Függvéygörbe alatt terület a határozott tegrál Tektsük az üggvéyt a ; tervallumo. Adjuk becslést a görbe az tegely és az egyees között síkdom területére! Jelöljük ezt a területet I-vel! A becslést legegyszerűbbe egy téglalapokból álló síkdom segítségével végezhetjük el. Osszuk el az tervallumot részre az potokkal. (Két osztópot között a távolság: / ) Számítsuk k az résztervallumok elett olya téglalapok területét amkek magassága a üggvéy értéke a résztervallumok bal végpotjába. Az -edk téglalap területe:. Adjuk össze ezeket a területeket! Az alább összeget kapjuk: s A kapott közelítő összeg ylvávalóa ksebb mt I azaz I s. Összegezzük most a et résztervallumok elett olya téglalapok területét amelyekek magassága a üggvéy értéke a résztervallum jobboldal végpotjába. Végeredméybe az alább összeget kapjuk: s. Ez az összeg elülről közelít I-t tehát s I. Haszáljuk az első égyzetszám összegére voatkozó képletet akkor a következőt kapjuk: 6 s és 6 s
Fomítsuk a elosztást! M törték eseté? lm s lm 6 6 (mvel ) hasolóképpe lm s. Azt kaptuk hogy az I-re voatkozó alsó becslések és első becslések sorozata egyarát egy véges számhoz -hoz tartaak ezért ezt a számot elogadhatjuk a terület mérőszámáak. Ezt a számot az üggvéy ; tervallumo vett határozott tegráljáak evezzük és így jelöljük: I d. A példába látott módo deáljuk egy tetszőleges üggvéyek egy adott a b tervallumo vett határozott tegrálját (azzal a külöbséggel hogy az egyes "ks" téglalapok magassága em az tervallum bal vagy jobb végpotjába haem valahol az tervallum belsejébe vett üggvéyérték). Egyszerűbb esetekbe a határozott tegrál az üggvéy az prmtív üggvéye segítségével a Newto-Lebz ormulával egyszerűe kszámolható: b a d Fb Fa Mvel az üggvéy prmtív üggvéye így d amely megegyezk korább eredméyükkel. Boyolult üggvéyek eseté vagy olya esetekbe amkor a prmtív üggvéy em létezk a határozott tegrál kszámítása téylegese s a etekhez hasoló közelítő összegek segítségével törték. A számítógépek elterjedése és az alkalmazott umerkus módszerek lehetővé teszk hogy az tegrálokat akár tetszőleges előre megadott potossággal kszámolhassuk.
A határozott tegrál ogalma Legye az a b tervallumo olytoos és em egatív üggvéy. Ekkor a Descartes-éle koordáta redszerbe az y egyeletű görbe az a b tervallum valamt az a és b egyeletű egyeesek által határolt síkdomot görbevoalú trapézak evezzük. Legye b a tervallumot az potokkal (em eltétleül egyelő) részre ahol a b Az tervallumok halmazát az a b tervallum elosztásáak evezzük az potok a elosztás osztópotja. A elosztást -omságúak modjuk ha ma. A bevezető példába a ; tervallumot egyelő részre osztottuk ezért a elosztás omsága / volt. Az osztópotok számát öveltük egyre ksebb lett sőt ha. a és osszuk el az b Legye a b tervallum elosztásaak egy sorozata és a elosztás omsága. Ha lm akkor azt modjuk hogy az a b tervallum elosztásaak sorozata mde határo túl omodk. az Legye az a b tervallum egy elosztása az a b osztópotokkal. Mde résztervallumo válasszuk egy potot (8.. ábra) és a résztervallumok ölé rajzoljuk olya téglalapokat amelyek magassága redre. Ekkor a görbevoalú trapézt közelítőleg leedő téglalapok területösszege
I alakba írható el. y=() Rema-éle közelítő összeg Legye az a b tervallumo értelmezett korlátos üggvéy. Ha az a b tervallum egy elosztása az.. osztópotokkal és tetszés szert valós számok akkor az I összeget az üggvéyhez a elosztáshoz és az.. választott helyekhez tartozó Rema-éle tegrálközelítő összegek evezzük. Előordulhat (ez az üggvéytől ügg) hogy a elosztás mde határo túl való omodása eseté az I összeg kovergál. Legye az a b tervallumo értelmezett korlátos üggvéy. Akkor modjuk hogy az a b tervallumo tegrálható és határozott tegrálja I ha az a b tervallum tetszés szert mde határo túl omodó elosztásához tartozó közelítő összegek bármely I sorozata I- hez kovergál. 4
Az üggvéy a b tervallumo vett határozott tegrálját a következőképpe jelöljük: b a (így olvassuk: "tegrál a-tól b-g e ksz dé ksz"). Az a: az tegrál alsó határa; b: az tegrál első határa. Ezt az tegrált Rema-éle tegrálak evezzük. Tektettel arra hogy később csupá ezzel az tegrállal oglalkozuk a "Rema-éle" jelzőt legtöbbször elhagyjuk. d