szert (A+B)*(y)=(A*+B*)(y) övetez. Ebből pedg leárs trszformácó egyelőségée értelmezése szert zol yerhetü z (A+B)*=A*+B* összefüggést. 3.6. Tuldoság: H A véges dmezós slárs szorztos V vetortér egy leárs trszformácó és egy tetszőleges slár, or ( A)*= A*.

Bzoyítás: Legye y V vetortér egy tetszőleges, de rögzített eleme. Eor mde xv eseté x ((A)*(y))=(A)(x) y=(a(x)) y= (A(x) y)= = (x A*(y))=x ( A*(y))=x (( A*)(y)) övetez, ebből pedg 3.0. lemm felhszálásávl (A)*(y)=( A*)(y) dód. A most yert összefüggésből leárs trszformácó egyelőségée értelmezése lpá zol bzoyítdó (A)*= A* összefüggést pu. 3.7. Tuldoság: H A és B véges dmezós slárs szorztos V vetortér ét tetszőleges leárs trszformácó, or (A B)*=B* A*. Bzoyítás: H y V vetortér egy tetszőleges, de rögzített vetor, or mde xv eseté érvéyes z x ((A B)*(y))=(A B)(x) y=a(b(x)) y= =B(x) A*(y)=x B*(A*(y))=x ((B* A*)(y)) összefüggés, melyből 3.0. lemm lpá (A B)*(y)=(B* A*)(y) övetez. Ebből pedg leárs trszformácó egyelőségée értelmezését felhszálv özvetleül dód bzoyítdó (A B)*=B* A* összefüggés. 3.8. Tuldoság: H E véges dmezós slárs szorztos V vetortér detus trszformácó, or érvéyes z E*=E összefüggés. Bzoyítás: Legye y V vetortér egy tetszőleges, de rögzített vetor. Eor mde xv vetorr gz z x E*(y)=E(x) y=x y=x E(y) összefüggés, melyből 3.0. lemm felhszálásávl E*(y)=E(y) dód. Ebből zob leárs trszformácó egyelőségée értelmezésére hvtozv zol övetez bzoyítdó állítás. 5

3.9. Tuldoság: H A véges dmezós slárs szorztos V vetortér egy tetszőleges vertálhtó leárs trszformácó, or A* dugált trszformácó s vertálhtó és érvéyes özöttü z (A*) - =(A - )* összefüggés. Bzoyítás: A 3.7. és 3.8. tuldoság lpá A* (A - )*=(A - A)*=E*=E és (A - )* A*=(A A - )*=E*=E telesül, m éppe zt mutt, hogy (A - )* z A* verze. Az A* tehát vertálhtó leárs trszformácó és (A*) - =(A - )* s telesül. Ezutá megvzsgálu, hogy mlye pcsoltb áll egy leárs trszformácó, vlmt dugáltá egy özös ortoormált bázsr votozó mátrx. 3.30. Állítás: Legye V egy -dmezós slárs szorztos vetortér, N={e,...,e } e vetortér egy tetszőleges ortoormált bázs és LEd(V) egy leárs trszformácó. H A=( ) =mt N (L) z L leárs trszformácó és B=(b ) = =mt N (L*) z L* dugált trszformácó N bázsr votozó mátrx, or e ét mátrx özött érvéyes b = (, ) összefüggés, vgys B mátrxot z A mátrxból trszpoálássl, md ompoeseét ougálássl yerü. Bzoyítás: Legye x és y V vetortér ét tetszőleges vetor, melyee tetszőlegese válsztott N={e,...,e } ortoormált bázsr votozó oordát sormátrx (x) N =(x x...x ) és (y) N =(y y...y ). H LEd(V) és z x'=l(x) vetor N bázsr votozó oordát sormátrx (x') N =(x 'x '...x '), továbbá z y'=l*(y) vetor N bázsr votozó oordát sormátrx (y') N =(y 'y '...y '), or 6.3. állítás szert érvéyese z és (x 'x '...x ')=(x x...x ) A (y 'y '...y ')=(y y...y ) B 5

53 összefüggése. Az L leárs trszformácót z L* dugáltávl összepcsoló L(x) y= =x L*(y) egyelőség 3.3. állítás felhszálásávl z ' ' ' )... ( ') '... ' ( y y y x x x y y y x x x lb írhtó fel. Helyettesítsü eze összefüggés bl oldláb fet első, obb oldláb pedg trszpoálás és ompoeseét ougálás utá fet másod összefüggést! Eor z y y y x x x )... ( y y y b b b b b b b b b x x x )... ( egyelőséget yerü. A.6. állítás felhszálásávl öye beláthtu, hogy tt mdét oldlo ugyzo ougált bleárs fucoál z N ortoormált bázsr votozó egyértelműe meghtározott mátrx szerepel. E ét mátrx tehát megegyez, vgys = b (, ), mből ét oldl ougálásávl már özvetleül dód bzoyítdó állítás. Egy leárs trszformácó dugáltá értelmezése lpá természetese íáloz z ödugált trszformácó foglmá bevezetése s övetező módo.

A véges dmezós slárs szorztos V vetortér egy L leárs trszformácóát ödugált, Hermte-féle, vgy rövde hermtus trszformácó evezzü, h L=L*, vgys h L megegyez sát L* dugáltávl. A 6.. állítás szert egy leárs trszformácó vlmely tetszőlegese megdott bázsr votozó egyértelműe meghtározz mátrxát. Így h N={e,...,e } z -dmezós slárs szorztos V vetortér egy ortoormált bázs, or z L=L* összefüggésből mt N (L)=mt N (L*) övetez. Ebből pedg z A=( ) =mt N (L) mátrxr 3.30. állítás felhszálásávl özvetleül dód z = (, ) összefüggés. Érvéyes tehát 54 3.3. Állítás: H L z -dmezós slárs szorztos V vetortér egy ödugált trszformácó, or V vetortér egy tetszőleges N ortoormált bázsár votozó A=( ) =mt N (L) mátrx hermtus, vgys megegyez ömg trszpoáltá ompoeseét vett ougáltávl. Az ödugált trszformácó hsoló szerepet töltee be egy véges dmezós slárs szorztos vetortér leárs trszformácó özött, mt vlós számo omplex számo özött. Erre z lógár vlágít rá övetező 3.3. Állítás: A véges dmezós slárs szorztos V vetortér mde L leárs trszformácó felírhtó L=L + L lb, hol z L és L ödugált trszformácó. Bzoyítás: Vegyü észre, hogy véges dmezós slárs szorztos V vetortér mde L leárs trszformácó felírhtó z formáb. Tetsü most z L ( L L*) ( L L*) L : ( L L*) és z L : ( L L*)

leárs trszformácót, melye felhszálásávl z L előállíthtó L=L + L lb. Már cs zt ell megmutt, hogy L és L egyrát ödugált trszformácó. Mvel és * * * * * L ( L L ) ( L L) ( L L ) L * * * * * L ( L L ) ( L L) ( L L ) L telesül, így L és L ödugált trszformácó, s ezzel állításut gzoltu. 3.33. Állítás: H L véges dmezós utér V vetortér egy ödugált trszformácó, or ee mde sátértée vlós. Bzoyítás: Legye x z L ödugált trszformácó egy sátvetor, pedg hozzá trtozó sátérté, vgys legye L(x)=x, x 0. Mvel L egy ödugált trszformácó, így L=L*, s ezért L(x) x=x L*(x)=x L(x), mből (x) x= =x (x) övetez. Ez utóbb összefüggésből (x x)= (x x) dód, m x 0, s így x x 0 lpá éppe zt elet, hogy =, tehát R vlób telesül. 3.34. Állítás: H L véges dmezós utér V vetortér egy ödugált trszformácó, or ee ülöböző sátértéehez trtozó sátvetor ortogoáls egymásr. Bzoyítás: Legye és z L ödugált trszformácó ét ülöböző sátértée, továbbá x ( 0) és x ( 0) sátértéhez trtozó egy-egy sátvetor, vgys legye L(x )= x, L (x )= x és. Mvel L=L*, így L(x ) x = =x L*(x )=x L(x ), mből ( x ) x =x ( x ), továbbá (x x )= (x x ) övetez. A 3.33. állítás szert R, zz =, ezért feáll 55

(x x )= (x x ), melye átredezésével ( - ) (x x )=0 dód. Ám, így x x =0, vgy x,x vlób egy ortogoáls vetorpár. Most pedg muttu, hogy véges dmezós utér vetortérbe mde ödugált trszformácó dgolzálhtó, sőt ez dgoáls l oly, hogy mátrx főátlóáb csup vlós érté tlálhtó. 3.35. Állítás: H L véges dmezós utér V vetortér egy tetszőleges ödugált trszformácó, or létez V vetortérbe oly ortoormált bázs, melye vetor z L trszformácó sátvetor. Bzoyítás: Az -dmezós utér V vetortérbe z L ödugált trszformácó 9.. állítás lpá létez leglább egy b sátvetor. Eor érvéyes z L(b )= b összefüggés, hol elöl b vetorhoz trtozó sátértéet, s ez sátérté 3.33. állítás szert vlós. A V vetortérbe z U b ltér U ortogoáls omplemetere egy (-)- dmezós L-vrás ltér. Vlób, 3.9. állítás lpá V=UU, s így 4.0. állítás felhszálásávl =dm(v)=dm(u)+dm(u )=+dm(u ), mből dm(u )=- övetez. H pedg xu, or L ödugált voltát hszálv L(x) b =x L*(b )=x L(b )=x ( b )= (x b )= (x b )= 0=0, s így L(x)U telesül, tehát U téyleg egy L-vrás ltér. Az L ödugált trszformácó U ltérre vló leszűítésée 9.. állítás szert szté létez leglább egy b sátvetor, melyhez trtozó sátérté 3.33. állítás lpá szté vlós. A fet lépéssel lóg oosodássl megmutthtu, hogy z U ltérbe, mt vetortérbe W b ltér U ortogoáls omplemetere, mely tehát U - b vetorr ortogoáls vetorból áll, V vetortér egy (-)- dmezós L-vrás ltere, és így tovább... Ezt z elárást folyttv z -ed lépés utá z L ödugált trszformácó számú sátvetorából álló {b,...,b } ortogoáls vetorredszerét yerü, mely V vetortér egy ortogoáls bázs s egybe. Mthogy egy sátvetor bármely zérustól ülöböző slárrl vló szorzt smét sátvetor, ezért {b,...,b } ortogoáls bázsról ezzel módszerrel áttérhetü szté z L sátvetorból álló {e,...,e } ortoormált bázsr, mvel állításut gzoltu. 56

57 3.36. Állítás: Legye V egy véges dmezós utér vetortér. Az LEd(V) leárs trszformácó or és css or ödugált, h létez V vetortérbe egy oly ortoormált bázs, melyre votozó z L trszformácó mátrx egy vlós ompoesű dgoáls mátrx. Bzoyítás: H L z -dmezós utér V vetortér egy ödugált trszformácó, or 3.35. állításb meglotott B={e,...,e } ortoormált bázsb érvéyese z L(e )= e ( ) összefüggése, így z L trszformácó B bázsr votozó mátrx B L 0 0 0 0 0 0 ) ( mt lú, hol sátértée 3.33. állítás lpá vlós. Megfordítv, legye z L leárs trszformácó egy ortoormált bázsr votozó mátrx 0 0 0 0 0 0 A lú, hol R ( ), vgys egy vlós ompoesű dgoáls mátrx. Az L* dugált trszformácó mátrxát z L trszformácó A mátrxából 3.30. állítás szert trszpoálássl és ompoeseét ougálássl yerü.

Elvégezve ezt műveletet z A mátrxo ömgát pu, tehát mt B (L)=mt B (L*) telesül, h B szób forgó ortoormált bázs. Mvel egy dott bázsb leárs trszformácó és mátrx ölcsööse és egyértelműe meghtározzá egymást 6.. állítás szert, ezért ét trszformácó egyelő, vgys L=L*. Az L tehát egy ödugált trszformácó, s ezzel állításut bebzoyítottu. Egy véges dmezós slárs szorztos V vetortér ödugált trszformácó em lot leárs trszformácó ompozícóá műveletével strutúrát, mert ét ödugált trszformácó ompozícó áltláb em ödugált. Érvéyes ugys övetező 3.37. Állítás: H A és B véges dmezós slárs szorztos V vetortér ét ödugált trszformácó, or z A B leárs trszformácó or és css or lesz ödugált, h A B=B A telesül, vgys h z A és B trszformácó felcserélhető. Bzoyítás: Feltevése szert A=A* és B=B*, s eressü szüséges és elegedő feltételét, hogy z (A B)*=A B egyelőség telesülö. Ez zob z (A B)*=B* A*=B A egyelőség folytá or és css or érvéyes, h A B=B A, s ezzel állításut gzoltu. A slárs szorztos vetortere leárs trszformácó özött so szempotból ülöleges helyet fogll el z ödugált trszformácó mellett z utér trszformácó. A véges dmezós slárs szorztos V vetortér egy L leárs trszformácóát utér trszformácó evezzü, h L vertálhtó és L - =L*, vgys h L verze sát L* dugáltávl egyez meg. 3.38. Állítás: Legye V egy véges dmezós slárs szorztos vetortér. Az LEd(V) or és css or utér trszformácó, h bármely x,yv eseté feáll z L(x) L(y)=x y összefüggés. Más szóvl egy leárs trszformácóvl szembe slárs szorzt potos or vrás, h trszformácó utér. 58

Bzoyítás: H L egy utér trszformácó, or mde x,yv eseté L(x) L(y)= =x L*(L(y))=x (L* L)(y)=x (L - L)(y)=x E(y)=x y telesül, vgys lárs szorzt trszformácóvl szembe vrás. Megfordítv, h z L leárs trszformácóvl szembe bármely x,y vetorpár slárs szorzt vrás, vgys L(x) L(y)=x y, or x L*(L(y))=x y, zz x (L* L)(y)=x E(y) övetez, melyből 3.0. lemm felhszálásávl (L* L)(y)=E(y) dód. Ebből leárs leépezése egyelőségét felhszálv z L* L=E összefüggést yerü, tehát z L egy utér trszformácó. 3.39. Követezméy: H L véges dmezós slárs szorztos V vetortér egy utér trszformácó, or bármely xv eseté érvéyes z L(x) = x összefüggés, vgys utér trszformácóvl szembe vetoro ormá vrás. Bzoyítás: H L egy utér trszformácó, or 3.38. állításból z y=x helyettesítéssel dód z L(x) L(x)=x x összefüggés, melyből orm értelmezését felhszálv özvetleül yerhetü tetszőleges xv eseté bzoyítdó L(x) = x egyelőséget. 3.40. Állítás: Az -dmezós slárs szorztos V vetortér egy L leárs trszformácó or és css or utér, h V vetortér egy tetszőleges B={e,...,e } ortoormált bázsát egy B'={L(e ),...,L(e )} ortoormált bázsb vsz át. Bzoyítás: Legye B={e,...,e } z -dmezós slárs szorztos V vetortér egy tetszőleges ortoormált bázs. H LEd(V) egy utér trszformácó, or 3.38. állítás felhszálásávl z L(e ) L(e )=e e = (, ) összefüggéseet yerü, tehát L ortoormált bázst vlób ortoormált bázsb vsz át. Megfordítv, legye LEd(V) egy oly leárs trszformácó, mely tetszés szert B={e,...,e } ortoormált bázst B'={L(e ),...,L(e )} ortoormált bázsb vsz át. H tetszőleges x,yv vetorpár B bázsr votozó oordátá (x) B =(x,...,x ) és (y) B =(y,...,y ), or z 59

60, ) ( ) ( ) ( ) ( y x y x L L y x y L x L L L e e e e y x és z y x y x y x y x e e e e xy összefüggése összehsolításávl L(x) L(y)=x y dód, melyből 3.38. állítás lpá már özvetleül yerü, hogy z L egy utér trszformá- có. A véges dmezós slárs szorztos V vetortére értelmezett utér trszformácó hlmzát továbbb z U(V) szmbólumml elölü. 3.4. Állítás: A véges dmezós slárs szorztos V vetortér utér trszformácó U(V) hlmz ompozícóépzés műveletével csoportot lot. Bzoyítás: H L,MU(V), or 3.40. állítás folytá L MU(V) s telesül, hsze h ét leárs trszformácó ortoormált bázst ortoormált bázsb vsz, or eze ompozícó s redelez ezzel tuldosággl. H pedg LU(V), or L - U(V) s telesül, mert h egy vertálhtó leárs trszformácó ortoormált bázst ortoormált bázsb vsz, or verze s redelez ezzel tuldosággl. Végül mde utér trszformácó utomorfzmus, zz U(V)Aut(V), továbbá z 5.33. állításból tudu, hogy (Aut(V), ) csoport, így fete éppe zt bzoyítá, hogy (U(V), ) z (Aut(V), ) utomorfzmus csoport egy részcsoport. Az (U(V), ) strutúrát véges dmezós slárs szorztos V vetortér utér csoportá evezzü.

6 Az A=( ) M(,C ) mátrxot utér mátrx evezzü, h vertálhtó és A - verze megegyez trszpoáltá ompoeseét épezett ougáltávl, vgys h feáll z A - =A* összefüggés. Vegyü észre, hogy z AM(,C ) potos or utér mátrx, h érvéyes z A A*=A* A=E összefüggés, mely részletese felírv 0 0 0 0 0 0 lot ölt. H elvégezzü mátrxo elölt szorzást és szorzto ompoeset összevetü z egységmátrx ompoesevel, or övetező rtérumot yerü. 3.4. Állítás: Az A=( ) M(,C ) mátrx or és css or utér, h sorr telesüle (, ) összefüggése. Az A=( ) M(,C ) mátrx or és css or utér, h oszlopr telesüle (, ) összefüggése.

A fet állításb szereplő összefüggése szemléletes eletése övetező. Az AM(,C ) utér mátrx sor (, ) feltétele szert z M(,,C ) sormátrxo vetorterébe, oszlop pedg (, ) feltétele lpá z M(,,C ) oszlopmátrxo vetorterébe egy-egy ortoormált vetorredszert, sőt ortoormált bázst lot, s css z utér mátrxo redeleze fet feltételeel. Az utér trszformácót és z utér mátrxot pcsol össze övetező 3.43. Állítás: Legye L z -dmezós slárs szorztos V vetortér egy leárs trszformácó. Az L egy utér trszformácó or és css or, h vetortér egy tetszőleges B={e,...,e } ortoormált bázsár votozó A=( ) =mt B (L) mátrx utér mátrx. Bzoyítás: Tudu, hogy z L leárs trszformácó B ortoormált bázsr votozó A mátrx eleget tesz z L( e ) e L( e A ) e összefüggése. Eor mde, eseté telesüle z 6

L( e ) L( e ) e m m m m e m m m m e e m összefüggése. A 3.40. állítás szert L or és css or utér trszformácó, h ortoormált bázst ortoormált bázsb vsz, ez pedg fete szert éppe or áll fe, h L( e ) L( e ) (, ) telesül. Ez zob 3.4. állítás szert egyeértéű z A mátrx utér voltávl, s így állításut bebzoyítottu. 3.44. Követezméy: H V egy -dmezós slárs szorztos vetortér, B={e,...,e } és B'={e ',...,e '} e vetortér ét tetszőleges ortoormált bázs, or e bázso özött B B' átmeet AGL(,C ) mátrx utér mátrx. Bzoyítás: A B={e,...,e } ortoormált bázst B'={e ',...,e '} ortoormált bázsb vvő, s z 5.3. állítás szert egyértelműe meghtározott L leárs trszformácó 3.40. állítás lpá egy utér trszformácó, melye B bázsr votozó A=mt B (L) mátrx 3.43. állítás mtt utér mátrx. E mátrxr tehát telesül z e ' e A e ' e összefüggés, tehát AGL(,C ) B B' átmeetet létrehozó vertálhtó mátrx. 63

A C test felett -ed redű utér mátrxo hlmzát továbbb SL(,C ) elöl, mely szmbólumb z SL "specl ler" rövdítése, eletése pedg "ülöleges leárs". 3.45. Állítás: A C omplex számtest felett -ed redű utér mátrxo SL(,C ) hlmz mátrxo özött szorzás műveletével csoportot lot. Bzoyítás: Legye V C test felett egy -dmezós utér vetortér, továbbá B V vetortér egy tetszőleges, de rögzített ortoormált bázs. A 6.. állításb szereplő f:ed(v) M(,C ) leépezése z U(V)Ed(V) részhlmzr törtéő f :U(V) SL(,C ),L mt B (L) leszűítése betív és mt B (M L)=mt B (L) mt B (M) összefüggés szert egy (t)multpltív leépezés, vgys egy (t)zomorfzmus lesz. A 3.4. állítás folytá (U(V), ) csoport, így vele (t)zomorf (SL(,C ), ) strutúr s egy csoport lesz. Ezutá megmuttu, hogy z utér trszformácó s dgolzálhtó z ödugált trszformácóhoz hsoló. 3.46. Állítás: H L véges dmezós slárs szorztos V vetortér egy utér trszformácó, or ee mde sátértée egységy bszolút értéű. Bzoyítás: Legye x z L utér trszformácó egy sátvetor, pedg hozzá trtozó sátérté, vgys legye L(x)=x, x 0. Mvel L egy utér trszformácó, ezért L(x) L(x)=x x, s így x x=l(x) L(x)=(x) (x)= (x x), mből = = =, zz = övetez, mt bzoyít rtu. 64

3.47. Állítás: H L véges dmezós utér V vetortér egy tetszőleges utér trszformácó, or létez V vetortérbe oly ortoormált bázs, melye vetor z L trszformácó sátvetor. Bzoyítás: Az -dmezós utér V vetortérbe z L utér trszformácó 9.. állítás folytá létez leglább egy b sátvetor. Eor érvéyes z L(b )= b összefüggés, hol elöl b vetorhoz trtozó sátértéet, s ez 3.46. állítás szert egységy bszolút értéű. A V vetortérbe z U b ltér U ortogoáls omplemetere egy (-)- dmezós lteret lot, melyről megmuttu, hogy rádásul L-vrás ltér s lesz. Vlób, z L trszformácó utér voltát felhszálv megmuttu, hogy h xu, or L(x)U s telesül. Az xu feltétel egyeértéű z x b =0 összefüggéssel, mely lpá (L(x) b )=L(x) ( b )= =L(x) L(b )=x b =0 övetez. Ám 0 3.46. állítás lpá, így mét pott eredméyüből L(x) b =0, zz L(x)U dód. Az L utér trszformácó U ltérre vló leszűítésée 9.. állítás szert szté v leglább egy b sátvetor, melyhez trtozó sátérté 3.46. állítás lpá szté egységy bszolút értéű. A fet lépéssel lóg oosodássl beláthtu, hogy z U ltérbe, mt vetortérbe W b ltér W ortogoáls omplemetere V vetortér egy (-)-dmezós L-vrás ltere, és így tovább... Folyttv ezt z elárást z -ed lépés utá z L utér trszformácó számú sátvetorából álló {b,...,b } ortogoáls vetorredszerét yerü, s ez V vetortér egy ortogoáls bázs s egybe. Mvel egy sátvetor bármely em zérus slárrl vló szorzt smét sátvetor, ezért {b,...,b } ortogoáls bázsról ezzel módszerrel áttérhetü z L sátvetorból álló {e,...,e } ortoormált bázsr, s ezzel állításut bebzoyítottu. 3.48. Állítás: Legye V egy véges dmezós utér vetortér. Mde LU(V) utér trszformácóhoz létez oly ortoormált bázs, melyre votozó z L trszformácó mátrx oly dgoáls mátrx, melye főátlóáb egységy bszolút értéű omplex számo áll. 65

Bzoyítás: H L z -dmezós utér V vetortér egy utér trszformácó, or 3.47. állításb előállított B={e,...,e } ortoormált bázsb érvéyese z L(e )= e ( ) összefüggése, ezért z L trszformácó B bázsr votozó mátrx mt B 0 ( L) 0 0 0 0 0 lú, hol sátértée 3.46. állítás lpá egységy bszolút értéű omplex számo. Mthogy véges dmezós utér vetorterebe 3.44. övetezméy szert ortoormált bázsról egy más lye bázsr vló áttérés mátrx utér mátrx, ezért 3.36. és 3.48. állítás eredméye mátrxo yelvé övetezőéppe foglmzhtó meg: 3.49. Állítás: Mde AM(,C ) hermtus mátrxhoz létez oly BSL(,C ) utér mátrx és DM(,C ) dgoáls mátrx, hogy z A mátrx előállíthtó z A=B D B - lb, hol D mátrx főátlóáb vlós számo áll. Mde ASL(,C ) utér mátrxhoz létez oly BSL(,C ) utér mátrx és DM(,C ) dgoáls mátrx, hogy z A mátrx előállíthtó z A=B D B - 66

lb, hol D mátrx főátlóáb egységy bszolút értéű omplex számo áll. Eddg tárgylásu sorá lehetőség szert együtt vzsgáltu z euldesz és z utér vetortere leárs trszformácót. Ahol ez em volt lehetséges, ott csupá z utér vetortér megfelelő trszformácóvl foglloztu. Most pótolu ezt háyt, s z lábbb z euldesz vetortere leárs trszformácó tulmáyozás felé fordítu fgyelmüet. Az utér vetortere leárs trszformácó tulmáyozásáál léyeges szerepet átszott 9.. állítás, mely szert utér vetortérbe mde leárs trszformácó v leglább egy sátvetor, s így létez leglább egy -dmezós vrás ltere. Ez z eredméy euldesz vetorterebe em érvéyes. Igz zob övetező fotos állítás. 3.50. Állítás: A véges dmezós V euldesz vetortér mde L leárs trszformácóá létez -dmezós, vgy -dmezós L-vrás ltere. Bzoyítás: Legye B={e,...,e } V -dmezós euldesz vetortér egy bázs és AM(,R) z L leárs trszformácó e bázsr votozó mátrx. Mvel V egy vlós test felett vetortér, tehát slárrl vló szorzás cs vlós számor v értelmezve, ezért vetoro oordátá mde bázsb cs vlós lehete. A 9.5. állítás godoltmeetét övetve, sátértéere det(a- E )=0 rtersztus egyeletet yerü, mely -r ézve egy -ed foú vlós együtthtós lgebr egyelet. Eze egyelet gyöetől függőe ét esetet ell megülöböztetü. () H 0 rtersztus egyelet vlós gyöe, or ezt behelyettesítve sátvetorot meghtározó (x x...x ) (A- 0 E )=(00...0) egyeletbe, ee lesz em trváls megoldás, mely V vetortér egy x vetorá B bázsr votozó oordátából áll. Ebbe z esetbe tehát x egy -dmezós L-vrás ltér. 67

() H 0 rtersztus egyelet em vlós, omplex gyöe: 0 =+b, b 0, or z (x x...x ) (A- 0 E )=(00...0) egyeletből, em trváls megoldásét z (x x...x )=(u +v u +v... u +v ) omplex számot yerü. Eze em htározzá meg z euldesz vetortér egyetle vetorát sem, vgys ehhez 0 értéhez em tlálhtó -dmezós L-vrás ltér. A pott megoldás vszot felírhtó (u u...u )+ (v v...v ) lb, hol u,v R ( ) eseté. Eze behelyettesítésével z ((u u...u )+(v v...v )) (A-(+b)E )=(00...0) összefüggéshez utu, melyből beszorzás és redezés utá [-(u u...u )+b (v v...v )+(u u...u ) A]+ +[-b (u u...u )-(v v...v )+(v v...v ) A]=(00...0) dód. Ebből z övetez, hogy bl oldlo szereplő mdét záróeles feezés értée (00...0), vgys feáll z (u u...u ) A=(u u...u )-b(v v...v ) (v v...v ) A=b(u u...u )+(v v...v ) összefüggése. Legyee most u és v V vetortér zo ól meghtározott vetor, melye B bázsr votozó oordát sormátrx (u u...u ), lletve (v v...v ). Eor z mét yert ét egyelőség egyeértéű z lább ét L(u)= u-b v L(v)=b u+ v összefüggéssel. 68

Köye beláthtu, hogy u és v egye sem 0, elleező esetbe b 0 feltételt hszálv z mét yert ét formulából u=v=0 dód, s így (x x...x ) (00...0) sormátrx lee. Az u és v egy leárs függetle vetorpár V vetortérbe. Vlób, h ugys feáll özöttü v=c u, c 0 pcsolt, or fete lpá L(u)= u-b c u L(c u)=b u+ c u, melyből z első összefüggése c-vel vló beszorzásávl L(c u)=(c -bc )u L(c u)=(b+ c)u, övetez. Mvel bl oldl megegyeze, így obb oldl s egyelőe, de u 0, ezért c -bc =b+ c, melyből (+c ) b=0, s ebből b=0 övetez, m elletmod duló b 0 feltevésüe. Az u és v tehát téyleg egy leárs függetle vetorpár V vetortérbe, s ezért z u,v egy -dmezós ltér lesz. Megmuttu, hogy u,v egy L- vrás ltér. Vlób, h yu,v egy tetszőleges vetor eze ltérbe, or léteze oly egyértelműe meghtározott r,sr sláro, hogy y=r u+s v. Eor L(y)=L(r u+s v)=r L(u)+s L(v)=r (u-bv)+ +s (bu+v)=(r +s b)u+(-r b+s ) v dód, így L(y) u,v, s ezzel állításut mrdétlul gzoltu. Ezutá z euldesz vetortere ödugált trszformácóvl fogllozu. A véges dmezós V euldesz vetortér egy L leárs trszformácóát z áltláos esettel összhgb ödugált evezzü, h bármely x,yv vetoror L(x) y=x L(y) telesül. 69

Mvel vlós szám ougált ömg, ezért 3.3. állítás lpá érvéyes 3.5. Állítás: H L z -dmezós V euldesz vetortér egy ödugált trszformácó, or V vetortér egy tetszőleges N ortoormált bázsr votozó A=mt N (L) mátrx szmmetrus, vgys megegyez ömg trszpoáltávl. Fet állításu dool zt, hogy euldesz vetorterebe z ödugált trszformácót gyr szmmetrus trszformácó s evez. Megmuttu, hogy z utér vetorterebe látottl megegyezőe euldesz vetorterebe s mde ödugált trszformácó dgolzálhtó. Ehhez z eredméyhez több lépésbe utu el. 3.5. Állítás: H L véges dmezós V euldesz vetortér egy ödugált trszformácó, or ee létez leglább egy sátvetor. Bzoyítás: A 3.50. állítás szert z L rtersztus egyelete mde vlós gyöée megfelel egy -dmezós L-vrás ltér, melye mde em zérus vetor z L trszformácó sátvetor. Elegedő tehát zt megmutt, mde rtersztus gyö vlós szám. Legye =+b rtersztus egyelet egy gyöe. A 3.50. állítás bzoyítás sorá egy lye gyöhöz meglottu ét oly u és v vetort, melyere érvéyes z L(u)=u-bv L(v)=bu+v ét összefüggés. Eor zob 70 L(u) v= (u v)-b (v v) u L(v)=b (u u)+ (u v), s mthogy L(u) v=u L(v), ezért másod egyelőségből z elsőt vov 0=b(u u+v v)

dód. De láttu, hogy u,v 0, így u u+v v 0, ezért b=0, vgys vlós szám, s ezzel állításut gzoltu. 3.53. Állítás: H L véges dmezós euldesz V vetortér egy tetszőleges ödugált trszformácó, or létez V vetortérbe oly ortoormált bázs, melye vetor z L trszformácó sátvetor. Bzoyítás: Az -dmezós euldesz V vetortérbe z L ödugált trszformácó 3.5. állítás szert létez leglább egy b sátvetor. A V vetortérbe z U=b ltér U ortogoáls omplemetere egy (-)-dmezós L- vrás ltér, melyet z lóg 3.35. állításb látott módo gzolhtu. Az L trszformácó U ltérre vló leszűítésée 3.5. állítás szert szté létez leglább egy b sátvetor. Az U ltérbe, mt vetortérbe W=b ltér W ortogoáls omplemetere V vetortér egy (-)- dmezós L-vrás ltere, és így tovább... Folyttv fet elárást z -ed lépés utá V vetortér L ödugált trszformácó számú sátvetorából álló {b,...,b } ortogoáls bázst yerü. Erről bázsról z egyes vetoro llms slárol vló szorzásávl áttérhetü z L sátvetorból álló B={e,...,e } ortoormált bázsr, s ez állításut gzol. 3.54. Állítás: Legye V egy véges dmezós euldesz vetortér. H z LEd(V) leárs trszformácó ödugált, or létez V vetortérbe oly ortoormált bázs, melyre votozó z L trszformácó mátrx dgoáls. Bzoyítás: H L z -dmezós euldesz V vetortér egy ödugált trszformácó, or 3.53. állításb meglotott B={e,...,e } ortoormált bázsb érvéyese z L(e )= e ( ) összefüggése, így z L trszformácó B bázsr votozó mátrx 7

mt B 0 ( L) 0 0 0 0 0 lú, hol főátlób z L trszformácó sátértée szerepele. Most pedg véges dmezós euldesz tere utér trszformácóvl fogllozu. Az áltláos esettel összhgb véges dmezós V euldesz vetortér egy L leárs trszformácóát utér trszformácó evezzü, h bármely x és y vetorr L(x) L(x)=x y telesül. 3.55. Állítás: A véges dmezós V euldesz vetortér egy L leárs trszformácó or és css or utér, h mde xv vetorr L(x) L(x)=x x telesül. Bzoyítás: H L véges dmezós euldesz vetortér egy utér trszformácó, or L(x) L(y)=x y defáló összefüggéséből y=x helyettesítéssel L(x) L(x)= =x x dód. Megfordítv, tetszőleges x,yv eseté egyrészt másrészt L(x+y) L(x+y)=(x+y) (x+y)=x x+ (x y)+y y, L(x+y) L(x+y)=(L(x)+L(y)) (L(x)+L(y))=L(x) L(x)+ +(L(x) L(y))+L(y) L(y) dód, melye összehsolításávl L(x) L(x)=x x és L(y) L(y)=y y mtt (x y)= (L(x) L(y)), s ebből L(x) L(y)=x y övetez. A vetor ormáá értelmezését felhszálv fet állításuból özvetleül dód 7

3.56. Követezméy: A véges dmezós V euldesz vetortér egy L leárs trszformácó or és css or utér, h mde xv eseté érvéyes z L(x) = x összefüggés, vgys potos z utér trszformácól szembe lesz vetoro ormá vrás. 3.57. Követezméy: H L véges dmezós V euldesz vetortér egy utér trszformácó, or mde x,yv, x 0, y 0 vetorpár (x,y) hlásszöge z L trszformácóvl szembe vrás. Bzoyítás: H x és y véges dmezós V vetortér ét tetszőleges, 0 vetortól ülöböző vetor, or z L értelmezése és 3.56. övetezméy felhszálásávl L( x) L( y) cos(l(x),l(y)) = L( x) L( y) x y x y cos(x,y) dód. Mvel (L(x),L(y)), (x,y) [0,π], ebbe zárt tervllumb t cost függvéy szgorú mooto csöe, így (L(x),L(y)) =(x,y), s ezzel állításut gzoltu. A véges dmezós euldesz vetortere utér trszformácót éppe 3.56. és 3.57. övetezméybe megfoglmzott tuldoság lpá továbbb ortogoáls trszformácó evezzü. A 3.40. állítás lpá érvéyes z lább rtérum. 3.58. Állítás: Az -dmezós V euldesz vetortér egy L leárs trszformácó or és css or ortogoáls trszformácó, h V vetortér egy tetszőleges B={e,...,e } ortoormált bázsát egy B'={L(e ),...,L(e )} ortoormált bázsb vsz át. 73

A véges dmezós V vetortére értelmezett ortogoáls trszformácó hlmzát továbbb z Ort(V) szmbólumml elölü. A 3.4. állítás lpá gz 3.59. Állítás: A véges dmezós V euldesz vetortér ortogoáls trszformácó Ort(V) hlmz ompozícóépzés műveletével csoportot lot. Az (Ort(V), ) strutúrát véges dmezós V euldesz vetortér ortogoáls csoportá evezzü. Az A=( ) M(,R) mátrxot ortogoáls mátrx hívu, h vertálhtó és verze megegyez mátrx trszpoáltávl, vgys h feáll z 74 A - =A T összefüggés. Láthtó, hogy z AM(,R) potos or ortogoáls mátrx, h érvéyes z A A T =A T A=E összefüggés. H tt elvégezzü mátrxo elölt szorzást és szorzto ompoeset összehsolítu z egységmátrx ompoesevel, or övetező rtérumot pu. 3.60. Állítás: Az A=( ) M(,R) mátrx or és css or ortogoáls, h sorr telesüle összefüggése. (, ) Az A=( ) M(,R) mátrx or és css or ortogoáls, h oszlopr telesüle összefüggése. (, )

Az utér mátrxor votozó 3.4. rtérum mtáár most s megfoglmzhtu 3.60. állítást s úgy, hogy potos or ortogoáls egy mátrx, h sorvetor z M(,,R) mátrxo vetorterébe, lletve oszlopvetor z M(,,R) mátrxo vetorterébe egy-egy ortoormált bázst lot. A 3.43. állítássl megegyező módo gzolhtó 3.6. Állítás: Legye L z -dmezós V euldesz vetortér egy leárs trszformácó. Az L trszformácó or és css or lesz ortogoáls, h vetortér egy tetszőleges B ortoormált bázsár votozó A=mt B (L) mátrx ortogoáls mátrx. A 3.44. övetezméy lpá gz továbbá 3.6. Követezméy: H V egy -dmezós euldesz vetortér, B={e,...,e } és B'={e ',...,e '} e vetortér ét tetszőleges ortoormált bázs, or e bázso özött B B' átmeet AGL(,R) mátrx ortogoáls mátrx. A omplex esettel összhgb z R felett -ed redű ortogoáls mátrxo hlmzát továbbb SL(,R) elöl. A 3.45. állítássl lóg gzolhtó 3.63. Állítás: Az R vlós számtest felett -ed redű ortogoáls mátrxo SL(,R) hlmz mátrxo özött szorzás műveletével csoportot lot. 3.64. Állítás: H AM(,R) egy ortogoáls mátrx, or det(a) = telesül. Bzoyítás: Legye AM(,R) egy tetszőleges ortogoáls mátrx. Az A A T =E ortogoltást ellemző összefüggésből dulv, s felhszálv 7.9. és 7.. állítás eredméyet z 75

=det(e )=det(a A T )=det(a) det(a T )=(det(a)) összefüggést yerü, melyből már özvetleül dód bzoyítdó det(a) = egyelőség. Megegyezzü, hogy fet állításu em fordíthtó meg, hsze például B M(,R) 0 oly égyzetes mátrx, melye determás det(b)=, ám B B T 0 0 E, vgys B em ortogoáls mátrx. A véges dmezós V euldesz vetortére zot z ortogoáls trszformácót, melyee vlmely ortoormált bázsr votozó mátrxá determás 3.6. és 3.64. állítás lpá, V euldesz vetortér mozgás, zot pedg, melyee determás -, vetortér átfordítás evezzü. A fete lpá öye dód 3.65. Állítás: A véges dmezós V euldesz vetortér mozgás Ort + (V) hlmz ompozícóépzés műveletével csoportot lot. A mozgásot ortoormált bázsb leíró mátrxor pedg érvéyes 3.66. Állítás: Az R vlós számtest felett -ed redű ortogoáls és determású mátrxo SL + (,R) hlmz mátrxo özött szorzás műveletével csoportot lot. Vzsgálu meg most z -dmezós és -dmezós euldesz vetortér ortogoáls trszformácót! Később lát fogu, hogy tetszőleges 76

-dmezós ( 3) euldesz vetortér ortogoáls trszformácó elemzése ezere legegyszerűbb esetere vezethető vssz. Legye először V egy -dmezós euldesz vetortér, e egy oly vetor, mely geerál V vetorteret, zz V=e, és legye LEd(V) egy ortogoáls trszformácó. Eor létez oly R slár, hogy L(e)=e, s mvel L ortogoáls, ezért 3.55. állítás felhszálásávl e e=l(e) L(e)= =(e) (e)= (e e), de e e 0, így =, mből =± övetez. H most x=x ev egy tetszőleges vetor, or z L lertás szert L(x)=L(x e)=x L(e)=x(±e)=±x e=±x dód. Az -dmezós V euldesz vetortérbe tehát cs ét ortogoáls trszformácó létez. Az egy z L(x)=x összefüggéssel ellemzett mozgás, mely V detus trszformácó, más z L(x)=-x formulávl ellemzett átfordítás, melyet geometrából ölcsözött feezéssel V orgóár votozó türözése evezü. Másodszor -dmezós V euldesz vetortér ortogoáls trszformácót vzsgálu. Legye B={e,e } V egy ortoormált bázs, L V vetortér egy ortogoáls trszformácó és A=( ) =mt B (L)M(,R) z L trszformácó B bázsr votozó mátrx. () Először tegyü fel, hogy det(a)= - =, tehát legye L egy mozgás. Mvel L ortogoáls, ezért 3.6. állítás lpá zz A A - =A T,, másrészt A - özvetle számítássl s meghtározhtó, det(a)= felhszálásávl A 77

dód. Az A - étféle előállítását összehsolítv =, =-, tehát z L trszformácó mátrx A mt B ( L) lú, hol det(a)=. Ezért létez egyetle oly φ[0,π], φr szám, hogy =cosφ, s s φ+cos φ= összefüggés lpá így =sφ. Eor tehát -dmezós euldesz V vetortér bármely L mozgásá tetszőleges B ortoormált bázsr votozó mátrx mt B cos ( L) s s cos lú. Ezért L V vetortér orgó örül φ szögű elforgtás, mt zt 6.5. példáb s láthttu. Eredméyüből övetez, hogy z L rtersztus egyelete det( A E összefüggés lpá ee dszrmás ) cos s s cos cos - cosφ+=0, 4(cos φ-) 0. (cos ) s A ylvávló φ=0, és φ=π esettől eltetve, m V detus trszformácóá, lletve V orgóár vló türözésée felel meg, dszrmás egtív, tehát z L trszformácó cs vlós sátértée. () Másodszor tegyü fel, hogy det(a)= - =-, tehát legye L egy átfordítás. Mutá L ortogoáls, ezért z () részhez hsoló oosodássl egyrészt 78

A másrészt det(a)=- felhszálásávl, A dód. Az A - étféle előállítását összevetve =-, =, vgys z L trszformácó mátrx B L A mt ( ) lú, hol det(a)=, zz. Mvel det( A E ) ( )( ( )( ), ) ezért z L trszformácó rtersztus egyelete (-)(+)=0, melye = és =- gyöe szolgálttá z L sátértéet. H b, b pedg sátértéhez trtozó egy-egy sátvetor, or feáll z L(b )=b és L(b )=-b összefüggése, melye felhszálásávl z L(b ) L(b )=-b b összefüggést yerü. Az L zob ortogoáls trszformácó, így L(b ) L(b )=b b s telesül, s ebből z előzőleg yert egyelőség fgyelembevételével 79