1. A trigonometrikus rendszer. Ortogonalitás, teljesség

Átírás

1 . A trigonometrikus rendszer. Ortogonalitás, teljesség Az, cos(x), sin(x), cos(x), sin(x),... sorozat trigonometrikus rendszert, az e ikx, (k Z) sorozat pedig komplex trigonometrikus rendszert alkot. Ezen rendszerek π szerint periodikusak... Tétel. (Ortogonalitás) Az π, π cos(x), π sin(x),... valamint π e ikx (k Z) ortonormált rendszerek (ONR). Bizonyítás: Az Az π π, π cos(x), π cos(kx)dx = π π sin(x),... rendszer esetén: π sin(kx) sin(jx)dx = π π cos(kx) sin(jx)dx = (k j), π π π e ikx cos(kx) cos(jx)dx = π π e ikx e ijx dx = (k Z) rendszer esetén: e ikx π e ijx dx = π π e i(k j)x dx = (k j), π sin(kx)dx =, π cos(kx) π cos(jx)dx = (k j), π sin(kx) π sin(jx)dx = (k = j), π ei(k j)x dx = (k = j).

2 .. Tétel. (Teljesség) Legyen f L π. Ha f ortogonális a trigonometrikus rendszer minden elemére, akkor f. Bizonyítás: Legyen f C π. Indirekten tegyük fel, hogy f, de ortogonális a trigonometrikus rendszer elemeire. f = x [ π, π] : f(x) Ekkor feltehető, hogy f(x) =. (Ha ez nem lenne igaz, akkor legyen f := f.) Legyen f(x) g(t) = f(x+t). Ekkor g() =, valamint g is ortogonális a trigonometrikus rendszer elemeire, mivel g(t) cos(kt)dt = Az ortogonalitás triviális. = +x x = cos(kx) f(x + t) cos(kt)dt = +x x f(t) cos(k(t x))dt f(t) (cos(kt) cos(kx) + sin(kt) sin(kx)) dt +x x +x f(t) cos(kt)dt + sin(kx) f(t) sin(kt)dt = x g(t) sin(kt)dt esetén hasonlóan látható, valamint g(t) dt esetén Legyen most f := g. Mivel f() =, így δ > : x K δ () = f(x) >. Ekkor legyen T () (x) és T (n+) (x) = ( cos(δ) + cos(x)) T (n) (x). Ahogy n, úgy T (n) (x) a [ δ, δ] intervallumon "hegyesedik", azon kívül "laposodik". x δ = T (n) (x) δ x π = T (n) (x) T () trigonometrikus polinom. Indukcióval belátható, hogy n > : T (n) szintén trigonometrikus polinom. Így, mivel f ortogonális a triginometrikus rendszerre, ezért T (n) -re is annak kell lennie, azonban π π f(t)t (n) (t)dt = amelyből következik, hogy m : f(t)t (n) (t)dt t δ } {{ } δ π Legyen most f C π, f L π. π + δ t π f(t)t (n) (t)dt F δ, } {{ } ha, akkor f(t)t (m) (t)dt >, ami ellentmondás.

3 . Konvergens trigonometrikus sorok. Fourier együtthatók, sor, részletösszeg A Fourier-együtthatók a k = ˆf c k = π f(x) cos(kx)dx, valamint b k = ˆf s k = π f(x) sin(kx)dx, továbbá Az n. Fourier részletősszeg a = ˆf = π f(x)dx. S n f(t) = ˆf + n ( ˆf c k cos(kt) + ˆf k s sin(kt) ), k= amennyiben n, akkor Fourier sorról beszélünk. Az f Fourier transzpontálja (vagy spektruma) ˆf. Az f ˆf eljárás a Fourier analízis, míg ˆf f Fourier szintézis. Komplex esetben c k = f(x)e ikx dx = π ˆf(k)... Tétel. Legyen X L π Banach-tér, f X úgy, hogy f f X, valamint n S n (t) := λ + (λ k cos(kt) + µ k sin(kt)), k= melyre f S n X. Ekkor S n = S n f, vagyis ha f határértékben előáll trigonometrikus polinomok összegeként, akkor ez szükségképpen a Fourier transzformáltja. Bizonyítás: Vizsgáljuk az ˆf c k együtthatókat, ˆf s k esetén a bizonyítás azonos módon történik. + A n f(t) cos(kt)dt = (f(t) S n (t)) cos(kt)dt }{{} S n (t) cos(kt)dt } {{ } B n Kihasználva a feltevéseket A n f S n f S n X, továbbá ha k n, akkor n B n = λ + λ j cos(jt) + µ j sin(jt) cos(kt)dt, j= amely a trigonometrikus rendszer ortogonalitása miatt πλ k, így λ k = π.. Tétel. A Fourier transzformáció injektív L π-en. f(t) cos(kt)dt. Bizonyítás: A definíció alapján a Fourier-transzformáció lineáris, ezért ha ˆf = ĝ, akkor f g =. De ez azt jelenti, hogy f g ortogonális a trigonometrikus rendszer összes elemére, így f g, amiből f = g 3

4 3. A Dirichlet-féle magfüggvény. Lebesgue konstansok Vizsgájuk az n. Fourier részletösszeget! S n f(t) = ˆf + = π = π n k= ˆf c k cos(kt) + ˆf s k sin(kt) ( n ) f(x) + cos(kx) cos(kt) + sin(kx) sin(kt) dx k= ( n ) f(x) + cos(k(x t)) dx k= 3.. Definíció. (Dirichlet-féle magfüggvény) A D n (x) = n + cos(kx) függvényt Dirichletféle magfüggvénynek nevezzük. Ekkor S n : L π L π, valamint S n f(t) = π ahol a művelet a konvolúció, azaz (f g)(t) = k= f(x)d(t x)dx = π (f D n)(t), f(x)g(t x)dx = f(t x)g(x)dx 3.. Lemma. Kihasználva, hogy sin(α + β) + sin(α β) = cos(α) sin(β) kapjuk, hogy D n = n + cos(kx) = k= + n sin ( ) x k= = n ( ( + sin ( ) sin kx + x ) x k= ) = + sin (( ) ( n + ) x sin x sin ( ) x ( ) x cos(kx) sin ( sin kx x )) = sin (( n + sin ( ) x ) x ) 3.3. Definíció. (Lebesgue konstansok) Az L n := S n = π D n (ld. konvolúció tulajdonságai) értékeket Lebesgue konstansoknak nevezzük. A továbbiakban becsüljük az Lebesgue konstansok értékét! D n = π π = π π D n (x) dx = D n (x) dx = π n+ sin ((n + )t) n sin(t) dt + k= } {{ } A n sin (( ) ) n + x sin ( ) x dx (k+)π n+ sin ((n + )t) kπ sin(t) dt n+ }{{} B n t:= x {}}{ = π + nπ π sin ((n + )t) sin(t) dt sin ((n + )t) sin(t) dt n+ }{{} C n 4

5 A következő becslések során használjuk ki, hogy x sin(x) π x, n n+ k Darboux-féle felső közelítőösszege az dx integrálnak. x k= (x [, π]), valamint D n = (A n + B n + C n ) B n n (k+)π n+ = A n = C n = B n = = k= n = = 4 π π k= n k= n+ π n+ nπ n+ n k= n k= kπ n+ n + (k + )π n + (k + )π sin ((n + )t) sin(t) π n+ n dt = k= (k+)π n+ n sin ((n + )t) dt = + n + = 4 n π k= k + = 4 π k= n k= k π n+ n + (k + )π x dx = 4 π (ln(n + ) ln()) = C log(n + ) sin ((n + )t) dt [ cos ((n + )t) n + ] π n+ sin ((n + )t) π sin(t) dt n+ (n + )t t dt = π n + (n + )π = π π sin ((n + )t) sin(t) dt π nπ dt π n + nπ n (n + ) = π 4n π n+ n+ (k+)π n+ sin ((n + )t) n kπ sin(t) dt π n+ kπ sin((n + )t) dt n+ k= π n+ [ ] π n + cos((n + )t) n+ n n n + = k n + k= k n + = + ln(n ) k= k Így D n = (A n + B n + C n ) C ln(n + ), vagyis C ln(n + ) D n C ln(n + ), azaz L n = π D n nem korlátos Következmény. Ha S n f = π D n f, akkor S n = π D n, azaz a Banach Steinhaus-tételt nem alkalmazhatjuk, így lehetséges, hogy f L π, melyre lim f S nf. 5

6 4. Riemann Lebesgue-lemma. Lokalizációs tétel. 4.. Lemma. (Riemann Lebesgue-lemma) Legyen a, b R, f L (a,b), valamint (c, d) (a, b). Ekkor Bizonyítás: d d lim b(t) cos(γt)dt = lim γ c γ b(t) sin(γt)dt = c. Ha f egy intervallum karakterisztikus függvénye, azaz f = χ (α,β), ahol (α, β) (a, b) és (α, β ) = (c, d) (α, β), akkor d c f(t) cos(γt)dt = β α cos(γt)dt = [ sin(γt) t ] β = sin(γβ ) sin(γα ) γ α γ γ, az állítás sin esetében hasonló módon teljesül.. Ha f lépcsős függvény, akkor az előző pontból triviálisan következik az állítás. 3. Ha f L (a,b), akkor ε > esetén ϕ lépcsős függvény, amelyre f ϕ < ε. Ekkor d f(t)cos(γt)dt c d d (f(t) ϕ(t)) cos(γt)dt + ϕ(t)cos(γt)dt c c, de az előző pont alapján N úgy, hogy γ > N esetén d c ϕ(t)cos(γt)dt < ε, így d d (f(t) ϕ(t)) cos(γt)dt + ϕ(t)cos(γt)dt c c f ϕ + ε ε + ε = ε 4.. Következmény. Ha f L π, akkor ˆf nullsorozat. f-hez. Ha ε > : N : n > N : x : f(x) f n (x) < ε, akkor f n egyenletesen konvergál 6

7 4.3. Tétel. (Lokalizációs tétel) Legyen f L π, valamint (a, b) R. Ekkor amennyiben f (a,b) =, akkor x (a, b) : lim S n f(x) =, sőt δ > esetén S n f egyenletesen konvergál -hoz a (a + δ, b δ) intervallumon. Bizonyítás: S n f(x) = π π π f(x t)d n (t)dt = π Amennyiben K δ (x) (a, b), akkor f(x t) sin ( L π, így a Riemann Lebesgue- t) f(x t) Ekkor sin ( t) lemmát felhasználva π π f(x t) ha t < δ sin ( = f(x t) t) sin ( különben. t) f(x t) sin ( δ) L π, ezért S n f(x) = π π π f(x t) sin (( ) ) n + t sin ( dt t) (( f(x t) sin ( sin n + ) ) t dt. t) A következőkben az egyenletes konvergenciát látjuk be. Legyen δ >, x, x illetve legyen τ az eltolás operátor, azaz τ h f(x) = f(x + h). S n f(x ) S n f(x ) = π = π π π (f(x t) f(x t)) D n (t)dt (f(x t) f(x t)) D n (t)dt δ t π π max δ t π D n(t) π π (f(x x + s) f(s)) ds (a, b), π max δ t π D n(t) τ (x x )f f Ha t < δ, akkor sin (( )) n + D n (t) = sin ( t) sin ( ). δ Legyen ω δ (f, L π) := sup τ h f f. Tudjuk, hogy ω δ (f, L π) δ, ezért ε > h <δ 7

8 esetén γ, melyre δ < γ esetén ω δ (f, L π) < ( ) δ π sin ε, ezért π max δ t π D n(t) τ (x x )f f π sin ( δ )ω δ (f, L π) < ε Vagyis azt kaptuk, hogy ha x x < δ, akkor S n f(x ) S n f(x ) < ε Osszuk fel az (a+δ, b δ) intervallumot N darabra, úgy hogy az egyes részek hossza δ -nél (b δ) (a + δ) kisebb legyen. Legyen x k = a + δ + k. Tudjuk, hogy N lim S nf(x k ) =. Legyen tetszőleges x (a + δ, b δ), és legyen x k az x-hez legközelebbi osztópont, ekkor S n f(x) S n f(x) S n f(x k ) + S n f(x k ) ε, }{{}}{{} ε ε azaz S n f egyenletesen tart -hoz az (a + δ, b δ) intervallumon Következmény. Ha f (a,b) = g (a,b), akkor lim (S nf(x) S n g(x)) =. 8

9 5. Dini-féle konvergencia teszt és következményei Vizsgáljuk az n. Fourier részletösszeg és a közelített függvény különbségét! S n f(x) A = π = π = π = π π π f(x t)d n (t)dt A π f(x t)d n (t)dt + π π π Mivel A független t-től, valamint S n f(x) A = π = π = π Legyen a következőkben π π π f(x + u)d n (u)du + π π π (f(x + t) + f(x t)) D n (t)dt A π D n (t)dt = π, ezért (f(x + t) + f(x t)) D n (t)dt A f(x t)d n (t)dt A (f(x + t) + f(x t) A) D n (t)dt f(x t)d n (t)dt A f(x + t) + f(x t) A t sin (( n + t ) t ) sin ( t) dt ϕ x (t) = f(x + t) + f(x t) A t 5.. Tétel. (Dini konvergencia feltétele) Ha ϕ x a (, π) intervallumon t szerint integrálható, akkor f Fourier-sora az x pontban A-hoz tart, azaz lim (S nf(x) A) =. Bizonyítás: A Riemann Lebesgue-lemma segítségével a fentiekből következik az állítás. A tétel speciális esetei, A := f:. Ha f D{x}, akkor lim S n f(x) = f(x). Tegyük fel, hogy lim x f, lim x+ f, ekkor f (x+) = lim t + f(x + t) f(x + ), valamint f (x ) = lim t t f(x t) f(x ), t továbbá lim S nf(x) = f(x + ) + f(x ) 9

10 3. Tegyük fel, hogy f teljesíti a lokális Lipschitz-feltételt x-ben, azaz δ > y K δ (x) : f(x) f(y) < L x y α. Ekkor f(x + t) f(x) Lt α, amiből f(x + t) f(x) t < L t α L, ugyanígy f(x t) + f(x) t L, ezért ϕ x = f(x + t) f(x) t + f(x t) + f(x) t L, amiből pedig a tétel szerint következik, hogy lim S n f(x) = f(x).

11 6. Konvolúció: elemi tulajdonságok, norma. Következmények a Fourier részletösszegek konvergenciájára. Legyenek f, g L π, ekkor az f és g függvények konvolúciója (f g)(x) = f(t)g(x t)dt. 6.. Tétel. (Kommutatív) A konvolúció kommutatív művelet. Bizonyítás: f(t)g(x t)dt = x π x f(u)g(x u) du = x x π f(u)g(x u)du = f(x u)g(u)du 6.. Tétel. (Zárt) Amennyiben f, g C π, akkor f g C π. Bizonyítás: Legyen δ >, valamint x x < δ, ekkor (f g)(x ) (f g)(x ) = f(t)g(x t)dt f(t)g(x t)dt f(t) g(x t) g(x t) dt f ω δ (g, C π ) Mivel ω δ (g, C π ) δ, ezért (f g)(x ) (f g)(x ) x x, azaz f g C π Tétel. (Norma tulajdonságai) Legyenek f, g L π, valamint a továbbiakban legyen T g f := g f.. T g f g f Bizonyítás: T g f = sup (g f)(x) = sup g(x t)f(t)dt sup g(x t) f(t) dt f g(x t) f g. f, g : T g f = g f Bizonyítás: Legyen f(t) := sgn(g( t)), ekkor f =, továbbá (g f)() = g( t) dt = g,

12 ezért az előző pontban kapott állításon túl g f g f is teljesül, így ekkor T g f = g f. 3. T g f g f Bizonyítás: T g f = g(x t)f(t)dt dx f(t) g(x t) dxdt = g f 4. T g = g Bizonyítás: Legyen f δ = χ [ δ,δ]. Ekkor δ (g f δ )(x) = π π g(x t)f δ (t)dt = δ Mivel g L π, így h C π, melyre g h < ε, ezért δ δ g(x t)dt g f δ = (g h) f δ + h f δ h f δ (g h) f δ, valamint (g h) f δ g h f δ ε. Mivel h folytonos, ezért δ >, hogy α < δ esetén h(x) h(x + α) < ε, így h(x) ε δ Ebből következik, hogy δ δ h(x t)dt h(x) + ε g(x) ε (h f δ )(x) g(x) + ε, ezért g πε h f δ g + πε. A fenti egyenlőtlenségeket kihasználva g f δ g πε ε = g ε(π + ), melyből látható, hogy T g g. Az előző pont alapján viszont T g g, így T g = g

13 7. A Gibbs jelenség. A Fourier transzformáció rosszul viselkedik ugrás típusú szakadásoknál. Az alábbiakban egy olyan példát vizsgálunk, ahol a Fourier sor nem konvergál a szakadásnál a függvényhez. Legyen Ekkor f Fourier együtthatói ˆf c = π f(x)dx = π π π π =, ˆf c k = π ˆf s k = π π π f(x) cos(kx)dx = π π π f(x) sin(kx)dx = π ha π x f(x) := ha < x π π π cos(kx)dx = π sin(kx)dx = π Így ha k páros ˆf k s = ha k páratlan kπ valamint az n +. Fourier részletösszeg S n+ f(x) = + kπ n k= [ sin(kx) [ k ] π cos(kx) k sin((k + )x). k + A függvény szélsőértékeit keresve vizsgáljuk S n+ f deriváltját! (S n+ f) (x) = n cos((k + )x) = (( ) n+ π k= π + cos(kx) k= ] π =, = cos(kπ). kπ ( + n = π (D n+(x) D n (x)) = sin (( ) ) n + + x sin (( ) ) n + π sin ( x x) sin(x) = cos ( x) sin (( ) ) (( ) ) n + + x sin n + + x π sin ( x) cos ( x) ( ) sin((n + )x) + sin((n + )x) sin((n + )x) k= cos(kx) )) = π ( ) sin((n + )x) sin(x) = π sin(x) 3

14 Látszik, hogy π n + zérushely, azaz S n+f-nek szélsőértéke van a S n+ f ( ) π = n + + π n k + sin ( ) (n + )π k= n + = + n sin ( ) (n+)π n+ π π (n+)π k= n + n+ = + n sin ( ) (n+)π n+ π π (n+)π k= n + n+ Vegyük észre, hogy a szumma Darboux-féle közelítőösszeg, így Vagyis lim k= n sin ( ) (n+)π n+ (n+)π n+ π π n + = sin(x) dx.85 x ( ) π lim S n+f n , π azaz S n f nem konvergál f-hez a szakadásnál. 7.. Megjegyzés. A megoldást a problémára a Fejér-féle szummáció adja. π n + pontban. 4

15 8. A Fejér-féle szummáció. Egységapproximáció. 8.. Definíció. (Fejér-szummáció) T n f(x) = n S k f = n n + k= n + k= π f D k = π = n π f(x t)d k (t)dt = π n + π π k= 8.. Definíció. (Fejér-féle magfüggvény) Legyen K n (t) := n + n k= π π n D k (t) k= n + f D k f(x t) n + n D k (t)dt k= a Fejér-féle magfüggvény. A Fejér-féle magfüggvény a Dirichlet-féle magfüggvények átlaga Megjegyzés. Mivel K n a Dirichlet-féle magfüggvények átlaga, amelyek integrálja π, ezért K n = π 8.4. Lemma. Bizonyítás: K n (t) = n + = n + = n + K n (t) = sin ( n+ t) n + sin ( t) n sin (( ) ) k + t k= sin ( t) n sin sin ( t) sin ( t) k= n k= (( k + ) ) ( ) t sin t (cos(kt) cos((k + )t)) = n + 4 sin ( ( cos((n + )t)) t) = ( ) n + n + 4 sin ( sin t t) = sin ( n+ t) n + sin ( t) 5

16 8.5. Tétel. (Egységapproximáció) Legyen h n L π. Amennyiben. h n =,. h n = h n <, 3. δ > : lim [ π,π]\[ δ,δ] akkor f X L π esetén Bizonyítás: (. normára) h n =, lim f f h n X =. π (f h n f)(x) = f(x t)h n (t)dt f(x) = (f(x t) f(x))h n (t)dt δ = (f(x t) f(x)) h n (t) dt + (f(x t) f(x)) h n (t) dt δ [ π,π]\[ δ,δ] }{{}}{{} A n B n Ekkor A n ω δ (f, C π ) h n azaz lim (f h n f)(x) =., illetve B n f [ π,π]\[ δ,δ] h n (t) dt, 6

17 9. A Fourier együtthatók tulajdonságai: eltolás, moduláció, konvolúció, szorzás. Az időtérben és a frekvenciatartományban a moduláció és a transzláció, illetve a konvolúció és a szorzás felcsérélődnek. 7

18 . A diszkrét trigonometrikus rendszer és tulajdonságai. Az e ikx, (k Z) trigonometrikus rendszer π szerint periodikus, e πikx, (k Z) szerint periodikus, e πik a x, (k Z) pedig a szerint periodikus. Legyen e λ (x) := e πiλx, ekkor L { a-ben e k : k Z } trigonometikus rendszer. a A diszktrét térben mintavételezünk: egyenletesen, T = a időközönként, összesen N + N alkalommal, így függvények helyett sorozatokat, integrálok ( helyett szummákat vizsgálunk. Legyen a mintavételezés során vett k. minta x[k] := x k a ) = x(kt ), valamint N e k a [j] := e k (j a a N ) = eπik N. Láthatjuk, hogy a k. elem értéke nem függ a-tól, ezért használjuk ezentúl a következő jelölést: e k [j] = e πik j N... Definíció. (Diszkrét skalárszorzat) Legyen a, b C N. Ekkor a, b =.. Lemma. (Ortogonalitás) Legyen k, l Z. Ha k l, akkor N j= a j b j. e k, e l = N j= e πik j N e πil j N = N j= e πi(k l) j N = {}}{ ( e πi(k l) j N ) N e πi(k l) j N =, különben.3. Következmény. Ekkor e k, e l = N e πi j= {}}{ (k l) j N = N. { } e k : k =,..., N N ortonormált rendszer, bázis a diszkrét térben..4. Definíció. (Diszkrét Fourier transzformáció) Legyen x C N. Ekkor ˆx[n] = N N j= x[j]e n [j] = N N j= x[j]e πj n N C N. A diszkrét Fourier transzformációt felfoghatjuk úgy is, mint egy bázistranszformáció..5. Megjegyzés. (Invertálás) A diszkrét Fourier transzformáció invertálása az alábbi módon történik: x[n] = N j= ˆx[j]e n [j] = 8 N j= ˆx[j]e πij n N

19 .6. Definíció. (Műveletek) A transzláció időtérben moduláció a frekvenciatértben, mivel ha y[k] = x[k + ], akkor ŷ[n] = N x[k + ]e πik n N N = x[k]e πi(k ) n N = e πi n N N x[k]e πik n N = e πi n N ˆx[n] k= k= k= Diszkrét deriválás: y[k] = x[k + ] x[k] N Diszkrét konvolúció: (y x)[n] = y[n k]x[k] k= 9

20 . Gyors Fourier transzformáció. Legyen x C N, ekkor ˆx kiszámítása O(N ) műveletigényű, mivel N darab együtthatót kell kiszámolnunk, és mindegyik együttható kiszámításakor N szorzást kell elvégeznünk. A gyors Fourier transzformáció (FFT) segítségével O(N log N)-re csökkenthetjük a műveletigényt. Legyen a továbbiakban N = n. ˆx[k] kiszámításához bontsuk ketté az együtthatókat páros és páratlan indexűekre. ˆx[k] = n n = = j= n x[j]e πik j n n j= n j πik x[j]e n + n n x[j]e πik j n n j= }{{} ˆx [k] Valamint ˆx[k + n ] számítása esetén ˆx[k + n ] = n n = = n n j= n j= x[j]e πi(k+n ) j n x[j]e x[j]e πik (k+ n )j πi j= +e πik n n + e πi (k+n ) j n n j= }{{} ˆx [k] e πik n Így azt kaptuk, hogy k =,..., n esetén ˆx[k] = n n x[j + ]e j+ πik n n x[j + ]e πik j n n j= }{{} ˆx [k] n j= x[j + ]e n x[j + ]e πik j n n j= }{{} ˆx [k] (k+ n )j πi n (ˆx [k] + e πik n ˆx [k] ), valamint ˆx[k + n ] = (ˆx [k] e πik n ˆx [k] ) Rekurzívan alkalmazva a módszert a Mester-tétel alapján az FFT műveletigénye O( n n) = O(N log N)

21 . A Fourier transzformáció definíciója L R-ben. Példák. A Fourier transzformáció alaptulajdonságai, valamint algebrai tulajdonságai (transzláció, moduláció, dilatáció, konvolúció)... Definíció. (Fourier transzformáció L R-ben) Legyen f L R. Ekkor f Fourier transzformáltja jele Ff = ˆf. ˆf(x) := f(t)e πixt dt,.. Megjegyzés. A definíció alapján könnyen látható, hogy a Fourier transzformáció lineáris..3. Megjegyzés. A Riemann Lebesgue-lemma alapján lim (Ff)(x) =. x ±.4. Tétel. Legyen f L R. Ekkor a Fourier transzformált folytonos, azaz Ff C. Bizonyítás: ˆf(x + δ) ˆf(x) = f(t)e πi(x+δ)t dt f(x) e πixt e πiδt dt f(t)e πixt dt Mivel e πixt, valamint e πiδt δ, így ˆf(x + δ) ˆf(x) δ, azaz ˆf C..5. Definíció. (Műveletek) A következő műveleteket definiálhatjuk:. Transzláció:. Moduláció: 3. Diletáció: τ u f(x) := f(x + u) µ u f(x) := e πiux f(x) δ c f(x) := f(cx)

22 .6. Tétel. (Műveletek tulajdonságai). Az időtérben és a frekvenciatartományban a moduláció és a transzláció felcsérélődnek, vagyis Bizonyítás: F(τ u f) = µ u (Ff), valamint F(µ u f) = τ u (Ff) s:=t+u (F(τ u f))(x) = f(t + u)e πixt {}}{ dt = = f(s)e πix(s u) ds = e πixu f(s)e πixs ds = e πixu (Ff)(x) = (µ u (Ff))(x) (F(µ u f))(x) = e πiut f(t)e πixt dt = = (Ff)(x u) = (τ u (Ff))(x) f(t)e πi(x u)t dt. F(δ c f) = c δ c (Ff) Bizonyítás: s:=ct (F(δ c f))(x) = f(ct)e πixt {}}{ dt = f(s)e πix s c c ds = ( ) x c (Ff) = c c (δ c(ff))(x).7. Példa. A következő függvények esetében megadjuk a Fourier transzformált értékét. sin(πx). Legyen rect(x) = χ [,, valamint sinc = ] πx. Ekkor. F ( e π t ) = π 3. F ( e πx) = e πx + t Frect = sinc

23 3. A Fourier transzformáció adjungáltja. Egységapproximáció. Inverziós formula L (R)-ben. 3.. Tétel. (Egységapproximáció) Legyen Λ = [, + ), g λ L R(λ Λ). Amennyiben. g λ =,. sup g λ <, λ 3. δ > : lim λ R\[ δ,δ] g λ =, akkor f X L R esetén f g δ f X λ. Bizonyítás: A bizonyítás azonos módon történik, mint periodikus esetben. π (f g λ f)(x) = f(x t)g λ (t)dt f(x) = (f(x t) f(x))g λ (t)dt δ (f(x t) f(x)) g λ (t) dt + (f(x t) f(x)) g λ (t) dt δ [ π,π]\[ δ,δ] }{{}}{{} A n B n Ekkor A n ω δ (f, C π ) g λ azaz lim λ (f g λ f)(x) =. λ, illetve B n f [ π,π]\[ δ,δ] g λ (t) dt λ, 3.. Definíció. (A Fourier transzformáció adjungáltja) Legyen F a Fourier transzformáció adjungáltja. (F f)(x) = (Ff)( x) 3.3. Lemma. Bizonyítás: Ff, g = = = Ff, g = f, F g ( f(t) ( ) f(t)e πixt dt g(x)dx ) g(x)e πix( t) dx dt f(t)(f g)(t)dt = f, F g 3.4. Megjegyzés. A Ff g = f F g egyenlőség hasonlóan látható be. 3

24 3.5. Tétel. (Inverziós formula) Legyenek f, ˆf L R. Ekkor f(x) = F ˆf = F Ff. Bizonyítás: Legyen g(t) = e πt, valamint g u := uδ u g. A g u függvény egységapproximáció, u azaz f g u f. Így elegendő belátnunk, hogy Kihasználva, hogy Fg = F g = g: (f g n )(x) = azaz f g u = = = f g u f(x t)g n dt = u F Ff. δ τ x f(t)(f (δ g))(t)dt = u δ µ x (Ff)(t)δ g u ( ) (Ff)(s)e πixs e = (F Ff)(x), u F Ff teljesül. δ τ x f(t)uδ u g(t)dt π ( s) u ( t u) dt (F(δ τ x f))(t)δ g(t)dt s:= t {}}{ = ds u u e πixs (Ff)(s)g (Ff)(s)e πixs ds ( ) s ds u 4

25 4. A Fourier transzformáció kiterjesztése az L (R) térre. A Plancherel transzformáció. 4.. Definíció. (Diadikus intervallum) Az I = [ k, k + ] n n típusú intervallumokat diadikus intervallumoknak nevezzük. 4.. Definíció. (Diadikus lépcsősfüggvény) A diadikus intervallumok karakterisztikus függvényeinek lineáris kombinációjából képzett lépcsősfüggvények diadikus lépcsősfüggvényeknek nevezzük Megjegyzés. A diadikus lépcsősfüggvények tere S d L R. S d mindenütt sűrű L R-ben Tétel. (F unitér) Legyen f, g S d. Ekkor f, g = Ff, Fg Bizonyítás: Elegendő az állítást diadikus intervallumok karakterisztikus függvényeire belátnunk. A linearitásból ekkor már következik az állítás tetszőleges f, g S d esetén. Legyen I = [ k, k + ] n n és J = [ j, j + ]. m m Ha n > m, akkor J előáll véges sok hosszú intervallum uniójaként, ha m > n, akkor n pedig I áll elő véges sok hosszúságú intervallum uniójaként, ezért elegendő az n = m esetet m vizsgálnunk. Transzlációt alkalmazva F(τ s χ I ), F(τ s χ J ) = Fχ I, Fχ J, mivel F(τ s χ I ), F(τ s χ J ) = µ s (Fχ I ), µ s (Fχ J ) = e πist (Fχ I )(t)e πist (Fχ J )(t)dt = e} πist {{ e πist }(Fχ I )(t)(fχ J )(t)dt = Fχ I, Fχ J Ezért eltolhatjuk az I, J intervallumokat és elegendő vizsgálnunk az I = [, ] esetet. n Vizsgájuk mi történik diletációt alkalmazva. Azt szeretnénk belátni, hogy F(δ c χ I ), F(δ c χ J ) = δ c χ I, δ c χ J 5

26 A másik oldalra hasonlóan F(δ c χ I ), F(δ c χ J ) = c δ c (Fχ I ), c δ c = c u:= t c {}}{ = c Fχ I ( t c = c Fχ I, Fχ J (Fχ J ) ) Fχ J ( t c ) dt Fχ I (u)fχ J (u)cdu δ c χ I, δ c χ J = c χ I, χ J, azaz F(δ c χ I ), F(δ c χ J ) = δ c χ I, δ c χ J Fχ I, Fχ J = χ I, χ J Így a tétel belátásához elegendő az I = [, ], J = [n, n + ] invervallumok esetét vizsgálni. Ekkor ha n = χ I, χ J =, ha n valamint Fχ I, Fχ J = F(τ = µ = = χ [, ] ), F(τ n χ [, ] ) (Frect), µ n (Frect) e πit sinc(t)e πit(n+ ) sinc(t)dt sinc (t)e πitn = ( F sinc ) (n) Tudjuk, hogy F(rect) = sinc, ezért F(rect rect) = F(max{ x, }) = sinc, valamint mivel n Z, így ha n = Fχ I, Fχ J =, ha n azaz χ I, χ J = Fχ I, Fχ J 4.5. Megjegyzés. Mivel F unitér, így normatartó is, azaz f S d esetén f = Ff. 6

27 4.6. Definíció. (Plancherel transzformáció) S d mindenütt sűrű L R-ben, eézrt minden f L R függvényhez adható olyan (f n ) n N S d sorozat, melyre lim f f n = Ekkor az f n sorozat konvergens S d L R-ben, így Cauchy-sorozat is. Ebből adódóan Ff n szintén Cauchy-sorozat, azaz Ff n konvergens, vagyis P L R : lim Pf Ff n =. Ez a P az úgynevezett Plancherel transzformáció. 7

28 5. A kiterjesztés egyértelmű. A Plancherel transzformáció unitér, bijekció az L (R) téren. Adjungált, inverz. 5.. Tétel. (A Plancherel transzformáció unitér) Legyen f, g L R. Ekkor f, g = Pf, Pg Bizonyítás: Legyen (f n ) n N, (g n ) n N S d, melyre Ekkor lim f f n =, valamint lim g g n = Pf, Pg = Pf Ff n + Ff n, Pg Fg n + Fg n Mivel = Pf Ff n, Pg Fg n + Pf Ff n, Fg n + Ff n, Pg Fg n + Ff n, Fg n ezért az első három tagra lim Pf Ff n =, valamint lim Pg Fg n =, Pf Ff n, Pg Fg n + Pf Ff n, Fg n + Ff n, Pg Fg n, valamint mivel F unitér Ff n, Fg n = f n, g n f, g, így Pf, Pg = f, g. 5.. Definíció. (Adjungált) Legyen P a Plancherel transzformáció adjungáltja. P f(x) := Pf( x) 5.3. Tétel. (Inverz) Plancherel transzformáció inverze az adjungáltja. Bizonyítás: Felhasználva, hogy P Pf, g = Pf, Pg = f, g kapjuk, hogy tetszőleges g L R esetén P Pf, g f, g = P Pf f, g = Ez viszont akkor és csak akkor állhat fenn, ha P Pf f =, azaz P Pf = f Következmény. Mivel P invertálható, ezért bijekció. 8

29 5.5. Tétel. Legyen f L R L R. Ekkor Pf = Ff mm. Bizonyítás: Tudjuk, hogy amennyiben f S d, akkor Pf = Ff. Legyen ekkor f L R L R és (f n ) n N S d olyan, hogy ( ) f f n < [ n, n ], n valamint a [ n, n ] interfallumon kívül f n értéke legyen. Mivel f L R ezért ezt kihasználva R\[ n, n ] ( f f n = f, ( f f n ) valamint f f n ) [ n, n ] }{{} f f n = f f n = f f n + [ n, n ] =, f f n + + R\[ n, n ] KBS ( {}}{ ) [ n, n ] < n+ n } {{ } Így Ff Ff n f f n + R\[ n, n ] ( R\[ n, n ] R\[ n, n ] f f ) } {{ } R\[ n, n ] f [ n, n ] f } {{ }, ezért f f f n ) + lim Ff n = Ff egyenletesen, R\[ n, n ] Továbbá lim f f n =, ezért lim Pf Pf n = lim Pf Ff n =, amiből Tehát Pf = Ff mm. lim Ff n = P f mm. f 9

30 5.6. Definíció. (Kiterjesztés) Legyen L R + L R = { g + h : g L R, h LR}. Ekkor f = g + h L R + L R esetén Ff = Fg + Ph 5.7. Tétel. (A kiterjesztés egyértelmű) A fenti kiterjesztés egyértelmű. Bizonyítás: Legyen f = g + h = g + h, ahol g g, vagy h h. (g, g L R, h, h L R) Mivel g g = h h, így F(g g ) = P(h h ), azaz Fg Fg = Ph Ph Ebből pedig már kapjuk, hogy Fg + Ph = Fg + Ph, azaz a kiterjesztés egyértelmű. 3

31 6. Fourier transzformáció és deriválás Legyen Df := f, azaz f deriváltja. Legyen C r := {f : R R : D r f C} az r-szer folytonosan deriválható függvények halmaza, AC := { x } f : R R : g L lok, α R : f(x) = g(t)dt + α az abszolút folytonos függvények halmaza, míg AC r := {f : R R : D r f AC} az r-szer abszolút folytonosan deriválható függvények halmaza. 6.. Megjegyzés. Ha f AC, akkor f : f(x) = x f (t)dt + f(). 6.. Definíció. (Multiplikáció) Legyen a multiplikáció művelete Mf(t) = πitf(t) 6.3. Tétel. (Derivált Fourier transzformáltja) Legyen f AC, valamint f L R. Ekkor Bizonyítás: Kihasználva, hogy (FDf)(x) = Mivel f L R, ezért lim f(x) = x ± b a FDf = MFf f g = [fg] b a b a fg f (t)e πitx dt = [ f(t)e πitx] = [ f(t)e πitx] + (MFf)(x) x lim f (t)dt + f() x ± ( πix) lim x f (t) dt x ± }{{} f L R = < f(t)e πitx dt + f() <, }{{} < azaz lim f, valamint mivel f L ± R, ezért lim f =, így mivel f L ± R szintén teljesül, ezért lim f =. Vagyis [ f(t)e πitx] =, amiből már következik, hogy ± (FDf)(x) = (MFf)(x) 3

32 6.4. Tétel. (Fourier transzformált deriváltja) Legyen f L R, valamint Mf L R. Ekkor DFf = FMf Bizonyítás: (Ff)(x + h) (Ff)(x) (DFf)(x) = lim h h = lim f(t)e πit(x+h) dt h h = lim f(t)e πitx e πith dt h h = lim πitf(t)e πitx e πith dt h πith Mivel πitf(t)e πitx πtf(t), ezért integrálható, valamint e πith πith e πith πith f(t)e πitx dt = sin(πth) πth, ezért szintén integrálható. Ekkor az integrál és a limesz felcserélhető, így (DFf)(x) = lim = = h πitf(t)e πitx e πith dt πith πitf(t)e πitx e πith lim dt h πith πitf(t)e πitx ( )dt = (FMf)(x) Így kapjuk, hogy (FDf)(x) = (MFf)(x) 3

33 7. Normált csoportok. Kerekterek. Példák. Legyen (G, +) csoport,. : G R + normával. 7.. Definíció. (Norma tulajdonságai). x = x =. x = x, (x G) 3. x + y x + y 7.. Definíció. (Származtatott metrika) Legyen a. normából származtatott metrika ϱ(x, y) := x y 7.3. Definíció. (Lokálisan kompakt topologikus csoport) Lokálisan kompakt, ha tetszőleges r > esetén B r (x) = {y G : ϱ(x, y) r} kompakt vagy {x G : x r} kompakt. Létezik µ Haar mérték, amely konstansszorostól eltekintve egyértelmű. Transzláció inveráns Borel-mérték. Feltehető, hogy kompakt esetben µ(g) = Példa. Tekinthetjük az alábbi példákat:. G R = (R, +), ahol. =. és µ a Lebesgue-mérték. Ez lokálisan kompakt.. G [,) = ([, ), ), ahol a modulo összeadás, azaz x + y ha x + y < x y = (x + y) különben Lebesgue-mérték: x := min{x, x}. Ez kompakt. 3. G Z = (Z, +), a. =. normával és a számláló mértékkel. Ez lokálisan kompakt és diszkrét. ({ } ) k 4. G m = m : k =,..., m,, ahol < m N, valamint x := min{x, ( ) k x}, a mérték pedig µ =. Ez kompakt és diszkrét. m m 33

34 A továbbiakban legyen T C az egységkör. A komplex szorzással (T, ) csoportot alkot Definíció. (Karakter) Egy γ : G T függvény a G egy karaktere, ha γ C, valamint γ(x + y) = γ(x) γ(y) 7.6. Definíció. (Karakterek tulajdonságai). γ karakter. ha γ, γ karakter, akkor γ γ is karakter 3. γ() = 4. γ( x) = γ(x) = γ(x), valamint γ is karakter 7.7. Következmény. Legyen G karaktereinek halmaza csoportja. Ĝ. Ekkor (Ĝ, ) csoport, a G duális 7.8. Tétel. Amennyiben G kompakt, akkor Ĝ ortonormált rendszer L G-ben- Bizonyítás: Legyen γ, γ Ĝ. Ha γ = γ, akkor G γ γ dµ = G γ γ dµ = G dµ = µ(g) =, különben ha γ γ, akkor legyen γ = γ γ Ĝ és x G, melyre γ(x), így G γ γ dµ = G γ(t)dµ = G γ(x + t)dµ = azaz ( γ(x)) γ(t)dµ =, de ( γ(x)), így G G G γ γ dµ = γ(x)γ(t)dµ = γ(x) γ(t)dµ, G 7.9. Példa. Tekinthetjük az alábbi példákat:. Adjunk karaktert G R -hez, legyen γ x (t) := e πixt, (x, t R) 4. Adjunk karaktert G m -hez, legyen ) γ j ( k m := e πi k m 34