A Fourier-analízis alkalmazásai a jel- és képfeldolgozásban

Átírás

1 A Fourier-analízis alkalmazásai a jel- és képfeldolgozásban Diplomamunka Írta: Szabó Eszter Alkalmazott matematikus szak Témavezető: Tóth Árpád, egyetemi docens Analízis Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2

2 Tartalomjegyzék. Előszó 2. Matematikai háttér 4 3. Függvényterek Definíciók A "korlátos" (L -beli) szakaszonként folytonos függvények Az "integrálható" (L -beli) szakaszonként folytonos függvények A "négyzetesen integrálható" (L 2 -beli) szakaszonként folytonos függvények A l 2 tér A differenciálható C n függvények Függvénysorozatok konvergencája Fourier-sorok Bevezetés Valós és komplex Fourier-sor Konvergencia tételek Pontonkénti konvergencia Egyenletes konvergencia L 2 -beli konvergencia Egy dimenziós alkalmazás A trigonometrikus rendszer A Haar-rendszer Három tesztfüggvény trigonometrikus Fourier-sorfejtése Az [/2,] karakterisztikus függvénye Az [/3,] karakterisztikus függvénye II

3 A p(x) = x 4 2x 3 +x 2 polinom Három tesztfüggvény Haar-rendszer szerinti sorfejtése Az [/2,] karakterisztikus függvénye Az [/3,] karakterisztikus függvénye A p(x) = x 4 2x 3 +x 2 polinom A trigonometrikus és a Haar-rendszer összehasonlítása Két dimenziós alkalmazás Digitális képek reprezentációja Szűrés a képtartományban Szűrés a frekvenciatartományban Alkalmazás Köszönetnyilvánítás 6 Függelék 6 Irodalomjegyzék 63 III

4 . fejezet Előszó Matematikailag a jel egy- vagy többváltozós függvényként írható le, amely információt hordoz valamilyen jelenségről. A XVIII. században és a XIX. század elején több olyan fizikai probléma merült fel, ami az új matematikai elméletek kialakulását, ezzel párhuzamosan a régiek további bővítését segítették elő. A Fourier-analízis a nevét Joseph Fourier (768-83) francia matematikus után kapta. A jelanalízis során a jelet leíró számsorozatot vagy függvényt, leképezzük másik számsorozatra vagy függvényre, ennek segítségével a jelnek sok tulajdonságát felismerhetővé teszi. Fourier 87-ben mutatta be cikkét a hővezetés differenciálegyenletéről. Elmélete, mely szerint tetszőleges folytonos, periodikus függvény előállítható szinusz függvények összegeként, sok fejtörést okozott a kortárs és későbbi matematikus társaknak. Évtizedekig akadtak elméleti problémák, nyitott kérdések, amelyből a gyakorlati alkalmazások során új módszerek, technikák születtek. A jel- ill. képfeldolgozásnak számos gyakorlati felhasználása létezik, például a honvédelemben (radar, hangradar, helymeghatározás); az űrkutatásban (felvételek minőségének javítása, adattömörítés); orvostudományban (elektrokardiogram, képdiagnózis). Az első és a második fejezet tartalmazza a szakdolgozat megértéséhez szükséges matematikai alapokat, amely több egyetemi tantárgy ismeretanyagából ragad ki kisebb részeket. Kimerítően tárgyaljuk a függvénysorok konvergenciafajtáit: a pontonkénti, L 2 -beli és egyenletes konvergenciát. Ez fog alapjául szolgálni egy periodikus f függvény közelítő módon, trigonometrikus függvények végtelen összegeként történő előállítására, melyet Fouriersorfejtésnek nevezünk (folytonos esetben Fourier-transzformált). f(x) a + cos(kx)+b k sin(kx) k= Jelölje S N (x) az N. részletösszeget.

5 A függvények előbbi egzakt formája feleslegesnek tűnhet, de látni fogjuk a harmadik fejezetben, hogy az összegzésben szereplő együtthatók (Fourier-együtthatók) ismerete minden információt hordozni fog az eredeti függvényről. Ezen az egyszerű ötleten alapul az adattömörítés folyamata is. Egy útja, hogy a jelet (legyen az egy- vagy többdimenziós) tömörítsünk az, hogy Fourier-sorba fejtjük és a kis abszolutértékű együtthatókat elhagyjuk, ezáltal véges sok együtthatóval rekonstruálható a függvény. Felmerülhet a kérdés, hogy minden függvényt elő tudunk-e állítani részletösszegek sorozatának határértékeként? Bizonyításokkal kimondjuk azon tételeket, amik elégséges feltételt adnak egy függvény sorral való reprezentálására. Nevezetesen látni fogjuk, hogy egy periodikus, folytonos jelet azon x pontjaiban, ahol létezik a deriváltja, ott az S N (x) sorozat pontonkénti konvergenciával közelíti meg az f-t. Ha a függvényről kevesebbet teszünk fel, pl. elhagyjuk a deriválhatóságot, akkor a jelet az előbbi módon nem állíthatjuk elő. 9-ban Fejér Lipót magyar matematikus a Fourier-sorok elméletében jelentős felfedezést tett közé. Megalkotta az S N (x) sorozat számtani közepeként a Fejér-közepeket, σ N (x) = N + N S k (x) amelyek tetszőleges folytonos, periodikus függvényt egyenletes konvergenciával közelítenek meg. A σ N (x) Fejér-féle közelítő összeg előállítható oly módon is, hogy a Fourier-sor N. részletösszegében a Fourier-együtthatókat valamilyen súlyozással vesszük. Ezt szűrésnek hívjuk. A Fejér-tétel szerint a szűrt jel jobban közelíti az eredeti függvényt mint a közönséges Fourier-sor. A negyedik fejezetben három tesztfüggvényt választottunk (két karakterisztikus ill. egy polinomfüggvényt), hogy az előző fejezet tételeit példákkal tegyük szemléletesebbé. Egy jel sorfejtése nemcsak szögfüggvényekkel állítható elő, hanem más ortonormált rendszerrel pl. a Haar-bázisfüggvények segítségével. A fejezet végén összehasonlítjuk a két rendszer előnyeit ill. hátrányait. Az ötödik fejezetben az egydimenziós jelek analóg módjára célunk a képfeldolgozás rövid ismertetése. A kétdimenziós esetben a jelfüggvényünk egy olyan képet határoz meg, ahol a kép mérete megegyezik a függvény értelmezési tartományának koordinátáival és az (x, y) koordinátapárban a kép világosságértékei adják meg a függvény értékkészletét. Ezen intenzitások transzformációval történő közvetlen megváltoztatása történik az ún. képtartományban. A képfeldolgozásnak számos felhasználási területe létezik, néhányat említve csupán: alakzatfelismerés, zajszűrés, képtömörítés, hangtömörítés, képjavítás, melyek közül a zajszűréssel foglalkozunk részletesen. Szűrők (maszkok) használatával lokálisak tudunk képeken műveleteket végrehajtani, ezáltal a kisebb részletek változtatásával pontosabb k= 2

6 eredményt érhetünk el. A szűrők működési elve, hogy a nemkívánt frekvenciákat csillapítják (zajok) és a hasznos frekvenciákat kis mértékű változtatással, vagy anélkül, átengedik.az egydimenziós esethez hasonlóan itt számos előnye lesz a Fourier-transzformált használatának, elsősorban az, hogy a számítások műveletigénye lényegesen kisebb lesz nagy méretű szűrők alkalmazása során. A képi illusztrációkat a széles alkalmazhatósági spektrummal rendelkező MATLAB szoftver segítségével készítettem el. 3

7 2. fejezet Matematikai háttér Az első fejezetben kimondunk néhány definíciót, állítást, ill. tételt, amelyek tisztán az elméleti hátteret biztosítják a Fourier-transzformált bevezetéséhez Definíció. Egy (G,+) kommutatív csoport normált, ha. : G R + függvény, ami teljesíti a norma tulajdonságait G-n. Ezen a csoporton bevezethető egy metrika ρ(x,y)= x y, és ez eltolás-invariáns, azaz tetszőleges x, y G elemekre teljesül, hogy ρ(x+z,y +z) = ρ(x,y) (x,y,z) G (2.) Definíció. Egy (G, ρ) metrikus teret lokálisan kompaktnak nevezünk, ha a (G, +) normált csoport zárt gömbjei kompaktak: {x G : x r, r > } Ha a (G,ρ) metrikus tér kompakt, akkor a G normált csoport szintén kompakt. Nézzünk néhány példát kommutatív normált csoportra, ami fontos lesz a Fourier-transzformáció meghatározása során:. (R,+), a norma x := x 2. (Z,+), a norma x := x 3. (M, +), a norma x := min{x, x}. Az M megegyezik az R/Z faktorcsoporttal, amely izomorf a [,) félig zárt intervallum modulo vett összeadás csoportjával. 4

8 A csoport nullelemét jelöljük -val, és egy x M elem inverze legyen x. A + csoportműveletet értelmezzük a következőképpen: x+y,ha x+y < x +y = x+y-,ha x+y (2.2) 4. (M m, +), a norma x := {minx, x}. A M m := { k m : k =,,...m ( m N)}, ami az M egy diszkrét m-edrendű ciklikus részcsoportja. 5. (T, ), a norma z := z. A T := {z C : z = } jelöli az egységhosszú komplex számok testét, melyben a nullelemet jelöljük -gyel, egy z T elem inverze legyen a komplex konjugáltja Definíció. A komplex trigonometrikus függvény legyen a következőképpen definiált leképezés: ǫ(t) := e 2πit (t R) (2.3) Tétel (Euler-formula). Tetszőleges valós t változó esetén e it = cost+isint ahol az i =. Az előbbi tétel egyszerűen kapható az e x Taylor-sorfejtéséből az x = it helyen Lemma. Legyen t R e i(t+2π) = e it e it = e it = e it cos(nt) = eint +e int 2 és sin(nt) = eint e int 2i Az értelmezési tartomány M halmazra való leszűkítésével az M és T csoportok között izomorfizmust kapunk. Két valós értelmezési-tartománybeli elem összegét komplex számok szorzatába viszi át: ǫ(x+y) = ǫ(x)ǫ(y) (2.4) 5

9 2..6. Tétel. A következő függvényhalmaz { 2a e inπt/a, n =...,,,,... } teljes ortonormált rendszert alkot az L 2 [ a,a] térben. Ha f(t) = α ne inπt/a, akkor α n = a f(t)e inπt/a dt 2a a Definíció. Egy γ : G T leképezést a csoport karakterének nevezünk, ha folytonos, és érvényes rá a következő formula: γ(x+y) = γ(x)γ(y). (2.5) Ha egy leképezés kielégíti az előbb említett függvényegyenletet a csoportelmélet homomorfizmusnak nevezi. Mivel a komplex trigonometrikus rendszer folytonos és teljesíti a (2.5)-t, ezért az ǫ az (M, +) csoport karaktere. G csoport karaktereinek a halmazát Ĝ jelöli. A Ĝ a függvényszorzás műveletére nézve csoportot alkot, hiszen bármely két karakter szorzata karakter, az egységelem γ, és egy karakter inverze a konjugáltja. Az így nyert (Ĝ, ) csoportot nevezzük a (G,+) csoport duálisának. Lássunk pár példát a fent említett normált csoportok karaktereinek a halmazára:. (R,+), ˆR := {ǫt (x) := ǫ(tx) = e 2πixt,t R} = (R,+) 2. (Z,+), Ẑ := {ǫ t (x) := t M} = (M, +) 3. (M, +), ˆM := {ǫn (x) : n Z} = (Z,+) 4. (M m, +), ˆMm := {ǫ n (x) : n,,...,m } = (Z m,+) A karakterek természetesen n dimenzióra is kiterjeszthetők a csoportok direkt szorzatának műveletével. A magasabb dimenziójú csoport karaktereit úgy kapjuk, hogy az egyes normált csoportok karaktereinek Kronecker-szorzatát vesszük: γ(x) = (γ γ 2... γ n )(x) := γ (x )γ 2 (x 2 )...γ n (x n ), (x = (x,x 2,...x n ) G) Ebből nyerhetőek a korábbi kommutatív normált csoportokra adott példák n dimenziós megfelelői (R n,+), (Z n,+), (M n, +). Bármelyik duális csoportjának karakterei a trigonometrikus rendszert tekintve a következőképpen kaphatók meg: ǫ x (t) := e 2πi x,t (t G n,x Ĝn ) (2.6) 6

10 amelyben a x,t a szokásos R n skaláris szorzatot jelöli. A Fourier-transzformált értelmezéséhez még szükségünk van néhány mértékelméletbeli fogalomra. Legyen a továbbiakban (G,+) normált Abel-csoport és ρ indukált metrika, amellyel a G metrikus teret alkot Definíció. Legyen a B={(G,ρ) metrikus tér nyílt részhalmazai által generált σ-algebra}, ennek részhalmazait Borel-halmazoknak nevezzük. P(X) := {H X} jelölje az X halmaz hatványhalmazát. A P(X), A, m : A R halmazfüggvény Definíció. Az m : A R halmazfüggvény σ-additív, ha m( ) = és ha A,A 2,... A páronként diszjunktak, melyekre teljesül i= A i A, akkor m( i= A i) = m(a i ). i= 2... Definíció. Az m : A R halmazfüggvény mérték, ha nemnegatív és σ-additív Állítás. H B esetén x + H := {x + y : y H} B, tehát a B halmaz eltolás-invariáns Definíció. m: B R mérték eltolás-invariáns, ha x G, H B: m(x+h) = m(h) Tétel (Haar). Minden lokálisan kompakt topologikus csoporton létezik nemtriviális eltolás-invariáns Borel-mérték. Ennek neve Haar-mérték. Ez konstans szorzó erejéig egyértelmű Definíció. A P(X) halmazgyűrű, ha eleme az üres halmaz és B, C A esetén B C A és B\C A Tétel (Mértékkiterjesztési tétel). Legyen A P(X) gyűrű és m : A [, ] mérték. Ekkor m kiterjeszthető mértékként az A által generált σ-algebrára. Az előző fontos mértékelméleti tétel bizonyítása maga a kiterjesztés konstrukciója. A továbbiakban a Borel-mérték helyett, ennek teljessé tételével kapott hasonlóan m-mel jelölt Haar-mértéket fogjuk használni Definíció. ( L p m(g) = {f : G C m-mérhető, melyre f p := 7 G f p ) p dm < ; p } (2.7)

11 A 3. fejezetben részletesen tárgyaljuk a függvénytérnek a p=,, 2 speciális eseteit Definíció. Egy (e n ) H Hilbert térbeli sorozat ortonormált rendszert (ONR) alkot, ha,ha i = j e i,e j H = δ ij =,ha i j (Kronecker delta) (2.8) Definíció. Egy (e n ) H Hilbert térbeli sorozat teljes rendszert alkot, ha x H : x = x e n n N + (2.9) Tétel. Legyen (G, +) kompakt csoport és m Haar-mérték. Ekkor a G karakterei ortonormált rendszert alkotnak az L 2 m téren γ (x)γ 2 (x)dm = δ γ γ 2 (γ γ 2 G) (2.) G Bizonyítás. Jelöljük c-vel az előbbi egyenletet. Ha γ γ 2, akkor y : γ (y) γ 2 (y). c = γ (x+y)γ 2 (x+y)dm = γ (x)γ (y)γ 2 (x)γ 2 (y)dm G mivel a Haar-mérték eltolás-invariáns, ezért igaz = γ (y)γ 2 (y). A karakterek egységhosszú komplex számok, és a feltételünk szerint γ (y) γ 2 (y), ezért a szorzat értéke csak akkor lehet nulla, ha c =, ami akkor teljesül, ha γ (x) γ 2 (x), azaz a karakterek ortonormált rendszert alkotnak Definíció. Egy f L m függvény Fourier-transzformáltján a következő képlettel megadott leképezést értjük, ˆf : Ĝ C ˆf(γ) := f(t)γ(t)dm(t) (γ Ĝ) (2.) G Az elméleti háttér után az (2.) egyenletnek a speciális eseteivel foglalkozunk, amikor a G = R,Z,M,M m. A formális számolást jelentősen megkönnyíti, hogy a (R,+) és (M, +) csoportok Haar-mértéke megegyezik a Lebesgue-mértékével, a(z,+),(m m, +) esetén pedig a Lebesgue-mérték diszkrét megfelelője adódik mértékként Definíció. Fourier-transzformáltak. (i) G := R, Ĝ = R. Egy f L (R) trigonometrikus Fourier-transzformáltja (TFT) ˆf(x) = f(t)e 2πixt dt (x R) (2.2) R G 8

12 (ii) G := M, Ĝ = Z. Egy f L (M) trigonometrikus Fourier-együtthatója (TFE) ˆf(n) = (iii) G := Z, Ĝ = M. Egy f l (Z) trigonometrikus Fourier-sora (TFS) M f(t)e 2πint dt (n Z) (2.3) ˆf(x) = n Zf(n)e 2πixt (x M) (2.4) (iv) G := M m, Ĝ = Z m. Egy f : M m C diszkrét Fourier-transzformáltja (DFT) ˆf(n) = t M m f(t)e 2πint (n Z m ) (2.5) A Fourier-transzformáció segítségével az f időtartományából átléphetünk a frekvenciatartományba, azaz azon térbe melynek elemei az f függvény Fourier-transzformáltja ill. Fourieregyütthatói, attól függően, hogy folytonos vagy diszkrét volt-e a vizsgált jel. Fontos kérdés, hogyan nyerhetjük vissza az "eredeti" jelünket? Erre a kérdésre adnak választ a függvény értelmezési tartományától függő inverziós formula különböző alakjai Definíció. Inverziós formulák. (i) G := R csoportra vonatkozó inverziós formula f(x) = (ii) G := M csoportra vonatkozó inverziós formula R f(t)e ˆ 2πixt dt (f, ˆf L (R)) (2.6) f(x) = n Z ˆf(n)e 2πinx (f L (M), ˆf l (Z)) (2.7) (iii) G := Z csoportra vonatkozó inverziós formula f(n) = (iv) G := M m csoportra vonatkozó inverziós formula M ˆf(x)e 2πinx dx (f l (Z)) (2.8) f(x) = m n Z m ˆf(n)e 2πinx (f l (M m )) (2.9) 9

13 A továbbiakban ezekből csak azt a két esetet használjuk, amikor a jelet trigonometrikus Fourier-együtthatóinak segítségével állítjuk elő, ill. a diszkrét Fourier-sorfejtést használtam a 5-6. fejezetben a numerikus számítások során az egy és két dimenziós példák képi illusztrálására. A Fourier-transzformált magasabb dimenziójú megfelelője analóg módon adódik az előbbiekből: ahol ˆf(x) := Ĝ f(t)ǫ x (t)dt ǫ x (t) = e 2πi x,t ǫ x (t) = ǫ x (t ) ǫ xn (t n ) (x = (x,...,x n ) Ĝn, t = (t,...,t n ) G n ). A kiterjesztés örökli az egydimenziós transzformált jó tulajdonságait. Jelölje az F az egydimenziós f jel Fourier-transzformáltját Tétel. Legyen f és g deriválható függvény.. A Fourier-transzformált és az inverze lineáris operátor. Tehát tetszőleges c konstans esetén F[f +g] = F[f]+F(g) és F[cf] = cf[f]. F [f +g] = F [f]+f (g) és F [cf] = cf [f]. 2. Az n. derivált Fourier-transzformáltja: F[f (n) ](x) = (ix) n F[f](x). 3. Az n. derivált inverz Fourier-transzformáltja: F [f (x) ](t) = ( it) n F [f](x). 4. A Fourier-transzformált eltoltja: F[f(t a)](x) = e ixa F[f](x). 5. A Fourier-transzformált dilatáltja: F[f(bt)](x) = b F[f](x b ).

14 Két függvény között értelmezzünk egy új műveletet, a konvolúciót, amely használata nem vezet ki az L térből (ellentétben a függvények pontonkénti szorzásával, amire nézve az L nem zárt) Definíció. Tegyük fel, hogy f és g integrálható függvények. Az f és g függvények közötti konvolúció műveletet jelöle, ami a következőképpen számítandó: (f g)(x) = f(x t)g(t)dt = Tétel. Legyenek f és g integrálható függvények. Ekkor f(t)g(x t)dt. F[f g] = F[f]F[g]. A képfeldolgozásban az előző tétel nagyon fontos szerepet fog játszani, ez lesz az előnye a frekvenciatartománybeli szűrésnek a képtartománybeli szűréssel szemben. Nagy méretű szűrőmaszkok esetében a frekvenciatérbeli elemek szorzásával sokkal gyorsabban érhetjük el a kívánt változtatást a képünkön, mint az eredeti tartományban a konvolúció műveletével. Szűrésre az utolsó fejezetben fogunk példát látni.

15 3. fejezet Függvényterek 3.. Definíciók A jelfeldolgozásban az L p térnek p =,,2 esetei kapnak főbb szerepet. Ezért vizsgáljuk meg az ezeket leíró függvényeket és néhány tulajdonságukat Definíció. Azt mondjuk, hogy egy f : I R függvény szakaszonként folytonos, ha véges sok pont kivételével folytonos és a kivételes pontokban f-nek ugráshelyei vannak [], azaz a véges sok kivételes x j pontban léteznek az f(x j +),f(x j+ ) (j =,...,n ) véges egyoldali határértékek A "korlátos" (L -beli) szakaszonként folytonos függvények Definíció. Egy I intervallumon értelmezett szakaszonként folytonos f(x) függvényt korlátosnak nevezünk ( L (I)-belinek), ha M > : f(x) M x I Az f(x) L normája f := sup{ f(x) : x I} (3.) Példák: Ha I zárt, korlátos intervallum, akkor az I-n folytonos f(x) függvény L (I)-beli. Megjegyzés: fontos, hogy zárt legyen az intervallum, mert az f(x) = /x az I = (, ]-on tekintve nem korlátos függvény. Egy szakaszonként folytonos függvény minden véges intervallumon korlátos. A p(x) polinomfüggvények nem korlátosak a számegyenesen, de korlátosak R minden véges részintervallumán. 2

16 A sinx,cosx L (R), így a komplex e ix is korlátos, és sinx = cosx = e ix = Az "integrálható" (L -beli) szakaszonként folytonos függvények Definíció. Egy I intervallumon értelmezett szakaszonként folytonos f(x) függvényt integrálhatónak nevezünk ( L (I)-belinek), ha f(x) dx < I Az f(x) L normája f(x) = I f dx (3.2) Példák: Ha f(x) L korlátos az I véges intervallumon, akkor f(x) integrálható függvény I-n. Korlátos, zárt intervallumon folytonos függvény L -beli. Korlátos, zárt intervallumon szakaszonként folytonos függvény L -beli. Egy korlátos függvény nem szükségszerűen integrálható. Tekintve a α kitevőt, az f(x) = x α L [, ), de / L ([, )) A "négyzetesen integrálható" (L 2 -beli) szakaszonként folytonos függvények Definíció. Egy I intervallumon értelmezett szakaszonként folytonos f(x) függvényt integrálhatónak nevezünk ( L 2 (I)-belinek), ha f(x) 2 dx < Példák: I ( f 2 := I f(x) 2 dx) /2 (3.3) Véges intervallumon korlátos függvény négyzetesen integrálható. Ez természetesen tartalmazza a zárt intervallumon folytonos ill. szakaszonként folytonos függvényeket. Tetszőleges nem feltétlenül korlátos I intervallumon azok a függvények, amelyek korlátosak és integrálhatóak, azok négyzetesen is integrálhatóak az I-n. 3

17 Legyen < α < /2, f(x) = x α, ekkor f(x) L 2 [,]. Ez mutatja, hogy egy négyzetesen integrálható függvény nem szükségképpen korlátos. Legyen α /2, ekkor f(x) / L 2 [,]. Legyen α /2,f(x) = x α, ekkor f(x) / L 2 [, ). Legyen α > /2, ekkor f(x) L 2 [, ). Megjegyzés: a Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség kapcsolatot teremt a L és L 2 függvények között Tétel. Legyen I egy véges (azaz korlátos) intervallum. Ha f(x) L 2 (I), akkor f(x) L (I). A tétel megfordítása nem érvényes az intervallum korlátosságától függetlenül, például f(x) = x /2 L (,), de nem négyzetesen integrálható a (,) intervallumon. Ez a végtelen dimenziós vektortér a gyakorlatban hasznos lesz jelek analizálására. Egy jel, mint ahogy a bevezetésben említettük egy f(t) függvénnyel írható le, ami t időpontbeli értékeit adja meg a jelnek, másképpen fogalmazva az intenzitását adott helyen. Itt a t változó [a, b] intervallumból kerül ki, ez reprezentálja a jel időtartamát (előfordulhat, hogy a =,b = ). A vizsgálandó jelet a gyakorlatban diszkretizáljuk, azaz az [a,b] intervallumnak veszik egy N pontból álló felosztását. Vegyük azt az egyszerű esetet, amikor az a = és b =, tehát [,] intervallum osztópontjai ekkor t j := j/n j N. Ha a függvény folytonos, akkor a [t j,t j+ ) intervallumon elég jól megközelíti az f(t j )-t. Ezért az f függvényt a következő vektorral approximáljuk: f N = (f(t ),f(t 2 ),...,f(t N )) R n Az eredeti függvény lehető legjobb közelítését akkor kapjuk, ha az N elég nagy, másképpen egyre finomodó felosztássorozatot veszünk. Hasonlóképpen járunk el, amikor f és g négyzetesen integrálható jelek szorzatát akarjuk megkapni. Vesszük az f, g diszkretizáltjait, f N -t és g N -t, majd ezek n dimenziós vektorainak skaláris szorzatát képezzük: N N f N,g N R n = f(t j )g(t j ) = f(j/n)g(j/n). (3.4) j= j= Az előző megközelítéssel az gond, hogy ha az N túl nagy, akkor a jobb oldali sor nem biztos, hogy véges. Ennek kiküszöbölésére /N-nel elosztjuk mindkét oldalt: N f N,g N R n = N N f(j/n)g(j/n) = j= N f(j/n)g(j/n) t,ahol t = N j= (3.5) 4

18 Ha N, akkor a diszkretizált függvények jól közelítik az eredeti függvényeinket, ez ad ötletet az L 2 -beli elemek skaláris szorzatának értelmezéséhez, hogy az összegzés felfogható integrálként Definíció. Legyen f,g L 2 [a,b]. A skaláris szorzat: f,g L 2 = b Az L 2 Hilbert-tér (3.6) a skaláris szorzatra nézve. a f(t)g(t)dt (3.6) A l 2 tér Nagyon sok alkalmazás esetén a jel már diszkrét. Például egy CD-ről származó jel reprezentálható diszkrét pontok halmazával, amik az intenzitást határozzák meg valamilyen idő-intervallumban. A függvény ebben az esetben egy sorozat, X =...,x,x,x,..., ahol a megfelelő x j a j. [t j,t j+ ] intervallumba eső értéke a jelnek. Elméletileg mindkét irányba végtelen hosszú sorozat is elképzelhető. A valóságban azonban rendszerint egy bizonyos pont után "megáll", lecseng a jel, ami matematikailag úgy interpretálható, hogy N j > N esetén az x j = Definíció. Az l 2 tér az X =...,x,x,x,... C sorozatokból áll, ahol n= x n 2 <. Az X,Y l 2 elemek skaláris szorzata X,Y l 2 := n= x n y n. (3.7) Az l 2 Hilbert-tér a (3.7)-re nézve. Megszámlálható teljes ortonormált rendszert véve az L 2 -ből kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés létesíthető a l 2 tér elemei között, amely a Riesz-Fischer tétel alapján lineáris izomorfia, és izometrikus: ( ) L 2 x ˆx = x,e n, n N l A differenciálható C n függvények Definíció. Legyen n N. Azt mondjuk, hogy egy f(x) függvény eleme a C n (I) térnek, ha n-szer folytonosan differenciálható az I-n. A C (I) az I-n folytonos függvényeket jelöli. Az f(x) függvény C osztályba tartozik, ha eleme a C n (I)-nek n N. Példák: A p(x) polinomfüggvények mind C (R)-beliek. A "sapka" függvény f(x) = ( x )χ [,] (x) folytonos, de nem deriválható az R-n, mivel az x =,, helyeken nem létezik a deriváltja. 5

19 3.2. Függvénysorozatok konvergencája Definíció. Egy f n függvénysorozat pontonként konvergál az f függvényhez az [a,b] intervallumon, ha t [a,b] ǫ > : N n N esetén f n (t) f(t) < ǫ Definíció. Egy f n (t) függvénysorozat egyenetesen konvergál (L -ben) az f(t) függvényhez az [a,b] intervallumon, ha ǫ > : N n N esetén f n (t) f(t) < ǫ, t-re. Lényeges különbség a két konvergencia-típus között, hogy az egyenletes konvergencia N száma csak az ǫ-tól függ ún. univerzális küszöb, míg a pontonkénti konvergencia esetén az N függ a t helytől és az ǫ számtól is Definíció. Azt mondjuk, hogy az f n függvénysorozat L 2 ([a,b])-ben konvergál az f függvényhez, ha lim n f n f L 2 =. Másképpen ǫ > N Z: n N esetén f f n L 2 < ǫ. Mi a kapcsolat a három konvergencia-típus között? Az egyenletes konvergencia nem engedi meg, hogy a az f n sorozat bármely helyen is nagy mértékben eltérjen a közelítendő f függvénytől, míg a pontonkénti konvergencia definíciójában ezt nem zárja ki. Ebből következik, hogy ha az f n függvénysorozat egyenletesen konvergens, akkor pontonként is konvergens. A visszafele irány nem teljesül, példaként említve az f n (t) = t n,n =,2,3... sorozatot. Ez a t < esetén pontonként tart a nullához, ha az n egyre nő. Azonban a t = helyhez közelítve egyre lassabb a konvergencia, nincs univerzális küszöbszám Tétel. Ha az f n függvénysorozat egyenletesen konvergál egy f függvényhez n esetén egy a t b korlátos intervallumon, akkor f n tart az f-hez az L 2 [a,b]-beli konvergencia értelemben is. Így általában egy pontonként konvergens sor nem biztos, hogy konvergál L 2 normában. De a Lebesgue-féle dominált konvergencia tételben szerepel, hogy ha az f n pontonként tart az f-hez és egyenletesen korlátos, azaz f n K, K, akkor ezzel a plusz feltétellel teljesül az L 2 -beli konvergencia is. 6

20 4. fejezet Fourier-sorok 4.. Bevezetés A π x π intervallumban az f(x) függvény sorfejtését fogjuk előállítani. A trigonometrikus sorfejtés a következő formulával kapható meg: a + k a k cos(kx)+b k sin(kx) (4.) Első kérdés mely felmerülhet bennünk, hogy az egyenletben szereplő sor konvergens vagy divergens. Ebben a fejezetben elégséges feltételt adunk arra, hogy mikor lesz véges a sorfejtés, ill. mikor állítja elő az eredeti függvényt a (4.) sor Tétel. Ha f(x) = a + k= a kcos(kx)+b k sin(kx), akkor az a,a k,b k -t az f(x) függvény Fourier-együtthatóinak nevezzük, és a következőképpen számoljuk ki: a = 2π a n = π b n = π π π π π π π f(x)dx (4.2) f(x) cos(nx)dx (4.3) f(x) sin(nx)dx. (4.4) Az így kapott együtthatók persze csak akkor számolhatóak ki ezekkel az integrálokkal, ha a jelet a trigonometrikus rendszer szerint fejtettük sorba a π x π intervallumon. Felmerülhet a kérdés, hogyan nyerjük más origóra szimmetrikus intervallumokra az együtthatókat, ill. ha antiszimmetrikus, miben módosulnak a képletek. 7

21 4..2. Lemma. Tegyük fel, hogy G(x) tetszőleges 2π szerint periodikus függvény. Ekkor tetszőleges valós c számra teljesül, hogy π+c π+c G(x)dx = π π G(x)dx. (4.5) A lemmát használva az G(x) = f(x)cosx és G(x) = f(x)sinx esetére adódik, hogy az (4..) tétel állítása érvényben marad minden 2π hosszúságú intervallumra. Ebből az a sejtésünk, hogy a formulában csak az intervallum hossza változtatja az együtthatók értékét. Legyen a x a. A cosx és a sinx tulajdonságaiból a cos nπx a és sin nπx a függvények periódusa 2a. A [ π,π] intervallumról a [ a,a] intervallumra az t = xπ/a, dt = πdx/a helyettesítéses integrállal a (4..2) formula megfelelő változata nyerhető π G(t)dt = a G( πx 2π π 2a a a )dx. Így a sejtésünket alátámasztó tétel a következő: Tétel. Ha f(x) = a + k= a kcos(kπx/a) +b k sin(kπx/a) a x a, ekkor az f(x) függvény Fourier-együtthatói: a = 2a a n = a b n = a a a a a a a f(x)dx (4.6) f(x) cos(nπx/a)dx (4.7) f(x) sin(nπx/a)dx. (4.8) Az eddigi számolások során nem használtuk ki a szöggfüggvényeink azon tulajdonságát, hogy a sin x páratlan, a cos x páros függvény. Az együtthatók integrállal való számítása során egyszerűsödnek a formulák, mert az integrál előjeles területként számítandó, ezért Lemma. Ha F páros függvény, akkor a Ha F páratlan függvény, akkor a F(x)dx = 2 a a a F(x)dx =. F(x)dx. Következésképpen egy f függvény Fourier-sorát csak sinx és cosx függvény építi fel, attól függően, hogy az f páros vagy páratlan. 8

22 4..5. Tétel. Ha az f(x) függvény páros, akkor a Fourier-sora a [ a,a] intervallumon csak cosx függvényből áll. Tehát f(x) = a + k= a kcos(kπx/a), ahol a = a a k = 2 a a a f(x)dx, (4.9) f(x) cos(kπx/a)dx. (4.) Ha az f(x) függvény páratlan, akkor a Fourier-sora a [ a,a] intervallumon csak sinx függvényből áll. Tehát f(x) = k= b ksin(kπx/a), ahol b k = 2 a a f(x) sin(kπx/a)dx. Legtöbbször a függvények nem szimmetrikus intervallumon értelmezettek, ezért vizsgáljuk meg a[, a] intervallum esetét. Különítsük el a fentebb említettek szerint a függvényt paritása szerint: Az f(x) páros kiterjesztése a [ a,a] intervallumra. Legyen f(x) ha x a f e (x) = f(-x) ha a x < Az f e (x) páros függvény a [ a,a] intervallumon, alkalmazható rá (4..5), ezért f e x = f(x)[,a]-n, és az integrálformula csak az f(x)-t tartalmazza majd, ami kizárólag cosx függvényből fog felépülni: f(x) = a + a k cos(kπx/a) x a ahol a = a a k = 2 a k= a a f(x)dx, (4.) f(x) cos(kπx/a)dx. (4.2) Az f(x) páratlan kiterjesztése a [ a,a] intervallumra. Legyen f(x),ha x a f o (x) = -f(-x),ha a x < Az f o (x) páratlan függvény a [ a,a] intervallumon, az előzőekhez hasonlóan f o x = f(x) [,a]-n, és az integrálformula csak az f(x)-t tartalmazza, ami kizárólag sinx függvényből fog felépülni: f(x) = b k sin(kπx/a) x a k= 9

23 ahol b k = 2 a a f(x) sin(kπx/a)dx Valós és komplex Fourier-sor Definíció. Az f(x) függvény komplex Fourier-sora a π x π intervallumon f(x) = α n e inx ahol α n az ún. komplex Fourier-együttható α n = 2π π n= π f(x)e inx dx. Röviden vizsgáljuk meg mi a kapcsolat a valós és a komplex Fourier-sorok között. Mutassuk meg, hogy a kettő egymásból származtatható. Egyszerűsítésképpen vegyük a x időváltozót a π x π intervallumból, és a komplex sort válasszuk szét pozitív és negatív részekre: f(x) = n= α n e inx +α + α n e inx, (4.3) n= ahol α n = π f(x)e inx dx. 2π π Ha az f valós értékű volt, akkor az α n = α n, mert α n = 2π π π f(x)e inx dx = 2π π π f(x)e inx dx = α n. Ezt felhasználva a (4.) a következő alakot ölti, amelyben csak pozitív tagokra összegzük: ( f(x) = α + α n e inx) ( ) ( + α n e inx = α +2Re α n e inx). (4.4) n= n= Így a komplex α n és a valós a n,b n Fourier együtthatók közötti kapcsolat adódik a (4..) tételből α = π 2π α n = 2π π π π α n = 2 (a n +ib n ). f(x)dx = a f(x)e inx dx = 2π π π n= cosnx isinnxdx = 2 (a n ib n ) Felhasználva az (4.4)-t megkapjuk a f függvény valós trigonometrikus Fourier-sorát ( f(x) = α +2Re α n e inx) ( = α +Re = a + n= a n cos(nx)+b n sin(nx) n= n= ) (a n ib n )(cosnx+isinnx) 2

24 Természetesen hasonlóan megkapható a valós függvénysorokból a komplex függvénysorok származtatása. A továbbiakban egyaránt használni fogom egy függvény valós, ill. komplex sorral történő előállítását Konvergencia tételek Ebben az alfejezetben elégséges feltételt adunk arra, hogy egy f(x) függvény F(x) Fourier-sora a [ π,π] intervallumon mikor állítja elő a függvényt. Legyen F(x) = a + a n cosnx+b n sinnx = a + lim n= N n= N a n cosnx+b n sinnx ahol a,a n,b n jelöli az f Fourier-együtthatóit. Egy függvénysort akkor neveznek pontonként, egyenletesen, L 2 -ben konvergensnek, ha a sor részletösszegeinek sorozata pontonként, egyenletesen ill. L 2 -ben konvergens. Megmutatjuk, hogy ha egy f(x) függvény folytonos és periodikus, akkor az f(x) differenciálhatóságától függően fogja az F(x) formális Fourier-sora előállítani a függvényt. Egy fontos tétel az a k,b k Fourier-együtthatókról Tétel (Riemann-Lebesgue Lemma). Tegyük fel, hogy az f(x) szakaszonként folytonos függvény az a x b intervallumon. Ekkor lim k b a f(x)cos(kx)dx = lim k b a f(x)sin(kx)dx = Fontos következtetése a Riemann-Lebesgue lemmának az, hogy egy pozitív egész küszöbszámtól kezdve végtelen sok együttható lesz nagyon közel a nullához, tulajdonképpen ezen alapszik az adattömörítés folyamata is Pontonkénti konvergencia Tétel. Tegyük fel, hogy f(x) 2π szerint periodikus, folytonos függvény. Ekkor minden x pontban, ahol létezik az f (x), az f(x) = F(x), azaz az F(x) pontonként konvergál az f(x) függvényhez. Bizonyítás. Jelölje S N a részletösszegek sorozatát: N S N (x) = a + a k cos(kx)+b k sin(kx) k= ahol az a,a k,b k az f(x) függvény Fourier együtthatói. Bizonyítandó, hogy S N (x) f(x), ha N. Először S N (x)-t írjuk át másik alakba. 2

25 . A Fourier-együtthatók helyettesítése. Használva az együtthatók kiszámítására vonatkozó (4..) tételt adódik, hogy π S N (x) = f(t)dt 2π π + N ( π π ) f(t) cos(kt) cos(kx)dt + f(t) sin(kt) sin(kx)dt π π π = 2π k= π π [ f(t) +2 ( N k= )] cos(kt) cos(kx) + sin(kt) sin(kx) dt. Felhasználva a cos(x y) = cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y) addíciós összefüggést, S N (x) = π ( f(t) +2 2π π A jobb oldal összeg kiszámításához tekintsük a következő lemmát. 2. A Dirichlet-mag kiszámítása. N k= ) cos(k(t x)) dt. (4.5) Lemma. Tetszőleges u [ π, π] intervallumból teljesül sin((n+/2)u) sin(u/2),ha u +2cos(u)+2cos(2u)+...+2cos(Nu) = 2N +,ha u = Bizonyítás. A komplex exponenciálisra vonatkozó Euler-formulából felhasználva cos(nu) = Re{(e iu ) n } összefüggést ( ) 2 2 +cos(u)+cos(2u)+...+cos(nu) = 2 ( ) 2 ++cos(u)+cos(2u)+...+cos(nu) = +2 N { N cosku = +2Re (e iu ) k}. (4.6) k= A jobb oldalon álló szumma egy geometriai összeg, N k= zk, ahol a z = e iu. A geometriai sor összegképletére vonatkozó ismereteinkből következik, hogy { e i(n+)u} +2cos(u)+2cos(2u)+...+2cos(Nu) = +2Re e iu ha e iu. k= (4.7) A jobb oldalon álló tört számlálóját és nevezőjét e iu/2 -l osztva egyaránt, a következő összefüggést kapjuk { e i(n+)u} { e iu/2 e i(n+/2)u } Re e iu = Re e iu/2 e iu/2 = sin(u/2)+sin((n +/2)u). 2sin(u/2) 22

26 Ebből pedig a következő végeredmény adódik: sin(u/2)+sin((n +/2)u) +2cos(u)+2cos(2u)+...+2cos(Nu) = + sin(u/2) sin((n +/2)u) =. sin(u/2) 3. A Fourier-sor N. részletösszegének kiszámítása. Felhasználva a lemmát az u = t x helyettesítéssel az (4.5) egyenletbe: S N (x) = π = 2π = 2π Az egyszerűsítés végett legyen π π π π π π ( N f(t) 2 + k= ) cos(k(t x)) dt ( sin((n +/2)(t x)) f(t) sin((t x)/2) f(t)d N (t x)dt ) dt D N (u) = sin((n +/2)u) sin(u/2) (4.8) az ún. Dirichlet-mag. A korábbi integrálformulában az u = t x változócserét alkalmazva S N (x) = π x f(u+x)d N (u)du = π f(u+x)d N (u)du. (4.9) 2π π x 2π π Mivel az f és D N függvények periódusa 2π, a (4..2) lemma alkalmazásával kapjuk az utolsó egyenlőséget. 4. A Dirichlet-mag integrálja Lemma. π D N (u)du = 2π π Bizonyítás. Használva a (4.3.3) állítását D N (u) = sin((n +/2)u) sin(u/2) = +2cos(u)+2cos(2u)+...+2cos(Nu)). Integrálva az egyenletet π D N (u)du = π 2π π 2π π du }{{} =2π + 2 π 2π cos(u)+cos(2u)+...+cos(nu)du. π } {{ } = 23

27 5. Utolsó lépés. Vegyünk az S N (x) (4.9)-beli előállítását, és megmutatjuk, hogy S N (x) = π f(u+x)d N (u)du f(x). (4.2) 2π π Használva a (4.3.4) lemmát felírható f(x) = π 2π π f(x)d N(u)du-ként és π ( ) f(u+x) f(x) D N (u)du,ahol N. 2π π A (4.8) segítségével a fenti határérték továbbírható: π 2π π ( f(u+x) f(x) sin(u/2) ) sin((n +/2)u)du. (4.2) Ahhoz, hogy alkalmazhassuk a Riemann-Lebesgue lemmát, szükséges feltétel, hogy az integrálandó függvény folytonos legyen ill. az argumentumban az u egész számmal legyen megszorozva. Ezért használjuk fel a sin(α + β) = sin(n u) cos(u/2) + cos(n u) sin(u/2) addíciós képletet. π [ f(u+x) f(x) 2π π sin(u/2) + 2π π π [ f(u+x) f(x) ] cos(u/2) sin(n u)du (4.22) ] cos(n u)du. (4.23) A (4.23)-ban a [f(u+x) f(x)] folytonos, tehát alkalmazható a Riemann-Lebesgue lemma. A (4.22) egyenletben a cos(u/2) folytonos függvénnyel való szorzás nem változtat a tört határértékén, ezért elég a törtet vizsgálni. g(u) := f(u+x) f(x) sin(u/2) A g(u) az u változó függvényeként folytonos a [ π,π] intervallumon az u = kivételével.a tételünk feltevése szerint f f(u+x) f(x) (x) = lim u u. Ha a g függvénynek a helyen megszüntethető szakadása van, ha a következőképpen definiáljuk: f(u+x) f(x) f(u+x) f(x) u/2 lim g(u) = lim = lim 2 u u sin(u/2) u u sin(u/2) }{{ = } = f (x) 2 = 2f (x). Ezzel az értékeadással az g(u) folytonos függvény, alkalmazható rá a Riemann-Lebesgue lemma, ezért állításunkat bizonyítottuk. Megjegyzés: lényeges, hogy a deriváltak létezzenek, kevés a konvergenciához feltenni azt, hogy a függvény folytonos és periodikus. 24

28 Tétel (DuBois-Reymond). Létezik f(x) folytonos, 2π szerint periodikus függvény, melynek a Fourier-sora divergál az x = helyen. Másképpen: lim N S N () nem létezik Definíció. Az f(x) függvény jobb- és baloldali határértéke legyen a következőképpen definiálva. A baloldali határérték: A jobboldali határérték f(x ) = lim h +f(x h) f(x+) = lim h +f(x+h) Az f(x) függvény balról differenciálható, ha létezik a határérték. f (x ) = lim h f(x+h) f(x) h Az f(x) függvény jobbról differenciálható, ha létezik a határérték. f (x+) = lim h + f(x+h) f(x) h Az előállításról szóló (4.3.2) tétel megköveteli a függvény folytonosságát és periodikusságát, ami sok esetben nem teljesül. Ekkor mi a teendő? A periodikusság problémája könnyen áthidalható, mert tetszőleges függvénynek vehető periodikus kiterjesztése a számegyenesen. Viszont a folytonosság nem korrigálható ilyen módon. A következő tétel állítása megmutatja, hogy a szakadási helyeken mennyire közelíti jól a nem folytonos függvényt a Fouriersora Tétel. Legyen f(x) szakaszonként folytonos, periodikus függvény. Legyen az x egy ugráshely. Tegyük fel, hogy léteznek a pontban az egyoldali deriváltak. Ekkor az f Fourier sora konvergál az x helyen a következő számtani középhez: f(x+)+f(x ) 2 Bizonyítás. Hasonlóképpen történik az (4.3.2) tételhez, azonban a 4. pontban a Fourier-magra vonatkozó integrált bontsuk két egyenlő részre: 25

29 4 π D N (u)du = N (u)du = 2π 2π πd 2 Ez azért tehető meg, mert D N (u) páros függvény, ezért szimmetrikus félintervallumokra vett területe egyenlő. 5 Ebben azt kell bebizonyítanunk, hogy π 2π π f(u+x)d N (u)du f(x+)+f(x ), ahol N (4.24) 2 Az előző egyenletet is bontsuk két részre π f(u+x)d N (u)du f(x+) 2π 2 f(u+x)d N (u)du f(x ) 2π π 2 Az 4. pontot felhasználva, a határérték átrendezéséből nyerjük π ( ) f(u+x) f(x+) D N (u)du 2π (4.25) ( ) f(u+x) f(x ) D N (u)du. 2π π (4.26) Felhasználva a (4.8) P N -re vonatkozó összefüggést π 2π ( f(x+u) f(x+) sin(u/2) ) sin((n +/2)u)du. A tétel feltevése szerint a bal- és jobboldali deriváltak léteznek az x-ben. Ezért hasonlóan eljárva, az f(x+u) f(x+) sin(u/2) jobbról folytonos, a f(x+u) f(x ) sin(u/2) balról folytonos és ebből kapjuk a jobb- és baloldali kiterjesztést, melyre a Riemann-Lebesgue lemmát alkalmazva nyerjük a tételünk állítását Egyenletes konvergencia Azt mondjuk, hogy az f(x) Fourier sora egyenletesen konvergál az f(x) függvényhez, ha a részletösszegek sorozatára teljesül, hogy N S N (x) = a + a k cos(kx)+b k sin(kx) f(x) egyenletesen, ha N k= ahol a,a k,b k a Fourier együtthatók Következmény. Egy folytonosan differenciálható, 2π periódusú f(x) függvényhez a Fourier sora egyenletesen konvergál a [ π,π] intervallumon. 26

30 Vegyünk a (4.3.7) tétel szerint egy szakaszonként folytonosan deriválható, 2π szerint periodikus függvényt, a g(x)-t. Legyen a g(x) egyik szakadási helye az x k, és itt az ugrás mértéke a. Ekkor képezve a g(x k ) a(χ [xk,]) különbséget, folytonosan differenciálható függvényt kapunk. A tétel 2π periódusú függvényekről szól, de a π, ahogy korábban is láttuk, helyettesíthető tetszőleges a számmal. Fontos megjegyezni az egyenletes konvergencia azon tulajdonságát, hogy megőrzi a folytonosságot. A következő lemma egy elégséges feltételt ad egyenletes és abszolút konvergenciára Lemma. Tegyük fel, hogy teljesül f(x) = a + a k cos(kx)+b k sin(kx) a k= a k + b k < k= feltétellel. Ekkor a Fourier-sora egyenletesen és abszolút konvergál az f(x) függvényhez. 95-ben egy fiatal magyar matematikus, Fejér Lipót, bebizonyított egy a folytonos függvények konvergenciájára vonatkozó tételt. Az ő ötlete azon alapult, hogy ne a részletösszegek sorozatát vegyük alapul, hanem azok számtani közepét, és ezzel próbáljuk előállítani a keresett jelet. A "Fejér-közepek" legyenek: ahol S N jelöli az N. részletösszeget: σ N (x) := N + S N (x) = és α k a k. komplex Fourier együttható Lemma (Fejér-mag). N S k (x), (4.27) k= N k= N α k e inx (i) Ha f : [ π,π] C folytonos függvény, akkor a Fejér-közepek felírhatók az ún. Fejérmag integrálásával: ahol a Fejér-mag: ill. a Dirichlet-mag általános alakja: σ N (t) = π K N (t x)f(x)dx 2π π K N (x) := N + D k (x) = k m= k N D k (x) (4.28) k= e imx. 27

31 (ii) További számolásból kapható: K N (t) = N+ ( ) sin((n+)t/2) 2 sin(t/2) ha t N + ha t = (iii) A Fejér-mag intergálja : π K N (x)dx =. 2π π (iv) A Fejér-mag nemnegatív: K N (t) tetszőleges t esetén (v) Tetszőleges η > -re: K N (t) egyenletesen t re : η t π ésn Bizonyítás: (i) Az N. részletösszegnek a pontonkénti konvergencia bizonyításából felhasználva a Dirichlet-maggal történő előllítását: kapható: σ N (x) = N + = π 2π = 2π π π π S N (x) = π f(x t)d N (t)dt 2π π N k= S k (x) = N + [ f(x t) N + f(x t)k N (t)dt N k= [ π ] f(x t)d k (t)dt 2π π N ] D k (t) dt Ezzel megkaptuk a részletösszegek Fejér-maggal való kiszámítását. k= (ii) Ismét használjuk a Dirichlet-magra ismertetett képletet: N N D N (x) = e ikx = +2 cos(kx) = k= N k= sin[(n +/2)x]. sin(x/2) 28

32 Helyettesítsük be a Fejér-mag (4.3.) formulájába a fentebbit: (N +)K N (x) = N D k (x) = k= N k= [ N = sin(x/2) Im k= sin[(n +/2)x] sin(x/2) e i(k+/2)x] [ = sin(x/2) Im e ix/2ei(n+)x ] e ix [ e i(n+)x = sin(x/2) Im ] e ix/2 e ix/2 cos[(n +)x] = 2sin 2 (x/2) = sin2 [(N +)x/2] sin 2. [x/2] (iii) Most azt kell bebizonyítani, hogy a Fejér-mag integrálja. Helyettesítsük be a Dirichlet és a Fejér-mag közötti összefüggésbe a Dirichlet-mag exponenciális függvénnyel történő megadását: K N (x) = N + N k k=m= k e imx. Integráljuk, majd cseréljük fel az integrálás és az összegzés sorrendjét (megtehető, mert véges sok tag van): π K N (x)dx = π [ 2π π 2π π N + Mivel ezért = N + N π e imx dx = 2π π k k=m= k π K N (x)dx = 2π π N + (iv) A négyzetes előállításból adódóan trivilitás. N k k=m= k π [ 2π,ha m,ha m = π N =. k= e imx] dx ] e imx dx. (v) Rögzítsünk le egy η > -t. Tetszőleges η t π a Fejér-magban szereplő törtre felső becslés adható, mivel a maximuma -nek η-ban vétetik fel sin 2 (x/2) Ezért igaz a következő állítás K N (x) N + sin 2 x/2 sin 2 η/2. sin 2 η/2 η x π 29

33 ábra. A sin 2 (x/2) függvény grafikonja mely bizonyítja az egyenletes konvergenciát a -hoz, ha N. A Fejér-mag ezen tulajdonságaiból adható felső becslés arra, hogy a Fejér-közepek mennyire közelítik jól az f függvényt Tétel. Ha f : [ π,π] C folytonos, akkor σ N (t) f(t) t [ π,π] ha N. Bizonyítás. Legyen < η < π és σ N (t) f(t) 2π π π K N (t x)f(x)dx f(t) mivel a Fejér-mag integrálja, ezért = π K N (x)f(t x)dx π f(t)k N (x)dx 2π π 2π. π Kiemelés után: = 2π π π ( ) (K N (x) f(t x) f(t) dx figyelembe véve, hogy a Fejér-mag nemnegatív értékű ill. az intergál abszolútértékére ismert felsőbecslésből, adódik π K N (x) f(t x) f(t) dx 2π π 3

34 η értékétől függően bontsuk ketté az integrált = K N (x) f(t x)dx f(t) dx 2π x η + K N (x) f(t x) f(t) dx 2π x >η sup x η f(t x) f(t) K N (x)dx 2π x η +sup x η K N (x) f(t x) f(t) dx 2π x >η A K N (x)dx π K N (x)dx = és f 2π x η 2π L c f π becsléseket használva juthatunk el a kívánt állításhoz: sup x η f(t x) f(t) +2 f sup x η K N (x). Ezzel megkaptuk, hogy a Fejér-közepek pontonként konvergálnak az f(t) függvényhez. A (4.3.) tételből további meggondolással megkapható a folytonos függvényekre legerősebb, egyenletes konvergenciáról szóló tétel: Tétel. Ha f : [ π, π] C folytonos, akkor σ N (x) f(x) han Bizonyítás. Az integrál tulajdonságából: σ N (x) f(x) 2π π π f(x t) f(x) K N (t)dt. Mivel folytonos függvény kompakt halmazon egyenletesen folytonos, ezért adott ǫ > δ >, hogy ha x y δ akkor f(x) f(y) ǫ. Bontsuk ketté az előbbi integrált δ szerint: σ N (x) f(x) = ( ) f(x t) f(x) K N (t)dt 2π t δ ( ) + f(x t) f(x) K N (t)dt. δ t π Mivel az f egyenletesen folytonos, ezért ǫk N (t)dt 2π 2π ǫ t δ π π K N (t)dt = ǫ. Legyen M := sup π t π f(t). A második integrálra a következő becslés teljesül: N (t)dt = 2π δ t π2mk M K N (t)dt. π δ t π 3

35 A (4.3.) lemma utolsó állításának következménye: fix η > esetén, lim N η t π K N (t)dt =. Ezért N N, n N: η t π K N(t)dt < ǫ. Következésképpen n N : σ N (x) f(x) ǫ+ǫ = 2ǫ L 2 -beli konvergencia Az előző fejezetben megnéztük, hogyan tart a függvényhez az ő Fourier sora a függvény folytonosságától függően. De mit tudunk abban az esetben mondani, amikor nincs egyenletes, ill. pontonként konvergencia? Mivel van náluk "gyengébb" konvergencia típus, ezért sejtésünk az lehet, hogy talán L 2 -beli értelemben jól approximálhatjuk a jelet. Funkionálanalízisbeli ismeretek alapján az L 2 végtelen dimenziós tér bázisát alkotja az,sinx és a cosx függvények: V N := {,cos(kx),sin(kx),k =,...,N}. Ezért a tér egy tetszőleges eleme előállítható a báziselemek lináris kombinációjaként N c + c k cos(kx)+d k sin(kx) k= ahol c k,d k komplex számok. Tegyük fel, hogy f L 2 [ π,π]. Vegyük V N azon elemeit: N f N (x) = a + a k cos(kx)+b k sin(kx) k= ahol a k,b k a Fourier-együtthatók a (4..) tétel alapján. Az a kérdésünk, hogy melyik L 2 - beli elemmel közelíthetjük legjobban az f(x) függvényt? Tulajdonképpen az a k,b k együtthatók felfoghatóak úgy is, mint a cos(kx), sin(kx) által kifeszített alterekre vett ortogonális projekciója az f(x) függvénynek, tehát f N a legjobban közelítő függvény az L 2 -beli értelemben Lemma. Legyen f V = L 2 [ π,π]. Legyen V N = {,cos(kx),sin(kx), k N} által kifeszített lineáris tér. Legyen N f N (x) = a + a k cos(kx)+b k sin(kx) k= ahol a k,b k az f Fourier-együtthatói. Ekkor f N a V N térbőé az f-t legjobban megközelítő függvény az L 2 -normában f f N L 2 = min g VN f g L 2 32

36 Tétel. Tegyük fel, hogy f L 2 ([ π,π]). Legyen N f N (x) = a + a k cos(kx)+b k sin(kx) k= ahol a k,b k az f Fourier együtthatói. Ekkor f N konvergál f-hez L 2 ([ π,π])-ben, azaz f N f 2 L,haN Ez teljesül a komplex trigonometrikus Fourier sorokra is Tétel. Tételezzük fel, hogy f L 2 ([ π,π]) a következő komplex Fourier-együtthatókkal Ekkor a részletösszegek sorozata α n = π f(x)e inx dx n Z. 2π π f N (x) = N k= N konvergál az f-hez L 2 ([ π,π])-ben, ha N. α k e ikx 33

37 5. fejezet Egy dimenziós alkalmazás 5.. A trigonometrikus rendszer A Fourier-sorok számítása során leggyakrabban a trigonometrikus rendszer (e it ) segítségével számítjuk ki a Fourier-együtthatókat. A rendszer legfontosabb tulajdonságait az első fejezetben taglaltuk A Haar-rendszer Ebben a fejezetben mutatunk a [, ] intervallumon egy ortogonális rendszert, amit Haar-rendszernek hívnak. A Haar-bázis a legegyszerűbb és a legelső ortonormált wavelet bázis. A számegyenes diadikus intervallumainak nevezzük a [, ) állandó felezéséből kapott intervallumokat, tehát I m,k := [2 m k,2 m (k +)], ahol m Z + és k < 2 m. Néhány tulajdonságuk: Minden I m,k a [,) részintervalluma. Hosszuk I m,k = 2 m. Tetszőleges természetes n számnak egyértelműen megfeleltethető egy (m,k) számpár, m Z +, és k < 2 m a következőképpen: n = 2 m +k. Minden m számra az {I m,k } 2m k= halmaz a [, ) intervallum partíciója, azaz diszjunktak és együttesen lefedik a [,)-t. 34

38 5.2.. Definíció. A [, ] intervallum Haar-rendszere legyen a következőképpen meghatározva: n N, n := 2 m +k, ahol m N, k < 2 m. h :=. 2 m/2,ha k 2 x < k+/2 m 2 m h n (x) = 2 m/2,ha k+/2 2 x < k+ m 2 m,különben A természetes számok és a diadikus intervallumok között bijekció létesíthető, ezért minden I m,k diadikus intervallumhoz egy h n Haar-függvény tartozik és fordítva (n = 2 m +k). Az első nyolc Haar-függvényről grafikon található a függelékben. Fourier-sorok generálása A 3. fejezet végén levő állításaink szerint az L 2 térben az f(x)-t legjobban approximáló függvénysorozat a V N altérből való. Általánosítható-e megállapítás trigonometrikus rendszer helyett más ortonormált bázis által vett generált altérre? Definíció. Legyen f(x) L 2 (I) függvény és {g n (x)} az I intervallumon értelmezett ortonormált rendszer. Az f(x) generált Fourier-együtthatói legyenek a {g n (x)} rendszerre nézve a következők: c(n) = I f(x)g n (x)dx = f,g n L 2. Ekkor az f(x) generált Fourier-sora a {g n (x)} rendszerre nézve: f(x) n N f,g n g n (x). (5.) A következő tétel arra adja meg a választ, hogy mikor állítja elő a függvényt az előbbi sorösszeg Tétel. Legyen f(x) L 2 (I), {g n (x)} teljes ortonormált rendszer L 2 (I)-ben. Ekkor a (5.) L 2 -ben konvergens és f(x) = n N f,g n g n (x). A továbbiakban fontos szerepet fog betölteni az alkalmazások során, hogy a trigonometrikus és a Haar-rendszer teljes a [, ] intervallumon. A következő szakaszokban a 3. fejezetben tárgyalt konvergenciatételekre mutatunk függvényeket, amiket közelítünk trigonometrikus ill. Haar-rendszerrel is egyaránt. A [,) intervallumot tekintettem a karakterisztikus és a polinomfüggvényem értelmezési tartományaként. 35

39 5.3. Három tesztfüggvény trigonometrikus Fourier-sorfejtése Az [/2,] karakterisztikus függvénye Első "tesztfüggvényként" vettem az [ 2,] intervallum karakterisztikus függvényét, azaz A Fourier-együtthatók: α = α n =,ha 2 χ [/2,] (x) = x,ha x < 2 χ [/2,] (x)dx = = /2dx 2 [ e χ [/2,] (x)e 2πinx dx = e 2πinx 2πinx dx = 2πin /2 ] /2 = ( )k 2πin ábra. Az [/2,] karakterisztikus függvénye és 7 darab Fourier-együtthatója A komplex Fourier-együttható csak abban az esetben vesz fel nem nulla értéket, ha páratlan indexeket tekintjük α n =,ha n = 2k πin,ha n = 2k + 36

40 A trigonometrikus Fourier-sorfejtés a következő alakban írható: χ [/2,] (x) = 2 + k= = 2 + k= = 2 + k= = 2 + k= πi(2k +) e2πi(2k+)x πi(2k +) e2πi(2k+)x + πi(2k +) (e2πi(2k+)x e 2πi(2k+)x ) }{{} 2i sin(2π(2k+)x) 2 π(2k +) x πi(2k +) e2πi(2k+)x.5 n=4.5 n= n=32.5 n= ábra. Az [/2,] karakterisztikus függvényének n. trigonometrikus részletösszege Az [/3,] karakterisztikus függvénye Második "tesztfüggvényem" szintén a karakterisztikus függvény, ami az 3 helyen ugrik.,ha 3 χ [/3,] (x) = x,ha x < 3 37