Hatványsorok, elemi függvények

Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények

Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények) A H függvényhalmaz elemeiből képzett ( f n ) : N H sorozatot függvénysorozatnak nevezzük.

Hatványsorok, elemi függvények EL 3 Példa: nemnegatív egész kitevős függvényekből álló függvénysorozat f n () n, ]-1,1[, n0,1,, f 0 () 1, ]-1,1[ f 1 (), ]-1,1[ f (), ]-1,1[ f 3 () 3, ]-1,1[ : f n () n, ]-1,1[ :

Hatványsorok, elemi függvények EL 4 Definíció: függvénysor Legyen (f n ) : N H egy függvénysorozat. Az (f n ) elemeiből képzett s 1 f 1 s f 1 + f n s 3 f 1 + f + f 3 s n f i : i 1 s n f 1 + f + + f n : sorozatot függvénysornak nevezzük. Jelölés (s ) n1 n f n

Hatványsorok, elemi függvények EL 5 Példa n 0 Megjegyzés f n () n 0 n ]-1,1[ A változó rögzített értéke mellett a függvénysor egy számsor. A fenti példában az 1/ érték mellett például a számsort kapjuk. n 0 1 n

Hatványsorok, elemi függvények EL 6 Definíció: hatványsor Legyen 0 R, a n R, (n0,1,, ). Az f n () ( 0 ) n hatványfüggvényekből képzett n 0 f n () a n 0 n ( 0 ) n, z R speciális függvénysort hatványsornak nevezzük. Példa n 0 f n () n 0 n ]-1,1[ Itt 0 0, a n 1 (n0,1,, )

Hatványsorok, elemi függvények EL 7 Megjegyzés Rögzített érték mellett a hatványsor egy számsor. Hatványsorok esetén fontos kérdés, hogy melyek azok a értékek, melyek mellett a hatványsor konvergens. Példa A n0 n hatványsor konvergens, ha ]-1,1[.

Hatványsorok, elemi függvények EL 8 Tétel: hatványsor konvergenciatartománya Egy n 0 a n (z z0) n hatványsor esetén a következő három eset lehetséges: 1. ESET A hatványsor csak egy pontban, 0 esetén konvergens, az ettől különböző pontokban divergens. Ekkor azt mondjuk, hogy a konvergencia sugár 0.

Hatványsorok, elemi függvények EL 9. ESET A hatványsor egy pont egy véges környezetében konvergens, pontosabban: van olyan r>0, hogy a hatványsor konvergens, ha 0 < r és divergens, ha 0 > r. Ekkor azt mondjuk, hogy a konvergencia sugár r, az 0 pont r sugarú nyílt környezetét a hatványsor konvergencia tartományának nevezzük. (Ez nem más, mint az ] 0 r, 0 +r[ nyílt intervallum. Megjegyzés A konvergenciatartomány határán való viselkedés kérdéses.

Hatványsorok, elemi függvények EL 10 Példa A n0 n hatványsor konvergencia tartománya a ]-1,1[ intervallum.

Hatványsorok, elemi függvények EL 11 3. ESET A hatványsor mindenhol, azaz minden R esetén konvergens. Ekkor azt mondjuk, hogy a konvergencia sugár, a konvergenciatartomány pedig a teljes számegyenes. Példa A 0 n n z n! hatványsor mindenhol konvergens.

Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Definíció: hatványsor összegfüggvénye Tekintsük a n 0 a n ( 0) n hatványsort, és definiáljuk az f függvényt a hatványsor konvergencia tartományában a következőképpen f () n 0 a n ( 0) (Az f függvény értéke egy helyen egyenlő a rögzítésével kapott számsor összegével.) Az f függvényt a hatványsor összegfüggvényének nevezzük. n

Hatványsorok, elemi függvények EL 13 Példa: A n0 n hatványsor konvergencia tartománya a ]-1,1[ intervallum. Itt fennáll, hogy n 0 n 1 1 így a hatványsor összegfüggvénye: f () 1 1

Hatványsorok, elemi függvények EL 14 A n 0 n 1 1 hatványsor első néhány tagja és összegfüggvénye:

Hatványsorok, elemi függvények EL 15 A n 0 n 1 1 hatványsor első néhány részletösszege és összegfüggvénye:

Hatványsorok, elemi függvények EL 16 A természetes alapú eponenciális függvény Definíció: eponenciális függvény A 0 n n n! hatványsor mindenhol konvergens. Összegfüggvénye: n 0 n n! e R e 1+ +! + 3 3! + 4 4! +...

Hatványsorok, elemi függvények EL 17 e 1+ +! + 3 3! R

Hatványsorok, elemi függvények EL 18 A természetes alapú logaritmus függvény Az e természetes alapú eponenciális függvény inverze az log e ln függvény. A természetes alapú eponenciális és logaritmus függvény grafikonja: e ln

Hatványsorok, elemi függvények EL 19 Definíció Eponenciális függvények Ha a R, a>0, akkor legyen a e lna, R A valós változós eponenciális függvények grafikonja: a, ha a > 1 a, ha 0 < a < 1

Hatványsorok, elemi függvények EL 0 Definíció A szinusz függvény n+ 1 n 3 5 7 sin( ) ( 1) sin() + +... n 0 (n + 1)! 3! 5! 7! sin

Hatványsorok, elemi függvények EL 1 sin 3 3! + 5 5!

Hatványsorok, elemi függvények EL A koszinusz függvény Definíció: n n 4 6 cos( ) ( 1) cos() 1 + +... n 0 (n)!! 4! 6! cos

Hatványsorok, elemi függvények EL 3 A sin és cos függvények nevezetes értékei (π180 )

Hatványsorok, elemi függvények EL 4 A trigonometrikus függvényekre vonatkozó azonosságok

Hatványsorok, elemi függvények EL 5 A trigonometrikus függvényekre vonatkozó azonosságok

Hatványsorok, elemi függvények EL 6 A trigonometrikus függvények kapcsolata

Hatványsorok, elemi függvények EL 7 A tangens és a kotangens függvény Definíció tg () sin() cos() ctg () cos() sin()

Hatványsorok, elemi függvények EL 8 A szinusz hiperbolikusz függvény Definíció sh() e e R A szinusz hiperbolikusz függvény előállítása hatványsorral: n+ 1 3 5 sh () sh() + + +... n 0 (n + 1)! 3! 5! sh

Hatványsorok, elemi függvények EL 9 Definíció: A koszinusz hiperbolikusz függvény ch() e + e R A koszinusz hiperbolikusz függvény előállítása hatványsorral: n 4 ch () ch() 1+ + +... n0 (n)!! 4! A ch függvény grafikonja (láncgörbe): ch

Hatványsorok, elemi függvények EL 30 Definíció A tangens hiperbolikusz és a kotangens hiperbolikusz függvény th () sh() ch() cth () ch() sh()

Hatványsorok, elemi függvények EL 31 A hiperbolikusz függvényekre vonatkozó azonosságok

Hatványsorok, elemi függvények EL 3 A hiperbolikusz függvényekre vonatkozó azonosságok

Hatványsorok, elemi függvények EL 33 Kapcsolat a hiperbolikusz függvények között

Hatványsorok, elemi függvények EL 34 A hatványfüggvények 3

Hatványsorok, elemi függvények EL 35 1/ 1/3-1 -

Hatványsorok, elemi függvények EL 36 Inverzfüggvény (lásd a halmazok című fejezetben is) A hatvány, az eponenciális, a trigonometrikus és a hiperbolikus függvények inverzei Definíció: invertálható függvény Ha minden y R f elemhez pontosan egy olyan D f elem létezik, melyre f()y, akkor az f függvényt invertálható függvénynek nevezzük.

Hatványsorok, elemi függvények EL 37 Példák Az f(), D f R függvény invertálható Az f(), D f R nem invertálható függvény Az f(), D f [0,+ [ függvény invertálható

Hatványsorok, elemi függvények EL 38 Definíció: inverzfüggvény Ha f invertálható függvény, akkor azt a g: R f D f függvényt, melyre minden D f esetén fennáll, hogy g o f ( ) az f függvény inverzfüggvényének nevezzük. Jelölés g f -1

Hatványsorok, elemi függvények EL 39 Példa f() f -1 () log Df R R f ]0, + [ D 1 ]0, + [ R 1 R f f

Hatványsorok, elemi függvények EL 40 Definíció: Legyen 0<a R, a 1. Logaritmus függvények Az log a függvény a valós a eponenciális függvény inverze. log a, ha a > 1 log a, ha 0 < a < 1

Hatványsorok, elemi függvények EL 41 A definíció szerint Kapcsolat függvény és inverze között f 1 of () fof 1 () azaz, ha egy függvényből és az inverzéből összetett függvényt képezünk, akkor az identikus függvényt kapjuk. Példa f() f -1 ()log f 1 of () log fof 1 () log

Hatványsorok, elemi függvények EL 4 Példa Kapcsolat függvény és inverze között Függvény és inverze esetén az értelmezési tartományok és az értékkészletek felcserélődnek: D f R f 1 R f D f 1 f() f -1 ()log D R 1 f f R R 1 f D ]0, + [ f

Hatványsorok, elemi függvények EL 43 Kapcsolat függvény és inverze között f és f 1 grafikonjai egymás tükörképei az egyenesre vonatkozóan f és f 1 monotonitása azonos

Hatványsorok, elemi függvények EL 44 Hatványfüggvény inverze 1 n f () 1 n f () (n R, n 0) Példa f() D f [0, [ ( )

Hatványsorok, elemi függvények EL 45 A trigonometrikus függvények inverze f() sin f -1 () arcsin π sin 6 1 arcsin 1 π 6

sin arcsin cos arccos

tg arctg ctg arcctg

A hiperbolikusz függvények inverzei sh arsh ch arch

th arth cth arcth

Hatványsorok, elemi függvények EL 50 Polinomfüggvények Definíció A polinomok a változó nem negatív egész kitevős hatványainak valós számokkal képzett lineáris kombinációi P() a 0 + a 1 + a + a 3 3 + + a n n Polinom fokszáma: Polinom főegyütthatója: n a n

Hatványsorok, elemi függvények EL 51 A polinomok a legegyszerűbben kezelhető függvények, ezért sokszor célszerű bonyolultabb függvényeket polinomokkal közelíteni (lásd: interpolációs polinomok, Taylor polinomok a differenciálszámításnál, közelítő integrálás a Simpson formulával, stb.) A polinomok vizsgálatában a legalapvetőbb feladat a zérushelyek (gyökök) megkeresése, a gyöktényezős felbontás előállítása és az előjelvizsgálat.

Hatványsorok, elemi függvények EL 5 Tétel: gyöktényezős felbontás Minden (legalább első fokú) polinom egyértelműen felbontható elsőfokú és valós gyökkel nem rendelkező másodfokú polinomok szorzatára. A felbontásban szereplő elsőfokú tényezők a gyöktényezők, melyek egy-egy gyökhöz tartoznak az alábbiak szerint: 0 pontosan akkor gyöke egy polinomnak, ha az (- 0 ) gyöktényező szerepel a felbontásban.

Hatványsorok, elemi függvények EL 53 Példa P() 4 18 + 3 15 (-3) (-1) (+5) gyökök: 1 3, 1, 3-5 Előjelvizsgálat (lásd: folytonos függvények előjelváltása): <-5-5 -5<<1 1 1<<3 3 3< -3 - - - - - 0 + (-1) + + + 0 + + + +5-0 + + + + + P() + 0-0 - 0 +

Hatványsorok, elemi függvények EL 54 Másodfokú polinom gyöktényezős felbontása A P()a +b +c másodfokú polinom gyökttényezős felbontása az a +b +c0 másodfokú polinomegyenlet megoldásával kapható meg az alábbiak szerint: 1. eset: ha az egyenletnek két különböző gyöke van: 1 és, akkor P() a + b +c a (- 1 ) (- ). eset: ha az egyenletnek egy (pontosabban két egybeeső) gyöke van: 0, akkor P() a + b +c a (- 0 ) 3. eset: ha az egyenletnek nincs gyöke, akkor a polinom nem bontható elsőfokú polinomok szorzatára

Hatványsorok, elemi függvények EL 55 Másodfokú egyenlet megoldóképlete Az a +b +c0 másodfokú polinomegyenlet gyökeit adja a következő formula b ± b a 4ac A b -4ac kifejezés (diszkrimináns) értékétől függően a másodfokú polinomegyenletnek 0, 1, vagy db gyöke van. Megjegyzés A harmad- és a negyedfokú polinomegyenlethez van megoldóképlet, de lényegesen bonyolultabb a másodfokúénál.

Hatványsorok, elemi függvények EL 56 Megjegyzés Magasabb fokú polinomok gyökeinek megkeresésére különféle módszerek vannak. Például: egy gyök ismeretében a megoldandó egyenlet fokszáma eggyel csökkenthető a polinomosztás alkalmazásával. Példa Határozzuk meg a P() 3 - -+1 harmadfokú polinom gyökeit, ill. a gyöktényezős felbontását! Ehhez az 3 - -+10 harmadfokú polinomegyenletet megoldani. kell

Hatványsorok, elemi függvények EL 57 Mivel 1 gyöke a polinomnak a gyöktényezős felbontásukban szerepel az (-1) gyöktényező, vagyis P felbontása: P() ( 1 ) Q() ahol Q() egy másodfokú polinom, amit a Q() P() / (-1) polinomosztással tudunk meghatározni: ( 3 +1) : ( 1) 1 Q() (-) 3. + 1 (-) +1 0

Hatványsorok, elemi függvények EL 58 Így a P polinom felbontása: P() ( 1 ) Q() ( 1 ) ( 1 ) A Q() 1 másodfokú polinom tovább bontható, így a P gyöktényezős felbontása: P() ( 1) ( 1) ( + 1) ( 1) ( + 1) A gyökök pedig: 1 1 (kétszeres gyök), a megfelelő gyöktényező: ( 1) -1 (egyszeres gyök), a megfelelő gyöktényező: ( + 1)

Hatványsorok, elemi függvények EL 59 Interpoláció (Lagrange-féle interpolációs polinomok) Ha adott pontokra illesztünk egy függvényt meghatározott függvényosztályból, akkor interpolációról beszélünk. Interpolációt alkalmazunk például, ha két mennyiség összefüggésének vizsgálatára végzünk méréseket, és egy függvényosztályból keresünk egy olyan függvényt, mely a mérési eredményeknek megfelelő pontokon átmegy.

Hatványsorok, elemi függvények EL 60 Tétel: Lagrange féle interpolációs polinomok Ha adott n darab ( 1,y 1 ),, ( n,y n ) alappont úgy, hogy i j, ha i j akkor pontosan egy olyan legfeljebb (n-1)-edfokú L polinom létezik, mely illeszkedik mindegyik pontra. Ezt a polinomot n-edfokú interpolációs polinomnak nevezzük. Tétel: Lagrange féle interpolációs polinomok meghatározása L() n i 0 y g i i() ahol g i () n j 0 i j i j j

Hatványsorok, elemi függvények EL 61 Példa g g g g 1 3 4 () () () () i 0 1 3 y i 0 3 1 3 ( 1)( )( 3) (0 1)(0 )(0 3) ( 0)( )( 3) (1 0)(1 )(1 3) ( 0)( 1)( 3) ( 0)( 1)( 3) ( 0)( 1)( ) (3 0)(3 1)(3 ) 3 3 3 6 + 11 6 6 3 5 + 6 4 3 6 + 3 + L 1 1 3 3 4 4 () y g () + y g () + y g () + y g () 0 3 6 + 11 6 6 + 3 3 5 + 6 + 1 3 g 4 + 3 i () L() + 3 3 n j 0 i j i n i 0 y g 3 6 j j i i () +

Hatványsorok, elemi függvények EL 6 0 3 6 + 11 6 6 + 3 3 5 + 6 + 1 3 4 + 3 + 3 3 3 3 3 6 7 + + 17 A megadott pontokra illeszkedő harmadfokú polinom: L() 3 3 7 + 17

Hatványsorok, elemi függvények EL 63 Definíció Racionális törtfüggvények A racionális törtfüggvények a két polinom hányadosaként előálló függvények f () P() a n n 1 n n 1 k k 1 Q() bk + bk 1 + a +... + +... + a b 1 1 + a + b 0 0 Megjegyzés: szakadási helyek A Q polinom zérushelyeinél az f racionális törtfüggvények szakadása van, mely kétféle lehet: hézagpont, vagy pólus (lásd a folytonosság c. részt).

Hatványsorok, elemi függvények EL 64 Példa: racionális törtfüggvény, szakadási helyek 3 4 + 3 ( 1)( 3) f () 3 ( 1) A nevező gyöktényezős felbontásából látható, hogy az f függvénynek az 0 és az 1 helyeken van szakadása. A tört egyszerűsítésével a következő függvény adódik: f *() 3 1 Vegyük észre, hogy az f és az f* függvények között csupán annyi a különbség, hogy az f* értelmezve van az 1 helyen, míg az f nincs. 3

Hatványsorok, elemi függvények EL 65 ( 1)( 3) f () ( 1) f *() 3 1 3 Az f függvénynek az 1 helyen hézagpontja van, itt az f* függvény értelmezve van (és folytonos), míg az 0 helyen pólusa van, itt az f* függvény sincs értelmezve.

Hatványsorok, elemi függvények EL 66 Az, hogy egy f racionális törtfüggvénynek az 0 szakadási helyén hézagpontja vagy pólusa van attól függ, hogy a leegyszerűsítéssel nyert f* függvény nevezőjében megmarad-e az (- 0 ) gyöktényező: ha nem marad meg (vagyis, ha az f* függvény már folytonos lesz az 0 helyen), akkor f-nek az adott helyen hézagpontja van (ezt a folytonosság témakörben megszüntethető szakadásnak fogjuk nevezni) ha megmarad (vagyis, ha az f* függvénynek is szakadási helye 0 ), akkor f-nek az adott helyen pólusa van.

Hatványsorok, elemi függvények EL 67 páros pólus páratlan pólus ha a gyöktényező az f* függvény nevezőjében páros hatványon marad ha a gyöktényező az f* függvény nevezőjében páratlan hatványon marad

Hatványsorok, elemi függvények EL 68 Az abszolút érték függvény és az előjel függvény 1,ha > 0,ha 0 sgn() 0,ha 0,ha < 0 1,ha < 0 sgn

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 69 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy tetszőleges részhalmaza.

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 70 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye van az o D helyen, ha f( o ) 0. Megjegyzés A matematikai problémák jelentős része visszavezethető függvény zérushelyeinek megkeresésére.

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 71 Definíció: korlátosság Az f:d R függvény felülről [alulról] korlátos, ha az értékkészlete felülről [alulról] korlátos halmaz. Definíció: korlát Az értékkészlet felső korlátja / pontos felső korlátja (sup) / alsó korlátja / pontos alsó korlátja (inf) a függvény ugyanolyan jellegű korlátja.

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 7 Definíció: monotonitás Az f:d R függvény monoton növekvő monoton csökkenő szigorúan monoton növekvő szigorúan monoton csökkenő ha a 1, D, 1 < f( 1 ) < f( ). > szigorúan monoton növekvő függvény szigorúan monoton csökkenő függvény

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 73 Példa A fogyasztási függvény tipikusan növekvő függvény, hiszen nagyobb jövedelem általában nagyobb fogyasztási kiadást eredményez.

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 74 Definíció: szélsőérték (maimum, minimum) Az f:d R függvénynek maimuma [minimuma] van az 0 D helyen, ha f( 0 ) az f értékkészletének legnagyobb [legkisebb] eleme. Definíció: helyi (lokális) szélsőérték Az f:d R függvénynek helyi maimuma [minimuma] van az 0 D helyen, ha 0 -nak van olyan U környezete, melyben az f függvénynek maimuma [minimuma] van az 0 helyen.

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 75 Példa Egy sebesség-idő függvény: a sebesség 3s-ig növekszik, itt eléri a maimumát (1 m/s), utána csökken. Megjegyzés Szemléletesen fogalmazva: a helyi szélsőérték-helyek a függvény különböző monotonitású szakaszait választják el egymástól.

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 76 Definíció: konveitás Az f:i R függvény konve [konkáv], ha az I intervallum bármely két u<v eleme esetén az (u,f(u)) és a (v,f(v)) pontokat összekötő szakasz (húr) az f függvény felett [alatt] halad. Definíció: infleió Az f:d R függvénynek az D helyen az infleiós pontja van, ha van az -nek olyan ]-ε,+ε[ környezete, hogy az f függvénynek az ]-ε,] intervallumon konve [konkáv], míg az [,+ε[ intervallumon konkáv [konve].

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 77 Példa A fogyasztási függvény tipikusan konkáv, mivel a jövedelem növekedése esetén a fogyasztási kiadások egyre kisebb mértékben növekednek, azaz a növekedés üteme csökken.

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 78 Definíció: paritás Legyen a D R halmaz szimmetrikus az origóra. Az f:d R függvény páros [páratlan], ha bármely D esetén f(-) f() [ f(-) -f() ]. Megjegyzés Példa A páros függvények grafikonja tengelyesen szimmetrikus a függőleges tengelyre, a páratlan függvények grafikonja középpontosan szimmetrikus az origóra. A trigonometrikus függvények közül a sin, tg, ctg függvények páratlanok, a cos függvény páros.

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 79 Definíció: periódus Az f:r R függvényt periodikusnak nevezzük, ha van olyan pozitív p szám, melyre teljesül, hogy bármely R esetén f(+p)f(). Ha az f függvény periodikus, akkor végtelen sok megfelelő p érték van. A definícióban meghatározott tulajdonságú p értékek halmazának van legkisebb eleme, akkor ezt a számot az f függvény periódusának nevezzük.

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 80 Példa A trigonometrikus függvények periodikusak. A sin és a cos függvények periódusa π, a tg és a ctg függvények periódusa π. (Pontonkénti) műveletek R R függvényekkel Definíció: összeadás Az f:d R és a g:d R függvények összege az az (f+g):d R függvény, melyre: ( f + g )( ) f ( ) + g ( )

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 81 Hasonlóan értelmezzük a másik három (pontonkénti) alapműveletet is: Definíciók: kivonás, szorzás, osztás Az f:d R és a g:d R függvények különbsége, szorzata, hányadosa: ( f g )( ) f ( ) g ( ), D ( f g )( ) f ( ) g ( ), D ( f / g )( ) f ( ) / g ( ), D (ha 0 R g )

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 8 Definíció: folytonosság Az f:[a,b] R f függvény folytonos az 0 [a,b] helyen, ha bármely ( n ):N D f, n 0 sorozat esetén az f( n ):N R f sorozatra fennáll, hogy f ( n ) f ( 0 ). Példa Az f() függvény folytonos az 0 3 helyen, mert ha n 3, akkor f( n ) ( n ) 9 f(3)

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 83 Megjegyzés A folytonosság pontbeli tulajdonság. Definíció: jobb oldali folytonosság Az f:]a,b[ R függvény jobbról folytonos az 0 ]a,b[ helyen, ha az f függvény [ 0,b[ intervallumra való leszűkítése folytonos az 0 helyen. Definíció: bal oldali folytonosság Az f:]a,b[ R függvény balról folytonos az 0 ]a,b[ helyen, ha az f függvény ]a, 0 ] intervallumra való leszűkítése folytonos az 0 helyen.

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 84 Tétel Az f:]a,b[ R függvény folytonos az 0 ]a,b[ helyen f balról és jobbról is folytonos az 0 helyen. Példa Ez a függvény mindenhol folytonos balról, de a 0, 1, és a 3 helyeken nem folytonos jobbról.

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 85 Definíció: intervallumon folytonos függvény Az f:i R függvény folytonos az I intervallumon, ha folytonos az I minden pontjában.

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 86 Tétel Intervallumon folytonos függvények néhány tulajdonsága Ha az f:[a,b] R függvény folytonos [a,b]-n, akkor az értékkészlet bármely c,d R f, c<d elemei esetén a [c,d] R f. Vagyis: intervallumon folytonos függvény bármely két értéke közötti értékek mindegyikét felveszi. Következmény Ha a fenti feltételek mellett az f(a) és az f(b) függvényértékek előjele különböző, akkor az f függvénynek van zérushelye az intervallum belsejében.

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 87 Tétel Zárt [nyílt] intervallumon értelmezett folytonos függvény képe zárt [nyílt] intervallum.

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 88 Tétel Zárt intervallumon folytonos függvények néhány tulajdonsága Ha az f:[a,b] R függvény folytonos, akkor van maimuma és van minimuma. Megjegyzés Nyílt intervallumon folytonos függvény nem feltétlenül korlátos, illetve ha korlátos, akkor sincs feltétlenül maimuma, illetve minimuma.

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 89 Megjegyzés HOL Függvények határértéke Míg a számsorozatok esetén a határérték csak egyféleképpen érthető (n ), addig egy függvény határértéke az értelmezési tartomány bármely torlódási pontjában megkérdezhető. MENNYI A R - + a R??? -??? +???

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 90 Definíció: határérték valós helyen ( végesben ) Legyen W R {-, + }. Az f:d R függvény D f értelmezési tartományának 0 torlódási pontjában az f függvény határértéke W, ha bármely ( n ) D f, n a sorozat esetén, melyre n 0 fennáll, hogy f( n ) W Jelölés lim f () 0 W Példa lim 0 1 +

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 91 Tétel: határérték és a folytonosság kapcsolata Az f:[a,b] R függvény pontosan akkor folytonos az 0 [a,b] helyen, ha f-nek létezik határértéke az 0 helyen, és az egyenlő az f( 0 ) függvényértékkel: lim f () f ( 0 0 ) Példa lim 3 9

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 9 Megjegyzés Figyeljük meg, hogy az 0 helyen vett határérték definíciójában nincs szó a függvény 0 -beli értékéről. Példa: határérték hézagpontban lim 3 3 3 3 lim 3 ( 3) 3 lim 3 9

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 93 Definíció: bal oldali határérték Legyen W R {-, + }. Az f:d R függvény D f értelmezési tartományának a torlódási pontjában az f függvény bal oldali határértéke W, ha bármely ( n ) D f, n <a (n N) sorozat esetén, melyre n a fennáll, hogy f( n ) W Jelölés lim a 0 f () W Példa lim 3 0 9

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 94 Definíció: jobb oldali határérték Legyen W R {-, + }. Az f:d R függvény D f értelmezési tartományának a torlódási pontjában az f függvény jobb oldali határértéke W, ha bármely ( n ) D f, n >a (n N) sorozat esetén, melyre n a fennáll, hogy Jelölés f( n ) W lim f () a + 0 W Példa lim 3+ 0 9

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 95 Példák 1 1 lim lim + 0 0 0+ 0 1 1 lim + lim + 0 0 0+ 0 lim 0 1 +

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 96 Példák: lim f () 0 0 0 lim f () 0 4 /8 lim f () 0 + 0 lim f () + 0 7 / 8

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 97 Definíció: határérték + -ben Legyen W R {-, + }. Az f:]a,+ [ R függvénynek a + -beli határértéke W, ha bármely ( n ) ]a,+ [ sorozat esetén, melyre n + fennáll, hogy f( n ) W Jelölés lim f () + W Példa lim arctg + π

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 98 Példa lim + +

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 99 Definíció: határérték - -ben Legyen W R {-, + }. Az f:]-,b[ R függvény + -beli határértéke W, ha bármely ( n ) ]-,b[ sorozat esetén, melyre n - fennáll, hogy f( n ) W Jelölés lim f () W Példa lim e 0

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 100 Tétel: határérték és a műveletek kapcsolata Ha a R az f és a g függvények értelmezési tartományának egyaránt torlódási pontja, továbbá A,B,c R, akkor limf () a A lim(f + g)() A + a limc f () a c A B és limg() a lim a (f g)() B A B továbbá ha még g() 0 ( D g ) és B 0 is fennáll, akkor lim a f g () A B

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 101 Megjegyzés Ha két (véges, vagy végtelen) határértékkel rendelkező függvény között műveletet végzünk, de nem teljesülnek az előző tétel feltételei, például azért, mert legalább az egyik függvény határértéke végtelen, vagy két 0 határértékű függvényt osztottunk el, akkor előfordulhat az is, hogy pusztán a határértékek alapján meg lehet állapítani az új függvény határértékét, de az is, hogy ez nem lehetséges (ha van egyáltalán határérték). Az utóbbi eseteket szokás határozatlan alakú határérték-feladatnak nevezni. A következő táblázatban? jelöli a határozatlan eseteket. A! jel arra utal, hogy előjelvizsgálattal a határérték megállapítható. A többi esetben a határérték szerepel.

lim f lim g lim f+g lim f-g lim g-f lim f g lim f/g lim g/f A>0 + + - + + 0 + A<0 + + - + - 0 - A>0 - - + - - 0 - A<0 - - + - + 0 + 0 + + - +? 0! 0 - - + -? 0! + + +?? +?? + -? + - -?? - - -?? +??

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 103 További határozatlan formák Ha limf () a 0 és limg() a 0 akkor a lim a f () g() határérték-feladat határozatlan. Ha limf () 0 a és limg() 0 a vagy limf () 1 a és lim a g() + vagy limf () + és limg() 0 a a akkor a [ ] g() lim a f () határérték-feladat határozatlan.

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 104 Definíció: megszüntethető szakadás Az f:]a, 0 [ ] 0,b[ R függvénynek megszüntethető szakadása van az 0 ]a,b[ helyen, ha létezik a határérték, továbbá a függvény folytonos 0 -ban. g() lim f () 0 A f (),ha A,ha 0 0 Példa Ezeknek a függvényeknek megszüntethető szakadása van:

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 105 Példák Az alábbi szakadások: függvények szakadásai nem megszüntethető

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 106 Példák Racionális törtfüggvények határértékének kiszámítása - -ben és + -ben: lim + 3 4 3 5 + 10 + 10 lim + 3 5 10 4 + + 10 3 3 0 lim 3 + 3 7 + 15 lim 1 + 15 7 + 3 1 7 lim + 3 + lim + 3 1+ lim 3 + lim 3 1+ +

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 107 Példák Racionális törtfüggvények határértékének kiszámítása valós helyen: 3 3 lim + 15 4 7 (Az helyen folytonos a függvény.) lim 3 3 3 + 15 lim 3 ( 3) ( + 5)( 3) lim 3 + 5 9 8 (Az 3 helyen hézagpontja van a függvénynek.) 3 3 lim lim 5 0 + 15 5 0 + 5 3 3 lim lim 5+ 0 + 15 5+ 0 + 5 + (Az -5 helyen pólusa van a függvénynek.)

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 108 Példák lim 3 8 1 6 5+ 1 lim 1 ( + + ) 4 1 1 1 6 3 lim 1 1 1 4 + + 1 6 1 3 3 3 lim lim ( )( ) + 1 + 1 1 1 3 + 1 ( 1)( + + ) lim ( + 1 )( 1 ) 1 + + 0