Valószí ségszámítás gyakorlat Alkalmazott matematikus szakiráy Játékszabályok Az óráko részt kell vei, maximum 3-szor lehet hiáyozi. Aki többször hiáyzik, em ka gyakjegyet. 00 + x otot lehet szerezi a félév sorá: 40 ot:. ZH a félév közeé 40 ot:. ZH a félév végé 0 ot: beaaó felaatokkal ( ot 0 x ot: szorgalmi felaatokkal Mikét ZH- miimálisa teljesítei kell a 30 %-ot, azaz a otot. Ha egy ZH sikertele, em íro meg, vagy javítai szeretél, akkor vizsgai szak els heté lesz lehet ség a ótzh megírására vagy a javításra. Csak az egyik ZH ayagából javíthatsz, és a jobbik ereméyt veszem gyelembe, azaz em lehet rotai. Két sikertele vagy meg em írt ZH eseté gyakuv-t írsz, és maximum kettest kahatsz. A ZH-ko a kiosztott táblázatoko kívül haszáli lehet egy A4-es lara (akár mikét olalára KÉZZEL írott "uskát". Beaaók: Miegyik maximálisa otot ér, a legjobb 0-et veszem gyelembe. A beaaókál több felaatot is kihiretek, amik közül ízlés szerit válogathattok. A beaaók célja, hogy folyamatosa tauljatok, gyakoroljatok, ezért x határi ig lehet ket beyújtai. 0-34,99 35-49,99 Osztályozás: 3 50-64,99 4 65-79,99 5 80-000 Személyes aatok Név Varga László Taszék Valószí ségelméleti és Statisztika Taszék (ELTE TTK Szoba D 3-309 E-mail vargal4@cs.elte.hu Hola www.cs.elte.hu/~vargal4 Ajálott iroalom Bogáré Mogyorói Prékoa Réyi Szász: Valószí ségszámítási felaatgy jteméy Arató Prokaj Zemléi: Valószí ségszámítás elektroikus jegyzet (kés bb: takoyvtar.hu, most htt://www.cs.elte.hu/~zemlei/ oktatas.html. De Méré roblémája, 654. De Méré lovag agy szerecsejátékos volt, az alábbi két kéréssel forult Pascal-hoz: Ha egy kockát 4-szer felobuk, akkor mi aak a valószí sége, hogy legalább egy hatos obás lesz? Ha két kockát 4-szer felobuk, mi aak a valószí sége, hogy legalább egy ula hatos lesz? A lovag tisztába volt vele, hogy az els kérésre aaó válasz -él kicsivel kisebb, a másoikra eig -él kicsivel agyobb, e fogalma se volt, miért. a. Számítsuk ki a két valószí ség otos értékét! b. A két valószí ség miért va közel egymáshoz?. Markowitz-moell, 95. Számlavezet bakoál reelkezésere áll 70.000 Ft, amit be szeretél fekteti a bak által kíált három ortfólióba: az A ortfólió éves várható hozama (a korábbi évek taasztalatai alajá 3%, % szórással; a B ortfólióé 4%, 3% szórással; a C ortfólióé eig 5%, 4% szórással. A ortfóliók hozama függetle egymástól. Határoz meg az otimális befektetési stratégiáat, ha célo egy várhatóa 4%-os hozamot roukáló, ÉS miél kisebb szórású befektetési struktúra kialakítása! Várhatóa meyi éze lesz egy év múlva az otimális befektetési stratégiával? [Befektetési stratégia: éze háy %-át fektete az A, B és C ortfóliókba.] 3. Mi a valószí sége, hogy egy szabályos kockával -szer obva, mie szám legalább egyszer kijött? 4. Péterek 0, Marcsiak 30 Ft-ja va. Egy játékba Péter valószí - séggel yer Ft-ot Marcsitól és ugyaeyi valószí séggel veszít Ft-ot. Aig játszaak, míg valamelyikük elyeri a másik összes ézét. Milye valószí séggel yer Péter? 5. Legye X abszolút folytoos eloszlású, Y = ax + b (a, b R. Határoz meg Y eloszlás-, s r ségfüggvéyét, várható értékét és szóráségyzetét! R(X, Y =? 6. Legye X E(0, 3 és Y = X. Határoz meg Y s r ségfüggvéyét és várható értékét!
7. Legye X valószí ségi változó s r ségfüggvéye f X (x = π e x x, Y valószí ségi változó s r ségfüggvéye eig f Y (y = π e 4y +4y. Va-e olya alkalmas g függvéy, hogy Y = g(x teljesüljö? Ha va, határoz meg ez(eket a függvéy(eket! 8. Mutass élát olya (Ω, A, P valószí ségi mez re és ezekbe olya A, B, C eseméyekre, amelyekre a. A, B és C árokét függetleek, azoba em teljese függetleek; b. P (A B C = P (AP (BP (C teljesül, azoba az A, B, C eseméyek em teljese függetleek! 9. Gerg egyetemista, aki gyalog 30 ercre lakik az egyetemt l, és egész évbe em vásárol jegyet/bérletet tömegközlekeésre. Ha metróval megy be órára, akkor az elle rök 50% eséllyel, ameyibe eig villamossal, akkor 5%-os eséllyel csíik yako mie úto. A ótíj összege 6 ezer Ft. Egész évbe 00 alkalommal kell bemeie az egyetemre. Mie egyes alkalommal 0, valószí séggel választja a villamost, valószí séggel eig a metrót. a. Határoz meg a értékét, ha egész évbe átlagosa 3 ezer Ft-ot "szá" a bírságokra! b. Az éves iákbérlet 40 ezer Ft-ba kerül. Számíts ki aak a valószí - ségét, hogy Gerg az éves bérlettel jobba jár! c. Gerg t október 4-é az egyetemre meet megbírságolták az elle rök. Határoz meg aak a valószí ségét, hogy villamossal közlekeett! 0. Legye X emegatív iszkrét valószí ségi változó. a. Bizoyítsuk be, hogy EX = P (X k! k= b. Eek segítségével vezessük le a geometriai eloszlás várható értékét!. Legyeek X,..., X i.i.. valószí ségi változók. Jelölje S = X i. Tegyük fel, hogy X i -k ozitívak, EX < és E (/S <. Határoz meg az E ( Sk S meyiséget, ha a. k b. k > B. [IX..] Számlavezet bakoál reelkezésere áll 90.000 Ft, amit be szeretél fekteti a bak által kíált két ortfólióba: az A ortfólió éves várható hozama (a korábbi évek taasztalatai alajá 3%, % szórással; a B ortfólióé eig 4%, 3% szórással. A ortfóliók hozama közötti korreláció 0, 5. Határoz meg az otimális befektetési stratégiáat, ha célo egy miél kisebb szórású befektetési struktúra kialakítása! Várhatóa meyi i= éze lesz egy év múlva az otimális befektetési stratégiával? [Befektetési stratégia: éze háy %-át fektete az A és B ortfóliókba.] SZ. Legye { F (x folytoos eloszlásfüggvéy, F (0 = 0. Mutas meg, hogy 0 ha x < G(x := F (x F ( x ha x is eloszlásfüggvéy. ( ot SZ. Legyeek X N(0, és Y Bi (, függetle valószí ségi változók. U := sg(x Y, ahol sg(.. az el jelfüggvéy. Határoz meg U várható értékét! ( ot SZ3. Legye X E( 3, 4, Y = g(x = X + X +. Határoz meg Y eloszlásfüggvéyét és várható értékét! Milye tíusú valószí ségi változó Y? ( ot. Legye X emegatív valószí ségi változó. Jelölje F (x = F (x-et, amit túlélésfüggvéyek evezük. Tegyük fel, hogy a valószí ségi változóak tetsz leges re mometuma létezik és véges. a. Bizoyíts be, hogy EX = F (x 0 b. Bizoyíts be, hogy EX k = kx k F x 0 c. Ezek segítségével számíts ki az exoeciális eloszlás k-aik (k {,, 3,...} mometumát! 3. Legye X olya valószí ségi változó, amelyr l a következ k ismertek: D X = 3 6 és EX + EX 4 = EX 3. Határoz meg X eloszlását! 0 ha x 0 x 4. Legye F (x = ha 0 < x cx + ha < x ha < x a. Határoz meg az ismeretle valós c és araméterek lehetséges értékeit, ha a feti F (x függvéy az X valószí ségi változó eloszlásfüggvéye! b. Határoz meg X várható értékét! c. Milye eloszlású X, ha X abszolút folytoos? { a + a e 5. x ha x 0 Legye F (x = b + b e x ha x > 0
a. Határoz meg az ismeretle valós a, a, b és b araméterek lehetséges értékeit, ha a feti F (x függvéy az X valószí ségi változó eloszlásfüggvéye! b. Határoz meg az ismeretle aramétereket, ha X abszolút folytoos és EX = 0! ( B. [IX.9] Legye X E(0,, Y = log X X. Határoz meg Y eloszlásfüggvéyét, s r ségfüggvéyét és várható értékét. [Y eloszlásáak eve: logisztikus eloszlás.] B3. [IX.9] (x 3 ha x 0 Legye F (x = a + bx ha 0 < x ha < x a. Határoz meg az ismeretle valós a és b araméterek lehetséges értékeit, ha a feti F (x függvéy az X valószí ségi változó eloszlásfüggvéye! b. Számíts ki X várható értékét! c. Mely araméterértékek eseté lesz X abszolút folytoos? 0 ha x SZ4. Legye F (x = ax + bx + c ha < x ha x > a. Határoz meg az ismeretle valós a, b és c araméterek lehetséges értékeit, ha a feti F (x függvéy az X valószí ségi változó eloszlásfüggvéye és tujuk róla, hogy a várható értéke! b. Mely araméterértékek eseté lesz X abszolút folytoos? (+= ot SZ5. Legye F (x eloszlásfüggvéy és a R ozitív szám. Számítsuk ki a következ itegrált: [F (x + a F (x] x! ( ot SZ6. Mutassuk meg, hogy az X valószí ségi változó várható értéke otosa akkor létezik, amikor [X]-é, továbbá X = [X] otosa akkor, amikor X egész érték! ( ot 6. Legye X tetsz leges valószí ségi változó, F (x eloszlásfüggvéyel. a. Határoz meg Y = F (X eloszlását! b. Ez alajá hogya tuuk geeráli egy X eloszlású val. változót? 7. Legyeek X, Y, Z E(0, függetleek. Határoz meg a következ traszformáltak s r ségfüggvéyét: a. U = X + Y ; b. U = X + Y + Z; c. U = X Y ;. U = ax + by, ahol a, b R. 8. a. Mutas meg, hogy πσ x e x σ x = π σ! Milye valószí ségszámítási értelmet tuuk ai az itegrálak? b. Legyeek X, Y N(0, eloszlású, egymástól függetle valószí ségi változók. Határoz meg U = X Y s r ségfüggvéyét és várható értékét! Milye eloszlású U? c. Legyeek X N(0, σ és Y N(0, σ egymástól függetle valószí - ségi változók. Mutas meg, hogy ekkor X Y (0, Cauchy σ σ! 9. Legyeek X i N(0,, i függetleek. Ekkor Y = Xi valószí ségi változó eloszlását szabaságfokú khíégyzet-eloszlásak evezzük, jelölése: Y χ. i= a. Mutassuk meg, hogy X Γ (,! b. Mutassuk meg, hogy X +X Ex(! c. Mutassuk meg karakterisztikus függvéyek élkül, hogy Y Γ (,! 0. Szai mie a villamossal és busszal közlekeik, hogy eljusso az egyetemre. Az alábbi ábra tartalmazza a közlekeési i ket: Ott- Villamos- Busz- Egyeho 5 megálló 0 megálló 8 5 tem Taasztalatai alajá átlagosa ercet vár a villamos megállójába és 4 ercet a busz megállójába. Szai ma reggel kés bb ébret fel, ezért csak 7:43-kor iult el otthoról, az els órája 8:5-kor kez ik. Becsüljük külöböz, értelmes valószí ségi moellek segítségével aak a valószí ségét, hogy el fog kési!. Box-Müller traszformáció. Legyeek X, X E(0, függetleek. Legyeek Y = log X cos(πx, Y = log X si(πx. Mutassuk meg, hogy Y, Y N(0, függetleek!. Legyeek X χ, Y χ q függetleek! Mutassuk meg, hogy U = X +Y és V = függetleek, és határozzuk meg az eloszlásukat! gyalog villamossal gyalog busszal gyalog X X+Y 3
3. Legyeek X Γ(α, λ, Y Γ(β, λ függetleek! Mutassuk meg, hogy U = X + Y és V = Y X+Y függetleek, és határozzuk meg az eloszlásukat! 4. Kockázati folyamat iszkrét i be. Egy biztosító 00. jauár -jé 0 M Ft t kével reelkezik. Ügyfelei egy év alatt 0 M Ft biztosítási íjat zetek. Az év sorá bekövetkezett káreseméyekre a biztosító miig a következ év elejé teljesíti a kizetést, mie káresetél M Ft-ot. Korábbi taasztalatok alajá meggyelték, hogy egy év alatt a káreseméyek száma 5 araméter Poisso-eloszlást követ. A biztosító cs be megy, ha aktuális t kéje kevesebb lesz 0-ál. Határozzuk meg aak a valószí ségét, hogy a biztosító a. 0. jauár -jé megy cs be (az el z évekbe em volt cs be; b. 0. jauár -jé megy cs be (az el z évekbe em volt cs be; c. 03. jauár -jé megy cs be (az el z évekbe em volt cs be. 5. Mely c-re leszek kétimeziós s r ségfüggvéyek az alábbiak? Ajuk meg a erems r ségfüggvéyeket { és a kovariaciamátrixot! c ha 0 < x < és 0 < y < x a. f X,Y (x, y = { c (x + y ha (x, y (0, b. f X,Y (x, y = 6. ( Legye X és Y függetle staar ormális eloszlású. Határozzuk meg X + 3Y együttes s r ségfüggvéyét és kovariaciamátrixát! X + Y 7. Legyeek X N(m, σ, Y N(m, σ, r := R(X, Y. Határozzuk meg az együttes s r ségfüggvéyüket! P (X < m, Y < m =? 8. Legye X = (X, X{, X 3 T s r ségfüggvéye a következ : f X (x, x, x 3 = a ex ( ( x ( 3 + x + ( + (x3 }, ahol a R. Határoz meg a. az a számot; b. X kovariaciamátrixát; c. (X, X 3 T s r ségfüggvéyét;. a P (X < 0, X 3 < valószí séget! B4. [ X.6.] Juliska éi a városi iaco értékesíti almáját. Mi az értékesítési meyiség, mit az ár véletleek tekithet (lehet vele alkuozi. Az egy a alatt elaott meyiség (kg Pareto eloszlású 5 4 és 0 araméterekkel, míg az elaott almák ára (Ft/kg egyeletes eloszlású 80 és 0 araméterekkel. Tegyük fel, hogy a meyiség és az ár függetleek egymástól. Költségei aota 4000 foritot teszek ki (beziköltség. a. Várhatóa meyi rotra fog szert tei egy a alatt? b. Határoz meg aak a valószí ségét, hogy Juliska éi ai rotja meghalaja az 5000 foritot! { B5. [ X.6.] Legye (X, Y T s r ségfv.-e f(x, y = π ha x + y Határozzuk meg az U = X + Y és a V = arctg ( Y X valószí ségi változók közös s r ségfüggvéyét! B6. [ X.3.] Legye az (X, Y T ot egyeletes eloszlású a (, 0, (0, 0, (0, otok által meghatározott háromszögbe. Mi lesz az (X, Y T kétimeziós eloszlás kovariaciamátrixa? B7. [ X.3.] Legye X { = (X, X, X 3 T s r ségfüggvéye } a következ : f X (x, x, x 3 = a ex x x 8 x 3 + x, ahol a R. Határoz meg a. az a számot; b. X kovariaciamátrixát; c. a P (X < 0, X >, X 3 < valószí séget! SZ7. Legyeek X, X,..., X Ex( függetleek. Legye Y i = X i i =,,..., eseté és Y = i= X i i= Számítsuk ki Y = (Y, Y,..., Y együttes s r ségfüggvéyét. Függetleek a kooriáták? ( ot SZ8. Legyeek X N 3 (0, I 3, továbbá Y i = i =,, 3. X i X +X +X 3 Határozzuk meg Y s r ségfüggvéyét! ( ot SZ9. Mely c-re lesz kétimeziós s r ségfüggvéy az alábbi? Ajuk meg a erems r ségfüggvéyeket { és a kovariaciamátrixot! c max{x, y} ha (x, y (0, f X,Y (x, y = ( ot SZ0. Legyeek X és Y ormális eloszlásúak, R(X, Y = 0. Mutassuk meg, hogy ekkor X és Y függetleek! ( ot SZ. Rékáak és Bálitak együtt 000 arab giccsbábut kell elkészíteie. A bábuk gyártása két részb l áll: el ször egy gé segítségével elkészítik a orcelá bábut, maj befestik. A festés ieje elég változékoy, ezért ezt valószí ségi változóak tekitjük. Ha Réka/Bálit egyeül végezé el a mukát, akkor a következ i t vee igéybe számukra a muka (mie szám órába érte : X i. 4
Géi megmukálás Festés Réka egyeül X E(4, 6 Bálit egyeül 3 Y E(3, 5 Az üzembe va elege bábukészít gé és festék, hogy együtt olgozva, egymást e tartsák fel. El ször az összes bábut legyártják géel, ezutá állak eki a festések. a. Várhatóa meyi i alatt végezek, ha mikette olgozak? b. Határoz meg aak a valószí ségét, hogy mikette olgozva, 3 óra alatt befejezik a mukát! (0,5+,5= ot 9. Legyeek X és Y valószí ségi változók, ε > 0 valós szám. Lássuk be, hogy ekkor P (X + Y > ε P (X > ε/ + P (Y > ε/. 30. Legyeek X ( =,,... és X valószí ségi változók. Bizoyítsuk be, hogy ameyibe X X, akkor X X, azaz a sztochasztikus kovergeciából következik az eloszlásbeli kovergecia. 3. Legyeek X ( =,,... és X valószí ségi változók. Bizoyítsuk be, vsz. hogy ameyibe X X, akkor X X, azaz az valószí ség kovergeciából következik az sztochasztikus kovergecia. 3. Legyeek X ( =,,... és X valószí ségi változók. Bizoyítsuk L be, hogy ameyibe X X, akkor X X, azaz az L -beli kovergeciából következik a sztochasztikus kovergecia. 33. Legyeek X ( =,,... és X valószí ségi változók, a, b R. Bizo- yítsuk be, hogy ameyibe X X, akkor ax + b ax + b. 34. Legyeek X és Y ( =,,... valószí ségi változók. Igaz-e, hogy ameyibe m.m. a. X X és Y m.m. Y, akkor X m.m. + Y X + Y ; b. X X és Y Y, akkor X + Y X + Y ; c. X X és Y Y, akkor X + Y X + Y ; L. X X és Y L Y, akkor X L + Y X + Y ; m.m. e. X X és Y m.m. Y, akkor X m.m. Y XY ; f. X X és Y Y, akkor X Y XY ; g. X X és Y Y, akkor X Y XY ; L h. X X és Y L Y, akkor X L Y XY ; 35. Legyeek X ( =,,... valószí ségi változók és a R. Bizoyítsuk be, hogy ameyibe X a, akkor X a. 36. Igaz-e, hogy ameyibe X X, akkor X X 0. 37. Cramér-Szluckij lemma. Legyeek X, Y ( =,,... és X valószí ségi változók, a R. Bizoyítsuk be, hogy ameyibe X X és Y a, akkor a. X + Y X + a; b. X Y ax. 38. Legye (Ω, A, P geometriai valószí ségi mez, Ω = [, ]. Vizsgáljuk az alábbi valószí ségi változó sorozat kovergeciáját: ha ω [ +, ] X (ω = ha ω [, ] 39. Legye (Ω, A, P geometriai valószí ségi mez, Ω = [0, ]. Vizsgáljuk az alábbi { valószí ségi változó sorozat kovergeciáját: e ha ω [ 0, ] X (ω = 40. Legye (Ω, A, P geometriai valószí ségi mez, Ω = [0, ]. Vizsgáljuk az alábbi { valószí ségi változó sorozat kovergeciáját: ha ω [ 0, ] { X (ω = 4 ha ω [ és X(ω =, 3 ] 4. Mutassuk meg, hogy X X, e X X 4. Vizsgáljuk aak a valószí ségi változó sorozatak a kovergeciáját, amelyél a valószí ségi változók függetleek és eloszlásuk az alábbi: P (X = =, P (X = 0 =. B8. [X.0.] Legyeek X I ( + ( ( =,,..., X I függetleek. Vizsgáljuk meg, hogy X tart-e X-hez valószí séggel, sztochasztikusa, eloszlásba, L -be! B9. [X.0.] Mutassuk meg, hogy ameyibe lim E(X X = 0, akkor lim EX = EX és lim EX = EX. 5
SZ. Legyeek X ( =,,... ( és X valószí ségi változók. Mutassuk meg, hogy X X E X X + X X 0 ( ot SZ3. Az el z szorgalmi ereméyét felhaszálva lássuk be a Riesz-lemmát: ha X X, akkor létezik olya vsz. k részsorozat, amire X k X, k azaz sztochasztikusa koverges valószí ségi változók sorozatáak va valószí séggel koverges részsorozata. ( ot SZ4. Mie N számhoz létezik k és m úgy, hogy = k + m, ahol k = 0,,... és m { = 0,,..., k. k ω [ m, m+ Legye X (ω = k k Milye értelembe kovergál X? ( ot 4. X i -k (i =,,... függetle val. változók Hova kovergál és hogya? X a. X i I( 5+...+X5 X b. X i Bi(, / +...+X X 4+...+X4 X c. X i : az i-eik kockaobás ereméye +...+X. X i E(, 6 (i =,,... X... X e. X i Ex( (i =,,... e X +...+e X X +...+X 3 f. X i N(, 3 (i =,,... 43. Függetle, valószí séggel sikeres kísérleteket végzük. Legye Y i =, ha az i-eik és az i+-eik kísérlet sikeres. Teljesül-e az Y, Y,... sorozatra a agy számok gyege törvéye? 44. Egy részvéy éves hozama valószí séggel 90%, valószí séggel 50%. Az éves hozamok függetleek egymástól. Mihez tart a t kék, ha a. teljes t kéket, azaz C Ft-ot fektetük be és em vesszük ki a ézüket? b. mie évbe az aktuális összt kék felét fektetjük be, másik felét eig ottho rizzük? 45. Határozzuk meg a karakterisztikus függvéyt, ha X eloszlása a. P (X = k = k, k = 0,,...; b. P (X = k = P (X = k = k, k = 0,,...; c. I(;. Geo(; e. NegBi(, ; f. Ex(λ; g. Γ(α, λ; h. E(a, b; i. E(, ; j. Cauchy(0, ; k. { N(0,. t < t < l.. 46. Kakterisztikus függvéyek-e az alábbiak? a. si(t; b. ϕ; c. ϕ ;. ϕ ; e. cos(t; f. cos (t; g. cos(t ; h. e it t ; i. e t4 ; j. e t ; k. e t ; 47. Fejezzük ki a valószí ségi változó -eik mometumát és szóráségyzetét a karakterisztikus függvéy segítségével! 48. Keressük olya karakterisztikus függvéy sorozatot, amiek a limesze em karakterisztikus függvéy! 49. Keressük élát olya X és Y valószí ségi változókra, amelyekre ϕ X+Y (t = ϕ X (t ϕ Y (t, azoba X és Y em függetleek! 50. Legyeek X E (, és P (Y = = P (Y = = függetleek. Karakterisztikus függvéyek segítségével állaítsuk meg X + Y eloszlását! 5. Milye eloszlású arab függetle Cauchy-eloszlású valószí ségi változó átlaga? 5. Mutassuk meg, hogy két függetle, azoos eloszlású valószí ségi változó külöbsége em lehet E(, eloszlású! B0. [XI.0.] Va egy szabálytala kockák, ami egy -es, két -es és három 3-as szereel. A kockát sokszor felobjuk egymás utá. Kovergál-e valahova (ha ige, milye értelembe a obott számok szorzata? B. [XI.0.] Legyeek X Poi( és Y Poi(3 függetle valószí ségi változók. Határoz meg U = X + Y karakterisztikus függvéyét, maj eek segítségével számíts ki U várható értékét! 6
B. [XI.7.] Karakterisztikus függvéy a ϕ(t = +t 4 függvéy? SZ5. Legye ϕ karakterisztikus függvéy. Bizoyítsuk be, hogy a. 4Re( ϕ(t Re( ϕ(t; b. 8( ϕ(t ϕ(t. SZ6. Mutassuk meg, hogy tetsz leges X valószí ségi változóra és ϕ(t karakterisztikus függvéyére teljesül a következ egyel tleség: ϕ(t E tx! ( ot 53. Számítsuk ki a következ -szeres itegrál értékét, ha : x... 4 +...+x4 x x... x! 0 0 +...+x 54. Hamis érmével obuk. 0,5 a fej valószí sége. a. Becsüljük meg a CHT-vel aak valószí ségét, hogy 0000 obásból legalább 530 fej! Becsül meg a becslés hibáját a Berry-Essée tétellel! b. Háyszor kell obi, hogy a fejek relatív gyakorisága legalább 97,5 %-os valószí séggel több legye, mit 0,505? 55. Legye X araméter Poisso eloszlású. Mihez tart eseté a. P(X < ; b. P(X < /? 56. Legyeek X,..., X E(0, b függetleek, ahol b > 0 valós araméter. Legye Y = mi(x,..., X. Határoz meg Y határeloszlását, ha! 57. Legye X Geo ( λ. Határozzuk meg X határeloszlását, ha! X 58. Legye X Negbi(,. Számítsuk ki határeloszlását, ha (! 59. Legyeek X i E(0,, i=,..., függetle valószí ségi változók, és jelölje Y a maximumukat. Számítsuk ki a következ meyiséget: lim P (( Y > t 60. Legyeek X, X,... függetle, azoos eloszlású, µ > 0 várható érték és σ szórású emegatív valószí ségi változók. Legye S = X +...+X, és t > 0 eseté N(t = max{k 0 : S k t}. Számíts ki N(t t µ t amit t! 6. Számítsuk ki a következ meyiséget: lim e k=0 k k! határeloszlását, B3. [XI.4.] Egy szabályos kockát 3000-szer felobuk egymás utá. Határoz meg aak a valószí ségét a CHT-vel, hogy a 6-osok száma 470 és 560 között lesz! Becsül meg a becslés hibáját a Berry-Essée tétellel! B4. [XII..] Számíts ki az alábbi határértéket: ( lim k k: k (X i i i= 6. Legyeek X i I( i i =,,... függetleek, Y =. Mi a i ( i i= feltétele, hogy Y gyegé tartso egy ormális eloszláshoz? 63. Legyeek X i E(0, i =,,... függetleek. Mutassuk meg, hogy P 4 ix i i= < x Φ ( 3x 3? 64. Legyeek X, X,... függetle valószí ségi változók. Mely esetekbe teljesítik a Lieberg-feltételt? a. P (X i = i = P (X i = i = ; b. P (X i = i = P (X i = i =. SZ7. Egy szabályos érmével aig obuk, amíg mi a fejekb l, mi az írásokból legalább k arabot em kauk. Jelölje ν k az ehhez szükséges obások számát. Számíts ki ν k k határeloszlását, amit k k. ( ot SZ8. Legyeek X, X,... függetle valószí ségi változók, P (X = α = P (X = α =, k, ahol α rögzített valós szám. Bizoyítsuk be, hogy akkor és csak akkor érvéyes rájuk a CHT, ha α! ( ot SZ9. Legyeek X i N(0, i i =,,... függetleek. a. Teljesül az {X } N sorozatra ( a Lieberg-feltétel? b. Számítsuk ki a lim P X +...+X > határértéket! ( ot SZ0. Legyeek X, X,... függetleek, P (X = = P (X = = és P (X = 0 =. Teljesül az {X } N sorozatra a CHT? ( ot 65. Legye X E(,, Y = X. Határozzuk meg a. Y legjobb égyzetes közelítését X tetsz leges függvéye segítségével; b. X legjobb égyzetes közelítését Y tetsz leges függvéye segítségével; c. X legjobb égyzetes közelítését Y lieáris függvéye segítségével! 7
66. Teljes valószí ség tétele folytoos esetbe. Legye A tetsz leges eseméy, Y abszolút folytoos valószí ségi változó. Ekkor bizoyítsuk be a teljes várható érték tétel segítségével, hogy P (A = P (A Y = yf Y (y y. 67. Legye (X, Y valószí ségi vektorváltozó egyeletes eloszlású az {(x, y R : x + y } egységkörlao. Számítsuk ki az f X Y (x y feltételes s r ségfüggvéyt és az E(X Y feltételes várható értéket! 68. Legye (X, Y kétimeziós ormális eloszlású. Határozzuk meg az X Y feltételes eloszlást! 69. Tegyük fel, hogy a magyar férak magassága és testsúlya kétimeziós ormális eloszlású. A férak átlagmagassága 78 cm, 9 cm szórással; átlagos testsúlyuk eig 85 kg, 0 kg szórással. A magasság és a testtömeg közötti korreláció 0,7. a. Feltéve, hogy egy fér 80 kg, mi a valószí sége, hogy magasabb 80 cm-él? b. Átlagosa mekkora súlyú egy 90 cm magas fér? c. Átlagosa milye magas egy 94,44 kg-os fér? 70. Legyeek X és Y egymástól függetle, staar ormális eloszlásúak. Határozzuk meg karakterisztikus függvéy segítségével X Y eloszlását! Haszáljuk fel, hogy tetsz leges a, b > 0 eseté e a x b x x = π e ab a. 0 7. Legyeek X, X,..., X függetle, λ araméter ( Poisso-eloszlású valószí ségi változók. Határoz meg az E X X i feltételes várható i= értéket! B5. [XII.8.] Legye (X, { Y valószí ségi vektorváltozó együttes s r ségfüggvéye f X,Y (x, y =. e y ha 0 x y Számíts ki az E(Y X feltételes várható értéket! B6. [XII.8.] Egy obókockát kétszer felobuk. Legye U az els obás ereméye, V a másoik obás ereméye, és X = U + V, valamit Y = U V. Hogya közelítsük Y -t X segítségével, ha a. csak lieáris függvéyt haszálhatuk; b. tetsz leges függvéyt alkalmazhatuk? { c ha 0 < x < és + x < y < x SZ. Legye f X,Y (x, y = Határoz meg a c értékét, maj az E(X Y és E(X Y feltételes várható értékeket! ( ot SZ. Legyeek X, X,..., X valószí ségi változók egyeletesek a iszkrét {,,..., N} halmazo, jelölje X = max(x,..., X -et. Mutas meg, hogy E(X X = (X + (X + (X (X! ( ot SZ3. Legyeek X, Y valószí ségi változók, r := R(X, Y. Bizoyítsuk be, hogy E(D (Y X ( r D Y! ( ot 7. Jelölje S a számegyees egész kooriátájú otjai szimmetrikusa mozgó ot helyzetét az. léés utá, S 0 = 0. Mutassuk meg, hogy a. S martigál; b. S szubmartigál, S martigál; e ts ch(t c. e S szubmartigál, martigál. 73. Mutassuk meg, hogy ha az X szubmartigálra E(X = E(X mie -re, akkor X martigál. 74. Legye a, b > 0, tegyük fel, hogy (X, F és (Y, F szubmartigálok. Mutassuk meg, hogy (ax + by, F és (max(x, Y, F is szubmartigálok. Fogalmazzuk meg aalóg állításokat szuermartigálokra! 75. Lehet-e egyszerre X és X is martigál az X,..., X által geerált σ-algebrára ézve? 76. Legyeek X, X,... i.i.. valószí ségi változók, P (X = = 3, P (X = = és P (X = 4 = 6. Legye S = X +... + X. Keressük meg az összes olya α valós számot, amelyre Y = e αs martigál az F = σ(s,..., S σ-algebrára ézve! SZ4. Tekitsük a következ bolyogást: P (X = = P (X = =, az X i is a + és értékeket veszi fel, e P (X i = X i = P (X i = X i =. Legye S = X +... + X. Mutassuk meg, hogy Y = S + X ( martigál! ( ot SZ5. Jelölje S szimmetrikusa bolyogó ot helyzetét az. léés utá. Keressük miél több olya kétváltozós oliomot, amire (S, martigál! ( ot 8