Fourier-transzformáció

Simon Péter Simon Péter Fourier-transzformáció egyetemi tankönyv Fourier-transzformáció Budapest, 29

Simon Péter Fourier-transzformáció egyetemi tankönyv Budapest, 29

Ez a tankönyv az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával (a támogatás száma: TÁMOP 4.2./B-9//KMR-2-3) készült tanulmány felhasználásával íródott. ISBN 978-65--4637-2 c Dr. Simon Péter, 29

Feleségemnek

Tartalomjegyzék Előszó 7. Fourier-transzformáció 9.. Konvolúció................................. 9.2. Trigonometrikus Fourier-transzformáció................. 4.2.. Borel-mértékek Fourier-transzformáltja.............. 4.2.2. L -beli függvények Fourier-transzformáltja........... 7.2.2.. A Fourier-transzformált fogalma............ 7.2.2.2. Radiális függvények................... 24.2.2.3. Bessel-függvények.................... 27.2.3. L 2 -beli függvények Fourier-transzformáltja........... 39.2.4. Differenciálhatóság......................... 42.3. Megjegyzések................................ 46 2. Inverzió 77 2.. A Fourier-transzformált integrálhatósága................. 8 2.2. Inverziós formula.............................. 89 2.3. Schwartz-osztály.............................. 9 2.4. Összegzések................................. 95 2.4.. A θ-szummáció fogalma...................... 95 2.4.2. A Fourier-transzformáció szerepe................. 4 2.5. Megjegyzések................................ 9 3. Absztrakció 53 3.. Fourier-transzformált............................ 53 3.2. Speciális csoportok............................. 56 3.2.. A valós számok csoportja..................... 56 5

6 TARTALOMJEGYZÉK 3.2.2. Trigonometrikus rendszer..................... 57 3.2.3. Diszkrét trigonometrikus rendszer................ 6 3.2.4. Diadikus csoport.......................... 66 3.2.5. Vilenkin-rendszer.......................... 8 3.3. Megjegyzések................................ 82 4. L p -beli függvények Fourier-transzformáltja 95 4.. Az p 2 eset............................. 95 4.2. A 2 < p < + eset............................ 98 4.2.. Disztribúciók............................ 98 4.2.2. Fourier-transzformált....................... 22 4.3. Megjegyzések................................ 27 5. Alkalmazások 23 5.. Wiener-tétel................................. 23 5.2. Ingham-tétel................................ 234 5.3. Prímszámtétel................................ 242 5.4. Határozatlansági relációk......................... 246 5.5. Mintavételezés............................... 25 5.6. Differenciálegyenletek........................... 255 5.7. Megjegyzések................................ 267 6. Gábor-transzformáció 295 6.. A transzformált értelmezése........................ 295 6.2. A Gábor-transzformált tulajdonságai................... 299 6.3. Gábor-inverzió............................... 34 6.4. Megjegyzések................................ 3 Irodalomjegyzék 327 Tárgymutató 33

Előszó Az alábbiakban egyfajta válogatást adunk a trigonometrikus Fourier-transzformációval kapcsolatos fogalmakról és eredményekről. A klasszikus Fourier-transzformáció mellett kitekintést nyújtunk a disztribúció-elmélet keretében történő tárgyalás, ill. az absztrakt harmonikus analízis fogalomköre felé is. Az alkalmazások illusztrációjaként bemutatjuk a prímszámtétel egy lehetséges bizonyítását, továbbá az ahhoz vezető út részeként a klasszikus Wiener-, illetve Ingham-tételt. A Heisenberg-féle egyenlőtlenség kapcsán röviden szólunk a határozatlansági relációkról. Érintjük a modern transzformációs módszerek alkalmazásai szempontjából fontos ún. θ-szummáció, valamint az ablakos Fourier-transzformáció (vagy Gábor-transzformáció), a mintavételezés alapjait. Néhány fontos egyenlet kapcsán kitérünk a Fourier-transzformáció szerepére a parciális differenciálegyenletek megoldási módszereit illetően. A belső hivatkozásokat általában mellőzzük, de az Irodalomjegyzékben mindazokat a forrásokat felsoroljuk, amelyekre a könyv megírásakor támaszkodtunk. Ez a könyv az utolsó, záró kötete egy nyolc tankönyvből álló, általam írt sorozatnak. Ezek: Bevezetés az analízisbe I Mérték és integrál Bevezetés az analízisbe II A funkcionálanalízis alapjai Fejezetek a valós függvénytanból Válogatott fejezetek a matematikából Bázisok, framek, waveletek Fourier-transzformáció. Itt mondok köszönetet feleségemnek, Dr. S. Gyarmati Erzsébetnek a könyvek megírása közbeni számtalan szakmai konzultációért, a kéziratok esetenkénti gondos átolvasásáért, javításáért és azért a türelmes biztatásért, támogatásért, ami nélkül ezek a könyvek nem jöhettek volna létre. Budapest, 29. február. 7 A szerző

. fejezet Fourier-transzformáció Mivel a későbbiekben többször történik hivatkozás (az egyébként is központi szerepet játszó) konvolúcióra, ezért előzetesen összefoglaljuk az ezzel kapcsolatos (számunkra) legfontosabb tudnivalókat... Konvolúció Legyen az (X, T ) egy lokálisan kompakt topologikus Abel -csoport, az M(X) szimbólum pedig jelentse az X Borel 2 -halmazainak a B(X) szigma-algebráján értelmezett korlátos Borel-mértékek halmazát. Tekintsük a következő leképezést: P : X X X P(x,y) := x y (x,y X), ahol a az X-beli csoportműveletet jelöli. 3 Következésképpen, ha az X X Descartes 4 -szorzaton a T által generált szorzat-topológiát tekintjük, akkor a P leképezés folytonos. 5 Tetszőleges µ,ν M(X) mértékek esetén az X X-beli Borel-halmazok B(X X) szigma-algebráján legyen κ := µ ν Niels Henrik Abel (Frinde, 82. VIII. 5. Froland, 829. IV. 6.) 2 Félix Edouard Justin Émile Borel (Aveyron, 87. I. 7. Párizs, 956. II. 3.) 3 A P függvény maga a szóban forgó csoportművelet. 4 René Descartes (La Haye, Touraine, 596. III. 3. Stockholm, 65. II..) 5 Egy x X elemnek a csoportművelet szerinti inverzét az x (vagy a x) szimbólummal jelöljük. A topologikus csoportok definíciójára gondolva az X x x leképezés is folytonos. 9

. FEJEZET. FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ a µ,ν mértékek által meghatározott szorzatmérték. 6 Vegyük a κ mértékp által létesített P[κ] képét, azaz legyen P[κ](B) := κ(p [B]) (B B(X)). A µ ν := P[κ] mértéket a µ, ν mértékek konvolúciójának nevezzük. A definícióból világos, hogy µ ν M(X). Továbbá a művelet kommutatív és asszociatív, ill. a mértékek öszeadására nézve disztributív, valamint tetszőleges α [,+ ) és µ,ν M(X) mellett µ (α ν) = (α µ) ν = α (µ ν). A fentiek nyilván elmondhatók az M(X) helyett a µ : B(X) R korlátos variációjú előjeles Borel-mértékek V(X) halmazában is. 7 Legyen µ,ν M(X) és A B(X), ekkor 8 µ ν(a) = χ A d(µ ν) = µ(x A)dν(x) = ν(y A)dµ(y). Gyakran ez utóbbit tekintik a µ ν konvolúció definíciójának. Ha valamilyen < n N esetén X := R n (a szokásos összeadással, mint csoportművelettel) és a T topológia az R n -beli euklideszi norma 9 által meghatározott topológia, akkor tekintsük az R n -en a µ Lebesgue -mértéket. Legyen (ebben az 6 Tehát speciálisan κ(a B) = µ(a) ν(b) (A, B B(X)). 7 Emlékeztetünk a most említett fogalmakra, miszerint a µ V(X) egy olyan előjeles mérték a B(X)-en, amelyre sup P A A µ(a) : A FX < +, ahol az FX-szel az összes olyan véges, páronként diszjunkt, B(X)-beli halmazokból álló A halmazrendszerek halmazát jelöltük, amelyekre X = S A A A. 8 A továbbiakban a χ A szimbólum az A X halmaz karakterisztikus függvényét jelöli: legyen tehát χ A(x) := (x A) és χ A(x) := (x X \ A). 9 Tehát: az x := pp n i= xi 2 (x = (x,..., x n) R n ) normáról van szó. Henri Léon Lebesgue (Beauvais, 875. VI. 28. Párizs, 94. VII. 26.)

.. KONVOLÚCIÓ értelemben) f L, ekkor az f súlyfüggvény által generált µ f mérték V(R n )-beli és bármely ν V(R n ) mellett µ f ν(a) = µ f (A x)dν(x) (A B(R n )). Ha 2 g(y) := f(y x)dν(x) =: f ν(y) (y R n ) (az f függvény és a ν mérték konvolúciója), akkor µ f ν(a) = g χ A dµ = µ g (A) (A B(R n )). Legyen most a fenti f mellett adott egy h L függvény is és írjuk a ν mérték helyébe a µ h előjeles mértéket. Ekkor az előbbiekhez hasonló módon kapjuk, hogy µ f µ h (A) = χ A f hdµ = f hdµ (A B(R n )), A ahol f h(x) := f(x y) h(y)dµ(y) (x R n ). A most értelmezett f h függvényt az f,h L függvények konvolúciójának nevezzük. Ekkor az L (a szokásos függvényműveletekkel és a. normával) a konvolúcióra (mint szorzásra ) nézve egy kommutatív Banach 5 -algebra. Továbbá, ha az p,q,r + Amikor is µ f (A) := R A f dµ := R fχ A dµ (A B(R n )). (A szokásos módon egy A halmazon vett integrált az R A... szimbólummal jelölünk a későbbiekben is. Ha a teljes Rn halmazon történik az integrálás, akkor R R n... helyett egyszerűen R...-t írunk.) 2 Mivel χ A x(y) = χ A(x + y) (x, y R n ), ezért a µ eltolás-invarianciáját is figyelembe véve µ f (A x) = R f(y x)χ A(y)dµ(y). Így a Fubini 3 -tételt 4 is alkalmazva azt írhatjuk, hogy µ f ν(a) = R `R f(y x)χ A(y)dµ(y) dν(x) = R `R f(y x) dν(x) χ A(y) dµ(y). 3 Guido Fubini (Velence, 879. I. 9. New York, 943. VI. 6.) 4 Tekintsük a szigma-véges (X i,ω i, µ i) (i =, 2) mértéktereket, valamint az általuk meghatározott (X X 2,Ω Ω 2, µ µ 2) szorzatteret. Tegyük fel, hogy az F : X X 2 R függvény a µ µ 2 szorzatmérték szerint integrálható. Ekkor µ m.m. x X és µ 2 m.m. y X 2 helyen létezik az R F(x, v)dµ 2(v) és az R F(u, y)dµ (u) integrál, továbbá R F(u, v)d(µ µ 2)(u, v) = R `R F(u, v) dµ(u) dµ 2(v) = R `R F(u, v) dµ 2(v) dµ (u). 5 Stefan Banach (Krakkó, 892. III. 3. Lvov, 945. VIII. 3.)

2. FEJEZET. FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ kitevőkre p + q és r = p + q =: r teljesül, továbbá f L p, h L q, akkor 6 f h L r és f h r (A p A q A r ) n f p h q (Young 7 -egyenlőtlenség.) Itt az u + v = feltételnek eleget tevő u,v + paraméterekkel A := A := és ( ) /2 u /u A u := v /v ( < u < + ) az ún. Babenko 8 Beckner 9 -konstans. Speciálisan, ha q =, akkor nyilván r = p, azaz f L p, h L mellett f h L p és f h p f p h. Ez utóbbi egyenlőtlenség egyébként nyilvánvaló, ha p = + : f h(x) f(x y) h(y) dy f h (m.m. x R n ). Ha pedig p < +, akkor a Minkowski 2 -egyenlőtlenség 2 alapján ( f h p = h(y)f(x y)dy p dx) /p 6 Ekkor az f h konvolúció ugyanúgy értelmezhető, mint az előbb. 7 William Henry Young (London, 863. X. 2. Lausanne, 942. VII. 7.) 8 Konstantin Ivanovics Babenko (Brianskij Rudnik, 99. VII. 2. 987.) 9 William E. Beckner (Kirksville (Missouri), 94. IX. 5. ) 2 Hermann Minkowski (Alexotas (Kaunas), 864. VI. 22. Göttingen, 99. I. 2.) 2 Tegyük fel, hogy az (X,Ω, µ), (Y,Θ, ν) mértékterek szigma-végesek. Ekkor minden, a µ ν szorzatmérték szerint integrálható f : X Y R függvény, valamint p < + kitevő esetén `R R f(x, y)dν(y) p dµ(x) /p R `R f(x, y) p dµ(x) /p dν(y).

.. KONVOLÚCIÓ 3 ( f(x y) p dx) /p h(y) dy = f p h. Jegyezzük meg tehát, hogy ha h L, akkor f h f h (f L ) és f h f h (f L ). Végül gondoljuk meg, hogy ha a fenti p,q,r hármasban a p,q konjugált kitevők, azaz p + q =, akkor r = + és az f h függvény egyenletesen folytonos. Ugyanis bármely x R n és z R n választással (ld..3. viii) megjegyzés) a Hölder 22 -egyenlőtlenség 23 szerint (nyilván feltehető, hogy q < + ) f h(x + z) f h(x) = (h(x + z y) h(x y))f(y)dy ( f p h(t + z) h(t) q dt) /q ( z ). 22 Ludwig Otto Hölder (Stuttgart, 859. XII. 22. Leipzig, 937. VIII. 29.) 23 Egy (X,Ω, µ) mértéktér esetén tekintsük az f, h : X R mérhető függvényeket és a konjugált p, q + kitevőket: /p + /q =. Ekkor fh f p h q. Speciálisan, ha itt p = q = 2, akkor fh f 2 h 2 (Cauchy 24 Bunyakovszkij 25 -egyenlőtlenség). 24 Augustin Louis Cauchy (Párizs, 789. VIII. 2. Sceaux, 857. V. 23.) 25 Viktor Jakovlevics Bunyakovszkij (Bar, 84. XII. 6. Szentpétervár, 889. XII. 2.)

4. FEJEZET. FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ.2. Trigonometrikus Fourier-transzformáció Elöljáróban a címben jelzettnél kissé tágabb keretben, a Borel-mértékek körében elevenítjük fel a Fourier 26 -transzformáció fogalmát..2.. Borel-mértékek Fourier-transzformáltja Vezessük be a következő jelöléseket: jelentse a, szimbólum valamilyen < n N kitevőre az R n -ben jól ismert skaláris szorzást, azaz az R n -beli x = (x,...,x n ) és az y = (y,...,y n ) vektor esetén legyen x,y := A szóban forgó x euklideszi normájára az n x k y k. k= x := x,x jelölést használjuk. Legyen továbbá egy a R n elemre az e a a következő függvény : e a (t) := e ı t,a (t R n ). 27 Nyilvánvaló, hogy tetszőleges a R n esetén az e a folytonos, e a =, ezért bármely µ M(R n ) mellett az e a a µ mértékre nézve integrálható és e a = µ(r n ). Legyen tehát a µ M(R n ) tetszőleges korlátos Borel-mérték. Ekkor a µ(x) := e x dµ (x R n ) hozzárendeléssel definiált µ : R n C függvényt a µ mérték Fourier-transzformáltjának nevezzük. Ha pl. a µ a valamilyen a R n pontban koncentrált Dirac 28 -mérték 29, akkor bármely x R n esetén µ(x) = e x dµ = e x (a) = e a (x), 26 Jean Baptiste Joseph Fourier (Auxerre, 768. III. 2. Párizs, 83. V. 6.) 27 ı := az imaginárius egység. 28 Paul Adrien Maurice Dirac (Bristol, 92. VIII. 8. Tallahassee, Florida, 984. X. 2.) 29 Tehát µ(a) = χ A(a) (A B(X)).

.2. TRIGONOMETRIKUS FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ 5 más szóval µ = e a. Világos, hogy tetszőleges µ M(R n ) mértékre és x R n pontra valamint µ(x) µ(r n ), µ(r n ) = µ(). Egyszerűen adódik továbbá az is, hogy a µ leképezés egyenletesen folytonos. Valóban, ha az ε > tetszőleges szám, akkor 3 miatt alkalmas N N mellett µ(r n \ K N ()) (N ) µ(r n \ K N ()) < ε. Ekkor bármely x,y R n helyen (a Cauchy Bunyakovszkij-egyenlőtlenséget is felhasználva) µ(x) µ(y) e x e y dµ + e x e y dµ K N () R n \K N () e x y (t) dµ(t) + 2µ(R n \ K N ()) K N () 2 sin( t,x y /2) dµ(t) + 2ε t,x y dµ(t) + 2ε K N () K N () x y t dµ(t) + 2ε N µ(k N ()) x y + 2ε < 3ε, K N () hacsak x y < δ olyan δ > választással, amellyel N µ(k N ()) δ < ε. Belátható, hogy a µ transzformált pozitív definit is, azaz tetszőlegesen megadott m N index és a,...,a m R n vektorok mellett a ( ) m µ(a j a k ) j,k= Cm m 3 Ha a R n és r >, akkor K r(a) := {x R n : x a < r} az a vektor r sugarú környezete.

6. FEJEZET. FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ mátrix pozitív szemidefinit. Sőt, igaz az alábbi Bochner 3 -tétel, nevezetesen, ha a korlátos h : R n C függvény folytonos, akkor a következő két kijelentés egymással ekvivalens: o van olyan µ M(R n ) korlátos pozitív Borel-mérték, hogy h = µ; 2 o a h függvény pozitív definit, azaz bármely f L függvény esetén h(x y)f(x)f(y) dxdy. A Fourier-transzformált definíciójából rögtön adódik, hogy a M(R n ) µ µ C Rn megfeleltetés additív és pozitív homogén, tehát bármely µ, ν M(R n ) és α R mellett µ + ν = µ + ν és α µ = α µ. Belátható továbbá, hogy valamint µ ν = µ ν, µ ν = µ ν. Legyen (az eddigi n mellett) az s is egy pozitív természetes szám és tekintsük a korlátos Borel-mértékeket. Ekkor µ M(R n ), ν M(R s ) µ ν(x,y) = µ(x) ν(y) ((x,y) R n R s ). 32 3 Salomon Bochner (Podgorze, 899. VIII. 2. Houston, 982. V. 2.) 32 Az előbbi egyenlőség bal oldalán az R n, ill. az R s feletti Borel-mértékekből képzett szorzatmérték Fourier-transzformáltja áll, ami tehát az R n R s téren van értelmezve. Röviden azt mondjuk, hogy a szorzatmérték Fourier-transzformáltja a (tényező-) mértékek Fourier-transzformáltjainak a szorzata.

.2. TRIGONOMETRIKUS FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ 7.2.2. L -beli függvények Fourier-transzformáltja Ebben a pontban integrálható függvények Fourier-transzformáltjával foglalkozunk. Kiindulva a mértékek esetéből természetes módon adódik a definíció nemnegatív függvényre, nevezetesen ez utóbbi által, mint súlyfüggvény által meghatározott mérték transzformáltja révén. Ugyanakkor az így kapott értelmezés természetes módon működik a nemnegativitás nélkül is. Külön alpontban vizsgáljuk az ún. radiális függvények Fourier-transzformáltját, valamint az ezzel kapcsolatban megjelenő Besselfüggvényeket..2.2.. A Fourier-transzformált fogalma Ha most (és a továbbiakban is) a µ szimbólum az R n -beli ( < n N) Lebesguemértéket jelöli 33 és egy (a µ mértékre nézve integrálható) f L függvénnyel ν(a) := µ f (A) (A B(R n )), akkor ν M(R n ) és (ld..2..) ν(x) = e x dµ f = fe x dµ (x R n ). Ebből a szempontból nyilván lényegtelen, hogy az f egy nemnegatív függvény, hiszen bármely f L és x R n mellett fe x L. Az előbb mondottakat figyelembe véve vezessük be a következő definíciót: egy tetszőleges f L Lebesgue-integrálható függvény esetén az f(x) := fe x dµ = f(t)e ı t,x dt (x R n ) 34 hozzárendelési utasítással értelmezett f : R n C leképezést az f függvény Fourier-transzformáltjának nevezzük. Ha tehát f is igaz, akkor a fentiek szerint µ f = f. Részben a mértékekkel kapcsolatos analóg állításokra hivatkozva könnyen adódnak az alábbiak: 33 A µ mértékre vonatkozó integrált illetően esetenként az R f dµ szimbólum helyett (pl.) a hagyományos R f(t) dt jelölést használjuk. 34 Világos (ld...), hogy b f(x) = f e x().

8. FEJEZET. FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ i) az L f f L operátor lineáris és korlátos: f f (f L ); ii) bármely f L esetén az f függvény egyenletesen folytonos; iii) f h = f ĥ (f, h L ); iv) ha f L és F(x) := f( x) (x R n ), akkor F = f; v) f,g L,f g = f ĝ; vi) szorzási szabály: f,g L = fg dµ = ĝf dµ; vii) Riemann 35 Lebesgue-lemma: bármely f L függényre lim f(x) =. x + Ti. az i) állítás triviális, a ii)-t láttuk mértékekre. A iii) igazolásához alkalmazzuk a Fubini-tételt: ( ) f h(x) = f h(t)e ı t,x dt = f(y)h(t y)dy e ı t,x dt = ( f(y) ( ) h(t y)e ı t,x dt dy = ) ( f(y)e ı y,x dy ( f(y) ) h(t)e ı t+y,x dt dy = ) h(t)e ı t,x dt = f(x) ĥ(x) (x Rn ). A iv) igazolása csupán egyszerű számolást jelent, az v) egyértelműségi állítást később látjuk be (ld. 2.5. vi) megjegyzés). A vi) bizonyítása is meglehetősen egyszerű: ismét csak a Fubini-tétel miatt ( f(x)g(x)dx = ) f(t)e ı t,x dt g(x)dx = 35 Georg Friedrich Bernhard Riemann (Breselenz, 826. IX. 7. Selasca, 866. VII. 2.)

.2. TRIGONOMETRIKUS FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ 9 = ( f(t) ) g(x)e ı t,x dx dt = f(t)ĝ(t) dt. A Riemann Lebesgue-lemma eléggé nyilvánvaló intervallum karakterisztikus függvényére. Az egyszerűség kedvéért csak egydimenziós esetben (n = ) részletezve mindezt legyen g = χ [a,b] az [a,b] R kompakt intervallum karakterisztikus függvénye és x R. Ekkor ĝ(x) = b a e ıxt dt = e ıbx e ıax ıx 2 x ( x + ). Világos, hogy ezért ugyanez igaz a fenti karakterisztikus függvények véges lineáris kombinációira is (lépcsősfüggvényekre). Ugyanakkor tetszőleges f L függvényhez megadható lépcsősfüggvényeknek egy olyan (g n,n N) sorozata, amelyre f g n (n ). Mivel f(x) ĝ n (x) f g n (x R), ezért bármely ε > számhoz van olyan n N, amellyel Tehát f(x) ĝ n (x) < ε (x R). f(x) f(x) ĝ n (x) + ĝ n (x) < ε + ĝ n (x) (x R), ahol alkalmas r > megválasztásával ĝ n (x) < ε (x R, x > r). Más szóval f(x) < 2ε, hacsak x R és x > r. Ez éppen a Riemann Lebesguelemma állítása. 36 A fenti bizonyításból (n = esetén) a következő átfogalmazást nyerjük: legyen a < b +, az f : (a,b) R függvény pedig Lebesgue-integrálható. Ekkor β lim x + α f(t)cos(tx)dt = lim x + β α f(t)sin(tx)dt =, 36 Megjegyezzük, hogy a Riemann Lebesgue-lemma megfelelője nem igaz az M(R n )-beli mértékekre. Legyen ui. a ν M(R n ) a (R n ) -ban koncentrált Dirac-mérték, ekkor bν =.

2. FEJEZET. FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ mégpedig az (α, β) (a, b) intervallumokra nézve egyenletesen. Más szóval: bármely ε > számhoz van olyan x >, hogy x > x esetén β f(t)cos(tx)dt < ε α és β f(t)sin(tx)dt < ε α igaz tetszőleges (α, β) (a, b) intervallumra. Mindehhez elég annyit megjegyezni, hogy az f α,β := f χ (α,β) L függvényre f α,β (x) = β α f(t)e ıxt dt = β α β f(t)cos(tx)dt + ı f(t)sin(tx)dt α (x R). Jelöljük az L szimbólummal az összes L -beli függvény Fourier-transzformáltja által alkotott halmazt. Ekkor a Stone 37 Weierstrass 38 -tétel 39 alkalmazásával azt kapjuk, hogy az L vektortér a. norma értelmében mindenütt sűrű az R n -en értelmezett, a végtelenben eltűnő folytonos függvények C terében. 4 Tekintsük ehhez (csak n = esetén részletezve) példaként az alábbi háromszögfüggvényeket: x + r ( r x ) h r (x) := r x ( x r) (r > ). (x R \ [ r,r]) Egyszerű számolással kapjuk, hogy 4 sin2 (rx/2) ĥ r (x) = x 2 ( x R) r 2 (x = ). 37 Marshall Harvey Stone (New York, 93, IV. 8. Madras, 989. I. 9.) 38 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (Ostenfelde, 85. X. 3. Berlin, 897. II. 9.) 39 Legyen az (X, ρ) kompakt metrikus tér esetén adott az A C := {f : X C : az f folytonos} zárt részalgebra. Ekkor a következő ekvivalencia igaz: az A = C egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha A (ahol (x) := (x X)) és bármely x, y X, x y elempárhoz van olyan f A függvény, hogy f(x) f(y) (az A egy ún. elválasztó részalgebra), továbbá tetszőleges f A függvényre az f(x) := f(x) (x X) jelöléssel (az f komplex konjugáltja) f A. 4 C := {f C : sup t >r f(t) (r + )}.

.2. TRIGONOMETRIKUS FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ 2 Ez ui. az x = pontban nyilvánvaló. 4 Ha x R, akkor ĥ r (x) = r (t + r)e ıxt dt + r (r t)e ıxt dt. Parciálisan integrálva a Newton 42 Leibniz 43 -formula alkalmazásával és Ezért r r Vegyük most a (t + r)e ıxt dt = (r t)e ıxt dt = ĥ r (x) = 2 (eırx + e ırx ) x 2 [ ıx (t + r)eıxt] r [ (ıx) 2eıxt] r = r ıx + e ırx x 2 [ ıx (r t)eıxt] r + [ (ıx) 2 eıxt] r = r ıx + eırx x 2. = 2 cos(rx) x 2 x + r ( r x r/2) = 4 sin2 (rx/2) x 2. r 2 ( r/2 x r/2) t r (x) := h r (x) h r/2 (x) = r x (r/2 x r) (x R \ [ r,r]) (r > ) ún. trapézfüggvényeket, amikor t r (x) = ĥr(x) ĥr/2(x) = 4 sin2 (rx/2) sin 2 (rx/4) x 2 ( x R) 3r 2 4 (x = ). 4 Geometriailag a b h r() = R r r hr(t) dt Fourier-transzformált (a hr integrálja) egy 2r alapú, r magasságú egyenlőszárú háromszög területe. 42 Sir Isaac Newton (Woolsthorpe, 643. I. 4. London, 727. III. 3.) 43 Gottfried Wilhelm von Leibniz (Lipcse, 646. VII.. Hannover, 76. XI. 4.)

22. FEJEZET. FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ Nyilván t r L (r > ), így (ld. 2.2.) van olyan g r L függvény, amelyre ĝ r = r t 2r (r > ). Tehát x r + 2 ( 2r x r) ( r x r) ĝ r (x) = 2 x r (r x 2r) (x R \ [ 2r,2r]) következésképpen ĝ r : R [,]. Innen rögtön adódik, hogy bármely r > esetén az (x R, r > ), e(x) := ( r x r) hozzárendeléssel definiált e függvényre e L r, ahol L r := {ϕ [ r,r] : ϕ L }. Arról sem nehéz meggyőződni, hogy tetszőleges x,y R, x < y elemekre alkalmas h L függvénnyel ĥ(x) ĥ(y). Ugyanis bármely választással Itt ahol = ĝ r (y x) = Világos ugyanakkor, hogy < r < y x 2 ĝ r () = és ĝ r (y x) =. g r (t)e ı y x,t dt = h(t) := g r (t)e ı x,t (t R n ). ĥ(x) = g r (t)dt = ĝ r () =. g r (t)e ı x,t e ı y,t dt = ĥ(y),

.2. TRIGONOMETRIKUS FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ 23 A Fourier-transzformált fenti tulajdonságai miatt az is nyilvánvaló, hogy ϕ L r (ϕ L r) és az L r halmaz (a szokásos függvényműveletekkel 44 ) részalgebrája a [ r,r] intervallumon folytonos függvények C[ r, r] terének. Ezért a Stone Weierstrass-tétel miatt az L r a. norma értelmében mindenütt sűrű a C[ r,r]-ben. Legyen most már adott az f C függvény és az ε > szám. Ekkor van olyan r >, hogy f(x) < ε (x R \ [ r,r]). Mivel f [ 2r,2r] C[ 2r,2r], ezért az előbbiekre tekintettel egy alkalmas g L függvénnyel f(x) ĝ(x) < ε (x [ 2r,2r]). Könnyen ellenőrizhető, hogy f(x) ĝ r (x) ĝ(x) < 3 ε (x R). Az x [ r,r] helyeken ui. f(x) ĝ r (x) ĝ(x) = f(x) ĝ(x) < ε. Ha akkor Tehát a függvénnyel és x [ 2r,2r] \ [ r,r], f(x) ĝ r (x) ĝ(x) f(x) ĝ(x) + ĝ r (x) ĝ(x) < ε + ĝ(x) ε + f(x) ĝ(x) + f(x) < 3 ε. G := g r g L Ĝ = ĝ r ĝ L f Ĝ < 3ε. 44 Emlékeztetünk arra, hogy f, g L esetén d f h = b f bh, ezért ϕ ψ b L (ϕ, ψ b L ).

24. FEJEZET. FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ.2.2.2. Radiális függvények Azt mondjuk, hogy az R : R n R n lineáris operátor (mátrix) 45 ortogonális, ha Továbbá, az Rx, Ry = x,y (x,y R n ). f : R n R függvény radiális, ha tetszőleges R ortogonális transzformációra vagy (ami ugyanaz) Ekkor egy alkalmas függvénnyel f(x) = f R (x) := f(rx) (x R n ), f(x) = f(y) (x,y R n, x = y ). 46 f : [,+ ) R f(x) = f ( x ) (x R n ). Világos, hogy ha n =, akkor mindez azt jelenti, hogy az f : R R függvény páros. 47 Tegyük fel, hogy az f L függvény radiális. Ekkor 48 az f Fourier-transzformált is radiális és f(x) = f R (x) = ( f) R (x) = f(rx) (x R n ). Ugyanis az ortogonalitás miatt az R adjungáltra R = R, ezért integráltranszformációval f(x) = f R (x) = f R (t)e ı x,t dt = f(rt)e ı x,t dt = 45 Idézzük fel azt, hogy az R : R n R n leképezés pontosan akkor lineáris operátor, ha egy (egyértelműen létező) R R n n mátrixszal Rx := R(x) = Rx (x R n ). 46 Speciálisan, az R ortogonális mátrix forgatás, ha még det R = is teljesül. Az n > esetben az f akkor és csak akkor radiális, ha bármely R : R n R n forgatásra f(x) = f(rx) (x R n ). 47 Ekkor ui. Rx = cx (x R), ahol a c R konstansra Rx, Ry = c 2 xy = xy (x, y R) miatt c = ±. A szóban forgó f függvény radiális volta tehát azt jelenti, hogy minden x R helyen f(x) = f(±x), speciálisan f(x) = f( x) (x R). 48 R + f (r) r n dr < +.

.2. TRIGONOMETRIKUS FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ 25 = f(t)e ı x,r t dt = f(t)e ı Rx,t dt = f(rx) (x R n ). Következésképpen egy alkalmas f : [,+ ) C függvénnyel f(x) = f ( x ) (x R n ). Ha n =, akkor 2 + + f(x) = f (ρ) = f( t)e ıxt dt + + f (t)cos(xt)dt = 2 (ld..3. iii) megjegyzés). f(t)e ıxt dt + f(t)e ıxt dt = + + + f (r)cos( x r)dr f(t)e ıxt dt = f (t)(e ıxt + e ıxt )dt = (x R, ρ := x ) A fenti f függvényről n = 2 esetén az alábbiakat mondhatjuk. Ti. síkbeli polárkoordináta-transzformációval az x = (ρcos ω,ρsin ω) R 2 (ρ, ω [,2π]) helyen 49 f(x) = + 2π rf(r cos θ,r sin θ)e ı (ρ cos ω,ρ sinω),(r cos θ,r sinθ) dθ dr = + ahol (az η := θ ω + π/2 helyettesítéssel) 49 Tehát x = ρ. 2π 2π rf (r) e ıρr cos(θ ω) dθ dr, e ıρr cos(θ ω) dθ = 2π e ıρr sin η dη =: g (ρr).

26. FEJEZET. FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ Itt (a szinuszfüggvény páratlan, a koszinuszfüggvény pedig páros lévén) g (r) = 2π e ır sinη dη = π π e ır sinη dη = Ezért π 4 π π π cos(r sin η)dη + ı sin(r sin η)dη = cos(r sin η)dη = π π 2 π + cos(r sin η)dη = 4 rf (r) f(x) = f (ρ) = π/2 π/2 + cos( x r sin η)dη cos(r sin η)dη (r ). rf (r)g (ρr)dr = (x R 2, ρ := x ). Hasonlóan, ha n = 3, akkor térbeli polárkoordináta-transzformációt alkalmazhatunk. A számolások egyszerűsítése érdekében használjuk ki azt, hogy a fentiek szerint az f is radiális, így bármely x R 3 helyen (a t = (t,t 2,t 3 ) R 3 szokásos jelöléssel) f(x) = f(,, x ) = f(t)e ı x t 3 dt = + 2π π f(r sin ω cos θ,r sin ω sinθ,r cos ω)r 2 sin ω e ı x r cos ω dω dθ dr = 2π + π rf (r) r sin ω e ı x r cos ω dω dr. Mivel (a Newton Leibniz-formula alkalmazásával) így π r sin ω e ı x r cos ω dω = x ı ( e ı x r e ı x r) = x sin( x r), 2 f(x) = f (ρ) = 4π x + rf (r)sin( x r)dr ( x R 3, ρ := x ).

.2. TRIGONOMETRIKUS FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ 27.2.2.3. Bessel-függvények Az előbbiekben radiális függvények Fourier-transzformáltját számoltuk ki a két- és háromdimenziós esetben. Tetszőleges (n 2) dimenzióban a következőket mondhatjuk. Legyen ui. /2 < α R és J α (t) := t α 2 α π Γ((2α + )/2) t α 2 α π Γ((2α + )/2) 2t α 2 α π Γ((2α + )/2) az α-paraméterű Bessel 5 -függvény 5, ahol Γ(x) := a jól ismert gamma-függvény. 53 + e ıts ( s 2 ) (2α )/2 ds = (cos(ts) + ısin(ts))( s 2 ) (2α )/2 ds = cos(ts)( s 2 ) (2α )/2 ds (t > ) t x e t dt (x > ) Világos, hogy a fentiekben (az s sin y helyettesítéssel) más szóval Így pl. e ıts ( s 2 ) (2α )/2 ds = J α (t) := π/2 π/2 e ıtsin y (cos y) 2α dy (t R), t α π/2 2 α π Γ((2α + )/2) e ıt siny (cos y) 2α dy = π/2 t α 2 α π Γ((2α + )/2) J (t) = 2 π π/2 π/2 cos(t sin y) (cos y) 2α dy (t > ). cos(t sin y)dy (t > ) 5 Friedrich Wilhelm Bessel (Minden, 784. VII. 22. Königsberg, 846. III. 7.) 5 Ld. még D. Bernoulli. 52 52 Daniel Bernoulli (Groningen, 7. II. 8. Bázel, 782. III. 7.) 53 Emlékeztetünk arra, hogy Γ() = és Γ(/2) = π, továbbá Γ(x + ) = x Γ(x) (x > ). Speciálisan, Γ(k + ) = k! (k N).

28. FEJEZET. FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ és Ha az L -beli J /2 (t) := függvény radiális és (ld..2.2.2.) t e ıty dy = 2sin t (t > ). 2π 2πt f : R n R (n 2) f(x) = f ( x ) (x R n ), akkor (a részletek mellőzésével) az x R n helyeken ( ) f(x) = (2π) n/2 x n/2 + f (s)s n/2 J n/2 ( x s)ds. Innen az n = 2 esetben azt kapjuk, hogy Ha pedig n = 3, akkor 4 f(x) = 2π + + sf (s) f(x) = (2π) 3/2 x /2 (2π) 3/2 2 x 2π x 4π x + π/2 összhangban a korábban kiszámoltakkal. sf (s)j ( x s)ds = + + cos( x s sin y)dy. f (s)s 3/2 J /2 ( x s)ds = sf (s)sin( x s)ds = sf (s)sin( x s)ds, A fentiekben bevezetett Bessel-függvényekre az alábbi rekurzív összefüggés igaz: ha µ > /2, akkor bármely ν > esetén J µ+ν+ (t) = t ν+ 2 ν Γ(ν + ) J µ (ts)s µ+ ( s 2 ) ν ds (t > ).

.2. TRIGONOMETRIKUS FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ 29 Legyen ui. α > /2 és t >, ekkor (a koszinuszfüggvényt (a körül) hatványsorba fejtve) 54 2 cos(ts)( s 2 ) (2α )/2 ds = Tehát J α (t) = 2 π 2α j= j= j= j= ( ) j t 2j (2j)! ( ) j t 2j (2j)! ( ) j t 2j (2j)! 2 t α 2 α π Γ(α + /2) s 2j ( s 2 ) (2α )/2 ds = z j /2 ( z) α /2 dz = Γ(j + /2) Γ(α + /2). Γ(j + α + ) ( ) j t 2j+α Γ(j + /2) (2j)! Γ(j + α + ) cos(ts)( s 2 ) (2α )/2 ds = = ( ) j (t/2) 2j+α j! Γ(j + α + ), j= ui. (pl. teljes indukcióval könnyen belátható, hogy) 2 2j Γ(j + /2) j! (2j)! π = (j N). Mindezeket figyelembe véve az J µ (ts)s µ+ ( s 2 ) ν ds (t > ) integrál kiszámításakor a J α -ra belátott előbbi egyenlőséget alkalmazva egyszerű számolással kapjuk a jelzett rekurzív összefüggést: J µ (ts)s µ+ ( s 2 ) ν ds = 54 Az ismert Γ(x+y) R zx ( z) y dz = Γ(x) Γ(y) (x, y > ) egyenlőséget (megfelelő szereposztással) felhasználva.

3. FEJEZET. FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ = ( ) j (t/2) 2j+µ j! Γ(j + µ + ) j= s 2j+2µ+ ( s 2 ) ν ds = ( ) j (t/2) 2j+µ 2 j! Γ(j + µ + ) j= j= 2 ν Γ(ν + ) t ν+ y j+µ ( y) ν dy = ( ) j (t/2) 2j+µ Γ(j + µ + ) Γ(ν + ) = 2 j! Γ(j + µ + ) Γ(j + µ + ν + 2) ( ) j (t/2) 2j+µ+ν+ j! Γ(j + µ + ν + 2) = 2ν Γ(ν + ) t ν+ J µ+ν+ (t), j= ami nyilván ekvivalens az állításunkkal. Így pl., ha a fentiekben ν =, akkor J µ+ (t) = t speciálisan a µ = választással J (t) = t sj (ts)ds = 2t π Hasonlóan, ha µ := és ν := /2, akkor J /2 (t) = 2sin t 2t = 2πt π J µ (ts)s µ+ ds (t > ), ( π/2 s J (ts) ) cos(st sin y)dy ds (t > ). s ds (t > ), s 2 amiből J (ts) s sin t ds = s 2 t Az α > /2 feltétel mellett az imént előállt (t > ). ( ) J α (t) = ( ) j (t/2) 2j+α j! Γ(j + α + ) j= (t > )

.2. TRIGONOMETRIKUS FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ 3 sorfejtést illetően a következőket mondhatjuk. Vegyük ui. észre, hogy pl. a hányadoskritérium segítségével egyszerűen meggyőződhetünk arról, miszerint a szóban forgó végtelen sor abszolút konvergens: (t/2) 2j+2+α j! Γ(j + α + ) (j + )! Γ(j + α + 2) (t/2) 2j+α = t 2 (j ). 4(j + )(j + α + ) Sőt, az illető sor ugyanígy az α > paraméterekre is abszolút konvergens minden t > helyen. Ezzel egyúttal értelmezhetjük a (valós értékű) J α Bessel-függvényeket az α > esetben is: a J α (t) := ( ) j j= Ψ α (z) := j= analitikus függvénnyel. 55 Speciálisan ahol (ld. fent) Tehát 2 πt J /2 (t) = J /2 (t) = (t/2) 2j+α j! Γ(j + α + ) = tα Ψ α (t) (t > ) ( ) j z 2j 2 2j+α j! Γ(j + α + ) j= j= ( ) j ( ) j (z R) t 2j /2 2 2j /2 j! Γ(j + /2) = π t2j (2j)! (2j)! 2 2j j! Γ(j + /2) (2j)! π 2 2j j! Γ(j = (j N). + /2) 2 πt j= ( ) j (t > ), t 2j 2 (2j)! = t (t > ). πt cos 55 Komplex értékű függvényként akár a t < helyeken is ezzel a végtelen sorral definiálhatnánk a J α(t)-t. Ha pedig α, akkor a J α(t)-t megadó előbbi sor minden t helyen (abszolút) konvergens és J α(t) R (a szokásos := megállapodással): J () = és J α() = (α > ).

32. FEJEZET. FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ Továbbá a radiális L -beli f : R n R függvények f Fourier-transzformáltjára megfogalmazott ( ) képlet n = esetén is alkalmazható (ld..2.2.2.): f(x) = 2π x 2 Lássuk be, hogy a J α differenciálegyenletnek: + + f (s)cos( x s)ds f (s) s J /2 ( x s)ds = (x R). (α > /2) Bessel-függvények eleget tesznek az alábbi t 2 J α(t) + t J α(t) + (t 2 α 2 ) J α (t) = (t > ). Valóban, az értelemszerű jelölésekkel legyen J α (t) = t α 2 α π Γ((2α + )/2) e ıts ( s 2 ) (2α )/2 ds =: c α t α e ıts α (s)ds (t > ). Ekkor bármely t > esetén (a paraméteres integrálokra vonatkozó deriválási szabályt is felhasználva) valamint Következésképpen J α(t) = c α αt α e ıts α (s)ds + ıc α t α se ıts α (s)ds, J α (t) = c αα(α )t α 2 e ıts α (s)ds+ 2ıαc α t α se ıts α (s)ds c α t α s 2 e ıts α (s)ds. F α (t) := (t2 J c α tα α(t) + t J α(t) + (t 2 α 2 ) J α (t) ) =

.2. TRIGONOMETRIKUS FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ 33 = t 2 e ıts α (s)ds + ıt(2α + ) se ıts α (s)ds t 2 s 2 e ıts α (s)ds. Vegyük észre, hogy (parciális integrálással) 56 se ıts α (s)ds = ıt e 2α + ıts α+ (s)ds, így Ezért ıt(2α + ) se ıts α (s)ds = t 2 e ıts α+ (s)ds. F α (t) = t 2 ( e ıts ( α (s) α+ (s))ds s 2 e ıts ) α (s)ds. Ugyanakkor amiből az F α (t) =, azaz a egyenlőség már nyilvánvaló. Ekkor Legyen α (s) α+ (s) = ( s 2 ) (2α )/2 ( s 2 ) (2α+)/2 = s 2 ( s 2 ) (2α )/2 = s 2 α (s) ( s ), t 2 J α(t) + t J α(t) + (t 2 α 2 ) J α (t) = (t > ) J k (t) := 2π 2π e ıt sinθ e ıkθ dθ 2π 2π 56 α+(s) = (2α + )s α(s) ( s ). J k (t) = 2π 2π e ı(t sinθ kθ) dθ = (k Z, t R). (cos(t sin θ kθ) + ısin(t sin θ kθ))dθ = π π cos(t sin θ kθ)dθ =

34. FEJEZET. FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ 2 π = 2 π π/2 π/2 (Bessel-féle integrálformula). cos(t sin θ)cos(kθ)dθ sin(t sin θ)sin(kθ)dθ Ugyanis a ν := π θ helyettesítéssel (ha a k páros) (ha a k páratlan) (k Z, t R) J k (t) = π π cos(t sin ν + kν kπ)dν = ( )k π π cos(t sin ν + kν)dν. Ha itt a k páros, akkor (az utóbbi egyenlőséget hozzáadva a J k (t)-hez) amiből 2J k (t) = π π 2 π π cos(t sin θ)cos(kθ)dθ = 4 π J k (t) = 2 π (cos(t sin θ kθ) + cos(t sin θ + kθ))dθ = π/2 A páratlan k indexekre hasonlóan kapjuk a egyenlőséget. Speciálisan (ld. fent) J k (t) = 2 π π/2 J (t) = π π cos(t sin θ)dθ = 2 π Világos, hogy (egyszerű helyettesítéssel) π/2 cos(t sin θ)cos(kθ)dθ. sin(t sin θ)sin(kθ)dθ π/2 cos(t sin θ)cos(kθ)dθ, cos(t sin θ)dθ = J (t) (t > ). J k = ( ) k J k (k Z). Mutassuk meg továbbá, hogy J k (t) = J k (t) (k N, t > ).

.2. TRIGONOMETRIKUS FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ 35 Ezt ui. k = -ra az előbb láttuk már. Ezért elég azt megmutatnunk, hogy a J k (t) G k (t) := vagy (k N, t > ) választással fennáll a rekurzió, ahol J k (t) g k (t) = t k G k+ (t) (k N, t > ) g k (t) := t k G k (t) (k N, t > ). Valóban, ha itt k N és G k = J k, akkor ( ) k g k (t) = t k t J k(t) J k (t) t k ( k 2πt 2π t k 2π ı 2π e ıtsin θ e ıkθ dθ 2π ( 2π t e ıtsin θ) e ıkθ dθ = ) = ( θ ( t e ıt sin θ e ıkθ) + (cos θ ısin θ)e ıt sinθ e ıkθ) dθ = 2π e ıtsin θ e ıkθ (cos θ ısin θ)dθ = 2π t k 2π e ıt sinθ e ı(k+)θ dθ = t k J k+ (t) (t > ). 57 A G k := J k (k N) esetben a t k 2π 2k + Γ((2k + )/2) = Γ((2k + 3)/2) (k N) 2 összefüggés alapján parciális integrálással 58 g k (t) = ı 2 k Γ((2k + )/2) π se ıts ( s 2 ) (2k )/2 ds = 57 Vegyük figyelembe, hogy R 2π θ (e ıtsin θ e ıkθ ) dθ = e ıt sin(2π) e ık2π e ıtsin e ık =. 58 s( s 2 ) (2k+)/2 = (2k + )s( s 2 ) (2k )/2.

36. FEJEZET. FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ = ı 2 k Γ((2k + )/2) π 2ıt e ıts 2k + ( s2 ) (2k+)/2 ds = 2 t k J k+ (t) (t > ). Az előzőeket folytatva tehát (ld. ( )) ( ) j ( ) t 2j+k J k (t) = J k (t) = (k N, t > ). j! (j + k)! 2 Legyen ugyanakkor ahol az J s (t) := j= j= megállapodással éltünk. 59 Más szóval l= vagy a k := s jelöléssel s= ( ) j ( ) t 2j+s (s Z, t R), j! (j + s)! 2 := (j =,..., s ) (j + s)! J s (t) = j= s ( ) j j! (j + s)! ( ) t 2j+s = 2 ( ) l s ( ) t 2l s (s Z \ N, t R), l! (l s)! 2 J k (t) = ( )k l= Mutassuk meg, hogy tetszőleges t R mellett + ( ( t Js (t)zs = exp z 2 )) z ( ) l ( ) t 2l+k. l! (l + k)! 2 ( z C). 6 59 Tehát Js (t) = J s(t) (s N, t > ). 6 Általában egy (a k, k N), vagy (a k, k Z) számsorozat generátorfüggvényén a P k= a kz k hatványsor, vagy a P + k= a kz k Laurent-sor 6 összegfüggvényét értik. Tehát ebben a terminológiában a (Js (t), s Z) (t R) sorozat generátorfüggvénye a z exp(t(z /z)/2) függvény. 6 Pierre Alphonse Laurent (Párizs, 83. VII. 8. Párizs, 854. IX. 2.)

.2. TRIGONOMETRIKUS FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ 37 Ugyanis a és a j= j= z j j! sor abszolút konvergens, ezért az ( ( t exp z 2 )) = z ( ) t j = exp 2 ( ) tz 2 ( ) k ( ) t k ( k! z k = exp t ) 2 2z j,k= k z j k ( ) k! j! (z C) ( z C) ( ) t j+k ( z C) 2 szorzat(kettős)sorban szabadon csoportosíthatjuk a tagokat. Legyen ehhez adott az s Z kitevő és szedjük össze a j k = s egyenlőségnek eleget tevő indexeket. 62 Ez azt jelenti, hogy j = k + s és amint azt állítottuk. akkor és Ha itt ( ( t exp z 2 )) = z + s= + s= k= J s (t)z s z := e ıy ( z 2 ) = eıy e ıy z 2 e ıt siny = + s= J s (t)e ısy ( ) k z s k! (k + s)! ( z C), (y R), 62 Röviden: vegyük a fenti két sornak a Cauchy-szorzatát. ( ) t 2k+s = 2 = ısin y (y R) (y R).

38. FEJEZET. FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ Így egy Fourier-sorfejtést kaptunk, 63 más szóval Js (t) = 2π 2π e ıt siny e ısy dy (s Z, t R). Következésképpen Nyilván J k D és J k = J k (k Z). amiből J (l) k (t) = 2π 2π (ısin y) l e ıt siny e ıky dy J (l) k (t) 2π 2π dy = (k Z, l N, t R), (k Z, l N, t R). A J k (k Z) függvények (egész indexű Bessel-függvények) tetszőleges t R helyen kielégítik a J α -kra fentebb kapott másodrendű homogén differenciálegyenletet: t 2 J k (t) + t J k (t) + (t2 k 2 ) J k (t) =. Valóban, a J k -t megadó hatványsor tagonkénti deriválásával t J k (t) = j= ( ) j (2j + k) t2j+k j! (j + k)! 22j+k és t 2 J k (t) = j= ( ) j (2j + k)(2j + k ) j! (j + k)! 2 2j+k t 2j+k. Összeadva az előbbi két egyenlőséget t 2 J k (t) + t J k (t) = ( ) j (2j + k) 2 j! (j + k)! 2 2j+k t2j+k = j= 63 Emlékeztetőül (de la Vallée Poussin 64 -tétel): ha az S trigonometrikus sor mindenütt konvergál egy f L [, 2π] függvényhez, akkor az S az f Fourier-sora, azaz az S együtthatói az f függvény Fourier-együtthatói. 65 Charles Jean Gustave Nicolas Baron de la Vallée Poussin (Louvain, 866. VIII. 4. Louvain, 962. III. 2.)

.2. TRIGONOMETRIKUS FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ 39 ahol j= = j= ( ) j 4j(j + k) j! (j + k)! 2 2j+k t2j+k + ( ) j 4j(j + k) j! (j + k)! 2 2j+k t2j+k = j= j= ( ) j k 2 j! (j + k)! 2 2j+k t2j+k, ( ) j (j )! (j + k )! 2 2j+k 2 t2j+k = és Tehát amint azt állítottuk. 66 t 2 j= j= ( ) j j! (j + k)! 2 2j+k t2j+k = t 2 J k (t) ( ) j k 2 j! (j + k)! 2 2j+k t2j+k = k 2 J k (t). t 2 J k (t) + t J k (t) = (k2 t 2 ) J k (t),.2.3. L 2 -beli függvények Fourier-transzformáltja Az előző pont jelöléseit megtartva először is jegyezzük meg, hogy a p > kitevők esetén az L p -beli f függvények nem feltétlenül integrálhatók, következésképpen az x R n vektorokra fe x / L bőven előfordulhat. Ezért az ilyen L p függvényosztályok elemeire a Fourier-transzformált a fenti definíció alapján nem értelmezhető. A következő egy-két megjegyzésben ezt a kérdéskört vizsgáljuk. Legyen először p = 2. Mivel az L L 2 metszettér egy (a. 2 norma 67 értelmében) sűrű altér az L 2 -ben, ezért minden f L 2 függvényhez megadható olyan, alkalmas f k L L 2 (k N) 66 Megjegyezzük, hogy bármely α > paraméter mellet analóg módon kapjuk a J α Bessel-függvényekre a t 2 J α (t)+t J α(t) = (α 2 t 2 ) J α(t) (t > ) egyenlőséget, azaz, hogy a J α-k az α > paraméterrel is kielégítik (a korábban (ld..2.2.3) csak az α > /2 esetre belátottakhoz képest) a szóban forgó másodrendű differenciálegyenletet. 67 Emlékeztetünk arra, hogy a g L p függvényekre g p := ( R g(t) p dt) /p ( p < + ) és g := inf{α : g(t) α (m.m. t R n )}.

4. FEJEZET. FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ függvényekből álló sorozat, amelyre f f k 2 (k ). Ilyen pl. az függvények sorozata, ahol f k := f χ Gk (k N) G r := {t R n : t r} (r > ). 68 Az L L 2 altér g elemeire természetesen minden további nélkül értelmezhető a ĝ Fourier-transzformáció. Az előbbi f k := f χ Gk (k N) példánál maradva f k (x) = f(t)e ı x,t dt G k (x R n,k N), így n = esetén f k (x) = k k f(t)e ıxt dt (x R,k N). Nem triviális viszont az (ld. 2.5. xv), ill. 3.3. ii) megjegyzés), hogy minden ilyen g L L 2 függvényre ĝ L 2 és ĝ 2 = (2π) n/2 g 2. Ez azt is jelenti egyúttal, hogy a (nyilván lineáris) L L 2 g ĝ L 2 operátor korlátos, azaz folytonos. Ezt a tényt (és az (L 2,. 2 ) normált tér teljességét) felhasználva ezért az előbbiekben szereplő f k L L 2 függvények Fouriertranszformáltjainak az ( f k,k N) sorozata a. 2 normában konvergál egy L 2 -beli függvényhez. 69 Legyen ebben az értelemben az f Fourier-transzformáltja f := lim f k, k 68 Nyilván igaz, hogy lim k (f k (x) f(x)) = (x R n ) és f k f 2 4 f 2 (k N). Mivel 4 f 2 L, ezért a Lebesgue-féle konvergenciatétel alapján lim k R fk (x) f(x) 2 dx =. 69 Ui. (technikai okokból ( hosszú kifejezésekre gondolva) a (...) szimbólum a...-ban lévő függvény Fourier-transzformáltját jelöli) b f k b f j 2 = (f k f j) 2 = (2π) n/2 f k f j 2 (k, j ).

.2. TRIGONOMETRIKUS FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ 4 tehát f f k 2 (k ). Ez az értelmezés korrekt (azaz az f nem függ az f-et (az előző értelemben) előállító (f k,k N) sorozat konkrét megválasztásától). Továbbá az ( ) L 2 f f L 2 leképezés egy korlátos lineáris operátor, ami injektív és a normája (2π) n/2. Világos, hogy f L L 2 esetén az f Fourier-transzformált a mostani értelmezés és a kiindulási definíció szerint ugyanaz. Megmutatható, hogy a ( ) operátor szürjektív is, azaz tetszőleges g L 2 függvényhez létezik egy (és csak egy) olyan f L 2, amelyre g = f. A ( ) operátor tehát az L 2 térnek egy önmagára való bijekciója és ĝ 2 = (2π) n/2 g 2 (g L 2 ) (Plancherel 7 -tétel). Mi lesz az inverze? Ehhez először is azt jegyezzük meg, hogy az f,h := f hdµ (f, h L 2 ) jelöléssel 7 f,ĥ = (2π)n f,h (f, h L 2 ). Jelöljük a ( ) operátor adjungáltját A-val, ekkor amiből tetszőleges h L 2 esetén következik. Legyen h L 2 mellett (2π) n f,h = f,ĥ = f,a(ĥ) (f,h L2 ), h = A(ĥ) (2π) n H h (x) := ĥ( x) (x Rn ), 7 Michel Plancherel (Bussy, 885. I. 6. Zürich, 967. III. 4.) 7 Az L 2 -beli skaláris szorzás. A továbbiakban nem fog félreértést okozni, hogy a R n -beli és az L 2 -beli skaláris szorzást ugyanazzal a, szimbólummal jelöljük.

42. FEJEZET. FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ ekkor könnyű meggyőződni arról, hogy f,a(h) = f,h = f,h h (f L 2 ). Így A(h) = H h (h L 2 ), következésképpen a ( ) operátor unitér, az inverze pedig a L 2 h H h (2π) n L2 leképezés. Tehát H bh = (2π) n h (h L 2 )..2.4. Differenciálhatóság A továbbiakban az M(R n )-beli mértékek Fourier-transzformáltját fogjuk vizsgálni differenciálhatósági szempontból. Ezzel kapcsolatban állapodjunk meg bizonyos (pl. a többváltozós differenciálszámításban már megszokott) jelölésekben. Nevezetesen, egy j = (j,...,j n ) N n multiindex mellett legyen a j hossza, x j := n k= az x vektor j-kitevős hatványa, j := n k= j k x j k k (x = (x,...,x n ) R n ) j := j... jn n a j szerinti parciális deriválás, ahol a k f (k =,...,n) szimbólum egy f R n C

.2. TRIGONOMETRIKUS FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ 43 (differenciálható) függvény k-adik változója szerinti parciális deriváltját jelenti. Legyen továbbá egy ν M(R n ) mértékre M j (ν) := x j dν(x) (feltéve, hogy az R n x x j függvény a ν mérték szerint integrálható). Jelentse végül valamilyen s = (s,...,s n ) N n multiindexre j s azt, hogy j k s k (k =,...,n). A fenti jelölésekkel most már egyszerűen megfogalmazhatjuk a bevezetőben említett differenciálhatóságra vonatkozó állítást. Legyen ehhez ν M(R n ) és j N n, továbbá tegyük fel, hogy minden s N n, s j multiindex mellett létezik a ν mérték M s (ν) ún. s-edik momentuma. Ekkor o tetszőleges s N n, s j esetén létezik a s ν parciális derivált; 2 o bármely o -beli s multiindexre s ν(x) = ı s e x (y) y s dν(y) (x R n ); 3 o az eddigi jelölések mellett a s ν függvény egyenletesen folytonos és korlátos. Speciálisan s ν() = ı s M s (ν). Az n = esetben egy ν M(R) mérték k-adik M k (ν) momentumának a létezéséből (valamilyen k N mellett) már minden s =,...,k indexre következik az M s (ν) létezése is, hiszen x s + x k (x R). Legyen f L és ν := µ f. Ekkor az M s (ν) azt jelenti, hogy az R n x x s f(x) (s N) momentum létezése függvény L -beli. Innen tetszőleges f L esetén a következőt kapjuk: tegyük fel, hogy egy j N n mellett minden s N n, s j multiindexre az f s (x) := x s f(x) (x R n )

44. FEJEZET. FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ függvény L -beli. Ekkor az ilyen s-ekre s f = ı s f s. Valóban, ha pl. n = j = és x,h R, valamint h, akkor f(x + h) f(x) h = h tf(t)e ıxt eıht ht ( f(t) e ı(x+h)t e ıxt) dt = dt =: G h (t)dt, ahol egy c > konstanssal G h (t) = f (t) e ıht ht = f (t) sin(ht/2) (ht)/2 c f (t) (t R). Tehát az f L feltételezésből következően a G h ( h R) függvényeknek van a h-tól független integrálható majoránsa. Ezért a Lebesgue-féle konvergenciatétel alapján létezik az ( f f(x + h) f(x) ) (x) = lim = h h határérték. 72 lim G h(t)dt = ı h f (t)e ıxt dt = ı f (x) Innen tetszőleges j-re teljes indukcóval kapjuk az állítást. Ha ui. valamilyen j N mellett f D s és ( f ) (s) = ı s f s ( s j), akkor (f j ) = f j+ (és az indukciós feltétel) miatt f j D és Ezért ( f ) (j) D és ( f j ) = ı (f j ) = ı f j+. ( f ) (j+) = ı j ( f j ) = ı j ı (f j ) = ı j+ fj+. 72 Másképp fogalmazva: az b f(x)-et definiáló integrált (az x szerint) szabad az integráljel mögött deriválni.

.2. TRIGONOMETRIKUS FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ 45 az Könnyű kiszámolni deriváltfüggvények Fourier-transzformáltját. Legyen ehhez pl. f : R R függvény differenciálható és tegyük fel, hogy f, f L. Ekkor lévén az f abszolút folytonos f(x) = Következésképpen létezik a x f (t)dt + f() (x ). 73 + lim f(x) = f (t)dt + f() x + határérték. Ugyanakkor f L miatt szükségszerűen és ugyanezzel a gondolatmenettel lim x + f(x) = lim f(x) =. x Ezért tetszőleges x R helyen parciális integrálással 74 a f (x) = f (t)e ıxt dt = lim f (t)e ıxt dt = a + ( a ) lim f(a)e ıxa f( a)e ıxa ıx f(t)e ıxt dt a + a a = ıx f(x). Mindennek a többváltozós megfelelőjét az alábbi formában kapjuk: ha az f : R n R függvényre f L és valamilyen j N n esetén j f L teljesül, akkor j f(x) = ( ı) j x j f(x) (x R n ). 73 Ebből a szempontból a mindenütt való differenciálhatóság helyett elegendő azt feltenni az f-ről, hogy abszolút (más néven: teljesen) folytonos. Ekkor ui. az f m.m. differenciálható és működik az előbbi Newton Leibniz-formula. Sőt, ehhez elég azt tudni, hogy az f folytonos, legfeljebb megszámlálható sok ponttól eltekintve deriválható és f L. 74 Világos, hogy a t f(t)e ıxt függvény is abszolút folytonos.

46. FEJEZET. FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ Speciálisan, ha a K(R n ) szimbólum jelöli az f : R n R kompakt tartójú folytonos függvények halmazát és az f K(R n ) függvény végtelen sokszor differenciálható, akkor j f(x) = ( ı) j x j f(x) (x R n, j N n )..3. Megjegyzések i) Valamilyen ξ R n esetén jelöljük T ξ -vel, ill. M ξ -vel a ξ által meghatározott transzlációs, ill. modulációs operátorokat: és T ξ f(t) := f(t + ξ) (f L, t R n ) M ξ g(t) := e ı t,ξ g(t) (g L, t R n ). Ekkor egyszerűen ellenőrizhető, hogy Speciálisan, itt a T ξ M η = e ı ξ,η M η T ξ (ξ, η R n ). T ξ M η = M η T ξ egyenlőség akkor és csak akkor igaz (tehát a ξ-transzláció és az η-moduláció pontosan akkor cserélhető fel), ha valamilyen k Z egész számmal ξ,η = 2kπ. Azt sem nehéz továbbá belátni, hogy a most értelmezett operátorok és a Fouriertranszformáció kapcsolata a következő: T ξ f = M ξ f (ξ R n,f L ) és M η f = T η f (η R n,f L ). Nevezetesen, az x R n helyeken (a Lebesgue-integrál eltolás-invariánciáját is kihasználva) T ξ f(x) = T ξ f(t)e ı x,t dt = f(ξ + t)e ı x,t dt =

.3. MEGJEGYZÉSEK 47 = f(t)e ı x,t ξ dt = e ı x, ξ f(t)e ı x,t dt = M ξ f(x), valamint M η f(x) = M η f(t)e ı x,t dt = f(t)e ı t,η e ı x,t dt = f(t)e ı x+η,t dt = f(x + η) = T η f(x). Hasonlóan, és (T ξ M η f) = M ξ T η f (ξ, η R n,f L ) (M η T ξ f) = T η M ξ f (ξ, η R n,f L ). A Fourier-transzformáció L 2 -re való kiterjesztésére gondolva a fenti formulák igazak maradnak az f L 2 függvényekre is. Így pl. legyen ekkor az L L 2 térbeli (f k,k N) sorozattal amikor nyilván T ξ f L 2 és lim f f k 2 =, k T ξ f k L L 2 (k N). Mivel = lim k f f k 2 = lim k T ξf T ξ f k 2, ezért (a Fourier-transzformált L 2 -beli értelmezésére tekintettel) = lim k T ξ f T ξ f k 2 = lim k T ξ f M ξ fk 2. Így T ξ f M ξ f 2 T ξ f M ξ fk 2 + M ξ fk M ξ f 2 = Következésképpen T ξ f M ξ fk 2 + f k f 2 T ξ f M ξ f 2 =, (k ).

48. FEJEZET. FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ más szóval (L 2 -értelemben) T ξ f = M ξ f (ξ R n,f L 2 ). Ugyanígy, a fenti jelölésekkel és M η f L 2 miatt egyrészt M η f k L L 2 (k N) = lim k f f k 2 = lim k M ηf M η f k 2, amiből adódik. Másrészt az lim M η f k M η f k 2 = lim k M η f T η fk 2 = M η f T η f 2 M η f T η fk 2 + T η fk T η f 2 = M η f T η fk 2 + f k f 2 (k ) határátmenet után M η f T η f 2 = = M η f = T η f. Világos, hogy T ξ, M η : L 2 L 2 (ξ, η R n ). Ezek az operátorok folytonosak is a következő értelemben: bármely f L 2, ξ, η R n esetén T ξ f T ξ f 2 (ξ ξ ) és M η f M η f 2 (η η ). A Lebesgue-integrál most említett eltolás-invariánciája miatt T ξ f T ξ f 2 = T ξ ξ f f 2.

.3. MEGJEGYZÉSEK 49 Ezért a transzláció folytonossága azzal ekvivalens, hogy lim T ξf f 2 = (f L 2 ), ξ (f L 2 ) alapján a modu- ami jól ismert az integrálelméletből. Innen f L 2 lációról a következőket mondhatjuk: Mivel lim M ηf f 2 = η lim (2π) n/2 M η f f 2 = η lim (2π) n/2 T η f f 2 =. η M η f M η f 2 = M η η f f 2, ezért a moduláció fent említett folytonossága már adódik. ii) Számítsuk ki a h(x) := e x 2 /2 (x R n ) (nyilván folytonos és L -beli) függvény Fourier-transzformáltját, és mutassuk meg, hogy ĥ = (2π) n/2 h. Legyen ehhez x R n, ekkor ĥ(x) = e P n k= y2 k ı Pn /2 e k= x ky k dy dy n = n k= n k= e y2 k /2 e ıx ky k dy dy n = e (y k ıx k ) 2 /2 x 2 k /2 dy k = n k= n k= e x2 k /2 e y2 k /2 e ıx ky k dy k = e (y k ıx k ) 2 /2 dy k. 75 Az utóbbi integrálok kiszámításához legyen valamilyen a > és b R (pl. b > ) esetén a T az a téglalap a komplex síkon, amelynek a csúcspontjai: ±a, ±a ıb, 75 Általában is: ha alkalmas egyváltozós g,..., g n függvényekkel az x = (x,..., x n) R n helyeken g(x) := Q n j= gj(xj), akkor (a Fubini-tétel miatt) bg(x) = Q R n j= gj(t)e ıx jt j dt j = Q n j= bgj(xj).

5. FEJEZET. FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ továbbá legyen a ϕ a a T kerülete (mint egy C 2 -beli görbe az óramutató járásával megegyező irányban). Ekkor a komplex függvénytan Cauchy-féle alaptétele szerint e z2 /2 dz =. ϕ a A T téglalap ϕ j a (j =,2) függőleges oldalainak a z = ±a + ıt ( b t ) pontjaiban e z2 /2 = e a2 /2 e t2 /2 e b2 /2 e a2 /2 így a j =,2 indexekre e z2 /2 dz /2 e b eb2 a2 /2 ϕ j a (a + ), (a + ). A T vízszintes oldalain az integrálok: a a e (t ıb)2 /2 dt és a a e t2 /2 dt. Következésképpen = lim e z2 /2 dz = lim a + ϕ a + a amiből a a e t2 /2 dt lim a + a a e (t ıb)2 /2 dt = lim e (t ıb)2 /2 dt = a + a a lim e t2 /2 dt = e t2 /2 dt = 2 e t2 dt = 2π a + a a e (t ıb)2 /2 dt, következik. (Ha b <, akkor analóg számolással jutunk ugyanerre az eredményre.) Tehát bármely k =,...,n mellett e (y k ıx k ) 2 /2 dy k = 2π,

.3. MEGJEGYZÉSEK 5 ezért ĥ(x) = (2π) n/2 n e x2 k /2 = (2π) n/2 h(x), amit bizonyítani kellett. 76 iii) Legyen n = és tegyük fel, hogy az f L függvény páros, azaz k= f( t) = f(t) (m.m.t R). Ekkor + f(x) = f( t)e ıtx dt + 2 + Ugyanígy kapjuk az f(x) = 2ı f(t)e ıtx dt = + f(t)e ıtx dt + f(t)e ıtx dt = f(t)cos(tx)dt = + f(t)sin(tx)dt = ı formulát páratlan f esetén, azaz, amikor + + f(t)cos(tx)dt f(t)e ıtx dt = f(t) ( e ıtx + e ıtx) dt = (x R). f(t)sin(tx)dt (x R) f( t) = f(t) (m.m. t R). iv) Gondoljuk meg, hogy az integrálható f : R R függvény akkor és csak akkor páros (páratlan), ha az f Fourier-transzformált páros (páratlan). Valóban, ha az f páros (páratlan), akkor az előbbi megjegyzés formulái alapján rögtön adódik ugyanez az f-ra is. Fordítva, ha pl. az f páros, akkor az F(t) := f( t) (t R) függvényre F(x) = f( t)e ıtx dt = f(t)e ıtx dt = f( x) = f(x) (x R). 76 Mivel a, b R esetén R e (y ı(a+ıb))2 /2 dy = R e (y+b ıa)2 /2 dy = R e (y ıa)2 /2 dy = 2π, ezért a fentiekben az x R n helyett x C n is írható.