Valószín ségszámítás 2 gyakorlat Alkalmazott matematikus szakirány

Hasonló dokumentumok
18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.

egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben

A peremeloszlások. Valószínőségszámítás elıadás III. alk. matematikus szak. Példa. Valószínőségi vektorváltozók eloszlásfüggvénye.

Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

Áringadozások elıadás Kvantitatív pénzügyek szakirány 2012/13 2. félév

I. rész. Valós számok

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

véletlen : statisztikai törvényeknek engedelmeskedik (Mi az ami közös a népszavazásban, a betegségek gyógyulásában és a fiz. kém. laborban?

Valószín ségszámítás (jegyzet)

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

Kalkulus II., második házi feladat

(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1.

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Gyakorló feladatok II.

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)

ELTE TTK Budapest, január

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.

2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok

A matematikai statisztika elemei

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.

Valószín ségszámítás és statisztika

3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.

Eddig megismert eloszlások Jelölése Eloszlása EX D 2 X P(X = 1) = p Ind(p) P(X = 0) = 1 p. Leíró és matematikai statisztika

2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.

Matematikai statisztika gyakorlat Programtervez informatikus alapszak, A szakirány 2018/2019 tavaszi félév Megoldások, végeredmények

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!

Matematika B4 I. gyakorlat

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 18.

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter

Valószín ségszámítás és statisztika

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Játékszabályok. a keresett valószín ség:

1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

Matematikai statisztika

Metrikus terek. továbbra is.

Bevezetés. Valószínűségszámítás 2 előadás III. alk. matematikus szak. Irodalom. Egyéb info., számonkérés. Cél. Alapfogalmak (ismétlés)

A biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

Barczy Mátyás és Pap Gyula

Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés

Statisztika gyakorlat Geológus szakirány

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Valószínűségszámítás II. feladatsor

BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA. Leíró statisztika

Analízis feladatgy jtemény II.

Komplex számok (el adásvázlat, február 12.) Maróti Miklós

Gazdasági matematika II. tanmenet

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia

Zavar (confounding): akkor lép fel egy kísérletben, ha a kísérletet végző nem tudja megkülönböztetni az egyes faktorokat.

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

Analízis I. gyakorlat

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

Autoregressziós folyamatok

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

1. elıadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Valószínőségszámítás helye a tudományok között. Cél

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás

= λ valós megoldása van.

Statisztika. Földtudomány szak, geológus szakirány, 2015/2016. tanév tavaszi

Véletlen bolyongás. 2. rész. Márkus László jegyzete alapján Tóth Tamás december 10.

Valószín ségszámítás. Survey statisztika mesterszak és földtudomány alapszak Backhausz Ágnes 2018/2019.

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges.

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Valószínűségszámítás összefoglaló

Reakciómechanizmusok leírása. Paraméterek. Reakciókinetikai bizonytalanságanalízis. Bizonytalanságanalízis

Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.

Statisztika Elıadások letölthetık a címrıl

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol

Konvex optimalizálás feladatok

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:

Átírás:

Valószí ségszámítás gyakorlat Alkalmazott matematikus szakiráy Játékszabályok Az óráko részt kell vei, maximum 3-szor lehet hiáyozi. Aki többször hiáyzik, em ka gyakjegyet. 00 + x otot lehet szerezi a félév sorá: 40 ot:. ZH a félév közeé 40 ot:. ZH a félév végé 0 ot: beaaó felaatokkal ( ot 0 x ot: szorgalmi felaatokkal Mikét ZH- miimálisa teljesítei kell a 30 %-ot, azaz a otot. Ha egy ZH sikertele, em íro meg, vagy javítai szeretél, akkor vizsgai szak els heté lesz lehet ség a ótzh megírására vagy a javításra. Csak az egyik ZH ayagából javíthatsz, és a jobbik ereméyt veszem gyelembe, azaz em lehet rotai. Két sikertele vagy meg em írt ZH eseté gyakuv-t írsz, és maximum kettest kahatsz. A ZH-ko a kiosztott táblázatoko kívül haszáli lehet egy A4-es lara (akár mikét olalára KÉZZEL írott "uskát". Beaaók: Miegyik maximálisa otot ér, a legjobb 0-et veszem gyelembe. A beaaókál több felaatot is kihiretek, amik közül ízlés szerit válogathattok. A beaaók célja, hogy folyamatosa tauljatok, gyakoroljatok, ezért x határi ig lehet ket beyújtai. 0-34,99 35-49,99 Osztályozás: 3 50-64,99 4 65-79,99 5 80-000 Személyes aatok Név Varga László Taszék Valószí ségelméleti és Statisztika Taszék (ELTE TTK Szoba D 3-309 E-mail vargal4@cs.elte.hu Hola www.cs.elte.hu/~vargal4 Ajálott iroalom Bogáré Mogyorói Prékoa Réyi Szász: Valószí ségszámítási felaatgy jteméy Arató Prokaj Zemléi: Valószí ségszámítás elektroikus jegyzet (kés bb: takoyvtar.hu, most htt://www.cs.elte.hu/~zemlei/ oktatas.html. De Méré roblémája, 654. De Méré lovag agy szerecsejátékos volt, az alábbi két kéréssel forult Pascal-hoz: Ha egy kockát 4-szer felobuk, akkor mi aak a valószí sége, hogy legalább egy hatos obás lesz? Ha két kockát 4-szer felobuk, mi aak a valószí sége, hogy legalább egy ula hatos lesz? A lovag tisztába volt vele, hogy az els kérésre aaó válasz -él kicsivel kisebb, a másoikra eig -él kicsivel agyobb, e fogalma se volt, miért. a. Számítsuk ki a két valószí ség otos értékét! b. A két valószí ség miért va közel egymáshoz?. Markowitz-moell, 95. Számlavezet bakoál reelkezésere áll 70.000 Ft, amit be szeretél fekteti a bak által kíált három ortfólióba: az A ortfólió éves várható hozama (a korábbi évek taasztalatai alajá 3%, % szórással; a B ortfólióé 4%, 3% szórással; a C ortfólióé eig 5%, 4% szórással. A ortfóliók hozama függetle egymástól. Határoz meg az otimális befektetési stratégiáat, ha célo egy várhatóa 4%-os hozamot roukáló, ÉS miél kisebb szórású befektetési struktúra kialakítása! Várhatóa meyi éze lesz egy év múlva az otimális befektetési stratégiával? [Befektetési stratégia: éze háy %-át fektete az A, B és C ortfóliókba.] 3. Mi a valószí sége, hogy egy szabályos kockával -szer obva, mie szám legalább egyszer kijött? 4. Péterek 0, Marcsiak 30 Ft-ja va. Egy játékba Péter valószí - séggel yer Ft-ot Marcsitól és ugyaeyi valószí séggel veszít Ft-ot. Aig játszaak, míg valamelyikük elyeri a másik összes ézét. Milye valószí séggel yer Péter? 5. Legye X abszolút folytoos eloszlású, Y = ax + b (a, b R. Határoz meg Y eloszlás-, s r ségfüggvéyét, várható értékét és szóráségyzetét! R(X, Y =? 6. Legye X E(0, 3 és Y = X. Határoz meg Y s r ségfüggvéyét és várható értékét!

7. Legye X valószí ségi változó s r ségfüggvéye f X (x = π e x x, Y valószí ségi változó s r ségfüggvéye eig f Y (y = π e 4y +4y. Va-e olya alkalmas g függvéy, hogy Y = g(x teljesüljö? Ha va, határoz meg ez(eket a függvéy(eket! 8. Mutass élát olya (Ω, A, P valószí ségi mez re és ezekbe olya A, B, C eseméyekre, amelyekre a. A, B és C árokét függetleek, azoba em teljese függetleek; b. P (A B C = P (AP (BP (C teljesül, azoba az A, B, C eseméyek em teljese függetleek! 9. Gerg egyetemista, aki gyalog 30 ercre lakik az egyetemt l, és egész évbe em vásárol jegyet/bérletet tömegközlekeésre. Ha metróval megy be órára, akkor az elle rök 50% eséllyel, ameyibe eig villamossal, akkor 5%-os eséllyel csíik yako mie úto. A ótíj összege 6 ezer Ft. Egész évbe 00 alkalommal kell bemeie az egyetemre. Mie egyes alkalommal 0, valószí séggel választja a villamost, valószí séggel eig a metrót. a. Határoz meg a értékét, ha egész évbe átlagosa 3 ezer Ft-ot "szá" a bírságokra! b. Az éves iákbérlet 40 ezer Ft-ba kerül. Számíts ki aak a valószí - ségét, hogy Gerg az éves bérlettel jobba jár! c. Gerg t október 4-é az egyetemre meet megbírságolták az elle rök. Határoz meg aak a valószí ségét, hogy villamossal közlekeett! 0. Legye X emegatív iszkrét valószí ségi változó. a. Bizoyítsuk be, hogy EX = P (X k! k= b. Eek segítségével vezessük le a geometriai eloszlás várható értékét!. Legyeek X,..., X i.i.. valószí ségi változók. Jelölje S = X i. Tegyük fel, hogy X i -k ozitívak, EX < és E (/S <. Határoz meg az E ( Sk S meyiséget, ha a. k b. k > B. [IX..] Számlavezet bakoál reelkezésere áll 90.000 Ft, amit be szeretél fekteti a bak által kíált két ortfólióba: az A ortfólió éves várható hozama (a korábbi évek taasztalatai alajá 3%, % szórással; a B ortfólióé eig 4%, 3% szórással. A ortfóliók hozama közötti korreláció 0, 5. Határoz meg az otimális befektetési stratégiáat, ha célo egy miél kisebb szórású befektetési struktúra kialakítása! Várhatóa meyi i= éze lesz egy év múlva az otimális befektetési stratégiával? [Befektetési stratégia: éze háy %-át fektete az A és B ortfóliókba.] SZ. Legye { F (x folytoos eloszlásfüggvéy, F (0 = 0. Mutas meg, hogy 0 ha x < G(x := F (x F ( x ha x is eloszlásfüggvéy. ( ot SZ. Legyeek X N(0, és Y Bi (, függetle valószí ségi változók. U := sg(x Y, ahol sg(.. az el jelfüggvéy. Határoz meg U várható értékét! ( ot SZ3. Legye X E( 3, 4, Y = g(x = X + X +. Határoz meg Y eloszlásfüggvéyét és várható értékét! Milye tíusú valószí ségi változó Y? ( ot. Legye X emegatív valószí ségi változó. Jelölje F (x = F (x-et, amit túlélésfüggvéyek evezük. Tegyük fel, hogy a valószí ségi változóak tetsz leges re mometuma létezik és véges. a. Bizoyíts be, hogy EX = F (x 0 b. Bizoyíts be, hogy EX k = kx k F x 0 c. Ezek segítségével számíts ki az exoeciális eloszlás k-aik (k {,, 3,...} mometumát! 3. Legye X olya valószí ségi változó, amelyr l a következ k ismertek: D X = 3 6 és EX + EX 4 = EX 3. Határoz meg X eloszlását! 0 ha x 0 x 4. Legye F (x = ha 0 < x cx + ha < x ha < x a. Határoz meg az ismeretle valós c és araméterek lehetséges értékeit, ha a feti F (x függvéy az X valószí ségi változó eloszlásfüggvéye! b. Határoz meg X várható értékét! c. Milye eloszlású X, ha X abszolút folytoos? { a + a e 5. x ha x 0 Legye F (x = b + b e x ha x > 0

a. Határoz meg az ismeretle valós a, a, b és b araméterek lehetséges értékeit, ha a feti F (x függvéy az X valószí ségi változó eloszlásfüggvéye! b. Határoz meg az ismeretle aramétereket, ha X abszolút folytoos és EX = 0! ( B. [IX.9] Legye X E(0,, Y = log X X. Határoz meg Y eloszlásfüggvéyét, s r ségfüggvéyét és várható értékét. [Y eloszlásáak eve: logisztikus eloszlás.] B3. [IX.9] (x 3 ha x 0 Legye F (x = a + bx ha 0 < x ha < x a. Határoz meg az ismeretle valós a és b araméterek lehetséges értékeit, ha a feti F (x függvéy az X valószí ségi változó eloszlásfüggvéye! b. Számíts ki X várható értékét! c. Mely araméterértékek eseté lesz X abszolút folytoos? 0 ha x SZ4. Legye F (x = ax + bx + c ha < x ha x > a. Határoz meg az ismeretle valós a, b és c araméterek lehetséges értékeit, ha a feti F (x függvéy az X valószí ségi változó eloszlásfüggvéye és tujuk róla, hogy a várható értéke! b. Mely araméterértékek eseté lesz X abszolút folytoos? (+= ot SZ5. Legye F (x eloszlásfüggvéy és a R ozitív szám. Számítsuk ki a következ itegrált: [F (x + a F (x] x! ( ot SZ6. Mutassuk meg, hogy az X valószí ségi változó várható értéke otosa akkor létezik, amikor [X]-é, továbbá X = [X] otosa akkor, amikor X egész érték! ( ot 6. Legye X tetsz leges valószí ségi változó, F (x eloszlásfüggvéyel. a. Határoz meg Y = F (X eloszlását! b. Ez alajá hogya tuuk geeráli egy X eloszlású val. változót? 7. Legyeek X, Y, Z E(0, függetleek. Határoz meg a következ traszformáltak s r ségfüggvéyét: a. U = X + Y ; b. U = X + Y + Z; c. U = X Y ;. U = ax + by, ahol a, b R. 8. a. Mutas meg, hogy πσ x e x σ x = π σ! Milye valószí ségszámítási értelmet tuuk ai az itegrálak? b. Legyeek X, Y N(0, eloszlású, egymástól függetle valószí ségi változók. Határoz meg U = X Y s r ségfüggvéyét és várható értékét! Milye eloszlású U? c. Legyeek X N(0, σ és Y N(0, σ egymástól függetle valószí - ségi változók. Mutas meg, hogy ekkor X Y (0, Cauchy σ σ! 9. Legyeek X i N(0,, i függetleek. Ekkor Y = Xi valószí ségi változó eloszlását szabaságfokú khíégyzet-eloszlásak evezzük, jelölése: Y χ. i= a. Mutassuk meg, hogy X Γ (,! b. Mutassuk meg, hogy X +X Ex(! c. Mutassuk meg karakterisztikus függvéyek élkül, hogy Y Γ (,! 0. Szai mie a villamossal és busszal közlekeik, hogy eljusso az egyetemre. Az alábbi ábra tartalmazza a közlekeési i ket: Ott- Villamos- Busz- Egyeho 5 megálló 0 megálló 8 5 tem Taasztalatai alajá átlagosa ercet vár a villamos megállójába és 4 ercet a busz megállójába. Szai ma reggel kés bb ébret fel, ezért csak 7:43-kor iult el otthoról, az els órája 8:5-kor kez ik. Becsüljük külöböz, értelmes valószí ségi moellek segítségével aak a valószí ségét, hogy el fog kési!. Box-Müller traszformáció. Legyeek X, X E(0, függetleek. Legyeek Y = log X cos(πx, Y = log X si(πx. Mutassuk meg, hogy Y, Y N(0, függetleek!. Legyeek X χ, Y χ q függetleek! Mutassuk meg, hogy U = X +Y és V = függetleek, és határozzuk meg az eloszlásukat! gyalog villamossal gyalog busszal gyalog X X+Y 3

3. Legyeek X Γ(α, λ, Y Γ(β, λ függetleek! Mutassuk meg, hogy U = X + Y és V = Y X+Y függetleek, és határozzuk meg az eloszlásukat! 4. Kockázati folyamat iszkrét i be. Egy biztosító 00. jauár -jé 0 M Ft t kével reelkezik. Ügyfelei egy év alatt 0 M Ft biztosítási íjat zetek. Az év sorá bekövetkezett káreseméyekre a biztosító miig a következ év elejé teljesíti a kizetést, mie káresetél M Ft-ot. Korábbi taasztalatok alajá meggyelték, hogy egy év alatt a káreseméyek száma 5 araméter Poisso-eloszlást követ. A biztosító cs be megy, ha aktuális t kéje kevesebb lesz 0-ál. Határozzuk meg aak a valószí ségét, hogy a biztosító a. 0. jauár -jé megy cs be (az el z évekbe em volt cs be; b. 0. jauár -jé megy cs be (az el z évekbe em volt cs be; c. 03. jauár -jé megy cs be (az el z évekbe em volt cs be. 5. Mely c-re leszek kétimeziós s r ségfüggvéyek az alábbiak? Ajuk meg a erems r ségfüggvéyeket { és a kovariaciamátrixot! c ha 0 < x < és 0 < y < x a. f X,Y (x, y = { c (x + y ha (x, y (0, b. f X,Y (x, y = 6. ( Legye X és Y függetle staar ormális eloszlású. Határozzuk meg X + 3Y együttes s r ségfüggvéyét és kovariaciamátrixát! X + Y 7. Legyeek X N(m, σ, Y N(m, σ, r := R(X, Y. Határozzuk meg az együttes s r ségfüggvéyüket! P (X < m, Y < m =? 8. Legye X = (X, X{, X 3 T s r ségfüggvéye a következ : f X (x, x, x 3 = a ex ( ( x ( 3 + x + ( + (x3 }, ahol a R. Határoz meg a. az a számot; b. X kovariaciamátrixát; c. (X, X 3 T s r ségfüggvéyét;. a P (X < 0, X 3 < valószí séget! B4. [ X.6.] Juliska éi a városi iaco értékesíti almáját. Mi az értékesítési meyiség, mit az ár véletleek tekithet (lehet vele alkuozi. Az egy a alatt elaott meyiség (kg Pareto eloszlású 5 4 és 0 araméterekkel, míg az elaott almák ára (Ft/kg egyeletes eloszlású 80 és 0 araméterekkel. Tegyük fel, hogy a meyiség és az ár függetleek egymástól. Költségei aota 4000 foritot teszek ki (beziköltség. a. Várhatóa meyi rotra fog szert tei egy a alatt? b. Határoz meg aak a valószí ségét, hogy Juliska éi ai rotja meghalaja az 5000 foritot! { B5. [ X.6.] Legye (X, Y T s r ségfv.-e f(x, y = π ha x + y Határozzuk meg az U = X + Y és a V = arctg ( Y X valószí ségi változók közös s r ségfüggvéyét! B6. [ X.3.] Legye az (X, Y T ot egyeletes eloszlású a (, 0, (0, 0, (0, otok által meghatározott háromszögbe. Mi lesz az (X, Y T kétimeziós eloszlás kovariaciamátrixa? B7. [ X.3.] Legye X { = (X, X, X 3 T s r ségfüggvéye } a következ : f X (x, x, x 3 = a ex x x 8 x 3 + x, ahol a R. Határoz meg a. az a számot; b. X kovariaciamátrixát; c. a P (X < 0, X >, X 3 < valószí séget! SZ7. Legyeek X, X,..., X Ex( függetleek. Legye Y i = X i i =,,..., eseté és Y = i= X i i= Számítsuk ki Y = (Y, Y,..., Y együttes s r ségfüggvéyét. Függetleek a kooriáták? ( ot SZ8. Legyeek X N 3 (0, I 3, továbbá Y i = i =,, 3. X i X +X +X 3 Határozzuk meg Y s r ségfüggvéyét! ( ot SZ9. Mely c-re lesz kétimeziós s r ségfüggvéy az alábbi? Ajuk meg a erems r ségfüggvéyeket { és a kovariaciamátrixot! c max{x, y} ha (x, y (0, f X,Y (x, y = ( ot SZ0. Legyeek X és Y ormális eloszlásúak, R(X, Y = 0. Mutassuk meg, hogy ekkor X és Y függetleek! ( ot SZ. Rékáak és Bálitak együtt 000 arab giccsbábut kell elkészíteie. A bábuk gyártása két részb l áll: el ször egy gé segítségével elkészítik a orcelá bábut, maj befestik. A festés ieje elég változékoy, ezért ezt valószí ségi változóak tekitjük. Ha Réka/Bálit egyeül végezé el a mukát, akkor a következ i t vee igéybe számukra a muka (mie szám órába érte : X i. 4

Géi megmukálás Festés Réka egyeül X E(4, 6 Bálit egyeül 3 Y E(3, 5 Az üzembe va elege bábukészít gé és festék, hogy együtt olgozva, egymást e tartsák fel. El ször az összes bábut legyártják géel, ezutá állak eki a festések. a. Várhatóa meyi i alatt végezek, ha mikette olgozak? b. Határoz meg aak a valószí ségét, hogy mikette olgozva, 3 óra alatt befejezik a mukát! (0,5+,5= ot 9. Legyeek X és Y valószí ségi változók, ε > 0 valós szám. Lássuk be, hogy ekkor P (X + Y > ε P (X > ε/ + P (Y > ε/. 30. Legyeek X ( =,,... és X valószí ségi változók. Bizoyítsuk be, hogy ameyibe X X, akkor X X, azaz a sztochasztikus kovergeciából következik az eloszlásbeli kovergecia. 3. Legyeek X ( =,,... és X valószí ségi változók. Bizoyítsuk be, vsz. hogy ameyibe X X, akkor X X, azaz az valószí ség kovergeciából következik az sztochasztikus kovergecia. 3. Legyeek X ( =,,... és X valószí ségi változók. Bizoyítsuk L be, hogy ameyibe X X, akkor X X, azaz az L -beli kovergeciából következik a sztochasztikus kovergecia. 33. Legyeek X ( =,,... és X valószí ségi változók, a, b R. Bizo- yítsuk be, hogy ameyibe X X, akkor ax + b ax + b. 34. Legyeek X és Y ( =,,... valószí ségi változók. Igaz-e, hogy ameyibe m.m. a. X X és Y m.m. Y, akkor X m.m. + Y X + Y ; b. X X és Y Y, akkor X + Y X + Y ; c. X X és Y Y, akkor X + Y X + Y ; L. X X és Y L Y, akkor X L + Y X + Y ; m.m. e. X X és Y m.m. Y, akkor X m.m. Y XY ; f. X X és Y Y, akkor X Y XY ; g. X X és Y Y, akkor X Y XY ; L h. X X és Y L Y, akkor X L Y XY ; 35. Legyeek X ( =,,... valószí ségi változók és a R. Bizoyítsuk be, hogy ameyibe X a, akkor X a. 36. Igaz-e, hogy ameyibe X X, akkor X X 0. 37. Cramér-Szluckij lemma. Legyeek X, Y ( =,,... és X valószí ségi változók, a R. Bizoyítsuk be, hogy ameyibe X X és Y a, akkor a. X + Y X + a; b. X Y ax. 38. Legye (Ω, A, P geometriai valószí ségi mez, Ω = [, ]. Vizsgáljuk az alábbi valószí ségi változó sorozat kovergeciáját: ha ω [ +, ] X (ω = ha ω [, ] 39. Legye (Ω, A, P geometriai valószí ségi mez, Ω = [0, ]. Vizsgáljuk az alábbi { valószí ségi változó sorozat kovergeciáját: e ha ω [ 0, ] X (ω = 40. Legye (Ω, A, P geometriai valószí ségi mez, Ω = [0, ]. Vizsgáljuk az alábbi { valószí ségi változó sorozat kovergeciáját: ha ω [ 0, ] { X (ω = 4 ha ω [ és X(ω =, 3 ] 4. Mutassuk meg, hogy X X, e X X 4. Vizsgáljuk aak a valószí ségi változó sorozatak a kovergeciáját, amelyél a valószí ségi változók függetleek és eloszlásuk az alábbi: P (X = =, P (X = 0 =. B8. [X.0.] Legyeek X I ( + ( ( =,,..., X I függetleek. Vizsgáljuk meg, hogy X tart-e X-hez valószí séggel, sztochasztikusa, eloszlásba, L -be! B9. [X.0.] Mutassuk meg, hogy ameyibe lim E(X X = 0, akkor lim EX = EX és lim EX = EX. 5

SZ. Legyeek X ( =,,... ( és X valószí ségi változók. Mutassuk meg, hogy X X E X X + X X 0 ( ot SZ3. Az el z szorgalmi ereméyét felhaszálva lássuk be a Riesz-lemmát: ha X X, akkor létezik olya vsz. k részsorozat, amire X k X, k azaz sztochasztikusa koverges valószí ségi változók sorozatáak va valószí séggel koverges részsorozata. ( ot SZ4. Mie N számhoz létezik k és m úgy, hogy = k + m, ahol k = 0,,... és m { = 0,,..., k. k ω [ m, m+ Legye X (ω = k k Milye értelembe kovergál X? ( ot 4. X i -k (i =,,... függetle val. változók Hova kovergál és hogya? X a. X i I( 5+...+X5 X b. X i Bi(, / +...+X X 4+...+X4 X c. X i : az i-eik kockaobás ereméye +...+X. X i E(, 6 (i =,,... X... X e. X i Ex( (i =,,... e X +...+e X X +...+X 3 f. X i N(, 3 (i =,,... 43. Függetle, valószí séggel sikeres kísérleteket végzük. Legye Y i =, ha az i-eik és az i+-eik kísérlet sikeres. Teljesül-e az Y, Y,... sorozatra a agy számok gyege törvéye? 44. Egy részvéy éves hozama valószí séggel 90%, valószí séggel 50%. Az éves hozamok függetleek egymástól. Mihez tart a t kék, ha a. teljes t kéket, azaz C Ft-ot fektetük be és em vesszük ki a ézüket? b. mie évbe az aktuális összt kék felét fektetjük be, másik felét eig ottho rizzük? 45. Határozzuk meg a karakterisztikus függvéyt, ha X eloszlása a. P (X = k = k, k = 0,,...; b. P (X = k = P (X = k = k, k = 0,,...; c. I(;. Geo(; e. NegBi(, ; f. Ex(λ; g. Γ(α, λ; h. E(a, b; i. E(, ; j. Cauchy(0, ; k. { N(0,. t < t < l.. 46. Kakterisztikus függvéyek-e az alábbiak? a. si(t; b. ϕ; c. ϕ ;. ϕ ; e. cos(t; f. cos (t; g. cos(t ; h. e it t ; i. e t4 ; j. e t ; k. e t ; 47. Fejezzük ki a valószí ségi változó -eik mometumát és szóráségyzetét a karakterisztikus függvéy segítségével! 48. Keressük olya karakterisztikus függvéy sorozatot, amiek a limesze em karakterisztikus függvéy! 49. Keressük élát olya X és Y valószí ségi változókra, amelyekre ϕ X+Y (t = ϕ X (t ϕ Y (t, azoba X és Y em függetleek! 50. Legyeek X E (, és P (Y = = P (Y = = függetleek. Karakterisztikus függvéyek segítségével állaítsuk meg X + Y eloszlását! 5. Milye eloszlású arab függetle Cauchy-eloszlású valószí ségi változó átlaga? 5. Mutassuk meg, hogy két függetle, azoos eloszlású valószí ségi változó külöbsége em lehet E(, eloszlású! B0. [XI.0.] Va egy szabálytala kockák, ami egy -es, két -es és három 3-as szereel. A kockát sokszor felobjuk egymás utá. Kovergál-e valahova (ha ige, milye értelembe a obott számok szorzata? B. [XI.0.] Legyeek X Poi( és Y Poi(3 függetle valószí ségi változók. Határoz meg U = X + Y karakterisztikus függvéyét, maj eek segítségével számíts ki U várható értékét! 6

B. [XI.7.] Karakterisztikus függvéy a ϕ(t = +t 4 függvéy? SZ5. Legye ϕ karakterisztikus függvéy. Bizoyítsuk be, hogy a. 4Re( ϕ(t Re( ϕ(t; b. 8( ϕ(t ϕ(t. SZ6. Mutassuk meg, hogy tetsz leges X valószí ségi változóra és ϕ(t karakterisztikus függvéyére teljesül a következ egyel tleség: ϕ(t E tx! ( ot 53. Számítsuk ki a következ -szeres itegrál értékét, ha : x... 4 +...+x4 x x... x! 0 0 +...+x 54. Hamis érmével obuk. 0,5 a fej valószí sége. a. Becsüljük meg a CHT-vel aak valószí ségét, hogy 0000 obásból legalább 530 fej! Becsül meg a becslés hibáját a Berry-Essée tétellel! b. Háyszor kell obi, hogy a fejek relatív gyakorisága legalább 97,5 %-os valószí séggel több legye, mit 0,505? 55. Legye X araméter Poisso eloszlású. Mihez tart eseté a. P(X < ; b. P(X < /? 56. Legyeek X,..., X E(0, b függetleek, ahol b > 0 valós araméter. Legye Y = mi(x,..., X. Határoz meg Y határeloszlását, ha! 57. Legye X Geo ( λ. Határozzuk meg X határeloszlását, ha! X 58. Legye X Negbi(,. Számítsuk ki határeloszlását, ha (! 59. Legyeek X i E(0,, i=,..., függetle valószí ségi változók, és jelölje Y a maximumukat. Számítsuk ki a következ meyiséget: lim P (( Y > t 60. Legyeek X, X,... függetle, azoos eloszlású, µ > 0 várható érték és σ szórású emegatív valószí ségi változók. Legye S = X +...+X, és t > 0 eseté N(t = max{k 0 : S k t}. Számíts ki N(t t µ t amit t! 6. Számítsuk ki a következ meyiséget: lim e k=0 k k! határeloszlását, B3. [XI.4.] Egy szabályos kockát 3000-szer felobuk egymás utá. Határoz meg aak a valószí ségét a CHT-vel, hogy a 6-osok száma 470 és 560 között lesz! Becsül meg a becslés hibáját a Berry-Essée tétellel! B4. [XII..] Számíts ki az alábbi határértéket: ( lim k k: k (X i i i= 6. Legyeek X i I( i i =,,... függetleek, Y =. Mi a i ( i i= feltétele, hogy Y gyegé tartso egy ormális eloszláshoz? 63. Legyeek X i E(0, i =,,... függetleek. Mutassuk meg, hogy P 4 ix i i= < x Φ ( 3x 3? 64. Legyeek X, X,... függetle valószí ségi változók. Mely esetekbe teljesítik a Lieberg-feltételt? a. P (X i = i = P (X i = i = ; b. P (X i = i = P (X i = i =. SZ7. Egy szabályos érmével aig obuk, amíg mi a fejekb l, mi az írásokból legalább k arabot em kauk. Jelölje ν k az ehhez szükséges obások számát. Számíts ki ν k k határeloszlását, amit k k. ( ot SZ8. Legyeek X, X,... függetle valószí ségi változók, P (X = α = P (X = α =, k, ahol α rögzített valós szám. Bizoyítsuk be, hogy akkor és csak akkor érvéyes rájuk a CHT, ha α! ( ot SZ9. Legyeek X i N(0, i i =,,... függetleek. a. Teljesül az {X } N sorozatra ( a Lieberg-feltétel? b. Számítsuk ki a lim P X +...+X > határértéket! ( ot SZ0. Legyeek X, X,... függetleek, P (X = = P (X = = és P (X = 0 =. Teljesül az {X } N sorozatra a CHT? ( ot 65. Legye X E(,, Y = X. Határozzuk meg a. Y legjobb égyzetes közelítését X tetsz leges függvéye segítségével; b. X legjobb égyzetes közelítését Y tetsz leges függvéye segítségével; c. X legjobb égyzetes közelítését Y lieáris függvéye segítségével! 7

66. Teljes valószí ség tétele folytoos esetbe. Legye A tetsz leges eseméy, Y abszolút folytoos valószí ségi változó. Ekkor bizoyítsuk be a teljes várható érték tétel segítségével, hogy P (A = P (A Y = yf Y (y y. 67. Legye (X, Y valószí ségi vektorváltozó egyeletes eloszlású az {(x, y R : x + y } egységkörlao. Számítsuk ki az f X Y (x y feltételes s r ségfüggvéyt és az E(X Y feltételes várható értéket! 68. Legye (X, Y kétimeziós ormális eloszlású. Határozzuk meg az X Y feltételes eloszlást! 69. Tegyük fel, hogy a magyar férak magassága és testsúlya kétimeziós ormális eloszlású. A férak átlagmagassága 78 cm, 9 cm szórással; átlagos testsúlyuk eig 85 kg, 0 kg szórással. A magasság és a testtömeg közötti korreláció 0,7. a. Feltéve, hogy egy fér 80 kg, mi a valószí sége, hogy magasabb 80 cm-él? b. Átlagosa mekkora súlyú egy 90 cm magas fér? c. Átlagosa milye magas egy 94,44 kg-os fér? 70. Legyeek X és Y egymástól függetle, staar ormális eloszlásúak. Határozzuk meg karakterisztikus függvéy segítségével X Y eloszlását! Haszáljuk fel, hogy tetsz leges a, b > 0 eseté e a x b x x = π e ab a. 0 7. Legyeek X, X,..., X függetle, λ araméter ( Poisso-eloszlású valószí ségi változók. Határoz meg az E X X i feltételes várható i= értéket! B5. [XII.8.] Legye (X, { Y valószí ségi vektorváltozó együttes s r ségfüggvéye f X,Y (x, y =. e y ha 0 x y Számíts ki az E(Y X feltételes várható értéket! B6. [XII.8.] Egy obókockát kétszer felobuk. Legye U az els obás ereméye, V a másoik obás ereméye, és X = U + V, valamit Y = U V. Hogya közelítsük Y -t X segítségével, ha a. csak lieáris függvéyt haszálhatuk; b. tetsz leges függvéyt alkalmazhatuk? { c ha 0 < x < és + x < y < x SZ. Legye f X,Y (x, y = Határoz meg a c értékét, maj az E(X Y és E(X Y feltételes várható értékeket! ( ot SZ. Legyeek X, X,..., X valószí ségi változók egyeletesek a iszkrét {,,..., N} halmazo, jelölje X = max(x,..., X -et. Mutas meg, hogy E(X X = (X + (X + (X (X! ( ot SZ3. Legyeek X, Y valószí ségi változók, r := R(X, Y. Bizoyítsuk be, hogy E(D (Y X ( r D Y! ( ot 7. Jelölje S a számegyees egész kooriátájú otjai szimmetrikusa mozgó ot helyzetét az. léés utá, S 0 = 0. Mutassuk meg, hogy a. S martigál; b. S szubmartigál, S martigál; e ts ch(t c. e S szubmartigál, martigál. 73. Mutassuk meg, hogy ha az X szubmartigálra E(X = E(X mie -re, akkor X martigál. 74. Legye a, b > 0, tegyük fel, hogy (X, F és (Y, F szubmartigálok. Mutassuk meg, hogy (ax + by, F és (max(x, Y, F is szubmartigálok. Fogalmazzuk meg aalóg állításokat szuermartigálokra! 75. Lehet-e egyszerre X és X is martigál az X,..., X által geerált σ-algebrára ézve? 76. Legyeek X, X,... i.i.. valószí ségi változók, P (X = = 3, P (X = = és P (X = 4 = 6. Legye S = X +... + X. Keressük meg az összes olya α valós számot, amelyre Y = e αs martigál az F = σ(s,..., S σ-algebrára ézve! SZ4. Tekitsük a következ bolyogást: P (X = = P (X = =, az X i is a + és értékeket veszi fel, e P (X i = X i = P (X i = X i =. Legye S = X +... + X. Mutassuk meg, hogy Y = S + X ( martigál! ( ot SZ5. Jelölje S szimmetrikusa bolyogó ot helyzetét az. léés utá. Keressük miél több olya kétváltozós oliomot, amire (S, martigál! ( ot 8