Mûhel Tóth Zoltán docens, Károl Róbert Főskola E-mal: zol@karolrobert.hu Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése A nemlneárs regresszós és trendfüggvének llesztésekor számos esetben alkalmazzuk az adatok transzformácójának módszerét. Ekkor az összefüggésre és az adatokra eg alkalmas transzformácót alkalmazva, paraméterenket lneárs összefüggésből kell meghatározn, amelnek normál egenletrendszerét már könnedén, akár zsebszámológép használatával s meg tudjuk oldan. A probléma smert a szakrodalomban, azonban a szerzők, kváltképp a tankönvek szerző nem fordítanak kellő fgelmet arra, hog a lnearzálásból adódó torzítás mlen mértékű és ránú, hanem többnre megelégszenek azzal a megállapítással, hog a torzítás mértéke általában olan, hog az összefüggés a gakorlat számára még használható (például Hunad Vta [004]). A tapasztalat azt mutatja, hog ezek az eltérések exponencáls vag hatvánfüggvének llesztése esetén valóban nem mndg jelentősek, de például hperbolkus függvén llesztésekor nagságrendleg nagobb eltéréseket s tapasztalhatunk, sőt smeretes, hog bonolultabb függvének (például a logsztkus függvén) esetében ezek a torzítások gakran használhatatlanná teszk a lnearzálással kapott eredméneket. Az eltérések adatanktól függően egazon függvéntípus esetén s eltérőek lehetnek. Ennek a tanulmánnak az a célja, hog az említett transzformácókból adódó torzításokat elemezze, és ezáltal s felhívja a fgelmet azokra a problémákra, melek felett kváltképp a tapasztalatlan alkalmazók hajlamosak átsklan. Ennek megfelelően a kérdés felvetése után először eg egszerűsített feladaton, a két, lletve több megfgelés (számérték) legksebb négzetekkel kapható közepének meghatározásakor mutatjuk be az oda-vssza alkalmazott transzformácók tulajdonságat, majd a nemlneárs görbellesztés néhán gakor esetét vzsgáljuk meg. A tanulmánt a következtetések összefoglalása, a felhasználók számára megfogalmazott javaslatok, valamnt a megválaszolatlanul maradt kérdések zárják. Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
Tóth: Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése 85. A legksebb négzetek módszerének tulajdonsága az adatok transzformácója esetén Amennben nemlneárs regresszós függvént llesztünk, gakran transzformáljuk a függő vag a független változót. Az alapötlet első pllantásra helesnek tűnk, hszen tökéletesen lleszkedő függvének esetén az oda-vssza transzformácó (ha létezk) helben hagja a függvént. Ha például eg pontosan hperbolkus függvén szernt alakuló adatsorra akarunk függvént lleszten, akkor a függő változó recprokára llesztve a lneárs függvént, majd ennek a lneárs függvénnek a recprokát véve megkapjuk az eredet adatokra lleszkedő hperbolkus függvént. Ez a gondolat annra egszerű, hog nem s érdemes tovább magarázn. A probléma ott kezdődk, amkor az lleszkedés nem tökéletes, hszen akkor az eredmének korántsem lesznek len trválsak. Annak érdekében, hog a problémát érthetően megvlágítsuk, először eg egszerűbb feladatot fogalmazunk és oldunk meg: azt vzsgáljuk meg, hog két adat M, lletve m között keresve a legksebb négzetes eltérést teljesítő x értéket hogan változk x értéke, ha az adatokat transzformáljuk, majd a transzformált adatokra kapott értéket az nverz transzformácóval vsszatranszformáljuk. Az előzők alapján nlvánvaló, hog amennben M = m, akkor x s egenlő lesz velük, más esetekben azonban nem ez a helzet. Az tt következő ks elemzés előtanulmánnak s teknthető a görbellesztés feladatához, uganakkor önállóan s érdekes, mvel rámutat eges statsztka átlagok tulajdonságara... Alapeset (nncs transzformácó) Két érték, M és m ( M m ) között keresünk eg olan x értéket, amelre ( ) ( ) ( ) f x = M x + m x mn. // f x =. A függvén láthatóan felfelé níló parabola, ott lesz mnmáls, ahol ( ) 0 Mvel f ( x) = ( M x) ( m x) =0, ezt átrendezve M x+ m x= 0, majd M + m x = kapható, tehát a négzetes eltérés akkor lesz a legksebb, ha x a két érték számtan közepe. Az eredmén általánosan smert alapösszefüggés, és több adat esetén s gaz. Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
86 Tóth Zoltán.. A lneárs transzformácó esete l x = a+ b x lneárs transzformácó. Ekkor l(m) és l(m) értékek között keressünk eg olan értéket, amelre Legen ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) f = l M + l m mn, // majd ezt az értéket az l nverz transzformácójával vsszaalakítva az a kérdés, hog vsszakapjuk-e az alapesetben meghatározott x értéket. Ekkor f ( ) ( a b M ) ( a b m ) ( ) 0 f =. Ekkor az = + + +, am ott lesz mnmáls, ahol ( ) ( ) ( ) f = a+ b M a+ b m =0 egenlet megoldását keressük, amre azt kapjuk, hog M + m a+ b M + a+ b m = 0, majd = a+ b, végül a M + m l ( ) = + =. b b Ez azt jelent, hog a transzformált adatokra meghatározva a legksebb négzetes eltérést adó értéket, majd ezen értékre végrehajtva a transzformácó nverzét az adatok számtan átlagát kapjuk. Tehát transzformácóval meghatározva értékét, valamnt nverz transzformácóval x értékét az alapesetnek megfelelő x értéket kapjuk..3. A recprokképzés esete Legenek adva a M és m értékek. Legen a transzformácó a recprokképzés, amelnek nverze önmaga. Keressük azt az értéket, amelre: f() = + mn M m. /3/ Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése 87 A szokásos módon ezúttal s az f ( ) 0 = egenletet kell megoldan: f'() = = M m 0, + = M m, azaz x = = + M m. Ez azt jelent, hog a transzformált adatokra meghatározva a legksebb négzetes eltérést adó értéket, majd ezen értékre végrehajtva a transzformácó nverzét az adatok harmonkus átlagát kapjuk. Ez azzal a következménnel jár, hog az íg kapott x érték nem egezk meg az alapesetben meghatározott számtan átlaggal, hanem annál ksebb. Tehát a transzformált adatokra meghatározva a legksebb négzetek elvét teljesítő értéket, majd azt az nverz transzformácóval vsszaalakítva, az eredet adatok között a legksebb négzetek elvét teljesítő számtan átlagnál ksebb értéket, a harmonkus átlagot kapjuk eredménként..4. A logartmusképzés esete Ismét legen adva M és m és legen a transzformácó a természetes alapú logartmus, melnek nverze: e. Keressük azt az értéket, x amelre: ( ) ( ) ( ) f = lnm + lnm mn. /4/ = ln ln = 0, ahonnan Tudjuk, ez akkor teljesül, ha f ( ) ( M ) ( m ) ln M+ ln m lnm + lnm =, majd x = e = e = M m adódk. Ekkor tehát a transzformált (logartmzált) adatokra meghatározva a legksebb négzetek elvét teljesítő értéket, majd azt az nverz transzformácóval vsszatranszformálva, az eredet adatok között a legksebb négzetek elvét teljesítő számtan átlagnál ksebb értéket, a mértan átlagot kapjuk.5. A négzetgökvonás esete Legen adva továbbra s M és m, és a transzformácó a négzetgökvonás, melnek nverze a négzetre emelés. Keressük azt az értéket, amelre: ( ) ( ) ( ) f = M + m mn. /5/ Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
88 Tóth Zoltán = = 0, azaz Tudjuk, ez akkor teljesül, ha f ( ) ( M ) ( m ) M + m =, és M + m+ M m x= =. 4 Az íg kapott (vsszatranszformált) x érték nem az adatok számtan átlaga, mert: M + m+ M m M + m x =, hszen M + m+ M m ( M + m) és 4 M + m M m a számtan és mértan átlag között smert relácóból adódóan. Láthatjuk, hog a transzformált adatokra meghatározva a legksebb négzetek elvét teljesítő értéket, majd azt az nverz transzformácóval vsszatranszformálva, eg a számtan átlagnál ksebb x értéket kapunk. Vags a vsszatranszformált érték nem teljesít a legksebb négzetek elvét az eredet adatok között, hanem annál ksebb..6. A négzetre emelés esete Legen adva M és m, és legen a transzformácó most a négzetre emelés, melnek nverze a négzetgökvonás. Keressük azt az értéket, amelre: ( ) ( ) ( ) f = M + m mn. /6/ = = 0, azaz Tudjuk, ez akkor teljesül, ha f ( ) ( M ) ( m ) M + m =, M + m x= =. Az íg kapott (vsszatranszformált) x érték nem az adatok számtan átlaga, hanem annál nagobb, mert: M + m M + m, hszen M + m M + m + M m és 4 M + m M m = M m, Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése 89 am gaz az M és m számtan és mértan átlaga között smert nagságrend összefüggés alapján. Ekkor tehát a transzformált adatokra meghatározva a legksebb négzetek elvét teljesítő értéket, majd azt az nverz transzformácóval vsszatranszformálva, eg a számtan átlagnál nagobb x értéket kapunk. Vags a vsszatranszformált érték nem teljesít a legksebb négzetek elvét az eredet adatok között, hanem annál nagobb..7. Általános eset g x eg a vzsgált ntervallumon monoton, foltonos és íg nvertálha- g m értékek között keresünk eg olan értéket, Legen ( ) tó függvén. Ekkor a g ( M ) és ( ) amelre ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) f = g M + g m mn. /7/ f ( ) ott lesz mnmáls, ahol ( ) ( ) g(m ) + g(m) =, ( ) ( ) ( ( ) ) f = g M g m = 0. Ekkor ( ) + g( m) g M x= g = g. M + m Ha g ( ) =, akkor a legksebb négzetek elvének megfelelő x érték meghatározása és a g függvén által meghatározott transzformácó alkalmazás sorrendje felcserélhető. Ehhez a következő összefüggés kell, hog teljesüljön: g(m ) g(m) M m. g + + = Az előző összefüggés pedg csak akkor teljesül, ha g nverze és íg g s lneárs. Összegezve megállapítható, hog ha adatankat transzformáljuk, csak a lneárs transzformácó hagja változatlanul a két érték között legksebb négzetek elvét teljesítő értéket, azaz a számtan átlagot. Mvel a levezetések több adat esetén s uganúg véggvhetők, megállapíthatjuk, hog a transzformált adatok várható értékét meghatározva majd ezt az értéket az nverz transzformácóval vsszatranszformálva, csak lneárs transzformácó esetén kapjuk meg az eredet adatok várható értékét. Az eddg elmondottakhoz még eg megjegzést kell fűznünk. Tudjuk, hog ha g monoton, foltonos (nem lneárs) függvén és f foltonos, akkor amennben f-nek Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
90 Tóth Zoltán létezk mnmum hele, akkor g ( f ) összetett függvénnek s létezk, és ez a két mnmumhel egbeesk. Azonban esetünkben ezt a tulajdonságot nem alkalmazhatjuk, hszen m a következő típusú függvéneket akarjuk mnmalzáln: Itt ( F) az eredet adatokra a transzformált adatokra n ( ) ( ) ( ) F a,b = f x mn, n = ( ( )) ( ) ( ) ( ) G a,b = g g f x mn. = G g és pontosan azt mutattuk meg az előző levezetésekben, hog ez a mnmum eltolódk a transzformácók hatására. Korábban láttuk, hog ha adatank lleszkednek, például eg hperbolkus függvénre és azokat lnearzáljuk, valamnt a lnearzált adatokra lneárs függvént llesztünk, majd ezt az nverz transzformácóval vsszaalakítjuk, akkor vsszakapjuk a kndulás függvént. Vags a transzformácó nem torzítja az eredmént. Ennek oka, hog tökéletes lleszkedés esetén ezt a gondolatmenetet követve olan esettel állunk szemben, ahol M = m, és íg ekkor x értéke s lleszkedk M = m értékre. Feladatankban len deáls eset nncs s, mert ekkor transzformácó nélkül s meg tudnánk találn a függvént, lletve a paraméterek értékét. Vszont ha az adatok nem lleszkednek pontosan az eredet vag a transzformált függvénre, akkor a transzformácó eltérít mnket a legjobban lleszkedő függvéntől. A kétszeres transzformácó természetesen nem bztosítja automatkusan azt, hog a knduló és a transzformácók után kapott értékek azonosak lesznek. Eg egszerű példát említve lleszkedjenek az eredet adatpárok eg egenesre. A transzformácó legen a recprok képzése, és a transzformált adatokra (amelek nlván nem lleszkednek tökéletesen eg egenesre) llesszünk lneárs függvént, majd a transzformált adatokra kapott lneárs függvént és annak értéket alakítsuk vssza az nverz transzformácóval. Az íg kapott vsszatranszformált adatok nlvánvalóan nem egeznek az eredetekkel.. A hbatagok változása a transzformácó hatására Vzsgáljuk meg a továbbakban, hog mlen mennség összefüggés van az eredet függvénre llesztett nemlneárs regresszós vag trendfüggvén hbatagja és a lnearzált függvén hbatagja között. Bevezetőül meg kívánjuk jegezn, hog Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése 9 a transzformácó mndg az függvénértékekre vonatkozk, lletve, hog mndg addtív hbatagról fogunk beszéln. Az eredet függvén hbatagját az -edk adat esetén ε, a transzformált függvén esetén uganezt δ jelöl. Az tt következő elemzésekben meghatározzuk néhán alapvető nemlneárs esetre a hbatagok négzetösszegét és keressük ezen összegek mnmumhelet. Megmutatjuk, hog ezen mnmumhelek az adattranszformácó alkalmazásával végzett megoldásokban és az eredet adatokra vzsgálva nem esnek egbe. Egben azt s gekszünk megmutatn, hog m a vszon a kétféle hbatag között... A hbatagok vszona exponencáls függvén esetén Ebben az esetben az llesztett függvén = a e alakú, a transzformácó pedg, amvel ez lnearzálható, a természetes alapú logartmus. Megjegezzük, hog leggakrabban az a > 0, b > 0 esettel találkozunk, íg példánkban s let mutattunk be. Természetesen az tten elemzés kterjeszthető a függvén más parametrzálására s. Az eredet adatokra, lletve az exponencáls függvénre vonatkozó addtív hbatag legen ε, a transzformált adatokra lneárs függvént llesztünk és az tt szereplő addtív hbatag legen δ. Az a és b paraméterek változtatásával eredet célunk a ε mnmeghatározá- sa. Ennek egk útja volt az adatok transzformálása és δ mn meghatározása. A következőkben bemutatjuk, hog ez a két mnmum nem esk egbe, és meghatározzuk, hog mekkora az eltérés az ε és δ értékek között. Legen az eredet adatokra bx llesztendő függvén alakja = a e + ε, amből azonnal kapható az bx ε = a e forma. A transzformált adatokra llesztett lneárs függvén: bx ln = ln a+ b x + δ, aho nnan ln δ = ln a+ b x, és e ln δ b x a e δ = =. e A két utóbb kapott alak összevetése és ném átalakítás után a következő adódk: ε ε = ; = ; δ δ e e e δ δ ε = e = és nnen ε ε δ = ln = ln = ln ε ε ε. Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
9 Tóth Zoltán Mvel lm = e x x x ezért nag és kcs, tehát jó közelítés esetén eb- ε ből következk, hog ln, am matt t ε ε ε δ, azaz ε δ. /8/ Látható, hog és δ mnmuma nem feltétlenül egezk meg. Pontosabban, mvel δ és m δ mnmumát határozzuk meg, ezért az ezzel egenlő ε ε ε összegben a nag értékekhez tartozó, hbák ksebb súllal szerepelnek. Ez azt jelent, hog a transzformácóval kapott regresszós függvénünk nag értékekre nem lesz annra pontos, vags a transzformácóval valóban nem kapjuk meg a legjobban lleszkedő exponencáls függvént. A legjobban lleszkedő függvén meghatározásához a ε mnmumot kellett volna meghatározn, am vszont analtkusan nem kezelhető normálegenlet-rendszerhez vezet. Alakítsuk most vssza regresszós függvénünk transzformált alakját hbataggal egütt: ln = ln a+ b x + δ, bx δ bx P = a e e = a e + 00. ε Ekkor az látható, hog az előző felírás esetén δ P e = + jelöléssel P azt mu- 00 tatja meg, hog hán százalék az eltérés az eredet és számított érték között, és m ezt mnmalzáljuk. Ez akár eg krtéruma s lehet a függvénllesztésnek (az eltérés százalékos összegének a mnmalzálása), de jól látható, hog ez nem felel meg a legksebb négzetek elvének. Nézzük meg, hog ez az eredmén hogan látható a következő fktív adatsoron: Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése 93 Legen adva az alább 4 adatpár. példa x Eredet adatok számított (transzformácó) ε ln Transzformált adatok ln számított δ ε ln 0,0,379 0,6 0,693 0,3 0,37-0,37,7 3,79 -,479 0,53,56-0,66 0,66 8,4 7,37,073,8,99 0,37-0,37 3 9,0 6,889,,944,87 0,8-0,8 Ezen adatokat transzformálva és a transzformált adatokra alkalmazva a legksebb négzetek elvét (lneárs függvént llesztve), majd a paramétereket vsszatranszformálva a = 379,, lletve b = 0, 835 értékeket kapunk, azaz a legjobb függvénnek a lnearzálás módszerével az =, 379 e 0, 835x függvén bzonult. Ezen paraméterekkel kszámítva a függvénértékeket, az előző ε, δ értékeket kapjuk, amelek között megfgelhetjük a levezetett összefüggést, mszernt ε δ, lletve ε δ = ln. Ha ezután az adatokra úg llesztünk legjobban lleszkedő exponencáls függvént, hog nem végezzük el a lnearzáló transzformácót, hanem az eredet forma maradékanak négzetösszegét mnmalzáljuk (numerkus közelítéssel, terácóval), akkor a legjobban közelítő függvénnek az =, 33 e 094, x függvén bzonul. Az lleszkedések összehasonlítása érdekében kszámítottuk az ( ˆ) ( ) I = korrelácós ndexet mnd az terácóval meghatározott függvénre, mnd a transzformácóval meghatározott függvénre. Ekkor azt kaptuk, hog: 0835, x transzformácó esetén: =, 379 e I = 09584,, 094, x terácó esetén: =, 33 e I = 0, 9846. Természetesen I értékeből s látszk, hog a transzformált adatokra alkalmazva a legksebb négzetek elvét, majd az nverz transzformácóval vsszatranszformálva a paramétereket nem a legjobb regresszós függvént kapjuk. Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
94 Tóth Zoltán. ábra. A transzformácóval, lletve terácóval meghatározott exponencáls függvének 0 5 (adat) adat terácó terácós transzformácó formácós 0 5 0 0 3 Az. ábrán s láthatók a levezetett összefüggések, mszernt a transzformácóval meghatározott függvén ksebb súllal fgel a nagobb függvénértékek esetén elkövetett hbákra. Megjegzendő, hog a hatvánfüggvén esetén hasonló nagságrendű eltérést kapunk a transzformácó hatására. Az tt tárgalt exponencáls függvén egk specáls esete az a konkáv függvén, bx amelet leggakrabban az A( ae ) =, ( 0) b < alakban szoktunk specfkáln, és amelet egszerű telítődés folamatok leírására használhatunk. Az eddgek alapján algha meglepő az az állítás, mszernt a transzformált alakra alkalmazott legksebb négzetes llesztés ez esetben s más eredmént ad, mnt az eredet formára terácós úton készített becslés. Az eltéréseket lletően können belátható, hog a /8/-ban szereplő δ összefüggést ez esetben a δ ε A ε váltja fel, és a paraméterbecsléshez ennek négzetösszegét kell mnmalzáln. Ennek következméne az, hog a négzetösszegben a ks értékekhez tartozó ε hbák szerepelnek ksebb súllal. Ez pedg azt jelent, hog a transzformácóval kapott függvénünk a ks értékekre lesz kevéssé pontos. Emlékeztetünk arra, hog az eredetleg felírt (konvex) exponencáls függvén esetében ez fordítva volt. Ennek az eltérő eredménnek az egszerű ntutív magarázata az, hog a telítődés sznthez közeledve egre ksebb mozgástere van az llesztett görbének; egre nkább, egre ksebb ngadozásokkal smul a telítődés sznthez. Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése 95.. A hbatagok vszona hperbolkus regresszós függvén esetén Ebben az esetben az llesztett függvén alakja: =, a transzformácó a a+ b x recprokképzés, amelnek az nverze s a recprokképzés lesz. Az eredet adatokra és a hperbolkus függvénre vonatkozó addtív hbatag legen ε, a transzformált adatokra lneárs függvént llesztünk és az tt szereplő addtív hbatag legen δ. Az a és b paraméterek változtatásával eredet célunk a mn meghatározása. Ennek egk útja volt az adatok transzformálása és δ mn meghatározása. A következőkben bemutatjuk, hog ez a két mnmum nem esk egbe és meghatározzuk, hog mekkora az eltérés az ε és δ értékek között. Az eredet adatokra llesztett függvén = + ε, amt átalakítva a+ b x ε ε = a+ b x /9/ kapható. A transzformált alakból = a+ b x + δ, majd δ δ = = a+ b x /0/ adódk. A /9/ és /0/ jobb oldalának egezősége matt ε δ = = + ε δ δ ε, ε amt átrendezve az ε = δ lőséghez jutunk. Ekkor, ha ε egen vags jó közelítés esetén ε, íg ε δ azaz kcs, ε. // δ 4 Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
96 Tóth Zoltán A korábbakhoz hasonlóan tt s látható, hog ε és δ mnmuma nem feltétlenül egezk meg (sőt az egezésnek kcs az eséle), mvel δ mnmumát határozzuk meg, ezért az ezzel egenlő ε ε 4 δ és m ε 4 összegben a nag értékekhez tartozó hbák ksebb súllal szerepelnek. Ez azt jelent, hog a transzformácóval kapott regresszós függvénünk nag értékekre még kevésbé lesz pontos, mnt exponencáls függvén esetén, vags a transzformácóval továbbra sem kapjuk meg a legjobban lleszkedő hperbolkus függvént. A legjobban lleszkedő függvén meghatározásához a ε mnmumot kellett volna meghatározn. Nézzük meg, hogan láthatók az eredmének eg egszerű számpéldán.. példa Tegük fel, hog az eredet adatok körülbelül 0-0 százalékos hbával lleszkednek a normál hperbolára x Eredet adatok számított ε Transzformált adatok számított δ ε δ 0,,5 9,5 0,083 0,4-0,37 9,5 0,8, -0,3,5 0,90 0,349-0,3 0 0,7 0,69 0,00 5,88 5,95-0,033 0,00 Az értékeket transzformálva és a transzformált adatokra alkalmazva a legksebb négzetek elvét a = 03445,, lletve b = 0557, értékeket kapunk, azaz a legjobb függvénnek a lnearzálás módszerével az = függvén bzonul. Az ezen paraméterekkel kszámított függvénértékeket és a hozzájuk tartozó 0, 3445 + 0, 557 x ε, δ értékeket a. példa tartalmazza, amelek között megfgelhetjük a levezetett összefüggéseket, mszernt ε δ, lletve ε ε = δ. Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése 97 Ha ezután az eredet adatokra terácós módon llesztünk legjobban lleszkedő hperbolkus függvént az Excel-program segítségével, akkor a legjobban közelítő függvénnek az = függvén bzonul. 0, 045 +, 8 x Az. példához hasonlóan tt s kszámítottuk a korrelácós ndexet mnd az terácóval, mnd pedg a transzformácóval meghatározott függvénre: transzformácó esetén: = I = 00,, 0, 3445 + 0, 557 x terácó esetén: = I = 09999,. 0045, + 8, x Annak felsmerését, hog nag baj lehet az adatok transzformácójával történő regresszós függvénllesztéssel eg, a. példához hasonló feladat sugallta. Itt I értéke negatív, am azt jelent, hog a transzformácóval meghatározott regresszós függvénünk rosszabb közelítő függvéne adatanknak, mnt az konstans függvén. Ez alapján már várható volt, hog a transzformácóval meghatározott regreszszós függvén len esetben jelentősen eltér a legjobban lleszkedő regresszós függvéntől. Lehet olan adatokat találn, ahol hasonló eredmént kapunk exponencáls függvén llesztése esetén s.. ábra. A transzformácóval, lletve terácóval meghatározott hperbolkus függvének 9 6 adatok adat terácó terácós transzformácó zformácós 3 0 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
98 Tóth Zoltán Az I értéke alapján nlvánvaló, hog közelítőleg sem kaptuk meg eredménként a legjobb hperbolkus regresszós függvént. Az terácós módszerrel pedg meg s határoztuk a legjobb hperbolkus közelítő függvént. A. példából az s látszk, hog bár a δ értékek tűrhetőek, a nag eredet érték esetén az ε = 9, 5 tehát nagon nag, ahog az előző levezetés alapján vártuk, hszen ε δ. Ezek az eredmének láthatók a. ábrán..3. A hbatagok vszona logsztkus regresszós függvén esetén A Ebben az esetben az llesztett függvén = bx + a e alakú, az érték transzformácója pedg összetett : A-val való osztás recprok logartmzálás. Az eredet és transzformált adatokra vonatkozó hbatagok jelölése uganaz mnt eddg, és eredet célunk tt s a ε mn meghatározása. Ehelett transzformáljuk az adatokat és a transzformácó után addtív hbatagot mnmalzáljuk, δ mn. A következőkben tt s bemutatjuk, hog ez a két mnmum nem esk egbe és meghatározzuk, hog mekkora az eltérés az ε és δ értékek között. A Az eredet adatokra llesztett függvén = + ε bx + ae, átalakítva A = ae ε bx. // Az adatok transzformácója és a transzformált adatokra llesztett lneárs függvén leírása az alább: ln = lna+ b x+ δ ezt átalakítva bx A A δ = ae e majd A bx = ae δ /3/ e adódk. A // és /3/ egenlőségekből A A = ε e δ, Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése 99 amt átrendezve A + ε A = δ ε e, majd nnen δ e = A ε A + ε. Tovább alakítva ezt A δ ( A ) ( e ) + ε = ε és mvel ε << A, ezért ε A ( ) δ ( A ) ( e ) δ ( e ) ( ε ), ahonnan A A A + 4 δ Mvel δ és ( ) e mnmuma egbeesk, tt s -k súlozott összege és a súlok láthatóan a szögletes zárójelben levő lefelé níló parabola értékenek recproka. A legksebb súl a nevező maxmumához tartozk, am azt jelent, hog A az = értékhez tartozó ε hba szerepel a legksebb súllal míg 0-hoz lletve A- hoz közel értékek esetén az ε hba nagobb súllal szerepel, ezért tt pontosabb lesz a transzformácóval megalkotott regresszós függvén. Ez azt s jelent, hog a A transzformácóval kapott regresszós függvénünk = értékekre lesz legnkább pontatlan. δ ε. 3. példa Illesszünk logsztkus regresszós függvént az adatokra mnd a transzformácó mnd az terácó módszerével. Legen ebben a példában A=00. (A példára vonatkozó adatok a következő táblázatban találhatók.) Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
300 Tóth Zoltán x Eredet adatok számított (transzformácó) Transzformált adatok A A ln ε ln számított δ A A + A 4 δ ( e ) 0 3 4,407,407 3,476 3,077 0,399,47 0 3,949 6,05,386,80 0,433 5,65 36,308 4,30,65 0,56 0,704 7,53 3 80 66,79 3,8,386 0,696 0,69 7,98 4 95 87,577 7,43,944,953 0,99,988 5 90 96,3 6,3,97 3,,03 5,79 A kndulás értékekre alkalmazva a leírt transzformácót és a transzformált adatokra lneárs függvént llesztve a =, 693, lletve b =, 58 értékeket kaptunk, azaz a lnearzálás módszerével adatankra a legjobb logsztkus függvénnek az 00 = függvén bzonult. Az adott paraméterértékeknek megfelelő függvénre vonatkozó számított függvénértékek és a hozzájuk tartozó addtív h-, 58 x + 693, e batagok szntén a táblázatban találhatók. Azonban a kétszeres elhanagolás matt az ε δ ( e ) δ összefüggésben, az ε értékeket csak kevésbé A ( ) ( ) ( pontosan követk az A e értékek. δ ) Ha ezután az eredet adatokra terácós módszerrel llesztünk legjobban lleszkedő 00 logsztkus függvént, akkor ez a következő lesz = 08, x 39, 66 e. + Mndkét függvén esetén kszámítva a korrelácós ndexet tt s érzékelhető az eltérés: transzformácó esetén: 00 = I = 0939,,, 58 x + 693, e terácó esetén: 00 = I = 0954,. 08, x + 39, 66 e A grafkonról látható, hog jelentős eltérések vannak az terácóval meghatározott legjobban közelítő és a transzformácóval meghatározott logsztkus függvénenk között. Az s látható a grafkonon, hog a két középső érték esetén kapjuk a legnagobb ε értéket. Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése 30 3.ábra. A transzformácóval, lletve terácóval meghatározott logsztkus függvének 00 80 60 adat adat terácós ós transzformácós 40 0 0 0 3 4 5 3. Következtetések és ntott kérdések A korábbakban bemutattuk azt, hog a tankönvek által javasolt lnearzálás az esetek jó részében korántsem olan ártatlan, mnt ahog azt olkor sugallják, hszen ez a módszer a görbellesztéskor nemrtkán gencsak félrevezető eredméneket ad. Eredménenk nlvánvalóan azt javasolják, hog a lnearzálás helett (vag nkább mellett) használjuk a nemlneárs legksebb négzetek módszerét, amel az eredet nemlneárs feladatot oldja meg numerkus közelítéssel. Erre a gorsan fejlődő számítástechnka egre jobb lehetőségeket kínál. Mnt tudjuk, a gakorlatlag bárk számára hozzáférhető Excel-programban lehetőségünk van a Solver-segédprogrammal szélsőérték meghatározására feltételek mellett és anélkül. A segédprogram használatakor meg kell adn, hog melk cella mnmumát vag maxmumát keressük, valamnt a szélsőérték típusát, és jelezn kell, hog mel cellák teratív változtatása mellett történjen a mnmum meghatározása. Amennben vannak feltételek azokat s közöln kell. Amkor regresszós függvének paraméteret kutatjuk, akkor a célcella mnmumát keressük és a célcella tartalma a következő képlet és annak értéke: ( ), számított mn. A módosuló cellák a paramétereket tartalmazzák és feltételek megadása nem szükséges. Amkor jelen írásban terácós paraméter kereséséről beszélünk, mndg erre a módszerre gondolunk. Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám
30 Tóth: Nemlneárs függvének lleszkedésének néhán kérdése Az ezzel a módszerrel történő regresszós függvén meghatározásnál a paramétereknek kezdet értéket kell ugan adn, de elvben bármel függvéntípus esetén elkészíthető mechankusan a paraméterek és a függvénértékek becslése. Amennben az eljárás valóban az abszolút mnmumot eredménez, a kapott paraméterek és függvénértékek torzítatlanok lesznek. Uganakkor felmerülhet az a kérdés, hog a módszer mnden függvéntípus és bármlen kezdet érték megadása esetén s konvergens-e, és ha gen a legksebb négzetekkel defnált függvén abszolút mnmumát adja-e, vag valamlen lokáls mnmumot talál. Ezért érdemes azt a kérdést s felvetn, hog bzonos függvéntípusok esetében lehet-e analtkusan megoldható normálegenleteket számoln. Végül megemlítjük, hog amennben lehetőség van rá, érdemes eg feladatot több különböző, feltehetően eltérő megoldó algortmusokat használó programcsomagok segítségével elvégezn. Az esetleg eltérő eredmének fgelmeztethetnek az említett hbákra. Irodalom ALMÁSI A. TÓTH Z. TÖRCSVÁRI ZS. [005]: Have ou ever seen a best exponental regresson functon? Tagungsband. 9. Thürngsch Ungarsches Smposum. Fachhochschule. Jena. HUNYADI L. VITA L. [004]: Statsztka közgazdászoknak. KSH. Budapest. MUNDRUCZÓ GY. [98]: Alkalmazott regresszószámítás. Akadéma Kadó. Budapest. RAPPAI G. [00]: Üzlet statsztka Excellel. KSH. Budapest. SZŰCS I. [00]: Alkalmazott statsztka. Agronform Kadó. Budapest. Statsztka Szemle, 84. évfolam 3. szám