2. (b) Hővezetési problémák Utolsó módosítás: 2013. február25.
A változók szétválasztásának módszere (5) 1 Az Y(t)-re vonakozó megoldás: Így: A probléma megoldása n-re összegzés után: A peremfeltételeknek a sor összes tagja eleget tesz.
A változók szétválasztásának módszere (6) 2 A kezdeti feltételeknek is teljesülniük kell: Azaz a -ek a függvény Fourier-együtthatói:
A forrásfüggvény (1) 3 A hőmérséklet időbeli változása az l hosszúságú rúdon a kezdeti feltétel mellett:
A forrásfüggvény (2) 4 Innen a pillanatnyi pontszerű forrás forrásfüggvénye /pillanatnyi pontszerű forrás hőmérsékleti hatásfüggvénye/: Ezzel:
Végtelen egyenesre vonatkozó forrásfüggvény (1) 5 A -t az írjuk át a képzése miatt intervallum helyett a intervallumra. Az új változók: Ekkor:
Végtelen egyenesre vonatkozó forrásfüggvény (2) 6 A szinuszok szorzata, ha n páros: Ha n páratlan:
Végtelen egyenesre vonatkozó forrásfüggvény (3) 7 Így:
Végtelen egyenesre vonatkozó forrásfüggvény (4) 8 Az összegek kiszámolása az határátmenetben: Amelyekkel az első összeg a következő integrállal fejezhető ki:
Végtelen egyenesre vonatkozó forrásfüggvény (5) 9 Hasonlóképpen a második összegre:
Végtelen egyenesre vonatkozó forrásfüggvény (6) 10 Összefoglalva tehát:
Végtelen egyenesre vonatkozó forrásfüggvény (7) 11 Az integrál kiszámolásához tekintsük az helyettesítésekkel nyert integrált: Vegyük ennek szerinti deriváltját
Végtelen egyenesre vonatkozó forrásfüggvény (8) 12 A megjelölt u és v függvényekkel végrehajtva egy parciális integrálást adódik: szerinti Az I-re vonatkozó megoldása:
Végtelen egyenesre vonatkozó forrásfüggvény (9) 13 A C értéke a helyettesítéssel kapható a Így:
Végtelen egyenesre vonatkozó forrásfüggvény (10) 14 Az helyettesítésekkel:
15 Két fél-végtelen rúd hőmérsékletének kiegyenlítődése (1) A fizikai probléma: adott két azonos anyagi minőségű rúd a kezdeti feltételek mellett.
16 Két fél-végtelen rúd hőmérsékletének kiegyenlítődése (2) Alkalmazva a helyettesítést
17 Két fél-végtelen rúd hőmérsékletének kiegyenlítődése (3) A hőmérséklet eloszlás időbeli változása: Ha és Itt a hibafüggvény.
18 Peremérték problémák félegyenes mentén (1) A feladat általában: a hővezetési egyenlet a kezdeti feltétellel, valamint a peremfeltétellel. A megoldás előállítható alakban, ahol csak a kezdeti csak a peremfeltételektől függ, továbbá
19 Peremérték problémák félegyenes mentén (2) I.: II.: feltételeket elégíti ki. A feladat megoldásához szükséges a következő két segédtétel: esetén, 1. ha páratlan függvény, azaz akkor az helyen a zérussá válik, azaz
20 Peremérték problémák félegyenes mentén (3) 2. Ha páros függvény, azaz akkor a függvény differenciálhányadosa az helyen zérus, azaz A függvény meghatározásához vezessük be az amelyre
21 Peremérték problémák félegyenes mentén (4) Az függvény meghatározható egy olyan függvény segítségével, amely Így az tartományban
22 Peremérték problémák félegyenes mentén (5) Az első integrálban a véve, hogy helyettesítéssel és figyelembe
23 Peremérték problémák félegyenes mentén (6) Így Alkalmazzuk ezt a formulát a kezdeti és peremfeltételű fél-végtelen rúdra.
24 Peremérték problémák félegyenes mentén (7) A hőmérséklet: Alkalmazva a helyettesítéseket:
25 Peremérték problémák félegyenes mentén (8) Így:
26 Peremérték problémák félegyenes mentén (9) A meghatározása: Legyen a határponti hőmérséklet Ekkor az függvény a hővezetési egyenletnek olyan megoldása, amely kielégíti az és feltételeket.
27 Peremérték problémák félegyenes mentén (10) Ebből következik, hogy a eleget tesz a feltételeknek. Így
A földkéreg hőmérsékletéről (1) 28 A hőmérsékletnövekedés a mélységgel 100 m-ként 3. Tételezzük fel, hogy a Föld kezdeti hőmérséklete: 1200, a felületi hőmérséklet 0. Hány év alatt állhatott be a mostani hőmérséklet-gradiens? A leíró egyenlet: A kezdeti és peremfeltételek: A hőmérséklet eloszlás:
A földkéreg hőmérsékletéről (2) 29 A felszíni hőmérséklet-gradiens: A diffúziós együttható: A lehűlés ideje: Hm!?
A földkéreg hőmérsékletéről (3) 30 Hőforrás (f) feltételezése szükséges: Vulkánkitörés során felszínre kerülő radioaktív kőzetekben: teljesítménysűrűség mérhető. Egyenletes forráseloszlást feltételezve a teljes teljesítmény
A földkéreg hőmérsékletéről (4) 31 A hőáram-sűrűség nagysága a felszínen: Így: ami kétszerese a tapasztaltnak. Csak egy belső magban történik radioaktív hasadás. (A számolásban )
A földkéreg hőmérsékletéről (5) 32
A földkéreg hőmérsékletéről (6) 33 Forrás: National Geographic
34 Egy közbevetett nagyon egyszerű kérdés Mekkora a Nap fúziós tartományának teljesítménysűrűsége? Sugár: R=700000 km Fúziós tartomány: 0,25R Napállandó: 1370 W Összteljesítmény: P = Teljesítménysűrűség: W!!!