Dr Rsz Pétr Vlószíűségszámítás, mtmt sttszt Crtd y ImM 4 lmélt vzsgérdés Dr Rsz Pétr Vlószíűségszámítás, mtmt sttszt ímű tárgyához ( tljsség géy élül) Mt vzü lm sméy és sméytér? M z sméylgr? 3 M tljs sméyrdszr? 4 M -lgr? 5 Adjo éldát gy oly tljs sméyrdszrr, mly mgszámlálhtó végtl so sméy szrl! 6 Ismrtss rltív gyorság tuljdoságt! 7 Ismrtss vlószíűségszámítás ómát! 8 Igzolj, hogy A B sté P( A) P( B)! 9 Mvl gylő ét sméy ülöségé vlószíűség? Igzolj, hogy gy tljs sméyrdszr lm vlószíűségét összgzv -t u! M lsszus vlószíűség mző? Mvl gylő gy ttszőlgs sméy vlószíűség gy lsszus vlószíűség mző? 3 Hogy értlmzzü fltétls vlószíűségt! 4 Ttszőlgs A és C sméy sté hogy lht számol P ( A + C B) vlószíűségt? 5 Mor vzzü ét sméyt függtl? Adjo mg zzl vvls állítást! 6 Ismrtss tljs vlószíűség tétlét! 7 Ismrtss Bys-tétlt! 8 Adj mg vlószíűség változó dfíóját! 9 Hogy értlmzzü gy vlószíűség változó loszlásfüggvéyét? Mly solt v z omáls és Posso loszlás özött? Ismrtss z gy változós loszlás függvéy tuljdoságt! Igzolj, hogy gy vlószíűség változó loszlásfüggvéy mooto övvő! 3 Hogy értlmzzü sűrűségfüggvéyt? 4 Adj mg sűrűségfüggvéy rtrsztus tuljdoságt! Igzolj zot! 5 Írj fl z gylts, oáls és ormáls loszlás sűrűség- és loszlásfüggvéyét! 6 M z öröfjú tuljdoság? Mly fotos loszláso rdlz zzl tuljdosággl? 7 Adj mg várhtó érté dfíóját! 8 Lgy dszrét végs vlószíűség változó és gy ttszőlgs osts Igzolj, hogy ( + ) ( ) +! 9 Vzss l z gylts loszlás várhtó értéé éltét z [, ] trvllumo! 3 Vzss l z és rmétrű omáls loszlású vlószíűség változó várhtó értéét! 3 Vzss l gy Posso loszlású vlószíűség változó várhtó értéét! 3 Vzss l gy rmétrű oáls loszlású vlószíűség változó várhtó értéét! 33 Vzss l z m és rmétrű ormáls loszlású vlószíűség változó várhtó értéét! 34 Ismrtss várhtó érté tuljdoságt! 35 Hogy értlmzzü gy vlószíűség változó szórását? 36 Ismrtss szórás tuljdoságt! 37 Igzoljo szórás tuljdoság özül ttőt! 38 Ismrtss Mrov- gylőtlségt! 39 A Mrov-gylőtlség ljá mt állítht vlószíűség változó sté P ( < ( )) vlószíűségről? (>) 4 Ismrtss Cssv-gylőtlségt! 4 Ismrtss Broull-tétlt! 4 Adj mg étdmzós vlószíűség vtor változó dfíóját! 43 Ismrtss ét változós loszlás függvéy tuljdoságt! 44 A étváltozós loszlásfüggvéy tuljdoság özül zoyítso gyt! MISKOLCI GYTM, Géészmérö r, II évs műsz formtus hllgtó részér
Dr Rsz Pétr Vlószíűségszámítás, mtmt sttszt Crtd y ImM 4 45 Adj mg gy vlószíűség vtorváltozó fltétls loszlásfüggvéyé dfíóját dszrét és folytoos str! 46 Mor vzü ét vlószíűség változót függtl? Adjo zzl vvls tuljdoságot! 47 A és η vlószíűség változó orrláltlo Mt állíthtu + η szóráségyztéről? 48 M orrláós gyütthtó és mly tuljdoság v? 49 η + sté számíts és η orrláós gyütthtóját! 5 Hogy értlmzzü dmzós gylts loszlást? Adj mg z gyütts sűrűségfüggvéyt s! 5 Ismrtss tráls-htárloszlás tétlét! 5 Írj fl (, η) vlószíűség vtor változó rmsűrűség függvéyét z gyütts sűrűségfüggvéy sgítségévl! 53 A (, η) vlószíűség vtor változó f (, y) gyütts sűrűségfüggvéy lőáll rmsűrűség szorztét f (, y) f fη ( y) Igzolj, hogy z gyütts loszlás függvéy s lőáll rmloszlás függvéy szorztét: F(, y) F Fη ( y)! 54 Ismrtss rgrsszó foglmát! 55 Ismrtss sttszt mt foglmát! 56 Ismrtss tsztlt szóráségyzt foglmát! 57 Ismrtss mmum llhood-lvt! 58 Ismrtss mtözé foglmát! 59 Adjo mmum llhood-slést Posso-loszlás várhtó értéér! 6 Adjo mmum llhood-slést z oáls loszlás várhtó értéér! 6 Adjo mmum llhood-slést gy (,) trvllumo gylts loszlású vlószíűség változó és rmétrér z,,, mt ljá! 6 Adjo mmum llhood slést gy smrtl m és rmétrű ormáls loszlás rmétrr z loszlásr vtt,,, mt ljá! 63 Adj mg ofd trvllum dfíóját! 64 Lgy dott gy (,) trvllum gy gylts loszlású vlószíűség változó gy,, K lmű mt ljá szrssz ofd trvllumot z smrtl rmétrr! 65 Adj mg szóráségyzt és tsztlt szóráségyzt dfíóját! 66 Adj mg mdá és tsztlt mdá dfíóját! 67 Adj mg tsztlt momtum dfíóját! 68 Ismrtss h égyzt loszlást! 69 Ismrtss z F-loszlást! 7 Ismrtss Studt-fél t-loszlást! 7 Ismrtss z gymtás u-róát! 7 Ismrtss étmtás u-róát! 73 Ismrtss z F-róát! 74 Ismrtss t-róát! 75 Ismrtss étmtás t-róát! 76 Írj fl tsztlt loszlásfüggvéyt! 77 Ismrtss Glvo tétlt! 78 M torzíttl slés és z sszmtotus torzíttl slés? 79 Ismrtss Ro-Crmr gylőtlségt! 8 M z lsőfjú és másodfjú h? MISKOLCI GYTM, Géészmérö r, II évs műsz formtus hllgtó részér
Dr Rsz Pétr Vlószíűségszámítás, mtmt sttszt Crtd y ImM 4 ) Mt vzü lm sméy és sméytér? A ísérlt lhtségs mtlt lm sméy vzzü Az dott ísérlthz trtozó lm sméy hlmzát sméytér vzzü, jl: X ) M z sméylgr? gy X sméytérhz trtozó A,B,C, sméy gy ttszőlgs z X és O sméyt trtlmzó oly hlmzát, mly z sméy összdásár, szorzásár és omlmtr ézésr ézv zárt, sméylgrá vzzü 3) M tljs sméyrdszr? Az A, A, A3,, A sméy tljs sméyrdszrt lot, h tljsül z lá fltétl: A + A + + A X és A A j, < j Azz tljs sméyrdszr sméy ároét zárjá gymást, és z sméy összg ztos sméy 4) M -lgr? Az oly sméylgrát, hol mgszámlálhtó végtl so sméy összg s z sméylgrához trtoz -lgrá vzzü 5) Adjo éldát gy oly tljs sméyrdszrr, mly mgszámlálhtó végtl so sméy szrl!, trvllumo -lgr: mgszámlálhtó végtl: A, A, A 3,, A, [ ) A ; ss gy övtz, (,, ) 6) Ismrtss rltív gyorság tuljdoságt! A tljs sméyrdszrt lot, mvl z sméy özül lgy A és B sméy dszjut sméy, A, B, A+ B jlölj A, B, A+B sméy rltív A + B A B gyorságát, or: + 3 z X zots sméy, mdg övtz: X X 7) Ismrtss vlószíűségszámítás ómát! I Adott gy m ürs X hlmz, z sméytér Az sméytér lmt lm sméy vzzü, II Adott z X részhlmz gy A -lgráj Az A-l hlmzot sméy vzzü III Md A A sméyhz hozzárdlü gy P ( A) számot (z A sméy vlószíűségét) úgy, hogy P ( A), IV P ( X ), V H A és B gymást záró sméy, or P ( A + B) P( A) + P( B), VI H A, A, K, A, K gymást ároét záró sméy, or P A P( A ) MISKOLCI GYTM, Géészmérö r, II évs műsz formtus hllgtó részér 3
Dr Rsz Pétr Vlószíűségszámítás, mtmt sttszt Crtd y ImM 4 A sté P( A) P( B)! P ( B A) 8) Igzolj, hogy B A B A AB B A + AB P B A P B P AB P B A P B P A P ( B) P( A) ( ) P( B) P( A) ( ) P( A) P( B) 9) Mvl gylő ét sméy ülöségé vlószíűség? P B A P B P BA Állítás: BX B( A + A) BA BA P ( B) P( BA) + P( BA) P( BA) + P( BA) ( BA) P( B) P( BA), BA B A P( B A) P( B) P( BA) B + P ) Igzolj, hogy gy tljs sméyrdszr lm vlószíűségét összgzv -t u! H A, A, A 3,, A sméy tljs sméyrdszrt lot, or: P( A ) A X így P X P A P( A ) ) M lsszus vlószíűség mző? Az oly végs sméytrt (és rjt értlmztt vlószíűségt) hol z lm sméy vlószíűség mggyz, lsszus vlószíűség mző vzzü ) Mvl gylő gy ttszőlgs sméy vlószíűség gy lsszus vlószíűség mző? Klsszus vlószíűség mző gy ttszőlgs A sméy vlószíűség övtző: z A sméy övtzésér dvző lm sméy szám P ( A) z összs lm sméy szám 3) Hogy értlmzzü fltétls vlószíűségt! gy A sméy oztív vlószíűségű B sméyr, mt fltétlr, vtt fltétls vlószíűség P ( AB) P A B P B 4) Ttszőlgs A és C sméy sté hogy lht számol P ( A C B) P (( A + C) B) P( AB + CB) P( AB) + P( CB) P A + C B P( A B) + P( C B) P( B) P( B) P( B) + vlószíűségt? 5) Mor vzü ét sméyt függtl? Adjo mg zzl vvls állítást! Az A sméyt függtl vzzü oztív vlószíűségű B sméytől, h P ( A B) P( A) P AB P A P B Az A és B sméy or és s or függtl, h 6) Ismrtss tljs vlószíűség tétlét! Aloss z A, A,, A P,,,, K sméy tljs sméyrdszrt ( ( A ) ttszőlgs sméy, or fáll, hogy P( B) P( B A ) P( A ) ) és lgy B MISKOLCI GYTM, Géészmérö r, II évs műsz formtus hllgtó részér 4
Dr Rsz Pétr Vlószíűségszámítás, mtmt sttszt Crtd y ImM 4 7) Ismrtss Bys-tétlt! Aloss z A, A, A 3,, A sméy tljs sméyrdszrt és lgy B gy ttszőlgs P sméy, továá mdz oztív vlószíűségű, or: ( B A ) P( A ) P A B P B A P A 8) Adj mg vlószíűség változó dfíóját! Az ω lm sméy X hlmzá értlmztt ( ω ) változó vzzü, h ttszőlgs, vlós sté létz P ( < ) MISKOLCI GYTM, Géészmérö r, II évs műsz formtus hllgtó részér 5 vlós értéű függvéyt vlószíűség vlószíűség 9) Hogy értlmzzü gy vlószíűség változó loszlásfüggvéyét? F P < függvéyt vlószíűség változó loszlásfüggvéyé vzzü Az ) Mly solt v omáls és Posso loszlás özött? A omáls loszlás htárloszlás Posso-loszlás, h trt végtlhz, d ) Ismrtss z gy változós loszlás függvéy tuljdoságt! F mooto övvő F lról folytoos 3 lm F 4 lm F ) Igzolj, hogy gy vlószíűség változó loszlásfüggvéy mooto övvő! Lgy <, or { < } sméy trtlmzz { < } P < P < F F zz 3) Hogy értlmzzü sűrűségfüggvéyt? sméyt, így gy f függvéy vlószíűség változó sűrűségfüggvéy, h z ttszőlgs sté lőáll z F f ( t)dt l t F loszlásfüggvéy 4) Adj mg sűrűségfüggvéy rtrsztus tuljdoságt! Igzolj zot! f mvl z loszlás függvéy mooto övvő, így drváltj m gtív f () t dt f () t dt [ F() t ] F( ) F( ) 5) Írj fl z gylts, oáls és ormáls loszlás sűrűség- és loszlásfüggvéyét! gylts loszlás:, h, h (, ) f, F h <, h (, ), h < oáls loszlás:, h <, h f ( > ), F, h, h > ( m) Normáls loszlás: f, F π ( tm) dt π
Dr Rsz Pétr Vlószíűségszámítás, mtmt sttszt Crtd y ImM 4 MISKOLCI GYTM, Géészmérö r, II évs műsz formtus hllgtó részér 6 6) M z öröfjú tuljdoság? Mly fotos loszláso rdlz zzl tuljdosággl? gy vlószíűség változó öröfjú tuljdoságú, h ttszőlgs oztív és ostso sté tljsül, hogy: P P > + > > Az oáls loszlás 7) Adj mg várhtó érté dfíóját! Dfíó : gy végs so,, értéét,,, vlószíűséggl flvvő dszrét vlószíűség változó várhtó érté: Dfíó : gy végtl so,,,, értét,,,, vlószíűséggl flvvő vlószíűség változó várhtó érté:, fltév, hogy végtl sor szolút ovrgs, zz + < 8) Lgy dszrét végs vlószíűség változó és gy ttszőlgs osts Igzolj, hogy + +! + + + + + 9) Vzss l z gylts loszlás várhtó értéé éltét z [ ], trvllumo! Mvl sűrűségfüggvéy: gyéét h f < <, d d f + 3) Vzss l z és rmétrű omáls loszlású vlószíűség változó várhtó értéét! [ ] j j j j!!!!!! 3) Vzss l gy Posso loszlású vlószíűség változó várhtó értéét!!!!! 3) Vzss l gy rmétrű oáls loszlású vlószíűség változó várhtó értéét! Állítás: < h h f ; [ ] d v v u u d d f + Az lső tg z lsóhtárál zérus, flsőhtárál ( BL Hostl-szállyl gzolhtó) szté zérus, így:
Dr Rsz Pétr Vlószíűségszámítás, mtmt sttszt Crtd y ImM 4 33) Vzss l z m és rmétrű ormáls loszlású vlószíűség változó várhtó értéét! ( ) π π ( m) ( m) ( m) + ( m) ( m) + m d π m π d m d + m π 34) Ismrtss várhtó érté tuljdoságt!, ( + ) ( ) + m m m, m d 35) Hogy értlmzzü gy vlószíűség változó szórását? D, fltév, hogy végs A vlószí- A vlószíűség változó szóráségyzt: [ ] űség változó szórás szóráségyztől vot oztív égyztgyö: D ( ) [ ( )] 36) Ismrtss szórás tuljdoságt! ( ) D ( ) D ( + ) D( ) és D( ) D( ) D, ( ) D 37) Igzoljo szórás tuljdoság özül ttőt! D + + + + D : D + D ( ) ( ) { } { } { } ( ) D( ) D( ) ( ) ( ) [ ( )] [ ] [ ] D D 38) Ismrtss Mrov- gylőtlségt! Lgy η gy m gtív értét flvvő vlószíűség változó, mly létz z ( η) η érté Ttszőlgs oztív szám sté P( ( η) ) 39) A Mrov-gylőtlség ljá mt állítht vlószíűségről? (>) P( < ( )) P( ( )) [ P( < ( ))] P( ( )) 4) Ismrtss Cssv-gylőtlségt! H vlószíűség változó létz z ( ) várhtó érté és ( ) D > sté ( ) P várhtó vlószíűség változó sté P ( < ( )) D szórás, or ttszőlgs 4) Ismrtss Broull-tétlt! Ttsü gy ísérltt és gy hozzá trtozó vlószíűségű A sméyt Ismétljü mg ísérltt gymástól függtlül -szr, és jlölj z A gyorságát or ttszőlgs ε, δ > sté v oly N, hogy N sté tljsül: P ε δ MISKOLCI GYTM, Géészmérö r, II évs műsz formtus hllgtó részér 7
Dr Rsz Pétr Vlószíűségszámítás, mtmt sttszt Crtd y ImM 4 4) Adj mg étdmzós vlószíűség vtor változó dfíóját! Lgy dott z X sméytér értlmztt és η vlószíűség változó Az ω lm sméy X hlmzá értlmztt ζ ζ ( ω ) ( ( ω ), η( ω) ) vtorértéű függvéyt étdmzós vlószíűség vtorváltozó vzzü, h ttszőlgs,y vlós számo sté létz P ( <, η < y) vlószíűség 43) Ismrtss ét változós loszlás függvéy tuljdoságt! F (, y) mdét változójá mooto övvő F (, y) mdét változójá lról folytoos 3 F (, y) F(, ) F(, ) 4 F ( +, +) 5 ttszőlgs < és d P <, η < d F, d F, d F, + F, < sté: 44) A étváltozós loszlásfüggvéy tuljdoság özül zoyítso gyt! Állítás: F (, y) mdét változójá mooto övvő Lgy < or { <, η < y } sméy trtlmzz { <, η < y } sméyt Thát P { <, η < y } P{ <, η < y } zz F (, y) F(, y) Lgy y < y or { <, η < y } sméy trtlmzz { <, η < y } Thát P { <, η < y } P{ < η < y } zz F(, y ) F( y ),, sméyt 45) Adj mg gy vlószíűség vtorváltozó fltétls loszlásfüggvéyé dfíóját dszrét és folytoos str! Dszrét st: Lgy η ttszőlgs vlószíűség változó és dszrét vlószíűség változó Az η vlószíűség változó fltétl mlltt F ( y ) fltétls loszlásfüggvéy F ( y ) P( η < y ), fltév, hogy sméy m ull vlószíűségű, zz lhtségs érté gy A folytoos st ől lvzthtő, tt s végrdméyt özöljü: F (, y) F y F 46) Mor vzü ét vlószíűség változót függtl? Adjo zzl vvls tuljdoságot! Az η vlószíűség változót függtl vzzü vlószíűség változótól, h F( y ) F ( y), zz h z η - -r vtt fltétls loszlás mggyz z η fltétl élül loszlásávl Két vlószíűség változó or és s or függtl, h gyütts loszlásfüggvéyü lőáll F, y F F y, lltv h létz z gyütts rmloszlás-függvéy szorztét: η sűrűségfüggvéy, or tljsül f (, y) f f ( y) 47) A és η vlószíűség változó orrláltlo Mt állíthtu + η szóráségyztéről? D [ ] ( + η + η ) ( ) + ( η) ( + η) ( + η) ( ( + η) ) D MISKOLCI GYTM, Géészmérö r, II évs műsz formtus hllgtó részér 8 η [ ] ( ) + ( η) + ( η ) ( ) ( ) ( η) ( η ) ( ) ( ) + ( η ) ( η) ( ) + D ( η) 48) M orrláós gyütthtó és mly tuljdoság v? A orrláós gyütthtó zt mér, hogy ét változó myr lárs függ ov gymástól (, η) ( η) ( ) ( η) r, η, r (, η) D( ) D( η) D( ) D( η) Függtl vlószíűség változó sté r, d r (, η) sté m fltétlül függtl
Dr Rsz Pétr Vlószíűségszámítás, mtmt sttszt Crtd y ImM 4 49) η + sté számíts és η orrláós gyütthtóját! ov (, η) ( η) ( ) ( η) r, η D( ) D( η) D( ) D( η) H + D ov, + r, + ± z stt vév η, η lárs függ -től mtt r (, + ) sg( ) 5) Hogy értlmzzü dmzós gylts loszlást? Adj mg z gyütts sűrűségfüggvéyt s!, η vlószíűség vtor változót gy síl T hlmzo gylts loszlású vzzü, h gy h (, y) T T hol T hlmz trülté mértéét jlöl h gyéét A és η vlószíűség vtor változó or v gyütts sűrűségfüggvéy, h ttszőlgs és sűrűségfüggvéy z f (, y) y vlós számo sté z gyütts loszlásfüggvéy lőáll z F( y) f ( u, v)dvdu y, l u v 5) Ismrtss tráls-htárloszlás tétlét! Lgy,,,, tljs függtl, zoos loszlású vlószíűség változó Létzz (özös) várhtó értéü: m ( ), és (özös) szórásu: D( ), or: + + + m lm P 5) Írj fl ( η) < Φ, hol Φ stdrd ormáls loszlás loszlásfüggvéy, vlószíűség vtor változó rmsűrűség függvéyét z gyütts sűrűségfüggvéy sgítségévl! f (, y) f f ( y) f f (, v) dv, f η ( y) f ( u, y) η + + du 53) A (, η) vlószíűség vtor változó ( y) szorztét f ( y) f fη ( y) rmloszlás függvéy szorztét: F( y) F F ( y) F f, gyütts sűrűségfüggvéy lőáll rmsűrűség, Igzolj, hogy z gyütts loszlás függvéy s lőáll,! y η du u v u v u 443 F (, y) f ( u, v) dvdu f ( u) f ( v) dvdu f ( u) η () v fη dv v 443 54) Ismrtss rgrsszó foglmát! H értéét rögzíté gy dott értéél, or z η érté fltétls várhtó érté örül gdozá Az η változó fltétl mlltt fltétls várhtó érté + ( η ) y f ( y )dy, h z tgrál szolút ovrgs 55) Ismrtss sttszt mt foglmát! Az rdt soságr vtt dr véltl mgfgylés rdméy, zz számú vlószíűség változó (fltétlzzü, hogy mtlm függtl és zoos loszlású vlószíűség változó) h tljsül z ét fltétl or mt rrzttív Fη ( y ) MISKOLCI GYTM, Géészmérö r, II évs műsz formtus hllgtó részér 9
Dr Rsz Pétr Vlószíűségszámítás, mtmt sttszt Crtd y ImM 4 56) Ismrtss tsztlt szóráségyzt foglmát! A tsztlt szóráségyzt mtözétől vló ltéréségyzt számt átlg, ( ε ) ( ) Ttszőlgs vlós sté fáll Str-formul: ( ) ε 57) Ismrtss mmum llhood-lvt! A rmétr értéét oly értél süljü, mly sté z dott mt övtzésé lggyo vlószíűség Adott gy vlószíűség változó (, ) dszrét loszlássl vgy z f (, ) sűrűségfüggvéyl, hol z vlós rmétr gy,, K, mt sté zt z rmétrértét fogdju l, mly mlltt z lltő mt övtzésé vlószíűség lggyo Dszrét loszlás sté z z lá vlószíűség mmlzálását jlt:, (,,, ) P( ) ( ) P K 58) Ismrtss mtözé foglmát! Az ε mtözé mtlm számt átlg ε Ttszőlgs vlós szám sté fáll ( ) ε + formul Soszor hszálju várhtó érté slésér 59) Adjo mmum llhood-slést Posso-loszlás várhtó értéér! Lgy vlószíűség változór vtt lmű mtlm érté rdr,, K or llhood függvéy: L( ),, K ; log P,, K log [ log log(! ) ]! z szélső érté, thát Posso- dl llhood gylt: d loszlás várhtó értéé llhood-slés mtözé 6) Adjo mmum llhood-slést z oáls loszlás várhtó értéér! A llhood függvéy: L(,, K ; ) log( ) ( log ) log Szélső érté övtző gylt mgoldásál lht: dl d 6) Adjo mmum llhood-slést gy (,) trvllumo gylts loszlású vlószíűség változó és rmétrér z,,, mt ljá! h < < sűrűségfüggvéy: f gyéét llhood függvéy: L log log( ), llhood függvéy or mmáls h m m - mmáls, zz { } és { } MISKOLCI GYTM, Géészmérö r, II évs műsz formtus hllgtó részér
Dr Rsz Pétr Vlószíűségszámítás, mtmt sttszt Crtd y ImM 4 6) Adjo mmum llhood slést gy smrtl m és rmétrű ormáls loszlás rmétrr z loszlásr vtt,,, mt ljá! A llhood függvéy: ( m) m L,, K,, m, log log log π π π ( m) L log log, MISKOLCI GYTM, Géészmérö r, II évs műsz formtus hllgtó részér L m L m ( m ) L m L + Az lső gyltől 4 m m, thát mtözt ju várhtó érté slésé zt hlyttsítv másod gylt szóráségyzt slésér (tsztlt szóráségyzt) dód 63) Adj mg ofd trvllum dfíóját! gy F (, ) loszlásfüggvéyű vlószíűség változó sté,, K mtlmől z α (,, K ), α (,, K ) változós függvéyl éztt ( α,α ) trvllumot, ttszőlgs ε ( < ε < ) sté z α -r vtt ε mgízhtóság sztű ofd trvllum P α, K < < α,, K vzzü h ( ) ε, 64) Lgy dott gy (,) trvllum gy gylts loszlású vlószíűség változó gy,, K lmű mt ljá szrssz ofd trvllumot z smrtl rmétrr! µ ^ m(,, K ) µ, lgy r r m,,k F r y P r < y y P < r < α P P ( < r < ) P( < r < ) ( µ < < µα ) α P µ < < α 65) Adj mg szóráségyzt és tsztlt szóráségyzt dfíóját! A vlószíűség változó D ( ) szóráségyzt: D ( ) ( [ ( )] ) fltév, hogy végs A vlószíűség változó szórás szóráségyztől vot oztív égyztgyö: D ( ) D ( ) [ ( )] A tsztlt szóráségyzt mtözétől vló ltéréségyzt számt átlg: * A orrgált tsztlt szóráségyzt (s számú mt sté, ):,
Dr Rsz Pétr Vlószíűségszámítás, mtmt sttszt Crtd y ImM 4 66) Adj mg mdá és tsztlt mdá dfíóját! A mdá z z m érté, mlyr tljsül, hogy P( < m), 5 A tsztlt mdá gy,,, mt ljá övtző: µ +, h +, vgys ártl lmszámú mt, vgy + + µ, h vgys áros lmszámú mt, zz özéső érté, vgy ét özéső érté átlg 67) Adj mg tsztlt momtum dfíóját! Mvl vlószíűség változó -d momtum m ( ), és várhtó érté slésér már hszáltu mgfgylt érté átlgát, így trmészts -d tsztlt momtum lá dfíój: µ 68) Ismrtss h égyzt loszlást! Az számú,,, függtl, stdrd ormáls loszlású vlószíűség változó χ + + K égyztösszgé loszlását szdságfoú χ loszlás vzzü Várhtó érté: ( χ ), szóráségyzt: D ( ) loszlásfüggvéy: F, h < d, h > χ 69) Ismrtss z F-loszlást! Lgy és η ét és m szdság foú függtl χ -loszlású vlószíűség változó, or z η F, m vlószíűség változót, m szdság foú F-loszlású vlószíűség változó m vzzü 7) Ismrtss Studt-fél t-loszlást! Lgy,, K és η tljs függtl stdrd ormáls loszlású vlószíűség változó, or z lá vlószíűség változót szdságfoú t-loszlás vzzü: τ η + + K+ loszlásfüggvéy: F h < és h > F d + d + t π MISKOLCI GYTM, Géészmérö r, II évs műsz formtus hllgtó részér
Dr Rsz Pétr Vlószíűségszámítás, mtmt sttszt Crtd y ImM 4 7) Ismrtss z gymtás u-róát! Adott gy ormáls loszlású vlószíűség változó, mly smrt ( ),, K mt ljá szrté H : ( ) m ullhotézst vzsgál H : ( ) m llhotézssl szm, gy lőr mgdott ε mgízhtóság szt m u, ε u ε Φ, h u ε < u < uε, or H hotézst lfogdju D szórás gy 7) Ismrtss étmtás u-róát! Két smrt szórású ormáls loszlású vlószíűség változó várhtó értéé gyzőségét vzsgálju zzl róávl A H : ( ) ( η) hotézst vzsgálju H : ( ) ( η) llhotézssl szm, gy lőr mgdott ε mgízhtóság szt η u, ε u ε Φ, h u ε < u < uε, or H hotézst lfogdju + 73) Ismrtss z F-róát! Arr szolgál, hogy ldötsü ét ormáls loszlású vlószíűség változó szórás gylő tthtő- A vlószíűség változór vtt,, K lmű mt és gy z η vlószíűség * s változór vtt függtlη, η, Kη m m lmű mt ljá számított F f, f sttszt * s H : ( ) D( η) D ullhotézs sté f és f m szdságfoú F-loszlású vlószíűség változó 74) Ismrtss t-róát! Lgy gy ormáls loszlású vlószíűség változó, és,, K gy -r vtt lmű mt A H : ( ) m ullhotézst m t sttszt sgítségévl tudju vzsgál A H * s ullhotézs fállás sté t sttszt - rmétrű t-loszlású vlószíűség változó A ormáls loszlású vlószíűség változó várhtó értéér votozó ullhotézsé llőrzésér s or hszálhtju, h smrt vlószíűség változó szórás 75) Ismrtss étmtás t-róát! H fltétlzhtő ét vlószíűség változó szórásá z gylőség (ár lmélt mgfotolásoól, ár z F-ró ljá), or llmzhtju étmtás t-róát A H : ( ) ( η) ullhotézst sgítségévl döthtjü l t + m 76) Írj fl tsztlt loszlásfüggvéyt! gy lmű függtl mt ljá: F η η * ( ) + ( m ) * m * * * h + * h > h m ( + m ) m + m sttszt MISKOLCI GYTM, Géészmérö r, II évs műsz formtus hllgtó részér 3
Dr Rsz Pétr Vlószíűségszámítás, mtmt sttszt Crtd y ImM 4 77) Ismrtss Glvo tétlt! Sttszt ltétl lgdő gy mtát vév tsztlt loszlásfüggvéy ttszőlgs mgözlít vlód loszlásfüggvéyt A mt gyságá övdésévl lgdő otossággl tudu md vlószíűség érdésr válszol lm P su F F > ε < < 78) M torzíttl slés és z sszmtotus torzíttl slés? Torzíttlság: lvárhtó, hogy slésü lglá átlg sül ívát rmétr értéét ϑ ϑ,,, slést ϑ rmétr torzíttl slésé vzzü, h dj A ( K ) ( ϑ (,,, )) ϑ H ϑ rmétr ϑ ϑ (,, K, ) lm ( ϑ (,, K, )) ϑ or ϑ ϑ (,, K, ) K, zz slés várhtó érté mggyz sül ívát rmétrrl torzíttl slésé vzzü 79) Ismrtss Ro-Crmr gylőtlségt! slésér s htárérté tljsül torzíttlság, zz slést ϑ rmétr sszmtotus Lgy dott gy folytoos loszlású vlószíűség változó, mly (,ϑ) ϑ md érté sté ugyzo trtomáyo oztív és ˆ ϑ ˆ ϑ(,,, ) ϑ rmétrr, or ( ˆ ϑ) D I( f, ϑ), hol ( f,ϑ ) f sűrűségfüggvéy torzíttl slés K I z úgyvztt Fshr-fél formáó 8) M z lsőfjú és másodfjú h? lsőfjú h: vlószíűség, hogy H ullhuotézst lvtjü, dg z jó Másodfjú h: vlószíűség, hogy H ullhuotézst lfogdju, dg z m gz MISKOLCI GYTM, Géészmérö r, II évs műsz formtus hllgtó részér 4