22 MAM2M előadásjegyet, 2008/2009 2. A -transformált 2.. Egy információátviteli probléma Legyen adott egy üenetátviteli rendserünk, amelyben a üeneteket két alapjel mondjuk a és b segítségével kódoljuk és továbbítjuk. Egy üenet formája a a és b alapjelekből álló valamely véges hossúságú soroat. Például: abaabbb. Ilyen rendserekre példa lehet a telegráf vagy a binárisan kódolt adatátviteli rendserek (fax, internet, stb.). A rendserben a a alapjel átviteléhe k, míg a b alapjel átviteléhe k 2 időegységre van sükség (k és k 2 poitív egés). Tegyük fel a meghatároottság kedvéért, hogy k 2 k. Kérdés: Hány olyan egymástól különböő üenet (jelsoroat) van amelyek átviteléhe pontosan n időegység kell? Jelölje s n aon a egymástól különböő üeneteknek a sámát, amelyek pontosan n időegység alatt vihetők át. Ekkor s n teljesíti a s n = s n k + s n k2, n k 2 (2.) rekurív össefüggést, mivel két eset van: ha a utolsó átvitt alapjel k hossú volt, akkor előtte össesen s n k db különböő n k hossú jelsoroat lehet, ill. ha a utolsó átvitt alapjel k 2 hossú volt, akkor előtte össesen s n k2 féle n k 2 hossú jelsoroat lehetett. Termésetesen a rekurív képletünk akkor határoa meg egyértelműen a (s n ) soroatot, ha megadjuk a soroat első k 2 db kedeti értékét: s 0 = u 0, s = u,..., s k2 = u k2. Speciális eset: Legyen a a = átviteléhe sükséges idő egy egység, k = és a b = átviteléhe sükséges idő 2 egység, aa k 2 = 2. Ekkor Látható, hogy ebben a esetben a n s n lehetséges soroatok 2 2 ; 3 3 ; ; 4 5 ; ; ; ;. s n = s n + s n 2, n 2, s 0 =, s = rekurió adja a probléma megoldását. Ilyen rekurív soroatok megoldásai keresésére a -transformált módsert fogjuk alkalmani. 2.2. A -transformált Tekitsünk egy (x n ) valós vagy komplex sámokból álló soroatot. Ebben a fejeetben minden soroatról feltessük, hogy a indexe 0-val indul, n = 0,,2,... (E a alkalmaásokban nem megsorítás, hisen mindig át tudjuk úgy alakítani a soroat képletét, hogy a indexe 0-val kedődjön.)
2. A -transformált 23 2.. Definíció. At mondjuk, hogy a (x n ) soroatnak léteik a -transformáltja a C helyen, ha a x n X() = n sor konvergens. A x = (x n ) soroat C helyen vett -transformáltját a simbólumokkal sokás jelölni. X(), Z{x n }(), Z{x}() Valós vagy komplex sámsorok konvergenciájának ellenőrésére hasnálhatjuk például a gyökkritériumot. Et alkalmava a fenti sorra kapjuk, hogy X() léteik, aa a sor konvergens, ha n x n n xn lim = lim n n <, n és X() nem léteik, aa a végtelen sor nem konvergens, ha n x n n xn lim = lim n n >. n Jelölje eért n R = lim xn, n feltéve, hogy a határérték léteik. Ekkor a fenti sámolás at adja, hogy X() konvergens, ha > R, és X() divergens, ha < R. A R sámot a -transformált konvergenciasugárnak neveük. Ha R = 0, akkor X() léteik minden 0-ra. Megjegyeük, hogy ha a -transformált váltoóját helyettesítjük a w = / új váltoóval, akkor a X(/w) = x n w n hatványsort kapjuk, amit a soroat generátorfüggvényének hívunk. Látható, hogy a generátorfüggvény és a -transformált köött igen soros a kapcsolat. Kombinatorikában például gyakran hasnálják a generárotfüggvényt különböő feladatokban, de a differenciaegyenletek megoldására a -transformált módsert igen kényelmes hasnálni, hisen ennek a Laplace-transformáltho hasonló tulajdonságai vannak, ahogy et majd láthatjuk a fejeet során. 2.2. Példa. Sámítsuk ki a x n = a n, (a 0) soroat -transformáltját! A -transformált definícióját és a geometriai sor össegképletét alkalmava kapjuk > a ra, hogy Z{a n }() = a n n = ( a ) n = a = a. Valóban, a konvergenciasugár ebben a esetben R = lim n + n a n = a. 2.3. Példa. Tekintsük a x n = konstans soroatot. E a előbbi soroat speciális esete (a = ), eért Z{}() =, >.
24 MAM2M előadásjegyet, 2008/2009 2.4. Példa. A egység impulus soroat vagy más néven a Kronecker-delta soroat definíciója: adott k nemnegatív egésre δ n (k) legyen a követkeő { δ n (k), ha n = k = 0, ha n k. Definíció alapján Speciálisan, ha k = 0, akkor Z{δ (k) n }() = δ (k) n n = k, 0. Z{δ n (0) 0. 2.5. Példa. Tekintsük a Heaviside-soroatot vagy egységugrás soroatot, aa valamely k poitív egésre { u (k) 0, ha n < k n =, ha n k. Ekkor minden > -re Z{u (k) n }() = u (k) n n = n = k n = n=k k k =. 2.6. Tétel. Tegyük fel, hogy létenek olyan M 0 és a > 0 konstansok, hogy a (x n ) soroatra x n Ma n, minden n = 0,,... -re. Ekkor a (x n ) soroatnak léteik a -tansformáltja minden > a-ra. Bionyítás: Mivel a feltétel serint ( ) x n a n n M, és M ( ) a n konvergens, ha > a, eért a majoráns kritérium alapján a x n n sor is absolút konvergens, aa a -transformált léteik. Adott k > 0 egés, a,...,a k valós konstansok, (b n ) valós soroat. A x n = a x n + a 2 x n 2 + + a k x n k + b n, n = k,k +,... (2.2) egyenletet k-adrendű konstans együtthatós lineáris rekurív differenciaegyenletnek hívjuk. A egyenlet egyértelműen definiál egy (x n ) soroatot, ha megadjuk a soroat első k darab tagját: x 0 = u 0,...,x k = u k, (2.3) ahol u 0,...,u k adott sámok. A követkeő állítás értelmében a (2.2) (2.3) rekurív soroat mindig exponenciálisan korlátos, feltéve, hogy a (b n ) soroat is a. Ebből követkeik, hogy a (2.2) egyenlet megoldásának mindig léteik a -transformáltja elég nagy -re. 2.7. Tétel. Tegyük fel, hogy a (b n ) soroat exponenciálisan korlátos, aa létenek olyan B 0 és b sámok, hogy b n Bb n minden n = k,k +,... egés sámra. Ekkor a (2.2) (2.3) rekurív soroat is exponenciálisan korlátos, aa létenek olyan M 0 és a sámok, hogy x n Ma n, n = 0,,2,...
2. A -transformált 25 2.3. A -transformált tulajdonságai 2.8. Tétel (Linearitás). Legyen X() a (x n ) soroat -transformáltja, amely konvergencia sugara R és legyen Y () a (y n ) soroat -transformáltja, amely konvergencia sugara R 2. Ekkor bármely a és b komplex sámokra Z{ax n + by n }() = ax() + by (), > max{r,r 2 }. Bionyítás: Legyen > max {R,R 2 }. Ekkor (ax n + by n ) n a x n n + b y n n <, tehát a bal oldalon álló -transformált is léteik, és a értéke Z{ax n + by n }() = (ax n + by n ) n = a x n n + b y n n = ax() + by (). 2.9. Példa. Sámítsuk ki a x n = sinan soroat -transformáltját! A Euler-formula serint sin an = eian e ian, 2i így a -transformált linearitását hasnálva Z{sin an} = 2i Hasonlóan megmutatható, hogy ( Z{e ian } Z{e ian } ) = 2i ( e ia = 2 e ia 2 + e ia 2i 2 (e ia + e ia ) + = sin a 2 2 cos a +. ) e ia Z{cos an} = 2 cos a 2 2 cos a +. Bionyítás nélkül tekintsük a követkeő állítást: 2.0. Tétel (Unicitás tétel). Legyen a (x n ) és (y n ) két soroat, amelyek X = Z{x n } és Y = Z{y n } -transformáltjai konvergensek a > R, illetve > R 2 tartományokban. Ha X() = Y (), > max{r,r 2 }, akkor x n = y n, minden n = 0,,2,...-re. A 2.0. Tétel serint tehát a -transformáltnak egyértelmű inver művelete léteik, amelyet inver -tranformáltnak hívunk, és Z -gyel jelölünk. Aa ha Z{x n }() = X(), akkor Z (X) = x n. A -transformált linearitásából könnyen igaolható a alábbi tulajdonság. 2.. Tétel. A inver -transformált lineáris, aa minden a és b konstansra Z {ax() + by ()} = az {X()} + bz {Y ()}.
26 MAM2M előadásjegyet, 2008/2009 2.2. Példa. Sámítsuk ki a X() = 2 2 + 20 függvény inver -transformáltját! A neveő sorattá alakítható, így parciális törtekre alakítjuk a kifejeést, de egy sorótényeőt elősör kiemelünk: eért 2 2 + 20 = ( 2 3 + 5 + ) = 2 3 4 3 + 5 + 3 4, Z {X()} = 2 3 ( 5)n + 3 4n. 2.3. Példa. Sámítsuk ki a X() = 42 + 2 + függvény inver -transformáltját! A neveő nem alakítható sorattá, így a sinus és kosinus aonosságokra veetjük vissa a sámolást: 4 2 + 2 + = 4 2 + 2 2 2 + = 4 2 + 2 2 cos π 3 + = 4(2 2 ) + 3 2 2 cos π 3 + eért 2 cos π 3 = 4 2 2 cos π 3 + + 2 sin π 3 3 2 2 cos π 3 +, ( π ) Z {X()} = 4cos 3 n + 2 ( π ) 3sin 3 n. 2.4. Tétel (Eltolás). Legyen (x n ) olyan soroat, amelyet (tesőleges módon) kiterjestünk negatív indexekre is, legyen u (k) n a egységugrás soroat. Legyen továbbá a X = Z{x n } - transformált konvergencia sugara R, és legyen k > 0 rögített egés. Ekkor (a) Z{u (k) n x n k } = k X(), > R, (eltolás jobbra) (b) Z{x n+k } = k X() k Bionyítás: A (a) rés követkeik a u (k) n x n k n = x n k n = x n k n, > R, (eltolás balra). n=k x j (j+k) = k x j j össefüggésekből, ahol a j = n k helyettesítést hasnáltuk. A (b) állítás hasonlóan adódik a j = n + k helyettesítéssel: k x n+k n = x j k j = k x j j x j j. j=k
2. A -transformált 27 2.5. Tétel. Legyen a 0 komplex sám. Ha a (x n ) soroat X = Z{x n } -transformáltjának konvergencia sugara R, akkor ( Z{a n x n }() = X, > R a. a) Bionyítás: Egyserű sámolással kapjuk Z{a n x n }() = a n x n n = ( x n a ) n = X ( a), ha a > R. A eltolási tétel lehetőséget ad differenciaegyenletek megoldására. 2.6. Példa. Oldjuk meg a x n+ = 3x n, x 0 = differenciaegyenletet! Vegyük a egyenlet mindkét oldalának -transformáltját és hasnáljuk a kedeti feltételt: aa X() x 0 = 3X(), ( 3)X() =, X() = 3 ( )( 3). Inver -transformáltat sámolva { } { ( x n = Z 3 = Z ( )( 3) 3 2 + )} 2 3 { = Z 2 3 + } = 2 2 3n + 2. 2.7. Tétel. Ha a (x n ) soroat X = Z{x n } -transformáltjának konvergencia sugara R, akkor X () = Z{nx n }(), > R, általában, ( ) k k X (k) () = Z{n(n + ) (n + k )x n }(), > R. Bionyítás: A -transformált konvergenciasugara definíciójából követkeik, hogy a g(w) = x nw n hatványsor konvergál a w < /R tartományon. Tudjuk, hogy egy hatványor tagonként differenciálható a konvergenciatartományán belül, aa g (w) = nx n w n, n= w < /R.
28 MAM2M előadásjegyet, 2008/2009 Mivel g(w) = X(/w), eért ( ) w 2X = g (w) = w aa ( ) w X = w A = /w helyettesítéssel kapjuk nx n w n, n= nx n w n. X () = nx n n = Z{nx n }(), > R. A második állítás teljes indukcióval könnyen igaolható. 2.8. Példa. Sámítsuk ki a x n = n soroat -transformáltját! A 2.7. Tételt alkalmava Z{n} = Z{n } = d ( ) ( ) = d ( ) 2 = ( ) 2. 2.9. Példa. Sámítsuk ki a x n = n 2 soroat -transformáltját! A 2.7. Tételt alkalmava újra Z{n 2 } = Z{n n} = d ( ) d ( ) 2 = ( )2 2( ) ( + ) ( ) 4 = ( ) 3. 2.20. Példa. Oldjuk meg a kedeti érték feladatot! -transformáltat sámolva x n+2 4x n+ + 4x n = u (2) n, x 0 = 0, x = 0 2 X() 2 x 0 x 4X() + 4x 0 + 4X() = amiből a kedeti feltételeket is hasnálva követkeik X() = Sámítsuk ki elősör { } Z ( 2) 2 ( ) ( ), ( 2 4 + 4)( ) = 2 ( 2) 2 ( ). ( = Z { = { 2 Z ( 2) 2 /2 (/2 ) 2 = 2 2n n 2 n + = 2 n n 2 n +. 2 + )} } { Z 2 } { } + Z
2. A -transformált 29 Eért a jobbra eltolási tételt hasnálva x n = u (2) ( n 2 n 3 (n 2) 2 n 2 + ). A Z {X()} inver -tansformáltat kisámolhatjuk úgy is, hogy kiindulunk a ( X() = 2 ( 2) 2 ( ) = 4 2 2 + 4 ( 2) 2 2 2 + ) = 4 2 + 4 ( 2) 2 2 2 + alakból. Eért x n = 4 δ() n 2 δ(0) n + 8 2n n 2 2n +. Ellenőrihető, hogy a fenti két képlet ugyanat a soroatot generálja. Bionyítás nélkül tekintsük a alábbi eredményt. 2.2. Tétel (Kedeti- és végérték tétel). Legyen X = Z{x n }. Ekkor (a) Kedeti érték állítás: lim X() = x 0, + (b) Végérték állítás: lim x n = lim( )X() n + (feltéve, hogy e a határérték léteik). 2.22. Definíció. A x = (x n ) és y = (y n ) soroatok konvolúciója alatt at a x y-nal jelölt soroatot értjük, amely általános tagja a követkeő össefüggéssel definiált: n (x y) n = x n j y j, n = 0,,2,.... Egyserű sámolás mutatja, hogy (x y) n = n x j y n j, n = 0,,2,.... Sokás egyserűen a x n y n jelölést is hasnálni a konvolúciós soroat n-edik tagjára. Könnyen ellenőrihetők a konvolúció alábbi tulajdonságai: 2.23. Állítás. Minden x, y, w soroatra teljesül (a) kommutativitás: x y = y x, (b) associativitás: (x y) w = x (y w), (c) distributivitás: (x + y) w = x w + y w, (d) x O = O, ahol O n 0 a aonosan nulla soroat. 2.24. Tétel (Konvolúciós tétel). Ha x = (x n ) és y = (y n ) két soroat, amelyek X = Z{x n } és Y = Z{y n } -transformáltjainak a konvergencia sugara R, illetve R 2, akkor aok konvolúciójának -transformáltja is léteik, és Z{x y}() = X()Y (), > max{r,r 2 }.
30 MAM2M előadásjegyet, 2008/2009 2.4. Alkalmaás Térjünk vissa a 2.. sakasban definiált információátviteli probléma speciális esetéhe: 2.25. Példa. Sámoljuk ki a s n = s n + s n 2, n 2, s 0 =, s = rekurív össefüggéssel definiált (s n ) soroat képletét! A -transformált kényelmes alkalmaásáho írjuk át a rekurív egyenletet a s n+2 = s n+ + s n, n 0 alakba. Legyen S = Z{s n }. Ekkor mindkét oldal -transformáltját véve és alkalmava a eltolási tételt kapjuk, hogy ahova a kedeti értékeket behelyettesítve aa 2 S() 2 s 0 s = S() s 0 + S(), ( 2 )S() = 2, S() = 2 2. S() inver -transformáltjának meghatároásáho parciális törtekre bontunk, de úgy, hogy egy sorótényeőt meghagyunk a sámlálóban: 2 2 = 2 ( A ( )( 2 ) = + B ), 2 ahol Et végigsámolva kapjuk = + 5 2, 2 = 5. 2 A = 2 = 5 és B = 2 2 = 2 5, és így Ennek inver -transformáltját véve ( s n = n 2 2 n = 5 5 5 S() = 2. 5 5 2 + ) n+ ( 5 2 5 ) n+ 5, n = 0,,2,.... 2 2.26. Példa. Oldjuk meg a x n+ 4y n =, y n+ x n = 0, x 0 =, y 0 =
x n = 4 3 ( 2)n 3, y n = 2 3 ( 2)n 3. 2. A -transformált 3 differenciaegyenlet-rendsert! A egyenletek mindkét oldalának -transformáltját véve így a kedeti feltételeket hasnálva X() x 0 4Y () = Y () y 0 X() = 0, X() 4Y () = + Y () X() =. A algebrai egyenletrendsert megoldva kapjuk ( ( 2) 4 X() = ( )( + 2) = 3 + 2 ) 3 2 ( Y () = ( )( + 2) = 2 3 + 2 ). 3 Eért a megoldás