Árki Tmás Konfárné Ng Klár Kovács István Trembeczki sb Urbán János sokszínû FELDTGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK 0 Mozik Kidó Szeged, 009
TRTLOMJEGYZÉK TRTLOMJEGYZÉK Megoldások 0. évfolm 0.. Gondolkodási módszerek (00-09) Szükséges, elégséges, szükséges és elégséges feltétel... Sktulelv... 6 Sorb rendezés I. (különbözõ elemek)... 8 Sorb rendezés II. (több tíusb trtozó zonos elemek)... 9 Kiválsztás és sorb rendezés I. (különbözõ elemek)... Kiválsztás és sorb rendezés II. (lehetnek zonos elemek is)... Veges feldtok... 6 0.. gökvonás (09-8) Rcionális számok, irrcionális számok... 8 négzetgökvonás zonossági, lklmzásik... 9 Számok n-edik göke, gökvonás zonossági... 6 Veges feldtok... 8 0.. másodfokú egenlet (9-8) másodfokú egenlet és függvén... másodfokú egenlet megoldókélete... gökténezõs lk. Gökök és egütthtók közötti összefüggés... 6 Másodfokúr visszvezethetõ mgsbb fokszámú egenletek, másodfokú egenletrendszerek... 8 Másodfokú egenlõtlenségek... 0 Prméteres másodfokú egenletek... 6 Négzetgökös egenletek és egenlõtlenségek... 8 számtni és mértni közé, szélsõérték feldtok... Másodfokú egenletre vezetõ roblémák... 6 Veges feldtok... 9 0.. Geometri (9-6) Körrel kcsoltos ismeretek... 6 Párhuzmos szelõk és szelõszkszok tétele, szögfelezõtétel... 7 Hsonlósági trnszformációk, lkztok hsonlóság... 78
TRTLOMJEGYZÉK ránossági tételek derékszögû háromszögben és körben... 87 hsonlóság néhán lklmzás terület- és térfogtszámításbn... 9 Veges feldtok I.... 98 Távolságok meghtározás hsonlóság segítségével, hegesszögek szögfüggvénei... 0 Összefüggések hegesszögek szögfüggvénei között, nevezetes szögek szögfüggvénei... 08 Háromszögek különbözõ dtink meghtározás szögfüggvének segítségével... Síkbeli és térbeli számítások szögfüggvének segítségével... Veges feldtok II.... Vektorok (emlékeztetõ), vektorok felbontás különbözõ iránú összetevõkre... 9 Vektorok lklmzás síkbn és térben... Vektorok koordinát-rendszerben, vektor koordinátái, mûveletek koordinátákkl dott vektorokkl... 0 Veges feldtok III.... 0.. Szögfüggvének (6-70) szinusz- és koszinuszfüggvén definíciój, egszerû tuljdonsági... 8 szinuszfüggvén grfikonj... 8 koszinuszfüggvén grfikonj, egenletek, egenlõtlenségek... 6 tngens- és kotngensfüggvén... 6 Összetett feldtok és lklmzások... 68 Geometrii lklmzások... 7 Veges feldtok... 7 0.6. Vlószínûség-számítás (7-8) Esemének... 8 Mûveletek eseménekkel... 8 Kísérletek, gkoriság, reltív gkoriság, vlószínûség... 8 vlószínûség klsszikus modellje... 8 Veges feldtok... 9
MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM 0.. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK Szükséges, elégséges, szükséges és elégséges feltétel megoldások w00 ) Prím után csk z irrcionális,,, nem kerülhet. Természetes mögött egész, rcionális, vlós állht. Egész után rcionális, vlós állht. Rcionális vg irrcionális mögött csk vlós állht. után irrcionális vg vlós állht. után z irrcionálist,, -t kivéve bármi állht. mögött természetes, egész, rcionális, vlós állht. b) Négzet után lehet bármi. Tégll után rlelogrmm vg tréz állht. Prlelogrmm után tréz állht. Rombusz után tréz, deltoid, rlelogrmm állht. Tréz és deltoid után nem írhtunk semmit listából. c) ármit is írunk elõre, után kerülhet z. után nem írhtunk mást. Prím mögé csk z -et írhtjuk. 0 után, állht. 9 után állht. 8 után, állht. 6 után, állht. mögött állht. d) 9 és rímek nem állhtnk elöl. Elöl:, után 7 állht. Elöl:, után állht. w00 ) H vlmi bogár, kkor rovr. b) H vlmi holló, kkor (z) fekete. w00 ) Minden négzet egenlõ oldlú. b) Minden 6-tl oszthtó szám oszthtó -ml is. w00 ) Mozib viszi. b) ármit tehet. w00 ) Igen. b) Igen. c) Nem. d) Igen. w006 ) 0 : 0, : 0, : 0. b) 0 : 0 és vlmelik cstnk : 0, ill. :. c) 0 : 0 és vlmelik cstnk : 0. w007 ) Nem igz. b) z állítás megfordítás igz: H négszög rlelogrmm, kkor vn árhuzmos oldlárj. c) Trézr.
GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK w008 w009 w00 w0 w0 w0 H eg háromszög derékszögû, kkor két oldlánk négzetösszege egenlõ hrmdik oldl négzetével. H eg háromszögben két oldl négzetösszege egenlõ hrmdik oldl négzetével, kkor háromszög derékszögû. tétel feltételeit teljesítõ háromszög oldli közül két rövidebbet befogóknk, hosszbbt átfogónk nevezzük. Mivel eg háromszögben 80º-os szögösszeg mitt csk eg 90º-os szög lehet, rádásul ez legngobb, ezért derékszögnek legngobb oldlll szemben kell lennie. ) : H eg négszög közéontosn szimmetrikus, kkor rlelogrmm. : H eg háromszög szbálos, kkor tengelesen szimmetrikus. : H eg háromszög köré írt kör közéontj z egik oldl felezõontj, kkor háromszög derékszögû. b) hmis, z összes többi igz. c) Eg háromszög ontosn kkor derékszögû, h köré írt kör közéontj z egik oldl felezõontj. Átfogó, Thlész-tétel. Két dolgot kell megfigelnünk. Egrészt z öt kosárbn összesen 9 drb virág vn. Másrészt Rózs kijelentése (kétszer nni iros, mint fehér) zt jelenti, hog virágok szám három többszöröse. zz oln kosárr gondolt, mit 9-bõl levonv háromml oszthtó számot d. Ilen csk eg vn, 9 virágot trtlmzó. zs Rózs z elsõ kosárr gondolt. Két megoldást muttunk, tessék továbbikt keresni! Mindent elismétel, mit csk hll. Máské: H hll vlmit, kkor zt elismétli. Tudjuk hog mint következtetés elsõ fele, vgis feltétel nem teljesül, z állítás nem lehet hzugság. Ez bekövetkezhet éldául kkor, h gáj süket. Mindent elismétel, mit csk hll Mjd eg év múlv. z idõténezõrõl nem állított semmit kereskedõ! Próbáljuk ki játékot, szerezzünk tsztltokt. tsztlt z lesz, hog ezzel módszerrel nem lehet egenlõvé tenni két kucot. Miért? Legen két kuc különbsége n. H kisebb kucból veszünk el drbot, kkor ngobb kucb teszünk -et. kucok különbsége n + -re változik. H ngobból veszünk el -et és kisebbikbe rkunk -et, kkor különbség n -re változik. Mi közös két esetben? : bármennit is veszünk el bármelik kucból, kucok különbsége három többszörösével változik. Mivel eredetileg volt, három többszöröseinek hozzádásávl vg elvételével nem lehet 0. Megjegzés: feldt megoldás során tláltunk eg változtln (invriáns) menniséget, ennek segítségével igzoltuk sejtést. z eljárást szokás invriáns módszernek is nevezni. Szedjük elemeire kérdést. Két szerelõje vn: mindent megtnuló diák és megtnulhttln mtemtik. ontsuk két következtetésre: elõször kézeljük el, milen z, mikor vn mindent megtnuló diák. Nilvánvló, hog õ mindent megtnul, tehát nincs megtnulhttln. H vn mindent megtnuló diák, kkor nincs megtnulhttln mtemtik (sem). Most fordítsuk meg dolgot. Induljunk ki bból, hog mtemtik megtnulhttln. kkor viszont nincs eg diák sem, ki meg tudná tnulni. H mtemtik megtnulhttln, kkor nincs mindent megtnuló diák. Összegezve: zt nem jelenthetjük ki, hog vn mindent megtnuló diák, vg hog mtemtik megtnulhttln. Ezt nem tudjuk eldönteni. sk nnit jelenthetünk ki biztosn, hog kettõ egszerre nem létezhet, mert kizárják egmást. Megjegzés: feldt lj ez m már klsszikusnk számító kérdés Rmond Smullntól: Mi történik, h eg megállíthttln ágúgoló eg megmozdíthttln oszlonk ütközik?
MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM w0 w0 w06 w07 Érdemes játszni játékot, és úg tsztltokt szerezni lefolásáról. H már kijátszottuk mgunkt, és nem tudjuk nerõ strtégiát, kkor gondolkodjunk! játékot körökre oszthtjuk, minden körben kezdõ z elsõ. ármenni szált is vesz el z elsõ eg-eg körben, második mindig tud úg elvenni, hog gufák szám 9-cel csökkenjen. Íg viszont kör után szál guf mrd, mit z elsõ szbálok szerint nem tud elvenni, tehát második Péter nert. Megjegzés: Ebben feldtbn is z invriáns módszert lklmztuk, invriáns menniség z eg körben elvett gufák szám. játékot osszuk körökre. Eg kör ltt mind két játékos egszer vesz el kucból. Figeljük meg, hog mivel, vg szált vehetnek el, z egik másik áltl elvett gufák számát mindig ki tudj egészíteni 8-r. Íg teljes kört tudnk lejátszni, zonbn szál mrd, mi kezdõ gõzelmét jelenti. Vlóbn, ebben játékbn kezdõnek vn nerõ strtégiáj. Mégedig következõ: elsõ léésben vegen el szált, mjd második áltl elvett gufákt egészítse ki 8-r. módszerrel kör után (miben mindig õ második) 00 ( 8 + ) szál guf mrd z sztlon, zz z utoljár léõ nert. Gbi tehát biztosn nerni fog, h kezd, és fent leírt módszerrel játszik. Megjegzés: Ebben feldtbn is z invriáns módszert lklmztuk, invriáns menniség z eg körben elvett gufák szám. Mivel vlkinek mindig vissz kell vinni lámát, célszerû gorsbb hölgekkel megoldtni ezt feldtot. Másrészt viszont két fiút érdemes egütt átküldeni, íg kkor csk eg hosszbb, 0 erces sét lesz (nincs külön erces is). kettõt csk úg kombinálhtjuk, h elõször hölgek mennek át ( erc), mjd Irm visszviszi fiúknk lámát ( erc). Után áthldnk z urk (0 erc) és Vilm viszi vissz lámát ( erc). Végül Irm és Vilm egütt átkelnek ( erc). Íg összesen 7 erc ltt átérnek túloldlr. Nem. Figeljünk számok ritásár! Három esetünk lehet: : H két áros számot töröl le z illetõ, kkor árost is ír vissz. : H két ártlnt, kkor is árost ír vissz. : H eg árost és eg ártlnt, kkor ártlnt ír vissz. Tekintsük át z eseteket, hogn változik áros és ártln számok szám! : áros; : ártln, + áros; : áros. Íg ártln számok szám csk árosávl változht (egész ontosn kettõvel csökken vg nem változik). -tõl 0-ig számok fele áros és ártln, zz drb ártln szám szereel táblán. hhoz, hog z utolsó szám 0 legen, el kell tûnnie ártln számoknk, zz számuknk 0-r kell csökkenni. zonbn h csk árosávl csökkenhet számuk, kkor soh nem érheti el -rõl nullát. Megjegzések: z invriáns módszert lklmztuk, invriáns menniség ártln számok drbszámánk ritás. tnár természetesen játék után úg módosítj feldtot, hog ki kitlálj, miért nem ér véget játék, nnk mégiscsk beír eg ötöst. Íg végül jószívû is lesz Sktulelv megoldások w08 ) Sktulák: hét nji. b) Sktulák: hón nji. w09 ) Sktulák: év nji. b) Sktulák: hetek. c) z ktuális év heteinek számától függõen: + 7 vg + 8. w00 ) 6; b) 7. 6
GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK w0 6 7. w0 w0 w0 Sktulák:,, 7, 9 végzõdések. Ebben feldtbn sktulák számát nem ismerjük. Kezdjük el kézeletben kettesével feltölteni sktulákt. z.-nél már elfogott 0 virgács, tehát feldt szerint nem foltthtjuk feltöltést.. virgácsot edig már meglévõ sktulák egikében kell elhelezni, vgis sktulák íg virgácsfjták szám. Ebbõl ersze zt is tudjuk, hog mindegik fjt virgácsból 6 drb vn krmusz zsákjábn. ) Eg játékos három nilt dob el eg fordulóbn. Osszuk fel táblát három egbevágó 0º-os körcikkre úg, hog vlmelik níl éen eg felosztó sugárr essen. Eg-eg ilen körcikkben két legtávolbbi ont körív két végontj. R Számoljuk ki távolságukt. három vékon szksz éen m szbálos háromszöget htároz meg. feldt máské megfoglmzv: djuk meg szbálos háromszög oldlát, h ismerjük köré írt kör sugrát. Tudjuk, hog R 6,7 cm, és hog súlont : ránbn osztj súlvonlt ( súlont itt egbeesik mgsságonttl). Elõször számoljuk ki mgsságot z oldlból Pitgorsz-tétel segítségével: m +, m. Ennek kéthrmd sugár, vgis: m R 6, 7. Ebbõl megkjuk -t:» 9 cm. H fennmrdó két níl eg körcikkbe esik, kkor távolságuk 9 cm-nél kisebb. H fennmrdó két níl külön-külön körcikkbe esik, kkor leglább z egik oln körcikkben vn, melik htároló sugrán vn z elsõnek kijelölt dobás. b) táblábn ekkor 6 8 níl vn. Tekintsük kör köré írhtó négzetet (melnek minden oldl érinti kört). Ezt négzetet osszuk fel 6 egbevágó négzetre. Eg négzeten belül legtávolbbi ontok szemközti csúcsok, távolságuk Pitgorsz-tétellel meghtározhtó: 8, 7», 8. 6 négzetben csk úg lehet 8 níl, h vg, vg - eg négzetbe esik. ármelik eset is következik be, lesz - níl, melek távolság biztosn kisebb, mint,9 cm. w0 ) z állítás biztosn teljesül: sktulák hét nji, megkérdezettek szám edig ennél több. b) Ez z állítás hmis. Kézeljük el éldául, hog sorbn egmás után megkérdezettek mindig következõ not mondják: hétfõ, kedd, szerd, csütörtök, éntek, szombt, vsárn, hétfõ, kedd, szerd. Nincs oln n, mit háromszor hllottunk voln. 7
MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM w06 c) Ez kijelentés is hmis. H ugnis mindenki ugnzt not mondj, kkor nem teljesül. d) Érdekes módon ez kijelentés zt kívánj tõlünk, hog fordítsuk meg sktulelvet. Nem zt kell igzolnunk, hog leglább menni elem kerül eg sktuláb, hnem hog legfeljebb menni kerülhet leglább menni sktuláb. Osszuk szét elõször lehetõ legegenletesebben z embereket sktulákbn. Ekkor vn három, melbe -- fõ került. leosztást csk úg tudjuk változttni, h vlhonnn elveszünk és zt máshov tesszük. z állítás cáfoltához kettes sktulák számát krjuk növelni, ezért vegünk el vlmelik egesbõl és tegük is egesbe. második után elfogtk z eges sktulák, mrdt kettõ üres. Tovább nem tudjuk csökkenteni legfeljebb eg fõt trtlmzó sktulák számát. Utolsó állításunk tehát igz. Megjegzés: Más úton hmrbb célhoz érünk d) kijelentésnél. Tételezzük fel z állítás ellenkezõjét, miszerint mimum eg oln n vn, mit legfeljebb eg fõ mond. Ehhez zonbn leglább 6 fõt kellett voln meginterjúvolnunk, íg ez nem teljesülhet. H állításunk ellenkezõje nem igz, kkor állításunknk kell igznk lennie. z elõbb bemuttott gondoltmenetet indirekt bizonításnk nevezzük. feldt megoldásához elõször zt kell észrevennünk, hog négzetszámok utolsó számjegei nem lehetnek kármilen számjegek. z utolsó számjeg csk 0,,,, 6, illetve 9 lehet:,, 9, 6,, 6 6, 7 9, 8 6, 9 8, 0 00 stb. feldt szerint két eset vn. H vn köztük öttel oszthtó, kkor nnk végzõdése 0 vg. H nincs köztük öttel oszthtó, kkor lehetséges végzõdésnek mrd,, 6, 9. Ezek között kell lennie kettõ zonosnk, hiszen öt számot dtunk meg. kettõ zonos különbsége edig 0-zel oszthtó. w07 Eg szám 7-tel osztv csk 0,,,,,, 6 mrdékot dht. Máské foglmzv 7k +0, 7k +, 7k +, 7k +, 7k +, 7k +, 7k + 6 lkú lehet (hol k egész szám). 7-tel vló oszthtóság szemontjából ezek négzetei csk 0,,, mrdékot dhtnk. Közülük zérus 7-tel oszthtó számot jelöl, többi három nem. Íg válsz: n. Ugnis négzetszám között vg vn 7-tel oszthtó (0 mrdék); vg h nincs (,, mrdék), kkor nég szám között vn kettõ, mi zonos mrdékot d. Ezek különbsége edig 0 mrdékot d, mi 7-tel oszthtó számot jelent. Sorb rendezés I. (különbözõ elemek) megoldások w08! 6. w09 6 6! 70. w00!. w0!. w0! 0. w0 6 6! 70. w0 0! 9 96 800. 8
GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK Sorb rendezés II. (több tíusb trtozó zonos elemek) megoldások! w0 0.!! 9! w06 6.!! 7! w07.!! 9! w08 60.!!! w09 0! 60.!!! w00 ) 7! 00;!! b) 0; c) 996800.!!!!!!!!!!! w0! 0.!! w0 ) Robink + 6 + filmje vn DVD-n. Ezeket sorb! 79 00 600-félekéen rendezheti. b) Elõrevéve vígjátékokt, zokt!-féleké helezheti el. Után sci-fiket 6!, mjd krimiket!-félekéen rendezheti sorb. Mivel különbözõ tíusú filmek sorrendjei nem függnek egmástól, ezért össze kell õket szoroznunk. z eredmén:! 6!! 60. c) b) részfeldtbn kott eredmént meg kell szoroznunk még nnivl, hánfélekéen három tíust sorb tudj rkni olcon. Mivel ez! lehetõség, íg ennél kérdésnél z eredmén:!! 6!! 07 60. d) Nincs kikötve, hog z zonos tíusú filmek egmás mellé kerülnek. H minden filmet megkülönböztetünk, kkor!-t kunk. Mivel közöttük, 6, illetve zonos vn, íg ezek! mguk közötti sorrendjeit (!, 6!,!) le kell számolnunk: 860.! 6!! w0 ) Sorbn z jtóhoz, z blkhoz, fl mellé, kndlló elé fõ ülhet:!. b) Ültessük le vlhog nég fõt kézeletben, mjd kérjük meg õket, hog üljenek át eggel jobbr. Íg feldtbn kérdezett sztl körüli sorrendjük nem változott. Mivel minden összeállításbn nég egform ültetés vn, z elõzõ megoldást el kell osztnunk -gel:! 6. c) Legen nég fõ,,, D. Szemeljük ki mgunknk -t, viszonítsuk hozzá többieket. -nk két szomszédj lehet: és ; vg és D; vg és D személében (ekkor negedik fõ már meghtározott). Ez összesen lehetõség. w0 ) z elsõ oszlob egfélekéen kerülhet egetlen -es. második oszloot már!-, hrmdikt!-féleké tölthetjük ki. Ezek egmástól függetlenek, tehát!!!. b) négfokú lécsõnél nem változik semmi gondoltmenetben:!!!! 88. c) z eddigiek lján n fokú lécsõnél z eredmén: n! (n )!!!!. Megjegzés: c) részfeldt eredménét késõbb teljes indukcióvl igzolhtjuk. 9
MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM w0 w06 w07 w08 Tegük fel, hog Ernõnek eddig n érméje vn, mind különbözõ. Ezeket n!-félekéen teheti sorb. H még szerez hozzá kettõt, kkor n + érméje lesz, mit (n + )!-félekéen tud mjd sorb rkni ( két új érmével egütt sem változik z feltétel, hog minden érme különbözõ). Felírhtunk eg egszerû egenletet: 0 n! (n + )! Mivel fktoriális szorztot jelent, íg mindkét oldlon meglévõ ténezõkkel tudunk egszerûsíteni: 0 (n +) (n + ). Mivel 0 csk formábn bonthtó fel két egmást követõ ozitív egész szám szorztár, n megoldás. Ernõnek tehát eddig összesen három érmét sikerült gûjtenie. Ténleg nemrég kezdhette. felsõ srokból z lsó srokb ht léésben jutht le kticbogár. ht léés során egszer fog ferdén elõre (), kétszer ferdén jobbr (b) és háromszor ferdén blr (c) léni. Minden lejutást eg, b, b, c, c, c tíusú sorozt fog jellemezni, hol betûk vlmilen sorrendje szereel. H ht különbözõ elem lenne, 6! lenne megoldás, viszont két b-t!, három c-t!-féleké lehet 6! sorb rkni. z eredmén tehát 60.!!! Megjegzés: feldt térbeli megfelelõje gkorlóéldák között tlálhtó rnbás-féle 07. feldtnk. ) Mivel z eges körcikkeket megkülönböztetjük, íg z eredmén n!. b) H csk sorrendre koncentrálunk, kkor z elforgtássl egmásb vihetõ színezések nem különböznek. (Tiikus körberkási feldt.) zonbn vásznt n-félekéen forgthtjuk, íg z eredmén: (n )!. c) zt kell észrevennünk, hog szomszédság nem változik, h körüljárási sorrendet megfordítjuk. Vgis b) részfeldtbn kott eredmént el kell osztnunk kettõvel:. ( n )! Megjegzések: feldt áltlánosítás kör lkú sztlk melletti nég székrõl szóló feldtnk (0. feldt). b) részt úg is meggondolhtjuk, hog z egik szín helét rögzítjük, mjd hhoz kéest színezzük többit: (n )!. Elsõnek zt kell meggondolnunk, hánfélekéen állíthtjuk elõ kilencet egesek és kettesek összegeként, mjd meg kell számolnunk, hog z eges eseteket hánféle különbözõ sorrendben írht- 7! juk fel. Végül z összes esetet össze kell dnunk. Például eges és kettes összegét -féle!! sorrendben állíthtjuk elõ. Vigünk rendszert felírásb táblázt segítségével. -esek szám 9 7 -esek szám 0 Sorrendjük formulávl 8! 7!! 7!!! 6!!!!!! Sorrendjük számszerûen 8 0 Hog feldtbn feltett kérdést megválszoljuk, össze kell dnunk z utolsó sor számit. kilencfokú lécsõt tehát -féleké mászhtjuk meg, h egesével vg kettesével lékedünk. 0
GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK w09 w00 Legen megvásárolni kívánt érmék szám n. Ekkor z n + drb érmét, mibõl n, illetve három egform, ( n + )! ( n+ ) ( n+ ) ( n+ ) 8 n!! sorrendben lehet egmás mellé tenni olcr. ( 8-t z üzleti rtnertõl tudjuk.) lkítsuk át z utolsó egenlõséget: (n +) (n +) (n + ) 0. H elvégezzük szorzást, hrmdfokú egenletet kunk, melet nem tudunk megoldni. zonbn most is csk ozitív egészek között keressük z n-t: bontsuk hát rímténezõk szorztár z 0-et, h bl oldl már úgis szorzt formábn vn: 0 7. három zárójel olvshtó úg is, hog három egmás utáni szám szorzt. Ki tudjuk úg osztni 0 rímténezõit, hog ilen számokt kjunk? Igen, ránézésre dódik: 9 n +, 8 n +, 7 n +. Készen vgunk, n 6. Ernõ tehát összesen 6 érmére lkudozott. Megjegzések: Mivel egmás utáni számok szorztáról vn szó, írhttuk voln (N + ) N (N ) lkbn is õket, ekkor N n +. zonbn összeszorozv íg is csk eg N N lkhoz jutunk, mi továbbr is hrmdfokú egenletre vezet. feldtot természetesen róbálkozássl is megoldhtjuk. Mivel három ténezõ közel vn egmáshoz, z eredménnek 0 köbgöke: 0» 7, 98 körül kell lennie. Vlóbn: közésõ számnk 8-t ktunk. ) feldtbn bár szereel leglább szó, nem érdemes áttérni z ellentett eseménre. Ugnis 8-nk fele, íg nem lenne kevesebb megvizsgálndó esetek szám. Elsõként vizsgáljuk meg, hánfélekéen áll elõ 8 három ozitív egész szám összegeként, hol z egik szám leglább. Készítsünk eg tábláztot. feltételek mellett lehetõségek: sirkeflt 6 Szlonn Gümölcs Sorrend nárson 8!!!! 8!!!! 8!!!! 8!!!! 8!!!! 8! 6!!! z utolsó sorbn összegûjtöttük, hog z eges esetekben szerelõ ételdrbkákt hánféle sorrendben tûzhetjük nársr. feldt megoldását z lsó sorbn levõ számok összege dj: 80 + 0 + 80 + 68 + 68 + 6 7. Kriszt tehát z áltl elkészíteni kívánt nárst 7-félekéen állíthtj össze. b) sirkefltokból: (80 + 0 + 80) + (68 + 68) + 6 6 96 drbot kell szeletelnie, mi 0 96 9 60 g 9,6 kg. Szlonnából szükséges menniség: 80 + 0 + 80 + 68 + 68 + 6 0 drb, mi 0 0 00 g, kg. Gümölcsbõl ontosn nni drbk kell, mint szlonnából, íg tömege is ugnz.
MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM w0 w0 ) Tudjuk, hog n különbözõ elemet n!-félekéen lehet sorb rendezni. Kezdjük el kiszámolgtni õket sorbn:!,!,! 6,!,! 0, 6! 70, 7! 00, 8! 0 0, Figeljük meg, hog n -tõl mindegik érték 0-r végzõdik. Ez természetes: mivel minden szorztbn vnnk áros számok, és leglább eg -ös, vlmint megjelenik 0. Íg {0; ; ; ; 6}, zz ½½. b) z elõzõ részfeldt lján már können ábrázoljuk csk ontokból álló függvént. függvén után minden egész helen 0 értéket vesz fel. ) z+++ +n összeget kell meghtároznunk. Ezt többféle trükkel is megtehetjük. Írjuk éldául z összeg lá még egszer ugnezen értékeket visszfelé, mjd djuk õket össze oszloonként: + + + + n n + n + n + + n+ + n+ + n+ n+ n+ n+. n ( n+ ) vonl ltt n-szer szereel n +. keresett összeg ennek fele:. Másik lehetõség, h rjzolunk (h már úgis lécsõrõl vn szó). Mindegik lécsõt kiegészíthetjük tégllá, h elforgtjuk és sját mg mellé illesztjük. tégll egik oldl n, másik n +, nekünk viszont csk fele kell. 7 6 6 7 Megjegzések: Késõbb rekurzív soroztként is hivtkozhtunk fenti összegre: z n. összeget megkjuk, h n-t dunk z (n ). összeghez. H tnuljuk mjd, hsználhtjuk teljes indukciót is megsejtett formul igzolásár. b) Eg n-fokú lécsõt n! (n )! (n )!!!!-félekéen tölthetünk ki számokkl. Írjuk át szorztot más lkb, soronként kifejtve fktoriálisokt: ( n ) ( n ) n ( n ) ( n ) ( n ). Eg ilen szorzt egetlen n, kettõ (n ), három (n ),, n drb -s, n drb -es és n drb -es ténezõt trtlmz. zz íg is írhtó: n (n ) (n ) n n n. zt, hog eg szám végén menni 0 vn, benne megtlálhtó és rímténezõ-árok szám dönti el. Ebben szorztbn ontosn öt drb árnk kell lennie. Mivel -bõl mindig több lesz, mint -bõl, hiszen minden második szám áros, ezért koncentráljunk z -re. Még inkább z kitevõjére: ontosn -nek kell lennie. Mivel kitevõk egesével csökkennek, íg z ötös elõtt még nég számnk kell állni, tehát n 9. Ellenõrizzük: 9 8 7 6 6 7 8 9.
GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK Ebben szorztbn ontosn drb -ös rímténezõ szereel. Ezekhez árosítv ketteseket, éen öt nullár fog végzõdni szám. (9-nél kevesebb nem lehet n, mert kkor z kitevõje is csökken.) c) z elõzõ elgondolás lján nem lehetséges, hiszen h eggel tovább léünk n 0-re, kkor 0 9 8 7 6 6 7 8 9 0 szorztbn vn 6 drb -ös rímténezõ z 6 -bn, de vn eg 0-ben is. zz nem tudunk ontosn 6 drb -öst trtlmzó szorztot készíteni. Kiválsztás és sorb rendezés I. (különbözõ elemek) megoldások w0!. ( )! 0 w0 w0 7 6 7!. ( 7 )! 0 w06 )!», 0 9 ; b) 0 9! ( )! 7 980. w07 w08 w09 9 8 9 7 6! ( 9 )! 0. 6 6 0! ( 6 7)! 07 07 00. 0 9 0! ( 0 8)! 0790 00. 0 9 8 0 7 6! ( 0 6)! 7 8 000. w060 7 6 7!. ( 7 )! 80 Kiválsztás és sorb rendezés II. (lehetnek zonos elemek is) megoldások w06. w06 9 9 9 9 79. w06 7 87 (h üresen is hght: 7 6 8). w06 6. w06 7 7 7 7 7 7 69 97. w066 8. w067 6.
MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM w068 w069 ) Pnn tisztséget szeretne kiosztni z osztálbn (ez nem könnû feldt). Vlmilen sorrendet felállít tisztségek között, mjd húznk: z elsõ tisztségre 8-ból, másodikr 7-bõl, hrmdikr 6-ból, végül -bõl válsztnk. Vgis: 8 7 8 6! ( 8 )! 9 00 lehetõségük vn, h vissztevés nélkül húznk. b) H visszteszik z éen kihúzott nevét, kkor õ újr indul következõ válsztáson is. Ekkor z eges húzások egmástól függetlenek. kérdésre: 8 8 8 8 8 6 66 lehetõség dódik (bár íg z is lehet, hog egetlen személ lesz titkár, gzdságis, kultúros és sortos). ) Minden tárcsát 7 állotb forgthtunk egmástól függetlenül, íg válsz: 7 7 7 7 7 0. b) Négjegû számot krunk elõállítni, vgis z elsõ jeg nem lehet zérus. rr mrd 6 lehetõség, többi számjeg viszont kármi lehet. z eredmén: 6 7 7 7 08. w070 ) H mindenki másféle fgit kért, kkor z elsõ 0-félébõl válsztott, következõ 9, ztán 8, 7, 6-félébõl válsztottk (kézeljük úg, hog minden fgiból csk eg gombóc volt). válsz: 0 9 0 8 7 6! ( 0 )! 860 80. w07 b) H leglább ketten zonost kértek, kkor kérhettek ketten, hármn, négen vg kár öten is egformát. Még felsorolni is sok eset (bár vnnk közöttük egszerûek). Próbáljuk meg ellenkezõleg! Számoljuk ki, menni eset ez összesen (bárki kérhet bármit), mjd vonjuk ki zt, mikor mindenki másfjt fgit kér (z elõzõ eset). Számszerûen: 0 0! 9 0. ( 0 )! Megjegzés: Sokszor érdemes z esetek összeszámolásánál áttérnünk z ellenkezõ, komlementer esemének összeszámolásár. feldt szövegében leglább, legfeljebb szvk árulkodnk áltlábn rról, hog íg könnebb lesz feldtot megoldni. ) H vn kettõ, kkor lehet három, nég, öt vg kár ht egform is (rádásul lehet többféle számjegbõl is több). Térjünk át komlementer eseménre, zz mikor minden számjeg különbözõ. Mivel 0-t nem írhtunk z elsõ számjeg helére, z összes esetek szám: 9 0 0 0 0 0 9 0 900 000. Ebbõl vonjuk le csk különbözõ jegeket trtlmzó htjegû számokt: 9 9 8 7 6 6 080 (elsõnek 0-t nem írhtunk, másodiknk viszont nem írhtjuk z elsõt, de 0-t igen). válsz kettõ különbsége: 76 90. b) htos számrendszerben ht számjeg vn: 0,,,,,. Ezek közül nem tudunk úg jegû számot készíteni, hog ne legen leglább eg jeg többször (már hétjegût sem tudnánk). Mivel minden szám ilen, számoljuk össze õket. Elsõ helen 0 nem állht, után viszont bármi: 6 8 98 80.
GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK w07 w07 w07 c) -es számrendszerben számjeg vn. Elsõ helre 0-t nem írhtunk, másodiknk edig nem írhtjuk z elsõt, de 0-t már igen. ztán felhsznált jegekkel csökken további lehetõségek szám: 0 9 8 7 609 80. Megjegzés: b) részfeldtbn milen elvet hsználunk? ) 6 betû kétszer, illetve 0 számjeg négszer lklmzv, egmástól függetlenül: 6 0 6 760 000. b) mi rendszámhoz régiben eg számot betûre cseréltek, zz eredménünket 0-zel osztnunk és 6-tl szoroznunk kell. Vgis,6-szer több rendszámot lehet (elvileg) z új rendszerben kidni. Megjegzés: Természetesen nem minden kombinációt engedéleznek htóságok, illetve vnnk etr rendszámok is (eg betû-öt szám éldául). Két megoldást is dunk. Elsõnek kedvezzünk formulák szerelmeseinek. I. megoldás. Tételezzük fel, hog Ernõ n drbot állítht ki érméi közül (0 < n ). Ezeket! -félekéen teheti sorb vitrinben. H eggel növekszik kiállíthtó érmék szám, ( n)!! kkor sorb rkásukr lehetõség lesz. dódik eg egszerû egenlet, hol!-sl ( ( n + )! ) egszerûsíthetünk, mjd mindkét oldlt megszorozhtjuk ( (n +))!-sl:!! ( n)! ( ( n+ )! ),, n n. II. megoldás. Ennél jóvl egszerûbb, h elkezdjük szorzást elvégezni: z elsõ helre -féle, másodikr -féle stb. érmét tehet Ernõ. kérdés: meddig menjünk el, hog -szeresére növekedjen szorzt? válsz: -ig,. Vgis Ernõ érmét állítht ki. Tegük fel elõször, hog drb betût (z bc elejérõl) és q drb számot (0-vl kezdve) krunk felhsználni egmástól függetlenül. három betû-három szám kombináció íg összesen q 8000 lehetõséget d. Ezt kétismeretlenes egenletet kell megoldnunk ozitív egészek hlmzán. ontsuk fel 8000-t rímténezõkre: 8000 6. kott szorztot állítsuk elõ két hrmdik htván szorztként. lehetõségek következõk: ( ) ( ) ( ) q ( ) ( ) ( ) Mivel q számjegeket jelöli, nem lehet 0-nél több. Ezért z elsõ lehetõség kiesik. Mrd (; 0), (; ), (; ), (0; ) és (0; ) (; q) árokr. Tehát öt megoldás is dódik távoli bolgó távoli kis országánk rendszámtáblák kidolgozásár. Megjegzések: értéke sem lehet 6-nál több, de ez most nem volt érdekes. z egenletet diofntoszi egenletnek nevezzük, h csk egész megoldásokt keresünk. H nem jut eszünkbe 8000 rímténezõkre bontás, kísérletezéssel is megtlálhtjuk megoldásokt.
MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM w07 w076 feldt szövege trtlmzz leglább kifejezést. Ebbõl zt sejtjük, hog érdemes áttérni komlementer eseménre. z ellentett esemén z, h kus nem végez el egetlen szbdrúgást sem. z összes eset edig, h bármelik szbdrúgást bármelik játékos rúghtj -bõl. Vgis kérdésre válsz: 0 6 0-félekéen végezhették el z öt szbdrúgást cst játékosi. Megjegzés: H nem térünk át komlementer eseménre, kkor is nekiállhtunk számításoknk. Vegük sorb, hán szbdot rúghtott kus! Menjünk visszfelé: h mind z ötöt õ rúgt, zt egfélekéen tehette meg. H néget, kkor eget más játékos rúgott: 0 0 lehetõség.! H hármt rúgott kus, kkor z összesen 0 000 lehetõség. H kettõt, kkor!!! mjdnem z elõzõt kjuk, 0 0 000. Végül h csk eget, kkor 0 0 000.!! Ezek összege ismét 6 0. H legfeljebb ötöt rúgott legendás ekkem, kkor rúghtott 0,,,, vg szögletet. Ennél jóvl egszerûbb komlementer esemént összeszámolni, bbn ugnis csk kettõ eset vn: h ht, vg hét szögletet dott be. Mind hetet egfélekéen rúghtt Dávid. Htot edig 7 9 6-félekéen (ne feledjük, hétbõl eget rúgott vlki más és ekkemen kívül még 9 mezõnjátékos vn ngálán). zz eseteink szám: 0 7 ( + 6) 9 999 96. Megjegzés: H mégis nekiállunk z eredeti esetek összeszámolásához, kkor 9 7 7 7 9 6! 9 7! 9 7! 9 7! + + + + + 9!!!!!!!! összeget kell meghtároznunk. w077 Most is érdemes áttérni z ellentett esemének összeszámolásár. (Eredetileg 0,,, vg csirkeflt lehet érdemesebb helettük, 6 vg 7-t tekinteni.) H nárson minden flt csirke, zt egfélekéen állíthtj össze Kriszt. H ht, kkor 7 lehetõsége vn. H öt, kkor 7! lehetõségek szám Ezek összegét kell levonnunk z összes lehetõségbõl, mi 8.!! most 7 (mivel nárs összes helére háromféle ételbõl kerülhet eg). Ezek lján z eredmén: 87 ( + + 8) 088. Megjegzés: Nem térve át komlementerre: 7 7 7 6! 7! 7! + + + +!!!!!! 088. Veges feldtok megoldások w078 w079 ) H tvsz vn, kkor mdrk csicseregnek. b) H mdrk csicseregnek, kkor tvsz vn. c) kkor és csk kkor vn tvsz, h mdrk csicseregnek. ) Nég oldl egenlõ; mind nég szöge 90º és mind nég oldl cm; mind nég oldl egenlõ hosszúságú és mind nég szöge 90º-os. b) Páros; oszthtó -gel; oszthtó -ml és -gel. 6
GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK w080 Sktulák: ercek. w08 7 8. w08 6! 70. w08 0! 68 800. w08 7! 0.!!! w08 6! 6! 90.!!! (!) w086 )!»,6 0 ;!! b)» 9, 96 06; c)» 9, 0. (!) 8 (!) 8 w087 ) 8 66; b) 7 8. w088 0 0. w089 0! 7 8 000. ( 0 6)! w090 0! 00. ( 0 )! w09 db:!!!! 880; db: 0; db: ; db:. ( )! ( )! ( )! ( )! Mindösszesen: 880 + 0 + +. 7
MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM 0.. GYÖKVONÁS Rcionális számok, irrcionális számok megoldások w09 ),6; b),; c),8 ; d) 0,8 ; e) 0, ; f), 87 ; g), 86 ; h) 0, 9767088. w09 9 97 ) b) c) 0 ; 0 000 ; 9 ; d) 76 7 e) f ) 99 ; 999 ; ; 77 6 g) h) i) 6. 990 ; 9 999 ; w09 Mindegik bizonítás indirekt úton történhet. w09 ) derékszögû háromszög átfogój, befogói és. b) derékszögû háromszög befogói és, átfogój. c) derékszögû háromszög átfogój, z egik befogój, másik. d) derékszögû háromszög átfogój, z egik befogój, másik. e) derékszögû háromszög befogói és, átfogój, ebbõl -t elveszünk. f) -ból elvesszük z ) részben szerkesztett -t. g) derékszögû háromszög befogói és, átfogój 7, ezt megfelezzük és elvesszük -bõl. h) derékszögû háromszög átfogój 8, z egik befogój, másik 60. i) derékszögû háromszög befogói és 7 (eg másik derékszögû háromszögbõl szerkeszthetõ, melnek befogói 8 és ), z átfogó 009. w096 ) Például:, ;, ;, b) Például:, ;, ;, c) Például:, ;, ;, w097 ), 6; 009-dik jeg 0. b) 6, ; 6 009-dik jeg 6. c) 6, ; 009-dik jeg 6. d) 0, ; 6 9 009-dik jeg. e), 78 ; 6 jeg ismétlõdik, mivel 009 6 +, keresett jeg. 7 f) 0, 7088976 ; 6 jeg ismétlõdik, mivel 009 6 + 9, keresett jeg. 7 w098 Rcionális éldául:,99;,99;,99. Irrcionális éldául:,99 ;,99 ;,99666 8
GYÖKVONÁS w099 ) Igz. b) Hmis, éldául ( + c) Igz. ) + ( ). 0 d) Igz, éldául. e) Hmis, éldául ( ) ( + ). f) Igz, lásd z elõzõ éldát. g) Igz. h) Hmis, minden rcionális szám recirok rcionális. i) Hmis. négzetgökvonás zonossági, lklmzásik megoldások w00 ) ³ b) ³ 0; c) 0; ; d) e) ÎR; f) {}; ; g) < vg ³ h) ³ i) ³ ; ; ; j) vg ; k) vg ³. w0 ) 6; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) ; k) 6; l) 7 ; m) 0; n) ; o) 9; ) ; q). w0 ) 0 > ; b) 77 < 78; c) d) 0 < ; e) < ; f ) g) < ; h) 7 < 0; i) w0 ) + 6; b) + ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) 8 + ; i) 0 ; j) 9 +. w0 ) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) 6; g) 0; h) ; i) 6; j) 89 8; k). 0 0; 0 0; >. 0 9
MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM w0 ) 7 > 7; b) 08 > 98; c) d) 99 > 9; e) 7 7; f ) g) ; h) 8 < ; i) j) 7 <. 00 > 86; 8 < 0; 7 > ; 0 w06 ) 0; b) 6 ; c) 0; d) ; e) ; f ) ; g) ; h) 7; i) 7; j) ; k) 0; l). 9 w07 ) ; b) ; c) ; d) 7; 6 e) f ) ; ; 7 0 g) ; h) ; i), >0; 0 j), > 0; k), > 0; l), > 0. w08 ) 8 ; b) 6 + ; c) + 7 ; d) ( 6 ) ; e) ( + ) ; f ) ( + 7 ); g) ( ) ; h) 7 + 6 ; i) 9 + 6 0; ( ) ( + ) ( + ) j), ³ 0; k), ³ 0, ¹ ; l),, > 0, ¹. w09 ) ; b) 6+ ; 7 7 c) ; 0 d) ; e) + ; f ) ; + 6 g) ; h), ³ 0, ¹ ; i), ³ 0, ¹ ; j), ³ 0, ¹. w0 ) ; b) ; c) 0 ; d) 6; e) ; f ) ; g) b; h) b; i) b. w nevezõt göktelenítve: ) 6 +, ezért < 6 6 b) ( ) 7 7 +, ezért <. 0 ( ) 6; ( )
GYÖKVONÁS w w w ) Göktelenítés után: behelettesítés elõtt végezzünk átlkításokt: ) b) 6 0 7 7 0 7 0 + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 9 00. + + + + ( + ) ( + ) + ( ) ( ) + + + 0 6. bl oldli tört nevezõjét göktelenítsük: ( ) ( ) ( ) ( ) 7 + 0 8 0 + 0 8 ( 0 + 8) ( 0 8) 00 8 6 8. b) nevezõ átlkításávl: ( ) ( ) ( ) ( ) + + + 9 ( ) ( ) + 6 + 6 + 6 6 6 jobb oldlon levõ nevezõt göktelenítés után emeljük négzetre: 9 + 0 6. 6 9 0 6. ( + ) + 6 9 9 ; w Mivel + 9 ( ) ½ ½, ezért: ) ½ ½, h ³ ; b) ½ ½ h. w6 ) háromszög oldli: ; b 7 6 ; c 9 egség. b) két befogó és 0 egség, z átfogó egség. c) Pitgorsz-tétel lján: honnn: c + + ( + ), c + +, c ( + ), c +. Mivel ÎN +, z átfogó hossz ozitív egész szám. ( ) ( )
MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM w7 w8 w9 ) Göktelenítsük törtek nevezõit: + + + + 0 + 6 + ; 0 8 ( 0 8 ) ( ) 0 6 +. + Nézzük két kifejezés különbségét: ( ) ( ) + 0 + 6 0 + 6 > 0. Mert mindkét zárójelben ozitív szám áll. Tehát >. b) Egszerûsítsünk: ; 0 6 0 6 ( 0 6 ) Tehát. c) Hozzunk létre gökök ltt teljes négzeteket: + ( ) + ( ) + + ( + ) ( + ). Tehát. Vegük észre gökök ltt teljes négzeteket: + + ½ + ½ ½ ½. ) Göktelenítsük nevezõket: +, és b +. ehelettesítés: + + + +. + b + + 9 9 b) Elõbb nevezõk göktelenítésével hozzuk egszerûbb lkr z eredeti kifejezést: ( + ) + ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + ( ). + ; + + + + + + + + + +. ( ) ( )
GYÖKVONÁS Mielõtt helettesítenénk, számítsuk ki két kritikus kifejezést: ; + +. Ezeket z eredméneket írjuk be ()-be: + + + + w0 ) törtek és gökök mitt ¹ 0, ¹ b, b > 0. b b b ( b ) b b) gök mitt ³ 0, tört mitt +6¹ 0. Helettesítsünk:. + 6 + 6 ( ) ( ) ( ) ( ), tehát ¹, ¹ 9. számlálót is lkítsuk szorzttá: + + ( + ) ( + ) ( + ) ( ). Visszhelettesítve z eredeti tört: c) gökök és törtek is értelmezhetõk, h > és ¹ 0. zárójelen belül hozzunk közös nevezõre: ( ) ( ) ( ) ( ) + +. ( ) ( ) ( ) b b ½½ b b ( b ) b b ( b) ½½ b, h > 0, ( b ) b ( b ) ( + b) + b ( b ) ( b ), h < 0. + + ( ) + +. + +.
MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM d) gökök és törtek értelmezéséhez z kell, hog ³ 0, b ³ 0és ¹ b teljesüljön. Elõbb számlálóbn hozzunk közös nevezõre, mjd róbáljunk egszerûsíteni. + b b + b b b + ( b) b ( b) + ( b) ( + b) b + b b b b + + b ( b) ( + b) b b b + b ( b) + b ( ) ( ) ( ) + b + b b + b + b + b b + b + + b. b w z utolsó szorztot írjuk át z ( + b) ( b) b zonosság lján: 009 0 00. Ezzel kifejezés: lklmzzuk újr z elõzõ módszert: + 006 + 007 + 008 00. + 006 + 007 + 008 00 + 006 + 007 009 + 006 008 007. w ) Elõbb gökök ltti kifejezéseket hozzuk egszerûbb lkr: Ezek után helettesítsünk: f () feltételek mitt ½½ és ½ ½, b) Kövessük z elõbbi módszert: ( + b ) b ezt behelettesítve: + 0 + 6 + 8 + 6 ( + ) ; + 0+ 6 8+ 6 ( ) 7 7. ( + ) ( ) + ½ ½ + +. ½½ ½½ + 8 f () +. b + b + b b + b ( + b) ( ) ( ) b b b b g () ½ ½ + b + b + b ( ) + b. ( b ) ( ) + b,
GYÖKVONÁS Ebbõl: c) Elõbb csk z ( )-et írjuk fel -vl: +, Göktelenítsük h() nevezõjét: b b b, h ³ b, + b + b + b g () b b + b, h b>. + b + b + b ( + ) + + ( ). ( ) + h () ( ) ( + ), ebbe z lkb helettesítsünk be: ( ) + ( ) + h () + ½ ½ ½ ½ +. Ebbõl: +,, + h ³ h () + +, h 0< <. w w Vizsgáljuk meg k-dik tgot: k + k+ z összeg tgjit átírv: ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + n n 9, ugnzok tgok ozitív és negtív elõjellel is megjelennek, lkítsuk át f ()-et számláló göktelenítésével: f () + 00 + k+ k k+ k. ( k+ ) k n 9, n 00. ( + 00) ( + ) + 00 + + 99. + 00 + + z f () függvén áros, mert f () f ( ). H ³ 0 függvén szigorún monoton csökken, mimum vn, h 0, ekkor f (0)9. Mivel f () > 0, lehetséges egész értékek:,,,,, 6, 7, 8 (ezeket két helen veszi fel) és 9. Tehát összesen 8 +7helen vesz fel egész értéket.
MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM Számok n-edik göke, gökvonás zonossági megoldások w ) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) 0; h) 7; i) 7; j) 0; k) 00; l) ; m) ; n) ; o) ; ) 8; q) r) s) ; ; 0 t) 0, ; ; u) 0,; v) w) ;. w6 ) ; b) ½½; c) b; d) ; e) ½½; f) ; g) 7 ; h) ; i) ; j) ; k) ½ ½; l) ½ ½; m) ; n) 7 ; o) ½½. w7 ) ; b) 6; c) ; d) ; e) b; f) g) ; h) ; ; i) ; j). 7 w8 ) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h). w9 ) 8 < 89; b) < 6; c) 77 > 7; d) e) 0 < 0; f ) 9 < 68. w0 ) 0; b) 0; c) 0; d) e) ; f ) ; g) 6 ; h) w ) 7 ; b) 7 7 ; c) ; d) 7 ; 6 e) ³ 0, 8 ; f) bîr, b 7 ; g) ÎR, 6 ; h) ³ 0, 0 6 ; 7 i) ÎR, 8; j) ³ 0, ; k) > 0, ; l) > 0, ; m) > 0,. 0 > 00; ; 6. w ) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f ) 6 6 ; g) ; h) ; 7 i). 6 w ) ; b) ; c) ; d) 0; e) z; 9 f ) bc ; g) bc. 6 6
GYÖKVONÁS w Egrészt. lkítsunk ki közös gökkitevõket: 0 0 0 0 6,,. Elég összehsonlítni gök ltti htvánokt: 6 < 8 < 9 0. Tehát növekvõ sorrendben: < <. w ) Igz. b) Hmis, mert c) Hmis, mert. d) Hmis, mert w6 w7 bl oldlon: + + + + ( ) + + ( ) + ½½ + ½ ½. ) +½½+½ ½ +, h 0. b) +½½+½ ½, h ³. c) +½½+½ ½, h 0. ) Értelmezés: ¹±. gökjel lá bevitel után hsználjuk fel, hog + + + + Egszerûbb lkbn: b) Értelmezés: > 0 és + > 0. zárójelben lévõ kifejezést hozzuk közös nevezõre: ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ). ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) z eredeti kifejezés: ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) c) Értelmezés: ³ 0; ³ 0; ¹. Elsõ léésben lkítsuk zárójelben lévõ törtet: + ( + ) ( + ) + + + + ( ) z elsõ tört is egszerûsíthetõ: z eredetibe behelettesítve: + + + +. + + ( ) ( + ) + + ( ). + + ( ) + +. ( ). ( ) ( ). + ( ). ( + ) ( + ) ( ) + +. + +. +. 7
MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM d) Értelmezés: ³ 0; b ³ 0; ³ 0; de és egszerre nem lehet 0. zárójelben lévõ törtet lkítsuk: b + + b Ezt beírv, és elvégezve négzetre emelést: b + b + b + b + + ( ) ( ) ( ) b + b + b + b. b +. w8 ) gök ltti kifejezéseket lkítsuk teljes négzetté: 7 + 7 + +. lklmzzuk z elõzõ módszert: + + +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) Legen + b c b c ozitív egész szám. + b c + b c b c, + + b c + b c, feltétel mitt ( + ) + b c + b c + b c, ( + ) +. feltétel mitt Eredménünk szerint áros szám. Legen k, ÎN +. ( + ) (k + ) 6k + 6k + +, mibõl: 8k + 8k 8k (k + ). Mivel k és k + szomszédos számok, szorztuk áros, ezek szerint 6½. Tehát z szám 6-tl osztv -et d mrdékul. Veges feldtok megoldások w9 ) Igz. b) Igz. c) Igz. d) Hmis, z -nél kisebb számok esetén nem. e) Hmis, -nél kisebb számok esetén nem. f) Igz. 8 g) Hmis: 8 8 < 9. h) Igz. 8
GYÖKVONÁS w0 ) ÎR; b) b ³ 0; c) c ÎR; d) d 0; e) ³ 0. w 0 ) 0 > ; 6 b) 6 < ; 6 c) 9 6 9. w ) ; b) 6; c) + ; d) 6 9; e) ; f) ; g) 60 ; h) ; i) 6 ; w ) b) 00 c) 6 d) 6 ; e) f ) 0 ; ; 6 ; g) b h) 6 ;. b 0 ; 6 ; w ) + ; b) c) 6 +. 0 w Mivel ( 7 + ), behelettesítve 7 0. 7 w6 H befektetést b-vel, hsznot h-vl, z ránossági tenezõt edig q-vl jelöljük: h q b. ) z 00 q 000 000 egenletbõl: q. b) h 000 000» 60 Ft. c) z 00 b egenletbõl: b 00 7 000 000 Ft. l t g w7 ) fonáling lengésideje -szeresére növekszik. t l g l t g b) fonáling lengésideje -szorosár csökken. t l g l t g c) H t t, kkor, mibõl l vgis l 9l. t l l, g Tehát fonáling hosszát 9-szeresére kell növelnünk, h lengésidejét meg krjuk háromszorozni. 9
MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM w8 ) H trtlmzz z egész számokt, kifejezés értéke, hb 0. b) Legen + b, c+ d, hol, b, c, d Î Z. Ekkor: c) megdott szám eleme H-nk, mert: + ( + c) + ( b+ d) ÎH, ( c + bd) + ( d + bc) ÎH. 7 0 0 + ( ) ½ ½ + ( ) ÎH. d) szám recirok: b b. + b b b b kkor kunk egész számokt, h törtek nevezõinek értéke vg. Ennek megfelelõ és b értékek, éldául, b vg 7, b, természetesen ezek ellentettjei is megoldások: ; 7. + 7 0
MÁSODFOKÚ EGYENLET 0.. MÁSODFOKÚ EGYENLET másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 ) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 60; f) ( 0) 9; g) (,) 0,; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9. w0 ) b) c) ( ) + Zérushele nincs. Minimum értéke:, hele:. ( +) Zérushel:,. Minimum értéke:, hele:. ( ) 9 9 Zérushel:,. Minimum értéke: 9, hele:. d) e) f ) ( +) ( ) 6 0 0 Zérushel: 6,. Minimum értéke:, hele:. Zérushel:. Minimum értéke: 0, hele:. 9 ( 6) 9 Zérushel:, 9. Minimum értéke: 9, hele: 6. g) h) i) ( +)+ Zérushele nincs. Minimum értéke:, hele:. ( ) 8 8 Zérushel:,. Minimum értéke: 8, hele:. ( ) + Zérushel:,. Mimum értéke:, hele:.
MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM j) k) l) 7 8 Zérushel:., Minimum értéke:, 8 7 hele:. w ) (), zérushelek: és. b) b() ( + ) +, nincs zérushel. c) c() ( ), zérushel:. d) d() ( + ), zérushelek: és. e) e() ( ), zérushelek: és. f) f() ( + ), zérushelek: 0 és. g) g() ( ), zérushelek: 0 és. h) h() ( + ) + 9, zérushelek: és 7. w ) f () ( + ) + c 9. Nincs zérushel, h c > 9. Eg zérushel vn, h c 9. Két zérushel vn, h c < 9. b) g() ( ) + c 6. Nincs zérushel, h c > 6. Eg zérushel vn, h c 6. Két zérushel vn, h c < 6. c) h() c. + Nincs zérushel, h c > Eg zérushel vn, h c Két zérushel vn, h c <... w ) + ( 7) 9 + minden vlós helen ozitív, h > 9. b) 6 + 9 minden vlós helen ozitív, h > 9 +. c) 8 + 6 minden vlós helen ozitív, h > 6 +. w ) f () ( ) + +. Tehát b ; c. b) f () ( ) 0 +. Tehát b 0; c. c) f () ( + ) + 6 + 6. Tehát b 6; c 6. ( +) + Zérushel: 7,. Mimum értéke:, hele:. ( +) + Zérushel:,. Mimum értéke:, hele:.
MÁSODFOKÚ EGYENLET w f () ( ), függvén grfikonj z ábrán láthtó. ) z dott intervllumon eg zérus helvn: 0. b) z dott intervllumon mimum tlálhtó z helen, értéke:. Minimum z helen vn, értéke:. c) függvén szigorún monoton csökken, h Î[ ; ], növekszik, h Î[; ]. 0 f 0 0 0 w6 ) b + 8 0, ebbõl b. b b) f () 8 Nincs zérushel, h 8 > 0, < b <. b b +. 8 8 c) f () b 8 tehát b esetén lesz z helen minimum, ekkor b b +. 8, f () ( ) + 6, minimum érték 6 és nem 0. Tehát nincs feltételnek megfelelõ b. másodfokú egenlet megoldókélete megoldások w7 ), ; b) ; c) ;,, d) 0, e) 0, 0; f), ; ; g), ; h) nincs megoldás; i) 0, 0; j) 7, 7; k), ; l),. w8 ) 0, ; b) 0, 7; c) 0, ; d) 0, e) 0, f) 0, ; ; ; g) 0, 9 7 h) 0, 7 ;. w9 ), ; b), 6; c), 6; d), 9; e) nincs megoldás; f), 9; g), 9; h), ; i) 6, 8. w60 ), ; b), ; c), ; d), 7; e), ; f) ; g), h), ; i), ; ; 7 j) ; k),, ; l) nincs megoldás;
MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM m) 7 n) o) ;, ;, ; 9, 7 ) 7; q) r) 7, ;,. w6 ), ; b), ; c), ; d), ; e) f) 8;, ;, g), ; h) i), ;, 8 ; j), k), ; l), ; ; m), ; n), ; o) ; ),. w6 ) ¹ és ¹, ÎR. eszorzás és rendezés után: 0 0. Nincs megoldás. b) ¹ és ¹, ÎR. eszorzás és rendezés után: 6 + 8 0. z egenlet megoldás z dott számhlmzon:. c) ¹ és ¹, ÎR. eszorzás és rendezés után: 6 + + 0. Nincs megoldás. d) ¹ és ¹, ÎR. eszorzás és rendezés után: 0 0. z egenlet megoldás z dott számhlmzon: és. e) ¹ ±, ÎR. Átlkítás után: 6 ( + ) ( ). Rendezve: + 7 6 0, mibõl: és. z egenlet megoldás z dott számhlmzon:. f) ¹ ±, ÎR +. Átlkítás után: + + 7 ( + ) ( ) + 0. Rendezve: 6 7 0, mibõl: és. 6 z egenletnek z dott számhlmzon nincs megoldás. g) b ¹ ±, b ÎQ. Átlkítás után: 6 + b b b + 0 ( b+ ) ( b ) ( b + ). ( b ) Rendezve: 7b b 0, mibõl: b és b. 7 z egenlet megoldás z dott számhlmzon: b. 7
MÁSODFOKÚ EGYENLET h) d ¹ 0, d ¹ ±, d ÎN. Átlkítás után: d d ( d + ) ( d + ) ( d ) d ( d ). Rendezve: d d + 6 0, mibõl: d és d. z egenlet megoldás z dott számhlmzon: d. i) e ¹, e ¹, e ÎN. Átlkítás után: e ( + e) ( ) + e e e + Rendezve: e 0e + 96 0, mibõl: e és e 8. z egenletnek mindkét göke megoldás z dott számhlmzon. j) ¹, ¹, ÎZ. Átlkítás után: 0. + ( ) ( + ) Rendezve: 6 0, mibõl: és. z egenlet megoldás z dott számhlmzon:. w6 z egenlet diszkrimináns: 6 0c. ) Két különbözõ vlós megoldás vn, h 6 0c > 0, vgis c <. b) Eg vlós megoldás vn, h 6 0c 0, vgis c. c) Nincs vlós megoldás, h 6 0c < 0, vgis c >. w6 ) ( ) + 6 ( ) 0, h 9 9. b) z egenlet diszkrimináns: 6 +. Eg vlós megoldás vn: I. H z egenlet elsõfokú: 0, ekkor 6. II. H ¹ 0, D 6 + 0, vgis 9. Ebben z esetben. c) Két különbözõ vlós megoldás vn, h ¹ 0 és 6 + > 0, vgis h > 9, de ¹ 0. d) Nincs vlós megoldás, h 6 + < 0, vgis h < 9. w6 z egenlet diszkrimináns (m + ) m (m ) 6m +. ) Eg vlós megoldás vn: I. H z egenlet elsõfokú, zz m 0, ekkor. II. H m ¹ 0, diszkrimináns 6m + 0, mibõl m. 6 9 z egenlet: 0, megoldás 7. 6 6 6 b) Két megoldás vn, h 6m + > 0, zz m >, de m ¹ 0. 6 c) Nincs megoldás, h 6m + < 0, zz m <. 6 0.
MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM w66 w67 Vizsgáljuk meg z egenlet diszkriminánsát: D (k + ) 0 (k + 6k + ) 6. Eredménünk zt muttj, hog können megkhtjuk z egenlet gökeit: ( k + ) + 0k + 0 ( k + ) 0k + k + és k +. 0 0 0 0 gökök különbsége:, vlóbn független k-tól. H vn vlós gök, kkor z egenlet diszkrimináns nemnegtív: D ( b + c) ( + b + c ) ³ 0. Átlkítv: [( b + c) ( + b + c )] 8 ( + b + c + b c + bc). Teljes négzeteket kilkítv: D [( + b) + ( c) + (b + c) ], ez kifejezés soh nem ozitív, csk kkor vn megoldás, h 0-vl egenlõ. Ekkor + b 0, c 0 és b + c 0. Mindhárom feltétel teljesül, h c b. Ekkor c helére -t, és b helére ( )-t helettesítve és -ml osztv zt z egenletet kjuk, hog + + 0, hol ¹ 0. z egenlet egetlen megoldás. gökténezõs lk. Gökök és egütthtók közötti összefüggés megoldások w68 ) ( ) ( + ); b) ( + ) ( + ); c) ( ) ( + 7); d) ( + 0) ( + 6); e) ( 8) ; f) nincs megfelelõ szorzt; g) ( + ) ( ); h) ( + 7) ; i) ( + ) ( + ); j) ( ) ( + ); k) ( ) ( + 6); l) ( ) ( + ). w69 ) 7 + 0; b) 0; c) + 9 + 8 0; d) + 0; e) 6 0; f) + 0; g) + 0; h) 6 7 + 0; i) + 0; j) 0 + 9 + 0; k) 0 + 9 8 0; l) 7 9 0. w70 Például: ) + 0; b) + 0; c) + 0; d) + 7 + 0; e) + 0; f) 0; g) + 0; h) + 0. + 7+ ( + ) ( + ) w7 ) + b) + 8 ( + ) ( ) ; + ( + ) ( ) c) d) ; + + ( + ) ( + ) + 0 ( + ) ( ) + ; 7 ( + ) ( ) + 0 ( + ) ( ) +. 8 + ( ) ( ) 6
MÁSODFOKÚ EGYENLET w7 ) + ; b) ; c) + + ; d) 9 + ( + ) ; e) + ( + ), z egenlet: 0., w7 w7 w7 f) H és, kkor: + + és ( + )+ z egenlet: + + 7 0. ) z + kifejezést átlkítv: ( + ), mjd ebbe helettesítve Vietéformulákkl kott eredméneket ( + 7; ) kjuk, hog: + 8. Vegük észre, hog + ( + ). Ebbe helettesítsük Viéte-formulákkl kott eredméneket ( + 7; ). Íg kjuk, hog: +. b) Hsonlón z ) feldthoz, kjuk, hog: + és + c) Hsonlón z ) feldthoz, kjuk, hog: + és + z + ( + ) átlkítást elvégezve, z egenletbe helettesítjük Viéteformulákkl kott eredméneket ( + ; ), íg kjuk, hog: ( ) ( ), mibõl ±. Oldjuk meg megfelelõ egenleteket rméteresen, és lkítsuk szorzttá: ( + ) ( ) ) + + ( ) ( ) ; b) c) d) + + + ( ) 6 ( ) ( + ) + ( + ) + ( ) ( ) ; ( ) ( + ) + ( ) ( + ) + ; 6 + ( + ) + 0 ( + ) ( + ) + 6 + ( 9) 6 ( + ) ( ).. 9. 7. 7
MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM w76 gökök és egütthtók közötti összefüggések lján: + ( + ) q, + ( + ) ( + ) ( + ) ( ) q ( ) + q. keresett egenlet egütthtói szintén felírhtók gökökkel, ezért megfelelõ egenlet: [( q) + ( q )] + ( q) ( q ) 0. Felbontv zárójeleket: + ( q + q) + q 6 q 0. Másodfokúr visszvezethetõ mgsbb fokszámú egenletek, másodfokú egenletrendszerek megoldások w77 ) :, ; vg :,. b) 9:, ; vg :,. c) :, ; vg : nincs megoldás. d) 9:, ; vg : nincs megoldás. e) :, ; vg : nincs megoldás. f) vg 7: nincs megoldás. g) vg. :, ; 6 :, h) ; vg : nincs megoldás. :, i) : ; vg 8:. j) 7: ; vg :. k) : ; vg 8:. l) : ; vg :. w78 ), ; 7 b) 8, ;, ;, ; c), ; 8 7 d), ;, ;, 9 ; 0 0 e), ;, ; f), ;, ; g), ; 6, h), 8;, ; ; 8 i), ;, ; j) ;,., 8
MÁSODFOKÚ EGYENLET w79 ) H ( ) z egenlet: + 0. Megoldási: és. Visszhelettesítve: ( ), mibõl, ; ( ), mibõl 0,. b) b ( + ) helettesítéssel: b 7b 8 0, minek megoldási: b 9, b. Visszhelettesítve: ( + ) 9, honnn 0, 6; ( + ), minek nincs megoldás. c) c ( + ) helettesítéssel: c c 8 0, minek megoldási: c 6, c. Visszhelettesítve: ( + ) 6, mibõl, 9; ( + ), minek nincs megoldás. d) d ( ) helettesítéssel: 6d d + 0, minek megoldási: d d Visszhelettesítve: ( ) 7 mibõl,, ;, 9. ( ) 0 8 mibõl 9,,. w80 ) z + 6 helettesítéssel: ( + ) 77 0, minek megoldási: 7,. Visszhelettesítve: + 6 7, mibõl, 7; + 6, minek nincs megoldás. b) b helettesítéssel: b (b ) 0 0, minek megoldási: b, b. Visszhelettesítve:, mibõl, ;, mibõl +,. c) z egenlet átlkíthtó: ( ) ( ) + 0. c helettesítéssel: c c + 0, minek megoldási: c 8, c. Visszhelettesítve: 8, mibõl, ;, mibõl,. w8 ) z elsõ egenletbe helettesítve másodikt: 8 +, ebbõl -t kifejezve és behelettesítve második egenletbe: + +0,ebbõl, 8;,. b) z elsõ egenlethez hozzádv második -szeresét: 7, ebbõl:, ;, ;, ;,. c) z elsõbõl helettesítve másodikb, beszorzás után: 7 + 0 0, ebbõl, 0;,. d) másodikból helettesítve z elsõbe, beszorzás után: + 0,ebbõl:, 6,. e) z elsõ egenletbõl másodikb helettesítve z 0 + 6 0 egenlet dódik, ebbõl, ;, ;, ;,. f) z elsõ egenletbõl másodikb helettesítve z 0 egenlet dódik, ebbõl, ;,. g) Összedv z egenleteket: + 60, megoldv és visszhelettesítve:, ;, ; 6, ; 6,. h) két egenlet bl oldlát szorzttá lkítv és elosztv z elsõt másodikkl: ezt visszhelettesítve:, ;,., ; 9
MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM w8 w8 ) Mivel z 0 nem megoldás, eloszthtjuk mindkét oldlt -tel: 9 0 + + +. Helettesítsük z -et, ekkor + +. z egenlet: ( ) 9 + 0. megoldási:., Visszhelettesítve: + megoldási:,. ; +. megoldás:. b) Mivel z 0 nem megoldás, eloszthtjuk mindkét oldlt -tel: 6 8 0 + +. Helettesítsük z -et, ekkor + +. z egenlet: 6 ( 0 ) 8 0. megoldási:., Visszhelettesítve: 0 + megoldási:,. ; +. megoldási:,. ) H megvizsgáljuk z egenletet, kiderül, hog z megoldás, ennek megfelelõen lkítsuk: ( ) ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0. szorzt másik ténezõje is lehet 0: 0. megoldási:,. b) z egenlet egik megoldás z. lkítsuk szorzttá: ( + ) ( + ) 6 ( + ) 0, ( + ) ( 6) 0. H másik ténezõ 0: 6 0, minek megoldási:,. c) z egenlet egik megoldás z. lkítsuk szorzttá: ( ) + 9 ( ) + 0 ( ) 0, ( ) ( + 9+ 0) 0. második ténezõbõl: + 9 + 0 0, minek megoldási:,. Másodfokú egenlõtlenségek megoldások w8 ) < 7 vg > 7; b) 0 0; c) 6 vg ³ 6; d) 0 < < 0; e) ÎR; f) nincs megoldás; g) ; h) 7 vg ³ 7; i) vg 0 ; j) 8 < < 0; k) < 0 vg > ; l) 0. 0
MÁSODFOKÚ EGYENLET w8 ) b) c) 0 0 b c 0 7 < < ; vg ; < < 6; d) e) f ) d e f 0 0 nincs megoldás; < 6 vg < ; ÎR; g) h) i) g h i ; < < ; ÎR; j) k) l) j k l 0, 0, 0, 0,,0 0, 0, 0, 0, 0, 0, < vg < ; nincs megoldás. 7 ; w86 ) {0; ; ; ; ; }; b) { ; ; ; ; ; 0; ; ; ; }; c) { ; ; ; ; ; 0; ; ; }; d) minden egész szám megoldás; e) { 7; 6; ; ; ; ; ; 0; ; ; ; ; }; f) { ; ; ; ; 0; ; ; }; g) { 9; 8; 7; 6; ; ; ; ; ; 0}; h) { 6; ; ; ; ; ; 0; ; }; i) { ; ; 0; 9; 8; 7; 6; ; ; ; ; ; 0; ; ; ; ; ; 6; 7; 8}.
MEGOLDÁSOK 0. ÉVFOLYM w87 ) z kiemelése utáni másodfokú kifejezést lkítsuk szorzttá: + ( + ) ( ) 0. megoldás: vg 0. + 0 0 0 0 b) z kiemelése utáni másodfokú kifejezést lkítsuk szorzttá: 7 + ( ) ( + ) > 0. megoldás: < vg 0 < < > 0 + > 0 >0. 0 c) 8 vg ³, z elsõnek nincs megoldás, másodikból: vg. d) < < 9, mibõl < < vg < <. w88 ) nevezõ: + 7 > 0. b) + + 8 ( + ) ( 6 ) > 0. megoldás: <. megoldás: < vg < < 6. 0 +7 +<0 +7>0 0 + +8 6 >0 > 0 + > 0 0 0 6 0 7 0 0 0 0 + 0 0 6 ( + ) ( ) 7+ 7+ c) ³ 0, d) 0. ( ) ( + ) + 7 8 ( ) ( + 9) ezért: vg < < vg. megoldás: 9 < <. + > 0 + 0 0 > 0 0 0 7 + > 0 +9> 0 9 0 > 0 0 7 + 0 6 0 +7 8
MÁSODFOKÚ EGYENLET 8+ ( ) ( ) e) < 0. f ) ( + ) ( ) 7 ( ) ( + ) 0. + 6 ( + ) ( ) megoldás: < < vg < <. megoldás: < vg <. 8 + +>0 > 0 +> 0 > 0 > 0 + 0 > 0 0 0 0 + 6 0 7 6 ( ) ( + ) + ( + ) ( ) g) 0. h) ³ 0. ( + ) ( 6) + 0 ( ) ( 0) megoldás: < 6. megoldás: vg < < 0. 6 + > 0 6 > 0 0 + 0 0> 0 > 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 + 0 + 0 ( ) ( ) w89 ) > 0, ¹. Meghtározzuk, hog feldtbn szerelõ ( ), ( ) és ( ) kifejezések mel értékekre ozitívk, illetve negtívk. z ábr szerint megoldás: < vg < <. 0 > 0 > 0 > 0 b) ³ ¹, ¹., Redukáljuk nullár z egenlõtlenséget, mjd közös nevezõre hoztl és összevonás után kjuk: 0. ( ) ( ) kifejezések elõjelvizsgált után megoldás: <. ³ 0 > 0 >0 0