Játékszabályok. a keresett valószín ség:

Játékszabályok Az óráko részt kell vei, maximum -szor lehet hiáyozi. Aki többször hiáyzik, em kap gyakjegyet. + x potot lehet szerezi a félév sorá: pot:. ZH a félév közepé pot:. ZH a félév végé x pot: szorgalmi feladatokkal Midkét ZH- miimálisa teljesítei kell a %-ot, azaz a potot. Ha egy ZH sikertele, em írod meg, vagy javítai szeretél, akkor vizsgaid szak els heté lesz lehet ség a pótzh megírására vagy a javításra. Csak az egyik ZH ayagából javíthatsz, és a jobbik eredméyt veszem gyelembe, azaz em lehet rotai. Két sikertele vagy meg em írt ZH eseté gyakuv-t írsz, és maximum kettest kaphatsz. A ZH-ko a kiosztott táblázatoko kívül haszáli lehet egy A4-es lapra (akár midkét oldalára KÉZZEL írott "puskát". - 4,99-49,99 Osztályozás: - 4,99 4-79,99 8 - Ifók a gyakvezet r l Név Varga László Taszék Valószí ségelméleti és Statisztika Taszék (ELTE-TTK Szoba D -9 E-mail vargal4@chello.hu Holap www.cs.elte.hu/~vargal4 Ajálott irodalom Dekiger Géza: Valószí ségszámítási gyakorlatok (a valószí ségszámítás részhez Móri-Szeidl-Zempléi: Matematikai statisztika példatár (a statisztika részhez. Mi a valószí sége, hogy egy véletleszer e kiválasztott jegy szám jegyei mid külöböz ek? Összes lehet ség: 9 ; jó esetek száma: 9 9 8 7. Így 9 8 7 a keresett valószí ség:, %.. Háyféleképpe lehet 8 bástyát letei egy sakktáblára, hogy e üssék egymást? 8!, mert az els sorba 8 helyre kerülhet bástya, ezutá a másodikba már csak 7 helyre stb.. számozott érmével dobuk, majd még ayi érmével, aháy fejet az els két érmével kaptuk. Mik leszek az eseméytér elemei? Jelölje I azt, hogy írást dobtuk, F pedig a fejdobást. Ω {II, F II, F IF, IF I, IF F, F F II, F F IF, F F F I, F F F F } 4. Legye A,B,C három eseméy. Írjuk fel aak az eseméyek a valószí ségét, hogy közülük a. potosa k b. legfeljebb k eseméy következik be (k,,. a. P(potosa következik bep ((A B C (A B C (A B C P(potosa következik bep ((A B C (A B C (A B C P(potosa következik bep (A B C b. P(legfeljebb következik bep(potosa vagy potosa P(A B C+P(potosa P(legfeljebb következik bep(potosa vagy potosa vagy potosa P(legfeljebb következik be. Mitavétel: Adott N külöböz termék, amik között va M selejtes. Veszük elem mitát a. visszatevés élkül; b. visszatevéssel. Meyi a valószí sége, hogy az termékb l potosa k selejtest sikerült kiválasztauk, ameyibe számít a kihúzás sorredje? a. ( k M! (M k! (N M! (N M ( k! N! (N! (M k ( N M ( N ; k ( M N k k, ahol M N b. ( km k (N M k N ( ( M k N a selejtaráy, ez helyett általába p-t íruk.. Ha egy magyarkártya-csomagból visszatevés élkül húzuk lapot, akkor mi aak a valószí sége, hogy a. potosa b. legalább egy piros szí lapot húzuk? És mi a helyzet visszatevéses

esetbe? Oldjuk meg az el z feladat alapjá: N (összes lap, M8 (pirosak,. visszatevés élkül a. (8 ( 4 ( b. P(legalább piros-p( piros (8 ( 4 ( visszatevéssel a. a selejtaráy8//4, így a keresett vsz.: ( ( ( 4 4 b. (. 4 7. dobozba helyezük el darab azoos golyót úgy, hogy bármeyi golyó kerülhet az egyes dobozokba. a. Mi a valószí sége, hogy mide urába kerül golyó? b. Mi a valószí sége, hogy potosa egy doboz marad ürese? a. Ismétléses kombiációk va, mert egy dobozba többször is kerülhet ugyaaz a golyó, viszot a sorred em számít. Összes eset így: ( ; jó esetek száma:. b. Összes eset ugyaayi, jó esetek száma: (, mert el ször - féleképpe lehet kiválasztai azt az urát, ami ürese marad, és - féleképpe lehet a maradékból kiválasztai azt, amelyikbe golyó kerül. 8. Aritmethiába az autók redszámai hatjegy számok és 999999 között. Mi a valószí sége, hogy va a jegyek között? P(va a jegyek között-p(ics köztük 9, 9 9. Lottóhúzás sorá (-ös lottó a. milye eséllyel lesz két találatom? b. milye eséllyel lesz legalább két találatom? A feladat kezelhet mitavételkét: N9, M,. a. ( ( 8 ( 9 ( b. k( k 8 k ( 9 SZ. Meyi aak a valószí sége, hogy a keóhúzás sorá (8-ból kihúzása legalább kétszer több a páros, mit a páratla? ( pot SZ. Mutasd meg, hogy ameyibe A,..., A tetsz leges eseméyek, akkor P ( A i P (A i +. ( pot i i Meyi az, a és számjegyekkel felírható ötjegy számok összege? ( pot SZ. SZ4. Egy zsákba pár cip va. 4 db-ot kiválasztva mi a valószí sége, hogy va közöttük pár, ha a. egyformák b. külöböz ek a párok? (+ pot. Meyi a valószí sége, hogy két kockadobásál mid a két dobás -os, azzal a feltétellel, hogy legalább az egyik dobás -os? A feltétel gyelembe vételével oljuk meg: legalább az egyik -os összes eset:,,,,,,4,4,,, darab jó esetek: darab így a keresett valószí ség.. Három külöböz kockával dobuk. Mekkora a valószí sége, hogy az egyik kockával -ost dobuk, feltéve, hogy a dobott számok összege? Legye A: egyikkel -ost dobuk; B: az összeg. Írjuk össze az összes lehetséges esetet, amikor kockadobás eredméyéek az összege : felbotása Esetek száma Va-e -os ++! ige +4+! ige! ++! ige! ++! em +4+! em 4+4+4 em Összese Tehát a jó esetek száma: ++, az összes eset száma pedig, így a keresett P(A B valószí ség,.. Egy érmével ayiszor dobuk, mit ameyi egy szabályos kockadobás eredméye. Mi a valószí sége, hogy em kapuk fejet? Legye A: em kapuk fejet; B i : i-t dobuk a kockával (i,...,. Ekkor B,..., B teljes eseméyredszert alkotak, P (B i /. P (A B i P(i darab érmedobásból em kaptuk fejet ( i Alkalmazzuk a teljes valószí ség tételét:

P (A P (A B j P (B j ( j ( + 4 +... + 4. j j. Meyi aak a valószí sége, hogy kockával kétszer dobva, midkét esetbe ugyaazt az eredméyt kapjuk, ha a. a kockák megkülöböztethet ek? b. a kockák em külöböztethet ek meg? a. Legye B ijk : az els dobás eredméye ijk (i,j,k,...; A: a második dobás eredméye megegyezik az els ével. P(B ijk P(A B ijk Alkalmazzuk a teljes valószí ség tételét: P (A P (A B ijk P (B ijk. i,j,k i,j,k b. Legye B : az els dobás eredméye: midhárom külöböz (pl. ; B : az els dobás eredméye: kett külöböz (pl. ; B : az els dobás eredméye: midhárom ugyaaz (pl. ; A: a második dobás eredméye megegyezik az els ével. P(B (! P(A B P(B ( 9 P(A B P(B ( P(A B Alkalmazzuk a teljes valószí ség tételét: P (A j P (A B j P (B j + 9 +. 4. érme közül az egyik hamis (eek midkét oldalá fej va. Egy érmét kiválasztva és azzal -szer dobva, fejet kaptuk. Eze feltétellel mi a valószí sége, hogy a hamis érmével dobtuk? Legye A: dobásból fej; B : jó érmével dobtuk; B : hamis érmével dobtuk. P(B 99 P(A B ( ( ( P(B P(A B Alkalmazzuk a Bayes-tételt: P (B A P (A B P (B P (A B P (B +P (A B P (B 4 99 +. Egy diák a vizsgá p valószí séggel tudja a helyes választ. Ameyibe em tudja, akkor tippel, és / a jó válasz esélye. Feltesszük, hogy a diák tudása biztos (azaz ha tudja a választ, akkor az jó is. Határozd meg p értékét, ha / aak a valószí sége, hogy ameyibe helyese válaszolt, tudta is a helyes választ! Legye A: helyese válaszolt; B : tudta a választ; B : em tudta a választ. P(B p P(A B P(B p P(A B Alkalmazzuk a Bayes-tételt: P (B P (A B A P (B P (A B P (B +P (A B P (B p p p+ ( p p+ Ezt átredezve, p.. Vádorlásai közbe Odüsszeusz egy hármas útelágazáshoz ér. Az egyik út Athébe, a másik Spártába, a harmadik Mükéébe vezet. Az athéiek keresked épség, szeretik ámítai a látogatókat, csak mide. alkalommal modaak igazat. A mükééiek egy fokkal jobbak: k csak mide második alkalommal hazudak. A szigorú spártai eveltetések köszöhet e a spártaiak becsületesek, k midig igazat modaak. Odüsszeuszak fogalma sics, melyik út merre vezet, így feldob egy kockát, egyel esélyt adva midegyik útak. Megérkezve a városba, megkérdez egy embert, meyi, mire közlik vele, hogy 4. Mi a valószí sége, hogy Odüsszeusz Athéba jutott? Legye A: igazat modaak; B : Athéba jutott; B : Spártába jutott; B : Mükéébe jutott. P(B P(A B P(B P(A B P(B P(A B Alkalmazzuk a Bayes-tételt: P (A B P (B A P (B P (A B P (B +P (A B P (B +P (A B P (B + +. 7. Milye >-re lesz függetle a. az a két eseméy, hogy A: érmedobásból va fej és írás is, valamit B: legfeljebb egy írás va. b. az a két eseméy, hogy A: érmedobásból va fej és írás is, valamit B: az els dobás fej. a. P(AP(va fej és írás is-p(csak az egyik va-p(csak fej va P(BP(legfeljebb írás vap(potosa írás va+p(potosa írás va + ( ( ( + P(A BP(potosa írás va

-re megoldadó a P(A BP(AP(B egyelet, amib l + lesz. Köye látható, hogy az egyel ség csak eseté lesz igaz. b. P(A P(BP(az els fej P(A BP(az els fej, a többibe va írás függetleek P(az els fejp(a többibe va írás ( P (( fej ( -re megoldadó a P(A BP(AP(B egyelet, amib l ( ( lesz, ez pedig azoosság mide >-re függetleek. 8. Osztozkodási probléma: hogya osztozzo a téte két játékos, ha : állásál félbeszakadt a 4 gy zelemig tartó mérk zésük? (Tfh. az egyes játékok egymástól függetleek, bármelyikük / valószí séggel yerhet az egyes játékokál. A játék meetét gráal is lehet ábrázoli. Piros jelöli azt az állást, amikor az els játékos yer, és zöld, amikor a második. Akkor osztozkodak "igazságosa", ha a tét ayiad részét kapja az adott játékos, ameyi a yerési esélye. : 4 : : 4 : : : 4 : : : : : : 4 : : 4 4 : : 4 4 : : 4 Mivel az egyes mérk zéseket egymástól függetleül játsszák le, ezért P(a második játékos yer 8 +. Tehát úgy ossza fel a két játékos a tétet, hogy az els játékos kapja a tét részét, a második pedig a tét részét. 9. Adjuk meg aak a valószí ségi változóak az eloszlását, ami egy hatgyermekes családba a úk számát adja meg. Tegyük fel, hogy midig - a úk, ill. a láyok születési valószí sége, és az egyes születések függetleek egymástól. : 4 Legye X: úk száma. A feladat visszatevéses mitavételkét kezelhet : p ; a mita mérete. Így P (X k ( ( k k ( k ( ( k.. Jelölje p k aak a valószí ségét, hogy egy lottóhúzásál (9/ a legagyobb kihúzott szám k. Számítsd ki a p k értékeket, és mutassuk meg, hogy ez valóba valószí ségi eloszlás! p k (k ( k ( 9, k,,...,9 ugyais ki kell választauk számot az els k-ból, viszot em k lesz a legagyobb, ameyibe az els k - b l választottuk ki ket, így ezeket a rossz eseteket le kell voi. Ez valószí ségi eloszlás, ugyais 9 k p k ( +(( ( +(( 7 ( +...+(( 9 ( 89 ( 9 (9 ( 9. SZ. A lapos kártyacsomagból kihúzuk 7 lapot. Meyi aak a valószí sége, hogy a lapok között mid a égy szí el fordul? ( pot SZ. Egy urába K fehér és M fekete golyó va. Visszatevés élkül kihúztuk golyót, s ebb l k lett fehér és k fekete. Mi a valószí sége, hogy az els húzás eredméye fehér golyó volt, ha a golyók számozottak? ( pot SZ7. Aladár és Béla pigpogozak. Mide labdameetet, egymástól függetleül, / valószí séggel Aladár, / valószí séggel Béla yer meg. A jelelegi állás :9 Béla javára. Meyi aak a valószí sége, hogy a meccset mégis Aladár yeri meg? (Az yer, akiek sikerül legalább két potos el y mellett legalább potot szerezi. ( pot. Legyeek A, B, C, D, egy szabályos tetraéder csúcsai. Egy légy az A csúcsból idulva sétál a tetraéder élei, mégpedig mide csúcsból véletleszer e választva a lehetséges három iráy közül. Jelölje X azt a valószí ségi változót, hogy A-ból idulva, háyadikra érük vissza el ször A-ba. Írjuk fel X eloszlását! Mutassuk meg, hogy ez valóba valószí ségi eloszlás! Írjuk fel a megoldást a valószí ség klasszikus képlete alapjá: P (X k k ( k k (k,,..., ugyais legalább lépésre va szükség, hogy visszaérjük A-ba mide lépésbe összese iráyba haladhatuk, így az összes eset k jó lépések: els két helyre mehetük, utáa (k alkalommal 4

helyre, végül vissza kell lépi A-ba Ez valószí ségi eloszlás, mivel P (X k ( k ( k k. Egy osztályba a diákok magassága: (cm. 8 7 74 9 7 8 8 Elemezd a diákok testmagasságát az átlag, a korrigált tapasztalati szórás, szórási együttható és boxplot ábra (kvartilisek segítségével! Értelmezd is az eredméyeket! x 8+7+...+8 9, 7 cm s (8 9, +(7 9, +...+(8 9,, 7 cm V,7 9,7, 9 % 74 Redezett mita: 7 8 8 8 7 9 Q -hez Sorszám: 4 +, Q X +, (X 4 X +, (, cm Me-hoz Sorszám: +, Me X +, (X 7 X +,, cm Q -hoz Sorszám: 4 9+,7 Q X9 +, 7(X X 9 74 +, 7 78, cm Boxplot ábra: Értelmezések: a diákok átlagos testmagassága 9, cm, az egyes testmagasságok az átlagos testmagasságtól átlagosa, cm-rel, azaz,8 %-kal térek el. A hallgatók egyede, cm-él alacsoyabb, míg háromegyede eél magasabb. A hallgatók fele 7, cm-él alacsoyabb, másik fele eél magasabb. A hallgatók egyede 78, cm-él magasabb.. Tegyük fel, hogy egy egyeteme az alábbi felvételi aráyok adódtak: Kar Összes jeletkez Felvettek (ebb l ú (ebb l ú Gépészméröki (8 7 ( Jogi 98 ( ( Ábrázoljuk a karokéti adatokat kotigeciatáblázat formájába. Mit modhatuk a úk, illetve a láyok felvételi aráyáról az egyes karoko és összesítve? A gépészméröki karra kotigeciatáblázat: Felvették Nem vették fel Összese Fiú 8 Láy Összese 7 Jeletkez k megoszlása(%: Felvették Nem vették fel Összese Fiú 8,,7 Láy 9,9 9, Összese 84,,8 Látható, hogy a gépészméröki karra jeletkez k közül a láyokat sokkal jobb aráyba vették fel. Most ézzük a jogi karra. Felvették Nem vették fel Összese Fiú 7 Láy 8 98 78 Összese 48 98 Jeletkez k megoszlása(%: Felvették Nem vették fel Összese Fiú, 84,4 Láy 8,8 7, Összese,7 88, Tehát a jogi karra jeletkez k közül is a láyokat vették fel jobb aráyba. Végül ézzük összesítve.

Felvették Nem vették fel Összese Fiú Láy Összese 8 Jeletkez k megoszlása(%: Felvették Nem vették fel Összese Fiú 4 Láy,, Összese 7,, Összesítve viszot azt kapjuk, hogy a úkat vették fel jobb aráyba. Ez látszólag elletmodásak t ik, azoba agyo egyszer oka va: a láyok jóval agyobb aráyba jeletkeztek a jogi karra, ahová meglehet se rossz aráyba vették fel ket. Jeletkez k száma és megoszlása a jeletkezés helye szerit: Gépészméröki kar Jogi kar Összese Fiú % (8 4% ( % ( Láy 7,% ( 9,7% (78 % ( Összese 7,% (,% (98 % (8 4. Iszákos Ivá a ap / részét kocsmába tölti. Mivel a faluba kocsma va, és em válogatós, azoos eséllyel tartózkodik bármelyikbe. Egyszer eliduluk, hogy megkeressük. Négy kocsmát már végigjártuk, de em találtuk. Mi a valószí sége aak, hogy az ötödikbe ott lesz? Legye A: egy adott id pillaatba kocsmába va; B i : az i. kocsmába va (i,...,. Így P(A és P(B i A. Ebb l P(B i P(B i AP(A. A keresett valószí ség: P(B (B B B B 4 P (B B B B B 4 P (B B B B 4 P (B P (B P (B B B B 4 (P (B +P (B +P (B +P (B 4 4 7. SZ8. Legyeek az A, A és A eseméyek egymást kizáró eseméyek, melyek a P(A p, P(A p és P(A p valószí ségekkel következek be. Meyi a valószí sége, hogy függetle kísérletet végezve, a kísérletek sorá az A el bb következik be, mit az A vagy az A? Számítsuk ki e valószí ség határértékékét, ha a kísérletek száma a végtelehez tart! (4 pot SZ9. Háyszor kell két kockát feldobuk, hogy,99-él agyobb valószí séggel legalább egyszer két hatost dobjuk? ( pot. Számítsuk ki a kockadobás várható értékét, ha a. a kocka szabályos; b. a kocka szabálytala: két -es, három 4-es, egy -os va rajta. Legye X a kockadobás eredméye. a. P(Xi, így EX i ++...+ 7, i b. P (X P (X 4 P (X, így EX + 4 +. Háy dobókocka eseté a legagyobb aak a valószí sége, hogy a kockákat egyszerre feldobva, a kapott számok között potosa egy hatos va? Legye p P( dobásból potosa egy darab -os lesz ( (, ezt kell maximalizáli szerit. Nézzük az egyes p + p övekméyeket. Nyilvávaló, hogy ameyibe va maximum, akkor ez a övekméy egyre csökkeik, és a maximum "átlépése" utá -él kisebb lesz. Nézzük meg tehát, mikor lesz egyel -gyel: p + p (+ ( + ( ( ( + (, amit átredezve, adódik. Mivel ez egész szám, így a maximum helyei és, értéke pedig p p (. 7. Egy tétova hagya a számegyeese bolyog. -ból idul és mide lépésél egyforma valószí séggel vagy jobbra, vagy balra lép. Meyi a valószí sége, hogy lépés utá a hagya k-ba lesz? Legye X: hol lesz a hagya lépés utá P (X k ( +k/ k, ±, ±4,..., ± mivel páros sok lépés utá csak páros helyeke lehet, viszot ±-e túlra em tud eljuti mide lépésbe iráyba mehet, ezért az összes lépések száma lépés utá -ból úgy tud eljuti k-ba, hogy k alkalommal biztosa jobbra met, és a maradék (-k-ból pedig a felét jobbra, a felét balra tette meg. Tehát összese k + k + k alkalommal met jobbra. Ebb l adódik, hogy a jó esetek száma ( +k/, mivel elég kiválasztai azokat a helyeket, ahol jobbra megy, a többi helye már csak balra mehet.

8. Egy sorsjátéko darab Ft-os, db Ft-os, és db Ft-os yereméy va. A játékhoz db sorsjegyet adtak ki. Meyi a sorsjegy ára, ha egy sorsjegyre a yereméy várható értéke megegyezik a sorsjegy árával? Legye X a yereméyük, ami most 4 értéket vehet fel külöböz valószí ségekkel, amit a következ táblázat foglal össze: (Ft Darab p i.... 9889. 9889 EX... +. +. ++ Ft. 9. Jelölje X az ötöslottó kihúzott lottószámokál a párosak számát. Adjuk meg X várható értékét. Ekkor visszatevés élküli mitavételezésr l va szó, 9 számból 4 páros va, és elem mitát veszük. Tehát X Hipgeo(9,4,, így,.. Két kockával dobuk. Egy ilye dobást sikeresek evezük, ha va -os a kapott számok között. Várhatóa háy sikeres dobásuk lesz próbálkozásból? EX 4 9 P(sikeres dobás Legye X: -b l a sikeres dobások száma Ekkor yilvávaló, hogy X Bi(, EX. Dobjuk egy kockával ayiszor, aháy fejet dobtuk két szabályos érmével. Jelölje X a kapott számok összegét. Adjuk meg X eloszlását. Az átláthatóság kedvéért készíthetük egy ábrát: fej 4 start 4 fej fej............ 7 8... P (X 4 P (X P (X + 4. P (X + 4 P (X 7 4. P (X 4. a. Legye X egy szabálytala érmével (p a fej valószí sége végzett dobássorozatál az els, azoosakból álló sorozat hossza. (Ha pl. a dobássorozat FIIIF... akkor X. Számítsuk ki X várható értékét. b. Legye Y egy szabálytala érmével (p a fej valószí sége végzett dobássorozatál a második, azoosakból álló sorozat hossza. (Ha pl. a dobássorozat FIIIF... akkor Y. Számítsuk ki Y várható értékét. Jelölje F a fejdobást, I az írást. a. X pozitív egész értékeket vehet fel: k,,...-re P(XkP( F...F }{{} I...+P( I...I }{{} F...( pp k + p( p k. k db k db EX ( kp k ( p + k( p k p ( pp kp k + k + p( p k b. Y pozitív egész értékeket vehet fel: l,,...-re k k( p k ( pp ( p + p( p p p p + p p. P (Y l P (Y l, X k k [P (F...F }{{} I...I }{{} F + P (I...I }{{} F...F }{{} I] k k db l db k db l db [p k+ ( p l + p l ( p k+ ] k p ( p l p k + p l ( p ( p k k k p ( p l p + pl ( p p p ( p l + p l ( p EY ( lp ( p l + lp l ( p l 7

( k p l( p l +( p lp l p p +( p ( p +. l l. Dobjuk egy érmével ayiszor, ameyit egy szabályos kockával dobtuk. Jelölje X a fejek számát. Határozzuk meg X eloszlását és várható értékét! Legye Y : kockadobás eredméye, eek eloszlása: P (Y ahol,..., El ször dobuk a kockával, és a kockadobás eredméyét l függ, háyszor foguk dobi az érmével, tehát P (X k Y P( dobásból k darab fej ( ( k ( k k k p k P (X k T V T k Ezek segítségével k ( k ahol k,,..., EX kp k k k P (X k Y P (Y k k ( k k k ( ( k k k k ( k ( k k 7 7 4. ( ( -él felhaszáltuk, hogy k ( k k! k!( k! (! (k!( k! ( k ( -él a biomiális tételt haszáltuk l k átparaméterezéssel: ( + ( ( k l k l 4. -ször dobuk egy szabályos kockával. Legye X a -osok száma. D (X? Visszatevéses mitavételr l va szó, tehát X Bi(,. Így D X.. Adjuk meg az {,,...,N} számoko egyeletes eloszlás szóráségyzetét. P (X k N k,...,n EX k N N(N+ N N+ k EX k k N N(N+(N+ D X (N+(N+ ( N+ N (N+(N+ 4N +N+ N N N. SZ. Egy szabálytala érmét addig dobáluk, amíg fejet em kapuk. Aak a valószí sége, hogy páros sokszor kell dobuk, harmad akkora, mit aak, hogy páratla sokszor. Mekkora a fejdobás valószí sége? ( pot SZ. Legye X diszkrét valószí ségi változó, amelyek lehetséges értékei: (k,,... a. x k q k k ; b. x k q k k! ; c. x k ( k q k k. Az ezekek megfelel valószí ségek: p k 8q k. Határozd meg q értékét, majd midhárom esetbe X várható értékét! ( pot SZ. Legye X biomiális eloszlású valószí ségi változó, amir l ismertek: EX8, DX. Határozd meg a P(X< valószí séget! ( pot ha x. Mely c-re lesz eloszlásfüggvéy F (x cx ha < x ha < x P(-<X<? Határozd meg a s r ségfüggvéyét! F(x-ek mooto öv ek kell leie, ami csak akkor teljesül, ha c. További korlátozást jelet c értékére, hogy az eloszlásfüggvéy maximum lehet, amit az x-ba vesz fel a középs tartomáyo: max x (,] cx c 7c c 7 P(-<X<P(- <X<F(c c 7 eseté va csak s r ségfüggvéy: { 9 x ha < x < f(x külöbe 7. Eloszlásfüggvéyek-e a következ függvéyek? Ha ige, va-e s r ségfüggvéyük? 8

a. F (x { ( c a x ha x > c (a, c > külöbe x b. F (x < x ahol [x]: x egészrésze [x] < x a. lim F (x x lim F (x ca lim x x x a, ha a > folytoos, így balról is folytoos x mo. csökke c x mo. csökke ( a x mo. csökke ( a ( x mo. öv a x mo. öv Mid a 4 tulajdoság teljesül, tehát F eloszlásfüggvéy. Abszolút folytoos is, a s r ségfüggvéye: { c a ( ax a aca f(x x a+ ha c < x külöbe b. x -be és x -be em folytoos balról, tehát F em eloszlásfüggvéy. { cx 8. 4 ha < x < Legye X s r ségfüggvéye a következ : f(x külöbe a. c? b. Határozd meg X eloszlásfüggvéyét! c. P(X<-.? d. P(X<.? e. P(X<.? f. D (X? [ ] a. cx 4 dx c x c c ha x x b. F (x P (X < x t 4 dt x ha < x ha x > c. P(X<-.F(-, d. P(X<.F(,, e. P(X<.F(, f. EX x dx EX x dx 7 7 D X 7. 9. Legye X s r ségfüggvéye a következ : f(x a. c? F(x? b. E(X? c. D (X? a. c x 4 dx c [ ] x c ( c c { c x 4 ha x > külöbe ha x F (x P (X < x x dt t 4 [t ] x ( x x ha x > [ ] b. EX dx x x ( [ ] c. EX dx x x ( D X 9 4 4 4. Véletleszer e választuk egy potot az x + y < kör belsejébe. Jelölje Z a távolságát a középpottól. Adjuk meg Z eloszlás- és s r ségfüggvéyét, valamit várható értékét. ha z F Z (z P (Z < z z π π z ha < z ha z > { z ha < z f Z (z külöbe [ ] EZ z z z. SZ. Az A és B álladók mely értékére lehet az F(xA+Barctgx (- <x< eloszlásfüggvéy? ( pot 9

SZ4. Egy egyszer csapadék-modell lehet a következ : aak az esélye, hogy egy adott apo em lesz csapadék,.. Ha va csapadék, akkor a meyisége expoeciális eloszlású, λ paraméterrel. Adjuk meg a csapadékmeyiség eloszlásfüggvéyét. Mi a valószí sége, hogy legalább mm csapadék lesz? Abszolút folytoos-e az eloszlás? ( pot SZ. Határozd meg (sejtsd meg ÉS bizoyítsd be (pl. teljes idukcióval az expoeciális eloszlás tetsz leges mometumát! ( E(X i? ( pot 4. Tegyük fel, hogy az egyetemisták IQ teszte elért eredméye ormális eloszlású várható értékkel és szórással. Mi a valószí sége, hogy valaki -ál több potot ér el a teszte? Legye X: egy egyetemista IQ-potja X N(, P (X > P (X < P ( X < Φ(,, 9 4, 8%. 4. Meyi garaciát adjuk, ha azt szereték, hogy termékeik legfeljebb %-át kellje garaciaid belül javítai, ha a készülék élettartama év várható érték és év szórású ormális eloszlással közelíthet? Legye X: a termékek élettartama X N(, Jelölje a garaciaid t t A feladat szövege alapjá, P (X < t P (X < t P ( X < t ( Φ t Átredezve t-re: t Φ (, + ( Φ (, 9 +, 8 + 7, 44 Tehát legfeljebb 7 év garaciát kell aduk (ha a garaciaid csak egész szám lehet. 4. Tegyük fel, hogy egy tábla csokoládé tömege ormális eloszlású g várható értékkel és g szórással, valamit, hogy az egyes táblák tömege egymástól függetle. Legalább háy csokoládét csomagoljuk egy dobozba, hogy a dobozba lev táblák átlagos tömege legalább,9 valószí séggel agyobb legye 99, g-ál? Legye X i : az i. tábla tömege X i N(, Átlagos tömeg: X X +...+X EX N E X i i EX EX (, (, ugyais D X D X i i i D X i D X A feladat szövege alapjá, 9 < P (X > 99, P (X > 99, ( P (X < 99, X P < 99, [ ( ] ( Φ Φ ( Φ 9 Átredezve -re: > [Φ (, 9] [, 8] 8, 9 Tehát legalább 9 csokit kell becsomagoli a dobozba. 44. Legye az X valószí ségi változó. Határozd meg -log(x s r ségfüggvéyét, ha X a. expoeciális eloszlású; b. egyeletes eloszlású az (a,b itervallumo. y g(x log(x { x g (y e y [g (y] e y λe λx ha x a. f X (x ha x < A határ megváltozása: x e y [, y R f Y (y λe λe y e y λe y λe y b. f X (x { b a külöbe ha a < x b y R A határ megváltozása: { a < x e y b log(a > y log(b f Y (y b a e y ha log(a > y log(b a, b. külöbe 4. Legye X stadard ormális eloszlású. Adjuk meg a. Y σx + m; b. Y e X ; c. Y X. s r ségfüggvéyét és várható értékét. P(Y<? f X (x π e x x R a. y g(x σx + m x g (y y m σ [g (y] σ A határ megváltozása: x y m σ R y R F Y (y π e ( y m σ σ πσ e (y m σ, azaz Y N(m, σ EY m

( m σ ( Φ m σ. P (Y < P ( Y m σ < m σ F N(, b. y g(x e x x g (y log(y [g (y] y A határ megváltozása: x log(y R y (, Így f Y (y π e (log(y y πy e log (y ha y > ha y EY e x π e x π e x +x π e (x + e π e (x e P (Y < P (e X < P (X < log( Φ(. c. y g(x x em mooto, ezért külö kell ézi a mooto szakaszokat. { y y g(x x x ha x y x g (y { [g (y] y ha x y ha x < A határ megváltozása: y [, π e ( y y + π e ( y y ha x < πy e y ha y f Y (y y ha y < EY EX D X + E X + P (Y < P (X < P ( X < P ( < X < Φ( Φ( Φ(. SZ. Egy egységyi hosszúságú szakaszo találomra kiválasztuk két potot, így a szakaszt rövidebb szakaszokra botjuk. Jelölje X a kapott szakaszok közül a legrövidebbet. Írd fel X eloszlás-, és s r ségfüggvéyét, valamit számítsd ki X várható értékét! ( pot SZ7. Egy egységégyzetb l válasszuk ki egy tetsz leges potot, jelölje X és Y a kiválasztott pot két koordiátáját. a. Z:X+Y b. Z:-log(XY Határozd meg Z eloszlás-, s r ségfüggvéyét és várható értékét! (+ pot SZ8. Legye X expoeciális eloszlású λ paraméterrel. Adjuk meg Y-e X s r ségfüggvéyét és várható értékét. ( pot 4. Február 7-é Budapeste az elmúlt évbe az alábbi középh mérsékleteket mérték: ;,;,; -4,;,; 7,9;,; -,; -,;,. Számítsuk ki és ábrázoljuk a középh mérséklet s r ségfüggvéyéek Parze-Roseblatt becslését, ha h, és a magfüggvéyük k(x { ha x < külöbe. A mita elem : Redezett mita: -4,; -,; -,;,;,;,; ;,;,; 7,9 Behelyettesítve a Parze-Roseblatt becslés képletébe: f (x, i ( I x, < I i ( < x, <, I(, < x < +, i tehát mide pot,-ös köryezetébe, értéket vesz fel a függvéy, azo kívül pedig ; és ilye lépcs s függvéyeket kell összegezük. Ábrázolva: y.. x - - 8 47. Legye X,..., X függetle, azoos abszolút folytoos eloszlású valószí ségi változók sorozata. Adjuk meg mi(x,..., X, illetve max(x,..., X eloszlás- és s r ségfüggvéyét! A miimumál külö is vizsgáljuk meg azt az esetet, ha az X i változók expoeciális eloszlásúak! Jelölje F(x a közös eloszlásfüggvéyt, f(x pedig a közös s r - ségfüggvéyt. El ször ézzük a miimumot F X (x P (mi(x,..., X < x P (mi(x,..., X > x P (X > x,..., X > x P (X > x... P (X > x [P (X > x] [ P (X < x] [ F (x] Ezt deriválva, megkapjuk a miimum s r ségfüggvéyét: f X (x f(x[ F (x]

Ha X i expoeciális, akkor F X (x λe λx I (x (e λx (λe (λx I (x ebb l pedig látható, hogy X Exp(λ Most ézzük a maximumot F X (x P (max(x,..., X < x P (X < x,..., X < x P (X < x... P (X < x [P (X < x] [F (x] Ezt deriválva, megkapjuk a maximum s r ségfüggvéyét: f X (x f(x[f (x] 48. Adjuk torzítatla becslést a val.szám. vizsga bukási aráyára, ha - ból -a buktak meg. Mekkora a becslésük szórása? (Adjuk rá fels becslést. Legye X i olya valószí ségi változó, amely az értéket veszi fel, ha az i. hallgató megbukik (ismeretle p valószí séggel, és értéket veszi fel, ha átmegy: P (X i p P (X i p Ekkor X i Id(p, EX i p, D X i p( p. El ször tekitsük általáosa, elem mitára. A bukási aráy a p, erre torzítatla becslés a mitaátlag: T (X : X A becslés szóráségyzete: D T (X D (X D ( X +...+X D (X +...+X D (X D (X Tehát DT (X ˆp( ˆp. p( p p( p p + p (p, + 4 4, így összefoglalva, a szórásra a következ fels becslést kaptuk: DT (X A kokrét példába, tekitsük el a hallgatók sorredjét l, akkor a mita így írható: x... x és x... x Ezekb l x, Dx ( 7, 7. Dx, 9 49. Legye X,..., X i.i.d. mita ismeretle eloszlásból. a. Torzítatla becslés-e a várható értékre ézve az átlag? b. Torzítatla becslés-e a szóráségyzetre ézve a tapasztalati szóráségyzet? Ameyibe em az, hogya tudák torzítatlaá tei? X i EX i a. EX E i i EX EX, tehát az átlag torzítatla becslése a várható értékek. b. A mita i.i.d., ezért E(X i X j ES E (X i X i { EX i EX EX i EX j E X i E X ha i j ha i j E(X i X [EX i E(X ix+ex ] i i EXi ( X E X +...+X i + ( X +...+X E i i i EX [EX +( E X ]+ i E(X +...+X EX [EX +( E X ]+ [EX +( E X ] EX EX ( E X +EX +( E X EX ( ++E X ( ++ EX ( E X ( tehát a tapasztalati szóráségyzet em torzítatla becslése a szóráségyzetek. Viszot (X i X S i már torzítatla lesz, ezt korrigált tapasztalati szóráségyzetek hívjuk és (S -tel jelöljük. D X,. -elem λ-paraméter expoeciális mita eseté adjuk torzítatla becslést e λ -ra és λ -ra! Ha X i Exp(λ, akkor F (x ( e λx I(x és EX i λ. Nézzük az eloszlásfüggvéyt az helye: F ( e λ F ( e λ, és épp ezt akarjuk torzítatlaul becsüli, tehát T (X : F ( torzítatla becslése e λ -ak. F ( pedig éppe a -ál kisebb meggyelések relatív gyakorisága. Most térjük rá λ -ra. EX i λ, és épp ezt akarjuk torzítatlaul becsüli. Tudjuk, hogy a várható értéket a mitaátlag torzítatlaul becslüli, tehát T (X : X torzítatla becslése λ -ak.. -elem λ-paraméter Poisso mita eseté adjuk torzítatla becslést e λ -ra és λ -re! Ha X i Poi(λ, akkor P (X i k λk k! e λ k,,,... és EX i D X i λ. Nézzük például az eloszlásfüggvéyt az helye: F ( P (X i <

P (X i e λ, és épp ezt akarjuk torzítatlaul becsüli, tehát T (X : F ( torzítatla becslése e λ -ak. Ebb l látható, hogy tetsz leges < a számra F (a torzítatla becslése e λ -ak. F (a pedig éppe az a-ál kisebb meggyelések relatív gyakorisága. Most térjük rá λ -re. EXi D X i + E X i λ + λ E(Xi X i λ + λ λ λ, így T (X : Xi X i torzítatla becslése λ -ek. i. Adjuk meg torzítatla becslést a [,θ] itervallumo egyeletes eloszlás paraméterére a. a mitaátlag b. a maximum segítségével. Számoljuk ki a becslések szórását is. E(, θ eloszlás- és s r ségfüggvéye: ha x { F θ (x x θ ha < x θ f θ (x θ ha < x < θ külöbe ha θ < x a. EX EX θ T (X : X torzítatla becslése θ-ak D (T (X 4D (X 4D X 4 θ θ. θ b. EX xf(x(f (x θ dx x ( x θ θ dx θ [ ] θ x dx x + θ θ + dx θ θ+ + θ + T (X : + X torzítatla becslése θ-ak Szükség va a második mometumra is, hogy ki tudjuk számítai a szóráségyzetet. E(X θ x f(x(f (x θ dx x ( x θ θ dx θ θ [ x + dx x + θ + D (X θ + θ (+ ] θ dx θ θ+ + θ + θ (+ (+ (+ (+ θ ++ θ (+ (+ (+ (+ Így D (T (X (+ D (X (+ θ (+ (+ θ (+.. Mutassuk meg, hogy expoeciális eloszlású mita eseté T (X mi(x,..., X statisztika torzítatla a várható értékre. Mekkora a szórása? El ször ézzük meg, hogy expoeciálisok miimumáak mi az eloszlásfüggvéye: F X (x λe λx I (x (e λx (λe (λx I (x ebb l pedig látható, hogy X Exp(λ E λ T (X E λ (X E λ(x λ λ Dλ T (X D λ (X Dλ (X (λ λ. 4. Tegyük fel, hogy a val.szám jegyekre voatkozó eddigi meggyelésük:,,. a. Adj torzítatla becslést a meggyelés alapjá a szóráségyzetre! b. A egyedik meggyelés mely értékére lesz a korrigált tapasztalati szóráségyzet a legagyobb, illetve a legkisebb? x ++, a. (s (, +(, +(,,. b. Ábrázoljuk táblázatba az lehet séget, mivel a 4. szám (x 4,,,4 és lehet x 4 (s 4,87 maximum,,87 miimum 4,,87. Legye X,..., X i.i.d. mita valamely véges szórású eloszlásból, és tekitsük a T(X a X +... + a X alakú lieáris becsléseket, ahol a,..., a R. Feltéve, hogy T(X a várható érték torzítatla becslése, mely a,..., a számokra lesz miimális a D (T (X? Torzítatlaság: EX ET (X A jobboldalt továbbírva: E(a X +... + a X (a +... + a EX a +... + a. ( Most miimalizáljuk a szóráségyzetet: mi D (T (X mi D (a X +... + a X a,...,a a,...,a mi a a,...,a D (X +... + a D (X mi (a a,...,a +... + a D (X D (X mi (a a,...,a +... + a Most haszáljuk fel a számtai és a égyzetes közép közötti egyel tleséget:

a +...+a, és egyel ség csak akkor teljesül, ha a... a. a +...+a Átredezve az egyel tleséget a +...+a (a +... + a egyel ség tehát csak akkor va, ha a i -k megegyezek, és felhaszálva a torzítatlaságot összegük legye, azoal következik, hogy a i mide i-re. Tehát az ilye alakú miimális szórású torzítatla becslés a mitaelemek számtai átlaga. SZ9. véletle számot jegyeztük fel:,,7,,7. Ha tudjuk, hogy ezek az {,,...,N} halmazból vett véletle mita elemei, akkor hogya becsülék az N paramétert? ( pot SZ. Piroska kigodolt valaháy számot, a farkas pedig kiszámította a tapasztalati szóráségyzetüket:,84 ; valamit a korrigált tapasztalati szóráségyzetüket: 9,8. Háy számra godolt Piroska? ( pot SZ. Adjuk torzítatla becslést a [,θ] itervallumo egyeletes eloszlás paraméterére a miimum segítségével. Számoljuk ki a becslés szórását is. ( pot SZ. Legye X,..., X i.i.d. mita Bi(k,p-b l, Y,..., Y i.i.d. mita Bi(l,p-b l, és tegyük fel, hogy a két mita egymástól is függetle. Milye (a, b számpárokra lesz ax + by a p paraméter torzítatla becslése? Eze számpárok közül melyikre lesz a becslés szórása miimális? ( pot. Határozzuk meg az ismeretle paraméter(ek ML becslését, ha a mita a. Pascal (Geom(p ; b. Bi(m, p, ahol m ismert, p paraméter; c. E(a, b eloszlású, ahol a < b, midkett paraméter; d. Exp(λ; e. Poi(λ. a. P (X i p( p L(p; x p( p xi p ( p i i ( l(p; x logp + log( p i ( Els red feltétel: p l p + i p ( p p( p ˆp X. i i pl(p; x ( p ( p p ( p ( p + p (x ( p + px p ( p Másodred feltétel: > pl(ˆp; x ( ˆp ( ˆp ˆp + ˆp x < x + x x x x >, és ez az egyel tleség egy kivétellel teljesül: amikor x, ilyekor pedig x... x L p, amit a p maximalizál. i b. P (X i ( m p ( p m L(p; x [ ( m p ( p m x ( i m ] p i i i ( p m l(p; x log ( m + logp (m log( p i i ( i Els red feltétel: p l p + m p ( i ( ( p m p mp p i i pl(p; x m ˆp X m. i p m i ( p i x px+mp p ( p Másodred feltétel: > pl(ˆp; x i i i ( p+p +(m p i i p ( p ( ˆp ( ˆp x ˆpx + mˆp < x x m x + m x x x m m x ( m x < x < m, és ez a két egyel tleség két kivétellel teljesül: x x... x L ( p m, amit a p maximalizál x m x... x m L p m, amit a p maximalizál c. P (X i ( m p ( p m A paraméter függvéyébe em deriválható a likelihood függvéy, mert 4

ugrik: L(a, b; x i b a I(a b (b a I(a x, x,..., x b (b a I(a x... x b (b a I(a x I(x b max a,b Az idikátoros rész vagy lehet, tehát úgy kell megválasztai a paramétereket, hogy legye: a x és x b teljesüljö. (b a "agy" (b a "kicsi" a-t és b-t a lehet legközelebbiek kell egymáshoz választai ˆb X és â X. d. f Xi ( λe λ I( L(λ; x λe λ I( λ e λ I(xi i i l(λ; x logλ λ i Els red feltétel: λ l λ λ i i ˆλ X λ l λ, ami < mide λ-ra, így teljesül a másodred feltétel, azaz ˆλ maximumhely. e. P (X i λ! e λ L(λ; x λ x i! e λ λ i e λ i! i l(λ; x log! + logλ λ i i i i Els red feltétel: λ l λ λ ˆλ X λ l i λ, ami < mide λ-ra, így teljesül a másodred feltétel, azaz ˆλ maximumhely. 7. Tegyük fel, hogy a mita kétparaméteres eloszláscsaládból származik, a paraméterek a és b. { Ea,b X m Ekkor mutassuk meg, hogy az E a,b X egyeletredszer megoldása megegyezik az m { Ea,b X m Da,b X egyeletredszer megoldásával. s Elég a második egyeletek ekvivaleciáját megmutati. ( x x i x +x x x i x x i s i i i i i x m m Ezt átredezve m -re: m s + m EX m D X + E X s + m D X s (az utolsóál felhaszáltuk az els mometumok egyel ségét. 8. Becsüld a paramétert mometum-módszerrel az alábbi esetekbe: a. Exp(λ; b. Poi(λ; c. E(a, b; d. E( a, a. a. EX m λ x ˆλ x ; b. EX m λ x ˆλ x; c. Haszáljuk az el z feladat eredméyét { { Ea,b X m a+b Da,b X x s (b a s { b + a x b a s ˆb X + S (összeadva egymáshoz a két egyeletet â X S (kivova egymásból a két egyeletet; d. EX m x em kaptuk semmit a paraméterre, ezért ézzük a következ mometumra EX m (a + s â s. 9. Adjuk külöböz becsléseket az alábbi, éves maximum vízállások alapjá az eloszlás 99 %-os kvatilisére a. tapasztalati eloszlásból; b. ormális közelítésb l; c. +Y -ból, ahol Y expoeciális. 99 9 99 8 99 79 997 4 99 87 998 9 994 44 999 8 99 84 87 a. sorszám kvatilishez: (+,99,89 q,99 9, mivel a mita elem és a 9 a legagyobb elem. b. Most feltesszük, hogy X i N(m, σ, i,...,. Jelöljük a közös eloszlásukat X-szel. Próbáluk ormális eloszlást illesztei az adatokra, és aztá aak meg-

határozzuk a,99-es kvatilisét. A ormális eloszlás várható értékét becsüljük az átlaggal, a szórását pedig a korrigált tapasztalati szóráségyzettel: ˆm X és ˆσ S Kiszámítva ezeket a meggyelésb l, ˆm 74 és ˆσ 4. A,99-es kvatilis az az x hely, ahol F X (x, 99. Alakítsuk át a baloldalt: F X (x P (X < x P ( X 74 4 < x 74 4 Φ ( x 74 4 q,99 x 4 Φ (, 99 + 74 4, + 74 8. c. Most feltesszük, hogy X i +Y, ahol Y Exp(λ (i,...,. Els feladatuk a mita alapjá a λ paraméter becslése. Például mometum becslésb l azoal kijöe, hogy ˆλ Y i Y. Akár ezzel i is lehete számoli, viszot be lehet láti, hogy ez em torzítatla. Ha kicsit módosítjuk, akkor viszot már torzítatlaul tudjuk becsüli a paramétert: ˆλ i Y. i x 74, ebb l y 74 4, így ˆλ 9 4 9/4. Most már megbecsültük Y eloszlását, számítsuk ki a,99-es kvatilisét:, 99 F Y (x e 9 4 x. Átredezük e 9 4 x, x 4 9 log( 8. Ebb l +Y,99-es kvatilise: q,99 8 + 78. Megjegyzés: Vajo a gyakorlatba melyik kvatilis-becslést fogadjuk el? Ha a tapasztalati eloszlásból számítuk, akkor túl alacsoy becslést foguk kapi (a.. A legjobb, ha illesztük az adatokra egy eloszlást, és aak a megfelel kvatilisét számoljuk ki. Ekkor persze felmerül a kérdés: melyik eloszlást illesszük? Erre kaphatuk választ illeszkedésvizsgálattal - amelyik esetbe elvetjük a ullhipotézist, az az eloszlás biztosa rosszul fog illeszkedi az adatokra.. Legye az X,..., X mita N( m+, (/d eloszlású. Határozzuk meg az ismeretle paraméterek mometum becslését! EX i m m + x ˆm X D X i s ( d s ˆd S.. Legye az X,..., X mita a következ diszkrét eloszlásból: P(X c, P(X c, P(X -4c (c az ismeretle paraméter. Tegyük fel, hogy az mitaelemb l y i darab veszi fel az i értéket (i,,. a. Határozzuk meg c mometum-becslését! b. Határozzuk meg c ML-becslését! Hogy érthet legye, az ML-módszerél hoa jö a képlet, deiáluk egy új, többváltozós eloszlást, ami a biomiális eloszlás általáosításakét fogható fel. Def.: Y (Y,..., Y k poliomiális eloszlású reddel és p,..., p k paraméterekkel, ha k p i és i P (Y y,..., Y k y k! y!...y k! py... py k k, ameyibe y i k Z és y i. i Jelölés ekkor: Y Poli(; p,..., p k a. x m EX c + c + ( 4c c. Ezt átredezve, c x X, azaz ĉ. b. Legye Y (Y, Y, Y, ahol Y az a val. változó, amiél Y y azt jeleti, hogy az X i -kb l y alkalommal kaptuk az értéket. Y és Y hasolóa érted. Ekkor Y Poli(; c, c, 4c. A likelihood-függvéyt az X i -k együttes eloszlásából lehet kiszámítai, ami persze megegyezik Y i -k együttes eloszlásával a feladat szövege alapjá, azaz X Y. Így L(c, x P (X x,..., X x P (Y y, Y y, Y y! y!y!y! cy (c y ( 4c y! l(c, x log( y!y!y! + y log(c + y log(c + y log( 4c Deriválásál gyeli kell a bels függvéyek deriváltjaira is: c l(c, x y c + y c + y 4c ( 4 y +y c + 4y 4c Ezt -val tesszük egyel vé és átredezgetük: y + y 4c(y + y + y 4c c y +y 4 Hogy a becslést fel tudjuk íri, szükség va y meghatározására az X i -k segítségével. Nade y az a szám, aháy alkalommal az X i -ik értéke lett, tehát y i I(X i. Ugyaígy az y. (I(X i +I(X i i Tehát a becslés így írható: ĉ 4.. Legye a Z,..., Z mita N(m, eloszlású. A meggyelt értékek a következ k: ; 4,;,; ;. a. Határozzuk meg 9%-os (99%-os megbízhatóságú kodeciaitervallumot m-re! b. Háy elem mitára va szükségük 9%-os megbízhatósági szite, ha azt szereték, hogy a kodeciaitervallum legfeljebb, hosszúságú

legye? c. Mi változik az a. esetbe, ha a szórást em ismerjük? d. Adjuk a szórásra 98%-os megbízhatóságú kodeciaitervallumot. χ 4;,, χ 4;,99, 8 x, s, 9 a. El ször α,, most ismert a szórás: σ Φ (, Φ (, 97, 9 u, Kodecia itervallum:, ±, 9, ±, 7 [, 447; 4, 9] Ameyibe α,, akkor u, Φ (, 99, 8 Kodecia itervallum:, ±, 8, ±, 8 [, 89;, 8] b. α,, a kodecia itervallum hossza u α σ, így a megoldadó egyel tleség a következ :,, 9 4, 9 784 4. c. t ;, t 4;,, 77 Kodecia itervallum:, ±, 77,9, ±, 7 [, 9;, 77] d. α,, a szóráshoz kelleek a 4 szabadságfokú χ -eloszlás, - és, -kvatilisei. [ Kodecia itervallum ] [ σ -re: ] 4,9 ; 4,9 4,9 χ 4;,99 χ,8 ; 4,9, [, 78; 4, ] 4;, Kodecia itervallum σ-ra: [, ; 7, 7].. Egy közvéleméykutatás sorá embert kérdeztek meg. Közülük 88- a szavazáak a FUMI pártra. Adjuk 9%-os megbízhatóságú kodeciaitervallumot a FUMI párt téyleges szavazataráyára! Alkalmazzuk ormális eloszlással való közelítést. α, 4 és valószí ség becslése: ˆp 88 8, 8% u,4 Φ (, Φ (, 98,,88,9 kodecia itervallum:, 88 ±,, 88 ±, 8 [7%, %]. SZ. Határozzuk meg az ismeretle paraméterek ML becslését, ha a mita N(µ, σ, ahol µ valós és σ>, midkette paraméterek. ( pot 4. Határozzuk meg X és Y kovolúcióját, ameyibe ezek függetle a. Id(p; b. Bi(, p; c. Geo(p; d. N(,; e. Poi(λ eloszlásúak! a. P (X + Y P (X, Y P (X P (Y ( p P (X + Y P (X, Y + P (X, Y P (X P (Y + P (X P (Y p( p + ( pp p( p P (X + Y P (X, Y P (X P (Y p amib l látható, hogy X + Y eloszlása Bi(, p b. P (X + Y k k P (X lp (Y k l k l k l l ( l p l ( p l( k l p k l ( p k+l ( l( k l p k ( p k ( k p k ( p k amib l látható, hogy X + Y eloszlása Bi(, p c. P (X + Y k k P (X lp (Y k l k l l p( p l p( p k l k p ( p k (k p ( p k amib l látható, hogy X + Y eloszlása NegBi(, p d. f X+Y (z f X (uf Y (z udu π e u π e (z u du π π e z e u +z zu+u du l π e z [ ] e (u z z 4 du π e z e (u zu du Végezzük helyettesítést: v : u z du π e z 4 e v dv π e z 4 ( u z + z 4 e dv π e v dv } {{ } du 7

π e z amib l látható, hogy X + Y eloszlása N(,( e. P (X + Y k P (X lp (Y k l e λ λ k l l l!(k l! λk k! e λ k l amib l látható, hogy X + Y eloszlása Poi(λ l λ l λk l l! e λ (k l! e λ ( k l λ k k! e λ ( + k (λk k! e λ. Mely c-re leszek kétdimeziós s r ségfüggvéyek az alábbiak? Adjuk meg az együttes eloszlásfüggvéyt, valamit a perems r ségfüggvéyeket. R(X, Y? { cxy ha (x, y (, a. f X,Y (x, y külöbe { c ha < x < és < y < x b. f X,Y (x, y külöbe { cmi(xy ha (x, y (, c. f X,Y (x, y külöbe a. c meghatározása: f X,Y (x, y dxdy c [ ] y x xy dxdy c ( y x dx dy c dy c y dy c 4 c 4 4xy dy x ha < x < f X (x y külöbe A szimmetria { miatt y ha < y < f Y (y külöbe Tehát X és Y azoos eloszlásúak és függetleek. R Az együttes eloszlásfüggvéy az együttes s r ségfüggvéyb l: ha x < vagy y < y x 4uv dudv x y ha < x < és < y < F X,Y (x, y y ha < x és < y < x ha < x < és < y ha < x és < y b. A háromszög csúcsaiak koordiátái, ahol kostas a függvéy: (;,(;,(;. Els dolguk a c meghatározása, de most em midegy, hogy a dx és a dy milye sorredbe va, ugyais ezekhez kell igazítai a határokat!! f X,Y (x, ydxdy c dxdy c ( y/dy c [ ] y y 4 c c f X,Y (x, ydydx c y/ c [ x ] c c Természetese midkét esetbe ugyaazt a c-t kellett kapi. x dydx c xdx A perems r ségfüggvéyek az együttes s r ségfüggvéyb l: yx dy x ha < x < f X (x y külöbe x dx y f Y (y x y ha < y < külöbe Az együttes eloszlásfüggvéy az együttes s r ségfüggvéyb l: ha x < vagy y < vy ux dudv xy y v u F X,Y (x, y v 4 ha < x < és < y < x y y 4 ha < x és < y < x ha < x < és y > x ha < x és < y A korrelációs együtthatóhoz kelleek a várható értékek meg a szórások: EX xxdx / 8

EX x xdx / DX 8 EY / DY 9 E(XY x 8 9 R(X, Y xydydx / R, azaz közepesél gyegébb pozitív kapcsolat va X és Y között c. Az itegrálást most ketté kell( botai az alapjá, hogy x < y vagy y < x: y c mi(x, y dxdy c x dxdy + y dxdy y ( y c dy + (y y dy c ( + c c Most térjük rá az együttes eloszlásfüggvéyre. Elég kiszámítai itegrálással az eloszlásfüggvéy értékét abba az esetbe, ha < y < x < (a ( többi ebb l már köyedé következik: y ( v y x y y v u dudv + v dudv dv + (xv v dv ( v y + xy y xy y y (x y ha x < vagy y < F X,Y (x, y y x y x (x y ha < y < x < (y x ha < x < y < ( y ha < x és < y < ( x ha < x < és < y ha < x és < y A perems r ségfüggvéyekhez el ször számítsuk ki Y perems r ségfüggvéyét akkor, ha < y < : ( y mi(x, y dy x dx + f X (x y dx y { x ( x ha < x < külöbe ( y y y y ( y f Y (y { y ( y ha < y < külöbe Ezekb l pedig ki lehet számítai a korrelációt. EX EY y y dy 4 8 EX EY y y4 dy 9 D X D Y 9 E(XY xymi(x, y dxdy ( y x y dxdy + xy dxdy y R(X, Y 8 8 9 9 R, azaz gyege pozitív kapcsolat va X és Y között.. Az X és Y valószí ségi változók együttes eloszlását a következ táblázat mutatja. Y \X Y peremeloszlása 4 7 7 7 7 7 7 7 4 7 7 7 X peremeloszlása Határozd meg X és Y eloszlását, várható értékét, szóráségyzetét! Függetleek-e egymástól? Ameyibe em, határozd meg a korrelációjukat! Y \X Y peremeloszlása 4 7 7 7 4 7 7 7 7 7 7 7 X peremeloszlása 7 7 EX 7 + 7 + 7 7 4 EX 7 + 7 + 4 7 D X 9 9 9 DX EY 7 + 8 7 + 9 7 7 EY 7 + 4 8 7 + 9 9 7 9 D Y 7 DY 7 7 8 7 9 7 7 7 9 9

E(XY 7 + 7 +... + 7 Nem függetleek egymástól, ugyais például P (X, Y 7 7 7 P (X P (Y Cov(X, Y 7 7 4 7 8 R(X, Y R, 8 8 7 7 +8+4+++4 7 7 7 tehát gyege pozitív kapcsolat va X és Y között. 7. Egy lapos fracia kártyacsomagból húzuk lapot visszatevés élkül. Legye X a k rök, Y pedig az ászok száma. Adjuk meg X és Y korrelációs együtthatóját. Függetleek-e ezek a változók? A feladat szövegéb l yilvávaló, hogy X Hipgeo(,, és Y Hipgeo(, 4,. Így EX és EY X és Y együttes eloszlása és a peremeloszlások: Y \X Y peremeloszlása 84 44 4 84 48 4 X peremeloszlása A táblázat kitöltését érdemes a peremekkel kezdei, utáa 4 alkalmas bels érték megállapítása utá a többi már egyszer kivoással adódik: P (X (9 ( 48 P (X (9 ( ( 4 P (X (48 ( P (X (48 ( 4 ( 84 Nézzük például a középs égyzet "sarkait": P (X, Y ( P (X, Y P (X, Y ( ( ( P (X, Y ( E(XY 44+ 4+ Cov(X, Y ( 4 X és Y korrelálatlaok Mivel va egy a táblázatba, ezért em függetleek. 8. Legye X és Y függetle, azoos eloszlású. Tegyük fel azt is, hogy véges szórásúak. R(X,aX + by? R(X, ax + by Cov(X,aX+bY DXD(aX+bY Cov(X,aX+Cov(X,bY DX D (ax+d (by +Cov(aX,bY ad X+bCov(X,Y ad X+ DX a D X+b D Y +abcov(x,y DX ad X a D X+b D X+ DX a +b DX a a +b. SZ4. Egy táyéro 8 diós és 4 mákos süteméy va. A diósak közül kett ek, a mákosak közül háromak égett az alja. Addig húzuk a táyérról visszatevés élkül, amíg diósat vagy égett aljút em húzuk. a. Legye X a kihúzott égett aljú süteméyek száma, Y pedig a kihúzott mákos süteméyek száma. Add meg X és Y együttes eloszlását és a peremeloszlásokat (foglald táblázatba! b. R(X, Y? (+ pot SZ. Legye { (X, Y együttes s r ségfüggvéye a következ : x f X,Y (x, y e y ha < x < a és < y külöbe a? E((X+(Y -? ( pot SZ. Legye (X, Y diszkrét valószí ségi vektorváltozó, mely értéket vesz fel azoos valószí séggel: (-;,,(;,(;,. R(X, Y? Meglep -e az eredméy és miért? ( pot SZ7. Legye (X, Y együttes s r ségfüggvéye f X,Y (x, y x +4y π e, ahol (x, y R. P(X<,Y <? R(X,Y? ( pot 9. Legye X a hatosok száma kockadobásból, Y pedig X + Z, ahol Z további kockadobásból a hatosok száma. Mi lesz Y legkisebb égyzetes közelítése X segítségével, ha a. X lieáris függvéyével közelítük; b. X tetsz leges függvéyével közelítük? X, Z Bi(, eloszlásúak és függetleek egymástól Y Bi(,.

a. a opt Cov(X,Y Cov(X,X+Z D X+Cov(X,Y D X D X D X b opt EY a opt EX. Tehát a legjobb lieáris becslés: X +. b. f opt (X E(Y X E(X + Z X E(X X + E(Z X X + EZ X +. Tehát a legjobb becslés: X +. 7. Legyeek adottak a következ (x,y párok: y i 4 a. Határozzuk meg és ábrázoljuk is az ax + b alakú regessziós egyeest. b. Számoljuk ki a reziduálisokat és becsüljük meg a hiba-szóráségyzetet. c. Adjuk meg az E(Y X, feltételes várható érték közelítését a Nadarajah-féle módszerrel, ha a magfüggvéy k(x/4 (-<x<, és külöbe és h. d. Adjuk el rejelzést x-re a regressziós egyees alapjá. Számítsuk ki a szükséges értékeket, ehhez célszer táblázatot készítei: y i x y i y â + ˆb ˆε i 4-4 - - - - x ; y a. â 9+ 4 8 ( ˆb 8 Tehát a regressziós egyees: 8 x + b. RNÖ ( ( +... + ˆσ 9. c. k(x 4I( < x < k ( x Xi h 4 I ( < x X i <. 4 I (X i < x < X i + azaz a k függvéy az X i pot ±-es köryezetébe 4 értéket vesz fel, azo kívül. X, két pot ±-es köryezetébe esik bele: -ébe és -éba. Így E(Y X, 4 + 4 4 +,. 4 d. 8+. 7. Véletleszer e választuk egy szót az alábbi modatból: EGY TEVE LEGEL A KERTBEN. A feladatuk az, hogy kitaláljuk a szó hosszát úgy, hogy a téyleges és a tippelt szóhossz közötti eltérés égyzetéek várható értéke miimális legye. a. Mit tippelük, ha semmi iformáció em áll redelkezésükre? b. Hogya tippelük, ha valaki megsúgta a szóba szerepl "e"-bet k számát? c. Hogya tippeljük, ha az "e" bet k számáak lieáris függvéyét haszálhatjuk? Legye X: tippelt szóhossz; Y : téyleges szóhossz; Z: "e" bet k száma egy szóba Ekkor X és Y függetleek és azoos eloszlásúak, az,,4, és 7 értékeket egyarát valószí séggel veszik fel. Z eloszlása: P (Z, P (Z, P (Z a. Y -t akarjuk közelítei X-szel f opt (X E(Y X EY ++4++7 4 b. Y -t akarjuk közelítei Z tetsz leges függvéyével f opt (Z E(Y Z E(Y Z, mert az egyetle "e" bet t em tartalmazó szó az "a", ami bet b l áll E(Y Z, mert az egyetle darab "e" bet t tartalmazó szó az "egy", ami bet b l áll E(Y Z (4 + + 7, mert a darab "e" bet t tartalmazó szavak a "teve", "legel", "kertbe, amik 4, és 7 bet b l állak

c. Tehát E(Y Z I(Z + I(Z + I(Z. Y -t akarjuk közelítei Z lieáris függvéyével a opt Cov(Z,Y D Z b opt EY a opt EZ Írjuk fel Z és Y együttes eloszlását: Z\Y 4 7 Z peremeloszlása Y peremeloszlása EZ + 7 EZ + D Z 49 E(ZY +8++4 7 Cov(Z, Y 7 7 4 4 7 a opt 7 b opt 4 7 Tehát a legjobb lieáris becslés: Z +. 7. U és V valószí ségi változókról a következ ket tudjuk: R(U, V -,7; EU4; EV ; D(UD(V. Becsüld alulról a P( 8 < U + V < valószí séget! X : U + V Ekkor EX EU + EV 4 + Cov(U, V R(U, V DU DV 4 8 D X D U + D V + Cov(U, V + + 8 4 P (8 < X < P ( < X < P ( X < P ( X }{{} D X ε 4. ε 7. Legalább háy embert kell megkérdezi egy közvéleméykutatásál, ha egy adott párt támogatottságát (az eltérést a várható támogatottságtól legalább 9%-os valószí séggel,él kisebb eltéréssel szereték megbecsüli? a. Számoljuk a Csebisev-egyel tleséggel. b. Számoljuk a ormális eloszlással. X i (i,..., legye az a valószí ségi változó, amely az értéket veszi fel, ha az i. ember a pártra szavaz (ismeretle p valószí séggel, és értéket vesz fel, ameyibe em Így X i Id(p EX i p, D X i p( p Becsüljük a támogatottságot X-gal Így EX EX p és D X D X p( p a. P ( X EX <, P ( X EX p( p p( p és eek kell agyobbak leie,9-él: ε {}}{, D X ε p( p, 9, p( p p( p. Például ha p,, akkor ( az 8 becslést kapjuk. b. Feltesszük, hogy X N p, p( p, 9( P ( X EX <, P (, < X p <, P ( Φ, p( p p( p < X p p( p Φ ( <, p( p p( p ( Φ p( p p( p Φ (, 97, 9 9 p( p Például ha p,, akkor az 47 becslést kapjuk. 74. Hamis érmével dobuk., a fej valószí sége. a. Becsüljük meg aak valószí ségét, hogy ezer dobásból legalább fej! b. Háyszor kell dobi, hogy a fejek relatív gyakorisága legalább 97, %-os valószí séggel több legye, mit,? a. Legye X i valószí ségi változó, ami értéket vesz fel, ha fejet dobuk, és -t, amikor írást. Ekkor yilvávalóa X i Id(, Legye Y : meyi fejet kaptuk dobásból, azaz Y X i Bi(;,. i Ekkor EY és DY 499. A becsüled valószí ség: P (Y P (Y < Haszáljuk a cetrális határeloszlás tételt: P (Y < P ( Y Φ( Φ( b. Legye X D X,,49 X i i < a fejek relatív gyakorisága, ekkor EX, és

A becsüled valószí ség: P (X >, Haszáljuk a Csebisev-egyel tleséget: P (X >, P (X, >, P (X,, P ( X EX, D X,,,49 4998 A feladat szövege alapjá eek kell legalább,97-ek leie: 4998, 97 ezt megoldva 999 jö ki: legalább 999-szor kell dobuk. 7. a. Legyeek X i Id(p (i,,... val. változók. Mihez kovergál X +...+X? b. X i jelölje az i-edik kockadobás eredméyét. Mihez kovergál X +...+X? a. A agy számok er s törvéye szerit eseté X +...+X m.m. EX p + ( p p b. X i -k közös eloszlása: P (X i k, k,,..., A agy számok er s törvéye szerit eseté X +...+X m.m. EX k 7 9 k 7. Legye X paraméter Poisso eloszlású. Mihez tart eseté a. P(X < ; b. P(X < /? A feladat megoldásához szükségük va egy állításra: Állítás X,..., X Poi(λ függetleek X +... + X Poi(λ, azaz függetle Poi(λ eloszlású val.változók összege is Poisso-eloszlású, a paramétereik pedig összeadódak. Eek féyébe a megadott X val. változót botsuk fel függetle Poissook összegére: X Y +... + Y, ahol Y i Poi( EX D X a. Haszáljuk a cetrális határeloszlás tételt P(X < P ( X < P ( X b. Haszáljuk a cetrális határeloszlás tételt P(X < P ( X < Φ(. < P ( X < Φ( Φ(. 77. Legye X Bi(, p. Mihez tart eseté a. X, ha p p; b. P(X < p /, ha p p; c. P(X <, ha p /; d. P(X k, ha p /? A feladat megoldásához szükségük va egy állításra: Állítás X,..., X Id(p függetleek X +... + X Bi(, p, azaz függetle Id(p eloszlású val.változók összege biomiális eloszlású. Eek féyébe a megadott X val. változót botsuk fel függetle idikátorok összegére: X Y +... + Y, ahol Y i Id(p. EX p és D X p ( p a. Haszáljuk a agy számok törvéyét - most EY i p p<, azaz teljesül a tétel feltétele Y i X i EY p valószí séggel. b. Haszáljuk a cetrális határeloszlás tételt, most EY i p p P (X < p ( X P p < p p p( p p( p ( ( X P p < Φ. p( p p( p p( p c. most p P (X < P (X + P (X ( (p ( p + ( (p ( p ( + ( e + e e. d. most p P (X k ( k (p k ( p k ( k ( k k (...( k+ k! ( k ( k k!... k+ ( ( k k! ( k... ( ( ( k k! e e k!. SZ8. Egy dobókockát kétszer feldobuk. Legye U az els dobás eredméye, V a második dobás eredméye, és X U + V, valamit Y U V. Hogya közelítsük Y -t X segítségével, ha a. csak lieáris függvéyt haszálhatuk; b. tetsz leges függvéyt alkalmazhatuk? ( pot SZ9. A 'Piroska' Biztosító kollektív balesetbiztosítást ajálott cirkuszi dolgozókak. Baleseti halál eseté millió foritot zet a biztosító. lég-