. Egenletek I. Feldtok. Oldj meg z lábbi egenleteket egenletrendszereket vlós számok hlmzán. ) b) ( ) ( ) 8 Klmár László Mtemtik Versen döntője 99. 8. osztál c) ( ) ( ) ( ) ( ) OKTV II. ktegóri. forduló / d) z z Tnárképző főiskolák Péter Rózs mtemtiki versene 99 e) 8 OKTV I. ktegóri. forduló / f) KöML. december B.9.. Oldj meg z lábbi egenleteket vlós számok hlmzán. ) ( ) ( ) b) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( ) e) ( ) ( ) 8 OKTV I. ktegóri. forduló /. Oldj meg z lábbi egenleteket vlós számok hlmzán. ) 9 b) 8 8 c) d) e) 8
. Oldj meg z lábbi egenleteket illetve egenletrendszert vlós számok hlmzán. ) b) c) 999 998 99 999 998 99 Klmár László Mtemtik Versen megei fordulój. 8. osztál 9 8 KöML 99. május G.. d) e) 99 99 99 99 9 9 9 9 KöML 99. március G.. KöML 98. jnuár G... Oldj meg z lábbi egenleteket illetve z egenletrendszert vlós számok hlmzán. ) ( ) ( ) b) c). Bizoníts be hog z ( )( b) ( b)( c) ( c)( ) egenletnek bármel vlós b c értékek esetén vn vlós göke. KöML 98. március C.98.. Oldj meg z lábbi egenletrendszereket vlós számok hlmzán. ) b) z z z z
8. ) Mutss meg h b c> b bc c > és bc > kkor z b c számok mindegike pozitív. b) Mutss meg h b bc c > és > kkor z b c számok zonos b bc c előjelűek. c) Az p q r polinom mindhárom zérushele és között vn. Bizoníts be hog < p q r<. 9. Oldj meg z egenleteket vlós számok körében. ) b). Eg tízes számrendszerben felírt négjegű számból kivonjuk zt háromjegű mjd kétjegű végül egjegű számot melet z eredeti szám utolsó utolsó kettő végül utolsó három számjegének elhgásávl kpunk. Az eredmén:. Mi volt z eredeti négjegű szám?. Nég különböző számjeg lklms sorrendjével elkészítettük lehetséges legngobb és legkisebb négjegű számot. A két szám összege ) ; b). Mik lehetnek ezek számok?. Ann meglátogtj heg túloldlán lkó brátnőjét Hnnát. Az út felfele emelkedő szkszán km/h sebességgel vízszintes szkszon km/h lejtős szkszon km/h sebességgel hld. Od-vissz z út óráig trtott. Annától hán km távolságr lkik Hnn?. Oldj meg z ( ) egenletet vlós számok hlmzán.. Mekkor b értéke h z 8 8 9 b egenletnek három vlós göke vn? II. Megoldások. Oldj meg z lábbi egenleteket egenletrendszereket vlós számok hlmzán. ) b) 8( ) ( ) Klmár László Mtemtik Versen döntője 99. 8. osztál
c) ( ) ( ) ( ) ( ) OKTV II. ktegóri. forduló / d) z z Tnárképző főiskolák Péter Rózs mtemtiki versene 99 e) 8 OKTV I. ktegóri. forduló / f) KöML. december B.9. Megoldás: Azt hsználjuk h eg négzetösszeg értéke (illetve páros kitevőjű htvánok összege) null kkor mindegik összedndó értéke null. ) ( ) ( ) ( ) ( ). A négzetösszeg csk úg lehet null h. b) 8( ) ( ) ( ) 8( ) ( 8 ) ( 8 ) ( ) ( ). Ez z összeg pontosn kkor null h és zz c) ( ) ( ) ( ) ( ) ± ±. egenlet bl oldlán álló összeg minden tgj páros htvánon vn tehát nem negtív. Íg bl oldl értéke pontosn kkor h minden tgj. zz ( )( ) h. zz ( )( ) h. A tgok mindegike csk esetén lesz null ez z egenlet egetlen megoldás.
d) Adjuk össze három egenletet ekkor ezt kpjuk: ( ) ( ) ( ) z. Ez nilván csk z esetén teljesül. A kpott gökök megoldási z egenletrendszernek is és ezeken kívül más megoldás nem lehet z egenletrendszernek. e) 8 egenletet írjuk könnebben kezelhető lkb z b helettesítésekkel: b b 8. 8 b b ( ) ( ) 8 b b ( ) ( ) b b b b. Íg zz és ; és. f) Adjuk össze két egenletet és rendezzük nullár:. Alkítsuk bl oldlt teljes négzetek összegévé: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Ez csk kkor teljesülhet h minden tg null miből egetlen megoldás dódik: z és.. Oldj meg z lábbi egenleteket vlós számok hlmzán. ) ( ) ( ) b) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( ) e) ( ) ( ) 8 OKTV I. ktegóri. forduló /
Megoldás: Az lábbi megoldásokbn zt hsználjuk hog eg szorzt csk kkor lehet null h vlmelik ténezője null. Az egenleteket úg rendezzük hog z egik oldlon null álljon és másik oldlt zonosságok segítségével szorzttá lkítjuk z b ( b)( b) zonossággl illetve z ( )( b b b b ) ( b)( b b ) b zonosságokkl. (Eg lklomml z b kifejezést lkítjuk szorzttá.) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( )( ) ( )( ) ( )( 8 8). A szorzt vlmelik ténezője kkor null h 9 9. b) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ). Az első ténező sohsem lehet null második ténező kkor null h ezek z egenlet megoldási. c) ( ) ( ) ( ( ) 9) ( ) ) ([ ( ) ] ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) (( ) )( ) ( ) ( 9) ( )( ) ( )( ) ( )( ). Az első ténező sohsem lehet null második ténező kkor null h ezek z egenlet megoldási. d) ( ) ( ) ( ) [( ) ] ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) [( ) ]
( )( ) ( )( 8 ) ( ) )( ( ) ) ( )( ) ( )( 8 ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ). A szorzt vlmelik ténezője kkor null h e) ( ) ( ) 8 ( ) 8) ( ) ( ) 9 ) ( ) ( ) 9)( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) ) ( )( 8) ( )( ) ( )( 8) ( )( )( ) ( ) [ ( 8) ( )( ) ] ( )[ 8]. ±. megoldás. A további megoldásokt ( ) egenlet megoldás dj. H z egenletnek vn egész megoldás kkor z konstns tgnk z -nek osztój. Behelettesítéssel ellenőrizhetjük hog megoldás ( próbálkozást kis bszolutértékű számokkl: érdemes kezdeni). Mivel megoldás íg z ( ) gökténező kiemelhető. Ezt végezzük el üges csoportosításokkl. A legngobb kitevőjű tg mellé oln kifejezést válsztunk miből z ( ) ténező kiemelhető és hozzádunk/elveszünk nnit hog mg polinom ne változzon: 8 ( ) 8( ) ( ) ( )( 8 ). Az 8 másodfokú egenletnek nincs vlós göke íg z eredeti egenlet megoldási és.. Oldj meg z lábbi egenleteket vlós számok hlmzán. ) 9 b) 8 8 c) d) 8 e)
Megoldás: ) Legen. Ekkor zz. Az egenlet ezzel helettesítéssel ( ) 9 zz lkot ölti. Ennek gökei és. Az egenletnek nincs vlós göke z egenlet gökei. Megjegzés: H z 9 egenletet -tel szorozzuk kkor eg z egütthtóibn szimmetrikus egenlethez 9 egenlethez jutunk. A következő egenleteknél megfigelhetjük z egütthtók szimmetriáját. Ilen esetekben segíthet z vg helettesítés. b) Az 8 8 egenletnek nem megoldás íg nem veszítünk gököt h osztunk. -nel: 8 Legen. Ekkor. Ezzel helettesítéssel z ( ) 8 zz z 8 egenlethez ju- tunk. Ennek gökei és. Az és z egenletek gökei ± ±. c) Az egenletnek nem megoldás íg nem veszítünk gököt h osztunk. -nel: Legen. Ekkor. Ez- zel helettesítéssel z ( ) ( ) egenlethez jutunk. ( ) ( ) ( )( ) egenlet gökei és. ±. Az Az egenleteknek nincs vlós göke z egenlet gökei ± ezek z eredeti egenlet megoldási. 8
9 d) Az egenletnek nem megoldás íg nem veszítünk gököt h osztunk -nel:. Itt z előbbi egenletekhez képest érdekesebb kifejezéseket látunk zárójelekben. Legen. Ekkor. Íg és z egenlet z ( ) ( ) zz z lkot ölti. Ennek gökei és. Tekintettel z összefüggésre z eredeti egenlet megoldási: ± ± ±. e) Az 8 egenletnek nem megoldás íg nem veszítünk gököt h osztunk -nel:. Legen. Ekkor. Íg ( ). Ezzel helettesítéssel z egenlet z ( ) ( ) ( ) zz z lkot ölti. Ennek megoldási és. Az összefüggés lpján esetén nincs vlós gök estén.. Oldj meg z lábbi egenleteket illetve egenletrendszert vlós számok hlmzán. ) b) 99 998 999 99 998 999 Klmár László Mtemtik Versen megei fordulój. 8. osztál
c) d) e) 9 8 99 99 99 99 9 9 9 9 KöML 99. május G.. KöML 99. március G.. KöML 98. jnuár G.. Megoldás: ). Adjunk z egenletben szereplő mindegik törthöz -et! és ehhez hsonlón lkítsuk át többi zárójelben is z összeget íg következő lkot ölti z egenlet:. Innen: ( ) ( ). ( ) A második ténező pozitív ezért. Másképp. Az egenlet elsőfokú egismeretlenes egenlet íg három eset lehetséges: nincs megoldás; eg megoldás vn; z egenlőség zonosság. Az utóbbi nem lehetséges például esetén bl oldl pozitív jobb oldl negtív tehát z egenlőség nem lehet zonosság. Az egenletnek legfeljebb eg megoldás vn. H mind ht tört értéke kkor teljesül z egenlőség. A törtek mindegike esetén veszi fel z értéket. Az egenlet egetlen megoldás.
999 998 99 b). Az egenletben szereplő törtek 999 998 99 mindegikéből vegünk el -et! 999 998 99 999 998 99 999 998 99 999 998 99 ( ) ( ). 999 998 99 ( ) A második ténező pozitív ezért. Másképp. Az egenlet elsőfokú egismeretlenes egenlet íg három eset lehetséges: nincs megoldás; eg megoldás vn; z egenlőség zonosság. Az utóbbi nem lehetséges például esetén bl oldl negtív jobb oldl pozitív tehát z egenlőség nem lehet zonosság. Az egenletnek legfeljebb eg megoldás vn. H mind ht tört értéke kkor teljesül z egenlőség. A törtek mindegike esetén veszi fel z értéket. Az egenlet egetlen megoldás. 9 8 c). Észrevehetjük hog mindegik törtnél számlálóbn és nevezőben álló számok összege ugnnni és megoldás. Ám z most elhmrkodott válsz lenne hog ennek z elsőfokú egenletnek megoldás s ezzel megoldottuk z egenletet. Vegünk el törték mindegikéből -et: ( ) 8 ( ) ( ). Az utolsó egenlőségen látszik hog zonosság mivel szorzt második ténezője. Tehát z egenlet zonosság. Minden vlós szám megoldás.
99 99 d). Behelettesítéssel meggőződhetünk rról 99 99 hog megoldás z egenletnek ugnis ekkor gökjelek ltt minden esetben vn és íg z egenlet mindkét oldlán áll. Megmuttjuk hog z egenletnek nincs más megoldás. Nilván 99. H > kkor zz 99 >. 99 99 > 99 99 Hsonlón 99 > íg 99 99 99 >. 99 Emitt 99 99 >. 99 99 H 99 < kkor 99 <. Továbbá 99 99 <. 99 99 < 99 99 és 99 < 99 99 íg Tehát ezen trtománon 99 99 <. 99 99 Azt látjuk hog z egenlet értelmezési trtománábn z értéket kivéve nincs megoldás mert > esetén bl oldl < esetén jobb oldl ngobb. Az egenlet megoldás. 9 9 e). Induljunk el z előző megoldások útján! H mindegik 9 9 tört értéke kkor z egenlet mindkét oldlán áll és ez z 99 -re teljesül. Tehát 99 megoldás. Azt most nem tudjuk megmuttni hog más megoldás nincs. Azért nem lehet ezt belátni mert vnnk még megoldások. Kezdjük újr! A törtek nevezője nem lehet null tehát 9. Hozzuk z egenlet mindkét oldlát közös nevezőre: ( ) ( 9) 9 ( ) ( 9) 9 ( ). 9 9 ( ) ( )
A számlálók egenlőségéből nevezők egenlősége következik: 9 ( ) ( 9) 99 ( 99 ) zz vg 99 és mindkét szám megoldás z eredeti egenletnek is. Az előbbi következtetés kkor heles h számláló nem null. H számláló null ( ) kkor is teljesül. ( 9 ) 9 ( ) egenletnek. Az egenlet megoldási: 99 és 9. 99 zz 9 és ez is megoldás z eredeti 99. Oldj meg z lábbi egenleteket illetve z egenletrendszert vlós számok hlmzán. ) ( ) ( ) b) c) Megoldás: Tekintsünk z egenletben szereplő kifejezésekre mint függvénekre és függvén jellemzői segíthetik z egenlet megoldását. ) ( ) és ( ) tehát ( ) ( ). Az egenlőség csk úg lehet h ( ) zz. zz ; vlmint ( ) b) Osszunk -nel (ezt megtehetjük mert hiszen > ):. A bl oldlon álló függvén szigorún monoton növekvő jobb oldlon pedig szigorún csökkenő függvén áll ezért z egenletnek legfeljebb eg megoldás vn. Az megoldás ez z egetlen megoldás. c) Az f ( t) t t függvén szigorún monoton növekvő ezért h ( ) f( ) f kkor. Ezt hsználjuk fel második egenletnél: tehát vg ám mitt íg z egenletrendszer egetlen megoldás:.. Bizoníts be hog z ( )( b) ( b)( c) ( c)( ) egenletnek bármel vlós b c értékek esetén vn vlós göke. KöML 98. március C.98.
Megoldás: Rendezés után ( b c) b bc c másodfokú egenletnek diszkrimináns D [ b c] [ b bc c] és ez átl- kítások után D ( b c b bc c) egenlethez jutunk. Ennek lkot ölti. Belátjuk hog D és ezzel igzoljuk feldt állítását. b c b bc c ( ) b c b bc c ( b b ) ( b bc c ) ( c c ) ( b) ( b c) ( c ). Az utolsó egenlőtlenség igz és íg z első egenlőtlenség is mert ekvivlens átlkításo- kt végeztünk. Tehát ( b c b bc c) D. Másképp. Az egenlet másodfokú egenlet. H kifejezésre mint függvénre tekintünk kkor z eg prbol egenlete. Feltehetjük hog b c. f b b c c. Legen ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) H H H kkor f ( ) ( b)( c). b kkor f ( b) ( b )( b c). c kkor f ( c) ( c )( c b). H vlmelik egenlőtlenségben teljesül z egenlőség például esetén kkor zérushele prbolánk zz megoldás másodfokú egenletnek. Az lehetőség mrdt hog mindegik egenlőtlenség éles egenlőtlenség. Ez zt jelenti hog prbol z és c heleken pozitív értéket vesz fel és közöttük levő b értékre negtív z értéke. Íg ez foltonos függvén előjelet vált és b között emitt és b között zérushele vn. Ugníg zérushele vn b és c között is. Ezek zérushelek másodfokú egenlet gökei.. Oldj meg z lábbi egenletrendszereket vlós számok hlmzán. ) b) z z z z Megoldás: ) Legen b ekkor z egenletrendszer z b b lkot ölti. Innen kpjuk z ( )( ) egenletet.
H b kkor z egenletrendszerhez nem tlálunk vlós megoldásokt. H b kkor vg. b) A gökök és egütthtók közötti összefüggések lpján és z t t t egenlet gökeit jelöli. H vn egész göke z egenletnek z osztój -nk. Ezeket vizsgálv tlálunk három gököt: t t t. Az egenletrendszer ( ; z) ; megoldásit számok különböző sorrendjei dják. 8. ) Mutss meg h b c> b bc c> és bc > kkor z b c számok mindegike pozitív. b) Mutss meg h b bc c> és > kkor z b c számok zonos b bc c előjelűek. c) Az p q r polinom mindhárom zérushele és között vn. Bizoníts be hog < p q r<. Megoldás: ) Legen Az ( ) p b c q b bc c bc r f( ) p q r f függvén esetén negtív értékeket vesz fel tehát zérushelei pozitív számok s ezek zérushelek gökök és egütthtók közötti összefüggések mitt z számok.. b c b c b) > zz >. b bc c bc Két eset lehetséges. b c> bc > b bc c> ; vg b c< bc < b bc c>. Legen gökei z p b c q b bc c r bc. Ekkor z p q r egenlet b és c számok. Első esetben p > q > r >. Ekkor z p q r egenlet gökei mind po- zitívk hiszen esetén p q r<. Tehát > b> c>. Második esetben p < q > r <. Ekkor z p q r egenlet gökei mind negtívk hiszen esetén p q r>. Tehát < b< c<. c) Legenek polinom zérushelei b c. Helettesítsünk : p q r ( )( b)( c) -et: p q r ( )( b)( c). A szorzt feltételek mitt és között vn íg < p q r<.
9. Oldj meg z egenleteket vlós számok körében. ) b) Megoldás: ) Szorzt bszolút értéke egenlő ténezőinek bszolút értékéből képezett szorzttl és fordítv tehát z ( )( ) és ( )( ) szorztok bszolút értéke egenlő. Ez kétféleképpen teljesülhet: két szorzt egenlő és íg különbségük vg szorztok értéke csk előjelben lülönbözik ezért z összegük. Az első esetben zz. Az. A második esetben ( ) egenletnek ez három göke vn. b) b c b c tehát z ( )( )( ) ( )( )( ) ± és z szorztok bszolút értéke egenlő. Ez kétféleképpen teljesülhet: két szorzt egenlő íg különbségük vg egmás ellentettjei ezért z öszszegük. Az első esetben: zz. A második esetben: ( ) ±. ± zz. Eg tízes számrendszerben felírt négjegű számból kivonjuk zt háromjegű mjd kétjegű végül egjegű számot melet z eredeti szám utolsó utolsó kettő végül utolsó három számjegének elhgásávl kpunk. Az eredmén:. Mi volt z eredeti négjegű szám? Megoldás: H keresett szám bcd (zz bcd b c d ) kkor bcd bc b íg 889 89b 9c d. H kkor 889 > ; h kkor 889 89b 9c d 899 89 9 9 9 9< tehát. Ezt behelettesítve 889 89b 9c d egenletbe: 89 b 9c d. Ismét ngsági viszonokr figelve kpjuk hog b. Az íg dódó 9 c d 8 ez csk úg lehet h c d. Az eredeti négjegű szám.. Nég különböző számjeg lklms sorrendjével elkészítettük lehetséges legngobb és legkisebb négjegű számot. A két szám összege ) ; b). Mik lehetnek ezek számok? Megoldás: ) A nég különböző számjeg: < b< c< d. A feltételek szerint: dcb bcd zz ( d) ( b c). A bl oldl oszthtó - gel osszunk -gel: 9 ( d) ( b c) 9. A jobb oldl is ( bc) -zel íg 9 ( d) is oszthtó -zel d b c. Ezután kpjuk hog. Tekintettel kiinduló egenlőtlenségekre: b c d 9. Vlóbn: 9 9. is oszthtó
b) Az egenlet jobb oldl változott: dcb bcd zz d b c. A bl oldl oszthtó -gel jobb oldl nem. ( ) ( ) Tehát nincs megoldás. (Ez nem meglepő. Nilván nem mindeg milen számot dunk meg két szám összegeként csk néhán esetben vn megoldás.) A b) feldtnk még is vn megoldás. Miért? Mit néztünk el mit hibáztunk? Két lehetőséget kell vizsgálni feldt szövege lpján és mi csk z egiket néztük meg. A két lehetőség: nég számjeg között nem szerepel null (ezt néztük) vg z egik számjeg null. A második esetben z összeg: dcb bcd. d b c itt z összeg utolsó számjege mitt d. Ezt behelettesítjük: b c b c. Mivel b és c számjegek íg ngsági viszonok mitt b és ezután c dódik. A megoldás:. Az ) feldt megoldás is hiános hiszen ott is meg kell vizsgálni zt lehetőséget h nég számjeg egike null ám bbn z esetben nincs megoldás.. Ann meglátogtj heg túloldlán lkó brátnőjét Hnnát. Az út felfele emelkedő szkszán km/h sebességgel vízszintes szkszon km/h lejtős szkszon km/h sebességgel hld. Od-vissz z út óráig trtott. Annától hán km távolságr lkik Hnn? Megoldás: Az út odvivő szkszán z emelkedő szksz hossz legen vízszintes lejtős z km. Ekkor z od-vissz vivő út megtételéhez szükséges idő: z z zz ( z) íg z 9. Ann és Hnn lkás között 9 km távolság.. Oldj meg z ( ) egenletet vlós számok hlmzán.. megoldás: ( ). négzetet hog z A négzetes kifejezés mellé keressünk eg másik ( ). b zonosságot lklms módon lklmzni tudjuk. Az első kettőt lkítsuk szorzttá nevezetes zonosság segítségével. ( )( ) ( ) ( )( ) zz ( )( )( ). Az egenlet megoldási:.. megoldás: ( ). ( ). Az első kettőt lkítsuk szorzttá másodfokút pedig írjuk fel gökténezős lkbn.
( )( ) ( )( ) zz: ( )( ) ( )( ) ( )( [ )( ) ] ( )[ ].. Alkítsuk szorzttá hrmdfokú kifejezést! H z egenletnek vn egész göke kkor z osztój konstns tgnk -nek. Az értékeket behelettesítjük és zt tláljuk hog gökténező kiemelhető hrmdfokú polinomból. göke z egenletnek íg z ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) tehát ( )( ) ( )( )( ). Az egenlet megoldási:.. megoldás:( ) ( ) bl oldlon teljes négzet áll: [( ) ] ( ). Ez átrendezve szorzttá lkítv: ( )( )( ) Az egenlet megoldási:... Mekkor b értéke h z 8 8 9 b egenletnek három vlós göke vn? Megoldás: Vázoljuk fel z f( ) 8 8 9 függvén grfikonját! (Segít Geogebr z Ecel vg függvénvizsgált hgomános eszköze deriválás.) Azt z b egenest keressük mel pontosn pontbn metszi ezt grfikont. Ez vízszintes egenes érintője függvénnek. f '( ) 9 ( )( )( ) A keresett egenes z pontbn érinti függvént: b f( ) tehát b. 8