Eövös Loránd Tudományegyeem Természeudományi Kar Neogrády-Kiss Máron Számelmélei függvények vizsgálaa differenciál- és inegrálegyenleekkel Szakdolgoza Témaveze : Simon L. Péer Alkalmazo Analízis és Számíásmaemaikai Tanszék Budapes, 07
Köszönenyilváníás Szerenék köszönee mondani émaveze mnek, Simon Péernek, a ámogaásér, a hasznos megjegyzésekér és a báoríó szavakér, ovábbá feleségemnek a ürelméér.
Taralomjegyzék. El zmények 5.. Egy egyszer modell....................... 5.. Durva számok........................... 7. Az alapegyenle 0.. Alapöle............................. 0.. Néhány alkalmazás........................ 3 3. Durva számok aszimpoikája 8 3.. Egyensúlyi egyenle........................ 8 3.. A ϕx, függvény aszimpoikája................ 4. A folyonos modell 5 4.. A ˆϕx, függvény vizsgálaa................... 5 4.. Laplace-ranszformáció...................... 9 4.3. Numerikus eredmények...................... 33 5. Összegzés 37 3
Bevezeés A prímszámok viselkedése az ókori görögök óa közponi kérdés a maemaikában, és nagy valószín séggel még egy jó ideig az is marad. Ennek vizsgálaára a leg sibb módszer az alexandriai polihiszor nevéhez f z d Eraoszhenészi-szia. Sokan e gondola sugallaára próbálak közelebb juni a prímek lászólag miszikus viselkedésének megéréséhez, öbbek közö mi is. Az els fejezeben az [] cikk alapján bemuaunk egy egyszer egyenlee a prímek eloszlásának modellezésére. Uána ráérünk a durva számok fogalmára, ami ermészees módon összekapcsolódik az Eraoszhenészi-sziával. Ezek olyan egész számok, amelyek kis prímoszókól menesek. Az ehhez kapcsolódó Φ számelmélei függvény aszimpoikus viselkedésé Alexander Buchsab orosz maemaikus 937-ben haároza meg egy késlelee dierenciálegyenleel [], ennek alapgondolaá is bemuajuk. Innen l kezdve sajá kuaási eredményeim kövekeznek. A második fejezeben felállíunk egy durva számokhoz kapcsolódó egyenlee, amelynek segíségével bizonyíunk néhány ismer számelmélei állíás. Ez az egyenle azér is hasznos, mer olyan alakban íruk fel, hogy könny bel le közelí modelleke levezeni. A legegyszer bb modell vizsgáljuk. A harmadik fejezeben meghaározzuk ennek egyensúlyi megoldásá, amelynek segíségével mi is megadjuk a Φ függvény aszimpoikájá, így a modell egyensúlyi megoldásá összefüggésbe hozzuk a Buchsab-függvénnyel. Az uolsó fejezeben a modell különböz ulajdonságai vizsgáljuk, majd numerikusan ellen rizzük a modell helyességé. 4
. El zmények.. Egy egyszer modell Proofs of he prime number heorem are exremely hard o follow, and leave he impression, a leas among amaeurs, ha he essenial propery of prime numbers, namely heir primeness, plays very lile par in he argumen. Az idéze a kövekez egyenle egyik felfedez jé l, G. Homan de Visme- l származik, és nagyon jól ráapin az ehhez hasonló modellek szükségességére: f x = fxf x, x ahol fx a prímszámok s r ségé hivao megadni az x ponban. A modell alapgondolaa a kövekez : ha úl sok prím van egy inervallumban, akkor az csökkeni a kés bbi inervallumokban lev prímek számá, és fordíva, ha úl kevés van, akkor növeli. Ennek háerében az Eraoszhenészi-szia áll, ami a prímek meghaározására szolgál, és a kövekez képpen m ködik. Írjuk fel az -nél nagyobb egész számok lisájá. Kezdeben minden lisabeli szám poenciális prím. Karikázzuk be a lisán a legkisebb számo, a -, majd húzzuk ki a lisáról az összes nála nagyobb öbbszörösé. Ezuán karikázzuk be a lisáról a kövekez legkisebb számo, a 3-a, majd húzzuk ki az összes nála nagyobb öbbszörösé, és folyassuk ez az eljárás. Ekkor a bekarikázo számok lesznek a prímek. Amikor egy p prímmel sziálunk, akkor a poenciális prímek körülbelül p-ed részé kihúzzuk, ehá a s r ség az p -szeresére válozik. Továbbá minden prím csak a négyzeé l sziál ki újabb számoka, ugyanis az ennél kisebb számoka már korábban kihúzuk. Ezeke a meggyeléseke szem el arva legyen fx egy dierenciálhaó függvény, amely a prímek s r ségé közelíi x közvelen környezeében és rendelkezik az el z ulajdonságokkal. Tekinsük ezér a kövekez inervallumoka: A = [x, x+dx], B = [ x, x+dx ], ahol dx inniezimális mennyisége jelöl. Megnézzük, hogyan válozik a s r - ség a B inervallumon, azaz megbecsüljük az fx+dx fx mennyisége. Ehhez csak az A inervallumban lev prímeke használjuk. Minden ilyen prímmel örén sziálás körülbelül x -szeresére válozaja a s r sége a B inervallumon, ehá minden prím fx /x-szel csökkeni a s r sége. Mivel az A inervallumban körülbelül fxdx prím van, ezér fx+dx fx fx fxdx. x 5
Ugyanakkor a B inervallumon ve válozás kiszámíhajuk a derivál segíségével is. A s r ség válozása körülbelül megegyezik az f x és a B inervallum hosszának szorzaával. Mivel uóbbi x+dx x xdx, ezér A ke összeveve megkapjuk az fx+dx fx f x xdx. f x = fx fx x egyenlee. Innen már csak egy egyszer válozócsere adja a kíván összefüggés: f x = fxf x. x Gauss már a 8. században helyesen megsejee a kövekez formulá a prímek eloszlására: x πx Lix = log d. Ebb l kövekezik, hogy a prímek s s rége egy x pon körül / logx környékén kell legyen. Láhaó, hogy ez kielégíi az egyenlee. Mivel a prímszámok száma nem ponosan Lix, szükséges, hogy az egyenlenek az / logx megoldása sabil legyen a megoldás körüli perurbációk melle. Ehhez az kell, hogy ha veszünk egy f függvény, ami egy x 0 ponig / logx, és ebben a ponban a függvény perurbáljuk, ehá fx 0 / logx 0, akkor ezen kezdei feléelek melle x 0 -ból indío szerini megoldás relaív hibája / logx-re nézve nullához arson. Ez pedig megmuahaó, hogy igaz. Természeesen az egyszer síések miai információveszés folyán minden modell fennarással kell kezelni, azonban ez a modell ezzel együ is mindenképpen emlíésre méló. 6
.. Durva számok Min már a beveze ben emlíeük, a durva számok olyan számok, amik kis prímoszókól menesek.. Deníció. Egy ermészees számo y-durva számnak nevezünk, ha összes prímoszója nagyobb min y. Jelölje Φx, y az y-durva számok összességé x-ig. Az -e esz leges y eseén durva számnak vesszük [3]. Példa. A -durva számok ponosan a páralan számok. A kövekez kben Buchsab eredményé közöljük a Φ függvény aszimpoikus ulajdonságával kapcsolaban [5]. Legyen ωu az alábbi késlelee dierenciálegyenle folyonos megoldása: ha u >, és uωu = ωu ωu = u u eseén. Ekkor az alábbi összefüggés áll fenn: Φx, x x u ωu logx u x. Mos idézzük fel a prímszáméel és Merens éelei.. Téel Prímszáméel. Léezik olyan poziív c konsans, hogy fennáll πx = Lix+O xe c logx, ahol Lix = x / logd. A kövekez kben a gyengébb formájá is használjuk majd: πx = x x logx +O log. x Merensnek három éele van a prímszámokkal kapcsolaban, mi a másodika és a harmadika közöljük. 3. Téel Merens. éele. Léezik egy M konsans, hogy x eseén = log logx+m +O. p logx p x 7
4. Téel Merens 3. éele. Legyen γ az Euler-Mascheroni konsans, ekkor x eseén { } = e γ +O. p logx logx p x Megjegyzés. A prímszáméelb l könnyen kövekeznek Merens éelei s jobb hibaaggal is, fordíva azonban nem. Merens éeleinek viszon van viszonylag rövid elemi bizonyíásuk is, a prímszáméel felhasználása nélkül. Mos ráérünk Buchsab eredményére. Az alapgondolara koncenrálunk, ezér néhol rövidebbre fogjuk az indoklás. Kiinduláskén ekinsük a kövekez éel: 5. Téel. Ha x és y, akkor Φx, y = + y<p x ν Φx/p ν, p. Bizonyíás. Jelölje P n az n legkisebb prímoszójá. Ha egy n ermészees szám y-durva, akkor egyérelm en felírhaó n = p ν m alakban, ahol p = P n és p m. Az uóbbi ké feléel ekvivalens m > P n-nel. Tehá Φx, y = + = +, ami pon az állíás. y<p x n x,p n=p y<p x ν m x/p nu,p m>p A éel az alábbi alakban használjuk: Φx, y = Φx, z+ Φx/p ν, p x z y. y<p z ν Ha alkalmazzuk ν eseén az x/p ν Φx/p ν, p becslés, akkor Φx, y = Φx, z+ Φx/p, p+ox/y. y<p z Könnyen láhaó, hogy x < y x eseén Φx, y = πx πy +. Mos legyen x /3 < y x /, ekkor a prímszáméel felhasználva Φx, y = Φx, x+ Φx/p, p+ox /3 = = x logx + y<p x y<p x x p logx/p +O 8 x log. x
Legyen u = logx/ logy és y = x /v. Ha v u, akkor legyen Hv := x /v <p x p = logv/+o e logy. Ha az el z egyenleben a szummá áírjuk Hv segíségével, akkor parciális inegrálással kapjuk, hogy u Φx, y = x + logx = x { +logu logy u v dhv+o v } +O x log x logx. Deniáljuk ωu- a kövekez képpen. Ha u, uωu :=, ha u 3, uωu := +logu. Ekkor a kövekez kapjuk Φ-re: Φx, y = xωu y x +O logy log x /3 y x. 3 y Ha y x/ logx, akkor y/ logy beépíhe a hibaagba. Innen l ωu indukíve deniálhaó. Ha x /4 < y x /3, akkor -ben használhajuk 3-a Φx/p, p megbecsléséhez. Tehá amíg 3 fennáll, addig a kövekez összefüggés mia ωu- hosszú inervallumonkén deniálhajuk: xωu logy x logx + ehá y<p x x p logp ω uωu = + logx logp u x logx ωvdv u, { + ami áírhaó a szakasz elején felír késlelee dierenciálegyenleé. u = } ωv dv, 9
. Az alapegyenle.. Alapöle Ebben a fejezeben levezeünk egy durva számokhoz kapcsolódó összefüggés, majd megnézzük, hogyan lehe használni számelmélei éelek bízonyíásához. Alapve célunk, hogy a Φx, y függvény ulajdonságai ne csak aszimpoikusan, hanem véges x eseén is vizsgáljuk. Az Eraoszhenészi-szia az sugallja, hogy Φx, y x p y. Ezér p keressük Φ- a kövekez alakban: Φx, y = +ϕx, y x p x y, 4 p ahol y = log x y. Jelölje p n az n-edik prímszámo, p 0 legyen. Nézzük meg ϕ x, néhány alapulajdonságá, felhasználva 4-e. Ha [ pn, pn+, akkor ϕ x, éréke állandó. Ha < p, akkor ϕ x, = {x}, mivel y < eseén x Φ x, y = x. Ha, akkor Φ x, x =, ehá ϕ x, = + x. 5 p x p Az 5. éel helye egy egyszer bb éelb l indulunk ki, ami lényegében az muaja, hogy az Eraoszhenészi-szia egyik fázisából hogyan juunk el a másikba. 6. Állíás. Tesz leges x 0, n eseén Φ x, p n = Φ x, p n Φ x, p n. 6 p n Bizonyíás. Tekinsük az a halmaz, ami az x-nél nem nagyobb p n -durva számoka aralmazza. Ebb l úgy kapjuk meg a p n -durva számoka, hogy x kivesszük az összes m p n alakú számo, ahol m p n, és m p n -durva x szám. Ez ponosan Φ p n, p n elem. Ennek az állíásnak a megfelel je ϕ-re a kövekez : 7. Állíás. ϕ x, pn = p n p n ϕ x, pn + p n ϕ x pn, p n pn pn. 7 0
Bizonyíás. Írjuk á 6-o 4 szerin, és osszunk is le x p x pn p -vel. +ϕ x, pn = +ϕ x, pn = +ϕ x, pn p n = + p n p n ϕ x, pn + p n p n +ϕ x pn, ϕ x pn, p n p n p n p n ϕ pn x pn, pn pn p n p n = pn pn p n =. 8. Állíás. n eseén ϕx, pn = n i= p i p i ϕx, p 0 + ahol legyen n p j j=n+ =. p j n n i= j=i+ n p j p j p j p j j=i ϕ x p pi i,, pi Bizonyíás. Teljes indukcióval bizonyíunk. Ha n =, akkor ez éppen 7. Tegyük fel, hogy igaz n -ig, írjuk fel 7-e, és írjuk á az indukciós felevés szerin ϕ x, pn -e. 9. Állíás. Tesz leges i eseén x, lim ϕ pi 8 = ϕ x p pi i,. 9 pi Bizonyíás. Felehe, hogy olyan közel van pi -hez, hogy pi < < pi és x p i<x < x p i + eljesülnek. Ekkor az. deníció szerin Φ x, x = = Φ x p i, x p i. Ez 4 szerin felírva +ϕ x, x = +ϕ x p pi i, x p i. pi Árendezve kapjuk, hogy ϕ x, ϕ x p i, pi pi Innen már lászik 9, mivel x p i nullához ar. = x p i +ϕ x p pi i,. pi
Mos 8 és 9 segíségével felírjuk az alapegyenlee. A kövekez kben esz leges x > és 0 számok eseén legyen P x, = p x p/ p. 0. Téel. Tesz leges 0, x > eseén ϕ x, = P x, ϕ x,0+ lim ϕ x u δ, δ 0 δ u δ u δ P x, d P x, u. 0 Bizonyíás. Ha 0 < p, akkor riviális. Tegyük fel, hogy valamely n ermészees számra pn < pn+. Ekkor ϕ x, =ϕ x, pn, így alkalmazhajuk 8-a. Az els agok megegyeznek, hiszen n P x, = P x,. A függvény pi helyen ve ugrása éppen n j=i+ p i p i i= p j n p j j=i p j p j P x,u. Mivel -ig csak véges sok ugráshely van, és P x, ezeken kívül konsans, a limesz bevihe P x,u az inegrálba, ezér 9 mia 0 megegyezik 8-cal. Megjegyzés. Fonos észrevéel, hogy monoon csökken függvény u P x,u szerin, ezér az inegrál éréké úgy lehe növelni, ha az inegrandus csökkenjük. Láuk, hogy ha, akkor ϕ x, = + P x,. Ez > eseén a 0 egyenleben felhasználhaó, ugyanis ekkor az inegrál +δ és közöi részében ϕ x éppen ilyen ulajdonságú. Tehá ha >, akkor ϕ x, = P x, ϕ x,0+ lim ϕ x u δ u δ P x,, d δ 0 δ u δ P x, u + P x u δ u δ, u δ P x, + lim + d δ 0 +δ x u δ P x, u = P x, = P ϕ x, P x, P x, + x, P x, P P x, u δ P x, + lim d x, δ 0 +δ x u δ P x, u. Tehá az alábbi összefüggés kapuk. Ha 0, akkor ϕ x, = P x, ϕ x,0+ lim < eseén pedig δ 0 P x, ϕ x, = P x, δ ϕ x u δ, u δ u δ P x, d P x, u, ϕ x, + +b x,,
ahol P x, u δ P x, b x, = lim d δ 0 +δ x u δ P x, u... Néhány alkalmazás Ebben a fejezeben a feni egyenleek segíségével az az ismer állíás bizonyíjuk, miszerin p n n= p n végelen, majd megvizsgáljuk, hogy a Merenséel hogyan kapcsolódik a prímszáméelhez. El ször egy egyszer lemmá mondunk ki, ami a kés bbiekben is hasznos lesz.. Lemma. Tesz leges n eseén, ha x-re eljesül, hogy n x p i, i= akkor ϕ x, pn P x, p n x. 3 Bizonyíás. A logikai sziaformulá alkalmazva bizonyíhaó, hogy esz leges m = k n i= p i alakú számig m n i= pi darab p i -khezi =,..., n relaív prím van [4], azaz Φ m, p n = m n i= pi. Legyen k x olyan, hogy n n m = k p i x k + p i m+ x. i= Ekkor riviálisan Φ m, p n Φ x, p n Φ m, p n + x. Ekvivalensen m n pi +ϕ x, pn x i= amib l i= n pi m i= n i= pi + x, m x ϕ x, pn m x n p i i= p + i P x, p n. x x x x x 3
. Téel. lim n n i= p i p i =. Bizonyíás. Indirek együk fel, hogy a haárérék véges, és legyen ez egy r > szám. Legyen ε > 0 megfelel en kis szám, és ehhez N küszöbindex, amelyre p i i=n + p i ε. Legyen x 0 olyan, hogy x x 0 eseén eljesüljön egyrész a. lemma feléele N-nel, másrész r x ε. Használjuk 0-e és az az köve megjegyzés. Könnyen igazolhaó, hogy pn eseén ϕ x, = P x, P x, pn ϕ x, p N + lim ϕ δ 0 pn x u δ, u δ u δ P x, d P x, u. A ϕ függvény deníciójából adódik, hogy esz leges x 0 és s 0 eseén P x, ϕ x, s. Ekkor ha x x 0 és pn, a Px, pn p i i=n +ε p i egyenl lenségeke használva adódik, hogy ϕ x, +ε r [ ] P x, P x, + d x pn P x, u ε ε. P x, u pn Ekkor viszon x x 0 eseén ϕ x, +ε r P x, + εd x pn P x, u ε ε ε. Ez az jelenené, hogy a prímek nagyon s r n helyezkednek el. Azaz esz leges k egészre x = x 0 jelöléssel Így π x k x k p x k π x k ε x k p p = x k p x k + x k x k p x k + p ε r + ε xk p r. x + x k x ε r Ez pedig ellenmondás, hiszen ez az alsó korlá k-ól függelen. π x k π x k >. 4
Írjuk fel - = -gyel. + P x, x = ϕ x, = P x, P x, ϕ x, + +b x,. 4 Árendezve kapjuk, hogy ϕ x, = P x, x lim P x, u δ d. δ 0 +δ x u δ P x, u Ez 4-be visszahelyeesíve kapjuk, hogy π x π x = Φ x, x = x lim δ 0 P x, u δ d +δ x u δ P x, u. 5 3. Lemma. Legyenek f u, g u, m u, M u valós függvények, f u nemnegaív monoon növ, m u g u M u. Ekkor b a f u dm u M b m b f b b a b f u dm u+m b m b f b, feléve, hogy ezek a Sieljes-inegrálok érelmesek. Bizonyíás. Használjuk a parciális inegrálás. b a a f u dg u b f u dg u = [f u g u] b a g u df u [f u g u m u] b a + a b + [f u m u] b a m u df u = g b m b f b g a m a f a + + b a a f u dm u M b m b f b+ Az alsó becslés eljesen hasonló. b a f u dm u. 5
4. Téel. x π x = O. log x Bizonyíás. Használjuk 5-ö. Mivel P x, u δ lim d δ 0 +δ x u δ P x, u = P x,u monoon n, ezér +O e γ log x Használjuk a 3. lemmá. Ekkor M u- és m u- nek válaszva e γ u log x x u I d P x, u = +O Tehá π x π x = +O log x +O u log x x u x u u du = li x li x x = x log d. u log x x u logx d P x, u. 6 e γ u logx - x d u log x +O log x 7 li x x x li x +O =O. log x log x log x Ez is meger síi, hogy a megfelel becslés π x-re Li x = li x li. A p x e = +o γ felevésb l kiindulva, a feni gondolamenee megisméelve, minden O helyére o írhaó, ehá a prímszámé- p logx logx el kapnánk. Ennek bizonyíásához kevesebb feléel is elég. Használjuk a kövekez jelöléseke. Legyen δ x u az a szám, amelyre P x, u = +δ e γ x u u log x, x, = max δ x s δ x s. s s Legyen c x olyan lassan növ függvény, ami x eseén végelenhez ar.. 6
feléelb l kövekezik a prímszám- 5. Állíás. A x =o cx, logx éel. logx [ Bizonyíás. A 4. éel gondolameneé kell alkalmazni az inegrál [ ] és cx, részére. Az els eseben logx ] cx, logx M c x m c x f c x x =O log x log x log x x cx logx log x a második eseben M m f = O a ke összerakva pedig π x π x = +O x x c x x log x, = o, log x li x x li x +o. log x log x =o x, log x 7
3. Durva számok aszimpoikája 3.. Egyensúlyi egyenle Térjünk vissza a - egyenleekhez, és egyszer sísük le. Hagyjuk el a bx, és P x, ϕx,0 agoka, majd írjunk P x, helyébe e γ logx-e. Ekkor a kövekez kapjuk: ˆϕx, = 0 ˆϕ x u u, u du u 8 0 eseén, és ˆϕx, = ˆϕ x, + 9 < eseén. Ha ennek van x- l függelen egyensúlyi megoldása, akkor az a kövekez egyenleeke elégíi ki: ϕ u ϕ u = du 0 u 0 0 eseén, és ϕ = ϕ + < eseén. Mos az uóbbiakkal foglalkozunk. Ha ϕ egy egyensúlyi megoldás, akkor esz leges 0 < eseén ϕ = 0 ϕ u u du+ u ϕ u u du = ϕ u + ϕ u u du. u Tekinsük a kövekez problémá. Tesz leges c valós számra keressük azoka a 0,] inervallumon folyonos ϕ c függvényeke, amelyek kielégíik a kövekez ke: ϕ c = c+ ϕ c u u u du 3 ha 0, és ϕ c = c+ 4 ha <. 8
6. Állíás. Tesz leges c valós számra a 3-4-nek van a feléeleke kielégí egyérelm megoldása. Bizonyíás. Mivel c ado, eseén ϕ c egyérelm. Másrész au = = u u jelöléssel, ha u [, ] [ 3, akkor au,], így [, 3 ] eseén 3-ból kövekezik, hogy a jobb oldalon minden érék meghaározo. Ha u [, 4 3], akkor au [, 3 ], így ϕc i is egyérelm. Ez folyava lászik, hogy ado c-hez a ϕ c folyonos megoldás léezik és egyérelm. 7. Állíás. Tesz leges 0 < és d > c valós számokra igaz az alábbi: vagy ekvivalensen: ϕ c +d c ϕ d ϕ c +d c, ϕ d d c ϕ c ϕ d d c. Bizonyíás. Ha, akkor ϕ d ϕ c = d c, ehá ekkor az egyenl lenségek fennállnak. Indirek együk fel, hogy valamely -kre az egyik egyenl lenség nem eljesül. Jelölje ezen számok szuprémumá 0 < a. Legyen a a+ < a. Ekkor ϕ d ϕ c = d c+ d c+ ϕ u u d ϕc u u du u d c du = d c d c. u Az alsó becslés eljesen hasonlóan láhaó. Ez viszon ellenmondás a szuprémum mia. Megjegyzés. Az el bbi állíásból kövekezik, hogy rögzíe 0< eseén a c ϕ c leképezés szigorúan monoon növ folyonos bijekció a valós számok halmazán. A monooniás ϕ c +d c ϕ d -b l lászik, a folyonosság az ε ϕ c+ε ϕ c ε egyenl lenségekb l láhaó. Megjegyzés. Ha egy 0 < 0 számra ϕ d 0 ϕ c 0 h, akkor minden 0 < eseén ϕ d ϕ c h. Ha d c > h lenne, akkor az el z állíás mia ϕ d 0 ϕ c 0 > h, ehá mivel c d-re ugyanez kapnánk, kövekezik, hogy h d c h. Innen használjuk az állíás. 9
8. Lemma. Egyérelm en léezik olyan q valós szám, hogy esz leges k 0 eseén ϕ q lim = 0. 0 k Bizonyíás. Legyen n 3 ermészees szám eseén c n az a valós szám, amelyre ϕ cn n =0. Az fogjuk igazolni, hogy a q= lim c n érék léezik, és ez megfelel n lesz. Legyenek 0 < s s és c esz leges valós számok. Ekkor ϕ c s = s s s ϕ c +s s = s s ϕ c s s s ϕ u c u du u s s ϕ u c u du. u s s ϕ u c u du = u 5 Hasonlóan láhaó, hogy Legyen n 3 eseén m n = ϕ c s = s s ϕ c s +s s kapjuk, hogy ϕ n c n = n+ n+ ϕ c n m n n+ s ϕ u c u du. u 6 max [ n, n ] ϕ c n. Ekkor felhasználva 6-o, n n+ + n n+ n n+ u du m n n+. ϕ u cn u du u Tehá ϕcn+ ϕcn n+ n+ m n. Az uolsó megjegyzésb l kövekezik, n+ hogy esz leges 0 < eseén ϕcn+ ϕ cn m n n+, vagyis max ϕcn+ = [ n, n ] max ϕcn+ ϕ cn +ϕ cn [ n, n ] m n n+ +m n < m n. 0
Amennyiben [, n+ n], felhasználva 5-ö ϕcn+ = n+ϕ cn+ n+ m n n n+ n+ u du m n n ϕ u cn+ u du u adódik. Tehá m n+ mn n. Innen indukcióval láhaó, hogy m n n m 3 ezér c n+ c n = ϕ c n+ ϕ cn < m n n+ n m 3. n! n!, Innen a háromszögegyenl lenség öbbszöri alkalmazásával igazolhaó, hogy esz leges m>n eseén c m c n n r, ahol r függelen n- l és m- l. Tehá n! c n Cauchy-soroza, vagyis konvergens, azaz léezik egy q haárééke, amelyre q c n n r n!. Felhasználva a 7. állíás, esz leges [, n n ] és l 0 eseén, ha n elég nagy, ϕ q ϕ q ϕ cn + ϕ cn r n n! n l l. Az egyérelm ség a 7. állíásból könnyen adódik. 9. Téel. Egyérelm en léezik egyensúlyi megoldás, azaz olyan ϕ függvény, ami kielégíi 0--e. Bizonyíás. Használjuk az el z lemmá. Mivel az el bb kapo ϕ q gyorsabban ar 0-hoz min a polinom, q helyébe ϕ q -e írva, 3-a árendezve ϕ q = ϕ q ϕ u q u du u adódik. Tarsunk -vel 0-hoz. Ekkor q =ϕ q = ϕ q u du. Ez visszahelyeesíve 3-ba, az kapjuk, hogy ϕ q kielégíi a 0- egyenlee- 0 u ke. u
3.. A ϕx, függvény aszimpoikája 0. Állíás. Rögzíe 0 < eseén ϕx, ar ϕ r -hez, ahol r = eγ. Tesz leges ε, ε > 0 eseén az [ε, ε ] inervallumon egyenleesen is konvergál. Bizonyíás. A prímszáméel és a Merens-éel felhasználva = +ϕ x, x logx πx π x = Φx, x = x +ϕ x, p p x e γ x log x. Ebb l kövekezik, hogy lim ϕ x, = eγ x, azaz ha ϕx, ar valamilyen ϕ r -hez, akkor r= eγ. Tesz leges < eseén P x,, ezér esz legesen kis ε > 0 eseén ha x elég nagy, akkor Px, ϕ r + ε P x, +bx, ϕx, = P ϕ x, + +bx, x, ϕ r + + ε, ahol felhasználuk, hogy bx, negaív. Írjuk fel 4-e és rendezzük á. Ekkor bx, = P x, P x, x P ϕ x, +. x, Innen láhaó, hogy x eseén bx, korláos. A P x, u δ P x, bx, = lim d δ 0 +δ x u δ P x, u logx alakból kövekezik, hogy bx, -ben monoon csökken. Tehá bx, korláossága mia bx, is korláos. Igazolhaó, hogy log logx = ε logx x eseén bx, = O, hiszen ekkor a feni inegrálban az inegrandus felülr l becsülhe P x, εx x εx eseén logx logx -el. Így ha x elég nagy, ε ε x ϕx, ϕ r ε.
Tegyük fel, hogy <. Ekkor hasonlóan áírhaó, min, azaz 3 P x, ϕx, = P ϕ x, lim ϕ x u δ u δ P x,, d x, δ 0 u δ P x, u. [ ] 7 Vágjuk ké részre az inegrál. Egyrész az, εx 3 ε x inervallumon inegráljunk, kihasználva, hogy i ϕ x u u, u egyenleesen ar u ϕr u - [ ] hoz. Másrész az εx, ε x inervallumon, ahol ϕ x u u, u korláos, és az inervallum hossza mia lesz kicsi az inegrál. Innen egyszer [ becslésekkel igazolhaó az egyenlees konvergencia. Így folyava a öbbi, ] n+ n inervallumon igazolhaó a konvergencia, ráadásul egyszer bb [ is, mivel n 3 eseén nem kell szévágni 7-ben az inegrál, csupán az, n n ] inervallumon ve egyenlees konvergenciá kell használni.. Állíás. ϕ r = ϕ Bizonyíás. Tegyük fel, hogy q az a szám, amelyre ϕ q = ϕ, és legyen r = q + d. Ekkor az kell igazolni, hogy d = 0. Indirek együk fel, hogy ez nem eljesül, és legyen d > 0 a d < 0 ese eljesen hasonló. Ekkor a 7. állíásból kövekezik, hogy ϕ q + d ϕ r ϕ q + d. Mivel ϕ q folyonos és lim 0 ϕ q = 0, ezér van olyan s valós szám, hogy s eseén ϕ q d, amib l ϕ r d u kövekezik. Legyen au = u, s = a s, s 0 = a a s. Legyen ε > 0 elég kicsi, n ermészees, x 0 valós és c 0 = = max {, inf {c > 0 : ϕx, c 4, x 0 x x 4 0, pn s }} véges számok olyanok, hogy eljesüljenek a kövekez k. Tesz leges x x 0,, s pn eseén legyen P x, < ε és P x,s s 4 logx x ε logx 4 c 0ε 4 p c 0 ε 4. Másrész eljesüljön a. állíás feléele n-nel. Harmadrész az egyenlees konvergenciá használva s 0 s eseén legyen ϕx, > d. Ekkor a 3. 4 lemma és a. állíás mia x 0 x p n x 4 0 és p n s eseén 3
P x, ϕx, = P x, pn ϕx, p n + lim ϕ δ 0 pn P x, x 4 logx x + 0 x u δ u δ P x,, d u δ P x, u 4 u P x, c 0 d pn u P x, u u 4 c 0 u du+εc 4 0 εc 0 4 4 +c 0 3 +εc 4 3 0 c 0 4 4 3 +Cε 3 5 c 0 3 4. Ekkor viszon x 4 0 x p nx 4 0 és p n s 0 eseén az el z höz hasonlóan ϕx, c 0 3 4. Ugyanakkor ez igaz s 0 s eseén is, mivel ekkor ϕx, d 4. Innen a feni[ gondolamenee ] öbbször megisméelve igazolhaó, hogy k 0 egészre x x 4k 0, x 4k+ 0 és pn s 0 s eseén valamin x [ ] x 4k 0, x 4k+ 0 eseén ϕx, c 0 3 k 4, ϕx, c 0 3 k+ 4. Ez uóbbi viszon ellenmondás, mer elég nagy k-ra, s 0 s eseén ϕx, minden poziív számnál kisebb lesz, speciálisan d -nél is. Tehá d = 0. 4 Beláuk, hogy rögzíe u > eseén Φ x, x u +ϕ u ue γ x logx x. Ez összeveve Buchsab eredményével fennáll az ωu = +ϕ e γ u összefüggés. 4
4. A folyonos modell 4.. A ˆϕx, függvény vizsgálaa Ebben a fejezeben megvizsgáljuk a 8-9 egyenleek néhány ulajdonságá. El ször a szokásos egziszencia és uniciás éeleke lájuk be, majd megvizsgáljuk a megoldás növekedésének fels korlájá. Végül a Laplaceranszformáció hívjuk segíségül. Érdemes az els válozóban a ψx, = ˆϕa x, ranszformáció végrehajani, ahol a > rögzíe valós szám. A 4. fejezeben láuk, hogy léezik ϕ egyensúlyi megoldás, ehá a megoldás célszer ψx, = ψx, + ϕ alakban keresni. Ekkor ψx, -re az alábbi összefüggés nyerjük. Ha x > 0 és 0 <, akkor ψx, = 0 ψ u x+log u, u du, u 8 < eseén pedig ψx, = ψ x,. 9 Természeesen a megoldás egyérelm ségéhez szükséges egy kezdei feléel. Legyen ψ 0 : T R ado, folyonos függvény, ahol T = { x, R : x 0, x }. Ha a feni inegrálban ψ helyére konsans -e írnánk, akkor végelen lenne a kifejezés, ezér felesszük, hogy ψ 0 x, c 3 valamilyen c>0 konsanssal. A megoldás is olyan függvények körében keressük, ahol van olyan c:[0, R lokálisan korláos függvény, hogy ψx, cx 3.. Téel. Tesz leges, a feni feléeleke kielégí ψ 0 kezdei függvény eseén egyérelm en léezik 8-9-nek egy lokálisan korláos ψ megoldása. Bizonyíás. A szukcesszív approximáció gondolaá használva megmuajuk, hogy léezik megoldás. El ször belájuk, hogy megfelel en kis ε eseén, ha 0 < x ε, akkor léezik megoldás. Lérehozunk egy olyan ψ n függvényekb l álló sorozao, ami ar a megoldáshoz. Legyen ψ 0 = ψ 0 ha x 0, és ψ 0 = 0 ha x > 0. Tesz leges n eseén pedig a kövekez képpen képezzük ψ n -e. Ha x 0, akkor i is ψ n = ψ 0. Ha x > 0, akkor ψ n x, = 0 ψ n u x+log u, u du, u 30 5
0 < eseén, és ψn n x, = ψ x,, 3 < eseén. Deniáljuk még n eseén az η n x, = ψ n x, ψ n x, függvény. Ekkor lászik, hogy x 0 eseén η n x, =0. Ha n, akkor η n -re felírhajuk ugyanaz az összefüggés, min ψ n -re, azaz a 30-3 egyenleekbe írjuk a ψ helyére η-. Legyen ε = 0,, és C n = inf { C > 0 : η n x, C 3, x ε }. Jegyezzük meg, hogy C n léezik, ugyanis a feléel mia ψ 0 függvényre is van C > 0, hogy ψ 0 x, C 3, és a 30-3 egyenleeke felhasználva, indukcióval könnyen láhaó, hogy ψ n függvény eseén is van ilyen C. Ekkor η n -re is van ilyen konsans, ehá a feni halmaz nem üres, vagyis léezik inmuma. Ha /, akkor η n x, η n u x+log u, u du min{, ε } 0 C n C n 3 0 u { } u u du C n min 3, ε ε min {, ε } C n 3 3. I felhasználuk, hogy ε = 0, és u ε eseén x+log u 0. Ebb l riviálisan kövekezik, hogy > eseén is fennáll a feni egyenl lenség. Tehá C n C 3 n n 3 C. Innen már könnyen lászik, hogy a ψ n soroza x ε eseén egyenleesen ar egy ψ haárfüggvényhez. Ez ugyanis a ψ n = ψ 0 + + n k= ηk összefüggésb l és az el bbi C n becslésb l kövekezik. Ráadásul ψ kielégíi a 8-9 egyenleeke vegyük a 30-3 egyenleek mindké oldalának a limeszé. Annak beláása, hogy van megoldás, ha ε < x ε eljesen hasonlóan megy, csak ψ 0 - kell úgy deniálni, hogy x ε eseén az imén kapo ψ-mal legyen egyenl. Az egész eljárás öbbször megisméelve az kapjuk, hogy léezik megoldás x > 0 eseén. Az egyérelm séghez együk fel, hogy ψ és ψ ké különböz, olyan lokálisan korláos megoldás, amelyek ugyanahhoz a ψ 0 kezdei függvényhez aroznak. Ekkor η = ψ ψ egy olyan megoldása a 8-9 egyenleeknek, amelynek kezdei függvénye azonosan nulla és a megoldásnak van nulláól 6
elér éréke. Legyen az a 0 szám azoknak az x számoknak az imuma, amelyre léezik s, hogy ηx, s 0. Legyen ε = 0, és C olyan konsans, hogy x [a, a+ε] eseén ηx, C 3, és van olyan x, páros, amire egyenl ség áll fenn. Ekkor felírhaók ugyanazok az egyenl lenségek, amelyek segíségével megkapuk a C n C 3 n becslés, csak mos a C C- kapjuk meg, 3 ami nyilván ellenmondás. Mos nézzük meg, hogy milyen gyorsan n he a megoldás abszolúéréke. Belájuk, hogy legfeljebb exponenciális sebességgel, és megvizsgáljuk, hogy mennyire csökkenhe le ez a korlá. Ez azér is jó, mer így alkalmazhajuk majd a Laplace-ranszformáció. 3. Téel. Legyen C konsans olyan, hogy ψ 0 x, C 3x 3 eljesül. Ekkor ψx, C 3x 3. Bizonyíás. Tegyük fel, hogy az állíás igaz egy bizonyos x 0 -nál kisebb érékekre. Ekkor x 0 -ra felírva az 8 összefüggés, eseén kapjuk, hogy ψx ψ u x 0 +log u, u 0, du C 3x 0 udu C 3x 0 3. u 0 A bizonyíás lényegé ekinve ennyi. Ha precízen akarjuk beláni, akkor együk fel, x 0 azoknak az y számoknak az inmuma, amelyekre léeznek olyan s számok, hogy ψy, s > C 3x 3. Az el z éel bizonyíásából udjuk, hogy készíhe egy olyan ψ n függvénysoroza, ami megfelel en kis ε eseén az [x 0, x 0 +ε] inervallumon egyenleesen konvergál a megoldáshoz. Felírva ezekre a függvényekre a 30-3 egyenleeke, majd eljes indukció, a feni egyenl lenségeke, végül haárámenee használva láhaó a éel. Az aszimpoikus viselkedés szemponjából jó lenne, ha alálnánk egy olyan b < 0 konsans, hogy az abszolúérék C bx 3 -nal legyen becsülhe, ugyanis ekkor a megoldás nullához arana. Viszon a éel élesíéséhez szigoríani kell a kezdei függvényre e felevéseinke, és jobban ki kell használni a 3 egyenlee is. 4. Téel. Legyen C konsans olyan, hogy eseén ψ0 x, C x 3, és eseén pedig ψ0 x, C x /4. Ekkor ψx, C x 3. Bizonyíás. Tegyük fel, hogy az állíás igaz egy bizonyos x 0 -nál kisebb érékekre. Ekkor x 0 -ra felírva a 8 összefüggés, eseén kapjuk, hogy 3 ψx 0, u C x 0 0 u du +log 3. 7 0
Ha 3, akkor ψx 0, /3 u C x 0 0 u du+ /3 4u du /+log/3+ 4 log 4 log3 3. A bizonyíás echnikai részé az el z éelhez eljesen hasonlóan kell elvégezni. Ahhoz, hogy megaláljuk, milyen kezdei függvény eseén ar a megoldás nullához, segíhe a kövekez éel. 5. Téel. Tegyük fel, hogy léezik olyan g nemnegaív, a [0,] inervallumon folyonos függvény, hogy egyrész < eseén g = g, másrész 0 < eseén valamilyen kis ε > 0 számra g u u du < ε g 0 u 3 eljesül. Ekkor ψ 0 x, C g kezdei függvény és x eseén ψx, 0. Bizonyíás. Könnyen láhaó, hogy ha g kielégíi a feni feléeleke, akkor minden c > 0 szám eseén c g is. Ha ψ 0 x, C g, akkor esz leges kis δ > 0 eseén ψ 0 x, δ x C g mer x 0. Tegyük fel, hogy egy ado x 0 >0 számnál kisebb x érékekre igaz, hogy ψx, δ x C g. Tegyük még fel, hogy δ = log +ε/. Ekkor eseén ψx 0, δ log u g u u du δ x 0 C 0 u g u δ u du δ εg ε/g. u 0 A bizonyíás ugyanúgy fejezhe be min az el z ké éelnél, ugyanis ilyen kezdei feléellel is egyenleesen konvergens a ψ n soroza a [x 0, x 0 +ε] inervallumon, s 3 mia ennek bizonyíása még könnyebb is. Az. ábrán 3 bal oldalá ábrázoluk, ha g = { 3, ha 0 4, ha 8
Lászik, hogy körülbelül 0,3-nél az érék -nél nagyobb lesz. Ahhoz, hogy ennél jobb éréke kapjunk bonyolíani kell a g függvény. Például legyen 8 7, ha 0 3 g = 3, ha u 3, 4 ha Láhaó, hogy ez már alig lépi á az -e. Bonyolulabb g függvény válaszva még lejjebb vihe ez a korlá, viszon nem sokkal, és nagy valószín - séggel nincsen a 5. éel kielégí függvény. Azér lenne érdekes ha lenne, mer ebb l bizonyíhaó lenne a prímszáméel. Tehá a megoldás aszimpoikus viselkedésé más úon kell meghaározni, mi a Laplace-ranszformációval próbáljuk ez megfejeni..3.. 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0 0. 0. 0.3 0.4 0.5. ábra. 3 bal oldala g -vel. 4.. Laplace-ranszformáció A Laplace-ranszformáció nagyon hasznos késlelee rendszerek vizsgálaában, például állandó együhaós késlelee lineáris dierenciálegyenleek vagy felújíási egyenleek eseén [6]. Mivel az álalunk felállío folyonos egyenle hasonlí az el bb emlíeekre, érdemes megnézni, hogy ebben az eseben mi segí a ranszformáció. 9
. 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0 0. 0. 0.3 0.4 0.5. ábra. 3 bal oldala g -vel. Egy fx függvény Laplace-ranszformálja a kövekez [7]: Lfxs = 0 fxe s x dx. Ahhoz, hogy ez érelmes legyen, felesszük, hogy f inegrálhaó, és legfeljebb exponenciális mérékben növekedhe, azaz léeznek olyan C és b konsansok, hogy fx Ce b x. Ekkor Rs b eseén Lfxs bizosan érelmes. Megjegyezzük még az a ulajdonságo, hogy ha ké függvény Laplace-ranszformálja megegyezik, akkor majdnem mindenhol megegyeznek. Tudjuk a 3. éel mia, hogy a megoldás els válozóban legfeljebb exponenciális sebesességgel növekedhe, ehá alkalmazhajuk a Laplace-ranszformáció. Legyen rögzíe eseén F s, = L ψx, s. Ekkor eseén 30
F s, = ψx, e s x dx = 0 = = e s log u = 0 u 0 u 0 e s log u 0 0 log u 0 u 0 e s x ψ e s y ψ0 y, e s x x+log u, log u u u 0 e s y ψ y, dydu ψx+log u, u u u u u u dudx = u dxdu = dydu = e s log u ahol az y=x+log u helyeesíés alkalmazuk. Jelöljük az uolsó egyenl ség els agjá Gs, -vel. Tehá eseén e s log u u F s, = F s, du+gs,, u 33 u < eseén pedig F s, = F s,. 34 Láhaó, hogy annyiban egyszer södek az 8-9 egyenleek, hogy az els válozóban el n a késleleés. Érdemes az egyszer ség kedvéér elvégezni a második válozóban a kövekez helyeesíéseke. Ekkor eseén F s, = F F s, = eseén pedig s,, Gs, = G s, 0. e s log u+ F s, udu+ Gs,, 35 F s, = F s, 36 eljesül. Ez áalakíhaó egy késlelee lineáris dierenciálegyenleé, ami viszon nem konsans együhaós, és ezekre sajnos nincs álalános megoldási módszer. Viszon ha <, akkor az ismerelen függvényb l csak az F s, éréke használjuk. Emia < 3 eseén F s, is kifejezhe F s,-vel. Ez ovább folyava minden érékre F s, kifejezhe F s,-vel. Használjuk a jelöléseke. T s, = Gs, Gs,, gs, = e s log + u F u s, du, u 3
6. Téel. n < n+ eseén fennáll n F s, = T s, + + F, s k= k+ k n + k= k k k T s, k k... i= k... F, s k i= gs, i i d k d k... d + gs, i i d k d k... d. Bizonyíás. Egyszer áalakíásokból kövekezik, hogy n + < n + eseén F s, = n+ F s, n++ n gs, F s, d + Gs, n+ Gs, n+. Az egyenle jobb oldalán csak olyan F s, érékeke használunk, amelyeknél n < n+. Ezér a bizonyíás n szerini indukcióval és kisebb számolással adódik. Az kell még bizonyíani, hogy a éel < 3 eseén igaz. Írjuk 36-o az el bbi egyenle jobb oldalába. Ekkor az kapjuk, hogy F s, = F s,+ = T, s+ F s,+ gs, F s,d + Gs, Gs, = F s, gs, d. Tudjuk 35-b l, hogy F s, = gs, u F s, udu+ Gs,. Be szerenénk helyeesíeni F s, u helyébe u < eseén 36-o, u eseén pedig az el bb kapo éel azonosságai. Ekkor viszon megjelennének olyan inegrálok, amelyek nem felélenül érelmesek. Ezér F s,- a kövekez módon közelíjük. Rögzíe m eseén ekinsük a kövekez problémá. Keressük az az F m függvény, ami kielégíi < m eseén F m s, = < eseén pedig az m gs, u F m s, udu+ Gs,, 37 F m s, = F m s, 38 egyenleeke. F m -re ugyanaz a éel felírhaó, min F -re. 3
7. Téel. n n+ m eseén fennáll n F m s, = T s, + + F m, s k= k+ k n + k= k k k T s, k... k... F m, s k i= k i= gs, i i d k d k... d + gs, i i d k d k... d Íruk fel 37-e =-vel, és helyeesísük be az el bb kapo eredmény az egyenle jobb oldalába. Ekkor árendezéssel megkapjuk F m s,- explici alakban. { F m s, = m gs, 0 T s, 0 d 0 + Gs, m 3 k= m m k= k+ m 0 k+ k+ k... / 0 k k k { +... m k T s, k k i=0 gs, 0 d 0 + 0 k i=0 gs, i i d k d k... d d 0 gs, i i d k d k... d d 0 Sajnos ennnél áláhaóbb képlee nem nagyon kaphaunk. Az eredei problémához be kellene láni, hogy F m -nek van inverze a Laplace-ranszformációra nézve, és kellene az inverz abszolúérékére egy jó fels becslés. Ekkor ez a becslés haárámeneel igaz lenne F inverzére is. }. } / 4.3. Numerikus eredmények Ebben a szakaszban megvizsgáljuk, hogy a folyonos modell hogyan közelíi a valóságo. Ehhez egy numerikus módszer alkalmazunk. Az egyszer ség kedvéér i is a ˆϕx, els válozójában áranszformál ψx, - vizsgáljuk. Legyenek k, k ermészees számok, x i = i/k és j = j/k oszóponok, ahol k i, 0 j k egészek. A kövekez egyszer összefüggésb l származik a módszer, ha j+, akkor ψx i, j+ = j+ ψx i, j j+ j j+ j ψx i, j j+ ψ j+ j x i +log j+, 33 u ψ xi +log u, u du u j+ j+ j+ j u du.
Sajnos az uoljára megjelen ψ argumenumában nem oszóponok vannak, ehá kerekíeni kell ke, mi a kövekez képpen esszük: j+ j+ j+ j+, x i +log j+ x i+k log j+. Jelölje yi, j a ψx i, j numerikus közelíésé. Tegyük fel, hogy k páros. El ször is meg kell adni az yi, j = ψ 0 x i, j kezdei érékeke i 0. Ekkor i és j k / eseén yi, j + = j + y yi, j j Ha pedig j > k /, akkor i+k log j+, yi, j + = j yi, k /. j j+ j+ Minden numerikus fuaás kezdei érékeinek a ϕ érékei aduk meg. Mivel ψx, = ˆϕa x,, ezér a éréké is meg kelle adni. Megjegyezzük, hogy a gyakorlaban annyi válozaunk a feni algorimuson, hogy j log a eseén yi, j éréké 0-ra állíouk, hiszen a egyenleben az inegrál log a eseén 0. Ez azér kelle, mer ha a nem olyan nagy - márpedig a fuási id mia nem udunk úl nagy a érékeke megadni -, akkor a log a érék viszonylag nagy, és ekkor a j log a érékekre csak felesleges hibáka halmozna a módszer. A 3. ábrán 0 < közö, a = 05 paraméer melle pirossal ábrázoluk ϕ a x, -, zölddel az egyensúlyi megoldás, kékkel pedig a ψx, numerikus közelíésé az y, j j k / érékekkel. Láhaó, hogy ψ jól közelíi ϕ-, persze ez várhaó vol, hiszen a módszer az els válozó szerin csak egye lépe, és minden bemenei éréke a valós érék. Érdekes jelenség láhaó az ábrán 0,45-nál, ugyanis i visszakanyarodnak a görbék, miközben az egyensúlyi megoldás ovábbra is lefele ar. Ez azér van, mer és esz leges rögzíe els válozó eseén a ϕ függvény görbéje egy darabig lineárisan viselkedik, azuán viszon hirelen visszaesik -re. A 4. ábrán ez a jelenség láhaó a = 0 7 érékkel, mellee zölddel az egyensúlyi megoldás. Ha a egyre nagyobb, akkor ez a zuhanás egyre kisebb inervallumon kövekezik be, így a befolyása is egyre kisebb lesz a jöv beni érékekre. Mos nézzük meg, hogy ψx, hogyan közelíi ϕax, -e lokálisan. Az 5. ábrán ϕa x, láhaó pirossal, ψx, közelíése kékkel, a=5 04 és 0 x log 3 a3/ 0 6. Láhaó, hogy a folyonos modellnek van egy simíó haása, egy egyenesnek nik, viszon szépen kövei ϕ f bb mozgásá. A 6. ábrán a éréké megnövelük 0 6 -ra. I is elmondhaó az ami az el bb, ráadásul az is lászik, hogy ϕ is kezd kisimulni. Ezek alapján kijelenhe, hogy a folyonos modell érdemes ovább vizsgálni. 34.
0.0 0 0.0 0.04 0.06 0.08 0. 0. 0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 3. ábra. A ϕ0 5 x, függvény piros, ψx, numerikus y, j j k / közelíése kék, és az egyensúlyi megoldás zöld, 0 /. 0.8 0.6 0.4 0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 0 0. 0.4 0.6 0.8 4. ábra. A ϕ0 7, függvény piros, az egyensúlyi megoldás zöld, 0. 35
0.0 0.0 0.03 0.04 0.05 0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 x 5. ábra. Az a = 5 0 4 paraméer eseén ϕa x,/ piros, ψx,/ numerikus yi, k / i k log 3/ közelíése kék, 0 < x log 3/. 0.03 0.04 0.05 0.06 0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 x 6. ábra. Az a = 0 6 paraméer eseén ϕa x,/ piros, ψx,/ numerikus yi, k / i k log 3/ közelíése kék, 0 < x log 3/. 36
5. Összegzés Az alapve cél az vol, hogy a prímszámok eloszlásá jobban megérsük, és e ekineben úgy gondoljuk, hogy el relépés örén. Az alapegyenle a ϕx, prímszámokkal való közvelen kapcsolaának köszönhe en - a harmadik szakaszhoz hasonlóan - számos éel kiindulóponja lehe. Láuk a numerikus vizsgála során is, hogy a folyonos modell meg rzi a ϕ függvény legfonosabb ulajdonságai. Ez pedig sokkal áekinhe bb, puszán az analízis eszközeivel vizsgálhaó. El nyös még, hogy a probléma vizuálisan könnyen elképzelhe - egy [0, ] [0,] halmazon érelmeze függvénynek a különböz ulajdonságai kell meghaározni -, másrész célunk is világos: a φx, lehe leg minél gyorsabban arson a ϕ függvényhez esz leges kezdei feléel eseén. Ez a hozzáállás nagyon hasonlí az inegrál- és dierenciálegyenleek émaköréhez, így az oani udás kamaozauk. Az i nyer állíások ugyan nem vihe k á fennarás nélkül ϕx, -re, viszon a kapcsola nyilvánvaló. Van lehe ség ovábbi folyonos modelleke felírni, amik bár egyre bonyolulabbak, de egyre öbbe mondanak a valóságról. A prímszámok és az inegrálegyenleek kapcsolaa nagyon érdekes émakör. A ovábbi kuaási lehe ségek számosak, ugyanakkor az ezirányba e els lépésünk opimizmusra ad oko. 37
Hivakozások [] Susan H. Marshall, Donald R. Smih. 03 Feedback, Conrol, and he Disribuion of he Prime Numbers. Mahemaics Magazine, vol. 86, 03, pp. 89-03. [] Buchsab, A. A. 937. Asympoic esimaes of a general numberheoreic funcion. Ma. Sb, 44, 39-46. [3] Mongomery, H. L., Vaughan, R. C. 006. Muliplicaive number heory I: Classical heory Vol. 97. Cambridge Universiy Press. [4] Freud, R., Gyarmai, E. 006. Számelméle. Nemzei Tankönyvkiadó. [5] Tenenbaum, G. 05. Inroducion o analyic and probabilisic number heory Vol. 63. American Mahemaical Soc.. [6] Richard Bellman, Kenneh L. Cooke. 963. Mahemaics in Science and Engineering, Volume 6: Dierenial- Dierence Equaions. Academic Press, New York and London. 46 pp. 4s. 6d. [7] Joel L. Schi. 999 The Laplace ransform Theory and applicaions. Springer, New York. 38