Bevezetés z itegrálásb Horváth Árpád. ovember. Megjegyzés Ez jegyzet összefogllj z itegrálszámításk zokt leglpvetőbb foglmit, mely élkül z itegrálszámítási feldtok megoldás csk képletek mipulációj lee. Vlmit z lpvetőbb itegrálási módszereket. A rövidség kedvéért több esetbe hivtkozom műszki főiskolák számár készült Kovács-Tkács-Tkács: Alízis tköyvre (rövide tköyv ). Ott tlálhtók z ebbe jegyzetbe csk megemlített szbályok, tételek bizoyítási is. Gykorláshoz gyo jól hszálhtó Bárczy Brbás: Itegrálszámítás című köyve. Jegyzet feldolgozásához szükséges átismételi z előzőleg tárgylt függvéyeket, és differeciálszámítást. A jegyzet feldolgozás sorá bevezető példák kihgyhtók, vgy későbbi feldolgozásr hlszthtók.. Bevezető példák.. A megtett út Hogy tudák meghtározi test (utó, elektro) áltl megtett utt, h ismerjük mide időpilltb sebességét? H álldó v sebességgel mozog t ideig, kkor egyszerűe számíthtjuk z utt: s = v t. Más helyzet, h sebesség változik. Például egy utó mozgáskor következő módo: t [s] 3 4 6 7 v [ m s ] 5 7 9 3 4 H eyi dtot ismerük, meg tudjuk-e modi, hogy mekkor utt tett meg z utó? Potos em. De jó közelítéssel megkphtjuk z első s ltt megtett utt, h kb. m s s = m utt tesz meg, következő s ltt kb 5 m s s = 5m utt... A teljes megtett út s-tól 7s-ig ( jeletése közelítőleg egyelő) s + 5 + 7 + 9 + 3 = 3m Változó sebességél tehát t időtrtmot feloszthtjuk kisebb t, t, t 3,..., t időtrtmokr, melyeke sebesség már em gyo változik, és kiszámolhtjuk z ezekhez trtozó részutk közelítő értékét: v t,v t,v 3 t 3,...,v t, hol v,v,v 3,...,v megfelelő időtrtmokhoz trtozó sebességek. Nyilvá részutk összegével közelíthetjük megtett utt: Rövide: s v t + v t + v 3 t 3 +... + v t s (Ejtsd: i= -től -ig szumm vé íszer delt té í) Mjdem midegy t i időtrtm (időitervllum) melyik pilltához trtozó sebesség v i, h elég kicsi időitervllumokt vettük hhoz, hogy zltt sebesség e gyo változzo. Természetese meél potosbb szereték megtett utt számoli, ál több és ál kisebb részekre kell boti z egész időitervllumot. A feti összefüggés csk kkor lesz egyelőség, h részitervllumok v i t i
hossz z egyre több részre botássl ullához trt. (Godoljuk végig, hogy úgy is oszthták egyre több részre z időtrtmot, hogy z egyik részitervllum hossz em változik, többit osztjuk tovább. Ez ekük em jó. Ki kell kötük, hogy e lehesse így. Azz közülük leggyobbk hossz is trtso ullához.) Tehát potos útképlet: s = lim feltéve, hogy részitervllumok hossz ullához trt. Ezt fogjuk rövide következő két módo jelöli: t s = v i t i, t v(t)dt = (Ejtsd: ess egyelő itegrál ullától téig vé té dé té. A ull jelöli kezdőidőpotot. Az itegrál jele egy elyújtott S (szumm).) Vegyük észre, hogy h z idő függvéyébe ábrázoljuk sebesség gyságát, és függőleges volkkl grfiko ltti területet kis szeletekre vágjuk, kkor v i t i szorztok grfiko egy-egy szeletéek területét közelítik (. ábr), szorztok összege pedig z egész grfiko ltti területet. Meél kisebb t i szkszokt veszük ál jobb közelítését kpjuk területek. vdt. t t v(t) v i t i v. ábr. Egy szelet területéek közelítése Később látjuk mjd, h sebesség z idő függvéyébe egy képlettel dhtó meg, kkor áltláb sokkl egyszerűbb módo számolhtuk... A muk (Kiegészítő yg) Hsoló helyzet muk foglmávl. Hogyh testre htó F erővektor álldó és test egyeese mozdul el A potból B potb, kkor W AB = F s s, hol s z elmozdulás gyság és F s z erővektor elmozdulás iráyú vetülete. Egyees volú elmozdulás eseté F s álldó. H zob F s változik, kkor kis szkszokr bothtjuk megtett utt. Ez két szempotból lesz jó. Először is ezeke szkszoko z F s már em gyo változik, vlmit ezek szkszok már közel egyees szkszok. Így egy elég kicsi s i elmozdulás eseté közelíthetjük mukát z F si s i képlettel, teljes mukát pedig közelíthetjük ezek összegével: Ebből kpjuk egyre kisebb szkszokt véve: W AB F si s i s W AB = lim F si s i, W AB = F s ds. Ebbe z esetbe is értelmezhetjük z itegrált grfiko ltti területkét. Melyik függvéy grfikoj ltti területről v itt szó? (Mi v két tegelye?)
y y = f () b f ()d b. ábr. A Riem-itegrál grfiko ltti előjeles terület.3. A poteciál (Kiegészítő yg) Emlékeztető: Elektromos mezőbe egy q próbtöltést mozgtuk A potból B-be. A poteciálkülöbség defiíciój U AB = W AB q (Ez függetle ttól milye úto jutok od.) A térerősség defiíciój E = F (Függetle q töltés gyságától). q Köye levezethető feti összefüggésekből: hogyh z Ē térerősségvektor álldó és egyeese mozdulok el A potból B potb, kkor U AB = E s s, hol s z elmozdulás gyság és E s térerősségvektor elmozdulás iráyú vetülete. Ekkor E s álldó. H zob E s változik, kkor mukához hsoló módo kphtjuk közelítő összeget: Ebből kpjuk egyre kisebb szkszokt véve: U AB E si s i s U AB = lim E si s i, U AB = E s ds.. A Riem-itegrál.. A Riem-itegrál foglm RIEMANN (86-866) vezette be függvéygörbe ltti terület első precíz defiícióját. Őról evezzük ezt Riem-itegrálk. Áltláb erre hszáljuk htározott itegrál megevezést. Milye dtok jellemezek egy ilye itegrált? Az f () függvéy és z [, b] itervllum, mi itegráluk. Az -t z itegrál lsóhtárák, b-t z itegrál felső htárák evezzük. (Lásd.ábr) Hogy kpjuk meg ezt z értéket? Osszuk fel z itervllumot részre z F = {,,,..., } pothlmzzl, hol = < < < = b. Ezt z [,b] itervllum egy felosztásák evezzük. Az így keletkező itervllumokt evezzük részitervllumokk. A felosztás fiomságák evezzük felosztás leghosszbb részitervllumák hosszát. Jele: d (A továbbikb z 3. ábrá érdemes követi z itt leírtkt.) Midegyik [ i, i ] részitervllumból válsszuk ki tetszőlegese egy ξ i [ i, i ] elemet. Végiggodolhtó, hogy 3. ábrá szereplő három tégllp mgssági redre f (ξ ), f (ξ ), f (ξ 3 ), szélességeik:,, 3. Így például z első területe: f (ξ )( ). A tégllpok f (ξ )( )+ f (ξ )( )+ f (ξ 3 )( 3 ) = 3 f (ξ i )( i i ) területösszege közel v keresett területhez. A σ = f (ξ )( ) + f (ξ )( ) + + f (ξ )( ) = f (ξ i )( i i ) képlettel defiiált összeget z itegrál egy tgú közelítő összegéek evezzük. Ezt = ( ), = ( ),..., = ( ) jelölésekkel σ = f (ξ ) + f (ξ ) + + f (ξ ) = 3 f (ξ i ) i
y y = f () = ξ ξ ξ 3 b = 3 3. ábr. Itegrálközelítő összeg =3 esetre lkb is átírhtjuk. A felosztásokból készíthetük (számsoroztok mitájár) végtele soroztokt: F,F,F 3,F 4,... Ezeket evezzük felosztássoroztokk. H felosztások fiomságik d,d,... sorozt ullához trt soroztot ormális felosztássoroztk vgy mide htáro túl fiomodó felosztássoroztk evezzük. Ameyibe mide ormális felosztássorozt eseté közelítő összeg ugyhhoz z I számhoz trt, kkor zt modjuk, hogy függvéy Riem-itegrálhtó z [, b] itervllumo. Az I értéket evezzük függvéy Riem-itegrálják. Jele: b f ()d vgy rövide: b f. A defiíció szerit lim b f (ξ i ) i = f ()d, d trt ullához feltétel mellett. Bebizoyíthtó, hogy mide folytoos függvéy Riem-itegrálhtó... Az lsó- és felső itegrálközelítő összeg H σ összegbe z f (ξ i ) helyett midehol függvéyek z dott részitervllumbeli felső htárát írjuk kkor felső itegrálközelítő összeghez jutuk: s = hol M i függvéy felső htár z [ i, i ] itervllumo. Hsoló z lsó itegrálközelítő összeg defiíciój is: S = M i ( i i ) m i ( i i ), hol m i z függvéy lsó htár z [ i, i ] itervllumo. (Függvéy lsó és felső korlátját ill. lsó és felső htárát lásd tköyv 5. oldlá.) Ameyibe létezik z b f itegrál, kkor s b f S. Ily módo z itegrált két érték közé tudjuk szoríti..3. A primitív függvéy foglm és Newto-Leibitz-formul Az I (véges vgy végtele) itervllumo értelmezett f függvéy primitívfüggvéyéek evezzük z F függvéyt, h F () = f () teljesül bármely I eseté. (Azz h F deriváltj z eredeti f függvéy.) H egy F() függvéy primitív függvéy, kkor F() + C is z. (Mivel C egy kosts, k deriváltj pedig ull.) Tehát egy függvéyek végtele sok primitívfüggvéye v, de ezeket egy kosts hozzádásávl megkpjuk egymásból. 4
Emlékezzük rá, hogy derivált függvéy változási gyorsságát jeletette, zz grfikoják meredekségét. H hozzáduk egy kostst, kkor függvéy képe kosts előjelétől függőe felfelé vgy lefelé tolódik. Nyilvá ezzel mide potb ugyz mrd meredeksége. A három grfikoo ábrázolt függvéy deriváltfüggvéye tehát ugyz lesz. Péld: Az f () legye si függvéy. Eek egy primitív függvéye cos függvéy, hisze ( cos) = si, de cos + 5 függvéy is primitívfüggvéy. Áltláos cos +C lkú függvéyek primitívfüggvéyei si függvéyek. Bebizoyíthtó, hogy htározott itegrál következőképpe számolhtó: Newto Leibitz-formul: b Ahol z F() függvéy z f () függvéy primitívfüggvéye, [ ] b F() pedig egy új jelölés z F(b) F() kife- jezésre. Péld: 3π π [ ] 3π sid = cos π = cos 3π y [ ] b f ()d = F() ( cosπ) = = Érdemes felrjzoli sziusz függvéy grfikoját, megvizsgáli [ π, 3π miért lesz z itegrál értéke egtív? 3. A htároztl itegrál ] itervllumb eső részét. Vjo Láthtjuk, hogy primitívfüggvéy segítségével elég köye meghtározhtó htározott itegrál. Eek meghtározás viszot sokszor gyo ehéz. A feldt megoldásához hszos foglom htároztl itegrál. 3.. A htároztl itegrál foglm Az f () függvéy primitívfüggvéyeiek összességét evezzük z f függvéy htároztl itegrálják. Jele: f ()d Az itegráldó függvéyt (itt f ()-et) itegrdusk evezzük. Péld: Az f () legye si függvéy. Eek egy primitív függvéye cos függvéy, tehát sid = cos +C. (Itt si z itegrdus.) 3.. Az itegrálás szbályi és z lpitegrálok Az itegrálás szbályi tköyv. oldlá tlálhtó tételekbe szerepelek. A továbbikb hszáli fogjuk tköyv. oldlá szereplő itegráltábláztot. Gykorlásképpe elleőrizhetjük k helyességét. Péld: A táblázt szerit d = + + +C. Vlób, hisze jobboldl deriváltj ( ) + ( ) + +C = + + = + ( + ) =. Mivel C deriváltj, sosem kell vele elleőrzéskor fogllkozi. 5
3.3. Áltláos szbály htároztl itegrál meghtározásához Botsuk godoltb tgokr z itegráldó függvéyt (zz z itegrdust), (ezeket külö-külö itegrálhtjuk), mjd godoltb emeljük ki z együtthtókt. Péld: Mivel lesz egyelő 4si + 4e 3 π 4 d? Megoldás: Ez z itegrál három tgból áll. Az első együtthtój 4, másodiké 4 3, hrmdiké π 4. Midegyik függvéy itegrálját megtlálhtjuk tábláztb, így z eredméy köye dódik: 4si + 4e 3 π 4 d = 4 sid + 4 3 e d π 4 4e d = 4cos + 3 π l +C 4 A közbeső lépést em szoktuk leíri, C kostst pedig elég egyszer kiíri k elleére, hogy három itegráluk v. 3.4. A tábláztb em szereplő függvéyek itegrálás A függvéyek itegrálás boyolultbb mit deriválás. Itt csk legfotosbb függvéytípusok itegrálásár tlálhtó szbály. (Áltláb igz, hogy em mide függvéy itegrálj írhtó fel egyszerű lkb. Például sid is csk végtele sok tgú összegkét (végtele sorkét) írhtó fel.) 3.4.. Az itegrdus f ( + b) lkú Ilyekor egy primitív függvéy z F(+b) Bizoyítás. Az F( + b) függvéy összetett függvéy, deriváltj F ( + b) = f ( + b), ) tehát = f ( + b) ( F(+b) Péld: 7cos(3 ) 7si(3 )d = +C 3 3.4.. Az itegrdus f () f () lkú Szbály: f () f ()d = f + () + +C ( ) (Igzoljuk z állítást!) Mi bj z = esettel? 3.4.3. Az itegrdus f () f () lkú Szbály: f () f () d = l f () +C 3.4.4. Az itegrdus f (g())g () lkú Szbály: f (g())g ()d = F(g()) +C Bizoyítás. A jobboldli összetett függvéy deriváltj F (g())g () = f (g())g (). 6
Áltláb, h egy szorztfüggvéyt itegráluk, kkor érdemes megézi hogy z egyik összetett függvéy-e. H másik függvéy belső függvéy deriváltj, kkor szbály lpjá itegrálhtjuk. Péld: si(l) d =? Megoldás: Összetett függvéyek eseté elleőrizük kell, hogy szerepel e szorzókét belső függvéy deriváltj. Itt z itegrdus írhtó si(l) lkb. Az l függvéy deriváltj z függvéy, így si(l) d = cos(l) +C 3.4.5. Prciális itegrálás Az f ()g ()d = f ()g() f ()g() zoosság lpjá sok esetbe egyszerűbb itegrálr vezethetjük vissz z eredeti itegrált. Ezt evezzük prciális itegrálásk. (Itt még em kell kiíri jobboldlo C kostst, hisz zt z itegrál trtlmzz.) Úgy érdemes megjegyezi módszert, hogy z eredeti itegrdusb zt függvéyt érdemes áltláb vesszős betűvel jelöli, miek em boyolult primitívfüggvéye. (Ez áltláb si, cos, e vgy függvéyek egyike.) A másik itegrálb másik függvéye v vessző. Péld: 5si d =? 4 Az 4 5 -et együtthtók tekitve kiemelhetjük z itegrálásból. Mivel z si függvéy primitívfüggvéye egyszerű, z függvéyek, pedig deriváltj egyszerű, ezért f () = és g () = si jelölésekkel hszáljuk bekeretezett zoosságot. Ekkor f () = és g() = cos, tehát: 5si d = 5cos 5 cosd 4 4 4 Ez még em végeredméy, de z itt szereplő itegrálást már köye elvégezhetjük. Néháy jellemző eset, mikor prciális itegrálás lklmzhtuk f g e si cos Ezekbe z esetekbe z egymást követő itegrálokb z egyre kisebb kitevővel fog szerepeli. 3.5. Rcioális törtfüggvéyek itegrálás f g si e si e cos cos Ezekbe z esetekbe teljese midegy, melyiket jelöljük godoltb f,g -vel. Kétszer lklmzv prciális itegrálást megkpjuk z eredméyt. Áltláb z +... + + + lkb írhtó függvéyeket poliomokk evezzük. Egy -edfokú poliomk mimum vlós gyöke lehet. Mi továbbikb csk ezzel gyo szerecsés esettel fogllkozuk. (Áltláosítv megtlálhtó tköyvbe.) A poliom ekkor úgyevezett gyöktéyezős lkb is felírhtó. Eek áltláos lkj: ( )( )...( ), hol leggyobb kitevőjű tg együtthtój,,,..., pedig poliom gyökei. Az gyök em feltétleül külöböző. Ilyekor zt modjuk, hogy vk többszörös gyökei. H S külöböző gyök v, gyöktéyezős lk felírhtó ( ) l ( ) l...( S ) l S lkb is. Például z 4 3 poliom átlkíthtó kiemeléssel ( 6) lkr. A zárójelbe levő másodfokú poliom gyökeit meghtározhtjuk: 3 és ; így ez gyöktéyezős lkb írv: (+3)( ). Tehát z eredeti poliomot átírhtjuk gyöktéyezős lkb: 4 3 = ( + 3)( ) = ( ) ( + 3)( ). 7
(Eek egyedfokú egyeletek 4 gyöke v, S = 3 külöböző gyöke.) Az utolsó lkot csk zért írtuk fel, hogy lássuk ez vlób gyöktéyezős lk. Látjuk hogy itt kétszeres gyök. A 3 és + egyszeres gyökök. Rcioális törtfüggvéyekek evezzük két poliom háydoskét előállíthtó függvéyeket. Például + ( )( + ) 4 + 4 3 + 76 = + 6 + 35 ( 5)( + 3) 3 törtek egy rcioális törtfüggvéy két lkj, melyek evezője egy hrmdfokú függvéy. evező gyökei 5 és 3. A 3 háromszoros z 5 egyszeres gyök, mert z + 3 téyező hrmdik htváyo v, z 5 téyező első htváyo. Az itegrálás elvégzéséhez függvéyt először prciális törtekre kell botuk. 3.5.. Prciális törtekre botás A továbbikb zzl z esettel foguk fogllkozi, mikor rcioális törtfüggvéy evezője gyöktéyezőkre bothtó, és számláló fokszám kisebb mit evezőé. Bebizoyíthtó, hogy tört ilyekor midig átírhtó b k k +... + b + b + b ( ) l ( ) l...( S ) l S A ( ) + A ( ) +... A l ( ) l + + A ( ) + A ( ) +... A l ( ) l +...+ + A S ( S ) + A S ( S ) +... A SlS ( S ) l S lkr, hol z A i j vlós számokt jelöl, melyeket ekük kell meghtározuk. Az egyes tgokt evezzük prciális törtekek. Ez képlet elsőre elég félelmetesek tűhet. Gykorltb, mit emsokár látjuk ez áltláb egyszerűbb. Az A i j vlós számok meghtározását kokrét példá ézzük meg. A 3 7 + 6 3 8 + 6 átlkíthtó 3 7 + 6 ( 4) lkr. A feti állítás szerit ez felírhtó A + B ( 4) + C ( 4) lkb. Példákb z egyszerűség kedvéért em z A i j jelöléseket szoktuk hszáli. Végezzük el közös evezőre hozást. Ekkor evezőbe A( 4) + B( 4) +C = A 8A + 6A + B 4B + C = (A + B) + ( 8A 4B + C) + 6A kifejezést kpjuk. Eek egyezie kell z eredeti tört evezőjével. Ez bizoyíthtó csk kkor teljesül, h z zoos kitevőjű tgok együtthtói megegyezek két poliomb. Tehát következő egyeletredszert kpjuk: Ebből A, B és C értéke meghtározhtó: A + B = 3 8A 4B +C = 7 6A = 6 A = B = C =. Tehát z eredeti tört z lkb írhtó át. + ( 4) ( 4) 8
3.5.. A prciális törtek itegrálás Ezutá már ics ehéz dolguk. A rcioális törtfüggvéyt prciális törtek összegére botottuk, ezek evezője vgy i vgy ( i ) lkú ( > ). Midegyik esetre kokrét példát muttuk. 3 ( 4) 6 d = 3 ectiovegyes feldtok itegrálszámításr 3.6. Htározott itegrál előjele y d = l 4 +C ( 4) ( 4) 6 3 d = 5( 4) 5 +C A htározott itegrál szemléletes jeletése mit láttuk függvéygrfiko ltti (előjeles) terület (4. ábr). + 4. ábr. A függvéy területe itt grfiko feletti, illetve grfiko ltti területrész előjeles összege Péld: Számoljuk ki z π sid értéket! A sius függvéy grfikoják segítségével mgyrázzuk meg kpott értéket! Megoldás: π sid = [ cos ] π = Ugykkor terület esik z tegely lá, mit fölé, így előjeles területösszegük ull. Péld: Állpítsuk meg grfikojukról, milye előjelűek leszek következő itegrálok! Próbáljuk megbecsüli z értéküket grfiko lpjá, mjd számoljuk ki! d =?, 4 3 d =? A számértékek meghtározás 4 értékes jegy potossággl: [ ] d = l = l l,33 Illetve: 4 3 [ d = l ] 4 3,386,99 =,485 9
4. A égyzetes közép 4.. A égyzetes közép foglm Egy f () periodikus függvéy égyzetes közepé zt k számot értjük, melyre teljesül: T T f ()d = k d. T periódus hosszát jelöli. Következméy: Mivel jobboldl értéke k T, ezért k = T T f ()d 4... Néháy szükséges összefüggés Két szükséges összefüggés középiskolából: Igzoljuk következő két összefüggést. si + cos =, cos = cos si. si = cos (Az egyelet jobboldlából kiidulv megkphtó bloldl.) 4.. A si és cos függvéy égyzetes közepe, cos = + cos. A feti két egyelet ismeretébe itegráljuk z f () = si függvéy égyzetes közepét. (A függvéy periódus π) π si d = π cos d = π d π cosd = [ ] π [ ] si π 4 = π. Ebből égyzetes középre votkozó összefüggés lpjá: k = π si d = π k = A váltóárm eseté feszültség z u(t) = Û si ωt függvéy szerit változik z idő függvéyébe. Levezethető, hogy teljesítméy feszültség égyzetével ráyos, így z effektív feszültség (zz k z egyefeszültségek z értéke, melyek ugykkor teljesítméye, mit z u(t) váltkozó feszültségé, U e f f ), csúcsfeszültség (Û) égyzetes közepe. (A periódus(idő) itt π ω.) Igzoljuk váltóármr ismert U e f f = Û összefüggést. (Vigyázzuk, most változó t, így z itegrál végére is dt-t kell íri.) Trtlomjegyzék. Bevezető példák.. A megtett út................................................ A muk (Kiegészítő yg)......................................3. A poteciál (Kiegészítő yg).................................... 3
. A Riem-itegrál 3.. A Riem-itegrál foglm..................................... 3.. Az lsó- és felső itegrálközelítő összeg.............................. 4.3. A primitív függvéy foglm és Newto-Leibitz-formul.................... 4 3. A htároztl itegrál 5 3.. A htároztl itegrál foglm.................................... 5 3.. Az itegrálás szbályi és z lpitegrálok............................. 5 3.3. Áltláos szbály htároztl itegrál meghtározásához..................... 6 3.4. A tábláztb em szereplő függvéyek itegrálás........................ 6 3.4.. Az itegrdus f ( + b) lkú............................... 6 3.4.. Az itegrdus f () f () lkú.............................. 6 3.4.3. Az itegrdus f () f () lkú.................................. 6 3.4.4. Az itegrdus f (g())g () lkú............................. 6 3.4.5. Prciális itegrálás..................................... 7 3.5. Rcioális törtfüggvéyek itegrálás................................ 7 3.5.. Prciális törtekre botás................................... 8 3.5.. A prciális törtek itegrálás................................. 9 3.6. Htározott itegrál előjele....................................... 9 4. A égyzetes közép 4.. A égyzetes közép foglm...................................... 4... Néháy szükséges összefüggés................................ 4.. A si és cos függvéy égyzetes közepe...........................