1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n, c) lim 2 n, n n d) lim 1 n lim cos ( ) 2 n n n sin(3.9/n) lim 1 n n 3, lim n 2, n 3 n 5 n n lim n log n 2 (n) 3 e) lim n n, lim n n 10 n!, lim n n n! f) lim ( 1) n 1+2, lim n, lim n 3 + ( 1) n n 1+( 2) n ( n n g) lim a + a q + a q 2 +... + a q n 1), n lim 0.77...7 (n db 7-es) n ( ) h) lim 1 n 1 2 + 2 3 1 +... + 1 n(n+1) Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 1 / 66
2. Határérték 2. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! ( a) lim n 2 300n ) (, lim n 2 n + 5 ) n n b) lim ( 2) n + 3 n, lim 2 n + ( 3) n n ( n c) lim 2 n 2 n) n 3. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!?? ( ) ( ) a) lim n + 3 n + 4, lim 2n 1 n + 5 n n ( b) lim n 2 3n + 1 ) n 2 + 6 n ( c) lim n 2 45n ) 6n + 23 n, lim n ( 5n 2 + 4n n 2 + 2 ) Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 2 / 66
3. Határérték 4. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! a) lim n 2+5n 3 7n, 4 b) lim n 2 n n c) lim n lim 0.1n 2 3n+8 34n n 512n+99, lim 3 +12 n 2n 4 4n 2 1 4, lim n 5 3 n 2 4 n +2, lim n +( 3) n 2+( 3) n n n n 3 n n 10 +4n 9 5. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! ( 1) a) lim n n n, lim ( 1) n 9n+10 n n 2 +1, lim b) lim (cos(n) + sin(n)) ( n n 1 ), n n sin(n) sin(n) n, lim n ln(n) n 2 lim n 2n+1 ( 0.91)n Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 3 / 66
4. Határérték 6. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! ( ) lim n n 2 ( 1 n, lim n sin( 1 n n n ) ) 7. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! a) lim n n 2 + 3n 1, n n b) (!) lim 2+n n c) lim n n log 2 (n) 3+7n, lim n lim n 7n + 4 n, n n lim n 5 n 4 n n 8 n +9 n 10 n 8. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! ( lim n 2 ) n ( n n, lim n ) n ( n n+3, lim 3n+5 ) n ( n 3n, lim 8n+7 ) 3n 2 n 8n 2 Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 4 / 66
5. Küszöbszám keresés 9. Az ε = 10 7 hibahatárhoz adjunk meg egy N küszöbszámot: a) n+2 lim n 3n 4, b) lim n 0.5, n lim n 2n 2 n 2 +1 10 lim 320 n 10 n 1 +9 c) A P = 10 7 korláthoz adjunk meg egy N küszöbszámot: lim (3.11) n (, lim 3n 2 + n ) n 1, lim n n n 3 n+2, lim n 2 +5 n 10 3 n. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 5 / 66
6. Vegyes (ismétlő) és érdekesebb feladatok 10. Feladat. a) lim 2+n n 3+7n, lim n b) lim n+2 n 3n2 5, lim n lim 7n+3 ( 1)n n n 2 1 n+3 ( 1)n 2n 1, ( n+1 ) 5 2n 1, lim 3n 2 4n+1 n 2n 2 +57n c) ( ) lim (ln(n + 3) ln(n + 4)) n 3 d) lim n+1 +( 2) n n+2 n n 3, lim n n n+3 n, lim e n n+1 n e) lim n 4 n 8, lim n +9 n n 4+( 1) n n 10, lim arctg ( n 3 99n ) n n (n+1) f) ( ) lim 3 (n 1) 3, (*) lim n (n+1) 2 +(n 1) 2 n 4 n 4+( 2) ( ) n n ( g) (* ) lim n 2 + n n, (*) lim 4 n 2 n) ###, (* ) n n n lim 8 1 n n 4 1 h*) lim n n ( 1 ) 1 n t ahol t R tetszőleges paraméter Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 6 / 66
7. Vegyes (ismétlő) és érdekesebb feladatok 11. Feladat. a+) lim a n ahol valamely adott γ R + számra a 0 = γ és a n+1 = a n+γ/a n n 2 (Newton algoritmusa) b+ ) Osszunk fel egy egységnégyzetet 3 3 kis négyzetre és vágjuk ki a középső kis négyzetet. Majd a megmaradt 8 kis négyzet mindegyikét osszuk fel 3 3 még kisebb négyzetre és vágjuk ki mindegyik négyzet középső, még kisebb középső kis négyzetét. Az eljárást végtelernszer megismételve milyen értékhez tart a megmaradt síkidom területe? (Sierpínsky-szőnyeg) Hasonlóan készül az ún. Sierpínsky-szivacs is: egy kockát osztunk fel 3 3 ( 3 kis kockára, a ) középsőt kivesszük, s.í.t. c*) lim n + a n + b ahol a, b R tetszőleges paraméterek n ( d*) lim n 2 + βn + γ ) n 2 + δn + ε ahol β, γ, δ, ε R tetszőleges n paraméterek Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 7 / 66
Útmutatás Írja fel a 2 2...2 2 kifejezést 2 hatványaként Hová tart a belső 3.9/n kifejezés? Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 8 / 66
Útmutatás Ez egy mértani sorozat... Hová tart a belső 2 n kifejezés? Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 9 / 66
Útmutatás Hová tart a belső n kifejezés? Hová tart a belső 1 n 3 kifejezés? Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 10 / 66
Útmutatás Használja az n n 1 összefüggést! Használja az n a 1 összefüggést! Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 11 / 66
Útmutatás Használja a a n lim n n k =, lim n n! n an = n és lim n n! = össszefüggéseket (a > 1, k 0, )... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 12 / 66
Útmutatás Vizsgálja meg a páros és a páratlan sorszámú tagok részsorozatait! Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 13 / 66
Útmutatás Írja fel a mértani sorozat összegképletét! Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 14 / 66
Útmutatás Használja a 1 k (k + 1) = 1 k 1 k + 1 összefüggést! Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 15 / 66
Útmutatás emeljen ki n 2 -et... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 16 / 66
Útmutatás emeljen ki 3 n -et... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 17 / 66
Útmutatás emeljen ki 2 n -et... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 18 / 66
Útmutatás bővítsen ( n + 3 + n + 4 ) -el... bővítsen ( 2n 1 + n + 5 ) -el... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 19 / 66
Útmutatás ( bővítsen n 2 3n + 1 + n 2 + 6) -el... ( bővítsen 5n 2 + 4n + n 2 + 2) -el... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 20 / 66
Útmutatás ( bővítsen n 2 45n + 6n + 23) -el... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 21 / 66
Útmutatás egyszerűsítse a törtet n -el... egyszerűsítse a törtet n -el... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 22 / 66
Útmutatás egyszerűsítse a törtet 4 n -el... egyszerűsítse a törtet 4 n -el... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 23 / 66
Útmutatás lim a n n n k egyszerűsítse a törtet n 10 -el és használja a nevezetes = határértéket... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 24 / 66
Útmutatás lim a n n n k egyszerűsítse a törtet n 10 -el és használja a nevezetes = határértéket... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 25 / 66
Útmutatás ( bővítse a zárójelet n 2 1 + ) n 2 -el... Használja a sin(x) lim x 0 x = 1 határértéket... Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 26 / 66
Útmutatás Alkalmazza a Rendőr-elv -et! Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 27 / 66
Útmutatás Használja fel az (1 + s n )n e s eredményt! Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 28 / 66
Útmutatás Írja fel és oldja meg az a n A < ε egyenlőtlenséget, ahol A = lim n a n az a n sorozat (véges) határértéke! Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 29 / 66
Útmutatás Írja fel és oldja meg az a n > P egyenlőtlenséget, ha a n. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 30 / 66
2 2...2 2 = 2 1 2 + 1 2 2 +...+ 1 2 n = 2 1 1 2 n 2 1 0 = 2 3.9 n 0, ezért a sin(x) függvény folytonossága miatt sin(3.9/n) sin(0) = 0, a sorozat konvergens. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 31 / 66
A q = sin(1) jelöléssel q < 1, ezért (sin(1)) n 0, a sorozat konvergens (1 radián = π/2). 2 n ( 0 ), ezért a cos(x) függvény folytonossága miatt cos 2n cos(0) = 1, a sorozat konvergens. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 32 / 66
A függvény -ben vett határértéke lim n 2 n =, vagyis a sorozat divergens. ( ) 3/2 1 = 1n n 0 3/2 = 0 (az x 3/2 függvény folytonossága miatt), a 3 sorozat konvergens. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 33 / 66
( ) 3 ( ) 3 n 1 = 1 n 3 n n 11 = 1 (az n n 1 azonosság és az x 3 függvény folytonossága miatt), a sorozat konvergens. n 2 1 (az n a 1 azonosság miatt), a sorozat konvergens. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 34 / 66
3 n (az n 10 an azonosság miatt), vagyis a sorozat divergens. n k 5 n n! 0 (az an n! 0 azonosság miatt), a sorozat konvergens. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 35 / 66
( 1) n = +1 páros n esetén, ( 1) n = 1 páratlan n esetén, és mivel e két részsorozat határértéke különböző, ezért a sorozatnak nincs határértéke, a sorozat divergens. Páros n esetén 1+2 n = 1+( 2) n 1+2n 1+2 n = 1 1, páratlan n esetén 1 + 2 n 1 + ( 2) n = 1 + 2n 1 1 2 n = 2 n + 1 1 2 n 1 1 1, és mivel e két részsorozat határértéke különböző, ezért a sorozatnak nincs határértéke, a sorozat divergens. Páros n esetén páratlan n esetén n 3 + ( 1) n = n 4 1, n 3 + ( 1) n = n 2 1, vagyis a sorozat határértéke 1, mivel ez a két részsorozat lefedi az összes természetes számot, és határértékük megegyezik. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 36 / 66
A mértani sorozat összegképlete miatt a + a q + a q 2 +... + a q n 1 = a qn 1 q 1 q < 1. Az előző feladat alapján a 1 q 1 = a 1 1 q abban az esetben ha lim 0.77...7 = 0.7 1 n 1 1/10 = 7 9. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 37 / 66
Az 1 k (k+1) = 1 k 1 k+1 azonosság alapján 1 1 2 + 1 2 3 +... + 1 n(n + 1) = 1 1 1 2 + 1 2 1 3 + 1 3 1 4 +... + 1 n 1 n + 1 = = 1 1 1 n + 1 1 mivel a szomszédos tagok kiesnek (ún. teleszkópos összeg ). Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 38 / 66
( n 2 300n ) = n (n 300) =. ( n 2 n + 5 ) ( ) = n n 1 + n 5 =. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 39 / 66
( 2) n + 3 n = 3 n (( 2 3 ) n + 1 ) 1 =. 2 n + ( 3) n = 3 n (( 23 ) n + ( 1) n ), ahonnan látható, hogy a páros sorszámú (n páros) tagok + -be, a páratlan sorszámú tagok -be tartanak, vagyis az eredeti sorozatnai nincs semmilyen határértéke. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 40 / 66
(2 n 2 n ) 0 =. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 41 / 66
( ) ( n+3 n+4) ( n+3+ n+4) n + 3 n + 4 = ( n+3+ n+4) 1 n+3+ n+4 0. ( ) ( 2n 1 n+5) ( 2n 1+ n+5) 2n 1 n + 5 = ( 2n 1+ n+5) = (2n 1) (n+5) 2n 1+ n+5 = n n 6 = 2 1 n + 1+ n 5 = (n+3) (n+4) n+3+ n+4 = n 6, egyszerűsítünk n -el ( 2n 1+ n+5 alakú): 2+1 =. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 42 / 66
( n 2 3n + 1 n 2 + 6) = (n2 3n+1) (n 2 +6) n 2 3n+1+ n 2 +6 = alakú): = 3 n 5 1 n 3 + 1 n 2 + 1+ 6 n 2 ( 5n 2 + 4n n 2 + 2) 5+1 =. = ( n 2 3n+1 n 2 +6) ( n 2 3n+1+ n 2 +6) ( n 2 3n+1+ n 2 +6) 3n 5 n 2 3n+1+ n 2 +6, egyszerűsítünk n 2 -el ( 3 2. =... = 4n 2 +4n 2 5n 2 +4n+ n 2 +2 = 4n+4 n 2 5+ 4 n + 1+ 2 n 2 Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 43 / 66
2+5n 3 7n = n 2 +5 3 n 7 5 7. 0.1n 2 3n+8 512n+99 = 0.1n 3+ 8 n 512+ 99 n 512 = azaz ### 0.1n 2 3n + 8 512n + 99 = 0.1n 3 + 8 n 512 + 99 n 512 =. 34n 3 +12 = 34 n + 12 2n 4 4n 2 n 4 0 2 4 2 = 0 azaz ### n 2 34n 3 34 + 12 2n 4 4n 2 = n + 12 n 4 2 4 n 2 0 2 = 0 Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 44 / 66
4 n 2 n 4 n +2 n = 1 ( 2 4 ) n 1+( 2 4 ) n 1 1 = 1. 2 n +( 3) n 1 4 n = ( 2 4 ) n +( 3 4 ) n 1 4 n 1 2+( 3) n 5 3 n 3 = 2 n +( 1) n 5 3 n 1 0 1 = 0., a páros indexű tagok 1 -hez, a páratlan indexű tagok +1 -hez közeĺıtenek, vagyis a sorozatnak nincsen határértéke. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 45 / 66
( 1) n n = ( 1) n 1n = korlátos 0 0. ( 1) n 9n+10 n 2 +1 = korlátos 0 0. sin(n) n = ( 1) n 1n = korlátos 0 0. sin(n) ln(n) = korlátos 0. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 46 / 66
(cos(n) + sin(n)) ( n n 1 ) = korlátos 0 0. n 2 2n+1 ( 0.91)n = korlátos 0 0. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 47 / 66
( ) n n 2 1 n = n ( n 2 1 n)( n 2 1+n) = n 1 n 2 1+n n 2 1+n = 1 2. ) Az x = n 1 helyettesítéssel kapjuk: lim (n sin( 1 n n ) 1 1 1 n 2 +1 = lim x 0 sin(x) x = 1. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 48 / 66
n egyrészt n 2 + 3n 1 n 2n 2 = n 2 ( n n ) 2 1, n másrészt n 2 + 3n 1 n n 2 = ( n n ) 2 1, így a Rendőr-elv miatt a sorozat határértéke = 1. egyrészt n 7n + 4 n n 2 4 n = n 2 n 4 n = n 2 4 4, másrészt n 7n + 4 n n 4 n = 4, így a Rendőr-elv miatt a sorozat határértéke = 4. egyrészt n 5 n 4 n n 5 n = 5, másrészt n 5 n 4 n n 5 n 5 n /2 = 5 n n 12 = 5 n 12 5, így a Rendőr-elv miatt a sorozat határértéke = 5. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 49 / 66
Mivel 2+n 3+7n 1 7 esetén:, ezért pl. az ε = 0.1 választással, megfelelően nagy n egyrészt n 2+n 3+7n n 17 + 0.1 1, n másrészt 2+n 3+7n n 17 0.1 1, így a Rendőr-elv miatt a sorozat határértéke = 1. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 50 / 66
egyrészt n log 2 (n) n n 1, másrészt n log 2 (n) n 2 1, így a Rendőr-elv miatt a sorozat határértéke = 1. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 51 / 66
( ) n ( ) n ( n 2 n = 1 n 2 = 1 + 2 n ) n ( = ( n n+3 = ) n = ( n+3 3 n+3 ( 1 + 3 ( 3n+5 3n ) n+3 n+3 ) n ( = 1 + 3n 5 vagy egyszerűbben: ( 1 + 3 ( ) 3n 2 ( 8n+7 8n 2 = 1 + 8n 2 9 ) ) 3n 2 8n 2 = ( ( 1 + 9 8n 2 1 3 n+3 ) n e 2. ) n ( ) n+3 3 = 1 + n+3 3 ) 3 n+3 e 3 1 = e 3. ) n ( ) = 3 3n 1 + 3n 5 3 e 5 = e 5/3 ( ) n ( ) n 1 + 3n 5 = 1 + 5/3 n e 5/3. ) 3n 2 = ( 1 + 9 8n 2 ) 8n 2 8n 2 3n 2 8n 2 ( e 9 ) 3/8 = e 27/8 = e 27 8. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 52 / 66
A = lim n+2 n 3n 4 = 1 3, ezért az n + 2 3n 4 1 3 < 10 7 egyenletet kell megoldanunk. A megoldás: 100 000 012 9 < n, vagyis N 100 000 012 9 = 11111112, 4 = 11111113 (felső egészrész). 2n 2 A = lim n n 2 +1 = 2, 2n 2 n 2 +1 2 < 10 7 melynek megoldása 19 999 999 < n, ahonnan N 19 999 999 = 4472.1 = 1173. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 53 / 66
A = lim n n 0.5 = 0, N 10 14. n 0.5 0 < 10 7, ( 10 7 ) 2 n vagyis A = lim 10 n+1 320 n 10 n 1 +9 = 102, 10n+1 320 10 n 1 +9 100 < 10 7, log 10 (121 999 999 910) < n vagyis N 12. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 54 / 66
A (3.11) n > 10 7 ( egyenlőtlenség megoldása n > log 3.11 10 7 ), ahonnan N 14. 2 = 15. ( A 3n 2 + n ) > 10 7 egyenlőtlenség megoldása n > 1 6 + 1 6 120 000 001 vagyis N 1826. Az n 1 3 n+2 > 107 egyenlőtlenség megoldása n > 450 000 020 000 001 + 30 000 000 225 000 020 000 001 ahonnan N 9.1 10 14. Az n 2 +5 10 3 n > 107 egyenlőtlenség megoldása 5000 000 000 + 24 999 999 999 999 999 995 < n ahonnan N 1.0 10 10. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 55 / 66
lim 2+n n 3+7n = 17. lim n+3 ( 1)n n 2n 1 = ± 1 2 nincs határérték. lim 7n+3 ( 1)n n n 2 1 = 0. az n paritásától (párosságától) függően, vagyis Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 56 / 66
lim n lim n n+2 3n 2 5 = 1 3. ( ) 5 n+1 2n 1 = 1. 2 5 lim 3n 2 4n+1 n 2n 2 +57n = 3 2. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 57 / 66
( ) lim (ln(n + 3) ln(n + 4)) = lim ln n+3 n n n+4 = ln(1) = 0. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 58 / 66
3 lim n+1 +( 2) n n lim n 3 n = 3. n+2 n n+3 n = 1. lim e n n+1 = 0. n Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 59 / 66
lim n 4 n n 8 n +9 n lim n 4+( 1) n = 1. 10 n = 9 10. lim arctg ( n 3 99n ) = π n 2. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 60 / 66
( ) n n 2 + n n = lim 0 lim n ( ) n lim 12 + 0.1 = 0. n ( ) n n 2 + n n = lim 0 lim n ( ) n lim 12 + 0.1 = 0. n lim n n 8 1 ( n = n 2) 3 1 lim 4 1 n ( n 2) = lim 2 1 n ( (n 2 +n) n 2 n n 2 +n+n ( (n 2 +n) n 2 n n 2 +n+n ) n = lim n ) n = lim n ( ) n n n 2 +n+n ( ) n n n 2 +n+n ( n 2 1) ( ( n 2) 2 + n ) 2+1 ( n 2 1)( n = 2+1) 3 2. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 61 / 66
( ) lim n 1 1 t n n = 2 t minden t R esetén. Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 62 / 66
lim a n = γ minden γ R + számra. n Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 63 / 66
( ( ) 2 ( ) ) ( ) 3 T = lim 1 1 n 9 8 19 82 19... = 1 9 1 1 = 0. 1 8 9 Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 64 / 66
( ) lim n + a n + b = 0 minden a, b R szám esetén. n Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 65 / 66
lim n esetén. ( n 2 + βn + γ n 2 + δn + ε) = β δ 2 minden β, γ, δ, ε R Matematikai anaĺızis (PE) Sorozatok 2007. október 14. 66 / 66