A Valószíűségszámítás I. előadássorozat hatodi témája. Néháy fotos diszrét eloszlás. Ismertetem éháy fotos diszrét eloszlás defiicióját, és tárgyalom eze legfotosabb tulajdoságait. Az eloszláso bevezetés előtt ismertete éháy olya példát, amelyebe azo megjelee. Eze özül éháyal már orábba is találoztu. Az első példa a övetező. a. A biomiális eloszlás. Teitsü először egy tipius példát, amelybe a biomiális eloszlás megjelei. Dobju fel egy pézdarabot alalommal egymástól függetleül, és mide egyes dobásba legye p, 0 p 1, a fejdobás valószíűsége. Mi a valószíűsége aa, hogy potosa fejdobás övetezi be? Ee valószíűsége p 1 p. Valóba, olya fej-írás sorozat létezi, amely fej és írásjelet tartalmaz, és az adott feltétele mellett mide ilye dobássorozat valószíűsége p 1 p. Az ilye jellegű feladato leírására vezetté be a biomiális eloszlás fogalmát. A biomiális eloszlás defiiciója. Azt modju, hogy a ξ valószíűségi változó biomiális eloszlású és p paraméterrel, = 1,2,..., 0 p 1, ha Pξ = = p 1 p mide 0 számra, és Pξ = = 0 egyébét. Ezt az eloszlást szoás B,p-vel jelöli. Egy B1,p eloszlású ξ valószíűségi változót, azaz egy olya ξ valószíűségi változót, amelyre Pξ = 0 = 1 p, Pξ = 1 = p Beroulli eloszlásúa is szota evezi. Jegyezzü meg, hogy valóba eloszlást defiiáltu, azaz a em-egatív valószíűsége összege egy, mert a biomiális tétel szerit p 1 p = p + 1 p = 1. Jegyezzü meg, hogy a B,p és Bm,p biomiális eloszláso ovoluciója a B + m,p biomiális eloszlás. Emléeztetőül felidézem, hogy egy P = {p 0,p 1,...} és Q = {q 0,q 1,...} eloszlás ovoluciója az az R = {r 1,r 2,...} eloszlás amelye elemeit az r = p q, = 1,2,..., éplet határozza meg. Ee valószíűségi tartalma a övetező: Ha ξ és η ét függetle, em egatív egész értéeet felvevő valószíűségi változó, amelyere Pξ = = p, Pη = = q, = 0,1,2,..., aor ξ + η olya em egatív egész értéeet felvevő valószíűségi változó, amelyre Pξ + η = = r, = 0,1,2,... 1
Valóba a feti ovolucióról szóló állítás érvéyes, mivel a teitett ét eloszlás ovoluciója egy olya p, 0 + m eloszlás, amelyre p = j=0 m p j 1 p j p j 1 p m j j j = p 1 p j=0 m = j j + m p 1 p, mert j=0 m = j j + m. Ez utóbbi állítása ombiatorius bizoyítását megadtam az első téma jegyzetébe a Néháy a tárgyalt ombiatorius érdéseel apcsolatos eredméy feladatsor 7. feladatáa az ismertetésébe. Sőt, e feladatsor 9. feladatába megadtam eze azoosság egy általáosításáa aalitius az 1 + x α függvéy hatváysoráa az alajá alapuló bizoyítását is. Két eloszlás ovolucióját iszámolhatju az alább ismertetedő geerátorfüggvéy módszere evezett eljárás segítségével is. Ha adva va ét P = {p 0,p 1,...} és Q = {q 0,q 1,...} eloszlás, aor redeljü hozzáju az Fx = p x és Gx = q x hatváysoroat. Ezeívül redeljü a P és Q eloszláso R = {r 0,r 1,...} ovoluciójához a Hx = r x hatváysort. Eor teljesül az FxGx = Hx azoosság. =0 Továbbá, ha ismerjü a Hx függvéyt, aor aa szucessziv deriválásával majd a ulla érté behelyettesítésével iszámolhatju a miet érdelő r meyiségeet. Ie az is övetezi, hogy ha FxGx = Hx, aor a P és Q eloszláso ovoluciója a R eloszlás. Megmutatom azt is, hogya lehet a biomiális eloszláso ovoluciójáa alajáról szóló állítást a geerátorfüggvéy módszer segítségével beláti. Számolju i a B,p biomiális eloszlás F,p x geerátorfüggvéyét. Ie F,p x = =0 p 1 p x = 1 p ] = 1 p + px. = 1 p [ 1 + px 1 p px 1 p F,p xf m,p x = 1 p + px 1 p + px m = 1 p + px +m = F +m,p x mide 1, m 1 egész és 0 p 1 valós számra. Ez azt jeleti, hogy a B,p és Bm,p eloszláso ovoluciója a B + m,p eloszlás. 2 =0
Feladat: 1. Adju egyszerű, a biomiális eloszlás valószíűségi tartalmát ihaszáló bizoyítást arra, hogy a B,p és Bm,p biomiális eloszláso ovoluciója a B+m,p biomiális eloszlás. Megoldás: Elég megmutati, hogy léteze olya függetle B, p paraméterű ξ és Bm, p paraméterű η biomiális eloszlású valószíűségi változó, amelye ξ + η összege B + m,p paraméterű biomiális eloszlású valószíűségi változó. Ee érdeébe teitsü egy olya pézdarab + m darab egymás utái függetle feldobását, amely p valószíűséggel esi a fej és 1 p valószíűséggel az írás oldalra. Legye ξ az első dobásba, η pedig az +1-i dobástól az +m-ig dobásig tartó dobássorozatba megjeleő fej dobáso száma. Eze a ξ és η valószíűségi változó teljesíti a ívát tulajdoságoat. Számítsu i egy B, p eloszlású valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét. A legegyszerűbb módszer a övetező: Legyee ξ 1,...,ξ függetle, B1,p eloszlású valószíűségi változó. Eor ξ = ξ j B,p eloszlású valószíűségi változó, és Eξ j = 1 p+0 1 p = p, Eξj 2 = 1 p+0 1 p = p, Var ξ j = Eξj 2 Eξ j 2 = p p 2 mide j = 1,..., számra. Ezért a eresett várható érté és szóráségyzet Eξ = Eξ j = p és Var ξ = Var ξ j = p1 p. Feladat: 2. Számítsu i egy B,p eloszlású valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét az e fogalmaat defiiáló összege iszámításáa a segítségével. Megoldás: Eξ = p 1 p, Eξ 2 = =1 2 p 1 p, és Var ξ = Eξ 2 Eξ 2. Ezeet a ifejezéseet ell iszámolu. Vegyü észre, hogy = 1 1, 2 = + 1 = 1 1 + 1 2 2. Ie 1 1 Eξ = 1 1 = p p +1 1 p 1 =1 p 1 p 1 = p1 + 1 p 1 = p, 1 2 1 2 Eξ 2 = p +1 1 p 1 + 1 p +2 1 p 2 3
2 2 = p + 1p 2 p 1 p 2 = p + 1p 2 p + 1 p 1 = p + 2 p 2, és Var ξ = p + 2 p 2 2 p 2 = p1 p. A biomiális eloszlás természetes többdimeziós általáosítása a poliomiális eloszlás. Ee megértéséhez teitsü a övetező feladatot. Adva va r ura. Ezebe bedobu összese golyót egymástól függetleül. Az egyes golyó p 1 valószíűséggel ese az első p 2 valószíűséggel a másodi,... p r valószíűséggel az r-i urába. Mi a r valószíűsége aa, hogy a j-i urába j golyó esi, 1 j r, r =?! Ez a valószíűség 1! 2! r! p 1 1 p r! r, mert 1! 2! r! ilye dobássorozat va, és mide ilye dobássorozat valószíűsége p 1 1 p r r. Itt a lehetséges dobássorozato összeszámlálásáál megülöböztettü ét olya dobássorozatot, amelyebe ugyaayi golyó esett az egyes urába, de más sorredbe. A poliomiális eloszlás defiiciója. A ξ 1,...,ξ r r változós véletle vetor poliomiális eloszlású, = 1,2,..., és p j, 1 j r, paramétereel, p j = 1, r ha Pξ 1 = 1,ξ 2 = 2,...,ξ r = r =! 1! 2! r! p 1 1 p 2 2 p r r az olya 0 j, 1 j r számora, amelyere r j =. A poliomiális eloszlás valóba eloszlás, azaz Pξ 1 = 1,ξ 2 = 2,...,ξ r = r 0 mide lehetséges 1,..., r értére, és Pξ 1 = 1,ξ 2 = 2,...,ξ r = r = 1. Ez utóbbi azoosságot vagy a poliomiális eloszlás valószíűségi tartalmáa felhaszálásával vagy a poliomiális tétel segítségével láthatju, mely szerit Pξ1 = 1,ξ 2 = 2,...,ξ r = r = j 0,,...,r 1 + + r = = p 1 + + p r = 1.! 1! 2! r! p 1 1 p 2 2 p r r Feladat: 3. Legye ξ 1,...,ξ r poliomiális eloszlású véletle vetor és p j, 1 j r, r p j = 1 paramétereel. Eor Eξ j = p j, Varξ j = p j 1 p j, 1 j r, és Cov ξ j,ξ = p j p, 1 j, r, j. 4
b. A egatív biomiális eloszlás és aa speciális esete, a geometriai eloszlás. Most is először egy olya tipius példát teite, amelybe eze az eloszláso megjelee. Rögzítsü egy r pozitív egész számot, és dobju fel egy pézdarabot, amely p valószíűséggel esi a fej 1 p valószíűséggel az írás oldalra egymás utá többször egymástól függetleül, egésze addig amior az r-i fejdobás megjelei. Mi a valószíűsége aa, hogy ez a + r-i dobás? Ez a valószíűség +r 1 r 1 1 p p r. Ez ugyais azt jeleti, hogy az első + r 1 dobásba potosa r 1 fej és írás dobás törtét, amie valószíűsége +r 1 r 1 1 p p r 1, valamit a + r-i dobás fej, amie a valószíűsége p, és függetle az előző eseméytől. A egatív biomiális és geometriai eloszlás defiiciója. Azt modju, hogy a ξ valószíűségi változó egatív biomiális eloszlású r, r = 1,2,..., és p, 0 < p 1, paraméterrel, ha ξ r,r + 1,..., értéeet vesz fel és + r 1 Pξ = + r = 1 p p r, = 0,1,2,... r 1 Az r = 1 és p paraméterhez tartozó egatív biomiális eloszlást, azaz azt az eloszlást, amelyre Pξ = + 1 = p1 p, = 1,2,..., p paraméterű geometriai eloszlása is evezi. A másodi téma jegyzetébe tárgyalt 3. és 5. feladat megoldási módszerée a segítségével megmutatható, hogy a egativ biomiális eloszlás valóba valószíűségeloszlás, azaz Pξ = + r = 1 p p r = 1. E feladatoba ezt az állítást +r 1 r 1 csa egy speciális esetbe igazoltu, ha = 3, és p = 1 6, de az ott alalmazott módszer alalmazható az általáos esetbe is. Megmutatom, hogya lehet az 5. feladat megoldásába haszált módszert alalmazi az általáos esetbe. A övetező azoosságot fogju haszáli, amely a egatív biomiális eloszlás más tulajdoságaia a bizoyításába is haszos. + r 1 + r 1 + r 1 + r 2 r + 1r = = r 1! rr + 1 + r 2 + r 1 = 1! r r 1 r + 2 r + 1 r = 1 = 1.! Eze azoosság alapjá + r 1 Pξ = + r = r 1 1 p p r = r 1 1 p p r = 5 = 0,1,2,..., r p 1 p r,
egy r és p paraméterű egatív biomiális eloszlásra. A egatív biomiális eloszlás feti reprezetációja az oa eze eloszlás elevezésée. Ebből a épletből, illetve az 1 + x r függvéy 1 + x r = x, ha x < 1 alaú Taylor sor előállításából az is övetezi, hogy + r 1 r 1 amit állítottam. r 1 p p r = p r r p 1 = p r [1 + p 1] r = 1, Tárgyalju meg a egatív biomiális eloszlás éháy további fotos tulajdoságát. Feladat: 4. Bizoyítsu be valószíűségi meggodoláso segítségével, hogy egy r 1 és p paraméterű valamit egy r 2 és p paraméterű egatív biomiális eloszlás ovolúciója egy r 1 +r 2 és p paraméterű egatív biomiális eloszlású valószíűségeloszlás. Követezéséppe, egy r és p paraméterű egatív biomiális eloszlás előáll, mit r darab p paraméterű geometriai eloszlás ovoluciója. Megoldás: Teitsü ét egymásól függetle végtele fej-írás dobássorozatot, amelyebe az egyes dobáso p valószíűséggel ese a fej és 1 p valószíűséggel az írás oldalra. Teitsü azt a dobássorozatot, amely az első dobássorozat elemeiből áll, amíg az r 1 -i fejdobás megjelei, majd a másodi dobássorozat elemeivel folytatódi egész addig, amíg abba az r 2 -i fejdobás megjelei, majd a sorozat abbamarad. Jelölje ξ az így defiiált sorozat hosszát, ξ 1 e sorozata az első végtele dobássorozattal, ξ 2 pedig e sorozata a másodi dobássorozattal özös részée a hosszát. Eor ξ 1 és ξ 2 függetle valószíűségi változó, ξ 1 + ξ 2 = ξ, továbbá ξ 1, ξ 2 és ξ egatív biomiális eloszlású valószíűségi változó r 1,p, r 2,p, illetve r 1 + r 2,p paramétereel. Ie övetezi a feladat állítása. Lássu be az előbbi feladat állítását özvetle számolással is. Elég megmutati azt, hogy egy r és p paraméterű egatív biomiális eloszlású és egy p paraméterű geometriai eloszlás ovoluciója egy r + 1 és p paraméterű egatív biomiális eloszlás. Ehhez azt ell beláti, hogy r + j 1 1 p j p r 1 p j p = r 1 j=0 + r r 1 p p r+1. Ezt az azoosságot öye látju, ha tudju, hogy érvéyes a övetező azoosság: j + r 1 + r =. r 1 r j=0 Az utóbbi azoosság viszot övetezi például a övetező ombiatoriai érvelésből. A természetes számo halmazá +r r módo jelölhetü i r + 1 számot úgy, hogy a 6
agyság szerit r+1-i szám a +r+1 szám legye, és az azoosság jobboldala ezzel egyelő. Ezt viszot úgyis iszámolhatju, hogy azt teitjü, háy olya elredezés va, amelybe az r-i ijelölt pot a j + r, az r + 1-i pedig a + r + 1 szám, majd összegezü 0 j -ra. Mivel rögzített j-re az ilye elredezése száma j+r 1 r 1, ie övetezi a felírt azoosság. Megmutatom, hogy hogya lehet a 4. feladat állítását aalitius módo bebizoyítai. Teitsü az r és p paraméterehez tartozó g r,p x geerátorfüggvéyt, azaz a övetező összeget: + r 1 g r,p x = 1 p p r x +r. r 1 Ha belátju, hogy ez az összeg overges például az 1 < x < 1 itervallumo, valamit g r1,pxg r2,px = g r1 +r 2,px, aor ie az ötödi téma ismertetésée végé tett észrevételeből övetezi az állítás. A g r,p x függvéy viszot egyszerűe zárt alara hozható az 1 azoosság segítségével. Valóba, r r g r,p x = 1 1 p p r x +r = px r 1 px = px r 1 1 px r = px 1 1 px ami az 1+x r függvéy hatváysoráa az alajából látható. Ie viszot öye látható a geerátorfüggvéyere felírt azoosság. Számítsu i egy egatív biomiális eloszlású valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét. Ezt iszámíthatju a geerátorfüggvéy deriválásáa segítségével. Először egy más módszert választu. Egy geometriai eloszlású valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét iszámolju diret módo, majd az általáos esetet visszavezetjü erre. Legye ξ geometriai eloszlású valószíűségi változó p paraméterrel, azaz legye Pξ = + 1 = p 1 p, = 0,1,... Eor Eξ = r, + 11 p p = p 1 p 1, Eξ 2 = p 2 1 p 1, és Var ξ = Eξ 2 Eξ 2. Deriválju étszer a x < 1 azoosságot. Azt apju, hogy 1 1 x 2 = x 1, =1 2 1 x 3 = 1x 2. =2 7 x = 1 1 x,
1 Ie x = 1 p helyettesítéssel p = 1 p 1, Eξ = p 1 p 1 = p 2 p = 1 2 p, =1 =1 2 1 p 1 = 1 p 11 p 2 + 1 p 1 = 21 p p + 1 3 p, 2 Eξ 2 = 21 p p 2 Feladat: + 1 p =2, Varξ = 21 p p 2 =1 + 1 p 1 p 2 = 1 p 2 1 p = 1 p p 2. 5. Számítsu i egy és p paraméterű egatív biomiális eloszású valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét aa az ismerete a segítségével, hogy egy p paraméterű geometriai eloszlású valószíűségi változó várható értée 1 p és szóráségyzete 1 p p. 2 Megoldás: Teitsü függetle geometriai eloszlású ξ 1,...,ξ r valószíűségi változót, és legye S = ξ j. Eor S egatív biomiális eloszlású valószíűségi változó és p paramétereel. Továbbá, ES = Eξ 1 = 1 p p, Var S = p. 2 Tárgyalju meg, hogya lehet egy egatív biomiális eloszlású valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét iszámoli a geerátorfüggvéye ismeretébe. Sőt, lássu be egy olya formulát, amely általáosabb esetbe is alalmazható. Legye P = {p : = 1,2,...}, p 0, = 0,1,2,..., p = 1, valószíűség eloszlás a em egatív egész számoo. Vezessü be az eze eloszláshoz tartozó gx = g P x = p x. geerátorfüggvéyt. Vegyü észre, hogy a gx függvéyt defiiáló hatváysor overges a 1 < x < 1 itervallumba. Továbbá étszeri deriválás és az x = 1 formális helyettesítés azt sugallja, hogy valamit g x = p x 1, g x = =1 g 1 = p, g 1 = =1 1p x 2, =2 1p, és eze azoosságo segítségével iszámolhatju a eresett várható értéet és szóráségyzetét. Ugyais Eξ = p = g 1, Eξ 2 = 2 p = 1p + p = g 1 + g 1, ahoa Varξ = Eξ 2 Eξ 2 = g 1 + g 1 g 1 2. Felmerül a érdés, szabad-e az alábbi számolásoat végrehajtai. A problémát az oozza, hogy hatváysoroat szabad tagoét deriváli a overgeciatartomáy 8 =2 =2 =1
belsejébe, de mi az x = 1 helyettesítést hajtottu végre, és lehet, hogy a gx függvéy hatváysora em terjeszthető i egy a 1, 1 itervallumál agyobb itervallumra. A egatív biomiális eloszlás geerátorfüggvéye eseté egy ilye iterjesztés lehetséges, de érdemes az általáos esetet is teitei, amior em lehet ezt a lehetőséget izári. Az aalízis bizoyos eredméyei biztosítjá a feti számolás jogosságát. Egyrészt igaz az, hogy ha egy hx = a x hatváysor overges egy A,A itervallum- ba, és a ha = a A összeg overges, aor lim hx = ha. Másrészt, ha x A a hx Taylor-sor a együtthatói em egatíva, aor lim hx = ha. Speciálisa, x A ha ebbe az esetbe lim hx < aor ha <. Ezee az eredméyee az x A alalmazásával A = 1 és hx = g x illetve hx = g x választással meg lehet mutati a feti számoláso jogosságát. Érdemes megjegyezi, hogy az általáos esetbe a g 1 = lim g x, g 1 = lim g x épletet ell alalmazu aa érdeébe, hogy x 1 x 1 a g 1 és g 1 számoat értelmezi tudju. Megjegyzés: Az, hogy egy hatváysor hogya viseledi a overgeciaörée szélé, a omplex függvéyta egyi ehéz és fotos érdése. Aa érdeébe, hogy lássu egy egyszerű példát, amely rávilágíthat arra, hogy vigyázi ell a formális számoláso sorá, teitsü az hx = 1 1+x = 1 x hatváysort. Eor hx overges a 1 < x < 1 itervallumba, h1 = 1 2, és hx hatváysora az x = 1 potba, a 1 sor, diverges. Ez a példa azért em mod elle a fet elmodottaa, mert ebbe a hatváysorba vaa egatív együttható is. Feladato: 6. Lássu be, hogy ameyibe egy ξ valószíűségi változó geerátorfüggvéye valamely gx függvéy, aor Eξ = g 1, Var ξ = g 1 + g 1 g 1 2, ahol az általáos esetbe a g 1 = lim g x és g 1 = lim g x éplete defiiáljá x 1 x 1 ezeet a meyiségeet. Számolju i egy r és p paraméterű egatív biomiális eloszlású valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét, felhaszálva, px hogy e valószíűségi változó geerátorfüggvéye a 1 1 px r függvéy. Megoldás: A gx = p x függvéy ét egymásutái deriválása és az x = 1 helyettesítés adja, hogy g 1 = p = Eξ, g 1 = 1p = Eξξ =1 =1 1. Mit azt az előadáso megtárgyaltu az aalízis bizoyos eredméyei lehetővé teszi a fet alalmazott tagoéti deriválást. Ezért Eξ = g 1, Eξ 2 = g 1 + g 1, és Var ξ = g 1 + g 1 g 1 2. 9
Az r és p paraméterű egatív biomiális eloszlás geerátorfüggvéye r px gx =. 1 1 px Ie g x = rp px 1 1 px r 1 1 1 1 px 2, r 2 g x =rr 1p 2 px 1 1 1 px 1 1 px 4 + rp px 1 1 px r 1 21 p 1 1 px 3. Behelyettesítéssel Eξ = r p, g 1 = r2 +r p 2 2r p, Varξ = g 1+g 1 g 1 2 = r1 p 7. Mutassu példát olya P = {p : = 1,2,...}, p 0, = 0,1,2,..., p 2. p = 1, valószíűség eloszlásra a em egatív egész számoo, amelye gx = p x geerátorfüggvéye semmilye ε > 0 szám eseté em terjeszthető i a 1 ε < x < 1 + ε itervallumra. Megoldás: Legye α > 1 tetszőleges szám. Eor Cα = 1 <, és p α = 1 p α = Cα, = 1,2,..., valószíűségeloszlás. Ee geerátor függvéye a α p x = 1 x Cα semmilye ε > 0 számra em overgál a 1 ε < x < 1+ε α =1 =1 x itervallumo, mert mide x > 1 számra lim =. α 8. Legye ξ geometriai eloszlású valószíűségi változó, azaz legye Pξ = = p1 p 1, = 1,2,... Itt a geometriai eloszlása az eredeti defiiciótól formálisa eltérő, de azzal evivales jellemzését adtu meg. A Pξ = valószíűségeet adtu meg = 1,2,... értéere a Pξ = + 1, = 0,1,2,... valószíűsége helyett. Lássu be, hogy ξ teljesíti a övetező diszrét öröifjú tulajdoságot. Pξ = + l ξ > l = p1 p 1 = Pξ =, l = 0,1,2, = 1,2,... 2 Adju meg ee az azoossága a valószíűségszámítási magyarázatát is. Megoldás: Pξ = + l ξ > l = Pξ = + l = Pξ = l + j =1 p1 p+l 1 p1 p l+j 1 = 1 p 1 = p1 p 1 = Pξ =. 1 p j j=0 10
Teitsü egy a fej-oldalára p valószíűséggel eső pézérme végtele egymás utái feldobását. A most bebizoyított azoosság baloldalá aa a feltételes valószíűsége áll, hogy az l-i dobás utá még dobást ell tei ahhoz, hogy az első fejdobás megjeleje, feltéve, hogy az első l dobásba, em volt fejdobás. Mivel az első l dobás és az utáa övetező dobáso eredméyei egymástól függetlee, és az egyes dobáso fej-oldalra való esésée ugyaayi a valószíűsége, ezért ez a feltételes valószíűség megegyezi aa a valószíűségével, hogy a -i dobás az első fejdobás. A 2 azoosság ezt a téyt fejezi i. Megjegyzés. Összegezve a 2 formulát rögzített l-re és mide > m-re valamilye rögzített m em egatív egész számra azt apju, hogy mide l > 0 és m > 0 egész számra Pξ > l + m ξ > l = Pξ > m. Ezt az azoosságot lehet úgy iterpretáli, hogy ha valaie az élettartama geometriai eloszlású, azaz aa a valószíűsége, hogy a időpotba fog meghali Pξ = = p1 p, = 1,2,..., aor aa a valószíűsége, hogy az illető az l időpot utá még legalább m ideig fog éli feltéve, hogy az l életort megélte ugyaayi, mit aa a valószíűsége, hogy egy hasoló eloszlású újszülött legalább m ideig fog éli. Ezért ezt az azoosságot szoás diszrét öröifjú tulajdosága evezi. A diszrét jelző itt arra utal, hogy a geometriai eloszlás csa em egatív egész számora teljesíti ezt az azoosságot. Később láti fogju, hogy va egy olya eloszlás, az expoeciális eloszlás, amely teljesíti ee az azoossága egy természetes általáosítását mide pozitív valós számra. Ezt hívjá öröifjú tulajdosága, ami az expoeciális eloszlása egy agyo fotos tulajdosága. c. A hipergeometrius eloszlás. Teitsü először egy tipius példát, amelybe ilye eloszláso megjelee. Adva va egy urába M piros és N M fehér golyó. Visszatevés élül ihúzu, N, golyót. Mi aa a valószíűsége, hogy piros golyót húztu i? Ez a valószíűség M N M. Valóba, ha megülöböztetjü az egyes golyóat, N aor N ülöböző húzáseredméy alaulhat i. Nem ülöböztetü meg ét húzáseredméyt, ha ugyaazoat a golyóat húztu i csa más sorredbe. Kissé részletesebbe ifejtve: Az urába levő golyóat számozzu meg 1-től N-ig úgy, hogy a piros golyó apjá az 1,...,M és a fehér golyó az M + 1,...,N számoat. Egy hosszúságú visszatevés élüli húzássorozat eredméye egy az 1,..., N számoból álló hosszú számsorozat, amelye mide tagja ülöböző. A ülöböző húzássorozato számát számolju i, ha azoosítu ét olya sorozatot, amelybe ugyaazo a számo szerepele csa más sorredbe. Ezutá azo hosszúságú húzássorozato számát számolju össze, amelyebe piros, azaz az 1,...,M számo valamelyiével idexezett golyó va. Olya húzássorozat, amelybe az M piros golyóból -t, az N M fehér golyóból pedig -t húzu M N M va. Mivel eze azo az hosszú húzássorozato, amelyebe potosa piros golyót húzu, és az egyes húzássorozato valószíűsége megegyezi, ie övetezi az állítás. A hipergeometrius eloszlás defiiciója. Azt modju, hogy a ξ valószíűségi változó hipergeometrius eloszlású N, M és paramétereel, ahol N, M és em 11
egatív egész számo, M < N, < N, ha ξ valamely egész értéet vesz fel, amelyre 0, és M N M Pξ = = N, 0. Ilye módo valóba eloszlást defiiáltu. A Pξ = = 1 azoossággal evivales eloszlás vizsgálatába. M N M = N azoosságot más jelöléssel beláttu a biomiális A övetező feladat egy tipius probléma, ahol a hipergeometrius eloszlás megjelei. Számolju i aa valószíűségét, hogy a lottóba potosa három találatu lesz. E feladat megoldását tartalmazza a 2. téma ismertetésée 6. feladata. Ezért ezt em ell újra tárgyalom. Oldju meg a övetező feladatoat. Feladato: 9. Számolju i egy N, M és paraméterű hipergeometrius eloszlású ξ valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét, azaz egy olya valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét, amelyre M N M Pξ = = N, 0. Mutassu meg, hogy Eξ = M N, Var ξ = M N 1 M N N 1. Megoldás: Teitsü egy urát, amely M piros és N M fehér golyót tartalmaz, és húzzu i golyót visszatevés élül. Defiiálju a övetező ξ j, 1 l, valószíűségi változóat. Legye ξ j = 1, ha a j-i húzás piros, ξ j = 0, ha a j-i húzás fehér. Eor a megoldadó feladat evivales az S = ξ j összeg várható éréée és szóráségyzetée a iszámolásával. Viszot már orábbi eredméyeből övetezi, hogy Eξ j = M N, Varξ j = M N M N mide 1 j N idexre, továbbá, Cov ξ j,ξ = M M 1 N N 1 M 2 N mide 1 j,, j számpárra. A várható érté additivitásából övetezi, hogy ES = M N. Itt ics szüség az összeadadó függetleségée a feltételezésére. Az összeg szóráségyzetée iszámítására tault általáos épletből, amior az összeadadó em feltétleül függetlee és a feti formulából övetezi, hogy Var S = Var ξ 1 + 1Cov ξ 1,ξ 2 2 2 M M = N M M 1 M + 1 N N N 1 N 12 2
= M 1 M N M 1 N N N 1N = M 1 M 1 1 = M N N N 1 N 1 M N N N 1. Ha egy urahúzásba N és N M agy, azaz so fehér és piros golyó va az urába, és fix számú golyót ihúzu, aor a húzáseredméy szempotjából alig va jeletősége aa, hogy a ihúzott golyóat visszadobju-e vagy sem. Ilye jellegű állítást fogalmaz meg a övetező egyszerű feladat. M 10. Ha N, lim N N = p, 0 < p < 1, rögzített egész szám, aor M N M lim N N = p 1 p mide 0 számra. Megoldás: M N M N =!!! MM 1 M + 1 NN 1 N + 1 p 1 p ha N, N M N M + + 1 N N + 1 mert MM 1 M +1 NN 1 N +1 p, és N M N M ++1 N N +1 1 p, ha N. A hipergeometrius eloszlás természetes többváltozós általáosítása a polihipergeometrius eloszlás. Ee megértése érdeébe teitsü a övetező feladatot: Egy urába r ülöböző szíű golyó va, N 1 1-es, N 2 2-es,... N r r-es szíű golyó. Legye N = r N j. Ezeből a golyóból ihúzu -et visszatevés élül. Mi aa a valószíűsége, hogy 1 1-es, 2 2-es,... r r-es szíű golyót húzu i? A válasz: N1 N2 1 2 Nr N, ha = r r, egyébét pedig ulla. Ee az állítása a bizoyítása hasolóa törtéhet, mit a hipergeometrius eloszlás bevezetése előtt teitett feladaté. Ee a feladata az alapjá vezetté be a övetező fogalmat. A polihipergeometrius eloszlás defiiciója. Azt modju, hogy a ξ 1,...,ξ r véletle vetor polihipergeometrius eloszlású N 1,...N r és paramétereel, ahol N j, 13 r
1 j r, és em egatív egész számo, és N = r N j jelöléssel < N, ha olya 1,..., r egész számoból álló vetoro az értéei, amelyere 0 j N j mide 1 j r idexre, és Pξ 1 = 1,...,ξ r = r = N1 és Pξ 1 = 1,...,ξ r = r = 0, ha r j. N2 1 2 Nr N, ha = r r j, Mivel a polihipergeometrius eloszlás számura evésbé fotos, ezért egy ilye eloszlású véletle vetor várható értéée és ovariaciáia iszámolását csa a em ötelező taayagot tartalmazó 2. iegészítésbe tárgyalom. d. A Poisso eloszlás. A Poisso eloszlást özvetleül fogom defiiáli. Azo a tulajdoságai, amelye miatt fotos szerepet játszi a valószíűségszámításba eze eloszlás tárgyalása sorá foga iderüli. A Poisso eloszlás defiiciója. Egy ξ valószíűségi változó λ paraméterű Poisso eloszlású, ha ξ em egatív egész értéeet vesz fel, és Pξ = = λ! e λ, = 0,1,2,... Ez valóba valószíűség eloszlás, mert Pξ = = λ! e λ = e λ λ! = e λ e λ = 1. Számítsu i egy λ paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó geerátorfüggvéyét. Ez Pξ = x = λ! e λ x = e λ λx! = e λ e λx = e λx 1. A övetező állítást fotossága miatt fogalmazzu meg Tétel formájába. Tétel függetle Poisso eloszlású valószíűségi változó összegée eloszlásáról. Ha ξ és η ét függetle, λ illetve µ paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó, aor ξ + η λ + µ paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó. 14
Bizoyítás: Pξ + η = = = Pξ = j,η = j = j=0 j=0 Pξ = jpη = j j=0 λ j µ j e λ j! j! e µ = e λ+µ! = e λ+µ λ + µ.! j=0! j! j! λj µ j Feladat: 11. Mutassu meg, hogy a Poisso eloszlás geerátorfüggvéyée alajából látható, hogy ha ξ és η ét függetle, λ illetve µ paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó, aor ξ + η λ + µ paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó. Megoldás: Mivel egy λ paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó geerátorfüggvéye e λx 1, egy µ paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó geerátorfüggvéye e µx 1, és egy λ+µ paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó geerátorfüggvéye e λ+µx 1 a feladat állítása övetezi az azoosságból. e λx 1 e µx 1 = e λ+µx 1 A feti eredméy övetezméye, hogy ameyibe véges so függetle, Poisso eloszlású valószíűségi valószíűségi változóa vesszü az összegét, az ismét Poisso eloszlású lesz, amelye paramétere az egyes valószíűségi változó paramétereie az összege. A övetező feladat állítása, amelye érdees övetezméyei vaa, teithető úgy, mit ee az állítása a megfordítása. Abba ugyais egy alalmas ostrució segítségével egy Poisso eloszlású valószíűségi változót botu fel függetle, isebb paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó összegére. Feladat: 12. Legye adva darab ura, és ezebe dobju be véletle ξ számú golyót, ahol ξ Poisso eloszlású valószíűségi változó λ > 0 paraméterrel. Legyee az egyes dobáso eredméyei egymástól és a ξ valószíűségi változótól függetlee. Tegyü fel továbbá, hogy mide egyes dobásál a golyó p j 0 valószíűséggel esi a j-i urába, j = 1,...,, p j = 1. Jelölje η j a j-i urába eső golyó számát. Eor az η j, j = 1,...,, valószíűségi változó függetlee, és η j Poisso eloszlású λp j paraméterrel, j = 1,...,. 15
Megoldás: Pη 1 = l 1,...,η = l = Pξ = l 1 + + l l 1 + + l! p l 1 l 1! l! 1 p l = λl 1+ +l p l 1 l 1! l! 1 p l e λ = λl1 λ l l 1! l! pl 1 1 p l e λp 1+ +p = λp j l j tetszőleges l 1 0,..., l 0 egész számora. Ie adódi az állítás. Lássu be az előző feladat segítségével a övetező állítást: l j! e λp j 13. Legye adva egy ξ Poisso eloszlású valószíűségi változó λ paraméterrel. Dobju le egymástól és a ξ valószíűségi változótól függetleül véletleül egyeletese ξ darab potot az egységitervallumra, azaz tegyü fel, hogy mide pot b a valószíűséggel esi valamely [a, b] [0, 1] itervallumba. Eor a [0, 1] itervallum tetszőleges felbotására [s 0,s 1 ], [s 1,s 2 ],..., [s 1,s ] diszjut itervallumora, 0 = s 0 < s 1 < < s = 1 igaz az, hogy az egyes itervallumoba eső poto száma egymástól függetle Poisso eloszlású valószíűségi változó s j s j 1, 1 j, paraméterrel. Megoldás: Teitsü a övetező uramodellt. Veszü ξ számú golyót, tehát ayit, aháy ledobott potot vettü az előző feladatba. Tegyü az l-i golyót a j- i urába, ha a l-i pot az [s j 1,s j ] itervallumba esett, 1 j. Aor az előző feladat eredméye alapjá az egyes urába eső golyó száma egymástól függetetle Poisso eloszlású valószíűségi változó s j s j 1, 1 j, paraméterrel. Ie övetezi a feladat állítása. Megjegyzés. Az előző feladat eredméye egyszerű módszert ad úgyevezett Poisso folyamato ostruálására. Ez azoba em témája ee az előadássorozata. Számítsu i egy ξ λ paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét. Eξ = Eξ 2 = =1 =1 λ! e λ = e λ λ 2 λ! e λ = =2 =1 = e λ λ 2 és Var ξ = Eξ 2 Eξ 2 = λ + λ 2 λ 2 = λ. λ 1 1! = λe λ+λ = λ, 1 λ! e λ + 16 =2 =1 λ! e λ λ 2 2! + λ = λ2 + λ,
Megjegyzem, hogy a Poisso eloszlás várható értéére és szóráségyzetére apott eredméye összhagba vaa azzal a téyel, hogy függetle Poisso eloszlású valószíűségi változó összege olya Poisso eloszlású valószíűségi változó, amelye paramétere az összeadadó paramétereie az összege. Ugyais mid a várható érté mid a szóráségyzet additív függetle valószíűségi változó összegzése eseté. Feladat: 14. Legyee ξ j, j = 1,...,r, függetle Poisso eloszlású valószíűségi változó λ j, 1 j r, paramétereel. Mutassu meg, hogy r P ξ 1 = 1,...,ξ r = r ξ j =! r λ = j j 1! r! r j, λ s s=1 ha r j =. Azaz a ξ 1,...,ξ r vetor feltételes eloszlása feltéve, hogy r j = a poliomiális eloszlás és p j = λ j r, 1 j r, paramétereel. λ s s=1 Megoldás: r P ξ 1 = 1,...,ξ r = r ξ j = = Pξ 1 = 1,...,ξ r = r r P ξ j = = Pξ 1 = 1 Pξ r = r r, P ξ j = mert {ω: ξ 1 ω = 1,...,ξ r ω = r } {ω: valószíűségi változó függetlee. Ie r ξ jω = }, és a ξ 1,...,ξ r r P ξ 1 = 1,...,ξ r = r ξ j = = r = s=1 r! 1! r! λ j j j! e λ j λ s 1+ +r e λ 1 + +λ r r! λ j j r j. λ s s=1 A övetező eredméy a biomiális eloszlás Poisso özelítéséről szól. Lemma a biomiális eloszlás Poisso özelítéséről. Mide = 1, 2,... számra teitsü egy S biomiális eloszlású valószíűségi változót B,p eloszlással, azaz 17
és p paramétereel. Tegyü fel továbbá, hogy a λ = p, = 1,2,..., számo teljesíti a lim λ = λ feltételt valamilye λ > 0 számmal. Eor mide = 0,1,2,... számra. lim PS = = λ! e λ Bizoyítás: PS = = λ! 1 λ 1 λ λ = 1 + 1 1 λ λ! e λ, ha mide = 0,1,2,... számra, mert λ! λ!, 1 λ e λ, 1 λ 1, és 1 +1 1, ha. Az előző lemma eredméye azt modja, hogy ha teitü függete, egyforma eloszlású ξ j, 1 j, valószíűségi változót, amelyere Pξ j = 0 = 1 Pξ j = 1 = λ, majd vesszü eze S = ξ j összegét, aor és λ λ eseté az S összege eloszlása tart a λ paraméterű Poisso eloszláshoz. Korábbi eredméyeiből az is övetezi, hogy olya T = η j alaú = 1,2,..., véletle összegere, amelyebe rögzített számra az η j valószíűségi változó függetlee és Poisso eloszlásúa λ paraméterrel, és lim λ = λ > 0 szité teljesül a lim PT = = λ! e λ reláció mide egész számra. Eor ugyais T Poisso eloszlású λ paraméterrel. Az előbb teitett ét példa speciális esete egy általáosabb határeloszlástétele Poisso határeloszlással. Ismertetem ezt az eredméyt, majd megtárgyalom aa övetezméyeit. Megmutatom, hogy eze eredméy alapjá miért természetes feltei, hogy bizoyos jeleségebe megjeleő véletle meyisége pl. csillaghullásor a lehulott csillago száma vagy rádióatív bomlásba a széthasadt uráatomo száma Poisso eloszlású. Határeloszlástétel Poisso határeloszlással. Legye adva mide rögzített = 1,2,... számra ξ 1,...,ξ függetle egyforma eloszlású, em egatív egész értéeet 18
felvevő valószíűségi változó olya sorozata, mely sorozato teljesíti a övetező feltételeet: a lim P ξ 1 = 1 = λ > 0. b lim P ξ 1 2 = 0. Eor az S = ξ j, = 1,2,..., véletle összegere teljesül a lim PS = = λ! e λ reláció mide em egatív egész számra. Megjegyzés: Érvéyes e tétel állításáa megfelelő általáosítása. Alalmas feltétele mellett függetle em egatív egész értéű, de em feltétleül azoos eloszlású valószíűségi változó összegée az eloszlása overgál egy Poisso eloszláshoz. Egy ilye a feti tételhez hasolóa bizoyítható állítást megfogalmazo em ötelező házi feladat formájába. Ee az eredméye több ülöböző bizoyítása ismeretes. Az egyi taulságos bizoyítás a geerátorfüggvéye módszeré alapul. Itt ezt a bizoyítást fogom ismerteti. A tétel bizoyításáa godolata: Teitsü az S valószíűségi változó G x = PS = jx j, = 1,2,..., j=0 geerátorfüggvéyeit. A geerátorfüggvéy módszer azt sugallja, hogy lássu be a lim G x = Gx relációt valamilye A < x < A, A > 0, itervallumba, ahol Gx = e λx 1, a λ paraméterű Poisso eloszlás geerátorfüggvéye. Ugyais, mivel hatváysoro overgeciájából övetezi a hatváysoro deriváltjaia a overgeciája is, és hatváysoroat szabad tagoét deriváli, e relációból övetezi a lim d G x dx x=0 = dg x dx x=0 = λ e λ összefüggés mide = 0,1,2,... számra. Ee az érve a jogosságát issé részletesebbe tárgyaltam az 5. téma ismertetésébe. Az idolás felhaszálja az aalízis éháy alapvető, de em triviális eredméyét. Azaz ebből a relációból övetezi, hogy! lim! e λ mide = 0,1,... számra. PS = =! λ A bizoyítadó reláció igazolásáa érdeébe vegyü észre, hogy a G x függvéyt felírhatju a geerátorfüggvéye tulajdoságai miatt a övetező alaba: G x = gx mide 1 < x < 1 számra, ahol g x = Pξ 1 = jx j, a ξ 1 valószíűségi változó geerátorfüggvéye. 19 j=0
A feti azoosságot felhaszálva, majd a bizoyítadó relációba logaritmust véve elég megmutati azt, hogy lim log g x = λx 1. Továbbá, mivel P ξ 1 = 0 = 1 P ξ 1 = 1 P ξ 1 = j, ezért j=2 g x = 1 + P ξ 1 = 1 x 1 + P j=2 ξ 1 = j x j 1. Ezért az a és b feltétele miatt azt várju, hogy a g x 1 + λ x 1 formula jó özelítés. Mivel log1 + u u is u számora, ezért természetes azt vári, hogy log g x λ x 1 jó özelítés, és lim log g x = λ x 1, ahoa övetezi a Tétel állítása. A Tétel bizoyítását befejezzü, ha igazolju a feti özelítése jogosságát. A Tétel bizoyításáa befejezése. Vegyü észre, hogy mide ε > 0 számra létezi olya 0 = 0 ε üszöbidex, amelyre g x 1 + λ x 1 < ε, ha 0 és x < 1. Valóba a g x = 1 + P ξ 1 = 1 x 1 + x P ξ 1 = j j 1 azoosság teljesül. Ezeívül a b relációból övetezi, hogy x P ξ 1 = j j 1 2 P ξ 1 = j = 2P ξ 1 2 ε 2, j=2 j=2 és az a relációból pedig az, hogy P ξ 1 = 1 x < 1. Ezért igaz a feti azoosság. j=2 x 1 λ x 1 < ε 2, ha 0 és Továbbá, mivel mit azt például a log1 + x függvéy Taylor sorfejtéséből lehet láti, log1 + u u < u 2, ha u < 1 2, ezért a feti egyelőtleségből u = g x 1 választással apju, hogy log g x g x 1 < 2ε log, és g x λx 1 < 3ε, ha 1, és x 1 alalmas 1 = 1 ε üszöbidexre. Mivel ez az állítás igaz mide ε > 0 számra, ezért lim log g x = λx 1, lim g x = e λx 1, ha x < 1. Viszot láttu, hogy ie övetezi a Tétel állítása. Nem ötelező házi feladat. Legye ξ 1,1...,ξ 1,1.. ξ,1...,ξ,.... 20
szériasorozat, azaz tegyü fel, hogy az egy sorba álló valószíűségi változó függetlee. Tegyü fel továbbá, hogy e valószíűségi változó teljesíti a övetező feltételeet: 1. A ξ,j valószíűségi változó em egatív egész értéeet vesze fel. 2. Pξ,j = 1 = λ,j, lim λ,j = λ > 0. 3. sup λ,j 0, ha, és P ξ,j 2 0, ha. 1 j Eor az S = ξ,j valószíűségi változó eloszlásba overgála a λ paraméterű Poisso eloszláshoz, ha, azaz lim PS = l = λl l! e λ mide l = 0,1,2,... számra. A most bizoyított határeloszlástétel szemléletes tartalma: Teitsü például a csillaghullást. Háy hullócsillagot látu egy adott időitervallumba, modju egy óra alatt egy yár éjszaai megfigyelése? Szereté tudi, hogy a lehullott csillago véletle száma milye valószíűségi törvéyee tesz eleget. Ezt megértedő, osszu fel az egy óra időitervallumot rövid T hosszúságú időitervallumora. A lehullott csillago száma e rövid T időitervallumoba lehullott csillago számáa az összege. Feltehetjü, hogy diszjut időitervallumoba lehullott csillago száma egymástól függetle, és a ülöböző rövid itervallumoba lehulló csillago száma hasoló valószíűségi törvéyeet teljesít. Aa a valószíűsége, hogy egy rövid időitervallumba lehull egy csillag agyo icsi, és aráyos az időitervallum hosszával. Aa a valószíűsége, hogy egy is időitervallumba ettő vagy még több csillag is lehull, még ehhez épest is elhayagolhatóa icsi. Ez azt jeleti, hogy természetes feltei, hogy teljesüle az előbb megfogalmazott tétel feltételei. Ezért az alalmazható, és ie övetezi, hogy egy adott időitervallumba lehullott csillago száma Poisso eloszlású. Hasoló érvelés alalmazható so más hasoló esetbe. Ez magyarázza meg, hogy miért ülööse fotos a Poisso eloszlás. A diszrét eloszlású valószíűségi változóról szóló ismertetést egy a hipergeometrius eloszlással apcsolatos statisztiai problémával zárom az 1. iegészítésbe. Ez a példa azért is érdees lehet, mert természetes módo megismertet miet a matematiai statisztia éháy olya fotos fogalmával, mit a becslés vagy a ofideciaitervallum. 21
1. iegészítés. Egy a hipergeometrius eloszlással apcsolatos statisztiai problémáról. Teitsü először a övetező problémát: Feladat: Egy tóba 3000 hal va. Véletleül ihalásza belőle 1000 darabot, és ezere piros pöttyöt festee és visszaegedi őet. Ezutá ismét ifoga véletleül 1000 halat. Mi aa a valószíűsége, hogy a ifogott hala özött 100 megfestett va? Megoldás: 1000 2000 900 3000 1000, mert eyi aa a valószíűsége, hogy 1000 hal iválasztása eseté az 1000 megfestett halból 100-at a 2000 meg em festett halból pedig 900 halat választu. Megjegyzés: A gyaorlatba előforduló érdés ee a fordítottja. Elvégezzü a feti isérletet, megszámolju a másodi fogásba ifogott megfestett hala számát, és ebből próbálu a tóba levő hala ismeretle számára övetezteti. Milye eljárás segítségével tudju ezt jól megtei? Érdemes ezt a problémát részletesebbe megtárgyali. Nem tudju, hogy háy hal va a tóba. De ee megbecslése érdeébe a övetező eljárást alalmazhatju: Végezzü ét fogást, az első fogásba ifogott halaat jelölju meg, és számolju meg, hogy a másodi fogásba háy megjelölt és megjelöletle halat fogtu. Ee alapjá meg aarju állapítai, hogy háy hal lehet összese a tóba. Ezt természetese csa bizoyos véletletől függő potossággal tudju meghatározi. Az ilye tipusú feladato tipiusa a matematiai statisztiába, az ilye problémá vizsgálatát evezi becsléselmélete. Világos, hogy a feladatba szereplő adato eseté em valószíű, hogy 1000-él alig több hal va a tóba, mert aor soal több megjelölt hal lee a másodi fogásba. Az hogy regeteg, modju 1 000 000 hal lee a tóba szité em túl valószíű, mert aor soal evesebb megjelölt hal lee a másodi fogásba. A matematiai statisztiába idolgozta egy általáos elvet, egy maximum lielihood módszere evezett eljárást, amely agyo általáos feltétele mellett jó módszert ad a miet érdelő meyiség becslésére. Megtárgyalju, hogy milye eredméyt ad ez a jele esetbe is alalmazható módszer. Teitsü egy issé általáosabb problémát. Vezessü be a övetező jelöléseet: x jelöli a tóba lévő hala ismeretle számát. jelöli az első fogásba ifogott és megjelölt hala számát. r jelöli a másodi fogásba ifogott hala számát. jelöli a másodi fogásba ifogott, előzöleg megjelölt hala számát. Aa valószíűsége, hogy adott ismeretle x és, r számo eseté potosa megjelölt halat fogu i x q x,,r = r x. r 22
Teitsü az ismeretle x szám maximum lielihood becslésée azt az x számot, amelyre a q x,,r meyiség rögzített, és r számo mellett maximális. Határozzu meg a feti feladatba a maximum lielihood becslést. Némi számolás mutatja, hogy q x,,r q x 1,,r = x x r + x r x = x2 rx x + r x 2 rx x + x. Ez a tört isebb mit egy, ha r < x, agyobb mit egy, ha r > x. Ezért a becslés r = x, azaz x = r, potosabba az e számot özrefogó egész számo valamelyie. Valóba x < r esetébe a q x,,r függvéy mit az x változó függvéye rögzített, és r paramétereel mooto ő, x > r esetébe pedig a q x,,r függvéy mooto csöe. Természetes érdés az, hogy az így apott becslés valóba jó-e. Azt em várhatju, hogy az adott becslés teljese potos. A természetes elvárás az, hogy meg tudju adi az x pota viszoylag egy is öryezetét, egy olya [x a,x+a] itervallumot, amelyre igaz, hogy aa valószíűsége, hogy a hala valódi száma ebbe az itervallumba esi agyobb, mit egy előírt egyhez özeli szám. A matematiai statisztiába az adott tulajdosággal redelező véletle itervallumot ofidecia megbízhatósági itervalluma hívjá. Ahhoz, hogy ilye ofideciaitervallumot tudju szeresztei szüség va bizoyos valószíűségi változó eloszlásáa jobb ismeretére, és ez a valószíűségszámítás egyi alapvető feladata. Jegyezzü meg, hogy a most vizsgált feladatba, ha a tóba x számú hal va, és az első fogásba, a másodi fogásba pedig r halat fogu i, aor a másodi fogásba ifogott véletle számú megjelölt hal számáa a várható értée E = r x. Ahhoz, hogy vizsgáli tudju meyire jó a becslés, hogya lehet jó ofideciaitervallumot ostruáli, azt ell megérteü, hogy meora az igadozása a valószíűségi változóa a várható értée örül. Ezért érdemes egy hipergeometrius eloszlás szóráségyzetét iszámoli. További értées iformációat yerhetü, ha tételeet bizoyítu hipergeometrius eloszláso aszimptotius eloszlására aor, amior a bee szereplő paramétere agyo. Bár ezzel a érdéssel em fogu foglalozi, hasoló problémáat fogu tárgyali, amelye vizsgálatába ilye jellegű érdése megoldása haszos. 23
2. iegészítés. A polihipergeometrius eloszlás várható értée és szóráségyzete. Először a övetező lemmát látom be. Lemma 1. Legyee ξ 1,...,ξ L és η 1,...,η M valószíűségi változó ugyaazo a valószíűségi mező. Eor L M L M Cov ξ j, = Cov ξ j,η. η =1 =1 Bizoyítás. L M Cov ξ j, Ee alapjá =1 η L M = E ξ j = L =1 =1 M Eξ j η η E L =1 L ξ j M Eξ j Eη = E L M η =1 =1 M Cov ξ j,η. Lemma 2. Legye ξ 1,...,ξ r polihipergeometrius eloszlású véletle vetor N 1,...N r és paramétereel. Eor Eξ j = N j N, Var ξ j = N j N 1 N j N N N 1 mide 1 j r idexre, és Cov ξ j,ξ = NN jn N 1N 2 mide 1 j, r, j idexpárra. Bizoyítás. Számítsu i először a Cov ξ j,ξ ovariaciafüggvéyt. Ee érdeébe teitsü egy urát, bee N 1 1-es, N 2 2-es,..., N r r-es szíű golyót, és húzzu i belőlü golyót visszatevés élül. Legye N = r N r, és vezessü be a övetező η l,s, 1 l, 1 s r, valószíűségi változóat: η l,s = 1, ha az l-i húzásba s-es szíű golyót húzu, és η l,s = 0, ha az l-i húzás eredméye más. Defiiálju a ξ s = η l,s véletle összegeet, 1 s r. Eor a Cov ξ j,ξ ovariaciafüggvéyt l=1 =1 ell iszámolu az előbb defiiált valószíűségi változóal. Számolju i először a Cov η l,j,η l, ovariaciafüggvéyeet. Külö ell választai az l = l és l l eseteet. Mid a ét esetbe haszálhatju azt a téyt, hogy hasolóa a ét szíű golyót tartalmazó uramodellhez aa, hogy milye valószíűséggel húzo bizoyos előírt szíű golyóat adott húzásba em függ attól, hogy hayadi húzást teitettü. Az l = l esetbe Cov η l,j,η l, = P η l,j = 1,η l, = 1 P η l,j = 1P η l, = 1 = P η 1,j = 1P η 1, = 1 = N jn N 2. 24
Ha l l, aor Cov η l,j,η l, = P η l,j = 1,η l, = 1 P η l,j = 1P η l, = 1 = P η 1,j = 1,η 2, = 1 P η 1,j = 1P η 1, = 1 = N jn NN 1 N jn N 2. Ie az 1. lemma eredméye alapjá Cov ξ j,ξ = N jn Nj N N 2 + 1 NN 1 N jn N 2 = NN jn N 1N 2. Az Eξ j és Var ξ j meyiségeet is i lehet számítai hasolóa, de erre ics szüség. Ha csa azt vesszü figyelembe, hogy az l-i húzásba j-es vagy más szíű golyót húztu-e, azaz csa az η j,l valószíűségi változóal dolgozu, aor rövid meggodolás utá láthatju, hogy ugyaazt az eredméyt apju, mit a ét szíel redelező hipergeometrius eloszlást modellező uramodell eseté M = N j és N M = N N j paramétereel. Ezért Eξ j = N j N, Varξ j = N j N 1 N j N N N 1. 25