ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c c. ( g) g. ( g) g g g. c g g c 6. g 7. ( g( )) ( g( )) g( ) Példák ( ) 7 7 ( l ) ( l ) l l l l l( ) ( ) TÉTEL: A lokális szélsőérték létezéséek szükséges eltétele Ha diereciálható az helye és -ek lokális helye, akkor ( ). szélsőértéke va az lok. mi/ma TÉTEL: A lokális szélsőérték létezéséek elégséges eltétele Ha kétszer diereciálható az helye valamit ( ) és ( ) akkor ( ) és ( ) lokális maimum. akkor lokális miimum, ha pedig lok. mi lok ma
MONOTONITÁS ÉS KONVEXITÁS + + mootoitás lok. ma lok. mi + koveitás kokáv Ileio kove A TELJES MENETE ( ).LÉPÉS: ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY D Ez tulajdoképpe a kikötés: páros ez itt páratla ez itt bármi log ez itt tört evező Most ics gyök és ics logaritmus, de tört va, tehát.lépés DERIVÁLÁS A deriváltat kicsit redbe rakjuk, kiemelük, egyszerűsítük 6
.LÉPÉS A DERIVÁLT ELŐJELÉNEK VIZSGÁLATA ( ) Egyekét berajzoljuk a téyezők előjelét. - - + - Ha egatív, azt szaggatott voallal, ha pozitív, azt olytoos voallal..lépés MÁSODIK DERIVÁLT ( ) A második deriváltat is kicsit redbe rakjuk, kiemelük, egyszerűsítük 6 6 6 96 6 easymaths.hu. LÉPÉS A MÁSODIK DERIVÁLT ELŐJELE 96 6 96 ( ) Egyekét berajzoljuk a téyezők előjelét. - - + + Ha egatív, azt szaggatott voallal, ha pozitív, azt olytoos voallal. Az első derivált előjeléből a üggvéy övekedésére és csökkeésére következtethetük, a második derivált előjeléből pedig a koveitásra. Midezt összeoglaljuk egy remek táblázatba.
AZ ELSŐ ÉS A MÁSODIK DERIVÁLT ELŐJELÉT BELERAKJUK EGY TÁBLÁZATBA,,, ; - - - + sz. - mootoitás lok.mi sz. - + + + sz. + koveitás ileio sz. 6. LÉPÉS HATÁRÉRTÉK D SZÉLEIN lim lim lim 7.LÉPÉS RAJZ - - easymaths.hu Feladatok Határozzuk meg az alábbi üggvéyek mootoitási szakaszait, lokális szélsőérték helyeit, kove kokáv szakaszait és ileiós potjait! 6.. 6.. ( ) e ( ) 6 6.. A derivált előjeléek vizsgálatához közös evezőre kell hozi. Az üres karika em maimum és em ileiós pot. ( ) e 6.. Adja meg az alábbi üggvéy mootoitási szakaszait, valamit kove, kokáv szakaszait és ileiós potjait! Írja öl az éritő egyeletét az abszcisszájú potba! ( ) l( )
6..Az üres karika em maimum és em ileiós pot. ( ) 6.6. A derivált előjeléek vizsgálatához közös evezőre kell hozi. Az üres karika em maimum és em ileiós pot. ( ) 6.7. A derivált előjeléek vizsgálatához közös evezőre kell hozi. Az üres karika em maimum és em ileiós pot. 9 6.. A derivált előjeléek vizsgálatához közös evezőre kell hozi. Az üres karika em maimum és em ileiós pot. Írja öl az éritő egyeletét az abszcisszájú potba! 6.9. Adja meg az alábbi üggvéy mootoitási szakaszait! Írja öl az éritő egyeletét az abszcisszájú potba! ( ) Határozzuk meg az alábbi üggvéyek mootoitási szakaszait, lokális szélsőérték helyeit, kove kokáv szakaszait és ileiós potjait! 6.. ( ) l( ) l( ) e 6.. ( ) 6.. 6.. 6.. 6.. ( ) ( ) e ( ) e 6.9. e ( ) ( ) 7 ( 7) 6.. 6.. 6.. 6.. 6.6. ( ) e ( ) e 6.. l l 6.. 6.7. e 6.. ( ) l
6.6. ( ) l 6.7. ( ) 6.. 6.9. ( ) ( ) 6.. ( ) arctg 6.. ( ) arctg e 6.. ( ) arctg e 6.. ( ) arctg arctg e 6.. ( ) 6.. ( ) si cos 6.6. ( ) cos si 6.7. Írjuk öl az ( ) üggvéy azo éritőjéek egyeletét, amely a üggvéy graikoját egatív abszcisszájú potba ériti, és párhuzamos az y=-7 egyeessel! 6.. Írjuk öl az ( ) 7 6 üggvéy azo éritőjéek egyeletét, amely a üggvéy graikoját pozitív abszcisszájú és ordiátájú potba ériti! 6.9. Írjuk öl az ( ) e 6 üggvéy azo éritőjéek egyeletét, amely párhuzamos az y=-6 egyeessel! 6.. Írjuk öl az ( ) e üggvéy azo éritőjéek egyeletét, amely merőleges az y=+ egyeesre! 6.. Milye α paraméter eseté halad át az alábbi üggvéy graikojához a P(;) potba húzott éritő a Q(;) poto? ( ) e l 6.. Milye α paraméter eseté halad át az alábbi üggvéy graikojához az = abszcisszájú potba húzott éritő a Q(;-) poto? ( ) e 6.. Milye α paraméter eseté halad át az alábbi üggvéy graikojához az = abszcisszájú potba húzott éritő a Q(;e) poto? ( ) e 6