JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal. 2. félév A tantárgy tartalma Komplex számok: bevezetésűk szükségessége a komplex számok három alakja és a komplex számok ábrázolása műveletek a különféle alakban megadott komplex számokkal. Egyváltozós valós függvények integrálszámítása és az integrálszámítás alkalmazása a határozatlan integrál fogalma, tulajdonságai és kiszámításának módszerei a határozott integrál fogalma, a Newton-Leibniz szabály a határozott integrál alkalmazásai Közönséges differenciálegyenletek a közönséges differenciálegyenlet és megoldásának fogalma, jellemzői; néhány fontos differenciálegyenlet típus megoldásának módszere. Kétváltozós valós függvény differenciál- és integrálszámítása a kétváltozós valós függvény és parciális deriváltjainak fogalma és geometriai jelentésük; a kétváltozós valós függvény parciális deriváltjai kiszámításának módszere; a kétváltozós valós függvény tartományon vett határozott integráljának fogalma és geometriai jelentése; a kétváltozós valós függvény határozott integráljának kiszámítása téglalap és normál tartományon. A tananyag elsajátításának időterve Komplex számok 1. konferencia A komplex számok bevezetése, a képzetes egység fogalma. A komplex számok algebrai, trigonometrikus és exponenciális alakja, a komplex számok ábrázolása. Műveletek a különféle alakban megadott komplex számokkal.
1. egység (kb. 10 óra): a VGLA 3.1 A komplex számok bevezetése és a 3.2 Műveletek algebrai alakú komplex számokkal című fejezeteinek áttanulmányozása, majd a FEL 4.4./ a), c), e), g) és m) számú feladatok megoldása 2. egység (kb. 10 óra): a VGLA 3.3 Műveletek trigonometrikus alakú komplex számokkal című fejezetének áttanulmányozása, majd a FEL 4.11./ a), c), e) és g) számú feladatok megoldása 3. egység (kb. 10 óra): a VGLA 3.4 Műveletek exponenciális alakú komplex számokkal című fejezetének áttanulmányozása, majd a FEL 4.11./ a), c), e) és g) számú feladatok megoldása a komplex számok exponenciális alakjában. 2. konferencia Az egyváltozós valós függvény határozatlan integráljának kiszámítása A differenciálás és az integrálás kapcsolata: egy függvény deriváltjának határozatlan Integrálja. Alapintegrálok és a határozatlan integrál tulajdonságai. Fax ( + b) Integrálási módszerek I.: f ( ax+ b) dx= + C a α + 1 α f ( x) f ( x) f ( x) dx= + C α + 1 f ( x ) = + f x dx ln f ( ( ) x ) C f ( g( x)) g ( x) dx= F( g( x)) + C 1. egység (kb. 10 óra): az ANAL 4.3 A határozatlan integrál, továbbá a 4.4.1 Néhány fontos integráltípus című fejezeteinek áttanulmányozása 2. egység (kb. 10 óra): az előzőleg áttanulmányozott fejezetekből rövid, önálló jegyzet készítése, valamennyi integráltípusra egy-egy egyszerű, kidolgozott példával 3. egység (kb. 10 óra): a FEL 8.2.; 8.5.; 8.6.; 8.25.; 8.28.; 8.33.; 8.44. és 8.45. számú feladatok megoldása. 3. konferencia Egyéb integrálási módszerek, továbbá az egyváltozós valós függvény határozott integráljának kiszámítása és a határozott integrál alkalmazásai A parciális integrálás módszere. Néhány fontos trigonometrikus függvény típus integrálása. A határozott integrál fogalma és kiszámítása a Newton-Leibniz szabállyal. A határozott integrál alkalmazása - két függvény által határolt síkidom területének kiszámítására, 2
- a függvénygrafikon ívhosszának meghatározására, - forgástest térfogatának és palástfelszínének kiszámítására. 1. egység (kb. 10 óra): az ANAL 4.4.3 Parciális integrálás című fejezetének (a 214. oldal közepén, a Példáig) áttanulmányozása és a FEL 8.49.; 8.50. és 8.51 feladatok megoldása; a 4.5.4 Trigonometrikus függvények integrálása című fejezet az A) Néhány trigonometrikus szorzatfüggvény integrálása részből a 6. pont alattiak áttanulmányozása és a FEL 8.157. és 8.158. feladatok megoldása. 2. egység (kb. 10 óra): az ANAL 4.2.3 A Newton-Leibniz-formula című fejezetének áttanulmányozása, majd a FEL 8.181. és 8.184. feladatok megoldása. 3. egység (kb. 10 óra): az ANAL 4.6.2 Síkgörbék ívhossza című fejezetének (a 255. oldal közepén, a Példáig), a 4.6.3. Forgástest térfogata című fejezetének (a 260. Oldal közepén, a Példáig) és a 4.6.4 Forgástest palástjának felszíne című fejezetének (a 265. oldal alján, a Példáig) áttanulmányozása. Közönséges differenciálegyenletek 4. konferencia A közönséges differenciálegyenlet fogalma, jellemzői. A közönséges differenciálegyenlet megoldásának fogalma, fajtái. A közönséges differenciálegyenletek osztályozása a megoldás módszerének szempontjai szerint: - közvetlenül integrálható, - elsőrendű, szétválasztható változójú, - elsőrendű, lineáris - homogén, - inhomogén - másodrendű, állandó együtthatós, lineáris - homogén, - inhomogén differenciálegyenlet definíciója, megoldásának módszere. 1. egység (kb. 8 óra): az ANAL 7. Differenciálegyenletek című fejezet bevezető részének, majd a 7.1 A differenciálegyenlet megoldása című pont áttanulmányzása után a y = x 2 + e x 5 y = cosx+ 1 2 cos x valamint a FEL 10.1. sorszámú feladatok megoldása. A 7.2.1 Szétválasztható változójú differenciálegyenletek című pont áttanulmányozása a 420. oldal második felében található "Tehát az általános megoldás: 3 y = 3( C cos x) " mondattal bezárólag, utána a FEL 10.3.; 10.11. és 10.16. sorszámú feladatok megoldása. 3
2. egység (kb. 8 óra): a 7.2.2 Lineáris differenciálegyenletek című pont áttanulmányozása, a FEL 10.182.; 10.184. és 10.186. sorszámú feladatok megoldása. 3. egység (kb. 14 óra): a 7.3 Másodrendű differenciálegyenletek című fejezet áttanulmányozása az alábbi részletezés szerint: - a fejezet bevezető része, a 439. oldalon; - a 445. oldalon kezdődő, 7.3.2 Lineáris homogén differenciálegyenletek című pont, a 446. oldalon található tétellel bezárólag, e tétel bizonyítása nélkül; - a fenti pont folytatása, kezdve a 454. oldal felső harmadában található, Az a y + b y + c y = 0 differenciálegyenletnek nevezzük. mondattal, a pont végéig, majd a FEL 10.305.; 10.306; 10.308.; 10.309.; 10.310. és 10.311. sorszámú feladatok megoldása; - a 459. oldalon kezdődő, 7.3.3 Lineáris inhomogén differenciálegyenletek című pont teljes egészében, majd a FEL 10.317.; 10.320.; 10.322. és 10.327. sorszámú feladatok megoldása. Fontos: az ANAL áttanulmányozott pontjaiban található, megoldott feladatokat önállóan is meg kell kísérelni megoldani. 5. konferencia Kétváltozós valós függvények differenciál- és integrálszámítása Kétváltozós valós függvény parciális differnciálhányadosának geometriai jelentése. Kétváltozós valós függvény parciális deriváltfüggvényének kiszámítása. Kétváltozós valós függvény határozott integráljának geometriai jelentése. Kétváltozós valós függvény határozott integráljának kiszámítása téglalapon és normáltartományon. 1. egység (kb. 10 óra): az ANAL 5.2 A többváltozós valós függvények alaptulajdonságai című pontból a 302. oldalon, a "A többváltozós függvények megadásai kezdetű mondattól, a pont végéig terjedő részt kell áttanulmányozni, majd a teljes 5.3.1 A parciális derivált című pontot. 2. egység (kb. 10 óra): a FEL 13.10. számú feladatok megoldása. 3. egység (kb. 10 óra): az ANAL 5.4.2 A határozott integrál kiszámítása című pont A) és B) alpontjainak áttanulmányozása, majd a FEL 13.58/b; c és d, továbbá a 13.59/a; b és c feladatok megoldása. Összefoglaló kérdések a 2. félév matematika tananyagához 01. Valós szám-e egy negatív valós szám négyzetgyöke? (A választ indokolja!) 02. Mi tette szükségessé a komplex szám fogalmának bevezetését? 03. Mit értünk képzetes egység, képzetes szám és komplex szám alatt? 04. Hogyan ábrázoljuk a komplex számokat? 05. Egy komplex szám milyen alakokban adható meg? 06. Értelmezze az algebrai alakú komplex szám megadásakor alkalmazott jelöléseket! 07. Értelmezze a trigonometrikus alakú komplex szám megadásakor alkalmazott jelöléseket! 08. Értelmezze az exponenciális alakú komplex szám megadásakor alkalmazott jelöléseket! 09. Hogyan kell egy - algebrai alakban megadott komplex számot trigonometrikus alakúvá ; 4
- algebrai alakban megadott komplex számot exponenciális alakúvá ; - trigonometrikus alakban megadott komplex számot algebrai alakúvá ; - trigonometrikus alakban megadott komplex számot exponenciális alakúvá ; - exponenciális alakban megadott komplex számot trigonometrikus alakúvá ; - exponenciális alakban megadott komplex számot algebrai alakúvá ; átalakítani? 10. Mi a komplex szám konjugáltja? 11. Milyen műveletek végezhetők komplex számokkal és az egyes műveletek milyen alakú komplex számokkal végezhetők el? 12. Hogyan kell két algebrai alakban megadott komplex számot egymással szorozni és elosztani? 13. Hogyan kell két trigonometrikus alakban megadott komplex számot egymással szorozni és elosztani? 14. Hogyan kell két exponenciális alakban megadott komplex számot egymással szorozni és elosztani? 15. Hogyan kell egy trigonometrikus alakban megadott komplex számot pozitív egész kitevőjű hatványra emelni? 16. Hogyan kell egy exponenciális alakban megadott komplex számot pozitív egész kitevőjű hatványra emelni? 17. Hogyan kell egy trigonometrikus alakban megadott komplex számból pozitív egész kitevőjű gyököt vonni? 18. Hogyan kell egy exponenciális alakban megadott komplex számból pozitív egész kitevőjű gyököt vonni? 19. Milyen kapcsolatban egymással az integrálandó függvény és primitív függvénye? 20. Milyen tulajdonságai vannak a határozatlan integrálnak? 21. Ismertesse a legfontosabb integráltípusokat! 22. Írja fel a parciális integrálás szabályát! 23. Mit értünk egy függvény határozott integrálján? b 24. Mi a geometriai jelentése az f ( x) dx-nek, ha f(x)>0 minden a<x<b esetén? a 25. Ismertesse a Newton-Leibniz szabályt! 26. A határozott integrál milyen alkalmazásait ismeri? (Csak felsorolás, a képletek nélkül.) 27. Mit értünk differenciálegyenlet alatt? 28. Mit értünk egy differenciálegyenlet rendje alatt? 29. Hogy szól az elsőrendű, szétválasztható változójú differenciálegyenlet definíciója? 30. Hogy szól az elsőrendű, lineáris homogén illetve inhomogén differenciálegyenlet definíciója? 31. Hogy szól a másodrendű, lineáris állandó együtthatós homogén illetve inhomogén differenciálegyenlet definíciója? 32. Ismertesse az elsőrendű, szétválasztható változójú differenciálegyenlet megoldásának módszerét! 33. Ismertesse az elsőrendű, lineáris homogén illetve inhomogén differenciálegyenlet megoldásának módszerét! 34. Ismertesse a másodrendű, lineáris állandó együtthatós homogén illetve inhomogén differenciálegyenlet megoldásának módszerét! 35. Mi a rezonancia jelensége a másodrendű, lineáris állandó együtthatós inhomogén differenciálegyenletek körében? 36. Mi a kétváltozós valós függvény parciális deriváltjának geometriai jelentése? 37. Hogyan kell meghatározni egy kétváltozós valós függvény parciális derivált függvényét? 5
b d 38. Mi a geometriai jelentése az f (; x y) dydx-nek, ha f(x;y)>0 minden a<x<b és c<y<d a c esetén? 39. Mit értünk téglalap tartomány és normáltartomány alatt? 40. Hogyan kell kiszámítani egy kétváltozós valós függvény határozott integrálját téglalap tartományon és normáltartományon? 6