HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MAEMAIKAVERSENY MEZŐKÖVESD Sóeli feldto és megoldáso ostál ) Oldju meg vlós sámhármso hlmán öveteő egenletet! ( pont) A egenlet l oldlát átlíthtju öveteőéppen: A l oldl egi tgj sem lehet negtív eért egenlőség cs n eseten teljesül h mindegi tg ( pont) ; ; Ee ielégíti egenletet ( pont) ) Két termésetes sám négeténe ülönsége Htárou meg össes ilen termésetes sámpárt! (8 pont) Legen ét termésetes sám és Eor e t jelenti hog + és poitív ostói -n A poitív ostói: ; ; ; ; és Mivel termésetes sámo esetén eért öveteő eseteet ell megvisgálni: ( pont) 8 8 ( pont) rtlé feldt: Oldju meg vlós sámo hlmán öveteő egenletet!
) ; E göe egenletne ) ; Eől is = övetei de e itt nem tes eleget iinduló feltételne A egenlet egetlen göe = ostál ) Derésögű háromsögen derésög csúcsáól induló első sögfeleő átfogót eg és eg cm hossúságú ssr ontj Meor háromsöge írhtó ör sugr? ( pont) A sögfeleőtétel serint íg és Pitgors tétele s háromsög erületéne fele háromsög területe serint eől cm ( pont) A háromsög oldli: cm; 8 cm; c cm ( pont) etsőleges háromsögen r s hol r háromsöge írhtó ör sugr 8 8 Itt cm s cm íg r cm s ( pont) ( pont) ) A ABCD négsögen AB párhumos CD-vel és CD < AB A átló metséspontj legen O Meor négsög területe h BCO háromsög területe cm CDO háromsögé pedig cm? (8 pont) BCO cm ; CDO cm A BCO és CDO háromsöge C-ől induló mgsság öös eért háromsöge területéne rán egenlő BO és DO sso hossán ránávl: BO DO BCO CDO ( pont) Mivel AB párhumos CD-vel eért ár egformán jelölt sögei egenlő ABO és CDO
háromsöge hsonló és AB CD BO DO A négsög (trpé) területe : cm ABCD rtlé feldt: A ét háromsög területéne rán enne ránn négete eért ABO cm ( pont) A ADO és CDO háromsöge D-ől induló mgsság öös eért területü rán egenlő AO és CO sso ránávl: ADO CDO Mutssu meg hog AO CO BO DO íg cm ADO ( pont) ( pont) egenlet vlós göeine ülönsége nem függ vlós prméter értéétől! Fejeü i egenlet vlós göeit prméter függvénéen megoldó éplet segítségével: 8 A egenletne minden esetén ét ülönöő vlós göe vn mert D = A ét gö ülönsége: e független -tól 8 8 ostál ) Eg egenlő sárú háromsög lpján ét végpontj A(;) és B(8;) A C csúcs első oordinátáj Meorá háromsög sögei? ( pont) Legen C pont másodi oordinátáj A feltétel serint háromsög egenlő sárú és lpj AB ss eért CA CB CA CB 8; CA ; CB
( pont) Hsnálju fel ét vetor hossán egenlőségét: A C pont másodi oordinátáj tehát = A háromsög sögeine isámításáho dju meg CA 8; CB ;8 CACB CA és CB vetoro sláris sortát: ét vetor merőleges egmásr ( pont) A C csúcsnál lévő sög -os és mivel háromsög egenlő sárú eért A és B csúcsnál lévő söge -os ( pont) ) Oldju meg vlós sámo hlmán öveteő egenlőtlenséget! sin tg cos ctg sin tg cos ctg Elősör meghtárou egenlőtlenség értelmeési trtománát sin tg cos cos ctg sin cos sin Z (8 pont) ( pont)
cos cos sin cos cos sin cos ctg cos sin sin sin A utolsó egenlőtlenség teljesül h íg egenlőtlenség értelmeési trtománá ivételével minden vlós sám eletrtoi ( Z) ( pont) sin tg cos ctg sin sin cos cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin cos sin cos cos sin ( pont) A megdott értelmeési trtománon sin cos sin cos és sin és cos függvén értééslete mitt cos sin E t jelenti hog minden oln vlós sám ielégíti eredeti egenlőtlenséget mel enne vn értelmeési trtománn: I R \ hol Z rtlé feldt: A ABC háromsögen BC AC és AB oldl feleési pontját jelölje rendre F F és F ( pont) Sámítsu i AF BF és CF vetoro négetössegét h háromsög oldlin hoss soásos jelöléssel és c! Legen AC ; AB eor AC és AB c AF AF c c cos c c c c c
c c Hsonlón: BF és CF c Íg AF BF CF ostál ) A és átlg sórás Meor és értée h tudju még hog? ( pont) Írju fel három sám átlgát illetve sórását! Átlg: Sórás: A másodi egenletől Felhsnálv első egenletet: 8 8 ( pont) A pott másodfoú egenlet göei: 8 8 8 8 ( pont) A mitt egetlen lehetséges megoldás: 8 és 8 ( pont) ) Mele o egenes örhengere meleen mgsság és lpör sugrán hoss is egés sám vlmint felsín és térfogt mértésám megegei? Meor eeen eseteen felsín és térfogt öös mértésám? (8 pont) Egenes örhenger felsíne és térfogt: A r r m V r m Ee mértésám megegei íg r m r r m hol r és m poitív egés sám r -vel elostju egenlet mindét oldlát mjd ifejeü r-et m segítségével: r m r m m m r ( pont) m m m A r és m or les egés sám h m ostój -ne m - - - - m - r - ( pont)
Ee öül cs o dn megoldást hol m és r is poitív ) 8 8 A V m r ) A V m r c) A V m r ( pont) rtlé feldt: A egenlet három ülönöő vlós göe öül egi Htárou meg vlós prméter értéét és egenlet mási ét göét! A prméter értééne isámításáho helettesítsü e -et egenlete: vg ) Een eseten cs egetlen vlós göe vn egenletne íg = nem megoldás ) Mivel göe egenletne íg osthtó -gel A egenlet továi ét göét egenlet göei djá ee pedig és A = esetén eredeti egenlet három ülönöő vlós göe : és Ee ielégíti egenletet Késítette: Slová Sándorné