Numerikus módszerek 2.

Numerikus módszerek 2. 12. elődás: Numerikus integrálás I. Krebsz Ann ELTE IK 2015. május 5.

Trtlomjegyzék 1 Numerikus integrálás 2 Newton Cotes típusú kvdrtúr formulák 3 Hibformulák 4 Összetett formulák

Numerikus integrálás Feldt: z f (x) dx illetve z f (x)w(x) dx Riemnn integrál közelítő kiszámítás, hol w(x) 0 súlyfüggvény. Kézenfekvő lenne definícióvl (lsó- és felső közelítő összegekkel vgy Riemnn közelítő összeggel) számolni, zonbn így túl sokt kellene számolnunk pontosbb eredmény eléréséhez. Nem gzdságos.

Numerikus integrálás Alklmzási területei mtemtikábn: Amikor primitív függvény nem állíthtó elő zárt lkbn. Az nlitikus integrálás túl bonyolult lenne. Terület, térfogt, ívhossz számításnál. Differenciálegyeletek numerikus módszereinél módszerek konstrukciójkor. Péld: Számítsuk ki következő integrálok értékét! 1 0 e x 2 dx =?, π 0 cos(x 2 ) dx =?

Numerikus integrálás Alklmzási területei fizikábn: : Pl. forgtónyomték, sűrűség, görbület számításnál. H függvény csk mintvételezéssel dott. Péld: Egy gzdság területe egy folyó egyenes 10 km hosszú prtszkszánk egyik prtján fekszik. A folyó mentén kilométerenként megmérték, hogy folyór merőleges iránybn hány kilométerre nyúlik gzdság területe. A kpott 11 értékből számítsuk ki közelítően gzdság területét!

Ötlet: Numerikus integrálás Tekintsük z x 0 < x 1 <... < x n b felosztást és w(x) 0 súlyfüggvényt. Feltesszük, hogy w(x) dx <. Közelítsük z f (x) függvényt z interpolációs polinomjánk Lgrnge-lkjávl, L n (x)-el. f (x)w(x) dx = n k=0 L n (x)w(x) dx = f (x k ) n f (x k )l k (x)w(x) dx = k=0 l k (x)w(x) dx = } {{ } =:A k n A k f (x k ) k=0 Megj.: A k csk z lppontoktól és súlyfüggvénytől függ, f -től nem. Szingulritássl rendelkező függvények esetén lesz szerepe súlyfüggvénynek.

Definíció: Interpolációs kvdrtúr formulák Numerikus integrálás 1 A n k=0 A k f (x k ) formulát kvdrtúr formulánk nevezzük. 2 A kvdrtúr formul interpolációs típusú, h A k = l k(x)w(x) dx (k = 0,..., n). Tétel: Pontossági tétel f P n -re f (x)w(x) dx = A k = n A k f (x k ) k=0 l k (x)w(x) dx (k = 0,..., n) Biz.: Táblán.

Numerikus integrálás Következmény: 1 f 1-re pontos formul: n A k = w(x) dx =: µ 0. k=0 2 H w(x) 1, kkor n A k = b. k=0

Numerikus integrálás Megjegyzés.: A n k=0 A k f (x k ) képletben 2(n + 1) szbd prméter vn (A k, x k ), legfeljebb n + 1-edfokú polinomokr vló pontosság kevésnek tűnik. Kvdrtúr formul típusok: 1 Newton Cotes típus: w(x) 1 és z {x i : i = 0,..., n} lppontok egyenletes felosztású pontok [; b]-n. 2 Csebisev típus: A k A (k = 0,..., n). 3 Guss típus: mximális fokszámig (2n + 1) pontos formulák.

Newton Cotes formulák Newton Cotes típusú kvdrtúr formulák: w(x) 1 és x k = x 0 + kh Zárt formulák (Z(n)): és b lppont x 0 =, x n = b, h = b n és x k = + kh (k = 0,..., n) Nyílt formulák (Ny(n)): és b nem lppont h = b n + 2, x k = +kh (k = 0,..., n) zz x 0 = +h, x n = b h

Newton Cotes formulák A zárt N-C együtthtók számítás: A k = x = + th, t [0; n] x x j = (t j)h x k x j = (k j)h l k (x) dx = (x x 0 )... k... (x x n ) (x k x 0 )... k... (x k x n ) dx A t = x h helyettesítést bevezetve 0, b n és dx = h dt: n (t 0)(t 1)... k... (t n) A k = h 0 (k 0)(k 1)... k... (k n) dt

Newton Cotes formulák A B (z) k n A k = h 0 (t 0)(t 1)... k... (t n) (k 0)(k 1)... k... (k n) dt = n ( 1) n k = h k!(n k)! t(t 1)... (t n) dt = 0 (t k) ( 1) n k n = (b ) n k!(n k)! t(t 1)... (t n) dt 0 (t k) }{{} =B (z) k együtthtók függetlenek z [; b] intervllumtól.

Newton Cotes formulák A nyílt N-C együtthtók számítás. x = + th, t [0; n + 2] x x j = (t (j + 1)) h x k x j = (k j)h A k = l k (x) dx = (x x 0 )... k+1... (x x n ) (x k x 0 )... k+1... (x k x n ) dx A t = x h helyettesítést bevezetve 0, b n + 2 és dx = h dt: n+2 ((t 1)... k+1... (t (n + 1)) A k = h 0 (k 1)... k+1... (k (n + 1)) dt

Newton Cotes formulák n+2 ((t 1)... k+1... (t (n + 1)) A k = h 0 (k 1)... k+1... (k (n + 1)) dt = n+2 ( 1) n k = h k!(n k)! (t 1)... (t (n + 1)) dt = 0 (t (k + 1)) ( 1) n k n+2 = (b ) (n + 2) k!(n k)! (t 1)... (t (n + 1)) dt 0 (t (k + 1)) }{{} =B (ny) k A B (ny) k együtthtók függetlenek z [; b] intervllumtól.

Newton Cotes formulák Tétel: 1 n k=0 B k = 1 2 B k = B n k, k = 0,..., n Biz: 1 f 1-re pontos formul illetve 2 z lppontok szimmetriájából következik. (y := n t változó bevezetésével z integrálból.)

Newton Cotes formulák A N-C formulák együtthtóit más módon is meghtározhtjuk. A P n -re vló pontosság z integrál lineritás mitt zonos z 1, x, x 2,..., x n htványfüggvényekre vló pontossággl. Ebből A k -r LER-t írhtunk fel: 1 dx = b = A 0 + A 1 +... + A n x dx = 1 2 (b2 2 ) = A 0 x 0 + A 1 x 1 +... + A n x n...... x n dx = 1 n + 1 (bn+1 n+1 ) = A 0 x n 0 + A 1 x n 1 +... + A n x n n A kpott LER mátrix Vndermonde-mátrix trnszponáltj, tehát fenti módszer csk kézi számolásr hsználhtó.

Érintő formul (Ny(0)) Érintő formul (Ny(0)) f (b ) f ( ) + b =: E(f ) 2 Biz: Táblán. 2.5 2 1.5 1 0.5 0 1 1.5 2 2.5 3

Trpéz formul (Z(1)) Trpéz formul (Z(1)) Biz: Táblán. f b 2 (f () + f (b)) =: T(f ) 2.5 2 1.5 1 0.5 0 1 1.5 2 2.5 3

Simpson formul (Z(2)) Simpson formul (Z(2)) f b 6 ( f () + 4 f ( + b 2 ) ) + f (b) =: S(f ) Biz: Elég A 1 -et definícióból számolni. A 1 = l 1 (x) dx = ( +b = 4 (b ) 2 = 4 (b ) 2 (x )(x b) ) ( ) dx = 2 +b 2 b (x )(x b) dx = (x 2 ( + b)x + b) dx

Simpson formul (Z(2)) = 4 [ x 3 (b ) 2 3 = 4 (b ) 2 = = = Innen ( + b)x2 2 + b x = ( 1 3 (b3 3 ) 1 2 ( + b)(b2 2 ) + b(b )) = 4 ( ) 6(b ) 2 2(b 3 3 ) 3( + b)(b 2 2 ) + 6b(b ) = 4 ( 6(b ) 2 2b 3 2 3 (3b 2 3 3 + 3b 3 3 2 b) + 6b 2 6 2 b 4 ( 6(b ) 2 b 3 + 3 + 3b 2 3 2 b ] b ) = ) = 4(b )3 6(b ) 2 = 4 6 (b ) = A 1 A 0 + A 1 + A 2 = b, A 0 = A 2 A 0 = A 2 = 1 (b ). 6

Hibformulák Tétel (Emlékeztető): Az integrálszámítás középértéktétele H f C[; b] és g 0, ekkor ξ (; b): fg = f (ξ) g. Tétel: Az érintő formul hibáj H f C 2 [; b], ekkor η [; b]: f E(f ) = (b )3 24 f (η). Biz.: Táblán.

Hibformulák Tétel: A trpéz formul hibáj H f C 2 [; b], ekkor η [; b]: (b )3 f T(f ) = f (η). 12 Biz.: Táblán. Tétel: A Simpson formul hibáj H f C 4 [; b], ekkor η [; b]: (b )5 f S(f ) = f (4) (η). 2880 Biz.: Táblán.

Hibformulák Tétel: A N-C formulák hibáj Jelölje I(f ) jelöli N-C kvdrtúr formulát. 1 H n pártln és f C n+1 [; b], kkor f I(f ) = f (n+1) ω n (x) dx. (n + 1)! 2 H n páros és f C n+2 [; b], kkor f I(f ) = f (n+2) x ω n (x) dx. (n + 2)! Megjegyzés: Vgyis páros n esetén formul ngyobb pontosságot tud, mint mit elvárunk tőle. (Lásd érintő és Simpson formul.) Nem biz.

Biz.: Táblán. Trpéz összetett formul [; b]-t m egyenlő részre osztjuk és minden részintervllumon trpéz formulát (T(f )) lklmzunk. Trpéz összetett formul (Trpéz szbály) f b ( ) m 1 2m f () + 2 f (x k ) + f (b) k=1 =: T m (f ) Megj.: A megjegyzendő együtthtó sorozt: 1, 2, 2,..., 2, 2, 1. Tétel: A trpéz összetett formul hibáj H f C 2 [; b], ekkor η [; b]: (b )3 f T m (f ) = 12m 2 f (η).

Simpson összetett formul Legyen m páros és [; b]-t m egyenlő részre osztjuk, mjd z I k := [x 2k 2, x 2k ], (k = 1,..., m 2 ) részintervllumokr Simpson formulát (S(f )) lklmzunk. Vgyis belső felezőpontokt is megszámoztuk, így m 2 Simpson formulát hsználunk. Simpson összetett formul (Simpson szbály) S m (f ) := b 3m f () + 4 f S m (f ) m m 2 2 1 f (x 2k 1 ) + 2 f (x 2k ) + f (b) k=1 k=1 Megj.: A megjegyzendő együtthtó sorozt: 1, 4, 2, 4,..., 4, 2, 4, 1.

Tétel: A Simpson összetett formul hibáj H f C 4 [; b], ekkor η [; b]: (b )5 f S m (f ) = 180m 4 f (4) (η). Simpson összetett formul Biz.: Táblán. Megjegyzés: Az érintő formulából is készíthető összetett formul z előzőekhez hsonlón. H f C 2 [; b] illetve f C 4 [; b], kkor m esetén T m (f ) m 2 illetve m 4 ngyságrendben. f, illetve S m (f ) f

Richrdson-féle extrpoláció Richrdson-féle extrpoláció trpéz összetett formulár: Írjuk fel trpéz összetett formulát m-re és 2m-re: (b )3 f T m (f ) = 12m 2 f (η 1 ) (b )3 f T 2m (f ) = 48m 2 f (η 2 ) H f elég sim, kkor f (η 1 ) f (η 2 ), így 2. egyenlet 4-szereséből kivonv z 1. egyenletet 3 f 4T 2m (f ) + T m (f ) 0 f 1 3 (4T 2m(f ) T m (f ))

Richrdson-féle extrpoláció A trpéz szbály jvító formuláj A közelítés hibáj O(h 4 ). 1 3 (4T 2m(f ) T m (f )) = S m (f ) Péld: Az 1 0 x1/3 dx integrál kiszámításához Richrdson-féle extrpoláció nem hsználhtó, mert f nem deriválhtó 0-bn. Az ehhez hsonló szingulritások kezeléséhez más típusú módszerek kellenek. (Lásd Guss-kvdrtúr formulák.)

Richrdson-féle extrpoláció Richrdson-féle extrpoláció Simpson összetett formulár: Írjuk fel Simpson összetett formulát m-re és 2m-re: (b )5 f S m (f ) = 180 m 4 f (4) (η 1 ) (b )5 f S 2m (f ) = 180 16 m 4 f (4) (η 2 ) H f (4) elég sim, kkor f (4) (η 1 ) f (4) (η 2 ), így 2. egyenlet 16-szorosából kivonv z 1. egyenletet 15 f 16 S 2m (f ) + S m (f ) 0 f 1 15 (16 S 2m(f ) S m (f ))

Richrdson-féle extrpoláció A Simpson szbály jvító formuláj A közelítés hibáj O(h 6 ). 1 15 (16 S 2m(f ) S m (f ))

Richrdson-féle extrpoláció Megjegyzés: A Richrson-féle extrpolációból készített rekurzió Romberg integrálás lpj. A gykorlti számítások során jól hsználhtók következő tételek: Tétel: H f korlátos [; b]-n, kkor f T m (f ) T m(f ) T 2m (f ). H f (4) korlátos [; b]-n, kkor f S m (f ) S m(f ) S 2m (f ).